fuerzas sobre superficies planas,

FACULTAD DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA Y URBANISMO.

Escuela de Ingeniería Civil.

“FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS.”

Estudiantes:

Barrera Mendoza Moisés Jesús Alejandro. Chávez Zaquinaula Albert. Chicana Elera. Dávila Montenegro Pier. Martínez Gaona Sergio. Mendoza Cruz Hellen. Pérez Morales Cinthia. Pintado Camacho Susan Margarita.

Asignatura: Mecánica de Fluidos I.

Asesor: Mgtc. Ing. Carlos Adolfo Loayza Rivas.

Año Académico: 2013-I

Turno: Tarde.

Chiclayo, 07 de Mayo del 2013.

Ing. civil Página 1


Este trabajo está dirigido a los estudiantes universitarios que desean ampliar y afinar sus conocimientos para realizar un buen análisis sobre las fuerzas hidrostáticas en los diferentes campos en este caso superficies planas, con los diferentes métodos aquí expuestos.

INTRODUCCIÓN

La estática de fluidos estudia los gases y los líquidos en equilibrio o reposo. A diferencia de los líquidos, los gases tienen la cualidad de comprimirse, por lo tanto el estudio de ambos fluidos presentan algunas características diferentes; el estudio de los fluidos líquidos se llama hidrostática y el estudio de los gases se llama aerostática.

Por tener un movimiento uniforme en sus planos adyacentes la estática de fluidos no tiene movimiento relativo u otras fuerzas que traten de deformarlo. El esfuerzo normal es la fuerza que actúa de forma perpendicular al cuerpo.

La estática de fluidos se utiliza para calcular las fuerzas que actúan sobre cuerpos flotantes o sumergidos. Es utilizada como principio de construcción de muchas obras de ingeniería, como presas, túneles submarinos, entre otros.


OBJETIVOS

Afianzar nuestros conocimientos acerca de las componentes de la fuerza hidrostática de una superficie plana en general.

Encontrar la fuerza ejercida por cualquier fluido estático que actúe sobre un área plana horizontal.

Definir el término centro de presión.

Incluir el efecto de una carga de presión sobre el líquido, en la fuerza sobre una superficie plana.

Aplicar la teoría en los ejercicios de aplicación.


ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS

La estática de los fluidos estudia las condiciones de equilibrio de los fluidos en reposo, y cuando se trata sólo de líquidos, se denomina hidrostática. Desde el punto de vista de ingeniería civil es más importante el estudio de los líquidos en reposo que de los gases, por lo cual aquí se hará mayor hincapié en los líquidos y, en particular, en el agua.

Ecuación Fundamental de la Hidrostática

Con esta ecuación podemos resolver el caso general, es decir el reposo absoluto y el reposo relativo, tanto para fluidos líquidos y gases.

Consideremos un elemento diferencial ortoédrico de dimensiones dx, dy y dz, el cual lo hemos separado de un medio continuo de fluido en reposo, como se muestra en la figura siguiente, en donde se hallará las fuerzas que producen en los diferentes ejes la presión y la aceleración de las partículas fluidas:


Sea “p” la presión que actúa sobre cada una de las caras del triedro más próximo al origen de coordenadas. Sobre las caras del triedro opuesto las presiones serán respectivamente:

p+ ∂ p∂ x

dx p+ ∂ p∂ y

dy

p+ ∂ p∂ z

dz

Habiéndose despreciado infinitésimas de orden superior al primero.

Sea F = La Resultante de las fuerzas exteriores o Fuerza Total externa, por unidad de masa, que suponemos aplicada en el centro de gravedad de la masa “dm” del elemento diferencial ortoédrico de volumen d ∀=dxdydz

Es decir: F⃗=ax+a y+az


F= Fuerza por unidad de masa debida a la inercia que se origina por la aceleración externa al fluido; es una fuerza másica. ax , ay , az, son sus componentes. También se le denomina aceleración externa [ a⃗ ]

Como el elemento diferencial de fluido se encuentra en equilibrio, se verifica, en cada eje coordenado:

∑ F x=0∑ F y=0∑ F z=0

Condición de equilibrio en el eje “y”:

p .dxdz−( p+ ∂ p∂ y

dy ).dxdz+a y . ρ .dxdydz=φ

Simplificando:

∂ p∂ y

=ρ .a y

De igual manera realizando el equilibrio en los ejes “x” y “z”, resulta:

∂ p∂ x

=ρ .ax

∂ p∂ z

=ρ .az

Dónde:

∂ p∂ x

. i⃗ = ρ .ax . i⃗

,

∂ p∂ y

. j⃗= ρ .a y . j⃗

y

∂ p∂ z

k⃗=ρ .az . k⃗

(ε)

Las expresiones (ε), son conocidas como las Ecuaciones estáticas de Euler.

