funciones maximales y operadores promedio.el prop osito de este primer cap tulo es presentar algunos...

UNIVERSIDAD DE SONORA

Division de Ciencias Exactas y Naturales

Programa de Licenciatura en Matematicas

Funciones maximales y Operadores promedio

T E S I S

Que para obtener el tıtulo de:

Licenciada en Matematicas

Presenta:

Yingying Wu

Directora de tesis: Dra. Martha Dolores Guzman Partida

Hermosillo, Sonora, Mexico, Junio de 2017

SINODALES

Dra. Martha D. Guzman Partida

Universidad de Sonora, Hermosillo, Mexico

M.C. Carolina Espinoza Villalva


Dra. Jessica Y. Santana Bejarano


M.C. Carlos A. Robles Corbala


Agradecimientos

Siempre fue complicado explicarle a los demas que era lo que estaba estudiando,

y mas a mi familia, ası que principalmente quiero agradecer a mi papa y a mi

mama por confiar en mi decision y por darme su apoyo a traves de toda esta

aventura.

A mi directora de tesis Dra. Martha Guzman, por sus consejos, por su apoyo y

por permitirme trabajar con ella. Tambien le agradezco por haber confiado en

mı desde mis primeros semestres lo cual me motivo a seguir esforzandome para

ser una mejor estudiante.

A mis sinodales: Carolina Espinoza, Carlos Robles y Jessica Santana por el tiem-

po invertido en la revision de este trabajo y por los consejos que me han dado.

A los profesores de la licenciatura quienes contribuyeron en mi formacion.

A mis companeros de estudio, con los que pase horas haciendo tareas de Calculo,

Algebra Lineal, Teorıa de la Medida y Analisis Funcional.

v

Indice general

Agradecimientos V

Indice general VI

Introduccion 1

1. Teoremas de cubrimiento 3

1.1. Teorema de cubrimiento de Vitali(version clasica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Teorema de cubrimiento de Vitali(version infinitesimal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Teorema de cubrimiento de Besicovitch . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Funciones maximales y el teorema de diferenciacion de Lebesgue 15

2.1. Funcion maximal de Hardy-Littlewood . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2. Teorema de diferenciacion de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3. Conjunto de Lebesgue de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4. Teorema de Sard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5. Teorema de interpolacion de Marcinkiewicz . . . . . . . . . . . . . 36

2.6. Continuidad de la funcion maximal en Lp(Rn), 1 < p <∞ . . . . 41

2.7. Funcion maximal de Hardy-Littlewood con peso w . . . . . . . . . 42

2.8. Teorema de diferenciacion de Lebesgue con peso w . . . . . . . . . 48

3. Espacios de Morrey 53

3.1. Definicion y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2. Continuidad de la funcion maximal de Hardy-Littlewood en losespacios de Morrey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

vii

4. Operador de Hardy 69

4.1. Version original del operador de Hardy y continuidad en Lp . . . . 69

4.2. Generalizaciones del operador de Hardy y continuidad en Lp . . . 72

4.3. Continuidad del operador de Hardy en espacios de Morrey . . . . 78

Conclusiones 83

A. Desigualdad Integral de Minkowski 85

Bibliografıa 89

Introduccion

El objetivo principal de esta tesis es obtener los clasicos resultados de acotacion de

la funcion maximal y el operador promedio de Hardy-Littlewood en los espacios

Lp(Rn) y los espacios de Morrey. Para ello, haremos uso de algunos teoremas

de cubrimiento, los cuales nos proporcionaran una familia a lo sumo numerable

de cubos o de bolas que logren “cubrir” un conjunto relativamente arbitrario

del espacio euclideano. Estas familias pueden presentar alguna restriccion que

guarda cierta relacion con el problema que se desea resolver. Ademas veremos un

resultado fundamental del analisis armonico, a saber, el teorema de diferenciacion

de Lebesgue.

La notacion que emplearemos en esta tesis sera estandar. Si B es una bola abierta

en Rn con centro en x, radio r y α es cualquier numero positivo, el conjunto αB

denotara la bola abierta con centro en x y radio αr; el radio de una bola B

sera denotado por radB. Si A es un subconjunto Lebesgue medible de Rn, |A|

denotara la medida de Lebesgue de A. Con frecuencia utilizaremos una letra C

para denotar una constante que podrıa estar variando renglon tras renglon.

En el Capıtulo 1 presentaremos los teoremas de cubrimiento de Vitali y de Be-

sicovitch, los cuales son utiles para obtener resultados de diferenciabilidad de

funciones.

En el Capıtulo 2 con el proposito de presentar algunas aplicaciones de los teo-

remas de cubrimiento, introducimos la funcion maximal de Hardy-Littlewood.

1

Introduccion 2

Despues, con la finalidad de mostrar que esta funcion es continua en el espacio

Lp(Rn), presentamos el teorema de interpolacion de Marcinkiewicz y concluimos

probando la continuidad de una generalizacion de la funcion maximal.

En el Capıtulo 3 estudiaremos los espacios de Morrey Lq,λ(Rn), los cuales consti-

tuyen una generalizacion de los espacios Lq(Rn), mostraremos que estos espacios

son de Banach y probaremos que la funcion maximal de Hardy-Littlewood es

continua en dichos espacios.

En el Capıtulo 4 estudiaremos el operador promedio de Hardy-Littlewood, mos-

traremos que bajo ciertas condiciones en el peso tendremos que este operador es

acotado en Lp(Rn), 1 ≤ p ≤ ∞ y en Lq,λ(Rn), 1 < q <∞ y −1q< λ < 0. Ademas

determinaremos la norma de este operador en dichos espacios.

En la ultima parte de esta tesis presentaremos algunas conclusiones personales

y un apendice en el que incluimos la demostracion de la desigualdad integral de

Minkowski.

Capıtulo 1

Teoremas de cubrimiento

El proposito de este primer capıtulo es presentar algunos teoremas de cubrimiento

en el espacio euclidiano, los cuales utilizaremos para estudiar propiedades de

diferenciabilidad de funciones.

Es bien sabido que uno de los teoremas mas importantes en las matematicas es

el primer teorema fundamental del calculo el cual dice que si f es una funcion

continua en el intervalo [a, b] y si

F (x) =

∫ x

a

f(t)dt a ≤ x ≤ b,

entonces F es diferenciable en [a, b] y su derivada esta dada por

F ′(x) = f(x) a ≤ x ≤ b.

Ahora bien, existe un teorema de Lebesgue que extiende este resultado para el

caso cuando f es solamente integrable en el sentido de Lebesgue. Se tiene que F

definida como antes, es una funcion continua, asegura que F es diferenciable casi

en todas partes y F ′(x) = f(x) para casi toda x ∈ [a, b]. Este resultado, conocido

3

Capıtulo 1. Teoremas de Cubrimiento 4

como teorema de diferenciacion de Lebesgue puede ser demostrado con la ayuda

de un teorema de cubrimiento de Vitali.

Aunque al principio no encontremos una relacion entre el teorema de cubrimiento

y el teorema de diferenciacion de Lebesgue, en el transcurso de los capıtulos

mostraremos la importancia que tiene.

Los topicos desarrollados en este primer capıtulo fueron tomados de [8] y [11].

1.1. Teorema de cubrimiento de Vitali

(version clasica)

Presentaremos dos versiones del teorema de cubrimiento de Vitali, sin embargo,

los enunciados no seran los originales dados por G. Vitali, y ademas, la demos-

tracion de la primera version que daremos sera la desarrollada por S. Banach,

que es la que aparece en la mayor parte de los textos de teorıa de la medida y

puede ser consultada en [11], p. 448.

Teorema 1.1.1. Sea E un subconjunto acotado de Rn. Supongase que F es una

coleccion de bolas abiertas con centro en puntos de E, de modo que cada punto

de E es el centro de alguna bola en F . Entonces existe una coleccion a lo mas

numerable de bolas de F , digamos, Bii tales que:

1. Bii es ajena por pares.

2. E ⊂⋃i

3Bi.

Demostracion. Observemos que si el conjunto radB : B ∈ F no esta acotado

superiormente, hemos terminado, pues como E es acotado, podemos seleccionar

una unica bola B ∈ F con radio suficientemente grande tal que E ⊂ B.


Si radB : B ∈ F esta acotado superiormente, procederemos de forma induc-

tiva. Seleccionamos B1 de forma aleatoria. Supongamos que hemos seleccionado

las bolas B1, ..., Bk con k ≥ 1.

Definamos

dk+1 = sup

radB : B ∈ F , B ∩

k⋃i=1

Bi = ∅.

Si no existen bolas con tal propiedad el proceso de seleccion termina con Bk; en

caso contrario, escogemos Bk+1 ∈ F tal que

12dk+1 < radBk+1 y Bk+1 ∩

k⋃i=1

Bi = ∅.

Por construccion la coleccion de bolas Bii es ajena por pares.

Para probar la segunda propiedad, tomemos x ∈ E arbitrario y sea B ∈ F una

bola con centro en x y radio r. Notemos que debe existir un k tal queB∩Bk+1 6= ∅,

pues en caso contrario, si B ∩ Bk+1 = ∅ para toda k implicarıa que la seleccion

de bolas nunca termina y ademas se tendrıa r ≤ dk+1 para toda k. De aquı que,

tendrıamos una cantidad infinita numerable de bolas Bk+1 ajenas cuyos radios

satisfacen

radBk+1 >1

2dk+1 ≥

1

2r,

y por lo tanto ∣∣∣∣ ∞⋃k=1

Bk+1

∣∣∣∣ =∞∑k=1

|Bk+1| =∞,

lo cual no es posible pues∞⋃k=1

Bk+1 es un conjunto acotado. Por lo que la bola B

intersecta por lo menos a una bola Bk+1.

Sea k0 = mınk ≥ 1 : B ∩Bk+1 6= ∅, ası

B ∩k0⋃i=1

Bi = ∅


y ademas

r ≤ dk0+1 < 2radBk0+1.

Tomando y ∈ B ∩Bk0+1, si z es el centro de la bola Bk0+1 se tiene

|x− z| ≤ |x− y|+ |y − z|

< r + radBk0+1

< 3radBk0+1.

Por lo tanto x ∈ 3Bk0+1 ⊂∞⋃k=1

3Bk.

Observacion 1.1.2. Con una pequena modificacion en la prueba podemos reem-

plazar el factor 3 que aparece en el teorema previo por 2 + ε para toda ε > 0.

Basta considerar Bk+1 ∈ F tal que

1

1 + εdk+1 < radBk+1.

Sin embargo no podemos asegurar que E ⊂⋃k

2Bk. Para ello analicemos el si-

guiente ejemplo para el caso unidimensional.

Ejemplo 1.1.3. Sea E = (−1, 1). Para x ∈ E, definimos r(x) = 1+2|x|3

, ası como

Bx = (x− r(x), x+ r(x)) y F = Bx : x ∈ E.

Notemos que 0 ∈ Bx para toda x ∈ (−1, 1), en efecto

a) Si x = 0 es claro que 0 ∈ Bx.

b) Si x ∈ (−1, 0), entonces x+ r(x) = x+ 1−2x3

= x+13> 0.

c) Si x ∈ (0, 1), entonces x− r(x) = x− 1+2x3

= x−13< 0.

Como todas las bolas intersectan al 0, consideraremos una sola bola Bx. Veamos

que ninguna bola Bx cumple que (−1, 1) ⊂ 2Bx.


a) Si x = 0. Entonces Bx = (−13, 13) y claramente (−1, 1) 6⊂ 2Bx.

b) Si x ∈ (−1, 0). Tenemos que x+ 2r(x) = x+ 2(1−2x3

) = 2−x3< 1 y por lo tanto

(−1, 1) 6⊂ 2Bx.

c) Si x ∈ (0, 1). Tenemos que x − 2r(x) = x − 2(1+2x3

) = −2−x3

> −1 y por lo

tanto (−1, 1) 6⊂ 2Bx.

1.2. Teorema de cubrimiento de Vitali

(version infinitesimal)

La prueba de esta segunda version del teorema de cubrimiento de Vitali puede

ser consultada en [11], p. 479.

Teorema 1.2.1. Sea E un subconjunto arbitrario de Rn y supongase que F

es una familia de bolas cerradas con radio positivo que satisface la siguiente

condicion (la cual llamaremos condicion de Vitali):

dado ε > 0 y dado x ∈ E existe B ∈ F tal que x ∈ B y radB < ε. (1.1)

Entonces existe una coleccion a lo mas numerable de bolas de F , digamos, Biitales que:

1. Bii es ajena por pares.

2. E ⊂⋃i

Bi excepto por un conjunto de medida cero.

Demostracion. Primero haremos algunas observaciones; resulta suficiente probar

para el caso en que E es un conjunto acotado; la razon es que E puede escribirse

como la union de los subconjuntos acotados

E ∩ x ∈ Rn : k < |x| < k + 1, para k = 0, 1, 2, ...


excepto en un conjunto de medida cero. Ası que haremos la demostracion para

estos conjuntos.

Ademas, por la condicion (1.1), podemos suponer que todas las bolas en F tienen

radio menor que una constante positiva y que cada bola de F contiene un punto

de E.

Ahora procederemos a demostrar el teorema; algo interesante de esta demostra-

cion es que sigue un procedimiento de seleccion similar al del Teorema 1.1.1:

Seleccionamos B1 de forma aleatoria. Supongamos que hemos seleccionado las

bolas B1, ..., Bk con k ≥ 1. Si E ⊂⋃ki=1Bi entonces terminamos. En caso con-

trario la condicion de Vitali garantiza la existencia de bolas B ∈ F tales que son

ajenas al conjunto cerrado⋃ki=1Bi.

Definamos

dk+1 = sup

radB : B ∈ F , B ∩

k⋃i=1

Bi = ∅.

Tomamos Bk+1 ∈ F tal que

12dk+1 < radBk+1 y Bk+1 ∩

k⋃i=1

Bi = ∅.

Si el proceso termina en algun paso, hemos concluido. Supongamos que el proceso

no termina. Por construccion la coleccion de bolas Bkk es ajena por pares

ası que solo resta probar la segunda propiedad.

Como las bolas Bk son ajenas, tienen radio acotado e intersecan a E, tenemos

que∞∑k=1

|Bk| <∞. Ası lımk→∞

radBk = 0 y por tanto lımk→∞

dk+1 = 0.

Ahora probaremos que para cada k ∈ N se tiene

E ⊂k−1⋃i=1

Bi ∪∞⋃i=k

5Bi.


Para esto tomaremos un x ∈ E \⋃k−1i=1 Bi y veremos que necesariamente debe

estar contenido en 5Bk0 para algun k0 ≥ k.

Sea x ∈ E \⋃k−1i=1 Bi, por la condicion (1.1) existe B ∈ F tal que x ∈ B

y B ∩⋃k−1i=1 Bi = ∅. Observemos que no puede pasar B ∩

⋃∞i=1Bi = ∅ pues por

definicion de dk+1 se tendrıa que dk+1 ≥ radB para toda k ∈ N, lo que contradice

que dk+1 tiende a cero.

Sea k0 el menor entero positivo tal que B ∩Bk0 6= ∅, notemos que k0 ≥ k. Como

B ∩⋃k0−1i=1 Bi = ∅, de la definicion de dk0 se tiene que dk0 ≥ radB. Ademas, de

la eleccion de Bk0 tenemos que radB ≤ 2radBk0 .

