funcion segmentada y otras

8/20/2019 Funcion Segmentada y Otras

1/25

ESCUELA TECNOLÓGICA

INSTITUTO TÉCNICO CENTRAL

Más de Cien ños Formando Líderes Industriales

CÁLCULO DIFERENCIAL

GUÍAS DE MATEMÁTICAS

PRIMER SEMESTRE

PROGRAMAS DE EDUCACIÓN SUPERIOR

Francisco J. Sepúlveda C.

EL INSTITUTO TÉCNICO CENTRALES UNA EMPRESA DE TODOS

UN COMPROMISO DE TODOS

POR UNA EDUCACIÓN DE CALIDAD

1905- 2008


2/25

Cálculo Diferencial. Francisco J. Sepúlveda C .

7

ESCUELA TECNOLÓGICAINSTITUTO TÉCNICO CENTRAL

TEMA 1: NÚMEROS REALES, FUNCIONES Y GRÁFICAS

INTRODUCCIÓN

El Cálculo se basa en el sistema de los números reales y sus propiedades. Pero, ¿cuáles sonlos números reales y sus propiedades? Respondamos a esta pregunta, comenzando conalgunos sistemas numéricos más simples.

Al principio, el hombre solo requería medir y contar, para ello utilizaba los númerosnaturales, que se representan y definen así: N = }{ ,...4,3,2,1,0 . Con estos números secomienza en el Pre-escolar y Primaria a contar libros, frutas, compañeros de curso, dinero.Si a estos números se les agrega los inversos aditivos de los números naturales diferentes decero, se obtiene el conjunto de los enteros, que se definen así: Z =

}{ ,...4,3,2,1,0,1,2,3,4,..., −−−− .

Cuando se trata de medir: longitudes, pesos o voltajes, los enteros son inadecuados, no permiten precisión, por estar tan espaciados. Es necesaria ampliar este conjunto. Se llega aconsiderar cocientes (razones) de los enteros, como números tales como:

3

1

5

25,

2

8,

8

7,

4

3 y−

−. Es te conjunto de números se llaman racionales, y se definen así:

Q = }⎩⎨

⎧≠∈=

0,,,/q Z q p

q

p x x

. Es decir, todo número , que pueda expresarse como elcociente de dos enteros es un número racional. Luego son racionales: los númerosnaturales, los números enteros, los números decimales con cifra decimal finita y losnúmeros decimales con cifra decimal infinita periódica.

¿Sirven los números racionales para medir todas las longitudes? No. Para los griegos 2 era un número inconmensurable, sin embargo fueron los Pitagóricos que descubrieronalgunos siglos antes de Cristo que si se construye un triángulo rectángulo isósceles cuyos

catetos miden 1 unidad, la hipotenusa mide 2 unidades. Este número no puede expresarsecomo el cociente de dos números enteros, tiene cifra decimal infinita no periódica.

( ...7309504142135623.12 ≈ Todos los números que tiene cifra decimal infinita no periódica se llaman irracionales y se representan por I = Q!. Son irracionales: 3 ,

e,,7,5 3 π y gran cantidad de números más.

La unión de todos los números racionales y todos los números irracionales corresponde alos números reales que se denotan así: I Q R ∪= . Los reales se representan en una recta,llamada recta real. En ella, a cada punto, le corresponde un número real, y todo número realtiene su ubicación en la recta. Por ello se afirma que la RECTA REAL ES COMPLETA, nisobran números que no estén ubicados en la recta en la recta, ni sobran puntos de la rectadonde no hallan números.


3/25


8

En resumen , N es un subconjunto de Z, Z es subconjunto de Q y Q es subconjunto de R. Iy Q son conjuntos disyuntos, pero I es también subconjunto de R. Es decir:

R I Q R I RQ Z N =∪⊂⊂⊂⊂ ,, .

La recta real.

El conjunto de números reales se puede representar mediante los puntos de una rectahorizontal, que se denomina recta real, donde a cada punto le corresponde un único númeroreal. Al número real correspondiente a un punto particular de la recta se le denominacoordenada del punto.

Desigualdades.Dados dos números reales a, entonces: a < b si y solo si b – a es positivaa = b si y solo si a – b = 0a > b si y solo si a – b es positiva

Propiedades.Si m, n ∈ R, tal que m > n, entonces m + c > n + c para todo c ∈ R.Si m, n ∈ R, y m < n, entonces:

mc < nc, si c> 0 y mc > nc, si c< 0

c

m<

c

n, si c > 0 y

c

m>

c

n, si c < 0

IntervalosUn intervalo es un subconjunto de la recta real.

