1

Füüsika

Hüdrodünaamika alused

Hüdrodünaamika on hüdromehaanika haru, mis

käsitleb vedelike liikumise seaduspärasusi ning

liikuva vedeliku ja tahkete kehade vahelist mõju.

Kui seisva vedeliku olukorra kirjeldamiseks piisab

rõhu määramisest igas vedelikupunktis

𝑝 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧ning vedeliku enese iseloomustamiseks üksnes

tiheduse 𝜌 tundmist, siis liikuva vedeliku kohta on

avaja teada ka voolamise kiirust ning liikumisega

kaasneva hõõrde tõttu ka vedeliku viskoossust (𝜇või 𝜈).Voolavas vedelikus toimuv on väga keeruline, nii

et seda on harva võimalik puhtmatamaatilise

analüüsiga kirjeldada.

2

VOOLAMISE VORMID

Üks voolamisega seotud tegureid on aeg.

Sellist liikumist, milles nii kiirus 𝑢 kui rõhk

𝑝 millises tahes vedeliku punktis sõltuvad

peale ruumikoordinaatide ka ajast 𝑡, nimetatakse ebastatsionaarseks voolamiseks:

𝑢𝑥 = 𝑓1 𝑥, 𝑦, 𝑥, 𝑡 ,𝑢𝑦 = 𝑓2 𝑥, 𝑦, 𝑥, 𝑡 ,

𝑢𝑧 = 𝑓3 𝑥, 𝑦, 𝑥, 𝑡 ,𝑝 = 𝑓4 𝑥, 𝑦, 𝑥, 𝑡 ,

kus 𝑢𝑥 , 𝑢𝑦 ja 𝑢𝑧 on kohtkiiruse 𝑢

koordinaatteljesuunalised komponendid.

Muutuvat voolamist võib defineerida ka sellise

liikumisena, mida mõjutab peale

raskuskiirenduse mõni teine kiirendus.

Näited: voolamine tühjeneva anuma avas

(vedeliku tase alaneb, mistõttu väljavoolukiirus

väheneb pidevalt), tulvalaine levik piki jõge

(vooluhulk vaatlusristlõikes suureneb kiiresti,

vesi tõuseb, kiirus kasvab), hüdrauliline löök

survetorustikus (kiirus väheneb akki nullini ja

rõhk kasvab).

3

Muutumatu ehk statsionaarne voolamine ajast ei sõltu

𝑢𝑥 = 𝑓1 𝑥, 𝑦, 𝑧 ,

𝑢𝑦 = 𝑓2 𝑥, 𝑦, 𝑧 ,

𝑢𝑧 = 𝑓3 𝑥, 𝑦, 𝑧 ,

𝑝 = 𝑓4 𝑥, 𝑦, 𝑧 .

Igapäevahüdraulikas on enamiselt tegemist

muutumatu voolamisega: selline on vee voolamine

torustikes, kanalites, jõgedes.

Täiesti muutumatut voolamist tegelikult ei esine, kuid

kui muutumine on aeglane, siis see märgatavaid

kiirendusi ei põhjusta.

Tihedus ja viskoossus on homogeenses ja pidevas

vedelikus konstantsed, st ei sõltu ruumikoordi-

naatidest ega ajast.

Kiirusväli.

Liikuva vedeliku igas punktis on kiirusel igal hetkel

mingisugune väärtus. Iga vedeliku punkti

kiirusvektorid moodustavad kokku kiirusvälja.

Muutuval voolamisel on keskmiskiiruste väli igal

hetkel isesugune, sest kohtkiirused muutuvad

pidevalt; kui aga voolamine on statsionaarne, siis

keskmiskiiruste väli ei muutu.

Voolujoon ja trajektoor.

Voolujoon on kiirusväljas asuv kõverjoon, mille igas

punktis puutuja siht ühtib kiirusvektori sihiga selles

punktis.

4

Muutuvas voolus on voolujoon hetkepilt – kõver, mis

ühendab eri punktide kiirusvektoreid mingil hetkel.

Muutumatu voolamise korral on voolujooned püsiva

kujuga.

Trajektoor on vedelikuosakese liikumistee ruumis ja

kirjeldab osakese asendit eri hetkedel. Kuna

liikumine toimub kiirusvektori suunas ja muutumatus

voolus voolujooned ei muutu, siis trajektoorid ja

voolujooned ühtivad – st vedelikuosakesed liiguvad

piki voolujooni.

Voolujooned

5

Voolujoone võrrandi saab tingimusest, mis seda

joont defineerib: kiirusvektori ja joone puutuja sihid

ühtivad.

Tasapinnalise voolamise korral saadakse

kolmnurkade sarnasusest avaldis𝑢𝑥

𝑑𝑥=

𝑢𝑧

𝑑𝑧

ning voolujoone võrrand

𝑢𝑥𝑑𝑧 − 𝑢𝑧𝑑𝑥 = 0.

Ruumilise voolamise puhul𝑢𝑥𝑑𝑥

=𝑢𝑦𝑑𝑦

=𝑢𝑧𝑑𝑧

.

Voolujoone võrrandit 𝑢𝑥𝑑𝑧 − 𝑢𝑧𝑑𝑥 = 0 rahuldab

funktsioon 𝜓, mille osatuletised on𝜕𝜓

𝜕𝑧= 𝑢𝑥 ;

𝜕𝜓

𝜕𝑥= −𝑢𝑧.