De aquı tenemos que si w es el centro de B, w0 el centro de Bk0 , y y ∈ B ∩Bk0 ,

entonces para toda x ∈ B se tiene

|x− w0| = |x− w + w − y + y − w0|

≤ |x− w|+ |w − y|+ |y − w0|

< radB + radB + radBk0

≤ 2radBk0 + 2radBk0 + radBk0 ≤ 5radBk0 .

Ası x ∈ B ⊂ 5Bk0 que era lo que se querıa. Como esto se cumple para toda

k ∈ N se sigue que x ∈ E \⋃∞i=1Bi ⊂

⋃∞i=k 5Bi. Entonces por la monotonıa de

la medida de Lebesgue tenemos que

∣∣∣∣E \ ∞⋃i=1

Bi

∣∣∣∣∗ ≤ ∣∣∣∣ ∞⋃i=k

5Bi

∣∣∣∣ ≤ ∞∑i=k

|5Bi| ≤∞∑i=k

5n|Bi|.

Como el lado derecho tiende a cero cuando k tiende a infinito se sigue que∣∣E \⋃∞i=1Bi

∣∣∗ =∣∣E \⋃∞i=1Bi| = 0. Y por lo tanto E ⊂

⋃∞i=1Bi excepto en un

conjunto de medida cero.


1.3. Teorema de cubrimiento de Besicovitch

El teorema que presentaremos a continuacion nos ayudara a probar una version

mas general del teorema de diferenciacion de Lebesgue, en la cual estaran in-

volucrados unas funciones llamadas “pesos”, que son uno de los objetos de los

cuales hablaremos con mayor detalle en la segunda mitad del siguiente capıtulo.

La demostracion que presentaremos es la version formulada en [8], p. 289.

Teorema 1.3.1. Sea E un subconjunto acotado de Rn. Para cada x ∈ E, sea Qx

un cubo abierto con centro x y lados paralelos a los ejes coordenados. Entonces,

existe una coleccion a lo mas numerable de puntos xii de E tales que:

1. E ⊂⋃i

Qxi.

2. Para casi toda y ∈ Rn se cumple

∑i

χQxi (y) ≤ 24n.

Demostracion. Sea s0 = sup`(Qx) : x ∈ E, donde `(Qx) denota la longitud del

lado del cubo Qx. Si s0 =∞ terminamos, pues entonces existe un x0 ∈ E tal que

`(Qx0) > 4L donde E ⊂ [−L,L]n y por tanto se concluye el teorema.

Supongamos que s0 <∞. Seleccionamos x1 ∈ E tal que 12s0 < `(Qx1). Definamos

E1 = E \Qx1 y s1 = sup`(Qx) : x ∈ E1.

Tomamos x2 ∈ E1 tal que 12s1 < `(Qx2). Siguiendo este proceso de forma induc-

tiva tenemos que para k ∈ N se define

Ek = E \⋃ki=1Qxi , sk = sup`(Qx) : x ∈ Ek


y seleccionamos xk+1 ∈ Ek tal que 12sk < `(Qxk+1

). Continuamos el proceso hasta

encontrar un entero positivo m tal que Em sea vacıo, pues eso indicarıa que hemos

cubierto a E en el paso m − 1. Si tal entero no existe, continuamos el proceso

indefinidamente.

Afirmamos que para toda i 6= j se tiene 13Qxi ∩ 1

3Qxj = ∅. En efecto, sea i > j.

Tenemos que xi ∈ Ei−1 = E \ (Qx1 ∪ ... ∪Qxj ∪ ... ∪Qxi−1), por lo cual xi /∈ Qj.

Ademas, como xi ∈ Ei−1 ⊆ Ej−1 se sigue que

`(Qxi) ≤ sj−1 ≤ 2`(Qxj). (1.2)

Ahora por el teorema de Pitagoras, sabemos que el cuadrado de la diagonal de

un cubo en Rn es igual a n-veces el cuadrado de su lado. Si denotamos con d la

diagonal del cubo, tenemos que

d(1

3Qx) =

√n`(

1

3Qx) =

√n

3`(Qx).

De aquı que, si y ∈ 13Qxi ∩ 1

3Qxj

|xi − xj| ≤ |xi − y|+ |y − xj|

≤√n

3`(Qxi) +

√n

3`(Qxj)

≤ 2√n

3`(Qxj) +

√n

3`(Qxj)

=√n`(Qxj),

lo cual implica que xi ∈ Qxj , que es una contradiccion. Por lo tanto se tiene que

13Qxi ∩ 1

3Qxj = ∅ para i 6= j.

Procederemos a probar la propiedad 1. Si existe el entero positivo m tal que Em es

vacıo terminamos, pues E ⊆⋃mi=1Qxi . Si tal entero no existe, entonces tenemos

un numero infinito de cubos Qxi . Como los cubos 13Qxi son ajenos por pares

y tienen centros en un conjunto acotado, se sigue que la sucesion `(Qxi)∞i=1


converge a cero. Veamos que necesariamente E ⊆⋃∞i=1Qxi . Supongamos que

existe y ∈ E \⋃∞i=1Qxi entonces y ∈ Ei para i = 1, 2, ..., y `(Qy) ≤ si para

toda i. Ademas, como si ≤ 2`(Qxi+1) y la sucesion de longitudes converge a cero

se sigue que `(Qy) = 0, lo que implica que el cubo Qy es vacıo, lo cual es una

contradiccion. Por lo tanto E ⊆⋃∞i=1Qxi .

Finalmente mostraremos la propiedad 2. Para esto, consideremos los n hiper-

planos Hi que son paralelos a los hiperplanos coordenados y pasan a traves del

punto y. Ası, podemos escribir Rn como la union de los 2n octantes abiertos Or

y los n hiperplanos Hi que tienen medida de Lebesgue cero.

Observemos que si y /∈⋃∞i=1Qxi , hemos concluido. En otro caso, afirmamos que

cada octante Or tiene una cantidad finita de puntos xj. En efecto, fijemos un

octante Or y tomemos xk0 ∈ E ∩ Or tal que Qxk0contiene a y y la distancia

de xk0 a y es la mayor posible; tal xk0 debe existir, sea D = xk : y ∈ Qxk y

tomemos M = supxk∈D

|y−xk|, el cual es acotado. Si D es finito entonces el supremo

se alcanza y terminamos. Si no, como `(Qxi) tiende a cero se sigue que la sucesion

|y − xi| tiende a cero ya que y ∈ Qxi . Ası para ε = M existe un k0 mınimo tal

que |y − xk| < M para toda k > k0; luego |y − xk| = M si 1 ≤ k ≤ k0.

Si xj es otro punto en E ∩ Or tal que Qxj contiene a y, se sigue que `(Qxk0) ≥

`(Qxj), lo que implica que xj ∈ Qxk0. Luego por una observacion previa j < k0,

por consiguiente 12`(Qxk0

) < `(Qxj). Ası todos los cubos Qxj con centro en E∩Or

que contienen al punto y tienen lados comparables con la del cubo Qxk0.

Con un argumento geometrico se tiene que existe una cantidad finita de cubos

Qxj de lados entre α y 2α que contienen al punto y y tal que 13Qxj son ajenos

por pares. En efecto, sea α = 12`(Qxk0

) y sea Qxrr∈I los cubos con la propiedad

deseada.


Ası tenemos que

αn

3n|I| ≤

∑r∈I

|13Qxr | =

∣∣∣∣⋃r∈I

1

3Qxr

∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣⋃r∈I

Qxr

∣∣∣∣ ≤ (4α)n,

donde la ultima desigualdad se tiene ya que como todos los cubos Qxr contienen

al punto y y tienen lados a lo mas 2α, entonces deben estar contenidos en un

cubo de lado 4α centrado en y.

Esta observacion muestra que |I| ≤ 12n y como hay 2n octantes Or en Rn,

concluimos que ∑i

χQxi (y) ≤ 24n.

Capıtulo 2

Funciones maximales y el

teorema de diferenciacion de

Lebesgue

En el capıtulo anterior mencionamos que los teoremas de cubrimiento son utiles

para estudiar problemas de diferenciabilidad de funciones, por lo que parte de este

segundo capıtulo estara dedicado a presentar algunos resultados en particular,

como lo es el teorema de diferenciacion de Lebesgue y el teorema de Sard.

Con el proposito de demostrar el teorema de diferenciacion de Lebesgue, dedi-

caremos la primera seccion de este capıtulo a introducir cierto tipo de funciones

maximales, las cuales a traves del analisis de sus propiedades de continuidad, nos

facilitaran la prueba de este teorema. Posteriormente presentaremos un criterio

muy util para mostrar la continuidad de operadores sublineales.

Por ultimo presentaremos una version generalizada de la funcion maximal, lo cual

nos permitira obtener un teorema de diferenciacion de Lebesgue mas general.

Para el desarrollo de este capıtulo, nos hemos basado en [2], [6], [8] y [11].

15

Capıtulo 2. Funciones maximales 16

2.1. Funcion maximal de Hardy-Littlewood

En esta primera seccion vamos a definir la funcion maximal de Hardy-Littlewood;

presentaremos tres variantes, las cuales pueden ser consultadas en [2], p. 30.

Antes de dar la definicion de la funcion maximal, vamos a recordar las definiciones

de espacio local y funcion semicontinua inferiormente.

Definicion 2.1.1. Para 1 ≤ p < ∞, se define el espacio local Lploc(Rn) como

el conjunto de todas las funciones Lebesgue medibles tales que, para todo K

compacto en Rn: ∫K

|f(x)|pdx <∞.

Definicion 2.1.2. Sea f : Rn −→ [−∞,∞] una funcion. Diremos que f es

semicontinua inferiormente si el conjunto

Eλ := x ∈ Rn : f(x) > λ

es abierto, para cada λ ∈ R.

A continuacion vamos a definir la funcion maximal de Hardy-Littlewood. Esta

funcion fue introducida en 1930 por G. Hardy y J. Littlewood para n = 1 y en

1939 por N. Wiener para n arbitraria.

Definicion 2.1.3. Sea f ∈ L1loc(Rn). Definimos la funcion maximal de Hardy-

Littlewood de f como la funcion Mf en Rn dada por

Mf(x) := supx∈Q

1

|Q|

∫Q

|f(y)|dy,

donde Q denota un cubo con lados paralelos a los ejes coordenados y el supremo

se toma sobre todos los cubos Q que contienen a x. Tambien definimos la version


centrada en bolas dada por

M cf(x) := supr>0

1

|B(x, r)|

∫B(x,r)

|f(y)|dy.

Observacion 2.1.4. Como las medidas de un cubo y una bola son comparables,

existen constantes cn y Cn que solo dependen de n, tales que

cnMcf(x) ≤Mf(x) ≤ CnM

cf(x).

Demostracion. Sea Q un cubo tal que x ∈ Q. Notemos que Q ⊂ B(x, dQ), donde

dQ denota la diagonal del cubo Q. Recordemos que por el teorema de Pitagoras

d2Q = n`2Q, con `Q la longitud de lado del cubo Q, entonces 1√ndQ = `Q. Ası, por

definicion de la medida de Lebesgue

|Q| = `nQ = ( 1√n)ndnQ y |B(x, dQ)| = cnd

nQ.

De aquı que

1

|Q|

∫Q

|f(y)|dy =1

( 1√n)ndnQ

∫Q

|f(y)|dy

≤ 1

( 1√n)ndnQ

∫B(x,dQ)

|f(y)|dy

≤ 1

( 1√n)ndnQ

cncn

∫B(x,dQ)

|f(y)|dy

=cn

( 1√n)n

1

cndnQ

∫B(x,dQ)

|f(y)|dy

=cn

( 1√n)n

1

|B(x, dQ)|

∫B(x,dQ)

|f(y)|dy

≤ cn( 1√

n)nM cf(x).

Como esto se cumple para todo cubo Q que contenga a x entonces tambien para

el supremo, por lo que Mf(x) ≤ CnMcf(x), con Cn = cn

( 1√n)n

, que es una de las

desigualdades que querıamos probar.


Por otro lado, notemos que la bola B(x, dQ) esta contenido en un cubo Qx con

`(Qx) = 2dQ. Ası, por la definicion de la medida de Lebesgue

|Qx| = `nQx = (2dQ)n.

De aquı que

1

|B(x, dQ)|

∫B(x,dQ)

|f(y)|dy =1

cndnQ

∫B(x,dQ)

|f(y)|dy

≤ 1

cndnQ

∫Qx

|f(y)|dy

=1

cndnQ

2n

2n

∫Qx

|f(y)|dy

=2n

cn

1

2ndnQ

∫Qx

|f(y)|dy

=2n

cn

1

|Qx|

∫Qx

|f(y)|dy

≤ 2n

cnMf(x).

Por lo tanto c′nMcf(x) ≤Mf(x), con c′n = cn

2n.

Con base en lo anterior, las funciones Mf y M cf se pueden intercambiar y

usaremos cualquiera de ellas cuando sea conveniente.

Notemos que se obtiene el mismo valor de Mf(x) si en la Definicion 2.1.3 sola-

mente tomamos cubos tales que x sea punto interior.

Proposicion 2.1.5. Sea f ∈ L1loc(Rn). Para x ∈ Rn, sea

M ′f(x) := supx∈P

1

|P |

∫P

|f(y)|dy

donde el supremo se toma sobre todos los cubos P tales que x es punto interior

de P. Entonces M ′f(x) = Mf(x).

Demostracion. Es claro que M ′f(x) ≤ Mf(x) pues el conjunto de cubos P

esta contenido en el conjunto de cubos Q.


Para probar la otra desigualdad, tomemos x ∈ Rn y sea Q un cubo que contiene

a x, no necesariamente en su interior. Sea Pk∞k=1 una sucesion decreciente de

cubos tales que Q ( Pk para cada k y⋂∞k=1 Pk = Q. Ası tenemos que x es punto

interior de cada Pk; ademas por el lema de Fatou

∫Q

|f(y)|dy ≤ lım infk→∞

∫Pk

|f(y)|dy

y como lımk→∞|Pk| = |Q|, entonces

1

|Q|

∫Q

|f(y)|dy ≤(

lımk→∞

1

|Pk|

)(lım infk→∞

∫Pk

|f(y)|dy)

= lım infk→∞

1

|Pk|

∫Pk

|f(y)|dy

≤M ′f(x).

Esto pasa para todo cubo Q que contiene a x, por lo que tambien para el supremo,

ası Mf(x) ≤M ′f(x) y por lo tanto Mf(x) = M ′f(x).

Enseguida presentaremos, en forma de observaciones, algunas propiedades de la

funcion maximal.

Observacion 2.1.6. La funcion maximal Mf es una funcion medible.

Demostracion. En efecto, es Borel medible. Para esto, probaremos que es semi-

continua inferiormente.

Sea Eλ = x ∈ Rn : Mf(x) > λ. Si x ∈ Eλ, por la definicion de la funcion

maximal, existe un cubo P tal que x es punto interior de P y ademas cumple

que1

|P |

∫P

|f(y)|dy > λ.

Como x es punto interior de P se tiene que existe un r > 0 tal que B(x, r) ⊂ P

y como P ⊂ Eλ, tenemos que B(x, r) ⊂ Eλ. Por lo tanto Eλ es abierto.


Para la siguiente propiedad necesitamos recordar como cambiar la integracion de

coordenadas cartesianas a coordenadas polares en Rn.

Teorema 2.1.7. Si f es Borel medible en Rn y f ≥ 0, entonces

∫Rnf(x)dx =

∫ ∞0

∫Sn−1

f(rσ)rn−1dσdr,

donde Sn−1 denota la esfera unitaria x ∈ Rn : |x| = 1.