Clases de intervalosEn general, si a y b son números reales, tales que a < b, entonces:Intervalo abierto: ( a , b ) = { a xb x R x >∧


4/25


9

EJERCICIOS PROPUESTOS

I. Utilizando la notación de intervalos y la notación conjuntista, encontrar en cada uno de

los siguientes ejercicios el conjunto correspondiente y representarlo gráficamente.

1. [ ] [ ]6,27,3 ∪− 2. [ ] [ [10,34,2 ∪ 3. [ ][ ]1,73,0 −∪ 4. [ ] [ ]7,36,2 −− 5. [ ] [ ]10,39,6 ∩ 6. ] [ [ ]5,01.3,2 −∞− ∩

7. ] ] ] [∞∆− ,25,01.38. [ [ ] ]02.6,1.122.2,21.8 −−−−

9. }{ }{ 1/23/


5/25


10

INECUACIONES

Una inecuación es una desigualdad que se satisface para determinados valores reales de lacantidad desconocida llamada incógnita.

Solución de inecuaciones de Primer Grado. Ejemplo:Halle el conjunto solución de la inecuación: 2 + 3x < 5x + 8

2 + 3x < 5x + 82 + 3x – 2 – 5x < 5x + 8 – 5x – 2

- 2x < 6

2

6

2

2

−>

−

− x

x > -3Luego el conjunto solución es: S = ( ) }{ 3/,3 −>∈=∞− x R x

Solución de inecuaciones simultáneas de Primer Grado. Ejemplo.Halle el conjunto solución de la inecuación: 4 < 3x – 2 ≤ 10

4 < 3x – 2 ≤ 104 + 2 < 3x – 2 + 2 ≤ 10 + 2

6 < 3x ≤ 122 < x ≤ 4

Luego el conjunto solución es: S = ( ]=4,2 }{ 42/ ≤ 0x2 + 2x – 3 > 0

(x + 3) ( x – 1) > 0Como el producto de los dos factores es positivo, entonces por propiedades del producto se tieneque:x + 3 > 0, y, x – 1 > 0, de donde x > -3 y x > 1, o , x + 3 < 0, y, x – 1 < 0, de donde x < -3 y x < 1El conjunto solución se halla mediante la operación:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }1,,3/,13,3,,11,3,,1,3 >−


6/25


11

2,,02

32−≠≥

+

+ xdonde

x

x

Como el cociente es positivo, entonces por propiedades del cociente se tiene que:2x + 3 ≥ 0 , y, x + 2 ≥ 0, o, 2x + 3 ≤ 0 , y, x + 2 ≤ 0El conjunto solución se halla mediante la operación:

x ≥ -2

3, y, x > -2, x ≤ -

2

3, y, x < -2

De esta manera, el conjunto solución está dado por el intervalo: S = (-∞ ,-2) ⎟ ⎠

⎞⎢⎣

⎡∞−∪ ,

2

3=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

≥−+−

−<

+

−>−

≤−+

( )( )( )

( )

04

31:20

0127

5:19

12

1

22

3:18

1:º17

0152:º1632

1

:15

4

35:º14

7332:13

4923:º12

353:º11

2

2

2

23

2

>−

+−

≤+−

+

+<

−

+>+

>−++

+≥−

+


7/25


12

VALOR ABSOLUTO

El VALOR ABSOLUTO se define como:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∈

0

00

0,

,

xsi x

xsi

xsi x

x R xPara

Propiedades del valor absolutoPara todo x, y ∈R, se tiene:

Ra paraa xoa xsisolo ysia x

a paraa xasisolo ysia x

y

x

y

x

xy y x

x x

xsisolo ysi x

x

∈≥−≤≥

>≤≤−≤

=

=

−=

==

≥

,.7

0,.6

.5

.4

.3

00.2

0.1

Ecuaciones con valor absolutoDetermine los valores de x que satisfacen la ecuación: 452 =− x

Solución: 2x – 5 = 4, o, 2x – 5 = - 4

2x = 9, o, 2x = 1

x =2

9, o, x =

2

1

El conjunto solución es S =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2

1,

2

9

Inecuaciones con valor absolutoDetermine el conjunto solución de la inecuación: 856 ≤+ x

Solución: 856 ≤+ x

8568 ≤+≤− x , resolviendo esta inecuación simultánea, obtenemos5855658 −≤−+≤−− x 3613 ≤≤− x

2

1

6

13≤≤− x .