Arendades võrrandit 𝑢𝑥𝑑𝑧 − 𝑢𝑧𝑑𝑥 = 0 saame avaldise𝜕𝜓

𝜕𝑧𝑑𝑧 +

𝜕𝜓

𝜕𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝜓 = 0,

millest järeldub, et 𝜓 = const. Funktsiooni 𝜓nimetatakse voolufunktsiooniks. Eelnevast näeme, et

voolufunktsioon on piki voolujoont konstantne. Kuna

kiirusvektor on suunatud piki voolujoont, siis

voolujooned ei saa lõikuda.

6

Potentsiaalne on selline voolamine, mille puhul

voolukiirused rahuldavad tingimusi:

𝑢𝑥 =𝜕𝜑

𝜕𝑥; 𝑢𝑦 =

𝜕𝜑

𝜕𝑦; 𝑢𝑧 =

𝜕𝜑

𝜕𝑧.

Funktsiooni 𝜑 nimetatakse kiiruse potentsiaaliks ja

jooni, millel 𝜑 = const (𝜕𝜑 = 0), potentsiaalijoonteks.

Pindvoolamise korral

𝑑𝜑 =𝜕𝜑

𝜕𝑥𝑑𝑥 +

𝜕𝜑

𝜕𝑧𝑑𝑧 = 0.

Arvestades aga tingimusi

𝑢𝑥 =𝜕𝜑

𝜕𝑥; 𝑢𝑧 =

𝜕𝜑

𝜕𝑧Saame

𝑢𝑥𝑑𝑥 + 𝑢𝑧𝑑𝑧 = 0.

Kui anda funktsioonile 𝜑 väärtusi, saadakse

potentsiaalijoonte parv.

Voolujooned ja potentsiaalijooned on omavahel risti

ning jooneparved moodustavad ortogonaalse

hüdrodünaamilise võrgu.

Voolujoone võrrandist 𝑢𝑥𝑑𝑧 − 𝑢𝑧𝑑𝑥 = 0 tulenebΤ𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝜓 = Τ𝑢𝑧 𝑢𝑥

ning potentsiaalijoone võrrandist 𝑢𝑥𝑑𝑥 + 𝑢𝑧𝑑𝑧 = 0.Τ𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝜑 = − Τ𝑢𝑥 𝑢𝑧

Seega on voolu- ja potentsiaalijoonte tõusunurgad

erinevad ning jooned lõikuvad. Tõusunurkade

korrutis Τ𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝜓 Τ𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝜑 = −1, järelikult on

jooned omavahel risti.

7

Hüdrodünaamiline võrk:

𝜑𝑠 – potentsiaalijooned; 𝜓𝑛 -voolujooned

𝑧

Elementaarjuga ja elementaartoru

Vedeliku liikumise seaduspärasused on väga

keerulised, seetõttu tehakse teoreetilistel aruteludel

lihtsustusi. Üks neist on mudel, mille kohaselt vool

loetakse koosnevat elementaarjugadest.

Elementaarjoa moodustab lõpmata väikest

pinnaelementi 𝑑𝐴 läbiv voolujoonekimp, mida

ümbriutseb pinna perimeetrit läbivatest

voolujoontest koosnev elementaartoru. Läbi selle

mõttelise toruseina vedelik liikuda ei saa, sest

kiirusvektor on suunatud piki voolujooni. Selline

olukord teostub reaalselt laminaarvoolus, mis

koosneb omavahel mittesegunevatest jugadest.

8

Elementaarjuga

Elementaarjuga on väga peen, seetõttu võib kiirust

𝑢 lugeda selle ristlõike ulatuses ühesuguseks. Kui

voolamine on statsionaarne, siis elementaarjugade

kuju ja asend aja jooksul ei muutu.

Elementaarjoa pidevuse võrrandi tuletamiseks

vaatleme ristlõigete 1 ja 2 vahelist

elementaarlõiku.

9

Ajavahemiku 𝑑𝑡 jooksul liigub see lõik asendisse

1’ -2’. Kumbagi ristlõiget läbib võrdne

vedelikumaht:

𝑑𝐴1𝑑𝑠1 = 𝑑𝐴2𝑑𝑠2.Teepikkused 𝑑𝑠 saab avaldada kiiruste kaudu

𝑑𝑠1 = 𝑢1𝑑𝑡; 𝑑𝑠2 = 𝑢2𝑑𝑡,seega 𝑢1𝑑𝐴1𝑑𝑡 = 𝑢2𝑑𝐴2𝑑𝑡 ning 𝑢1𝑑𝐴1 = 𝑢2𝑑𝐴2.

Et ristlõiked 1 ja 2 valiti vabalt, siis võib üldistada,

et

𝑑𝑄 = 𝑢𝑑𝐴 = const.See on elementaarjoa pidevuse võrrand, mille

kohaselt kiiruse ja ristlõikepinna korrutis on piki

juga konstantne. Korrutist 𝑑𝑄 nimetatakse

elementaarjoa vooluhulgaks.

Vool ja seda iseloomustavad suurused

Vool on liikuv vedelik, mida ümbritseb liikumatu

tahke, vedel või gaasiline keskkond. Voolu võib

vaadata kui elementaarjugade kogumit.

