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Física 2º Bachillerato
Tema 1.- Ondas
1.- Definiones
Una onda es una perturbación que se propaga en el espacio. Transporta energía y
cantidad de movimiento sin que haya un desplazamiento de la materia.
Pulso: es una única oscilación:
Tren de ondas: son pulsos sucesivos:
Frente de onda: lugar geométrico de todos los puntos del medio afectados por la
perturbación en el mismo instante:
Rayo: Línea perpendicular a los frentes de onda. Indica la dirección en que se propaga
la onda.
Longitud de onda: distancia entre dos puntos consecutivos que se encuentran en el
mismo estado de perturbación. Se representa por .
Foco: punto donde se origina la onda.
2.- Movimiento vibratorio Armónico Simple (MAS)
Las ondas son producidas por vibraciones, por ello es necesario conocer el movimiento
vibratorio armónico simple. Es un movimiento en el cual una partícula oscila alrededor
de una posición de equilibrio, por ejemplo el movimiento de un muelle.
Este movimiento es periódico, es decir, se repite cada cierto intervalo de tiempo,
llamado período (T). La frecuencia de oscilación ( ) es el número de oscilaciones que
se producen en un segundo. La posición que ocupa el punto respecto a la posición de
equilibrio se llama elongación (x) y su valor máximo es la amplitud (A).
La fórmula del MAS es:
)·cos( 0 tAx ó )(· '
0 tsenAx
Frentes de onda
Rayos
2
donde es la rapidez angular y 0 o '
0 son las fases iniciales. El conjunto
0 t o '
0 t son las fases del MAS.
En un mismo caso se puede utilizar tanto la fórmula del seno como del coseno con la
condición de que la fase inicial sea distinta (hay que calcularla para cada caso). No
obstante está demostrado que para un mismo caso 2
0
'
0
(radianes).
Para obtener la rapidez se deriva respecto del tiempo:
)(· 0 tsenAdt
dxv ó )·cos( '
0 tAdt
dxv
Y la aceleración la obtenemos derivando la velocidad respecto del tiempo:
)·cos( 0
2 tAdt
dva ó )(· '
0
2 tsenAdt
dva
En ambos casos vemos que: xa 2 . La aceleración es directamente proporcional a
la elongación cambiada de signo.
2.1.- Fuerzas elásticas
Por la ley de Hooke: xkF · , donde k es la constante elástica.
Si consideramos la longitud inicial como cero:
kxF kxma xm
ka
Puesto que en un movimiento oscilatorio xa 2 , y el muelle oscila: m
k
De aquí podemos deducir el período de oscilación del muelle:
k
mT
2
2
2.2.- Péndulo
L
T
cpF
T
gm
x
mg
Ftg
cp
tgmgFcp ·
senmgFcp · (se puede hacer cuando
el ángulo es muy pequeño)
- 3 -
L
xmgFcp · , puesto que la fuerza se opone a la x:
L
xmgFcp ·
L
xmgma · x
L
ga ·
Puesto que en un movimiento oscilatorio xa 2 , y el péndulo oscila: L
g
De aquí podemos deducir el período de oscilación del péndulo:
g
LT
2
2
3.- Ondas mecánicas y ondas electromagnéticas
Las ondas mecánicas son aquellas que necesitan un medio para propagarse. En
cambio las electromagnéticas pueden propagarse en el vacío, como por ejemplo la
luz, que es una onda electromagnética.
Las ondas mecánicas pueden ser longitudinales o transversales, mientras que las
electromagnéticas son siempre transversales. (Las ondas electromagnéticas no se
estudian en este tema).
Una onda es longitudinal cuando oscila en la misma dirección en la que se propaga,
y es transversal cuando oscila en la dirección perpendicular a la dirección en la
que se propaga.
Ej: Considerando las líneas como muelles:
Onda longitudinal
Onda transversal
Propagación de la onda
- 4 -
4.- Ecuación general del movimiento ondulatorio
En el apartado 2 se ha dado la ecuación de un MAS. Pero no es la misma que la
ecuación de una onda. En una onda cada punto realiza un MAS, pero cada punto lo
realiza con cierto retraso respecto al anterior.
Una onda recorre la longitud equivalente a su longitud de onda en un tiempo igual
a un período:
Tvonda
Si tomamos t como el tiempo que hace que la onda se ha iniciado, y t’ como el tiempo
que tarda la onda en alcanzar el punto x deseado (y por tanto es el tiempo que pasa
desde que se inicia la onda hasta que el punto situado a x metros del foco comienza a
realizar un MAS):
)'·(· ttsenAy , puesto que 't
xvonda :
x
T
tsenA
Tv
x
T
tsenA
v
xt
TsenA
v
xtsenAy ·2··2··
2···
)(··2·2
· kxtsenAx
T
tsenAy
La ecuación de ondas se queda así:
)(· kxtsenAy
donde
2k es el número de ondas y )( kxt es la fase.
También puede utilizarse la siguiente fórmula:
)2
·cos(
kxtAy
Ambas si en t = 0 el foco se encuentra en la posición de equilibrio. Pero si se encuentra
en su elongación máxima (amplitud):
)2
(·
kxtsenAy )·cos( kxtAy
Cuando dos puntos se encuentran en el mismo estado de perturbación (o lo que es
lo mismo, se encuentran a una distancia múltiplo de la longitud de onda) se dice que
están en fase.
- 5 -
Si tenemos dos ondas:
)(·
)(·
222
111
kxtsenAy
kxtsenAy
Tenemos:
)(
)(
222
111
kxt
kxt
)()( 112212 kxtkxt
En un instante dado (t = cte): )( 21 xxk
En un punto fijo (x = cte): )( 1212 tt
Dos puntos están en fase si:
2·n 2·)( 21 nxxk 2
221
nnxx
Dos puntos están en oposición de fase si:
2·n 2·)( 21 nxxk 2
1222
22
21
nnnxx
5.- Energía e intesidad de las ondas
5.1.- Estudio energético del foco
En las oscilaciones, puesto que la fuerza que actúa en las partículas tiende a devolverlas
a la posición de equilibrio (fuerza recuperadora), consideramos la fuerza como negativa:
dxFdW ·
AAAAA x
mdxxmdxxmdxmadxFW
0
22
0
2
0
2
00 2····
La energía que posee una onda es:
222
222
2
2
1
22
0
2 mA
Am
AmW
Como vemos la energía es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud y
al cuadrado de la frecuencia:
22 ·· ActeEm
5.2.- Intensidad de la onda
La energía transmitida por el foco se distribuye por todo el espacio por donde se
propaga el movimiento ondulatorio. Cuanto más extensa es la superfície de propagación
de la onda más se dispersa la energía.
- 6 -
En un tiempo t pasa una energía E a través de una superficie S normal a la
dirección de propagación. La intensidad de una onda es la energía que atraviesa la
unidad de superficie perpendicular a la dirección de propagación de la onda en la
unidad de tiempo:
nn S
P
tS
EI
·
La intensidad es igual a la potencia por unidad de superficie perpendicular a la
dirección de propagación de la onda. Y, por tanto, se mide en W/m2. La potencia
de la onda es siempre constante.
Como podemos comprobar:
tS
Acte
tS
EI
nn
m
·
··
·
22
22 ·· ActeI
Puesto que en una misma onda la frecuencia se mantiene constante, una variación
de intensidad implica siempre una variación de la amplitud de la onda.
2·ActeI
5.3.- Variación de la intensidad con la distancia al foco
La energía de una onda se mantiene en el frente de onda. Cuando el foco emite otro
frente de onda, éste tiene la misma energía que el anterior. Vamos a estudiar lo que
ocurre con un único frente de onda.
Puesto que los frentes de onda son perpendiculares a los rayos, y éstos tienen la misma
dirección que la onda, se puede considerar los frentes de onda como las superficies
normales a la dirección de la onda.