Entonces, el conjunto solución es: S =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≤≤−∈=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

2

1

6

13/

2

1,

6

13 x R x

Resolver la inecuación: 963 >+ x

Solución: 963 >+ x


8/25


13

Aplicando propiedades, se tiene que:3x + 6 < -9, o, 3x + 6 > 93x < -15, o, 3x > 3

x < -5, o, x > 1Luego, el conjunto solución es: S = ( ) ( ) { }1,,5/,15, >−

−≥−

≥−

>−

≥−

≥−

≤−

>+

+


9/25


14

CONCEPTO DE FUNCIÓN

Los objetos fundamentales con que tratamos en el Cálculo son funciones. En esta guíase prepara el camino para el Cálculo al analizar las ideas básicas de las funciones:concepto, dominio y rango; sus gráficas y las maneras transformarlas y combinarlas.

Una función se puede representar de diferentes modos: mediante una ecuación, en unatabla, con una gráfica o con palabras. Analizaremos los tipos principales de funcionesque se presentan en el Cálculo y describiremos el proceso de usarlas como modelosmatemáticos de fenómenos del mundo real.

Iniciemos con el concepto.

Piense en una función como en una máquina, una máquina de calcular. Ésta toma unnúmero (la entrada) y produce un resultado (la salida). A cada número en la entrada lecorresponde un único número como salida, pero puede suceder que varios valoresdiferentes de entrada den el mismo valor de salida. Una definición de función más

formal es la siguiente:

Una función f definida de A en B, (f: A→B) es una correspondencia que asigna a cadaelemento x∈A, un único elemento y∈B

El elemento y∈B es el valor de x al aplicarle f y se denota por f(x), que es la imagen dexEl conjunto A es el dominio de la función y el conjunto B es el codominio de la función.El rango o recorrido de la función es un subconjunto de B formado por todos los y =f(x)

Ejemplo: Halle el dominio y el rango de la función: f(x) =1

1

− x

Solución. El dominio lo determinamos identificando los valores que puede tomar lavariable independiente x. El denominador tiene que ser diferente de 0 y x – 1 debe sermayor que cero. Entonces: Como x – 1 > 0, implica que x > 1Luego, el dominio de la función es: D [ ])( x f = ( ) { }1/,1 >∈=∞ x R x

Para hallar el rango, despejamos x en la ecuación y =1

1

− xy analizamos los valores

que puede tomar la variable dependiente y.Como y =

1

1

− x, entonces y2 =

1

1

− x

Despejamos x mediante procesos algebraicos y llegamos a x =2

21

y

y+

Como el denominador debe ser diferente de cero y además y no es negativo, entonces elrango de la función es: R [ ] ( ) { }0/,0)( >∈=∞= y R y x f

TIPOS DE FUNCIONES REALESLos tipos de funciones reales más comunes son:


10/25


15

- Funciones polinómicas- Funciones racionales- Funciones trascendentes- Funciones especiales

1. FUNCIONES POLINÓMICAS

Definición: Una función polinómica es una función de la forma:f(x) = anx

n + an-1xn-1 + an-2x

n-2 + … + a2x2 + ax + a0, con n

+∈ Z y x R∈

Las funciones polinómicas más usadas son:a. Función lineal

b. Función cuadráticac. Función cúbica.a. Función lineal. Toda función de la forma y = f(x) = mx + b, donde m y b son

números reales, es una función lineal y su representación gráfica es una línea

recta.

Cuando m = 0, entonces y = f(x) = b recibe el nombre de función constante cuyarepresentación también es una línea recta paralela al eje x.

b. Función cuadrática. Toda función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b, cson constantes, a≠ 0, es una función cuadrática y su representación es una

parábola.Ejemplo de aplicación: El perímetro de un rectángulo es de 6 cm. Halle: El áreaen función de x y el área del rectángulo cuando x = 2 cm

Solución: El área del rectángulo : A = xyPerímetro del rectángulo: 2x + 2y = 6Despejando y se tiene: y = 3 – xRemplazamos y en la ecuación del área: A(x) = x(3 – x) = 3x – x2.Luego A(x) = 3x – x2 A(2) = 3(2) – 22 = 6 – 4 = 2 cm2. Luego el área del rectángulo cuando x = 2 es2 cm2

c. Función cúbica. Toda función de la forma f(x) =ax3 + bx2 + cx + d, donde a, b, c,d son constantes, a≠ 0, es una función cúbica


I. Encuentre los valores propuestos en cada una de las siguientes funciones:

1. Si f(x) = 3x2+5, halle f(-1), f(0), f(2), f(a), f(a+b)2. Si h(x) = 3, halle h(-2), h(-1), h(-1/2), h(0), h(a)

3. Si m(x) =12

43

+

−

x

x, halle m(-4/3), m(0), m(4/3), m(2), m(a2)

4. Si W(x) = 2− x , halle W(2), W(18), W(11), W(0), W(a)

5. Si S(x) = Sen(x), halle Sen(π

/6), Sen(π

/4), Sen(π

/3), Sen(-π

/6), Sen(2π

/3)


11/25


16

II. Dadas las siguientes imágenes, encuentre los valores de “x” correspondientes al

valor de la función dada.