Voolud jagunevad surveta ehk vabavooludeks,

survevooludeks ja jugadeks.

Vabavool (vool avasängides ning enamasti ka

kanalisatsioonitorustikes ja dreenides) liigub

raskusjõu toimel ja seega ainult ülalt allapoole.

Vabavoolul on peaaegu alati vabapind.

Survevoolu paneb liikuma mingi välisjõud (pump,

kõrgemal asuva anuma tekitatud surve) ja ta võib

liikuda mis tahes suunas. Selline on vool

survetorustikes; vabapind puudub.

10

Joad jagunevad vabajugadeks (vedelik gaasis) või

sukeljugadeks (vedelik vedelikus), nad liiguvad

tekkekohas olnud energia arvel nii kaugele, kui

energiat jätkub.

Voolu ristlõige ehk elavlõige 𝐴 on voolu risti

voolujooni lõikav pind. Sellest jääb välja nn surnud

ala, kus vedelik ei liigu.

Märgpiire ehk märgperimeeter 𝜒 on voolava

vedeliku kokkupuutejoon elevlõike liikumatu

piirdega, vabapind välja arvatud.

Selliseks piirdeks võib olla voolusäng või ka

seisev vedelik.

Surve- ja vabavool ümartorus

𝐴 – elavlõige; 𝝌 - märgpiire

11

Hüdrauliliseks raadiuseks 𝑅 nimetatakse elavlõike

ja märgpiirde suhet

𝑅 =𝐴

𝜒.

See on arvutatav pikkusmõõde, mis iseloomustab

elavlõiget voolutakistuse seisukohast: mida

suurem on sama 𝐴 puhul 𝑅, seda väiksem on

voolu kokkupuutepind voolusängiga ja seda

väiksem ka liikumistakistus.

Ümmarguse survetoru 𝐴 = 𝜋𝑑2/4 ja 𝜒 = 𝜋𝑑,

seega 𝑅 = Τ𝑑 4, kus 𝑑 on toru siseläbimõõt.

Ristkülikukujulisel sängil 𝑅 = 𝑏 Τℎ 𝑏 + 2ℎ . Kui

selline säng on lai, 𝑏 ≫ ℎ , siis 𝑅 ≈ ℎ. Jõgedel

ongi sängi laius vee sügavusest tavaliselt palju

suurem ja nende hüdrauliline raadius on

ligikaudu võrdne ristlõike keskmise sügavusega

𝑅 ≈ ℎ𝑘 = Τ𝐴 𝐵 , kus 𝐵 on sängi pealtlaius

12

Vooluhulk on ristlõiget ajaühikus läbiva vedeliku

maht

𝑄 =𝑉

𝑡,

Selle mõõtühik on m3/s (jõed, ojad), l/s (torustikud)

vm.

Kuna kogu ristlõiget läbiva voolu võib vaadelda

koosnevana elementaarjugadest, siis

𝑄 = න𝐴

𝑑𝑄 = න𝐴

𝑢𝑑𝐴 = 𝑣𝐴,

kus 𝑣 on voolu keskkiirus.

Voolu keskkiirust

𝑣 =𝑄

𝐴=𝐴 𝑢𝑑𝐴

𝐴otse mõõta ei saa, sest kiirus ei ole kogu elavlõike

ulatuses ühesugune. Kui vooluhulk ei ole suur, siis

saab keskkiirust määrata mahumeetodil

mõõdetud vooluhulga kaudu, kasutades valemit

𝑄 =𝑉

𝑡suuremates vooludes on tarvis mõõta kiiruse

jaotust.

13

Vool võib olla kas ühtlane või mõõdukalt või

tugevasti ebaühtlane.

Ühtlane on kogu ulatuses ühesugune vool, st piki

voolu ei muutu ei vooluhulk, elavlõige (kujult,

pindalalt ega kareduselt), keskkiirus ega

kiirusjaotus ristlõikes. Kõik voolujooned on sirged ja

rööpsed ning elavlõikega risti.

Tasapinnalistes elavlõigetes kehtib hüdrostaatiline

rõhujaotus.

Selline on vool survetorustikes ja korrapärase

kujuga avasängides (kanalites, kraavides), milles ei

ole voolu häirivaid tõkkeid.

Ebaühtlane vool eelpool loetletud tingimustele ei

vasta.

Ebaühtlust loetakse mõõdukaks, kui elavlõige

muutub sujuvalt (suureneb või väheneb) ning

voolujoonte kõverus on väike.

Siis on voolujoontega risti olevad elavlõiked

peaaegu tasandilised ning rõhujaotust võib lugeda

hüdrostaatiliseks (nagu ühtlases voolus).

Mõõdukalt ebaühtlane vool tekib näiteks siis, kui

kraavis voolavat vett tõkestada. Siis levib paisutus

vastuvoolu nn paisujoonena.

14

Kui voolu ristlõige muutub järsku, näiteks toruristlõike

äkilisel suurenemisel või vooluhüppes, siis on

voolujoonte kõverus suur, elavlõiked kõverad ning

rõhujaotus tasandilisest erinev. Vool on siis tugevasti

ebaühtlane.