Si tenemos una onda plana (es decir, una onda que tan sólo se propaga en una
dirección) puesto que la superficie normal a la dirección de la onda es siempre la
misma:
cte
cte
S
PI
n
cteI 2·Actecte cteA 2
cteA
Un ejemplo de onda plana es el rayo láser. Al ser una onda plana su intensidad se
mantiene con la distancia. Deberían poder llegar a cualquier parte por lejos que
estuviese, pero el rayo láser no es una onda plana perfecta, por ello va perdiendo
intensidad. El motivo por el cual tienen un gran alcance es porque son casi una onda
plana.
En el caso de una onda circular los frentes de onda son circunferencias, por tanto
la superficie normal a la dirección de propagación será de r2 :
- 7 -
r
cte
r
cte
S
PI
n
2
cterI · 2·Acte
r
cte cterA ·2
cterA ·
Si tenemos una onda esférica los frentes de onda son esferas, por tanto la superficie
normal a la dirección de propagación será de 24 r :
224 r
cte
r
cte
S
PI
n
cterI 2· 2
2·Acte
r
cte cterA 22 · cterA ·
5.4.- Absorción
Parte de la energía aportada por la onda se transforma en otro tipo de energía
según diferentes procesos que dependen del tipo de onda y del medio considerado.
Este fenómeno es la llamada absorción.
Las fórmulas anteriores sirven si no existe absorción (o si es casi nula, como en el aire).
Sea I la intensidad del frente en un punto del medio que tomaremos como origen de
distancias (x = 0). Cuando la onda ha atravesado un espesor del material dx, se produce
una disminución de la intensidad –dI.
Se puede demostrar que:
dxIdI ··
donde es el coeficiente de absorción (propio de cada medio).
dxI
dI·
xI
Idx
I
dI
0·
0
xI
IdxILn
0·
0
xxILnILn 00 ·
xI
ILn ·
0
xe
I
I ·
0
xeII ·
0 ·
Se llama espesor de semiabsorción al espesor del material que reduce la intensidad
de la onda a la mitad:
xeII ·
0
0 ·2
xe ·
2
1 xLn ·2
1 xLnLn ·21
xLn ·2 xLn ·2
69'02
Lnx
- 8 -
6.- Propiedades de las ondas
6.1.- Reflexión
Líneas azules: rayo incidente
Línea cian: frente de onda del rayo incidente
Líneas rojas: rayo reflejado
Línea granate: frente de onde del rayo reflejado.
El ángulo de incidencia ( i ) es igual al ángulo de reflexión( r ).
El rayo incidente, el rayo de reflexión, y la normal al plano en el punto de
incidencia pertenecen a un mismo plano.
6.2.- Refracción
Cuando una onda incide en el límite entre dos medios, parte de la onda se refleja y
sigue en el mismo medio, mientras que otra parte es refractada.
Cuando una partícula llega al punto A, mientras es refractada y se dirige hasta A’ otra
partícula pasa de B a B’. De modo que la onda tarda el mismo tiempo en pasar de A a
A’ que de B a B’, y esto significa que en cada medio la onda tiene una velocidad
diferente.
En el gráfico podemos ver que:
'
'ˆ
'
'ˆ
AB
AArsen
AB
BBisen
rsen
AA
isen
BB
ˆ
'
ˆ
'
rsen
tv
isen
tv
ˆ
·
ˆ
· 21 rsenvisenv ˆ·ˆ· 12 Ley de Snell
- 9 -
Aunque la ley de Snell es más útil si utilizamos los índices de refracción de los
medios (n), que son la relación entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad
de la onda en el medio:
2
2
1
1
v
cn
v
cn
rsenc
visen
c
vˆ·ˆ· 12 rsen
v
cisen
v
cˆ·ˆ·
21
rsennisenn ˆ·ˆ· 21
Si se va aumentando el ángulo de incidencia se llega al ángulo límite a partir del
cual se produce una reflexión total y deja de haber refracción. Tal ángulo límite es
aquel con el cual aparece un ángulo de refracción de 90º:
221 º90·ˆ· nsennisenn Limite 1
2ˆn
nisen Limite
1
2ˆn
narcseniLimite
6.3.- Interferencia
Las interferencias se producen cuando, en un mismo instante, en un mismo punto
se superponen dos o más ondas. Las interferencias tan sólo pueden producirse si
las ondas tienen la misma frecuencia.
Dadas dos ondas de la misma amplitud y frecuencia:
)(·
)(·
22
11
kxtsenAy
kxtsenAy
La superposición de ambas es la suma algebraica:
)(·)(· 22121 kxtsenAkxtsenAyyyT
Haciendo operaciones:
2
)(·
2
)(·cos2 1212 xx
ktsenxx
kAyT
donde la amplitud de la onda superposición es:
2
)(·cos2 12 xx
kA
y la fase es: 2
)( 12 xxkt
Se dice que se tiene interferencia constructiva cuando se tiene la máxima amplitud
posible, e interferencia destructiva cuando se tiene la mínima posible:
Interferencia constructiva: AA 2max 12
)(cos 12
xxk n
xxk
2
)( 12
- 10 -
n
xx
2
)(2 12 nxx
)( 12 2
2)( 12
nxx
Interferencia destructiva: 0min A 02
)(cos 12
xxk
22
)( 12
n
xxk
22
)(2 12
n
xx
2
1)( 12
nxx
222)( 12
nxx
2
12)( 12
nxx
En general (si las amplitudes son diferentes): 21max AAA , 21min AAA
6.4.- Difracción
Es la propagación de una onda al superar un obstáculo o al atravesar un orificio.
Al difractarse la onda se desvía de la propagación rectilínea.
La difracción permite a las ondas bordear obstáculos.
La condición que se necesita para que haya difracción es que el obstáculo o el
orificio sean del orden de la longitud de onda.
7.- Principio de Huygens
Cada punto del frente de una onda que se propaga puede ser considerado como
foco de una nueva onda secundaria. El nuevo frente de onda de la onda principal
será la envolvente de los frentes de onda de las ondas que producen los focos
secundarios.
En el siguiente gráfico las ondas rojas son las ondas secundarias, y la envolvente a todas
ellas es el nuevo frente de onda de la onda principal.
- 11 -
8.- Ondas estacionarias
Un ejemplo interesante de reflexión con interferencia es el que se produce entre dos
ondas de iguales características pero con distinto sentido de desplazamiento.
En estos ejemplos se hace oscilar el extremo de una cuerda, con menor o mayor
frecuencia, y cuando la onda generada llega a la pared ésta se refleja e interfiere con la
onda incidente.
Este tipo de ondas no viaja ni hacia delante ni hacia atrás, por ello se las llama
ondas estacionarias.
Los puntos de interferencia destructiva se llaman nodos y los de interferencia
constructiva se llaman vientres.
- 12 -
No siempre que se hace oscilar el extremo de una cuerda se producen ondas
estacionarias. Debe hacerse a determinadas frecuencias, llamadas frecuencias de
resonancia.
Para que se produzcan ondas estacionarias la relación entre la longitud de la
cuerda (L) y la frecuencia debe ser:
L
vnresonancia
42
Aunque se suele expresar así:
L
vnresonancia
42
resonancia
vnL
·42
42
nL
La frecuencia de resonancia que aparece con n = 1 es la llamada frecuencia fundamental
o primer armónico. La que aparece con n = 2 es el segundo armónico, … Las figuras
antes mostradas pertenecen al primer y segundo armónico. La n puede valer: 1, 2, 3, …
Si en vez de tener los dos extremos fijos tan sólo tenemos uno:
En este caso para que se produzcan ondas estacionarias la relación entre la
longitud de la cuerda (L) y la frecuencia debe ser:
L
vnresonancia
412
- 13 -
Aunque se suele expresar así:
L
vnresonancia
412
resonancia
vnL
·412
412
nL
La frecuencia de resonancia que aparece con n = 0 es la llamada frecuencia fundamental
o primer armónico. La que aparece con n = 1 es el tercer armónico, con n = 2 tenemos
el quinto armónico, … Las figuras antes mostradas pertenecen al primer y tercer
armónico. La n puede valer: 0, 1, 2, 3, …
9.- El sonido
El sonido es una onda mecánica, y por ello necesita de un medio por el cual
propagarse. Dependiendo del medio el sonido se desplaza a distintas velocidades.