Demostracion. Ver [4], p. 78.

Observacion 2.1.8. La funcion maximal de una funcion en L1(Rn) no necesa-

riamente esta en L1(Rn). De hecho, si Mf ∈ L1(Rn), entonces f = 0.

Demostracion. Veamos, si a > 0 y |x| > a, entonces

Mf(x) ≥ 1

|B(x, 2|x|)|

∫B(x,2|x|)

|f(y)|dy

≥ 1

|B(0, 2|x|)|

∫B(0,a)

|f(y)|dy

=c

|x|n

∫B(0,a)

|f(y)|dy.

Afirmamos que |x|−n no es integrable. En efecto, sea f(x) = |x|−n, si fuera

integrable, utilizando el Teorema 2.1.7 tendrıamos que

∞ >

∫Rn|x|−ndy ≥

∫|x|>1

|x|−ndy =

∫ ∞1

∫Sn−1

f(rσ)rn−1dσdr

=

∫ ∞1

∫Sn−1

r−nrn−1dσdr =

∫ ∞1

(∫Sn−1

dσ

)dr

r

= |Sn−1|∫ ∞1

dr

r= |Sn−1| lım

t→∞

∫ t

1

dr

r

= |Sn−1| lımt→∞

ln r∣∣∣t1

= |Sn−1|∞ =∞,

lo cual es una contradiccion.


Como |x|−n no es integrable para |x| > a, se sigue que∫B(0,a)

|f(y)|dy = 0 y como

a es arbitrario, concluimos que f = 0.

Observacion 2.1.9. La funcion maximal de una funcion en L1(Rn) no necesa-

riamente esta en L1loc(Rn). Para mostrarlo veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.1.10. Para n = 1. La funcion

f(x) =

1

xln2xsi 0 < x < 1

2,

0 en otro caso,

esta en L1(R) pero Mf(x) no esta en L1loc(R).

Demostracion. Primero probaremos que la funcion que definimos esta en L1(R).

Sabemos que

1− 1x≤ lnx ≤ x− 1, o bien, 1− x ≤ − lnx ≤ 1

x− 1

la cual es una desigualdad conocida del logaritmo. Se sigue que si 0 < x < 1

entonces (1 − x)2 ≤ (− lnx)2 ≤ ( 1x− 1)2, luego, como x > 0, tenemos que

x(1 − x)2 ≤ x(− lnx)2 ≤ x( 1x− 1)2, ası 0 < 1

x(− lnx)2≤ 1

x(1−x)2 . Como la funcion

solo toma valores en 0 < x < 12, tenemos que

0 <1

x(ln2 x)≤ 1

x(1− x)2≤ 1

x/4.

Queremos encontrar α ∈ (0, 1) y c > 0 tal que x4> cxα para 0 < x < 1

2, pues de

este modo tendrıamos

0 <1

xln2x≤ 1

x/4≤ 1

cxα,

y ademas

0 ≤∫ 1

2

0

1

xln2x≤ 1

c

∫ 12

0

x−αdx =1

c

x1−α

(1− α)

∣∣∣∣ 120

=1

c(1− α)

1

21−α <∞,


por lo cual f serıa integrable.

Notemos que para 0 < x < 12, tenemos x

4> cxα, si y solo si x > 4cxα, si y solo si

x− 4cxα > 0, si y solo si xα(x1−α − 4c) > 0, si y solo si

xα > 0 y x1−α − 4c > 0 o xα < 0 y x1−α − 4c < 0.

El segundo caso no puede ocurrir pues xα < 0 no es posible ya que x ∈ (0, 12)

y α ∈ (0, 1). Ası que necesariamente xα > 0 y x1−α − 4c > 0, lo cual equivale

a x > 0 y x > (4c)1

1−α . Como queremos que 0 < x < 12, debemos asegurar que

(4c)1

1−α < 12, pero (4c)

11−α < 1

2, si y solo si log4c(4c)

11−α < log4c

12, si y solo si

11−α < log4c

12, si y solo si α < 1− 1

log4c12

.

Entonces basta asegurar que 0 < 1− 1log4c

12

< 1, o bien, log4c12> 1. Si elegimos

0 < c < 18

tendremos lo que queremos. De aquı que, si 0 < x < 12, tomando r = x

en la definicion de Mf(x), tenemos

Mf(x) ≥ 1

2x

∫ 2x

0

f(y)dy >1

2x

∫ x

0

f(y)dy

=1

2x

∫ x

0

dy

y ln2 y

=1

2x

[−1

ln y

]∣∣∣∣x0

=−1

2x lnx.

Pero −12x lnx

no es integrable cerca de x = 0. Veamos, recordando las desigualdades

para el logaritmo, tenıamos x(1− x) ≤ −x(lnx) < x( 1x− 1).

De aquı que −1x lnx

> 1x( 1x−1) , o bien, −1

x lnx> 1

1−x . Y como∫ 1

0dx1−x =∞, se sigue que∫ 1

0−1x lnx

dx =∞. Por lo tanto Mf(x) no es integrable cerca de x = 0.


Para comprender la importancia de estas observaciones, notemos que toda fun-

cion g ∈ L1(Rn) satisface la desigualdad de Chebyshev, esto es

|x ∈ Rn : g(x) ≥ t| ≤ ‖g‖1t, 0 < t <∞.

Sin embargo, la implicacion de regreso, no es verdadera, es decir, si g es una

funcion tal que

|x ∈ Rn : g(x) ≥ t| ≥ C

t, 0 < t <∞,

no necesariamente g ∈ L1(Rn). Para esto, observemos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.1.11. Sea g(x) = |x|−n y sea t > 0, entonces

|Et| = |x ∈ Rn : |x|−n ≥ t|

= |x ∈ Rn : |x| ≤ t1n|

= (t1n )n = t,

pero por la Observacion 1.1.8 sabemos que g no es integrable.

Un caso similar ocurre con la funcion maximal de Hardy-Littlewood. Esta pro-

piedad de la funcion maximal es de gran importancia y es lo que nos ayudara a

probar el teorema de diferenciacion de Lebesgue.

Teorema 2.1.12 (Teorema de Hardy-Littlewood). Sea f ∈ L1(Rn) entonces

|x ∈ Rn : Mf(x) > t| ≤ 3n

t‖f‖1, 0 < t <∞.

Demostracion. Sea E = x ∈ Rn : Mf(x) > t y sea x ∈ E. Ası Mf(x) > t, y

de la definicion de la funcion maximal existe 0 < r < ∞, que depende de x, tal

que1

|B(x, r)|

∫B(x,r)

|f(y)|dy > t


o bien, para toda x ∈ E existe una bola B con centro en x tal que

|B(x, r)| < 1

t

∫B(x,r)

|f(y)|dy. (2.1)

Supongamos que E 6= ∅ pues de otro modo el resultado es trivial. Queremos

aplicar el teorema de cubrimiento de Vitali pero nos falta la hipotesis de que E

sea acotado, por lo cual consideraremos k ∈ N, fijo y E ∩ B(0, k) en vez de E.

Una vez que estimemos, utilizaremos propiedades de la medida de Lebesgue y

obtendremos lo deseado.

Sea F una coleccion de bolas abiertas Bk con centro en E ∩ B(0, k) y que sa-

tisfacen (2.1). Si E ∩ B(0, k) 6= ∅, por el teorema de cubrimiento de Vitali 1.1.1

existen bolas Bk1 , B

k2 , ... ∈ F tales que

(1) Bki ∩Bk

j = ∅, si i 6= j,

(2) E ∩B(0, k) ⊂⋃i 3B

ki .

Por lo cual se tiene que

|E ∩B(0, k)| ≤∑i

|3Bki | =

∑i

3n|Bki |

≤∑i

3n1

t

∫Bki

|f(y)|dy

=3n

t

∫⋃iB

ki

|f(y)|dy

≤ 3n

t

∫Rn|f(y)|dy =

3n

t‖f‖1,

donde la primera desigualdad se obtiene por (2), la igualdad por el hecho de que

|3B| = 3n|B|, la segunda desigualdad por (2.1) y la segunda igualdad por (1).


Como E =⋃k E∩B(0, k) y la sucesion de conjuntos E∩B(0, k)k es creciente,

tenemos que |E| = lımk→∞|E ∩B(0, k)| y por lo tanto |E| ≤ 3n

t‖f‖1 que era lo que

querıamos.

2.2. Teorema de diferenciacion de Lebesgue

Una desigualdad como la que probamos en el Teorema 2.1.12 tambien se conoce

como desigualdad de tipo debil (1,1); para ver la definicion formal, vease la quinta

seccion de este capıtulo. Estamos listos para probar el teorema principal del cual

hemos estado hablando desde el inicio de esta tesis.

Teorema 2.2.1 (Teorema de diferenciacion de Lebesgue). Supongamos que f ∈

L1loc(Rn). Entonces para casi toda x ∈ Rn

lımr→0

1

|B(x, r)|

∫B(x,r)

|f(y)− f(x)|dy = 0.

En particular, se sigue que para casi toda x ∈ Rn

lımr→0

1

|B(x, r)|

∫B(x,r)

f(y)dy = f(x).

Demostracion. Notemos que la segunda conclusion se tiene de manera inmediata

de la primera pues∣∣∣∣ lımr→0

1

|B(x, r)|

∫B(x,r)

f(y)dy − f(x)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ lımr→0

1

|B(x, r)|

∫B(x,r)

(f(y)− f(x))dy

∣∣∣∣≤ lım

r→0

1

|B(x, r)|

∫B(x,r)

|f(y)− f(x)|dy

= 0.

Por tanto solo nos ocuparemos de demostrar el primer resultado.


Observemos que este teorema es de caracter local, pues dado N ∈ N, si |x| ≤ N

y r ≤ 1, los valores de 1|B(x,r)|

∫B(x,r)

f(y)dy dependen solamente de las y tales

que |y| ≤ N + 1. Ası podemos suponer que f ∈ L1(Rn). Ademas, es conveniente

considerar una version local de la funcion maximal de Hardy-Littlewood, la cual

llamaremos f ∗, definida por

f ∗(x) := lım supr→0

1

|B(x, r)|

∫B(x,r)

|f(y)− f(x)|dy.

Para probar nuestro resultado principal, vamos a enunciar algunas propiedades

de la funcion f ∗ y los usaremos para demostrar que f ∗ = 0 casi en todas partes

y ası concluir el teorema.

I) f ∗ ≥ 0.

Es claro por la definicion.

II) (f + g)∗ ≤ f ∗ + g∗.

Por la desigualdad del triangulo tenemos

∫B(x,r)

|f(y) + g(y)− f(x)− g(x)|dy

≤∫B(x,r)

|f(y)− f(x)|dy +

∫B(x,r)

|g(y)− g(x)|dy.

Ahora dividiendo entre |B(x, r)| y usando el hecho de que el lımite superior

de la suma es menor o igual a la suma de los lımites superiores, se tiene lo

deseado.

III) Si g es continua en x, entonces g∗(x) = 0.

Esta propiedad se debe al teorema fundamental del calculo. Dado ε > 0,

existe δ > 0 tal que |g(y)−g(x)| ≤ ε para toda y ∈ B(x, δ). Ası, si 0 < r ≤ δ

se tiene1

|B(x, r)|

∫B(x,r)

|g(y)− g(x)|dy ≤ ε.


IV) Si g es continua en Rn entonces (f − g)∗ = f ∗.

Se sigue de las propiedades II) y III):

(f − g)∗ ≤ f ∗ + (−g)∗ = f ∗.

f ∗ = (f − g + g)∗ ≤ (f − g)∗ + g∗ = (f − g)∗.

V) f ∗ ≤Mf + |f |.

Esta es una estimacion:

1

|B(x, r)|

∫B(x,r)

|f(y)− f(x)|dy

≤ 1

|B(x, r)|

∫B(x,r)

(|f(y)|+ |f(x)|)dy

=1

|B(x, r)|

∫B(x,r)

|f(y)|dy + |f(x)|

≤Mf(x) + |f(x)|.

VI) Se tiene la siguiente desigualdad con la medida exterior de Lebesgue:

|x ∈ Rn : f ∗(x) > t|∗ ≤ 2(3n+1)t‖f‖1, con 0 < t <∞.

Esta es una consecuencia del teorema de Hardy-Littlewood y la desigualdad

de Chebyshev. Por la propiedad V tenemos que si f ∗(x) > t, entonces

Mf(x) > t2

o |f(x)| > t2. Pues en caso contrario tendrıamos que

t < f ∗(x) ≤Mf(x) + |f(x)| ≤ t

2+t

2= t,

lo cual es una contradiccion.


Por tanto

|x : f ∗(x) > t|∗ ≤ |x : Mf(x) >t

2|+ |x : |f(x)| > t

2|

≤ 3n

t/2‖f‖1 +

1

t/2‖f‖1

=2(3n + 1)

t‖f‖1.

Finalmente probaremos el teorema principal. Sea ε > 0, como Cc(Rn) es denso

en L1(Rn), existe g ∈ Cc(Rn) tal que ‖f − g‖1 ≤ ε. Ası por las propiedades IV)

y VI), tenemos que para 0 < t <∞:

|x : f ∗(x) > t|∗ = |x : (f − g)∗(x) > t|∗

≤ 2(3n + 1)

t‖f − g‖1

≤ 2(3n + 1)

tε.

Como ε es arbitrario, se sigue que |x : f ∗(x) > t|∗ = 0, por lo cual el conjunto

x : f ∗(x) > t es nulo y por tanto Lebesgue medible.

En particular los conjuntos x : f ∗(x) > 1k son nulos para toda k ∈ N.

Ası⋃∞k=1x : f ∗(x) > 1

k = x : f ∗(x) > 0 es nulo. Esto implica que f ∗(x) ≤ 0

casi en todas partes pero por la propiedad I) tenemos f ∗ = 0 casi en todas partes,

lo que concluye el teorema.

2.3. Conjunto de Lebesgue de una funcion

Recordemos que al iniciar la demostracion del teorema de diferenciacion de Le-

besgue probamos que el primer resultado implicaba el segundo, en esta seccion

vamos probar que la implicacion de regreso no es verdadera.


Definicion 2.3.1. Supongamos que f ∈ L1loc(Rn) y x ∈ Rn. Entonces diremos

que x es un punto en el conjunto de Lebesgue de f si existe un numero A tal que

lımr→0

1

|B(x, r)|

∫B(x,r)

|f(y)− A|dy = 0.

Comenzaremos haciendo algunas observaciones. Primero, notemos que no existe

mas de un numero A que cumpla la condicion. Esto se sigue de la segunda parte

del teorema de diferenciacion de Lebesgue, pues

lımr→0

1

|B(x, r)|

∫B(x,r)

f(y)dy = A.

Por lo tanto A es unico y el lımite de la izquierda existe.

Segundo, si x pertenece al conjunto de Lebesgue de f esto es independiente del

valor de f(x). En efecto, f no necesita estar definida en el punto x. Mas aun,

si f = g casi en todas partes, entonces el conjunto de Lebesgue de f es igual al

conjunto de Lebesgue de g. Por tanto el conjunto de Lebesgue esta bien definido

para cada elemento de L1loc(Rn).

Tercero, por el teorema de diferenciacion de Lebesgue, si f ∈ L1loc(Rn), entonces

casi todos los puntos de Rn pertenecen al conjunto de Lebesgue de f . Mas aun, si

f es un representante particular de la clase de equivalencia f ∈ L1loc(Rn), entonces

para casi toda x, el numero A es justo f(x). Ası f puede ser modificada en los

conjuntos de medida cero de tal manera que toda x que este en el conjunto de

Lebesgue de f satisfaga

lımr→0

1

|B(x, r)|

∫B(x,r)

|f(y)− f(x)|dy = 0.