Voolu pidevuse võrrandi saab tuletada elementaarjoa

pidevuse võrrandist 𝑑𝑄 = 𝑢𝑑𝐴 = const,sest vool on elementaarjugade kogum. Piki voolu

𝑄 = 𝑣𝐴 = const.Pidevusvõrrand kahe ristlõike kohta on

𝑣1𝐴1 = 𝑣2𝐴2 ehk 𝑣1

𝑣2=

𝐴2

𝐴1

st voolu keskkiirused on pöördvõrdelised

elavlõikepindaladega.

Voolu pidevuse võrrand on üks hüdrodünaamika

põhivõrrandeid.

Voolu kineetiline energia on elementaarjugade

kineetiliste energiate summa. Elementaarjoa

kineetiline energia

𝑑𝐸𝑘𝑖𝑛 = 𝑑𝑚 Τ𝑢2 2 = 𝜌𝑑𝑉 Τ𝑢2 2 == 𝜌𝑑𝑄𝑑𝑡 Τ𝑢2 2 = 𝜌𝑢𝑑𝐴𝑑𝑡 Τ𝑢2 2 = 0,5𝜌𝑑𝑡𝑢3𝑑𝐴

ning voolu kineetiline energia

𝐸𝑘𝑖𝑛 = න𝐴

𝑑𝐸𝑘𝑖𝑛 =1

2𝜌𝑑𝑡න

𝐴

𝑢3𝑑𝐴.

Integraali leidmiseks on vaja teada kiirusjaotust

elavlõikes. 𝐸𝑘𝑖𝑛 saab määrata ka keskkiiruse

kaudu: 𝐴 𝑢3𝑑𝐴 = 𝛼𝑣3𝐴,

kus 𝛼 =𝐴 𝑢3𝑑𝐴

𝑣3𝐴on Coriolisi kineetilise energia

tegur.

15

Gaspard-Gustave de Coriolis (1792 – 1843)

Avaldist 𝐸𝑘𝑖𝑛 = 𝐴𝑑𝐸𝑘𝑖𝑛 =1

2𝜌𝑑𝑡 𝐴𝑢

3𝑑𝐴 arendades

saab voolu kineetilist energiat avaldada mitut

moodi:

𝐸𝑘𝑖𝑛 =1

2𝜌𝑑𝑡𝛼𝑣3𝐴 =

1

2𝜌𝛼𝑣2𝑄𝑑𝑡 =

1

2𝜌𝛼𝑣2𝑑𝑉.

Voolu liikumishulka saab määrata nagu kineetilist

energiat. Elementaarjoa liikumishulk (impulss)

𝑑𝑝𝑖 = 𝑑𝑚𝑢 = 𝜌𝑑 𝑢 = 𝜌𝑑𝑄𝑑𝑡𝑢 = 𝜌𝑢𝑑𝐴𝑑𝑡𝑢 = 𝜌𝑢2𝑑𝐴,ning voolu liikumishulk

𝑝𝑖 = 𝜌𝑑𝑡න𝐴

𝑢2𝑑𝐴 = 𝜌𝑑𝑡𝛼0𝑣2𝐴 = 𝜌𝛼0𝑣𝑄𝑑𝑡 = 𝜌𝛼0𝑣𝑑𝑉,

kus 𝛼0 =𝐴 𝑢2𝑑𝐴

𝑣2𝐴on Boussinesq’I liikumishulgategur.

16

Joseph Valentin Boussinesq (1842 – 1929)

Nii 𝛼 kui ka 𝛼0 arvestavad kiirusjaotuse ebaühtlust

elavlõikes. Et kiirus ei ole kunagi ristlõike ulatuses

ühesugune, on nende tegurite väärtus ühest

suurem. Nende täpseks arvutamiseks on vaja

kiirusjaotust mõõta. Ligikaudu saab Coriolisi tegurit

arvutada Bazini valemiga

𝛼 = 1 +210

𝐶2= 1 + 2,68𝜆,

kus 𝜆 on hõõrdetakistustegur ja 𝐶 Chézy moodul.

Inseneriarvutustes võetakse 𝛼0 tavaliselt võrdseks

𝛼-ga, 𝛼 väärtuseks aga turbulentse voolamise

korral survetorustikes 1,0 … 1,1 ning avasängides

1,1. Laminaarvoolus on kiirusjaotus paraboolne

ning 𝛼 = 2,0 ja 𝛼0 = 1,33.

17

IDEAALVEDELIKU VOOLAMISE

DIFERENTSIAALVÕRRANDID

(EULERI VÕRRANDID)

Sama mõttekäiku, millist kasutasime tasakaalus

oleva vedeliku olekut kirjeldavate võrrandite

leidmiseks, saab rakendada ka

elementaarristtahuka suhtes voolavas vedelikus.

Risttahukas liikuvas vedelikus

18

Kui seisvas vedelikus on pinna- ja massijõud

tasakaalus, siis liikuvas vedelikus võrdub jõudude

summa liikumisega kaasneva kiirenduse ja massi

korrutisega.

Tuginedes avaldistele

𝑑𝐹′𝑝𝑥 = 𝑝 −𝜕𝑝

𝜕𝑥

𝑑𝑥

2𝑑𝑦𝑑𝑧,

𝑑𝐹′′𝑝𝑥 = 𝑝 +𝜕𝑝

𝜕𝑥

𝑑𝑥

2𝑑𝑦𝑑𝑧,

𝑑𝐹𝑚𝑥 = 𝜌𝑎𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧,𝑑𝐹′𝑝𝑥 − 𝑑𝐹′′𝑝𝑥 + 𝜌𝑎𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 0,

saame ideaalvedeliku jaoks (st jättes hõõrdejõu

arvestamata) leida seose.