Se transmite con mayor rapidez en los sólidos (por ejemplo, en el acero: 5900 m/s)
que en los líquidos (por ejemplo, en el agua: 1480 m/s), y en los líquidos con mayor
rapidez que en el aire (340 m/s).
El sonido es una onda esférica, por ello se puede oir delante, detrás, a un lado, arriba,
…, a no ser que encuentre algún obstáculo.
9.1.- Resonancia
Cuando una onda sonora de una cierta frecuencia alcanza una partícula, ésta
empieza a vibrar con la misma frecuencia. Se dice que la partícula está
“resonando” y que lo hace con la frecuencia de resonancia.
Eso mismo hace el tímpano humano para poder oír. El tímpano humano es capaz de
resonar ante sonidos que poseen una frecuencia de entre 20 Hz y 20.000 Hz. Los
sonidos cuya frecuencia es inferior a 20 Hz son los llamados infrasonidos, y los que
tienen una frecuencia superior a los 20.000 Hz son los llamados ultrasonidos.
9.2.- Sensación sonora o sonoridad
Sabemos que el oído humano puede percibir sonidos cuya intensidad sea superior a
10-12 W/m2 a la frecuencia de 1000 Hz, llamada intensidad umbral ( 0I ). A doble
intensidad no le corresponde doble sensación sonora. La relación entre intensidad y
sensación sonora ( LI ) es:
0
·log10I
ILI
La sensación sonora, en el SI, se mide en decibelios (dB).
También se puede utilizar la fórmula:
12
00
0
10·log10·log10·log10·log10loglog·10·log10 IIIIII
ILI
- 14 -
12·10·log1010·log10·log10 12 II
ILI ·log10120
10.- Polarización
La polarización consiste en restringir de alguna manera la vibración libre de las
partículas del medio, obligándolas a vibrar en un único plano (polarización lineal),
o bien hacer que vibren describiendo curvas cerradas (polarización circular o
elíptica).
Las ondas longitudinales están totalmente polarizadas, ya que su dirección de vibración
coincide con su dirección de propagación, mientras que una onda transversal vibra en
todos los planos perpendiculares a la dirección de propagación, y por ello decimos que
no está polarizada.
Si conseguimos, mediante un agente polarizador, que una onda transversal vibre en un
único plano (perpendicular a la dirección de propagación) habremos polarizado la onda.
(El tren de ondas que se ve en la primera página es un ejemplo de onda transversal
polarizada, ya que únicamente vibra en un único plano perpendicular a la dirección de
propagación de la onda. También es el caso de la onda transversal del punto 3).
11.- Efecto Doppler
Si vemos llegar a una ambulancia o un coche de policía con la sirena encencida,
mientras se acercan oímos un sonido, y una vez nos han sobrepasado y los vemos
alejarse oímos otro más grave. Esto se debe al efecto Doppler.
En realidad, cuando se acerca la sirena oímos un sonido más agudo (mayor frecuencia)
del que está emitiendo realmente, si se para oímos exactamente el sonido real, y si se
aleja oímos un sonido más grave (menor frecuencia) del real.
También puede darse el caso de que la sirena esté inmóvil y el observador se acerque o
se aleje, o que tanto la sirena como el observador estén en movimiento.
Independientemente de cuál sea el caso, si foco y observador cada vez están más
cerca el observador percibe una mayor frecuencia que la real, y si foco y
observador cada vez están más separados el observador percibe una frecuencia
menor que la real. La fórmula que la refleja es:
F
o
vv
vv
'
donde ' y son, respectivamente, la frecuencia percibida por el observador y la
frecuencia emitida por el foco, v es la velocidad del sonido en el medio, ov es la
velocidad del observador (positiva si se acerca al foco), y Fv es la velocidad del foco
(positiva si se acerca al observador).
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Resumen del tema 1
Una onda es una perturbación que se propaga en el espacio. Transporta energía y
cantidad de movimiento sin que haya un desplazamiento de la materia.
Movimiento vibratorio Armónico Simple (MAS)
)·cos( 0 tAx ó )(· '
0 tsenAx
Para un mismo caso 2
0
'
0
(radianes).
)(· 0 tsenAdt
dxv ó )·cos( '
0 tAdt
dxv
)·cos( 0
2 tAdt
dva ó )(· '
0
2 tsenAdt
dva
xa 2
Ecuación general del movimiento ondulatorio
Tvonda
2k : número de ondas
t = 0: foco en la posición de equilibrio t = 0: foco en la elongación máxima
)(· kxtsenAy )2
(·
kxtsenAy
)2
·cos(
kxtAy )·cos( kxtAy
Dos puntos están en fase si:
2
221
nxx
Dos puntos están en oposición de fase si:
2
1221
nxx
Energía e intesidad de las ondas
La energía es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado
de la frecuencia:
22 ·· ActeEm
- 16 -
La intensidad es igual a la potencia por unidad de superficie perpendicular a la
dirección de propagación de la onda. Y, por tanto, se mide en W/m2. La potencia
de la onda es siempre constante:
nn S
P
tS
EI
·
2·ActeI
Onda plana: cteI cteA 2
Onda circular: cterI · cterA ·2
Onda esférica: cterI 2· cterA 22 ·
Absorción: xeII ·
0 ·
Espesor de semiabsorción:
69'02
Lnx
Propiedades de las ondas
Reflexión
El ángulo de incidencia ( i ) es igual al ángulo de reflexión( r ).
El rayo incidente, el rayo de reflexión, y la normal al plano en el punto de
incidencia pertenecen a un mismo plano.
Refracción
Cuando una onda incide en el límite entre dos medios, parte de la onda se refleja y
sigue en el mismo medio, mientras que otra parte es refractada.
rsennisenn ˆ·ˆ· 21 Ley de Snell
1
2ˆn
narcseniLimite
Interferencia
Las interferencias tan sólo pueden producirse si las ondas tienen la misma
frecuencia.
Interferencia constructiva: 2
2)( 12
nxx
Interferencia destructiva: 2
12)( 12
nxx
Difracción
La condición que se necesita para que haya difracción es que el obstáculo o el
orificio sean del orden de la longitud de onda.
- 17 -
Principio de Huygens
Cada punto del frente de una onda que se propaga puede ser considerado como
foco de una nueva onda secundaria. El nuevo frente de onda de la onda principal
será la envolvente de los frentes de onda de las ondas que producen los focos
secundarios.
Ondas estacionarias
Interferencia constructiva: vientres.
Interferencia destructiva: nodos.
Si ambos extemos están fijos: 4
2
nL La n puede valer: 1, 2, 3, …
Si un extremo está fijo y otro libre: 4
12
nL La n puede valer: 0, 1, 2, 3, …
El sonido
Sensación sonora o sonoridad
Intensidad umbral ( 0I ) = 10-12 W/m2
0
·log10I
ILI ó ILI ·log10120
Efecto Doppler
Independientemente de cuál sea el caso, si foco y observador cada vez están más
cerca el observador percibe una mayor frecuencia que la real, y si foco y
observador cada vez están más separados el observador percibe una frecuencia
menor que la real.
F
o
vv
vv
'
ov positiva si se acerca al foco
Fv positiva si se acerca al observador
- 18 -
Tema 2.- Interacción gravitatoria
1.- Ley de Newton de la gravitación universal
El valor de la fuerza gravitatoria entre dos masas puntuales es directamente
proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de
la distancia entre sus centros:
2
·
r
mMGFg
donde G es la constante de gravitación universal, y es 2
211 ·
10·67'6kg
mNG
La fórmula de esta fuerza gravitatoria es:
rg ur
mMGF
·
·2
donde r es la distancia entre los centros de las masas y ru
es el vector unitario en la
dirección de r .