1. f(x) = 2, con f(x) = 3x -2; 2. m(x) = 0, con m(x) = x2 +10x +2 3. S(x) = 2, con S(x)

= x2-6x+11 4. G(x) = 5, con G(x) = 3+ x 5. C(x) =23 , con C(x) = Cos(x)

III. Determine el dominio y el rango de cada función. Trace la gráfica1. h(x) = 3 2. g(x) = 5x - 2 3. f(x) = 3x2 + 4x + 1 4. F(x) = x3 + 2 5. f(x) = -(x +

1)2

IV. Aplicaciones.

1.El número Q de litros de agua que hay en un estanque, t minutos después de haber

empezado a vaciarlo, está dado por: Q(t) = 200(30 – t)

2

a. Halle Q cuando t = 0. ¿Cómo se interpreta el valor? b. ¿Al cabo de cuánto tiempo el estanque está vacío?c. Represente gráficamente la función Q

2. Una pista de una milla tiene lados paralelos y extremos semicirculares iguales.Encuentre una fórmula para el área encerrada por la pista, A(d), en términos deldiámetro de los semicírculos d. ¿Cuál es el dominio natural de esta función?

3. Un cilindro circular recto de radio r está inscrito en una esfera de radio 2r. Encuentreuna fórmula para V(r), el volumen del cilindro , en términos de r.

2. FUNCIONES RACIONALES

Si f(x) y g(x) son funciones polinómicas, entonces h(x) = 0)(,)(

)(≠ xg

xg

x f representa

una función racional cuyo dominio son los números reales, excepto aquellos puntosdonde g(x) se hace igual a cero.

Ejemplo. Dada la función racional f(x) =4

2

−

+

x

x, halle:

a. Dominio, rango e interfectos b. Asíntotas, si existenc. Gráfica

Solucióna. Dominio: Para hallar el dominio analizamos los valores de x para los cuales la

función está definida. En este caso x – 4 ≠ 0, es decir, x≠ 4. Por tanto D(f(x)) =R - { }4

Rango: Si y =4

2

−

+

x

x, podemos despejar x de la siguiente manera:

y (x – 4) = x + 2; xy – 4y = x + 2; xy – 4y – x = 2; xy – x = 4y + 2; x ( y – 1)= 4y + 2;


12/25


17

x = 1;1

24≠

−

+ y

y

y. Por tanto, R(f(x)) = R - { }1

Intersectos: Si hacemos x = 0, encontramos los intersectos sobre el eje y.Entonces, si

x = 0, y = - 2

1. Si hacemos y = 0, entonces 4

2

−

+

x

x

= 0, de donde x = -2.

Luego los puntos ( )0,2,,2

1,0 −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ − y son los intersectos sobre el eje y y el eje x

respectivamente.

b. Asíntotas: Si tabulamos la función para valores cercanos a 4, obtenemosX 3,9 3,99 3,999 X 4,1 4,01 4,001Y -59 -599 -5999 Y 61 601 6001

Observamos que cuando x “se acerca a” 4 por la izquierda, las imágenes “seacercan a” -∞

y cuando x “se acerca a” 4 por la derecha, la función “se acerca a” ∞ . Por tanto podemos concluir que x = 4 es una asíntota vertical de la función.

Si tabulamos valores de x cada vez más grandes (“x se acerca a ∞ ”) o cada vez más pequeños (“x se acerca a - ∞ ”), vemos que las imágenes “se van acercando” a 1. Estosignifica que la recta y = 1 es una asíntota horizontal.

c. Gráfica:


13/25


18

3. FUNCIONES TRASCENDENTES

Llamamos funciones trascendentes, a las funciones: trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

Dentro de este tipo de funciones reales se encuentran:

a. Las funciones trigonométricas b. Las funciones exponencialesc. Las funciones logarítmicas

Función ExponencialSi “a” es cualquier número real positivo diferente de 1, entonces f es una función exponencial de

base “a”, si y solo si: f: ,,/),( R xa y y x x ∈= o f(x) = ax

La función exponencial natural, es aquella función que tiene como base el número irracional e= 2,71828…o sea la función denotada por: f(x) = ex

Función logarítmicaEl logaritmo de un número positivo n, en la base “a”; con a diferente de 1, es el exponente al quedebemos elevar la base para obtener n.