Ideaalvedeliku kohta saame seose kujul:

−𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑎𝑥𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑑𝑚

𝑑𝑢𝑥𝑑𝑡

= 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑢𝑥𝑑𝑡

,

kus 𝑢𝑥- elementaarristtahuka massikeskme liikumis-

kiiruse 𝒖 𝑥-telje suunaline komponent;

𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 diferentsiaalselt väikese vedeliku osa

mass.

Korrates sama mõttekäiku teiste telgede suhtes,

jõutakse pärast võrrandite taandamist massiühikuga

(𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧) ideaalvedeliku voolamist kirjeldatavate

Euleri diferentsiaalvõrranditeni.

19

Ideaalvedeliku voolamist kirjeldavad Euleri

diferentsiaalvõrrandid:

𝑎𝑥 −1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑥=𝑑𝑢𝑥𝑑𝑡

,

𝑎𝑦 −1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑦=𝑑𝑢𝑦𝑑𝑡

,

𝑎𝑧 −1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑧=𝑑𝑢𝑧𝑑𝑡

.

Võrrandid on tuletatud väga väikese

vooluelemendi jaoks ning kehtivad seega ainult

voolujoone, mitte kogu voolu kohta.

Kui vedelik ei liigu, siis 𝑢𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑢𝑧 = 0 ning

võrrandid taanduvad tasakaalu diferentsiaal-

võrranditeks.

Ideaalvedeliku voolu võrrandis esinev kiiruse tuletis

aja järgi võtab arvesse nii vooluosa ajalist kui ka

ruumilist kiiruse muutust punktis. Vedeliku

liikumisega kaasnev kiirendus mingis punktis

koordinaatkujul on antud kui

𝑑𝑢𝑥𝑑𝑡

=𝜕𝑢𝑥𝜕𝑡

+ 𝑢𝑥𝜕𝑢𝑥𝜕𝑥

+ 𝑢𝑦𝜕𝑢𝑥𝜕𝑦

+ 𝑢𝑧𝜕𝑢𝑥𝜕𝑧

𝑑𝑢𝑦

𝑑𝑡=𝜕𝑢𝑦

𝜕𝑡+ 𝑢𝑥

𝜕𝑢𝑦

𝜕𝑥+ 𝑢𝑦

𝜕𝑢𝑦

𝜕𝑦+ 𝑢𝑧

𝜕𝑢𝑦

𝜕𝑧𝑑𝑢𝑧𝑑𝑡

=𝜕𝑢𝑧𝜕𝑡

+ 𝑢𝑥𝜕𝑢𝑧𝜕𝑥

+ 𝑢𝑦𝜕𝑢𝑧𝜕𝑦

+ 𝑢𝑧𝜕𝑢𝑧𝜕𝑧

20

Reaalvedelike kohta, mille liikumisele avaldab

mõju ka hõõre, Euleri võrrandid ei kehti.

Viskoosse vedeliku voolamist kirjeldavad

diferentsiaalvõrrandid koostasid L. Navier ja G.

Stokes, need on:

𝑎𝑥 −1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑥+ 𝜈

𝜕2𝑢𝑥𝜕𝑥2

+𝜕2𝑢𝑥𝜕𝑦2

+𝜕2𝑢𝑥𝜕𝑧2

=𝑑𝑢𝑥𝑑𝑡

,

𝑎𝑦 −1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑦+ 𝜈

𝜕2𝑢𝑦𝜕𝑥2

+𝜕2𝑢𝑦𝜕𝑦2

+𝜕2𝑢𝑦𝜕𝑧2

=𝑑𝑢𝑦𝑑𝑡

,

𝑎𝑧 −1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑧+ 𝜈

𝜕2𝑢𝑧𝜕𝑥2

+𝜕2𝑢𝑧𝜕𝑦2

+𝜕2𝑢𝑧𝜕𝑧2

=𝑑𝑢𝑧𝑑𝑡

.

𝜈 - vedeliku viskoossus.

Claude Louis Marie Henri Navier (1785 – 1836)

21

Sir George Gabriel Stokes (1819 – 1903)

BERNOULLI VÕRRAND IDEAALVEDELIKU

MUUTUMATU VOOLU VOOLUJOONE KOHTA

Stokes’i-Navier’ võrrandeid on võimalik

integreerida vaid erijuhtudel, seetõttu lähtutakse

hüdrodünaamika põhivõrrandi - Bernoulli võrrandi

– tuletamisel Euleri võrranditest ning lihtsustused

kompenseeritakse võrrandisse viidavate

parandustega.

Nii nagu võrrandi 𝑑𝑝 = 𝜌 𝑎𝑥𝑑𝑥 + 𝑎𝑦𝑑𝑦 + 𝑎𝑧𝑑𝑧

tuletamisel, saadakse ideaalvedeliku voolamist

kirjeldavate Euleri diferentsiaalvõrrandite liitmisel

järgmine avaldis:

22

𝑎𝑥𝑑𝑥 + 𝑎𝑦𝑑𝑦 + 𝑎𝑧𝑑𝑧 −

−1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑑𝑥 +

𝜕𝑝

𝜕𝑦𝑑𝑦 +

𝜕𝑝

𝜕𝑧𝑑𝑧 =

=𝑑𝑢𝑥𝑑𝑡

𝑑𝑥 +𝑑𝑢𝑦𝑑𝑡

𝑑𝑦 +𝑑𝑢𝑧𝑑𝑡

𝑑𝑧.