2.- Momento angular y fuerzas centrales
2.1.- Momento de una fuerza
Para producir un giro en un cuerpo, respecto a un punto fijo, es necesario aplicar una
fuerza a cierta distancia del punto de giro, y que ésta forme un cierto ángulo respecto a
al vector de posición.
El momento de una fuerza sirve para cuantificar el efecto de una fuerza en la
rotación de un cuerpo. Es el producto vectorial del vector de posición de la fuerza
respecto del punto fijo por el propio vector de fuerza:
FrM
Su dirección es perpendicular al plano de giro, su sentido es el correspondiente según la
regla de Maxwell (o regla de la mano derecha), y su módulo es: senFrM ··
2.2.- Momento angular
Al igual que la cantidad de movimiento (o momento lineal) caracteriza el estado de
traslación de un cuerpo, el momento angular caracteriza el estado de rotación de un
cuerpo:
prL
- 19 -
donde p
es la cantidad de movimiento del cuerpo.
2.3.- Relaciones entre momentos y entre traslación y rotación
Traslación Rotación
vmp
· prIL
·
dt
pdamF
· Fr
dt
LdIM
·
Si 0
F : ctep
Si 0
M : cteL
Es importante saber que las fuerzas internas a un sistema no modifican el momento
angular del mismo, únicamente afectan las fuerzas externas. La última fila de la segunda
columna enuncia el principio de conservación del momento angular:
Si la suma de los momentos de las fuerzas externas al sistema es nula, el momento
angular es constante.
2.4.- Fuerzas centrales
Las fuerzas centrales son aquellas que siempre van dirigidas hacia un mismo
punto con independencia de la posición del cuerpo sobre el que actúan.
En este caso, el vector fuerza se encuentra superpuesto al vector de posición respecto al
punto al que se dirige la fuerza, es decir, r
y F
son paralelos. Como consecuencia el
módulo del momento de la fuerza es 0 y, por tanto, 0
M .
Esto significa que en un campo formado por fuerzas centrales, el momento angular
sobre el centro se conserva.
Un ejemplo de campo central es el campo gravitatorio, ya que todas las fuerzas se
dirigen hacia el centro de la Tierra.
3.- Leyes de Kepler
Primera ley: Las órbitas de los planetas son elípticas, ocupando el Sol uno de sus focos.
Segunda ley: El área barrida por el vector de posición del planeta, respecto del Sol, por
unidad de tiempo es constante.
- 20 -
Las tres áreas de la figura son iguales.
Tercera ley: Los cuadrados de los periodos de cada planeta son directamente
proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas respectivas:
32 ·akT
Una consecuencia del carácter central de la interacción gravitatoria es la conservación
del momento angular de cualquier planeta respecto al Sol (todos los planetas son
atraídos hacia el centro del Sol). Esto implica que:
El vector L
es constante en dirección: al ser perpendicular al plano formado por
los vectores de posición y velocidad del planeta, el plano de giro debe ser
siempre el mismo, por lo que la órbita de un planeta es siempre plana.
El vector L
es constante en sentido: esto significa que el sentido de giro del
planeta en la órbita es siempre el mismo.
El vector L
es constante en módulo: esto demuestra la segunda ley de Kepler, y
la velocidad areolar
dt
dA del planeta es constante:
En la figura anterior, consideramos que r
va desde el Sol hasta 6P , el planeta se
mueve de 6P a 5P , y por tanto la distancia 56 PP será dtv
.
Puesto que hablamos de distancias muy grandes, se puede considerar que el ángulo
formado entre r
y dtv
es prácticamente 90º. De modo que:
- 21 -
mvrvmrL
dtvrdtvrdA
2
1
2
1
dtm
LdA
2
1 cte
m
L
dt
dA
2
1
Otra deducción a partir de la conservación del momento angular es que la velocidad de
los planetas en el perihelio es mayor que en el afelio:
º90···º90··· senvmrsenvmrL aTierraapTierrap
aapp vrvr ·· ctevr ·
Puesto que ap rr
ap vv
4.- El campo gravitatorio
La fuerza gravitatoria a la que es sometido un cuerpo depende de su masa y de la
intensidad de campo gravitatorio g
en el punto en el que se encuentra dicha
masa:
gmFg
El vector intensidad de campo gravitatorio se define así:
m
ur
mMG
m
Fg
rg
2
·
rur
MGg
2
donde r es la distancia entre el centro de la masa que crea el campo y el punto cuya
intensidad de campo gravitatorio se quiere hallar y ru
es el vector unitario en la
dirección y sentido hacia el punto en cuestión (es opuesto al vector intensidad de campo
gravitatorio).
- 22 -
5.- El campo gravitatorio terrestre
El módulo de la intensidad de campo gravitatorio terrestre (gravedad) se puede hallar
así:
80665'920 Tierra
Tierra
R
MGg
Debido a la rotación de la Tierra, el valor teórico de la gravedad en la superficie
terrestre no coincide con el efectivo que mide un péndulo.
La gravedad real es la suma vectorial de la aceleración normal producida por el
giro de la Tierra sobre el eje (gravedad de rotación) y la gravedad efectiva que
mediría un péndulo:
efectivaroto ggg
nTierrannrot uRurag
·cos· 22
En el interior de la Tierra la gravedad es:
30int
·
Tierra
Tierra
Tierra R
rMG
R
rgg
donde r es la distancia al centro de la Tierra.
6.- Estudio energético de la interacción gravitatoria
Para que una masa pase de una posición 1r
a otra 2r
el campo debe proporcionarle
energía mediante la fuerza gravitatoria:
- 23 -
r
r
r
r
r
r
rr
r
rgrr GMm
r
drGMmsdu
r
mMGsdFW
12
1
2
1
2
1
2
121 22
··
·
21
··21 r
mMG
r
mMGW rr
Como vemos, esa energía es independiente del camino seguido para ir de 1r
a 2r
.
Únicamente depende de la posición inicial y la posición final.
6.1.- Energía potencial gravitatoria
La magnitud escalar que permite caracterizar al campo gravitatorio la
denominamos energía potencial gravitatoria, y se define así:
cter
mMGE p
·
Puesto que tomamos como origen de potenciales el infinito, es decir, para r es
0pE , la constante debe ser nula. De este modo, la energía potencial gravitatoria es:
r
mMGE p
·
Como consecuencia de esta fórmula, la energía potencial gravitatoria es siempre
negativa.
6.2.- Trabajo interior y trabajo exterior
Anteriormente hemos visto que:
21
··21 r
mMG
r
mMGW rr
Desarrollando obtenemos:
1221
21
··ppppcampo EEEE
r
mMG
r
mMGW
pcampo EW
Esto significa que un cuerpo libre (sin fuerzas ni trabajos externos al campo), en
un campo gravitatorio, se desplaza hacia energías potenciales decrecientes.
Si queremos el efecto contrario hay que aplicar un trabajo externo:
- 24 -
pext EW
Con estas fórmulas podemos deducir si un trabajo es espontáneo o forzado
dependiendo de si el trabajo realizado es negativo o positivo, respectivamente.