Para ilustrar mejor lo que queremos probar, vamos a presentar un ejemplo para

el caso unidimensional.


Ejemplo 2.3.2. Sea H la funcion de Heaviside:

H(x) =

1 si x > 0,

12

si x = 0,

0 si x < 0.

Mostraremos que para toda x ∈ R

H(x) = lımr→0

1

2r

∫ x+r

x−rH(y)dy

y que 0 no esta en el conjunto de Lebesgue de H.

Demostracion. Haremos la prueba para cada caso.

Sea x > 0, observemos que podemos tomar un radio r suficientemente pequeno

tal que (x− r, x+ r) ⊂ (0,∞), ası

lımr→0

1

2r

∫ x+r

x−rH(y)dy = lım

r→0

1

2r

∫ x+r

x−r1dy = lım

r→0

1

2ry

∣∣∣∣x+rx−r

= 1 = H(x).

Analogamente, si x < 0, podemos encontrar un radio r suficientemente pequeno

tal que (x− r, x+ r) ⊂ (−∞, 0), por lo cual

lımr→0

1

2r

∫ x+r

x−rH(y)dy = lım

r→0

1

2r

∫ x+r

x−r0dy = 0 = H(x).

Ahora si x = 0, entonces

lımr→0

1

2r

∫ x+r

x−rH(y)dy = lım

r→0

1

2r

[ ∫ 0

−r0dy +

∫ r

0

1dy

]= lım

r→0

1

2ry

∣∣∣∣r0

=1

2= H(x).


Finalmente probaremos que 0 no esta en el conjunto de Lebesgue de H. Supon-

gamos que existe A tal que

lımr→0

1

2r

∫ r

−r|H(y)− A|dy = 0,

entonces

lımr→0

1

2r

[ ∫ 0

−r|0− A|dy +

∫ r

0

|1− A|dy]

= lımr→0

1

2r[|A|r + |1− A|r]

= lımr→0

1

2[|A|+ |1− A|] = 0,

lo cual implica que |A|+ |1−A| = 0, que no es posible y por tanto 0 no esta en

el conjunto de Lebesgue de H.

El uso de bolas no ha sido crucial en los resultados probados anteriormente; pudi-

mos haber utilizado cubos. Mas aun, pudimos haber utilizado algo mas general.

Definicion 2.3.3. Una sucesion de conjuntos medibles E1, E2, ... converge regu-

larmente a x si existe una constante c > 0 y una sucesion de numeros positivos

r1, r2, ... tal que

a) Ek ⊂ B(x, rk),

b) lımk→∞ rk = 0,

c) |B(x, rk)| ≤ c|Ek|.

Teorema 2.3.4. Sea f ∈ L1loc(Rn) y sea x ∈ Rn. Supongamos que x esta en el

conjunto de Lebesgue de f . Si E1, E2, ... converge regularmente a x, entonces

f(x) = lımk→∞

1

|Ek|

∫Ek

f(y)dy.


Demostracion. Observemos que∣∣∣∣ 1

|Ek|

∫Ek

f(y)dy − f(x)

∣∣∣∣ ≤ 1

|Ek|

∫Ek

|f(y)− f(x)|dy

≤ c

|B(x, rk)|

∫B(x,rk)

|f(y)− f(x)|dy,

y por el teorema de diferenciacion de Lebesgue, la parte derecha tiende a cero

cuando k tiende a infinito.

2.4. Teorema de Sard

Como una aplicacion del teorema de cubrimiento de Vitali 1.2.1, presentamos el

teorema de Sard. Para ello necesitamos probar algunos resultados previos y el

teorema de Sard surgira como un corolario inmediato.

Definicion 2.4.1. Sea A un abierto de Rn y Φ : A −→ Rn una funcion. Diremos

que Φ es diferenciable en el punto x de su dominio si existe T una matriz n× n

tal que para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si |y − x| ≤ δ entonces

|Φ(y)− Φ(x)− T (x− y)| ≤ ε|y − x|.

En tal caso, escribiremos T = Φ′(x) y tambien denotaremos J(x) = detΦ′(x).

Lema 2.4.2. Sea Φ diferenciable en x y ε > 0. Entonces existe δ > 0 tal que

para 0 < r < δ

|Φ(B(x, r))|∗ ≤ (|J(x)|+ ε)|B(x, r)|.

Demostracion. La prueba se hace en dos casos, dependiendo de si la matriz

T = Φ′(x) es o no invertible. Como la medida de Lebesgue es invariante ba-

jo traslacion, podemos asumir que x = 0 y Φ(0) = 0.


Por la existencia de la derivada, tenemos que para cada ε1 > 0 existe δ > 0 tal

que si |y| ≤ δ entonces

|Φ(y)− Ty| ≤ ε1|y|.

a) T no es invertible. En este caso J(0) = 0. Los vectores Ty deben estar con-

tenidos en un subespacio de Rn con dimension menor a n. Escogemos una

constante c tal que |Ty| ≤ c|y| para toda y ∈ Rn. Entonces para y ∈ B(0, r)

tenemos |Ty| ≤ cr. Ası, si r ≤ δ, se tiene que todos los vectores en Φ(B(0, r))

estan a una distancia ε1r de una bola en un subespacio (n − 1)-dimensional

M , con radio cr.

Podemos calcular la medida de tal conjunto pero una cota sera suficiente. La

region esta contenida en un rectangulo en el cual n − 1 lados tienen medida

2(cr + ε1r) y el otro lado 2ε1r. Por lo cual

|Φ(B(0, r))|∗ ≤ 2n(c+ ε1)n−1ε1r

n

que es menor que ε|B(0, r)| si ε1 es suficientemente pequena.

b) T es invertible. En este caso existe la matriz inversa T−1. Escogemos una

constante c tal que |T−1z| ≤ c|z| para toda z ∈ Rn. Entonces

|T−1Φ(y)− y| ≤ cε1|y|, si |y| ≤ δ.

De aquı tenemos que

|T−1Φ(y)| ≤ (1 + cε1)|y|, si |y| ≤ δ.

Esto implica que para 0 < r ≤ δ

T−1Φ(B(0, r)) ⊂ B(0, (1 + cε1)r).

Y ası por la monotonıa de la medida de Lebesgue


|T−1Φ(B(0, r)|∗ ≤ |B(0, (1 + cε1)r)| = (1 + cε1)n|B(0, r)|.

Aplicando un teorema que dice que si T es una matriz de n × n y A ⊂ Rn,

entonces

|TA|∗ = |detT ||A|∗ y |TA|∗ = |detT ||A|∗,

(ver [11], p. 76), tenemos

|Φ(B(x, r))|∗ = |detT ||T−1Φ(B(0, r))|∗

≤ |detT |(1 + cε1)n|B(0, r)|.

Finalmente, tomando ε1 suficientemente pequeno

|detT |(1 + cε1)n ≤ |detT |+ ε.

Teorema 2.4.3. Sea Ω un subconjunto abierto de Rn y Φ : Ω −→ Rn una

funcion. Supongase que Φ es diferenciable en cada punto del conjunto E ⊂ Ω

y tambien que existe una constante positiva M tal que |J(x)| ≤ M para cada

x ∈ E, donde J es el jacobiano de Φ en E. Entonces

|Φ(E)|∗ ≤M |E|∗.

Demostracion. Observemos que podemos suponer que E es acotado:

Sea Ek = E ∩ B(0, k) y supongamos que |Φ(Ek)|∗ ≤ M |Ek|∗. Como Ek ⊂ E,

usando la monotonıa de la medida exterior, tenemos |Ek|∗ ≤ |E|∗.

Ahora, como Φ(E) es la union creciente, Φ(E) =⋃∞k=1 Φ(Ek), se sigue que

|Φ(E)|∗ = lımk→∞|Φ(Ek)|∗. Por tanto

|Φ(E)|∗ = lımk→∞|Φ(Ek)|∗ ≤M lım

k→∞|Ek|∗ ≤M |E|∗.


Por lo tanto podemos asumir que E es acotado.

Sea ε > 0, entonces existe un abierto G tal que E ⊂ G ⊂ Ω y |G| ≤ |E|∗+ ε. Por

el Lema anterior, para cada x ∈ E existe una δ(x) > 0 tal que para 0 < r < δ(x)

la bola B(x, r) ⊂ G y |Φ(B(x, r))|∗ ≤ (M + ε)|B(x, r)|.

Las bolas B(x, r) con x ∈ E y 0 < r < δ(x)5

forman una coleccion de bolas F que

satisfacen la condicion de Vitali. Ası por la version infinitesimal del teorema de

cubrimiento de Vitali tenemos que existen B1, B2, ..., bolas disjuntas, en F tal

que E ⊂⋃∞i=1Bi excepto por un conjunto de medida cero.

Mas aun, la prueba asegura que para cada k ∈ N

E ⊂k−1⋃i=1

Bi ∪∞⋃i=k

5Bi.

De aquı que, aplicando propiedades de la medida exterior

|Φ(E)|∗ ≤k−1∑i=1

|Φ(Bi)|∗ +∞∑i=k

|5Bi|∗

≤k−1∑i=1

(M + ε)|Bi|+∞∑i=k

(M + ε)|5Bi|

= (M + ε)k−1∑i=1

|Bi|+ (M + ε)∞∑i=k

5n|Bi|.

Las bolas Bi son disjuntas y estan contenidas en G, ası∑∞

i=1 |Bi| ≤ |G|, haciendo

k tender a infinito obtenemos que

|Φ(E)|∗ ≤ (M + ε)|G| < (M + ε)(|E|∗ + ε).

Como ε es arbitrario, queda demostrado el teorema.

Corolario 2.4.4 (Teorema de Sard). Sea Ω un subconjunto abierto de Rn y

Φ : Ω −→ Rn una funcion. Supongase que Φ es diferenciable en cada punto del


conjunto E ⊂ Ω y que J(x) = 0 para cada x ∈ E. Entonces Φ(E) es un conjunto

de medida cero.

Demostracion. Este es un caso particular del teorema anterior en donde M = 0.

Aplicando el resultado anterior tenemos que

|Φ(E)|∗ ≤ 0|E|∗ = 0.

Por lo tanto |Φ(E)| = 0, que equivale a decir que el conjunto de valores crıticos

de Φ es un conjunto con medida cero.

2.5. Teorema de interpolacion de Marcinkiewicz

Uno de los problemas comunes en analisis puede ser planteado, aunque no de

forma muy precisa, de la siguiente manera: dado un operador T definido en un

espacio Lp y suponiendo conocidas ciertas propiedades de T como operador en

Lp y Lq con q > p, ¿como se puede deducir informacion sobre propiedades de T

como operador en Ls, para p < s < q?

Con base a esta problematica, surgen los conocidos teoremas de interpolacion.

Hasta ahora hemos probado que la funcion maximal de Hardy-Littlewood no es

continua para p = 1, si pudieramos probar algo similar para q > 1, ¿existira algun

teorema de interpolacion que nos brinde informacion sobre algunas propiedades

para 1 < p < q?.

La respuesta es afirmativa, y una propiedad que logramos conseguir es la conti-

nuidad de la funcion maximal para Lp con 1 < p < ∞, pero antes de presentar

el teorema de interpolacion de Marcinkiewicz, daremos algunas definiciones ne-

cesarias.


Definicion 2.5.1. Sea (X,µ) un espacio de medida y f : X −→ C una funcion

medible. Se llama funcion de distribucion de f asociada a µ a la funcion af :

(0,∞)→ [0,∞] dada por

af (λ) = µ(x ∈ X : |f(x)| > λ).

Proposicion 2.5.2. Sea φ : [0,∞) −→ [0,∞) una funcion diferenciable, cre-

ciente tal que φ(0) = 0. Entonces

∫X

φ(|f(x)|)dµ =

∫ ∞0

φ′(λ)af (λ)dλ.

Demostracion. Notemos que el lado izquierdo de la igualdad se puede escribir

como ∫X

φ(|f(x)|)dµ =

∫X

(∫ |f(x)|0

φ′(λ)dλ

)dµ.

Como φ′(λ) es una funcion integrable, aplicando el teorema de Fubini para cam-

biar el orden de integracion tenemos

∫X

∫ |f(x)|0

φ′(λ)dλdµ =

∫X

(∫ ∞0

φ′(λ)χ[0,|f(x)|)(λ)dλ

)dµ

=

∫ ∞0

φ′(λ)

(∫X

χx:|f(x)|>λ(λ)dµ

)dλ

=

∫ ∞0

φ′(λ)µ(x ∈ X : |f(x)| > λ)dλ

=

∫ ∞0

φ′(λ)af (λ)dλ,

de donde la segunda igualdad sale de lo siguiente: para λ > 0, χ[0,|f(x)|)(λ) = 1, si

y solo si λ < |f(x)|, si y solo si x ∈ |f |−1(λ,∞), si y solo si χy∈X:|f(y)|>λ(x) = 1.

Y por tanto se tiene lo que querıamos.

Corolario 2.5.3. Si φ(λ) = λp, con p ≥ 1 entonces

‖f‖pp = p

∫ ∞0

λp−1af (λ)dλ.


Este ultimo corolario nos sera muy util para demostrar el teorema de interpola-

cion.

Definicion 2.5.4. Un operador T de un espacio Y de funciones medibles a un

espacio de funciones medibles se llama sublineal si

|T (f + g)| ≤ |T (f)|+ |T (g)|,

|T (λf)| = |λ||T (f)|,

para todo λ ∈ C y f, g ∈ Y.

Definicion 2.5.5. Sea (Y, µ) un espacio de medida. Sea 1 ≤ p ≤ ∞ y T :

Lp(dµ) −→ M un operador sublineal, donde M denota la clase de funciones

medibles en Y.

1. Diremos que T es de tipo debil (p, q), 1 ≤ p < ∞, si existe c > 0 (que

puede depender de n o de p) tal que para toda f ∈ Lp(dµ) se tiene

µ(x ∈ Rn : |Tf(x)| > t) ≤ (c

t‖f‖p)q, t > 0.

2. Diremos que T es de tipo debil (p,∞) si T es un operador continuo (aco-

tado) de Lp(dµ) a L∞(dµ).

3. Diremos que T es de tipo fuerte (p, q) si T es acotado de Lp(dµ) a Lq(dµ).

Notemos que si el operador T es de tipo fuerte (p, q) entonces es de tipo debil

(p, q), pues por la desigualdad de Chebyshev se tiene que

tµ(x ∈ Rn : |Tf(x)| > t)1q ≤ ‖Tf‖q ≤ c‖f‖p,

o bien,

µ(x ∈ Rn : |Tf(x)| > t) ≤ (c

t‖f‖p)q.


Teorema 2.5.6 (Teorema de interpolacion de Marcinkiewicz). Sean 1 ≤ p1 <

p2 ≤ ∞ y sea T un operador sublineal definido en Lp1(dµ)+Lp2(dµ), que ademas

es de tipo debil (p1, p1) y de tipo debil (p2, p2). Entonces T es de tipo fuerte (p, p)

para toda p1 < p < p2.

Demostracion. Dado f ∈ Lp(dµ) con p1 < p < p2, definamos para cada t > 0

f1 = fχx:|f(x)|>ct

f2 = fχx:|f(x)|≤ct

donde c > 0 es una constante que escogeremos despues, de manera conveniente.