Arvestades, et 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑢𝑥,

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑢𝑦 ,

𝑑𝑧

𝑑𝑡= 𝑢𝑧 saame

teisendada

𝑑𝑢𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑡+𝑑𝑢𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑡+𝑑𝑢𝑧𝑑𝑧

𝑑𝑡=

= 𝑢𝑥𝑑𝑢𝑥 + 𝑢𝑦𝑑𝑢𝑦 + 𝑢𝑧𝑑𝑢𝑧 = 𝑑𝑢𝑥

2

2+𝑢𝑦

2

2+𝑢𝑧

2

2

= 𝑑𝑢2

2

Arvestades eelnevat saame:

𝑎𝑥𝑑𝑥 + 𝑎𝑦𝑑𝑦 + 𝑎𝑧𝑑𝑧 −1

𝜌𝑑𝑝 = 𝑑

𝑢2

2

Kui massijõududest mõjub ainult raskusjõud,

ehk

𝑎𝑥 = 𝑎𝑦 = 0, ja 𝑎𝑧 = −𝑔,

siis

𝑔𝑑𝑧 +1

𝜌𝑑𝑝 + 𝑑

𝑢2

2= 0

ehk

𝑑𝑧 + 𝑑𝑝

𝜌𝑔+ 𝑑

𝑢2

2𝑔= 0.

23

Sellisel juhtumil saame võrrandi

𝑑𝑧 + 𝑑𝑝

𝜌𝑔+ 𝑑

𝑢2

2𝑔= 0

integreerimisel:

𝑧 +𝑝

𝜌𝑔+𝑢2

2𝑔= const.

See on Bernoulli võrrand ideaalvedeliku

muutumatu voolu voolujoone kohta.

Kui vedelik ei liigu, siis 𝑢 = 0 ning võrrand

𝑧 +𝑝

𝜌𝑔+

𝑢2

2𝑔= const taandub hüdrostaatika

põhivõrrandile 𝑧 +𝑝

𝜌𝑔= const, mis on järelikult

Bernoulli võrrandi erijuhtum.

BERNOULLI VÕRRAND IDEAALVEDELIKU

MUUTUMATU VOOLU ELEMENTAARJOA

KOHTA

Bernoulli võrrandit saab tuletada ka tuginemata

Euleri võrrandile. Aluseks on kineetilise energia

muutuse teoreem: mehaanilise süsteemi

kinetilise energia muutus üleminekul ühest

liikumisolekust teise võrdub selleks

üleminekuks kuluva sise- ja välisjõudude

summaarse tööga.

24

Elementaartoru ideaalvedeliku statsionaarses

voolus

Aja dt jooksul liigub ristlõigete 1 ja 2 vahel olev

elementaarjoa lõik asenditesse 1’ ja 2’, millega

kaasnevad lõigu alg- ja lõpposa väiksed nihked

ds1 ja ds2.

Elementaarjoa pidevuse võrrandi alusel

𝑑𝐴1𝑑𝑠1 = 𝑑𝐴2𝑑𝑠2 = 𝑑𝑉.Arvestame, et massijõududest mõjub ainult

raskusjõud.

Nihkel tehtav raskusjõu töö on esitatav kui

elementaar-massi 𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑉 liikumine kõrguselt

z1 kõrgusele z2.

𝑑𝐺 𝑧1 − 𝑧2 = 𝑔𝑑𝑚 𝑧1 − 𝑧2 = 𝑔𝜌𝑑𝑉 𝑧1 − 𝑧2 .

25

Elementaarjoa lõigu ulatuses mõjuvate

rõhujõudude töö on joa otstele mõjuvate

rõhujõudude tööde vahe

𝑑𝑃1𝑑𝑠1 − 𝑑𝑃2𝑑𝑠2 = 𝑝1𝑑𝐴1𝑑𝑠1 − 𝑝2𝑑𝐴2𝑑𝑠2= 𝑝1 − 𝑝2 𝑑𝑉

Väikesel nihkel on elementaarjoa lõigu kineetilise

energia muutus võrdne elementaarmassi

𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑉 kineetilise energia muutusega ristlõigete

1 ja 2 vahel

𝑑𝑚𝑢2

2

2−𝑢1

2

2= 𝜌𝑑𝑉

𝑢22

2−𝑢1

2

2.

Elementaarjoa lõigu liikumist mõjutavate jõudude

summaarne töö võrdub voolulõigu kineetilise energia

muutusega

𝑔𝜌𝑑𝑉 𝑧1 − 𝑧2 + 𝑑𝑉 𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌𝑑𝑉𝑢2

2

2−𝑢1

2

2

Jagame võrrandi liikmed nihkuva vedeliku kaaluga

𝑑𝐺 = 𝑔𝜌𝑑𝑉

𝑧1 +𝑝1𝜌𝑔

+𝑢1

2

2𝑔= 𝑧2 +

𝑝2𝜌𝑔

+𝑢2

2

2𝑔,

mis tähendab, et piki elementaarjuga on konstantne

vedelikuosa energia selle kaaluühiku kohta.