6.3.- Aproximación de la energía potencial gravitatoria
Muchas veces, cuando se opera en zonas muy próximas a la superficie terrestre, se
utiliza una fórmula aproximada de la energía potencial gravitatoria:
21
21
1221
·11··
21 rr
rrmGM
rrmGM
r
mMG
r
mMGEEE TT
TTppp
Considerando 11 hRr T y
22 hRr T :
21
21
21
21 ··hRhR
hhmGM
hRhR
hRhRmGME
TT
T
TT
TTTp
2121
2 ··
hhhhRR
hmGME
TT
Tp
Como hemos dicho que se opera en zonas muy próximas a la superficie terrestre,
tenemos que 1h y
2h son prácticamente iguales, además de que 1h y 2h :
22
11
2
2121
2·
2·
··
T
T
TT
T
TT
TpR
hmGM
hhRR
hmGM
hhhhRR
hmGME
hgmhR
MGm
R
hmGME
T
T
T
Tp
·····22
hgmE p ··
Si hemos hallado que la variación de energía potencial gravitatoriaentre es igual a la
masa del cuerpo por la gravedad terrestre y por la variación de altura, la energía
potencial gravitatoria en un punto en concreto es aproximadamente:
mghE p
7.- Potencial gravitatorio
La energía potencial depende de la posición relativa entre la masa que crea el campo
gravitatorio (M) y una masa “testigo” (m). Pero existe una magnitud que nos indica la
energía potencial que tendría una masa de 1 kg a cierta distancia r de la masa creadora
- 25 -
del campo gravitatorio, y que por tanto sólo depende de la masa creadora. Dicha
magnitud es el potencial gravitatorio:
r
MG
m
EV
p
8.- Conservación de la energía mecánica
La energía mecánica de un cuerpo tan sólo se puede modificar si se le aplica energía
mediante un trabajo externo al campo ( extW ):
extpcm WEEE
Si sobre el cuerpo no actúa ninguna fuerza externa al campo ( 0extW ), el sistema
no varía su energía mecánica:
0 mE
No obstante, puesto que la energía mecánica es la suma de la energía cinética más
la energía potencial, éstas no tienen porqué ser constantes, sino que puede
aumentar una de ellas y disminuir la otra de modo que su suma sea constante.
9.- Aplicación en los satélites
Si consideramos circular la órbita de un satélite alrededor de la Tierra:
normalg amF
·
De aquí deducimos la velocidad y período orbitales:
r
vm
r
mMG orb
2
2
·
2
orbvr
MG
r
MGvorb
GM
rr
r
MG
r
v
rT
orb
·2·2·2 2/3·
2r
GMT
Se puede establecer una relación entre la energía cinética y la energía potencial
gravitatoria del satélite:
r
mMG
r
mMG
r
MGmvmE orbc
·
2
1·
2
1·
2
1·
2
1 2 pc EE
2
1
La energía mecánica del satélite viene determinada por la ecuación:
- 26 -
pppcm EEEEE 2
1
pm EE2
1 ó
r
mMGEm
·
2
1
9.1.- Satélites especiales
Los satélites geoestacionarios son satélites que tienen como período orbital el mismo
que la Tierra (24 horas), de modo que siempre se encuentra en la misma posición
relativa respecto a la Tierra. Esto sólo ocurre en el plano ecuatorial, es decir, a la altura
del ecuador.
También existen los llamados satélites polares, que son aquellos cuyo eje de rotación es
perpendicular al eje de rotación terrestre.
9.2.- Rapidez de escape
Un cuerpo con una cierta velocidad inicial y hacia arriba va aumentanto su energía
potencial gravitatoria mientras disminuye su energía cinética (y con ello su velocidad).
Cuando su velocidad es nula el cuerpo ya no puede incrementar más su energía
potencial gravitatoria por lo que vuelve a la superficie por la acción de la gravedad.
Para que un cuerpo pueda escapar de la acción gravitatoria de un planeta o astro debe
tener una velocidad tal que le permita llegar al infinito. Una vez allí puede que haya
perdido toda su velocidad o puede que aún posea cierta velocidad.
La velocidad inicial con la cual el cuerpo puede llegar al infinito con velocidad nula (mínima velocidad inicial necesaria para escapar de la acción gravitatoria) es la
llamada rapidez de escape de tal planeta o astro.
mm EE 000
pcpc EEEE pc EE
R
mMG
R
mMGvm esc
···
2
1 2
R
MGvesc
2
2
1
R
MGvesc ·22
R
MGvesc ·2
RR
MG
R
MGvesc ··2·2
2 gRvesc 2
En resumen se podría decir que la velocidad de escape de un planeta o astro es igual a la
raíz cuadrada del doble del producto de la gravedad del planeta o astro por su radio.
- 27 -
Resumen del tema 2
Relaciones
rg ur
mMGF
·
·2
rur
MGg
2
gmFg
r
mMGE p
·
r
MGV mVE p
Relaciones gp FrE
· grV
·
Momento angular y fuerzas centrales
Traslación Rotación
vmp
· prIL
·
dt
pdamF
· Fr
dt
LdIM
·
Si 0
F : ctep
Si 0
M : cteL
Fuerzas centrales
Las fuerzas centrales son aquellas que siempre van dirigidas hacia un mismo
punto con independencia de la posición del cuerpo sobre el que actúan.
En un campo formado por fuerzas centrales, el momento angular sobre el centro
se conserva.
Leyes de Kepler
Primera ley: Las órbitas de los planetas son elípticas, ocupando el Sol uno de sus focos.
Segunda ley: El área barrida por el vector de posición del planeta, respecto del Sol, por
unidad de tiempo es constante.
Tercera ley: 32 ·akT
Estudio energético de la interacción gravitatoria
Trabajo interior y trabajo exterior
pcampo EW pext EW
Un trabajo es espontáneo o forzado dependiendo de si el trabajo realizado es
negativo o positivo, respectivamente.
Aproximación de la energía potencial gravitatoria
mghE p hgmE p ··
- 28 -
Conservación de la energía mecánica
extpcm WEEE
Si 0extW : 0 mE
Aplicación en los satélites
r
MGvorb 2/3·
2·2r
GMv
rT
orb
pc EE2
1 pm EE
2
1
Los satélites geoestacionarios son satélites que tienen como período orbital el mismo
que la Tierra (24 horas).
Rapidez de escape
La velocidad inicial con la cual el cuerpo puede llegar al infinito con velocidad nula
es la llamada rapidez de escape de tal planeta o astro:
R
MGvesc ·2 gRvesc 2
- 29 -
Tema 3.- Campo eléctrico y campo magnético
El fundamento de ambos campos es la carga eléctrica. Una carga eléctrica genera un
campo eléctrico, y si además se encuentra en movimiento genera un campo magnético.
1.- Campo eléctrico
Es un campo central de fuerzas.
Las partículas que constituyen el flujo eléctrico son los electrones.
Los cuerpos normalmente no están electrizados, ya que poseen el mismo número de
electrones (carga negativa) que de protones (carga positiva). Para electrizar un cuerpo
hay que transferir electrones. Un cuerpo que cede electrones se queda cargado
positivamente y uno que gana electrones se queda cargado negativamente.
La cantidad mínima de carga eléctrica corresponde al valor de la carga del electrón,
Ce 1910·6'1 , que es la unidad fundamental de carga.
En todos los procesos de electrización se conserva la carga total del sistema. Si un
cuerpo gana carga eléctrica es porque otro cuerpo lo ha cedido. Esta afirmación
constituye el principio de conservación de la carga eléctrica.
1.1.- Ley de Coulomb
La fórmula de la fuerza eléctrica es:
re ur
qQF
·
··
4
12
donde r es la distancia entre los centros de las cargas, ru
es el vector unitario en la
dirección de r , y es la constante dieléctrica, que es una propiedad de cada medio.
La fuerza eléctrica es atractiva si ambas cargas son de distinto signo y repulsiva si son
del mismo signo.
La constante dieléctrica es: r ·0 , donde 0 es la constante dieléctrica en el vacío y
r es la constante dieléctrica relativa respecto al vacío. La constante dieléctrica en el
vacío es 2
212
2
2
90·
10·84'8·10·9·4
1
mN
C
mN
C
, por lo que si se trata del vacío se
puede hacer la simplificación: re ur
qQF
·
··10·9
2
9 .