Sumando miembro a miembro las Ecuaciones estáticas de Euler, tendremos:

∂ p∂ x

i⃗ + ∂ p∂ y

j⃗+∂ p∂ z

k⃗=ρX i⃗ + ρY j⃗ +ρZ k⃗

El primer miembro de la ecuación corresponde al desarrollo de ∇⃗ p :

∇⃗ p=ρ ( X i⃗ +Y j⃗ +Z k⃗ )


Además reemplazando (ξ), en la expresión anterior, resulta:

∇⃗ p=ρ F⃗ (ψ)

La expresión (ψ), es conocida como la Ecuación Fundamental Vectorial de la Hidrostática, o Ecuación de Euler, aplicable tanto para fluidos en reposo absoluto o relativo.

Proyectando la expresión (ψ), según la dirección “dr ”:

Donde: dr=dx { i+dy { j ¿+dz { k¿¿

∇ p⋅dr=ρ F⋅dr

El desarrollo de la expresión anterior resulta:

∂ p∂ x

dx+ ∂ p∂ y

dy+∂ p∂ z

dz=ρ Xdx+ ρYdy+ρ Zdz

El desarrollo del primer miembro de la ecuación corresponde a “dp”, luego esta puede ser escrita, como:

dp=ρ( Xdx+Ydy+Zdz ) (π)

La expresión (π), es conocida como la Ecuación Fundamental Analítica de la Hidrostática, o Ecuación de Euler, aplicable tanto para fluidos en reposo absoluto o relativo.

Variación de la Presión de un Fluido Líquido Sometido a su Peso Propio


Aplicando la ecuación fundamental analítica de la hidrostática (π)

Donde:

X=φ Y=φ y Z=−g

Reemplazando en la Ecuación (π), tendremos:

dp=−ρ gdz=−γ dz

dp=−γ dz

dpγ

=−dz

dpγ

+dz=φ

En el caso de los líquidos, ال = Cte; luego tendremos:

1γ∫ dp+∫ dz=φ

Integrando para los puntos P1 y P2 en el interior y en la superficie libre, respectivamente del fluido en reposo:

1γ∫p

φdp+∫z1

z2 dz=φ

−1γ

p+( z2−z1)=φ

Sabiendo que: z2−z1=h y reemplazando y acomodando la expresión anterior:

pγ=h

ó p=γh (φ)

La expresión (φ), es conocida como la Ecuación Fundamental de la Estática de los Fluidos Líquidos o Incompresibles en Reposo Absoluto para el caso de presiones relativas.


FUERZA HIDROSTÁTICA SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA

CONCEPTO GENERAL

La acción de una fuerza ejercida sobre una superficie plana, da como

resultado una presión, que en el caso de un líquido, determina la

existencia de numerosas fuerzas distribuidas normalmente sobre la

superficie que se encuentra en contacto con el líquido. Sin embargo desde

el punto de vista de análisis estático, es conveniente reemplazar estas

fuerzas, por una fuerza resultante única equivalente.


a) Fuerzas sobre superficies planas horizontales:

En todos los puntos de la superficie plana la presión es la misma e igual a γ . h.

Magnitud: F=∫ p . dA=p∫ dA=pA

Dirección: F es perpendicular a la superficie plana.

Sentido: F está dirigido hacia la superficie plana.

Punto de aplicación: El punto “C” llamado centro de presiones.

Considérese que la superficie horizontal está contenida en el plano XY.

Como F es resultante de un conjunto de fuerzas paralelas se verifica que “el momento de la resultante es igual a la suma de los momentos de las componentes.”


F . x '=∫A

❑

p . dA . X

p . A . x '=p∫A

❑

dA . X

x '= 1A∫A

❑

dA . X

Análogamente: Y '= 1A∫A

❑

dA .Y

Es decir, el centro de presiones coincide con el centroide del área de la superficie plana horizontal.

a) Fuerzas sobre superficies planas inclinadas:

Consideremos el caso general en que el plano donde se encuentra la superficie plana sumergida “A” forme un ángulo “α” con el plano piezométrico.

a) Determinación de la Fuerza (F)

La fuerza elemental dF debida a la presión sobre el elemento dA es:

dF=p .dA ; Pero p=γh

dF=γ hdA ; Además: h= ysenα

Luego: dF=γ ysen α dA . .. . .. .. . .. .. . .. .(1)


Siendo paralelas todas las fuerzas dF (ya que son normales a cada dA), la fuerza resultante F, debida a la presión será:

, sustituyendo (1)

⇒F=∫ γ ysen α dA

F=γ sen α∫ ydA . .. .. . .. .. . .. ..(2 )

Por definición de centro de gravedad: ∫ ydA=Y G A ………….. (3).