Notemos que f1 ∈ Lp1(dµ) puesto que como p1 − p < 0 tenemos

∫X

|f1|p1dµ =

∫X

|f1|p|f1|p1−pdµ ≤ (ct)p1−p∫X

|f1|pdµ <∞

donde la desigualdad se obtiene porque como |f(x)| > ct, entonces |f(x)|p1−p ≤

(ct)p1−p. Analogamente f2 ∈ Lp2(dµ) pues como p2 − p > 0 se tiene que

∫X

|f2|p2dµ =

∫X

|f2|p|f2|p2−pdµ ≤ (ct)p2−p∫X

|f2|pdµ <∞.

Ahora, como T es sublineal y f = f1 + f2 tenemos

|Tf | = |T (f1 + f2)| ≤ |Tf1|+ |Tf2|,

por lo que

µ(x : |Tf(x)| > t) ≤ µ(x : |Tf1(x)| > t

2) + µ(x : |Tf2(x)| > t

2),

o bien, en terminos de la funcion de distribucion

aTf (t) ≤ aTf1

(t

2

)+ aTf2

(t

2

). (2.2)


Por hipotesis T es de tipo debil (p1, p1) y (p2, p2) ası, para i = 1, 2 se tiene:

aTfi

(t

2

)≤(

2Ait‖fi‖pi

)pi. (2.3)

Aplicando el Corolario 2.5.3, el teorema de Fubini, (2.2) y (2.3) tenemos

‖Tf‖pp = p

∫ ∞0

tp−1aTf (t)dt

≤ p

∫ ∞0

tp−1aTf1

(t

2

)dt+ p

∫ ∞0

tp−1aTf2

(t

2

)dt

≤ p

∫ ∞0

tp−1(

2A1

t‖f1‖p1

)p1dt+ p

∫ ∞0

tp−1(

2A2

t‖f2‖p2

)p2dt

= p

∫ ∞0

tp−1−p1(2A1)p1

(∫x:|f(x)|>ct

|f(x)|p1dµ)dt

+ p

∫ ∞0

tp−1−p2(2A2)p2

(∫x:|f(x)|≤ct

|f(x)|p2dµ)dt

= 2p1Ap11 p

∫X

(∫ |f(x)|c

0

tp−1−p1dt

)|f(x)|p1dµ

+ 2p2Ap22 p

∫X

(∫ ∞|f(x)|c

tp−1−p2dt

)|f(x)|p2dµ

=2p1Ap11 p

(p− p1)cp−p1

∫X

|f(x)|p−p1|f(x)|p1dµ

+2p2Ap22 p

(p2 − p)cp−p2

∫X

|f(x)|p−p2|f(x)|p2dµ

=

(p2p1

p− p1Ap11cp−p1

+p2p2

p2 − pAp22cp−p2

)‖f‖pp.

Esto establece el teorema excepto para el caso p2 = ∞. Notemos que no se ha

elegido la constante c ası que pudimos haber tomado c = 1.

Para el caso faltante, elegimos c = 12A2

, donde A2 es la constante para la cual

se tiene ‖Tg‖∞ ≤ A2‖g‖∞ para toda g ∈ L∞. Observando que f2 ∈ L∞ y que

‖Tf2‖∞ ≤ A2‖f2‖∞ tenemos que

aTf2

(t

2

)= µ

(x : |Tf2(x)| > t

2

)= µ(x : |f2(x)| > ct) = 0,


pues si µ(B) = µ(x : |Tf2(x)| > t2) > 0, entonces para casi toda x ∈ B

t

2< |Tf2(x)| ≤ ‖Tf2‖∞ ≤ A2‖f2‖∞,

ası t2A2

< ‖f2‖∞ lo cual es imposible por definicion de f2.

Ahora utilizando el teorema de Fubini y (2.3) tenemos

‖Tf‖pp ≤ p

∫ ∞0

tp−1−p1(2A1)p1

(∫x:|f(x)|>ct

|f(x)|p1dµ)dt

= p(2A1)p1

∫X

|f(x)|p1(∫ |f(x)|

c

0

tp−1−p1dt

)dµ

=p

p− p1(2A1)

p11

cp−p1

∫X

|f(x)|pdµ

=p

p− p1(2A1)

p1(2A2)p−p1‖f‖pp,

que era lo que querıamos.

2.6. Continuidad de la funcion maximal en Lp(Rn),

1 < p <∞

Como ya mencionamos en la seccion anterior, el teorema de interpolacion de

Marcinkiewicz 2.5.6 nos proporciona un criterio muy util para demostrar la con-

tinuidad de la funcion maximal de Hardy-Littlewood en Lp(Rn), para 1 < p <∞.

Teorema 2.6.1. La funcion maximal de Hardy-Littlewood es continua en Lp(Rn),

para 1 < p <∞.

Demostracion. Probamos en la primera seccion de este capıtulo que la funcion

maximal de Hardy-Littlewood es tipo debil (1, 1).


Por otro lado, si f ∈ L∞ entonces |f(x)| ≤ ‖f‖∞ casi en todas partes. Por lo que

|M cf(x)| = supr>0

1

|B(x, r)|

∫B(x,r)

|f(y)|dy

≤ supr>0

1

|B(x, r)|

∫B(x,r)

‖f‖∞dy

= ‖f‖∞.

Como esto se tiene para toda x ∈ Rn se sigue que ‖M cf‖∞ ≤ ‖f‖∞. Ahora,

aplicando el teorema de interpolacion de Marcinkiewicz 1.5.6 concluimos que la

funcion maximal de Hardy-Littlewood es de tipo fuerte (p, p) para 1 < p <∞ y

por lo tanto continua en Lp(Rn).

2.7. Funcion maximal de Hardy-Littlewood con

peso w

Con la intencion de presentar una version mas general del teorema de diferen-

ciacion de Lebesgue vamos a mostrar una version generalizada de la funcion

maximal definida al inicio de este capıtulo.

Definicion 2.7.1. Dado un espacio de medida, un peso w es una funcion medible

y localmente integrable que toma valores en [0,∞].

Definicion 2.7.2. Para 1 ≤ p <∞:

1. Se define como Lp(w) a la familia de funciones Lebesgue medibles definidas

en Rn tales que ∫Rn|f(x)|pw(x)dx <∞.


2. Se define como Lploc(w) a la familia de clases de equivalencia de funciones

Lebesgue medibles tales que

∫K

|f(x)|pw(x)dx <∞,

para todo K ⊂ Rn compacto.

Teorema 2.7.3. La medida dµ(x) = w(x)dx es una medida de Borel regular. En

consecuencia las funciones continuas con soporte compacto Cc(Rn) son densas

en Lp(w).

Demostracion. Sea w ∈ L1loc(Rn) y denotemos w(E) =

∫Ew(x)dx, con E un

conjunto Lebesgue medible de Rn.

Primero probaremos que la medida es regular exterior. Por la regularidad de la

medida de Lebesgue para cada k ∈ N existe un abierto Gk ∈ Rn tal que E ⊂ Gk

y µ(Gk \ E) < 1k

para toda k. Sin perdida de generalidad podemos suponer que

Gk+1 ⊂ Gk (basta considerar G1, G1 ∩G2, G1 ∩G2 ∩G3, ...). Ası E ⊂⋂∞k=1Gk y

por lo monotonıa de la medida de Lebesgue, se tiene que

µ(∞⋂k=1

Gk \ E) ≤ µ(Gj \ E) <1

j.

Como esto se tiene para toda j ∈ N, se sigue que µ(⋂∞k=1Gk \ E) = 0.

1. Supongamos que w(E) <∞, en este caso podemos suponer sin perdida de

generalidad que w(G1) <∞ y por lo tanto

w(E) =

∫E

w(x)dx =

∫∞⋂k=1

(Gk∩E)

w(x)dx = w(∞⋂k=1

(Gk ∩ E))

= lımk→∞

w(Gk ∩ E) = lımk→∞

w(Gk),


lo cual muestra que w(E) = ınfw(G) : E ⊂ G,G abierto pues he-

mos encontrado una sucesion Gk de abiertos con E ⊂ Gk y tales que

lımk→∞

w(Gk) = w(E).

2. Si w(E) =∞, cualquier abierto G tal que E ⊂ G satisface w(G) =∞ y el

resultado se tiene trivialmente.

Ahora probaremos que es regular interior. Por la regularidad de la medida de

Lebesgue en Rn, para E podemos encontrar una sucesion de cerrados Fk∞k=1,

con Fk ⊂ Fk+1 ⊂ E (basta considerar F1, F1 ∪ F2, F1 ∪ F2 ∪ F3, ...), tal que

µ(E \ Fk) < 1k

para toda k ∈ N.

1. Si E es acotado, entonces Fk∞k=1 son compactos. Ademas

µ(E \∞⋃k=1

Fk) = µ(∞⋂k=1

E \ Fk) ≤ µ(E \ Fj) <1

j

para toda j ∈ N, ası µ(E \⋃∞k=1 Fk) = 0.

Por lo cual

w(E) =

∫E

w(x)dx =

∫⋃∞k=1 Fk

w(x)dx

= lımk→∞

∫Fk

w(x)dx = lımk→∞

w(Fk).

lo cual muestra que w(E) = supw(K) : K ⊂ E,K compacto pues he-

mos encontrado una sucesion Fk de compactos con Fk ⊂ E y tales que

lımk→∞

w(Fk) = w(E).

2. Si E es cualquier subconjunto Lebesgue medible, descomponemos E =⋃∞k=0Ek donde

E0 = x ∈ E : |x| < 1,

Ek = x ∈ E : 2k−1 ≤ |x| < 2k con k ≥ 1.


Ası la coleccion Ek es ajena por pares y cada conjunto de la coleccion

es acotado. De aquı que, por (a), dado ε > 0, para cada k ∈ N podemos

encontrar un compacto K(k)ε tal que K

(k)ε ⊂ Ek y

w(Ek)−ε

2k+2≤ w(K(k)

ε ) ≤ w(Ek).

a) Si w(E) <∞ entonces como

∞ > w(E) =∞∑k=0

w(Ek),

podemos hallarN ∈ N tal que∑∞

k=N+1w(Ek) <ε2. SeaK =

⋃Nk=0K

(k)ε ,

entonces K es compacto, ademas K ⊂ E pues cada Kkε ⊂ E y

w(E)− ε

2<∞∑k=0

w(Ek)−∞∑

k=N+1

w(Ek)

=N∑k=0

w(Ek)

≤N∑k=0

w(K(k)ε ) +

N∑k=0

ε

2k+2

≤ w(K) +∞∑k=0

ε

2k+2

= w(K) +ε

2.

Entonces w(E)−ε < w(K), ası w(E) = supw(K) : K ⊂ E,Kcompacto.

b) Si w(E) =∞, se procede de manera analoga, tomando en considera-

cion que∑∞

k=0w(Ek) =∞.


Definicion 2.7.4. Sea w un peso y f ∈ L1loc(w). La funcion maximal generalizada

de Hardy-Littlewood de f en el espacio L1loc(w) es la funcion M c

wf definida por

M cwf(x) := sup

r>0

1

w(Q(x, r))

∫Q(x,r)

|f(y)|w(y)dy

donde Q(x, r) es el cubo con centro en x, longitud de lado 2r con lados paralelos

a los ejes coordenados y

w(Q(x, r)) =

∫Q(x,r)

w(y)dy.

Ası como con la version normal de la funcion maximal, nos interesa conocer si la

funcion maximal generalizada es medible o si es continua en Lp para 1 ≤ p ≤ ∞.

Teorema 2.7.5. Sea f ∈ L1(w). Entonces M cwf es semicontinua inferiormente.

Demostracion. Sea r > 0 y x0 ∈ Rn. Por el Teorema de convergencia dominada

tenemos que si xn → x0 entonces

w(Q(xn, r))→ w(Q(x0, r))

y tambien que

∫Q(xn,r)

|f(y)|w(y)dy →∫Q(x0,r)

|f(y)|w(y)dy,

lo cual implica la continuidad de la funcion

x→ 1

w(Q(x, r))

∫Q(x,r)

|f(y)|w(y)dy.

Y como M cwf es el supremo de funciones continuas, obtenemos que M c

wf es

semicontinua inferiormente.

Teorema 2.7.6. La funcion maximal generalizada es de tipo debil (1, 1), (∞,∞)

y tipo fuerte (p, p), para 1 < p <∞.


Demostracion. Con un argumento similar al que dimos para la funcion maximal

sin peso, tenemos que la funcion maximal generalizada es de tipo debil (∞,∞).

Ahora, para probar que es tipo debil (1, 1), sea Eλ = x ∈ Rn : M cwf(x) > λ. Si

K es cualquier subconjunto compacto de Eλ, dado x ∈ K elegimos un cubo Qx

centrado en x tal que

1

w(Qx)

∫Qx

|f(y)|w(y)dy > λ,

o bien,1

λ

∫Qx

|f(y)|w(y)dy > w(Qx).

Aplicando el teorema de cubrimiento de Besicovitch 1.3.1, existe una coleccion a

lo mas numerable de cubos Qxjj de Qxx∈K tales que

K ⊂⋃j

Qxj

y para casi toda y ∈ Rn ∑j

χQxj (y) ≤ 24n.

Por lo cual tenemos que

w(K) ≤ w(⋃

j

Qxj

)≤∑j

w(Qxj)

≤∑j

1

λ

∫Qxj

|f(y)|w(y)dy

≤ 24n

λ

∫Rn|f(y)|w(y)dy =

24n

λ‖f‖L1(w).

Tomando el supremo sobre todos los subconjuntos compactos de Eλ y usando

la regularidad de w(x)dx, obtenemos que la funcion maximal generalizada es de

tipo debil (1, 1).


Finalmente, aplicando el teorema de interpolacion de Marcinkiewicz 2.5.6 conclui-

mos que la funcion maximal generalizada es de tipo fuerte (p, p), con 1 < p <∞,

lo que implica la continuidad en Lp(w), con 1 < p <∞.

2.8. Teorema de diferenciacion de Lebesgue con

peso w

Para finalizar este capıtulo mostraremos la version generalizada del teorema de

diferenciacion de Lebesgue.

Teorema 2.8.1. Sea f ∈ L1loc(µ) y dµ(x) = w(x)dx, entonces para µ-casi toda

x ∈ Rn se verifica

lımr→0

1

µ(Q(x, r))

∫Q(x,r)

|f(y)− f(x)|w(y)dy = 0.

Demostracion. La demostracion de este teorema sigue la misma idea del teorema

de diferenciacion sin peso.

Puesto que el resultado es de tipo local, podemos suponer que f ∈ L1(µ). Con-

sideraremos una version local de la funcion maximal de Hardy-Littlewood gene-

ralizada:

f ∗w(x) := lım supr→0

1

µ(Q(x, r)

∫Q(x,r)

|f(y)− f(x)|w(y)dy.

Observemos que

I) Es claro que f ∗w ≥ 0 por definicion.


II) (fw + gw)∗ ≤ f ∗w + g∗w.

Por la desigualdad del triangulo tenemos

∫Q(x,r)

|f(y) + g(y)− f(x)− g(x)|w(y)dy

≤∫Q(x,r)

|f(y)− f(x)|w(y)dy +

∫Q(x,r)

|g(y)− g(x)|w(y)dy.

Ahora dividiendo entre µ(Q(x, r)) y usando el hecho de que el lımite su-

perior de la suma es menor o igual a la suma de los lımites superiores, se

tiene lo deseado.

III) Si g es continua en x, entonces g∗w(x) = 0.