Simbólicamente, si n y a son números positivos y a ≠ 1, entonces logan = x, si y solo si ax = n

La función f: R + → R, definida como f(x) = logax, se llama función logarítmica.La función f: R +→R, definida como f(x) = logex = ln x , se llama función logarítmica natural

Ejemplo:Observe las gráficas de las funciones: f(x) = ex; y = x; f(x) = ln x


14/25


19

La gráfica de la función exponencial f(x) = ex y la gráfica de la función logaritmo natural f(x) =ln x , son simétricas respecto a la recta y = x.


I. Analice el dominio, el rango y la gráfica de cada una de las siguientes funciones:

1. R(x) =1

1

+

−

x

x 2. f(x) =

2

3

−

+

x

x 3. g(x) =

2

42

+

+

x

x 4. h(x) =

1

12

+

−

x

x 5.

F(x) = 3x 6. f(x) = ex+1 7. H(x) = ex-1 8. F(x) = - ex 9. h(x) = log2 2+ x 10.

F(x) = Sen(x); 11. F(x) = 2Cos(x) 12. G(x) = Sen(x+ )2

π

II. Exprese en forma logarítmica:

1. a5 = m 2. 24 = 16 3. m 21

= c 4. en = y 5. e 21

= 1,6487

III. Escriba en forma exponencial:

1. log5625 = m 2. logt35 = a 3. logm343 = 3 4. logy125 = x 5. lnen = m

PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN

En cada una de las preguntas marque la respuesta que considere correcta.

1º Sea f(x) = x

x

2

2+. Considere las siguientes afirmaciones:

I. f(x) = 0 solo si x = -2

II. f(x+1) = f(x) + f( )2

1

III. f(3x) = 3f(x)IV. Si f(x) = 1, entonces x = 2

De las anteriores afirmaciones son verdaderasa. I y III

b. II y IVc. II y IIId. I y IV

2º Si f(x) = 20 + x – x2 y f(a) = 8, entonces “a” es igual a:a. -4 o 3

b. -3 o 4c. 2 o 5d. -2 o -5

3º Las funciones f y g están definidas por f(x) = x2 – 4, g(x) = x4 – 18x2 + 81. Los

valores de x para los cuales no está definida la función )( xg

f

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ son:

a. 3 y 2


15/25


20

b. 3 y -1c. 3 y -3d. 2 y -2

4º Sea f(x) = 2

62

+

−−

x

x x

. Considere las siguientes afirmaciones:I. El dominio de la función son los reales diferentes de -2II. El rango de la función son los reales diferentes de -5III. y = -5 es una asíntota horizontalIV. x = -2 es una asíntota vertical

De las anteriores afirmaciones, son verdaderas:a. I y II

b. III y IVc. I y IIId. II y IV

5º Un tanque puede llenarse en 4 horas por dos llaves y en 216 por la primera de las dos

llaves. Si abrimos únicamente la segunda llave, podemos afirmar que el tanque sellenaría en:

a. 10 horas 15 minutos b. 10horas 24 minutosc. 10 horas 30 minutosd. 10 horas 45 minutos

6º Dos estudiantes gastan, el uno los7

3 de sus ahorros, el otro

3

1 de sus ahorros. La

suma de lo que les queda es $ 70 000 y la diferencia de sus gastos es $ 15 000. Si “x”representa los ahorros del primer estudiante y “y” los ahorros del segundo estudiante;

para saber cuánto tenía ahorrado cada uno de los dos estudiantes, se debe resolver elsiguiente sistema:

a.⎩⎨⎧

=−

=+

31500079

14700001412

y x

y x b.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

=+

150003

1

7

3

700003

2

7

4

y x

x y

c.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

=+

150003

1

7

3

700003

2

7

4

x y

y x d.