Por lo que respecta a la constante dieléctrica relativa:
Medio Vacío Aire Papel Vidrio Etanol Agua
Valor 1 1’00054 3’5 6 26 80
- 30 -
1.2.- Intensidad de campo eléctrico
La intensidad de campo eléctrico en un punto dado es la fuerza que ejerce el
campo eléctrico sobre una partícula de prueba (por convenio, positiva) de 1 C
situada en tal punto:
EqFe
q
ur
q
FE
re
2
·
4
1
rur
QE
24
1
La intensidad de campo eléctrico se mide en C
N en el S.I.
1.3.- Representación vectorial del campo eléctrico: líneas de campo
Las líneas de campo son líneas continuas que comienzan en las cargas positivas
(manantiales) y acaban en las cargas negativas (sumideros).
Siempre las líneas de campo son tangentes al vector E
en cada punto (o el vector E
es
siempre tangente a las líneas de campo).
En la representación, cuando más densidad de líneas de campo hay en una región mayor
es la intensidad de campo eléctrico.
Las líneas de campo no se pueden cortar nunca.
1.4.- Energía potencial del campo eléctrico
Para que una carga pase de una posición 1r
a otra 2r
el campo debe proporcionarle
energía mediante la fuerza eléctrica:
r
r
r
r
r
r
rr
r
rerr Qq
r
drQqsdu
r
qQsdFW
12
1
2
1
2
1
2
121 4
1
4
1·
··
4
1·
22
- 31 -
21
··
4
1··
4
121 r
r
qQW rr
Como vemos, esa energía es independiente del camino seguido para ir de 1r
a 2r
.
Únicamente depende de la posición inicial y la posición final.
La magnitud escalar que permite caracterizar al campo eléctrico la denominamos
energía potencial eléctrica, y se define así:
cter
qQE p
··
4
1
Puesto que tomamos como origen de potenciales el infinito, es decir, para r es
0pE , la constante debe ser nula. De este modo, la energía potencial eléctrico es:
r
qQE p
··
4
1
Anteriormente hemos visto que:
21
··
4
1··
4
121 r
r
qQW rr
Desarrollando obtenemos:
1221
21
··
4
1··
4
1ppppcampo EEEE
r
r
qQW
pcampo EW
Esto significa que una carga positiva libre (sin fuerzas ni trabajos externos al
campo), en un campo eléctrico, se desplaza hacia energías potenciales decrecientes,
mientras que una carga negativa libre se desplaza hacia energías potenciales
crecientes.
Si queremos el efecto contrario hay que aplicar un trabajo externo:
pext EW
Con estas fórmulas podemos deducir si un trabajo es espontáneo o forzado
dependiendo de si el trabajo realizado es negativo o positivo, respectivamente.
- 32 -
1.5.- Potencial eléctrico
r
Q
q
EV
p·
4
1
La diferencia de potencial eléctrico (ddp) se representa por:
q
E
q
EE
q
E
q
EVVV
ppppp
1212
12
q
WV
campo VqWcampo ·
Er
Q
dr
dV
2·
4
1
E
x
V
E
x
V
xEV ·
xEqVq ···
xFW ecampo ·
1.6.- Superficies equipotenciales
Son lugares geométricos del espacio donde el potencial eléctrico es el mismo. En el
caso de una única carga eléctrica las superficies equipotenciales son superficies
esféricas concéntricas.
Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo.
El trabajo necesario para transportar una carga entre dos puntos de la misma
superficie equipotencial es nulo, ya que 12 VV y 00·· 12 qVVqWcampo
1.7.- Relación entre el campo eléctrico y sus fuentes (las cargas): Ley de Gauss
Para cuantificar la cantidad de líneas de campo que atraviesan una superficie arbitraria
se introduce el concepto de flujo .
·cos·· SESEE
donde es el ángulo que forman la dirección del campo E
y el vector superficie S
.
Por tanto, el flujo es máximo cuando la superficie es perpendicular al campo º0 , y
nulo cuando es paralela al campo º90 .
El flujo se mide en webers (Wb).
- 33 -
En una esfera:
Qr
r
QSEE º0·cos·4··
4
1·cos· 2
2
La Ley de Gauss dice que el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es
igual a la suma de las cargas encerradas por tal superficie dividido entre la
constante dieléctrica del medio:
encerrada
E
Q
1.8.- Aplicación de la Ley de Gauss
Campo eléctrico originado por una esfera conductora maciza de radio R cargada con
una carga Q:
Las cargas internas se repelen y, puesto que se trata de un material conductor, las cargas
pueden moverse libremente y se alejan unas de otras, acabando por situarse toda la
carga de la esfera en su superficie. Es decir:
La carga en el interior de un conductor electrizado es nula.
Y por ello, según la Ley de Gauss: SESEQencerrada
E ·º0·cos·00
, puesto
que la superficie no es nula, en el interior de la esfera conductora: 0
E
En el exterior de la esfera, cogiendo cualquier superficie esférica se conseguiría encerrar
toda la carga Q, de modo que en el exterior de la esfera conductora: ruR
QE
24
1
Puesto que en el interior: 0 Edr
dV
R
QcteV ·
4
1
En el exterior, a una distancia r del centro de la carga, su fórmula es la ya conocida:
r
QV ·
4
1
- 34 -
Campo eléctrico originado por una esfera dieléctrica (aislante) maciza de radio R
cargada con una carga Q:
Las cargas internas se repelen y, puesto que se trata de un material aislante, las cargas
no pueden moverse libremente y se quedan igualmente distribuidas por toda la esfera.
Es decir:
Definimos la densidad de carga como: 3
3
4R
Q
V
Q
esfera
Si tomamos una superficie esférica interior de radio r, la carga encerrada es:
3
33
3
·3
4·
3
4·
R
rQr
R
QVQ esferaencerrada
Según la Ley de Gauss: 2
3
33
3
·4··º0·cos·· rESESER
rQR
rQ
E
en el
interior de la esfera dieléctrica: ruR
rQE
3
··4
1
En el exterior de la esfera, cogiendo cualquier superficie esférica se conseguiria encerrar
toda la carga Q, de modo que en el exterior de la esfera dieléctrica: ruR
QE
24
1
1.9.- Ejemplo sobre transferencia de cargas
Cuando dos cuerpos cargados tienen diferente potencial y se ponen en contacto la esfera
con más carga le cede parte de ésta a la otra esfera (cualquier ddp es desencadenante de
la transferencia de cargas, es decir, de la electricidad) hasta que sus potenciales se
igualen. Esto no implica que se igualen sus cargas.
Ej: Una esfera con un radio de 10 cm y 5000 V de potencial se pone en contacto con
otra esfera cargada de 8 cm de radio y 1000 V de potencial. Hallar las cargas finales de
cada esfera.
- 35 -
R
QV ·
4
1
2
29
2
1
19
1
·10·9
·10·9
R
QV
R
QV
08'0·10·91000
1'0·10·95000
29
19
Q
Q
nCQ
nCQ
89'810·9
80
56'5510·9
500
92
91
Puesto que la carga se conserva, la carga total inicial será igual a la carga total final:
nCQQQQ 44'6489'856'55'' 2121
Los potenciales finales son iguales, así que:
21 '' VV 2
29
1
19 '·10·9
'·10·9
R
Q
R
Q
08'0
'
1'0
' 21 QQ 12 '
5
4' QQ
12
21
'5
4'
44'64''
44'64'5
4' 11 QQ 44'64'
5
91 Q
nCQ
nCQ
64'28'
8'35'
2
1
2.- Campo magnético
Oersted descubrió que las cargas en movimiento producen campos magnéticos.
La representación del campo magnético en un imán recto es:
Una diferencia que tiene el campo magnético con el campo eléctrico es que no existen
monopolos magnéticos, es decir, no se pueden separar los manantiales de los sumideros
(cargas positivas y cargas negativas en el caso del campo eléctrico, y polo norte y polo
sur en el caso del campo magnético).
Si se intenta separar los polos de un imán aparecen dos imanes con sus respectivos
polos norte y sur.
2.1.- Intensidad de campo magnético
El campo magnético se caracteriza en cada punto del espacio por el vector intensidad de
campo magnético B
. Se mide en teslas (T).