Esta propiedad se debe al teorema fundamental del calculo. Dado ε > 0,

existe δ > 0 tal que |g(y) − g(x)| ≤ ε para toda y ∈ B(x, δ). Ası, si

0 < r ≤ δ√n

se tiene

1

µ(Q(x, r))

∫Q(x,r)

|g(y)− g(x)|w(y)dy ≤ ε.

IV) Si g es continua en Rn entonces (fw − gw)∗ = f ∗w.

Se sigue de las propiedades II) y III):

(fw − gw)∗ ≤ f ∗w + (−gw)∗ = f ∗w.

f ∗w = (fw − gw + gw)∗ ≤ (fw − gw)∗ + g∗w = (fw − gw)∗.


V) f ∗w ≤M cwf + |f |.

Esta es una estimacion:

1

µ(Q(x, r))

∫Q(x,r)

|f(y)− f(x)|w(y)dy

≤ 1

µ(Q(x, r))

∫Q(x,r)

(|f(y)|+ |f(x)|)w(y)dy

≤ 1

µ(Q(x, r))

∫Q(x,r)

|f(y)|w(y)dy + |f(x)|

≤M cwf(x) + |f(x)|.

VI) Se tiene la siguiente desigualdad con el peso:

w(x ∈ Rn : f ∗w(x) > t) ≤ 2(24n+1)t‖f‖L1(w), con 0 < t <∞.

Esta es una consecuencia que se obtiene de la prueba de que la funcion

maximal de Hardy-Littlewood es de tipo debil (1, 1) usando el teorema de

cubrimiento de Besicovitch 1.3.1 y de la desigualdad de Chebyshev. Por la

propiedad V tenemos que si f ∗w(x) > t, entonces M cwf(x) > t

2o |f(x)| > t

2,

pues en caso contrario tendrıamos que

t < f ∗w(x) ≤M cwf(x) + |f(x)| ≤ t

2+t

2= t,

lo cual es una contradiccion. Por tanto

w(x : f ∗w(x) > t) ≤ w(x : M cwf(x) >

t

2) + w(x : |f(x)| > t

2)

≤ 24n

t/2‖f‖L1(w) +

1

t/2‖f‖L1(w)

=2(24n + 1)

t‖f‖L1(w).

Finalmente, sea ε > 0, como la medida w(x)dx es regular, tenemos que Cc(Rn)

es denso en L1(w), ası existe una funcion g ∈ Cc(Rn) tal que ‖f − g‖L1(w) ≤ ε.


Aplicando IV) y VI) tenemos que

w(x : f ∗w(x) > t) = w(x : (fw − gw)∗(x) > t)

≤ 2(24n + 1)

t‖f − g‖L1(w) ≤

2(24n + 1)

tε.

Como ε es arbitrario se sigue que w(x : f ∗w(x) > t) = 0 para toda t > 0. En

particular el conjunto x : f ∗w(x) > 1k es nulo para toda k ∈ N. De aquı

∞⋃k=1

x : f ∗w(x) >1

k = x : f ∗w(x) > 0

es nulo, por lo cual f ∗w ≤ 0 casi en todas partes. Pero de I) tenemos que f ∗w ≥ 0,

por lo tanto f ∗w = 0 µ casi en todas partes.

Capıtulo 3

Espacios de Morrey

El concepto de lo que hoy se conoce como espacio de Morrey fue introducido en

1938 por el matematico norteamericano Charles B. Morrey Jr. como parte de su

estudio sobre el comportamiento local de soluciones de ecuaciones diferenciales

parciales elıpticas de segundo orden.

En la primera seccion de este capıtulo probaremos que el espacio de Morrey

es un espacio de Banach, y la segunda seccion tendra como objetivo probar la

continuidad de la funcion maximal de Hardy-Littlewood en estos espacios.

Los topicos desarrollados en este capıtulo fueron tomados de [1], [7] y [9].

3.1. Definicion y propiedades

Definicion 3.1.1. Sea 1 ≤ q < ∞ y λ ≥ −1q. El espacio de Morrey Lq,λ(Rn) se

define como

Lq,λ := f ∈ Lqloc(Rn) : ‖f‖Lq,λ(Rn) <∞,

donde

‖f‖Lq,λ(Rn) := supa∈Rn,r>0

[1

|B(a, r)|1+λq

∫B(a,r)

|f(x)|qdx]1/q

.

53

Capıtulo 3. Espacios de Morrey 54

Notemos que en la definicion anterior pudimos haber considerado cubos en vez

de bolas ya que la medida de Lebesgue de ambos son comparables.

Observacion 3.1.2. Notemos que para ciertos valores de λ, el espacio de Morrey

no es mas que el espacio Lq.

a) Si λ = −1q

tenemos que Lq,−1q (Rn) = Lq(Rn).

b) Si λ = 0 tenemos que Lq,0(Rn) = L∞(Rn).

c) Si λ > 0 tenemos que Lq,λ(Rn) = 0.

Demostracion.

a) Si λ = −1q, de la definicion de la norma se tiene que

‖f‖Lq,− 1

q (Rn):= sup

a∈Rn,r>0

[∫B(a,r)

|f(x)|qdx] 1q

,

por lo que es claro que todo elemento de Lq(Rn) esta en Lq,−1q (Rn). Recıpro-

camente, si f ∈ Lq,−1q (Rn), tomando una sucesion de radios rii tal que

ri →∞, se tiene que para cada ri

[ ∫B(a,ri)

|f(x)|qdx] 1q

≤ ‖f‖Lq,− 1

q (Rn)<∞,

por lo que aplicando el teorema de convergencia dominada se concluye que

[ ∫Rn|f(x)|qdx

] 1q

<∞.

b) Si λ = 0, de la definicion de la norma se tiene

‖f‖Lq,0(Rn) := supa∈Rn,r>0

[1

|B(a, r)|

∫B(a,r)

|f(x)|qdx] 1q

,


ası aplicando el teorema de diferenciacion de Lebesgue 2.2.1 tenemos que

|f(x)| ≤ ‖f‖Lq,0(Rn) casi en todas partes, por lo cual f ∈ L∞(Rn). Recıproca-

mente, si f ∈ L∞(Rn)

[1

|B(a, r)|

∫B(a,r)

|f(x)|qdx] 1q

≤[

1

|B(a, r)|

∫B(a,r)

‖f‖q∞dx] 1q

= ‖f‖∞ <∞,

por lo tanto f ∈ Lq,0(Rn).

c) Si λ > 0, necesariamente f = 0. Supongamos que λ > 0 y f 6= 0, tendrıamos

que

[1

|B(a, r)|1+λq

∫B(a,r)

|f(x)|qdx] 1q

=1

rλ

[1

|B(a, r)|

∫B(a,r)

|f(x)|qdx] 1q

,

tomando el lımite cuando r → 0 en el lado derecho y aplicando el teorema de

diferenciacion de Lebesgue 2.2.1, obtendremos que

∞ > lımr→0

1

rλ

[1

|B(a, r)|

∫B(a,r)

|f(x)|qdx] 1q

= lımr→0

1

rλf(a),

lo cual no ocurre si f 6= 0. Por tanto f = 0.

En vista de las observaciones antes mencionadas y con el proposito de no repetir

los espacios Lq(Rn) solo consideraremos el caso en donde −1q< λ < 0.

Teorema 3.1.3. El espacio de Morrey Lq,λ(Rn) es un espacio de Banach para

1 ≤ q <∞ y −1q< λ < 0.

Demostracion. Sea (fj)∞j=1 una sucesion de Cauchy en Lq,λ(Rn). Ası, dado ε > 0

exite N ∈ N tal que para todo j, k > N se tiene

‖fj − fk‖Lq,λ(Rn) < ε,


esto es, para toda a ∈ Rn, para toda r > 0 y para todo j, k ≥ N

[1

|B(a, r)1+λq|

∫B(a,r)

|fj(x)− fk(x)|qdx] 1q

≤ ‖fj − fk‖Lq,λ(Rn) < ε. (3.1)

En particular si a = 0 tenemos que para toda r > 0, si j, k > N

[1

|B(0, r)1+λq|

∫B(0,r)


< ε.

De aquı que, para toda r > 0 y toda j, k > N

[ ∫B(0,r)


< εcnrn( 1q+λ).

Ası, para cada r > 0,(fj∣∣B(0,r)

)∞j=1

es una sucesion de Cauchy en Lq(B(0, r)) y

como este espacio es completo, existe una funcion, que denotaremos por fB(0,r),

en Lq(B(0, r)) tal que fj∣∣B(0,r)

converge a fB(0,r) en Lq(B(0, r)).

Ahora consideremos una sucesion creciente en (0,∞), digamos (rj)∞j=1 tal que rj

tiende a infinito y definimos f : Rn → R tal que f(x) = fB(0,rj)(x) si x ∈ B(0, rj).

Veamos que f esta bien definida:

Sea x ∈ Rn y supongamos que k > j donde x ∈ B(0, rj) ⊂ B(0, rk). Tenemos

que

fm∣∣B(0,rj)

converge a fB(0,rj) en Lq(B(0, rj)), y

fm∣∣B(0,rk)

converge a fB(0,rk) en Lq(B(0, rk)).

Y puesto que fm∣∣B(0,rj)

=(fm∣∣B(0,rk)

)∣∣B(0,rj)

, se sigue por la unicidad del lımite

en Lq(B(0, rj)) que fB(0,rj) = fB(0,rk)∣∣B(0,rj)

casi en todas partes.

Ahora, solo nos falta demostrar que fj converge a f en Lq,λ(Rn).


Sea a ∈ Rn y r > 0. Supongamos que r < ri para i ∈ N, tal queB(a, r) ⊂ B(a, ri).

Como fj∣∣B(a,r)

converge a f en Lq(B(a, r)), existe una subsucesion (fnj)∞j=1 de(

fj∣∣B(a,r)

)∞j=1

tal que fnj converge a f casi en todas partes en B(a, r).

Ası tenemos que para k ∈ N fija

[1

|B(a, r)|1+λq

∫B(a,r)

|fj(x)− f(x)|qdx] 1q

=

[1

|B(a, r)|1+λq

∫B(a,r)

lım infk→∞

|fj(x)− fnk(x)|qdx] 1q

≤ lım infk→∞

[1

|B(a, r)|1+λq

∫B(a,r)

|fj(x)− fnk(x)|qdx] 1q

≤ ε

siempre que k, j sean suficientemente grandes para que se cumpla (3.1). Por lo

que

‖fj − f‖Lq,λ(Rn ≤ ε, si j es suficientemente grande.

Por lo tanto fj − f ∈ Lq,λ(Rn), y como fj ∈ Lq,λ(Rn) se sigue que f ∈ Lq,λ(Rn)

y fj converge a f en Lq,λ(Rn) que era lo que querıamos probar.

3.2. Continuidad de la funcion maximal de Hardy-

Littlewood en los espacios de Morrey

El resultado principal que queremos probar en esta seccion es que la funcion

maximal de Hardy-Littlewood esta acotada en los espacios de Morrey, para de-

mostrar este resultado sera necesario introducir los cubos diadicos y los cubos de

Calderon-Zygmund. Ademas aprovecharemos para dar una version alternativa a

la demostracion de la desigualdad debil (1, 1) de la funcion maximal.


Definicion 3.2.1. Para k ∈ Z, sea Λk = 2−kZn, es decir, el conjunto formado

por los numeros Zn dilatados por un factor de 2−k y sea Dk el conjunto de cubos

de longitud de lados 2−k y cuyos vertices estan en Λk. Los cubos diadicos son los

cubos pertenecientes a D =∞⋃−∞

Dk.

Diremos que dos cubos Q y Q′ no se traslapan si la interseccion de sus interiores

es vacıa.

Observacion 3.2.2. Antes de continuar, es conveniente que hagamos algunas

observaciones.

1. Si Q,Q′ ∈ D y |Q′| ≤ |Q|, entonces Q′ ⊂ Q, o Q y Q′ no se traslapan.

2. Si Q ∈ Dk, entonces D es la union de 2n cubos que no se traslapan perte-

necientes a Dk+1.

3. Si tenemos una sucesion estrictamente creciente de Qjj entonces |Qj|

tiende a infinito. Ademas, cuando la sucesion de cubos es creciente y sus

medidas estan uniformemente acotadas, entonces existe un ındice k0 tal que

Qj ⊂ Qk0 para toda j < k0 y Qj = Qk0 si j ≥ k0.

Proposicion 3.2.3. Para f ∈ L1(Rn) y t > 0, existe una familia de cubos Qjjtales que:

t <1

|Qj|

∫Qj

|f(x)|dx ≤ 2nt.

Demostracion. Denotaremos por Ct a la familia de cubos Q ∈ D que satisfacen

la condicion

t <1

|Q|

∫Q

|f(x)|dx (3.2)

y son maximales entre los cubos que la satisfacen.

Con base en las observaciones anteriores, notemos que cada cubo Q ∈ D que

satisface (3.2) esta contenido en algun cubo Q′ ∈ Ct, pues la condicion (3.2) nos

da una cota superior para la medida de Q, la cual es |Q| < t−1‖f‖1.


Por definicion, los cubos en Ct no se traslapan; tambien por la maximalidad de

los cubos tenemos que si Q ∈ Dk esta en Ct y Q′ esta en Dk−1 y contiene a Q,

entonces1

|Q′|

∫Q′|f(x)|dx ≤ t.

Por otro lado, de la observacion tambien tenemos que |Q′| = 2n|Q|, por lo cual,

1

|Q|

∫Q

|f(x)|dx =2n

|Q′|

∫Q′|f(x)|dx ≤ 2nt,

y por lo tanto concluimos la proposicion.

Definicion 3.2.4. Sea f ∈ L1(Rn) y t > 0. Los cubos de Calderon-Zygmund de

f correspondientes a t, es la coleccion Ct = Qj de cubos diadicos maximales

para los cuales el promedio de |f | es mayor a t.

Haciendo uso de la Proposicion 3.2.3 vamos a probar nuevamente que la funcion

maximal de Hardy-Littlewood, que presentamos en el capıtulo 2, es de tipo debil

(1, 1).

Teorema 3.2.5. Sea f ∈ L1(Rn). Entonces para cada t > 0, el conjunto

Et = x ∈ Rn : Mf(x) > t ⊂⋃j

3Qj,

donde los Qj son cubos tales que satisfacen

1

4n<

1

|Qj|

∫Qj

|f(x)|dx ≤ t

2n,

y por lo cual se tiene que

|Et| ≤c

t

∫Rn|f(x)|dx.


Demostracion. Usaremos la version de la funcion maximal M ′f(x) en donde solo

consideramos cubos tales que x es punto interior.

Sea x ∈ Et. Por definicion existe un cubo P que contiene a x en su interior y

satisface

t <1

|P |

∫P

|f(y)|dy.

Como los numeros 2−k, con k ∈ Z forman una particion de R, existe un k ∈ Z tal

que 2−(k+1)n < |P | ≤ 2−kn. Luego, existe a lo mas un punto de Λk en el interior

de P . Ası, existe un cubo Dk y a lo mas 2n de ellos, que intersectan el interior

de P . De aquı que, existe un cubo Q ∈ Dk que se traslapa con P y satisface

∫P∩Q|f(y)|dy > t|P |

2n.

Puesto que |P | ≤ |Q| < |2P | = 2n|P |, se sigue que

∫P∩Q|f(y)|dy > t|Q|

4n,

por lo tanto1

|Q|

∫Q

|f(y)|dy > 1

|Q|

∫P∩Q

>t

4n.