⎩⎨⎧

=−

=+

31500097

14700001412

y x

y x

7º Dos botes viajan en ángulo recto después de partir de un mismo muelle y a la mismahora. Después de 1 hora, los botes se encuentran separados 13 millas. Si uno viaja 7millas más rápido que el otro, podemos afirmar que el bote más rápido viaja a:

a. 13 millas por hora b. 12 millas por horac. 11 millas por horad. 10 millas por hora

Con base en las funciones f(x) = x y g(x) = 42 − x , responda las preguntas 8 a 10


16/25


21

8º El dominio de f [ ])( xg es el intervalo:a. ( -4, 4 )

b. (- 2, 2 )c. ( ] [ )∞∪−∞− ,22, d. ( ] [ )∞∩−∞− ,22,

9º El rango de la función f [ ])( xg es el intervalo:a. ( -4 , 4 ) b. ( )0,∞− c. ( ]0,∞− d. [ )∞,0

10º El rango de la función –f(x) es el intervalo:a. ( -4, 4 )

b. ( ]0,∞− c. [ )∞,0d. ( )0,∞−

4. FUNCIONES ESPECIALES Funciones especialesDentro de este grupo de funciones dedicaremos nuestra atención a:

a. Función valor absoluto b. Función parte enterac. Función por partes o función segmentada o función a trozos

a. La función Valor Absoluto tiene la característica de que la imagen de cada número real es un

número positivo. F(x) =⎩⎨⎧


17/25


22

b. La función Parte Entera se define como f(x) = [ ] x = a, donde a≤ x


18/25


23

c. Función Segmentada es aquella función cuyo dominio está dividido en intervalos y en cada unode ellos la función se define de forma diferente.

Ejemplo: F(x) =⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤≤−−<

22

2222

2

xsi

xsi x

xsi x

FUNCIONES INVERSASUna función es inyectiva o uno a uno si y solo si cada elemento del rango es imagen deuno y solo un elemento del dominio. Simbólicamente: f: A→B es inyectiva si f(x1) =f(x2), entonces x1 = x2 para todo x1, x2∈A

Una función es sobre o sobreyectiva si y solo el codominio es igual al rango.

Si una función F(x) es uno a uno y sobre decimos que es Biyectiva, y si es Biyectiva decimos que tiene inversa.

Si f : A→B es una función Biyectiva, entonces definimos su inversa como f -1: B→A,tal quef -1(y) = x si y solo si f(x) = y



19/25


24

I. Analice dominio, rango y gráfica de cada una de las siguientes funciones:

1. f(x) = 2+ x 2. 2)( −= x x f 3. g(x) = [ ] 1+ x 4. P(x) = [ ] x2 ;

5. F(x) = ⎪⎩

⎪

⎨

⎧

0100

01

xsi xsi

xsi

6. ⎪⎩

⎪

⎨

⎧

>≤≤−

−<

=23

22

22

)(2

xsi xsi x

xsi x

xG

II. Determine si la función dada tiene inversa; en caso afirmativo, escríbala. Dibuje lafunción y su inversa.

1. f(x) = x+1, F: R R→ ; 2. h(x) = 1-x2; h: [ ) ( ]1,,0 ∞−→∞

3. S(x) = 103 − x , S: [ )∞→⎟ ⎠

⎞⎢⎣

⎡∞ ,0,

3

10 4. W(x) = [ ] [ ]1,01,0:,1 2 →− W x

5. Q(x) = { } { }30:;43

−→−

− R RQ x

x

III. Analice cuáles de las siguientes funciones son: a. Inyectivas, b. Sobreyectivas;c. Biyectivas.

1. f: R R→ 2. s: R + R→ , 3. z: [ ] 1,01,0 →

f(x) =2

x s(x) =

1

1

+ x z(x) = x2

4. E: R R→ 5. m : N→ NE(x) = x3 m(x) = x2 + x + 1

IV. Dadas las siguientes funciones, elaborar la gráfica, especificar el tipo de función,

hallar el dominio, el rango y determinar dónde es creciente o decreciente.

V. Aplicaciones

23g(x) 4.

3 xsi 3-x

3x1-x-x²-x³

1- xsi 5x

2x

F(x)3.

3 xsi 4)-(x3

12-x-x²

3x2 si 1-x

2- xsi 2

x -]]x[[

2 xsi 2)-(xlog

h(x) 2. 2x0 si 2

0 xsi 13x2x²

f(x) 1.

2x +=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥


20/25


25

1.Después de estar en el negocio durante x años, un fabricante de automóviles estáhaciendo 100 + x + 2x2 unidades por año. El precio de venta (en dólares) por unidad seha elevado de acuerdo con la fórmula P = 500 + 60x. Escriba una fórmula del ingresoanual R(x) del fabricante después de x años.

2.Partiendo al mediodía, el aeroplano A vuela hacia el norte a 400 millas por hora. Unahora más tarde, el aeroplano B vuela hacia el este a 300 millas por hora. Despreciandola curvatura de la tierra y suponiendo que vuelan a la misma altura, encuentre unafórmula para D(t), la distancia entre los dos aviones t horas después del mediodía.