- 36 -
Siempre las líneas de campo son tangentes al vector B
en cada punto (o el vector B
es
siempre tangente a las líneas de campo).
La intensidad de campo magnético originado por una corriente rectilínea en un punto
situado a una distancia r , mucho menor que la longitud del conductor, es un vector con:
Módulo: Ir
B ···2
1
, donde es la permeabilidad magnética del medio,
siendo r ·0 , que son respectivamente la permeabilidad magnética del
vacío ( 7
0 10·4 2C
mkg) y la permeabilidad magnética relativa.
Dirección: perpendicular al plano formado por el conductor por el que circula la
corriente y el vector posición.
Sentido: el que indica la regla de Maxwell:
2.2.- Intensidad de campo magnético en el centro de una espira de radio R
Módulo: IR
B ··2
1
, si hay N espiras juntas: I
RNB ··
2
1·
Dirección: perpendicular al plano formado por la espira.
Sentido: el que indica la regla de Maxwell:
2.3.- Intensidad de campo magnético en el interior de un solenoide de longitud L
Un solenoide es un cuerpo con forma de muelle y conductor.
Módulo: IL
NB ··
, siendo N el número de espiras.
Dirección: perpendicular al plano formado por las espiras del solenoide.
- 37 -
Sentido: el que indica la regla de Maxwell.
2.4.- Explicación del magnetismo
El movimiento de los electrones alrededor del núcleo atómico causa las llamadas
corrientes moleculares. Estas corrientes moleculares actúan como espiras, creando un
campo magnético.
Una sustancia no imantada no manifiesta ninguna propiedad magnética porque sus
diminutas corrientes internas están distribuidas en todas direcciones, de forma que sus
campos magnéticos se anulan entre sí.
Si se imanta una sustancia mediante un campo magnético externo se produce una
alineación de las corrientes internas que le proporciona a la sustancia propiedades
magnéticas (imán artificial). Dependiendo de si tales propiedades se pierden o no al
cesar el campo magnético externo el imán es temporal o permanente, respectivamente.
No todas las sustancias se convierten en imanes bajo la acción de un campo magnético
externo. Las sustancias se clasifican en:
Diamagnéticas: Son débilmente repelidas por el campo magnético.
Paramagnéticas: Son débilmente atraídas por el campo magnético.
Ferromagnéticas: Son intensamente atraídas por el campo magnético.
Los imanes artificiales se hacen con sustancias ferromagnéticas, como es el caso del
hierro.
2.5.- Relación entre el campo magnético y sus fuentes: Ley de Ampère
La Ley de Ampère dice que la circulación de la intensidad de campo magnético en
una curva cerrada ( LdB
· ) es igual a la suma de las corrientes encerradas por tal
curva por la permeabilidad magnética del medio:
ILdB ··
Si el campo magnético es constante:
ILB ··
- 38 -
2.6.- Fuerza de un campo magnético sobre una corriente: Ley de Laplace
Al situar entre los polos de un imán un conductor rectilíneo por el que circula una
corriente y suspendido de una balanza previamente equilibrada, observamos que se
desequilibra la balanza y que para volver a equilibrarla hay que añadir o quitar, según
convenga, del otro platillo una masa cuyo peso es igual a la fuerza que el campo
magnético produce sobre el conductor.
Tal fuerza es:
BLIFm
Ley de Laplace
donde L es la longitud del cable conductor.
Por tratarse de un producto vectorial, la fuerza es perpendicular a la corriente y al
campo magnético y su módulo es senBILF ··
2.7.- Fuerza entre corrientes
Si hay dos cables paralelos con
corrientes en sentidos opuestos, uno
crea un campo magnético sobre el otro
y, como consecuencia, aparece una
fuerza en ambos.
En este caso es repulsiva, pero si por
ambos cables la corriente circulase en la
misma dirección la fuerza sería
atractiva.
iId
B
11 ···2
1
iI
dB
22 ··
·2
1
- 39 -
0,0,··
·2
1,0,0 12121 I
dLIBLIF
jII
d
LF
211 ···
·2
0,0,··
·2
1,0,0 21212 I
dLIBLIF
jII
d
LF
212 ···
·2
Queda comprobado que el módulo de ambas fuerzas es el mismo y que los sentidos
son opuestos.
2.8.- Fuerza de un campo magnético sobre una carga móvil: Ley de Lorentz
El número de electrones que pasa a través de una sección S de un conductor en un
tiempo dt es nSvdt.
Siendo n el número de electrones por unidad de volumen y v la velocidad media de los
electrones. (Svdt es el volumen del trozo de cable de la figura anterior. Al multiplicarlo
por n tenemos el número de electrones presente en ese trozo de cable).
Por tanto la carga que circula es nSvdt·e y:
BvNeBvnSLeBLvneSBLdt
dtvneSBL
dt
qdBLIFm
···
donde N es el número de electrones es el trozo de cable de longitud L que se está
estudiando.
Esto significa que por cada electrón: BveFm
En general:
BvqFm
Ley de Lorentz
2.9.- Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético uniforme
Representando un campo magnético con dirección perpendicular al papel y hacia
adentro utilizaremos: y si es hacia fuera:
Si tenemos una partícula cargada en un campo magnético uniforme ésta sufre una fuerza
BvqFm
, que es perpendicular tanto al campo magnético como a la trayectoria, por
tanto, tal fuerza magnética es una fuerza centrípeta que hace girar a la partícula:
- 40 -
cm FF R
vmqvB
2
qB
mvR
2.10.- Movimiento de partículas cargadas en campos electromagnéticos
Al haber dos campos la fuerza que sufren las partículas es:
me FFF
BvqEqF
BvEqF
2.10.1.- Selector de velocidades
Si tenemos un haz de partículas que se desplazan a diferentes velocidades y queremos
únicamente aquellas que tengan una determinada velocidad:
Aquellas partículas en las cuales me FF
se irán hacia arriba, las que cumplan que
me FF
se irán hacia abajo, y las únicas que seguirán de frente serán las que cumplan
me FF
, que llevarán una cierta velocidad:
qvBqE vBE B
Ev
Si queremos únicamente las partículas que tengan una cierta velocidad las
sometemos al experimento anterior con la justa relación entre intensidad de campo
eléctrico e intensidad de campo magnético.
2.10.2.- Espectrómetro de masas
Es un aparato destinado a medir la masa de partículas cargadas en función del radio que
trazan las mismas al penetrar perpendicularmente en un campo magnético uniforme.
- 41 -
Una placa detectora halla la distancia entre el punto de
impacto de la partícula y el punto de entrada al campo
magnético, que es el diámetro de la circunferencia que
describe la partícula.
qB
mvR
qB
mvd
2
2·d
v
qBm
2.10.3.- Acelerador circular de partículas: el ciclotrón
El electrón es atraído por la placa positiva y
adquiere aceleración.
Al llegar a la placa y entrar en un campo
magnético uniforme el electrón empieza a girar sin
aumentar su velocidad.
En el momento en que va a salir de la placa el
oscilador (mediante un temporizador) cambia las
polaridades de las placas obligando al electrón a
acelerarse hacia la otra placa. Y el proceso se
repite.
2.11.- Acción de un campo magnético sobre una espira
En el esquema de la figura los lados de la espira
paralelos al campo magnético no sufren ninguna
fuerza, mientras que los otros dos sufren una
fuerza: BIaFm · . Estas fuerzas crean un
momento respecto al eje de simetría de la espira:
rFM
senrFM ··
En este caso es: sencBIasenc
BIasenc
BIaM ····2
···2
·· senBSIM ···
De modo que el momento creado en una espira situado en un campo magnético es:
BSIM
Si se trata de una bobina de N espiras:
BSNIM
- 42 -
Resumen del tema 3
El fundamento de ambos campos es la carga eléctrica. Una carga eléctrica genera un
campo eléctrico, y si además se encuentra en movimiento genera un campo magnético.