Ası obtenemos que Q ⊂ Qj ∈ C4−nt para alguna j. Por la Proposicion 3.2.3

tenemos que los cubos Qj satisfacen

t

4n<

1

|Qj|

∫Qj

|f(x)|dx ≤ t

2n.

Ademas, como P y Q se traslapan y |P | < |Q| se sigue que P ⊂ 3Q ⊂ 3Qj por

lo que Et ⊂⋃j 3Qj.


Esto nos lleva a que

|Et| ≤∣∣∣∣⋃j

3Qj

∣∣∣∣ ≤∑j

|3Qj| = 3n∑j

|Qj|

≤ 3n4n

t

∑j

∫Qj

|f(y)|dy

≤ c

t‖f‖1.

que era lo que se querıa.

La siguiente desigualdad fue probada por C. Fefferman y E. Stein y sera utilizada

para demostrar la continuidad de la funcion maximal en los espacios de Morrey.

Proposicion 3.2.6. Sea φ una funcion medible y no negativa y sea f ∈ L1loc(Rn).

Entonces ∫Rn

[Mf(x)]qφ(x)dx ≤ c

∫Rn|f(x)|qMφ(x)dx. (3.3)

Demostracion. El procedimiento para probar (3.3) sera a traves del teorema de

interpolacion de Marcinkiewicz. Primero, probaremos lo siguiente:

∫x∈Rn:M ′f(x)>t

φ(x)dx ≤ c

t

∫Rn|f(x)|Mφ(x)dx.

Sin perdida de generalidad supongamos que f ≥ 0, pues como f es medible,

podemos descomponer a f(x) en

f+(x) := supf(x), 0 y f−(x) := sup−f(x), 0

donde cada una es no negativa. Luego, existe una sucesion fj∞j=1 de funciones

integrables tales que convergen a f de manera creciente casi en todas partes.

Notemos que

x ∈ Rn : M ′f(x) > t =⋃j

x ∈ Rn : M ′fj(x) > t.


En efecto, como fj ≤ f casi en todas partes, entonces M ′fj(x) ≤ M ′f(x) para

x ∈ Rn, por lo que si M ′fj(x) > t entonces M ′f(x) > t. Por otra parte, si x ∈ Rn

satisface que M ′f(x) > t, entonces existe un cubo Q tal que 1|Q|

∫Q|f(y)|dy > t;

dado que las fj convergen a f casi en todas partes y de manera creciente, se

sigue que 1|Q|

∫Q|fj(y)|dy converge a 1

|Q|

∫Q|f(y)|dy, por lo cual existe un k tal

que 1|Q|

∫Q|fk(y)|dy > t, y ası M ′fk(x) > t.

De esta forma, si cada fj satisface que

∫x∈Rn:M ′fj(x)>t

φ(x)dx ≤ c

t

∫Rn|fj(x)|Mφ(x)dx.

tendrıamos que

∫x∈Rn:M ′(x)>t

φ(x)dx = lımj→∞

∫x∈Rn:M ′fj(x)>t

φ(x)dx

≤ c

tlımj→∞

∫Rn|fj(x)|Mφ(x)dx

=c

t

∫Rn|f(x)|Mφ(x)dx

por lo cual podemos asumir que f ∈ L1(Rn).

Sea t > 0, por el Teorema 3.2.5 obtenemos una coleccion de cubos que no se

traslapan Qjj tales que

t

4n<

1

|Qj|

∫Qj

f(x)dx ≤ t

2n,

x ∈ Rn : M ′f(x) > t ⊂⋃j

3Qj.


Ası tenemos que


φ(x)dx ≤∫∪j3Qj

φ(x)dx

≤∑j

∫3Qj

φ(x)dx

=∑j

1

|3Qj|

∫3Qj

φ(x)|3Qj|dx

≤∑j

1

|3Qj|

∫3Qj

φ(x)

(3n4n

t

∫Qj

f(y)dy

)dx

=3n4n

t

∑j

∫Qj

f(y)

(1

|3Qj|

∫3Qj

φ(x)dx

)dy.

Si y ∈ Qj entonces y ∈ 3Qj, en consecuencia

Mφ(y) ≥ 1

|3Qj|

∫3Qj

φ(x)dx.

Por lo tanto


φ(x)dx ≤ 3n4n

t

∑j

∫Qj

f(y)

(1

|3Qj|

∫3Qj

φ(x)dx

)dy

≤ 3n4n

t

∑j

∫Qj

f(y)Mφ(y)dy

≤ c

t

∫Rnf(x)Mφ(x)dx,

que era lo que querıamos probar.

Consideremos los espacios Lp(Mφ(x)dx) y Lp(φ(x)dx), 1 ≤ p ≤ ∞. Lo que hemos

probado es lo siguiente:

µ(x ∈ Rn : M ′f(x) > t) ≤ c

t‖f‖L1(Mφ(x)dx)

donde dµ(x) = φ(x)dx, es decir, M es de tipo debil (1, 1) con respecto a las

medidas Mφ(x)dx (en el dominio) y φ(x)dx (en el contradominio).


Pero tambien, M es de tipo debil o fuerte (∞,∞) con respecto a estas medidas,

para esto, veamos por casos:

a) Si Mφ(x) = 0 para algun x, entonces φ(x) = 0 casi en todas partes (respecto

a la medida de Lebesgue) y ası

L∞(φ(x)dx) = L∞(Mφ(x)dx) = 0,

y concluimos.

b) Si Mφ(x) > 0 para toda x. Sea α > 0 tal que α > ‖f‖L∞(Mφ(x)dx), por lo

cual Mφ(x ∈ Rn : |f(x)| ≥ α) = 0, o bien∫x∈Rn:|f(x)|≥αMφ(x)dx = 0.

Como Mφ > 0 estrictamente, se sigue que |x ∈ Rn : |f(x)| ≥ α| = 0, lo

cual implica que |f(x)| ≤ α casi en todas partes (respecto a la medida de

Lebesgue) y entonces

Mf(x) ≤ α. (3.4)

Afirmamos que necesariamente ‖Mf‖L∞(φ(x)dx) ≤ α, pues de no ser ası tendrıamos

la existencia de un conjunto A de medida positiva respecto a (φ(x)dx) tal que

Mf(x) > α para toda x ∈ A, donde∫Aφ(x)dx > 0, lo que implica que |A| > 0

y ası Mf(x) > α para toda x ∈ A, lo cual contradice (3.4).

Hasta aquı hemos probado que para cualquier α > 0 tal que α > ‖f‖L∞(Mφ(x)dx)

se tiene

‖Mf‖L∞(φ(x)dx) ≤ α. (3.5)

Ahora tomemos una sucesion (αn)∞n=1 ⊂ R+ decreciente tal que αn > ‖f‖L∞(Mφ(x)dx)

para toda n ∈ N y αn → ‖f‖L∞(Mφ(x)dx). Por (3.5) tenemos que para toda

n ∈ N

‖Mf‖L∞(φ(x)dx) ≤ αn,


tomando el lımite cuando n→∞ se obtiene

‖Mf‖L∞(φ(x)dx) ≤ ‖f‖L∞(Mφ(x)dx).

Como ya hemos probado que es de tipo debil (1, 1) y tipo debil (∞,∞), aplicando

el teorema de interpolacion de Marcinkiewicz 2.5.6 concluimos (3.3).

Finalmente vamos probar la continuidad de la funcion maximal en los espacios

de Morrey.

Teorema 3.2.7. Sea 1 < q < ∞ y −1q< λ < 0. Entonces la funcion maximal

Mf es acotada en Lq,λ(Rn).

Demostracion. Sea f ∈ Lq,λ(Rn) y φ = χB(a,r).

De la Proposicion 3.2.6 tenemos que

∫B(a,r)

[Mf(x)]qdx =

∫Rn

[Mf(x)]qφ(x)dx

≤ c

∫Rn|f(x)|qMφ(x)dx

= c

∫B(a,2r)

|f(x)|qMφ(x)dx

+∞∑k=1

c

∫B(a,2k+1r)\B(a,2kr)

|f(x)|qMφ(x)dx.

Ahora, trataremos de acotar ambas integrales por separado. Recordemos que la

version con cubos y la version con bolas de la funcion maximal son comparables

por lo cual, para esta prueba, utilizaremos la version con bolas.

Notemos que

Mφ(x) = supρ>0

1

|B(x, ρ)|

∫B(x,ρ)

χB(a,r)(y)dy

≤ supρ>0

|B(a, r) ∩B(x, ρ)||B(x, ρ)|

≤ 1,


para toda x ∈ Rn, en particular, para x ∈ B(a, 2r), por lo que esta cota nos

servira para la primera integral.

Por otro lado, notemos que para que las bolas B(a, r) y B(x, ρ) se intersecten

cuando 2kr ≤ |x− a| < 2k+1r necesitamos que ρ > (2k+1 − 1)r, por lo cual, para

estas x tendremos que

Mφ(x) ≤ supρ>(2k+1−1)r

|B(a, r) ∩B(x, ρ)||B(x, ρ)|

≤ supρ>(2k+1−1)r

|B(a, r)||B(x, ρ)|

≤ cnrn

cn(2k+1 − 1)nrn

≤ rn

(|x− a| − r)n,

donde la ultima desigualdad se tiene ya que como |x − a| < 2k+1r se sigue que

(|x− a| − r)n < (2k+1r − r)n.

Sustituyendo estas desigualdades en la integral principal tenemos

∫B(a,r)

[Mf(x)]qdx ≤ c

∫B(a,2r)

|f(x)|qdx

+∞∑k=1

c

∫B(a,2k+1r)\B(a,2kr)

|f(x)|q rn

(|x− a| − r)ndx.

Ahora, observemos que en la primera integral hace falta el factor |B(a, 2r)|1+λq

para poder acotarlo por la norma ‖f‖qLq,λ(Rn) y para la segunda integral, hace

falta el factor |B(a, 2k+1r)|1+λq. Luego, puesto que 2kr ≤ |x − a|, tenemos que

2kr − r ≤ |x − a| − r; ademas para k ∈ N se tiene 2k−1 ≥ 2k − 1 por lo cual

1|x−a|−r <

1(2k−1)r ≤

1(2k−1)r

.


Sustituyendo nuevamente, tenemos que

∫B(a,r)

[Mf(x)]qdx ≤ c|B(a, 2r)|1+λq‖f‖qLq,λ(Rn)

+∞∑k=1

c

(2k−1)n|B(a, 2k+1r)|1+λq‖f‖q

Lq,λ(Rn)

= ‖f‖qLq,λ(Rn)

[crn(1+λq)

+∞∑k=1

c

2kn−n2(k+1)n(1+λq)rn(1+λq)

]≤ c‖f‖q

Lq,λ(Rn)rn(1+λq)

[1 +

∞∑k=1

2−kn2kn(1+λq)2n2n(1+λq)]

≤ c‖f‖qLq,λ(Rn)r

n(1+λq)

[1 +

∞∑k=1

2knλq]

≤ c‖f‖qLq,λ(Rn)|B(a, r)|1+λq,

donde la ultima desigualdad se obtiene debido a que la serie∑∞

k=1 2knλq converge

porque λq < 0 y ademas la constante c depende de n, de λ y de q.

Por ultimo, dividiendo ambos lados por el factor |B(a, r)|1+λq, se tiene que

[1

|B(a, r)|1+λq

∫B(a,r)

[Mf(x)]qdx

] 1q

≤ c‖f‖Lq,λ(Rn),

y por lo tanto, Mf es acotado en ‖f‖Lq,λ(Rn) para 1 < q <∞ y −1q< λ < 0.

Capıtulo 4

Operador de Hardy

En este capıtulo estudiaremos una generalizacion con peso del operador de Hardy-

Littlewood y mostraremos que bajo ciertas condiciones en el peso, estos opera-

dores resultan ser acotados en los espacios Lp(Rn), 1 ≤ p ≤ ∞ y los espacios de

Morrey.

El desarrollo que presentaremos en este capıtulo esta basado en material que

puede ser consultado en [1], [5], [9], [12] y [13].

4.1. Version original del operador de Hardy y

continuidad en Lp

El operador promedio de Hardy con peso fue introducido en 1984 por Carton-

Lebrun y Fosset. En esta primera seccion nos centraremos principalmente en

la version original del operador de Hardy y mostraremos que este operador es

continuo en los espacios Lp(Rn), 1 < p <∞.

69

Capıtulo 4. Operador de Hardy 70

Definicion 4.1.1. Sea ψ : [0, 1] −→ (0,∞] y f : Rn −→ R funciones medibles,

definimos el promedio de Hardy-Littlewood de f con peso ψ como la funcion

Uψf(x) :=

∫ 1

0

f(tx)ψ(t)dt.

Nos interesa clasificar las funciones ψ para las cuales el operador Uψ es acotado

en Lp para 1 ≤ p ≤ ∞.

La funcion Uψ tiene una relacion cercana al operador maximal de Hardy-Littlewood,

ya que si ψ ≡ 1 y n ≡ 1, Uψ se reduce al clasico promedio de Hardy-Littlewood

Uf(x) =1

x

∫ x

0

f(y)dy,

para x 6= 0 y en el cual hemos hecho el cambio de variable y = tx.

En 1920, Hardy logro probar la siguiente desigualdad para el operador clasico:

Teorema 4.1.2. Dada f : R+ −→ R una funcion medible, para 1 < p < ∞, se

cumple que [ ∫ ∞0

|Uf(x)|pdx] 1p

≤ p

p− 1

[ ∫ ∞0

|f(x)|pdx] 1p

, (4.1)

donde Uf(x) = 1x

∫ x0f(y)dy, x 6= 0. Ademas la constante p

p−1 es la mejor posible.

Demostracion. Por el momento, solo probaremos la desigualdad (4.1); que la

constante es la mejor posible sera una consecuencia de lo que probaremos poste-

riormente en este capıtulo.

Sin perdida de generalidad podemos suponer que f(y) ≥ 0 para toda y ∈ R+,

pues f es una funcion medible. Para evitar trivialidades supongamos que f 6= 0.

Sea F (x) = 1x

∫ x0f(t)dt, tomamos n ∈ N y definimos

fn = mınf, n y Fn(x) =

∫ x

0

fn(t)dt.


Elegimos Y0 suficientemente grande tal que las funciones f, fn, Fn no sean nulas

en (0, Y ) si Y > Y0. Ası, tenemos que

∫ Y

0

(Fn(x)

x

)pdx =

∫ Y

0

F pn(x)

d

dx

[−1

p− 1x1−p

]dx

=−1

p− 1

∫ Y

0

F pn(x)

d

dx(x1−p)dx

=−x1−pF p

n(x)

p− 1

∣∣∣∣Y0

+p

p− 1

∫ Y

0

(Fn(x)

x

)p−1fn(x)dx

≤ p

p− 1

∫ Y

0

(Fn(x)

x

)p−1fn(x)dx,

donde la tercera igualdad se obtiene ya que como Fn es continua, entonces es

Riemann integrable y podemos hacer integracion por partes. Luego, la ultima

desigualdad sale del hecho de que

−Y 1−pF pn(Y )

p− 1< 0,

y por el teorema de diferenciacion de Lebesgue 2.2.1, si x→ 0+

x

[Fn(x)

x

]p= x

[1

x

∫ x

0

fn(t)dt

]p−→ 0[fn(0)]p = 0.

Ahora, si p′ es el exponente conjugado de p, es decir, 1p

+ 1p′

= 1, aplicando la

desigualdad de Holder, tenemos

∫ Y

0

(Fn(x)

x

)pdx ≤

[p

p− 1

][ ∫ Y

0

(Fn(x)

x

)(p−1)p′

dx

] 1p′[ ∫ Y

0

fpn(x)dx

] 1p

=

[p

p− 1

][ ∫ Y

0

(Fn(x)

x

)pdx

] 1p′[ ∫ Y

0

fpn(x)dx

] 1p

.