26

Ristlõiked 1 ja 2 valiti juhuslikult, järelikult kehtib

piki kogu elementaarjuga avaldis

𝑧 +𝑝

𝜌𝑔+𝑢 2

2𝑔= const.

See on Bernoulli võrrand ideaalvedeliku

muutumatu voolu elementaarjoa kohta.

On loomulik, et saadud võrrand ühtib voolujoone

jaoks tuletatud võrrandiga, sest see, mis kehtib

voolujoone suhtes, kehtib ka elementaarjoa, so

voolujoonekimbu kohta.

BERNOULLI VÕRRAND REAALVEDELIKU

VOOLU KOHTA

Võrrandi

𝑧 +𝑝

𝜌𝑔+𝑢 2

2𝑔= const

saamisel tehti kolm lihtsustust: vaadeldi üksnes

muutumatut e statsionaarset voolamist, piirduti

väikese vooluelemendiga – elementaarjoaga ja

jäeti arvesse võtmata liikumisele kuluv energia.

Kui elementaarjoa asemel vaadelda voolu, siis

elavlõigete pindalad on 𝐴1 ja 𝐴2 nende

pinnakeskmete kõrgused nulltasandist 𝑧1 ja 𝑧2,

rõhud pinnakeskmetes 𝑝1 ja 𝑝2 ning keskkiirused

𝑣1 ja 𝑣2.

27

Võrrand

𝑔𝜌𝑑𝑉 𝑧1 − 𝑧2 + 𝑑𝑉 𝑝1 − 𝑝2 =

= 𝜌𝑑𝑉𝑢2

2

2−𝑢1

2

2

asendub siis seosega

𝑔𝜌𝑑𝑉 𝑧1 − 𝑧2 + 𝑑𝑉 𝑝1 − 𝑝2 =

= 𝜌𝑑𝑉𝛼2𝑣2

2

2−𝛼1𝑣1

2

2.

mille paremas pooles on kasutatud voolu

kineetilise energia avaldist

𝐸𝑘𝑖𝑛 =1

2𝜌𝛼𝑣2𝑑𝑉.

Võrrandi

𝑔𝜌𝑑𝑉 𝑧1 − 𝑧2 + 𝑑𝑉 𝑝1 − 𝑝2 =

= 𝜌𝑑𝑉𝛼2𝑣2

2

2−𝛼1𝑣1

2

2

teisendamise tulemuselna saadakse Bernoulli

võrrand ideaalvedeliku muutumatu voolu kohta

𝑧1 +𝑝1𝜌𝑔

+𝛼1𝑣1

2

2𝑔= 𝑧2 +

𝑝2𝜌𝑔

+𝛼2𝑣2

2

2𝑔.

Eelpool selgus, et 𝑧 + Τ𝑝 𝜌𝑔 = 𝐸𝑝𝑜𝑡 on vedeliku

potentsiaalne erienergia. Voolavas vedelikus

lisandub veel kineetiline erienergia

𝐸𝑘𝑖𝑛 = 𝛼 Τ𝑣2 2𝑔 ,mis koos potentsiaalsega moodustab voolu

erienergia elavlõikes.

28

Potentsiaalse ja kineetilise erienergiate summa on

voolu erienergia elavlõikes:

𝐸 = 𝐸𝑝𝑜𝑡 + 𝐸𝑘𝑖𝑛 = 𝑧 +𝑝

𝜌𝑔+𝛼𝑣2

2𝑔Ideaalvedeliku puhul voolu erienergia piki voolu ei

muutu, st voolu elavlõigete puhul kehtib 𝐸1 = 𝐸2.

Reaalvedeliku voolamisel see nii ei ole ning

võrrandisse 𝐸1 = 𝐸2 lisandub survekadu ℎ𝑡 , mis

mõõdab voolamisel ristlõikest 1 lõikeni 2

voolutakistuste ületamiseks kulunud energiat:

𝐸1 = 𝐸2 + ℎ𝑡.

Bernoulli võrrand reaalvedeliku muutumatu ehk

statsionaarse voolu kohta kujuneb seega

järgmiseks:

𝑧1 +𝑝1𝜌𝑔

+𝛼1𝑣1

2

2𝑔= 𝑧2 +

𝑝2𝜌𝑔

+𝛼2𝑣2

2

2𝑔+ ℎ𝑡 .

See on hüdrodünaamika põhivõrrand, mille abil

saab koos pidevusvõrrandiga

𝑣1𝐴1 = 𝑣2𝐴2 ehk 𝑣1

𝑣2=

𝐴2

𝐴1

Lahendada enamikku vedeliku voolamisega

seotud probleeme tingimusel, et vool on ühtlane

või mõõdukalt ebaühtlane (st et rõhujaotus

elavlõikes on hüdrostaatiline).

29

Tugevasti ebaühtlast voolamist Bernoulli võrrand

ei kirjelda, sellist liikumist käsitlevate ülesannete

puhul rakendatakse liikumishulga võrrandit.

Ajas mõõdukalt muutuva voolu jaoks lisatakse

reaalvoolu Bernoulli võrrandisse inertsisurve

ℎ𝑖𝑛, mis arvestab energia muutust ajas kiireneval

ℎ𝑖𝑛 > 0 või aeglustuval ℎ𝑖𝑛 < 0 liikumisel.