ÁLGEBRA DE FUNCIONES

Álgebra de funciones

Definición

Considérense las funciones f y g:a. su suma, denotada por f + g, es la función definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x)

b. su diferencia, denotada por f – g, es la función definida por (f – g)(x) = f(x) –g(x)

c. su producto, denotado por f . g, es la función definida por (f . g)(x) = f(x) . g(x)

d. su cociente, denotado porg

f , es la función definida por

)(

)()(

xg

x f x

g

f =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

En todos estos casos, el dominio de la función resultante consiste en los valores de xcomunes a los dominios de f y g, con el requisito adicional en el cociente que se

excluyen los valores de x para los cuales g(x) = 0.

Ejemplo. Dadas las funciones f y g definidas por f(x) = 1+ x y g(x) = 4− x determinar:

a. (f + g)(x) b. (f – g)(x) c. (f . g)(x) d. )( xg

f ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Solución

a. (f + g)(x) = 1+ x + 4− x b. (f – g)(x) = 1+ x - 4− x

c. (f . g)(x) = 1+ x . 4− x d. )( xg

f ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ =

4

1

−

+

x

x

FUNCIÓN COMPUESTA

Dadas dos funciones f y g, la función compuesta, representada por f o g, está definida por(f o g)(x) = f(g(x))y el dominio de f o g es el conjunto de todos los números x en el dominio de g, tales queg(x) se encuentre en el dominio de f.

Ejemplo 1


21/25


26

Si f y g están definidas por f(x) = x y g(x) = 2x – 3

(f o g)(x) = f(g(x)) = f(ex – 3) = 32 − x El dominio de g es ( )∞∞− , y el dominio de f es [ )∞,0 . Así el dominio de f o g es el

conjunto de números reales para los cuales 2x – 3 0≥ o, lo que es lo mismo ⎟ ⎠

⎞

⎢⎣

⎡∞,

2

3

Ejemplo 2

Dadas las funciones f y g definidas por f(x) = x y g(x) = x2 – 1Determinar: a. f o f b. g o g c. f o g d. g o f . Determinar asimismo en cada

parte el dominio de la función compuesta.

a. (f o f)(x) = f(f(x)) = f( x ) = 4 x x = ; D(f o f)(x) = [ )∞,0 b.(g o g)(x) = g(g(x)) = g(x2 – 1) = (x2 – 1)2 – 1 = x4 - 2x2; D(g o g)(x) = R

c. (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x2 – 1) = 12 − x ; D(f o g)(x) = ( ] [ )∞∪−∞− ,11,

d.(g o f)(x) = g(f(x)) = g( x ) =( x )2 – 1 = x – 1; D(g o f)(x) = [ )∞,0

FUNCIÓN PAR Y FUNCIÓN IMPAR

a. Se dice que una función f es una función par si para toda x en el dominio de f,f(-x) = f(x)

b.Se dice que una función f es una función impar si para toda x en el dominio de f,f(-x) = -f(x)

En ambos caso se entiende que – x está en el dominio de f siempre que x lo esté.

Ejemplo 1Determine si la función f(x) = 3x4 – 2x2 + 7 es par o impar.f(-x) = 3(-x)4 – 2(-x)2 + 7 = 3x4 – 2x2 + 7 = f(x). Por lo tanto f(x) es una función par.

Ejemplo 2Determine si la función g(x) = 3x5 + 4x3 – 9x es par o impar.g(-x) = 3(-x)5 + 4(-x)3 – 9(-x) = -3x5 – 4x3 + 9x = - (3x5 + 4x3 – 9x ) = - g(x). Por lotanto g(x) es una función impar.

Ejemplo 3Haga el mismo análisis anterior para la función h(x) = 2x4 + 7x3 – x2 + 9

h(-x) = 2(-x)4

+ 7(-x)3

– (-x)2

+ 9 = 2x4

– 7x3

– x2

+ 9. La función h(x) no es par nitampoco impar.


I. Halle (fog)(x) de las funciones dadas, encuentre el dominio y el valor indicado.

1. f(x) = x-1, g(x) = x + 4, (fog)(2) ; 2. F(x) = x + 4, g(x) = x2-1,(fog)(0)

3. f(x) = ,42+ x g(x) = x + 5, (fog)(-2); 4. f(x) = 42

1

−

+

x

x; g(x) = 23 − x ,

(fog)(1)


22/25


27

5.f(x)=4

32+ x

,g(x)=1

32

−

+

x

x,fog)(0)

12x(x)h, 1x

1 (x)f Sea 6.

