funciones inyectiva, biyectica y sobreyectia

7/25/2019 fUNCIONES INYECTIVA, BIYECTICA Y SOBREYECTIA

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CALCULO I:

CLASES DEFUNCIONES

OREICHACCAYA,

Tulio LisonVENTURA

TACO,Michael

LLACTAORE, Eduard

FUNCIONINYECTIVA

FUNCIONSOBREY-ECTIVA

FUNCIONBIYECTIVA

CALCULO I: CLASES DE FUNCIONES

ORE ICHACCAYA, Tulio LisonVENTURA TACO, Michael

LLACTA ORE, Eduard

ING. DE SISTEMAS

Ayacucho, 22 de junio de 2016

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CALCULO I:

CLASES DEFUNCIONES

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FUNCIONBIYECTIVA

Indice

1 FUNCION INYECTIVA

2 FUNCION SOBREYECTIVA

3 FUNCION BIYECTIVA

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CALCULO I:

CLASES DEFUNCIONES

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FUNCIONINYECTIVA


FUNCIONBIYECTIVA

FUNCION INYECTIVA

Sea f : A → B una funcion. Si cada elemento Y del conjunto B es imagen de una solo elementoX del conjunto A, se dice que la funcion es unainyeccion o es inyectiva.De dicho modo:Una funcion f : A → B es una inyecion si : paratodo x1 , x2, , pertenece al conjunto de A:

i) f (x1) = f (x2) en B → x1 = x2 en Ao equivalente

ii) x1

= x2 en A

→ f (x1)

= f (x2) en B

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FUNCIONINYECTIVA


FUNCIONBIYECTIVA

La figura adjunta es una interpretacion geometrica de estadefinicion

x

y

Figur: Funcion inyectiva

1

2

3

x

1

2

3

f (x )

f A B


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OBSERVACION

1. Una funcion f : R→ R es inyectiva o univalente si una rectahorizontal intercepta a su grafica a un solo punto.

x

y


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FUNCIONBIYECTIVA

2. Una funcion f : R→ R no es inyectiva o univalente si unarecta horizontal intercepta a su grafica a dos o mas puntoscomo se muestra en la grafica

x

y

Figur: Funcion no inyectiva

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Ejemplo 01

Sea la funcion definida en R : f (x) = 3x + 2 ¿es inyectiva?Soluci´ on

Sea x1, x2 ∈ Dom(f ). Tal que:

f (x1) = 3x1 + 2 y f (x2) = 3x2 + 2Debemos probar que si f (x1) = f (x2) entonces x1 = x2.En efecto,

3x1 + 2 = 3x2 + 2

3x1 = 3x2

x1 = x2

Luego f es inyectiva

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NOTA

Cuando se trata de funciones seccionadas, esto es si:

f (x) =

f 1(x) , x

∈ Dom(f 1)

f 2(x) , x ∈ Dom(f 2)f 3(x) , x ∈ Dom(f 3)

...f n(x) , x

∈ Dom(f n)

Donde:

f = f 1 ∪ f 2 ∪ f 3 ∪ · · · ∪ f nDom(f ) = Dom(f 1) ∪Dom(f 2) ∪Dom(f 3) ∪ · · · ∪ Dom(f n)

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FUNCIONBIYECTIVA

Entonces, la funcion f es inyectiva , si y solo si:

df

i) Las funciones parciales: f 1, f 2, f 3 · · · f n son inyectivas.

ii)Ran(f 1)

∩ Ran(f 2) = ∅

Ran(f 1) ∩ Ran(f 3) = ∅

Ran(f 2) ∩ Ran(f 3) = ∅

Es decir , los rangos parciales deben ser disjuntos dos a dos

El diagrama adjunta muestra una funcion f inyectivaseccionada: f 1f 2 con dominio

x ∈ [a, b[∪[b, c[= [a, c]

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FUNCION SOBREYECTIVA

Sea la funcion f : A

→ B se llama sobreyectiva o funcion

sobreyectiva a una funcion f de un conjunto A sobre unconjunto de B cuando todos elemento de B es imagen de porlos menos un elemento de A es decir, cuando el rango oimagen es B.

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Formalmente,

f es sobreyectiva ⇔

∀y ∈ B, ∃x ∈ A/f (x) = y0

Ran(f ) = B

A

B

r

Figur: Funcion sobreyectiva

A

B

r

Figur: Funcion no sobreyectiva

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Ejemplo 01

Determinar si la funcion f : R→ R/f (x) = 2x–3 essobreyectiva.Solucion

1 Sea R (conjunto de llegada) f (x) = x2

−1

2 Despejamos x ;x = ± (y + 1)

3 Aplicando f en 2:

f (x) = f ±

(y + 1)

f (x) = ±√

y + 12

−1

f (x) = y∀y ∈ [−1, +∞[

4 Dado que el conjunto de llegada esRan(f ) = [−1, +∞[= R

Luego f no es sobreyectiva12/16

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FUNCIONBIYECTIVA

FUNCION BIYECTIVA

Se dice que una funcion f : A → B es biyectiva o es unabiyeccion si a la vez es inyectiva y sobreyectiva

Ran(f ) = B

Figur: Funcion biyectiva

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Interpretacion geometrica

A

B

r

Figur: Funcion biyectiva

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FUNCIONBIYECTIVA

Ejemplo 02

Dada la funcion f (x) = mx + n ; n, m ∈ R, m = 0.¿ f esbiyectiva?Demostracion: Debemos probar simultaneamente que f esinyectiva y sobreyectiva en efecto:

1 Sea x1, x2 ∈ Dom(f ) → f (x1) = mx1 + n yf (x2) = mx2 + n

2 Si f (x1) = f (x2) → mx1 + n = mx2 + n ⇒ x1 = x2

3 Sea y ∈ Ran(f ) = R → y = mx + n

4 Despejando x:x = y−n

m→ f (x) = f

y−n

m

→ f (x) = my−n

m

+ n.

⇒ f (x) = y , f es sobreyectiva

5 Por lo tanto de (2) y (4) queda demostrado que f es

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