Dado que∫ Y0

(Fn(x)x

)pdx es positivo y finito, se sigue que


[ ∫ Y

0

(Fn(x)

x

)pdx

]1− 1p′

≤ p

p− 1

[ ∫ Y

0

fpn(x)dx

] 1p

.

Como fn converge a f de manera de creciente, Fn converge a F de manera

creciente, fn ≥ 0 y Fn ≥ 0 se sigue del teorema de convergencia monotona que

∫ Y

0

fpn(x)dx −→∫ Y

0

fp(x)dx,

y ∫ Y

0

(Fn(x)

x

)pdx −→

∫ Y

0

(F (x)

x

)pdx,

cuando n→∞, por lo cual, tenemos que

[ ∫ Y

0

(F (x)

x

)pdx

] 1p

≤(

p

p− 1

)[∫ Y

0

fp(x)dx

] 1p

.

Por ultimo, haciendo Y →∞ y aplicando nuevamente el teorema de convergencia

monotona concluimos que

[ ∫ ∞0

(F (x)

x

)pdx

] 1p

≤(

p

p− 1

)[∫ ∞0

fp(x)dx

] 1p

,

que era lo que querıamos probar.

4.2. Generalizaciones del operador de Hardy y

continuidad en Lp

En la seccion anterior probamos la continuidad en Lp(R+) del promedio clasico

de Hardy-Littlewood. En esta seccion probaremos que los operadores promedio

de Hardy generalizados tambien actuan continuamente en los espacios Rn.


Comenzaremos presentando la desigualdad integral de Minkowski que sera nece-

saria para probar los teoremas siguientes, la demostracion de esta desigualdad se

dejara en el Apendice y tambien puede ser consultada en [8], p. 194.

Teorema 4.2.1 (Desigualdad Integral de Minkowski). Sean (X,M, µ) y (Y,N , ν)

espacios de medida σ-finitos y f : X × Y −→ C una funcion medible respecto a

la σ-algebra producto M⊗N .

a) Si f ≥ 0 y 1 ≤ p <∞, entonces

[ ∫ (∫f(x, y)dν(y)

)pdµ(x)

] 1p

≤∫ [ ∫

f(x, y)pdµ(x)

] 1p

dν(y). (4.2)

b) Si 1 ≤ p ≤ ∞, f(·, y) ∈ Lp(dµ) para casi toda y y la funcion y → ‖f(·, y)‖pesta en L1(dν), entonces f(x, ·) ∈ L1(ν) para casi toda x, la funcion x →∫f(x, y)dν(y) esta en Lp(µ) y∥∥∥∥∫ f(·, y)dν(y)

∥∥∥∥p

≤∫‖f(·, y)‖pdν(y). (4.3)

Demostracion. Ver Apendice A.

A continuacion presentaremos el siguiente teorema, el cual nos da una condicion

necesaria y suficiente para que el operador Uψ sea acotado en Rn.

Teorema 4.2.2. Sea ψ : [0, 1] −→ [0,∞) una funcion medible y sea 1 ≤ p ≤ ∞.

Entonces Uψ : Lp(Rn) −→ Lp(Rn) existe como operador acotado, si y solo si

∫ 1

0

t−npψ(t)dt <∞. (4.4)

Ademas, cuando (4.4) se satisface, la norma del operador Uψ en Lp(Rn) esta dada

por

‖Uψ‖Lp(Rn)→Lp(Rn) =

∫ 1

0

t−npψ(t)dt. (4.5)


Demostracion. Observemos que para p =∞,

Uψf(x) =

∫ 1

0

f(tx)ψ(t)dt ≤∫ 1

0

‖f‖L∞ψ(t)dt <∞,

por lo cual

‖Uψf‖L∞ ≤ c‖f‖L∞ ,

donde c =∫ 1

0ψ(t)dt. Ahora, solo nos falta probar el resultado para 1 ≤ p <∞.

(⇒) Supongamos que Uψ es un operador acotado en Lp(Rn), ası existe una cons-

tante c > 0 tal que para toda f ∈ Lp(Rn)

‖Uψf‖Lp(Rn) ≤ c‖f‖Lp(Rn). (4.6)

Enseguida, definamos para 1 > ε > 0 la funcion

fε(x) =

0 si |x| ≤ 1,

|x|−np−ε si |x| > 1.

Notemos que fε ∈ Lp(Rn), pues aplicando un cambio de coordenadas para inte-

grar, obtenemos que

‖fε‖pLp(Rn) =

∫|x|>1

|x|−np−εdx

=

∫ ∞1

∫Sn−1

dσr−n−pεrn−1dr

= |Sn−1|∫ ∞1

r−pε−1dr

= |Sn−1|r−ρε

−pε

∣∣∣∣∞1

=|Sn−1|pε

<∞.


Luego, el operador promedio de esta funcion esta dado por

Uψfε(x) =

∫ 1

0

fε(tx)ψ(t)dt

=

∫ 1

0

|tx|−np−εχ|tx|>1ψ(t)dt

=

0 si |x| ≤ 1,

|x|−np−ε ∫ 1

1|x|t−

np−εψ(t)dt si |x| > 1.

Como (4.6) se tiene para toda funcion en Lp(Rn), en particular, se cumple para

fε, por lo que, si tomamos δ = ε−1 > 1 tenemos

cp‖fε‖pLp(Rn) ≥ ‖Uψfε‖pLp(Rn)

=

∫|x|>1

[|x|−

np−ε∫ 1

1|x|

t−np−εψ(t)dt

]pdx

≥∫|x|>δ

[|x|−

np−ε∫ 1

1δ

t−np−εψ(t)dt

]pdx

=

[ ∫|x|>δ|x|−n−pεdx

][ ∫ 1

1δ

t−np−εψ(t)dt

]p, (4.7)

donde la ultima desigualdad se obtiene ya que si |x| > δ entonces 1|x| ≤

1δ, y la

ultima igualdad por el teorema de Fubini.

Ahora, haremos algunas observaciones para ambas integrales, notemos que ha-

ciendo el cambio de variable u = xδ

en la primera integral, obtenemos que

∫|x|>δ|x|−n−pεdx =

∫|u|>1

δ−n−pε|u|−n−pεδndu

=

∫|u|>1

δ−pε|u|−n−pεdu

= δ−pε‖fε‖Lp(Rn). (4.8)


Luego, observemos que para la segunda integral, dado que 1δ< t < 1, por la

eleccion de ε se sigue que t−ε > 1 y ası

∫ 1

1δ

t−np−εψ(t)dt ≥

∫ 1

1δ

t−npψ(t)dt. (4.9)

Sustituyendo (4.8) y (4.9) en (4.7) tenemos que

cp‖fε‖pLp(Rn) ≥ ‖fε‖pLp(Rn)

[δ−ε∫ 1

1δ

t−npψ(t)dt

]p;

puesto que todos los factores son positivos, esto a su vez implica que

cδε ≥∫ 1

1δ

t−npψ(t)dt,

esto es, en terminos de ε

cε−ε ≥∫ 1

ε

t−npψ(t)dt. (4.10)

Afirmamos que lımε→0

εε = 1. En efecto, pues lımε→0

εε = 1, si y solo si lımε→0

ln εε = 0, si

y solo si lımε→0

ε ln ε = 0, pero ya sabemos que

lımx→0

x lnx = lımx→0−(−x lnx) = − lım

x→0

[lnx

−1/x

]= − lım

x→0

1/x

1/x2= − lım

x→0x = 0,

en donde para la tercera igualdad hemos aplicado L’Hopital.

Finalmente, tomando el lımite cuando ε→ 0 en (4.10) obtenemos que

∫ 1

0

t−npψ(t)dt ≤ c.


(⇐) Supongamos que se cumple la condicion (4.4). Aplicando la desigualdad

integral de Minkowski 4.2.1 tenemos que

‖Uψf‖Lp(Rn) =

∥∥∥∥∫ 1

0

f(tx)ψ(t)dt

∥∥∥∥Lp(Rn)

≤∫ 1

0

[ ∫Rn|f(tx)|pdx

] 1p

ψ(t)dt

= ‖f‖Lp(Rn)∫ 1

0

t−npψ(t)dt <∞, (4.11)

donde en la ultima igualdad hemos hecho el cambio de variable y = tx, y por lo

tanto Uψ transforma continuamente de Lp(Rn) en Lp(Rn).

Faltar probar que efectivamente, la norma del operador esta dado por (4.5).

Notemos que en (4.11) hemos probado que

‖Uψ‖Lp(Rn)→Lp(Rn) ≤∫ 1

0

t−npψ(t)dt,

por lo que nos falta probar la otra desigualdad. Supongamos que se tiene la

desigualdad estricta, ası existe una constante k > 0 tal que

‖Uψ‖Lp(Rn)→Lp(Rn) ≤ k <

∫ 1

0

t−npψ(t)dt. (4.12)

En particular, para la funcion fε tendrıamos que

kp‖fε‖pLp(Rn) ≥ ‖Uψfε‖pLp(Rn) ≥ ‖fε‖

pLp(Rn)

[εε∫ 1

ε

t−npψ(t)dt

]p,

lo cual implica que

k ≥ εε∫ 1

ε

t−npψ(t)dt.

Tomando el lımite cuando ε→ 0, se tiene que

k ≥∫ 1

0

t−npψ(t)dt,


lo que contradice (4.12), por lo tanto se cumple (4.5).

Recordemos que quedo pendiente probar que la constante pp−1 es la mejor posible

en la desigualdad de Hardy. Aplicando (4.5) tenemos que para n = 1 y ψ ≡ 1

‖U‖Lp(R)→Lp(R) =

∫ 1

0

t−1pdt =

t−1p+1

−1p

+ 1

∣∣∣∣10

=1

1− 1p

=p

p− 1,

lo cual demuestra lo que querıamos.

4.3. Continuidad del operador de Hardy en es-

pacios de Morrey

En esta ultima seccion probaremos la continuidad del operador promedio de

Hardy en los espacios de Morrey. Ademas encontraremos condiciones necesarias

y suficientes en el peso para que el operador de Hardy sea continuo en estos

espacios.

Teorema 4.3.1. Sea ψ : [0, 1] −→ [0,∞) una funcion medible y sean 1 < q <∞

y −1q< λ < 0. Entonces Uψ es un operador acotado en Lq,λ(Rn) si y solo si

∫ 1

0

tnλψ(t)dt <∞. (4.13)

Ademas

‖Uψ‖Lq,λ(Rn)→Lq,λ(Rn) =

∫ 1

0

tnλψ(t)dt. (4.14)

Demostracion. (⇒) Supongamos que Uψ es un operador acotado en Lq,λ(Rn).

Consideremos la funcion f0(x) = |x|nλ, para x ∈ Rn. Observemos que f0 ∈

Lq,λ(Rn), para esto veamos los siguientes casos:


i) Si 2r < |a| entonces cuando |x− a| < r tendremos que

2r − r < |a| − r = |a− x+ x| − r ≤ |a− x|+ |x| − r < r + |x| − r = |x|,

esto es |x| > r, ası para −1q< λ < 0 tenemos que

1

|B(a, r)|1+λq

∫B(a,r)

|x|nλqdx ≤ 1

|B(a, r)|1+λq

∫B(a,r)

rnλqdx

=1

cnrn+nλqrnλqcnr

n = 1.

ii) Si |a| < 2r entonces B(a, r) ⊂ B(0, 3r) (ya que si |x − a| < r entonces

|x| ≤ |x− a|+ |a| < r + 2r = 3r), y por consiguiente

1

|B(a, r)|1+λq

∫B(a,r)

|x|nλqdx ≤ 1

|B(0, 3r)|1+λq

∫B(a,r)

|x|nλqdx

=1

|B(a, r)|1+λq

∫ 3r

0

(∫Sn−1

dσ

)rnλqrn−1dr

=|Sn−1|cnrnrnλq

3n(1+λq)rn(1+λq)

n(1 + λq)

=|Sn−1|3n(1+λq)

ncn(1 + λq)<∞.

Por lo tanto f0 ∈ Lq,λ(Rn).

Ahora notemos que

Uψf0(x) =

∫ 1

0

f0(tx)ψ(t)dt

=

∫ 1

0

|tx|nλψ(t)dt

= |x|nλ∫ 1

0

tnλψ(t)dt

= f0(x)

∫ 1

0

tnλψ(t)dt,


la norma del operador

‖Uψ‖Lq,λ(Rn)→Lq,λ(Rn) ≤∫ 1

0

tnλψ(t)dt. (4.16)

Por ultimo, de (4.15) y (4.16) se concluye que la norma del operador esta dada

por (4.14).

Conclusiones

Empezamos esta tesis presentando teoremas de cubrimiento que posteriormente

nos ayudaron a probar desigualdades de tipo debil para la funcion maximal de

Hardy-Littlewood. Con esta funcion probamos el teorema de diferenciacion de

Lebesgue, el cual es un resultado clasico del analisis armonico.

Posteriormente exhibimos el teorema de interpolacion de Marcinkiewicz que nos

proporciono un criterio muy util para probar la continuidad de la funcion ma-

ximal de Hardy-Littlewood tanto en los espacios Lp(Rn) como en los espacios

Lq,λ(Rn).

Para estudiar mejor los espacios de Morrey introducimos los cubos de Calderon-

Zygmund que nos permitieron probar de otra manera la desigualdad debil de la

funcion maximal. Para finalizar estudiamos el operador promedio de Hardy, el

cual para el caso unidimensional, guarda una relacion cercana al operador ma-

ximal de Hardy-Littlewood. Ademas logramos encontrar condiciones necesarias

y suficientes para asegurar el acotamiento del operador de Hardy en los espacios

Lp(Rn) y Lq,λ(Rn).

Actualmente, en el area del Analisis Armonico el estudio de los operadores pro-

medio es una lınea muy activa. Uno de los trabajos que se esta realizando es sobre

variantes del operador de Hardy, en donde se busca encontrar las condiciones para

las cuales, tales variantes sean continuas en algunos espacios de interes.

83

Apendice A

Desigualdad Integral de

Minkowski

Teorema A.0.2 (Desigualdad Integral de Minkowski). Sean (X,M, µ) y (Y,N , ν)

espacios de medida σ-finitos y f : X × Y −→ C una funcion medible respecto a

la σ-algebra producto M⊗N .

a) Si f ≥ 0 y 1 ≤ p <∞, entonces

[ ∫ (∫f(x, y)dν(y)

)pdµ(x)

] 1p

≤∫ [ ∫

f(x, y)pdµ(x)

] 1p

dν(y). (A.1)

b) Si 1 ≤ p ≤ ∞, f(·, y) ∈ Lp(dµ) para casi toda y y la funcion y → ‖f(·, y)‖pesta en L1(dν), entonces f(x, ·) ∈ L1(ν) para casi toda x, la funcion x →∫f(x, y)dν(y) esta en Lp(µ) y∥∥∥∥∫ f(·, y)dν(y)

∥∥∥∥p

≤∫‖f(·, y)‖pdν(y). (A.2)

Demostracion. La prueba que daremos aquı fue tomada de [11], p. 194.

85

Bibliografıa

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Journal of Mathematical Analysis and Applications, 262:660–666, 2001.

funciones maximales y operadores promedio.el prop osito de este primer cap tulo es presentar algunos...

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