2 +=

−= ,(foh)(3)

II. Determine si cada uno de las siguientes funciones es par, impar o ninguna de las dos.1. f(x) = 2x4 – 3x2 + 1 2. f(x) = 5x3 – 7x 3. f(s) = s2 + 2s + 2 4. g(x) = x6 – 1

5. h(t) = 5t7 + 1 6. f(x) = x 7. g(z) =1

1

+

−

z

z 8. f(x) = x3

+ 1III Para las funciones f y g indicadas, defina las funciones siguientes y determine el

dominio de la función resultante: a. f + g b. f – g c. f . g

d.

g

f e.

f

g f. f o g g. g o f

1. f(x) = x2 – 4 y g(x) = 4x – 3 2. f(x) =3

1

− x y g(x) =

1+ x

x

PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN

En cada una de las preguntas marque la respuesta que considere correcta.

Las preguntas 1 y 2 están relacionadas con la función f(x) = 21 x+

1º El valor de la función para x = 2 es:

a. 5±

b. 5−

c. 5

d. 3

2º Una función es par si f(-x) = f(x) y es impar si f(-x) = -f(x); debido a esto la funcióndada es:

a. Par b. Imparc. Ni par ni impard. Par e impar

3º Un agricultor desea cercar un campo rectangular y luego dividirlo en tres lotesrectangulares mediante dos cercas paralelas a uno de los lados. El agricultor necesita1000 de alambre. Si x es el largo del campo, el área del campo se expresa correctamentemediante la función:


23/25


28

a. A(x) = x( 250 - )2 x

b. A(x) = x ( 500 – x)c. A(x) = x ( 1000 – x)d. A(x) = x ( 250 – x)

4º El número Q de litros de agua que hay en un estanque, t minutos después de haberempezado a vaciarlo, está dado por Q(t) = 200 ( 30 – t)2 Considere las siguientes afirmaciones:

I. La capacidad del tanque es de 180 000 m3 II. El dominio de la función es [ ]180000,0

III. El tanque puede vaciarse en 30 minutosIV. A los 15 minutos de haber de comenzar a vaciarse quedan 90000 m3 en eltanque

De las anteriores afirmaciones son verdaderas:

a. I y II b. III y IVc. I y IIId. II y IV

5º Una pista de 1 milla tiene lados paralelos y extremos circulares iguales. Una funciónque represente el área encerrada por la pista en términos del diámetro d de lossemicírculos es:

a. A(d) = 222

1d d

d π π +⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

b. A(d) = 242

1d d

d π π +⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

c. A(d) = ( )d d

π −24

d. A(d) =( )

24

−d d

π


24/25


29

6º Un cilindro circular recto de radio r está inscrito en una esfera de radio 2r. Unafórmula para el volumen V del cilindro, en términos de r es:

a. V(r) = 2 33r

b. V(r) = 4 33 r π

c. V(r) =3

3 r π d. V(r) = 2 33 r π

7º De la función f(x) =1

1

+

−

x

x podemos afirmar:

I. El rango son los reales diferentes de -1II. y = 1 es una asíntota horizontalIII. La función es decreciente a la derecha de -1IV. Es una función racional

Son verdaderas:

a. I y II b. III y IVc. II y IVd. I y III

Con base en la siguiente información responda las preguntas 8 a 10

Un automóvil se mueve con aceleración constante, según la gráfica que muestra elcomportamiento de la velocidad contra el tiempo. Se sabe que el consumo decombustible para un tiempo t está dado por la expresión: C(t) = vt + C0 Donde v es la velocidad del automóvil y C0 es el consumo previo a la observación

realizada; t se mide en segundos.

8º La función lineal que representa el comportamiento de la velocidad del automóvilcon respecto al tiempo es:a. C(t) = vt + Co

b. V =t

C t C 0)( −

c. V = t + 5d. V = 5t + 5


25/25


9º Si se sabe que el consumo de combustible C0 = 5 galones y quiere saber cuánto es elconsumo después de 2 segundos, debe

a. Resolver una ecuación cuadrática b. Resolver un sistema de ecuaciones lineales

c. Buscar más datos pues los que hay no son suficientesd. Resolver una ecuación de segundo grado

10º Si el consumo de combustible en t = 0 era de 10 galones, ¿en qué tiempo elautomóvil consume 15 galones?

a. t = 2 segundos b. t = 0.8 segundosc. t = 2 segundos

d. t = 5 segundos

funcion segmentada y otras

Documents