Bernoulli võrrand reaalvedeliku mõõdukalt

muutuva voolu jaoks on:

𝑧1 +𝑝1𝜌𝑔

+𝛼1𝑣1

2

2𝑔= 𝑧2 +

𝑝2𝜌𝑔

+𝛼2𝑣2

2

2𝑔+ ℎ𝑡 ± ℎ𝑖𝑛.

Inertsisurve tekib kiirenevas ℎ𝑖𝑛 > 0 või

aeglustuvas ℎ𝑖𝑛 < 0 voolus, ta kaaasneb

potentsiaalse ja kineetilise energia vahekorra

muutumisega ning teda saab arvutada seosest

ℎ𝑖𝑛 =𝛼0𝑙

𝑔∙𝑑𝑣

𝑑𝑡,

kus 𝛼0 on Boussinesq′i tegur

𝛼0 =𝐴𝑢

2𝑑𝐴

𝑣2𝐴,

𝑙 on voolu pikkus ning Τ𝑑𝑣 𝑑𝑡 kiirendus.

30

BERNOULLI VÕRRANDI GEOMEETRILINE JA

ENERGEETILINE TÕLGENDUS

Reaalvedeliku Bernoulli võrrandi kõik liikmed on

pikkuse dimensiooniga, mis tähendab, et need

väljendavad samaaegselt nii survet kui ka voolava

vedeliku energiat kaaluühiku kohta (erienergiat).

Võrrandi esimene liige 𝑧 on kõrgussurve,

energeetiliselt aga potentsiaalne erienergia;

Teine liige𝑝

𝜌𝑔on piesomeetersurve, teisalt aga

potentsiaalne rõhu-erienergia;

Võrrandi kolmas liige𝛼𝑣2

2𝑔on kiirussurve;

energeetilisest vaatepunktist on see kineetiline

erienergia 𝐸𝑘𝑖𝑛.

Bernoulli võrrandi kolme liikmega määratud

surved annavad kokku täissurve 𝐻 ehk

erienergia 𝐸 (𝐸 = 𝐸𝑝𝑜𝑡 + 𝐸𝑘𝑖𝑛 = 𝑧 +𝑝

𝜌𝑔+

𝛼𝑣2

2𝑔)

𝐻 = 𝐸 = 𝑧 +𝑝

𝜌𝑔+𝛼𝑣2

2𝑔.

Bernoulli võrrandit saab kujutada graafiliselt

31

Bernoulli võrrandi graafiline kujutis

Voolu potentsiaalse erienergia 𝐸𝑝𝑜𝑡 = 𝑧 +𝑝

𝜌𝑔

muutumist piki voolu kirjeldab survejoon ehk

piesomeeterjoon. Selle joone ordinaate saab

nähtavaks teha piesomeetrite abil, avasängis

kulgeb see mööda vabapinda. Survejoone

langu 𝑖 nimetatakase piesomeeterlanguks ehk

survelanguks:

𝑖 =𝑑

𝑑𝑙𝑧 +

𝑝

𝜌𝑔=

𝑧1 +𝑝1𝜌𝑔

− 𝑧2 +𝑝2𝜌𝑔

𝑙,

kus 𝑙 on ristlõigete vaheline kaugus.

32

Bernoulli võrrandi graafiline kujutis

Energiajoon iseloomustab voolu erienergia (või

täissurve) muutumist piki voolu, selle lang 𝐼 kannab

hüdraulilise langu nime:

𝐼 =𝑑

𝑑𝑙𝑧 +

𝑝

𝜌𝑔+𝛼𝑣2

2𝑔=

=

𝑧1 +𝑝1𝜌𝑔

+𝛼1𝑣1

2

2𝑔− 𝑧2 +

𝑝2𝜌𝑔

+𝛼2𝑣2

2

2𝑔

𝑙,

ehk

𝐼 =ℎ𝑡𝑙.

Hüdrauliline lang võrdub survekaoga voolu

pikkusühiku kohta.

33

Energiajoon saab ainult alaneda, sest liikumisele

kulub energiat; järelikult on hüdrauliline lang alati

positiivne: 𝐼 > 0. Kui elavlõige piki voolu muutub,

siis muutub ka voolukiirus ning sellega ka

potentsiaalse ja kineetilise energia vahekord.

Järelikult võib survejoon, mis kulgeb kiirussurve

𝛼 Τ𝑣2 2𝑔 võrra allpool energiajoont, ka tõusta

(kui ristlõige suureneb ja kiirus seetõttu väheneb).

Kui vedelik liigub, siis survejoon ei saa kunagi

ühtida energiajoonega, kokku saavad nad ainult

siis kui vedelik seisab 𝑣 = 0 .

Survekadu ℎ𝑡 väljendab energiat, mis kulub

vedeliku kaaluühiku liikumisele. Kui sängi läbib

vooluhulk 𝑄 (m3/s), siis on vajalik võimsus (W)

voolutakistuste ületamiseks

𝑃 = 𝜌𝑔𝑄ℎ𝑡ning kogu voolu energiakulu (J)

𝐸𝑄 = 𝑃𝑡,

kus 𝑡 on arvutusajavahemik (s).

34