Donde: ∫ ydA= momento del área con respecto al eje X

Y G= Ordenada del centro de gravedad

A= Área total de la superficie plana sumergida

(3) en (2): F=γ sen αY G A …………. (4); pero Y G sen α=hG

⇒F=γhG A .. . .. .. . .. .. . .. .(α )

Es decir:

“La fuerza hidrostática sobre una superficie plana sumergida, es igual a la presión relativa al centro de gravedad, multiplicada por el área”.

b) Determinación del Centro de Presiones

La línea de acción de la fuerza resultante “F” corta a la superficie en un punto que se llama centro de presiones, que no coincide en general con el centro de gravedad (sólo en las superficies horizontales coinciden, porque Yg=Yp)

Para determinar las coordenadas del centro de presiones (Xp, Yp); se utiliza el teorema de los momentos (Teorema de Varignon): “El momento de la resultante es igual a la suma de los momentos de las componentes”

B.1) CÁLCULO DE YP

Aplicando el teorema de los momentos respecto al eje “X”, se tiene:


F=∫dF

M R=∫ dF∗y ; Pero M R=F∗y p . Donde:

M R= Momento de la resultante

∫ dF∗y=Momento de las componentes

⇒F∗ y p=∫ y∗dF .. . .. .. . .. .. . .. .(5)

De (1) dF=γ ysen α dA

(1) y (4) en (5): (γ senαyG A ) y p=∫ y (γ ysenα dA )

Y p=∫ y2dA

yG A

Donde: ∫ y2 dA=I x=momento de inercia de la superficie “A”, respecto al eje “x”.

⇒ En (6): Y p=

I x

yG . A.. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .(7 )

Pero es muy usual trabajar con los momentos de inercia respecto a los ejes centroidales, paralelos a los ejes “x” e “y”.

Para ello aplicamos el teorema de Steiner:

Respecto al eje x :

I x=I x+ AY G2 .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .(8)

(8) en (7):

Y p=I x+ AY G

2

Y G A

Y p=I x

Y G A+

AY G2

Y G A


γ sen αyG Ay p=γ sen α∫ y2dA

Y p=I x

Y G A+Y G

Y p=Y G+I x

Y G A. .. . ..( β )

Donde:

I x

Y G A>0

Es decir:

El centro de presiones está debajo del centro de gravedad, excepto en las

superficies horizontales que coinciden (Y p=Y G )

B.2) CÁLCULO DE X P

Ahora aplicamos el teorema de los momentos respecto al eje Y:

M R=∫ dF∗x ; Pero M R=F∗X p

⇒F∗X p=∫ x∗dF……………( 9)

(1) y (4) en (9):

(γ senαY G A ) X p=∫ x ( γ ysenα dA )

X p=∫ xydA

Y G A……………(10 )

Donde: ∫ xydA=I xy

Producto de inercia de la superficie “A”, respecto a los ejes “x” e “y”.

⇒en (10): X p=

I xy

Y G A…………(11)

.

Aplicando Steiner respecto a los ejes centroidales x e y , se tiene:

I xy=I xy+X GY G A…………(12)

(12) en (11): X p=

I xy+ XGY G A

Y G A


X p=I xy

Y G A+

XGY G A

Y G A

X p=I xy

Y G A+XG

X p=XG+ I xy

Y G A…………(γ )

El valor I xy puede ser positivo o negativo de modo que el “Cp” puede encontrarse a uno u otro lado de de G. Basta que la superficie plana

inclinada tenga un eje de simetría para que I xy=φ , en cuyo caso:

X p=XG

Comentario: Por lo general las situaciones de interés se relacionan con superficies planas que tienen uno o dos ejes de simetría, de modo que sólo se trata de determinar el valor de “Yp”.


Componentes de la Fuerza Hidrostática de una Superficie Plana Inclinada:

Fh=Fsen α

Fh=γhG Ssenα

Fh=γhG Sv

FV=F cos α

FV=γhG S cosα

FV=γhG Sh

Siendo: FV=γhG Sh

Luego:

“Para calcular las componentes de la resultante total de las presiones, sobre una superficie inclinada, se toman superficies imaginarias, que resultan de las proyecciones de dicha superficie sobre planos perpendiculares a dichas componentes”.


FH=pG Sv

FV=pG Sh

FV=γ ∀

ANEXOS


fuerzas sobre superficies planas,

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