Campo eléctrico
Relaciones
re ur
qQF
·
··
4
12
rur
QE
24
1
EqFe
r
qQE p
··
4
1
r
QV ·
4
1
qVE p
Relaciones ep FrE
· ; e
pF
x
E
ErV
· ; E
x
V
r ·0 , donde 2
212
2
2
90·
10·84'8·10·9·4
1
mN
C
mN
C
Estudio energético
VqEW pcampo · pext EW
Con estas fórmulas podemos deducir si un trabajo es espontáneo o forzado
dependiendo de si el trabajo realizado es negativo o positivo, respectivamente.
Superficies equipotenciales
Son lugares geométricos del espacio donde el potencial eléctrico es el mismo.
Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo.
El trabajo necesario para transportar una carga entre dos puntos de la misma
superficie equipotencial es nulo, ya que 12 VV y 00·· 12 qVVqWcampo
Relación entre el campo eléctrico y sus fuentes (las cargas): Ley de Gauss
·cos·· SESEE
encerrada
E
Q
Aplicación de la Ley de Gauss
Campo eléctrico originado por una esfera conductora maciza de radio R cargada con
una carga Q:
La carga en el interior de un conductor electrizado es nula.
0
E R
QcteV ·
4
1
- 43 -
Campo eléctrico originado por una esfera dieléctrica (aislante) maciza de radio R
cargada con una carga Q:
En el interior de la esfera dieléctrica: ruR
rQE
3
··4
1
Campo magnético
Oersted descubrió que las cargas en movimiento producen campos magnéticos.
Intensidad de campo magnético
r ·0 , 7
0 10·4
Corriente rectilínea: Ir
B ···2
1
Centro de una espira: IR
NB ··2
1·
Interior de un solenoide: IL
NB ··
Relación entre el campo magnético y sus fuentes: Ley de Ampère
ILdB ··
Si B = cte: ILB ··
Fuerza de un campo magnético sobre una corriente: Ley de Laplace
BLIFm
Fuerza de un campo magnético sobre una carga móvil: Ley de Lorentz
BvqFm
Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético uniforme
cm FF R
vmqvB
2
qB
mvR
Movimiento de partículas cargadas en campos electromagnéticos
me FFF
BvEqF
Acción de un campo magnético sobre una espira
BSNIM
- 44 -
Tema 4.- Inducción electromagnética
1.- Flujo magnético
Por analogía con el flujo eléctrico, el flujo magnético se halla del siguiente modo:
·cos·· SBSBm
donde es el ángulo que forman la dirección del campo B
y el vector superficie S
.
Por tanto, el flujo es máximo cuando la superficie es perpendicular al campo º0 , y
nulo cuando es paralela al campo º90 .
El flujo se mide en webers (Wb).
2.- Ley de Faraday
Cuando se introduce un imán en una espira aparece en ésta una corriente inducida.
También aparece cuando se saca el imán.
El imán crea un campo magnético, cuyas líneas de campo atraviesan la superficie que
encierra la espira, creando un flujo magnético.
La corriente inducida aparece sólo cuando el flujo varía. Si el flujo se mantiene
constante no aparece ninguna corriente. Por eso, cuando acercamos o alejamos un imán
a una espira aparece una corriente inducida, pero si mantenemos el imán quieto ésta no
aparece.
La aparición de una corriente implica la presencia de una fuerza electromotriz (f.e.m).
t
total
media
3.- Ley de Lenz
La Ley de Lenz indica el sentido de la corriente inducida en una espira:
Si acercamos un imán a una espira cada vez hay más flujo. Por ello aparece una
corriente inducida en la espira cuyo sentido crea un campo magnético tal que
contrarresta el aumento de flujo.
Si alejamos el imán cada vez hay menos flujo. Por ello aparece una corriente
inducida que crea un campo tal que contrarresta la disminución de flujo.
- 45 -
Gráficamente:
En resumen:
dt
d total
4.- Otros casos de inducción
4.1.- Inducción en una varilla conductora
Si tenemos un cable en un campo magnético y
una varilla de longitud L que lo cierra y
movemos la varilla como indica la figura:
El campo magnética hará que los electrones de
las partículas de la varilla se desplacen hacia
abajo, creando una ddp entre los extremos de la
varilla y apareciendo como consecuencia un
campo eléctrico que dificulta a los electrones
su descenso. Esto ocurrirá hasta que la fuerza magnética y la fuerza eléctrica sean
iguales en módulo.
Al moverse la varilla el flujo magnético que atraviesa la espira va variando. En un
intervalo de tiempo dt será:
dt
d
dxLBdSBSdBd
total
··º90·cos··
dt
dxLB ·· vLB ··
- 46 -
4.2.- Autoinducción
Un bobina recorrida por una corriente produce un campo magnético que atraviesa la
superficie de las espiras. La relación entre ese flujo y la corriente recibe el nombre de
coeficiente de autoinducción:
IL
Su unidad es el henrio (H).
La f.e.m autoinducida será:
dt
LId
dt
d
dt
dIL
5.- f.e.m. producida por un alternador
tSBSB ··cos··cos·
tsenSBdt
tSBd
dt
d····
··cos·
En general, si tenemos N espiras:
tsenSBNt ·····
···max SBN
6.- Transformador
Es un aparato que permite modificar el valor de una tensión alterna.
Está formado por un núcleo de hierro y dos arrollamientos de hilo conductor en torno a
él. La tensión a transformar se aplica en los extremos de uno de los arrollamientos y en
los extremos del otro arrollamiento aparece la tensión transformada.
El primer arrollamiento se llama primario, y el segundo, secundario.
Si la tensión a transformar es 1V y la tensión transformada es 2V :
dt
dBSNV 11
dt
dBSNV 22
SN
V
dt
dB
SN
V
dt
dB
2
2
1
1
2
2
1
1
N
V
N
V
2
1
2
1
N
N
V
V
- 47 -
Puesto que la potencia de entrada es igual a la de salida:
22
11
·
·
VIP
VIP
2211 ·· VIVI 2
1
1
2
V
V
I
I
2
1
2
1
1
2
N
N
V
V
I
I
7.- Efecto Joule
En el transporte de la energía eléctrica desde la central eléctrica hasta las industrias u
hogares, se pierde energía por efecto Joule:
tIRRItIVqW ······ 2 tIREdisipada ·· 2
Por tanto, la potencia disipada es:
2
22 ··
V
PRIRPdisipada
Para una potencia inicial dada, las pérdidas se reducen si se disminuye la resistencia R o
se aumenta la tensión V. Disminuir la resistencia implicaría utilizar conductores con
mayor sección, aumentando su precio y su coste, así que para disminuir las pérdidas la
mejor opción es aumentar la tensión. De ahí que la energía se distribuya en cables de
alta tensión.
8.- Campo electromagnético: velocidad de la luz
Está demostrado que la velocidad de la luz es:
1c
- 48 -
Resumen del tema 4
Flujo magnético
·cos·· SBSBm
Ley de Faraday
t
total
media
Ley de Lenz
dt
d total
Otros casos de inducción
Inducción en una varilla conductora
vLB ··
Autoinducción
La relación entre ese flujo y la corriente recibe el nombre de coeficiente de
autoinducción:
IL
dt
dIL
f.e.m. producida por un alternador
tsenSBNt ····· ···max SBN
Transformador
Es un aparato que permite modificar el valor de una tensión alterna.
2
1
2
1
1
2
N
N
V
V
I
I
Efecto Joule
tIREdisipada ·· 2 2
22 ··
V
PRIRPdisipada
Campo electromagnético: velocidad de la luz
1c
- 49 -
Tema 5.- Óptica
1.- Sistemas ópticos. Definiciones
La luz en su propagación se puede encontrar con una serie de superficies reflectoras
(espejos) y/o transparentes (dioptrios). Estas superficies que separan medios de distinto
índice de refracción constituyan un sistema óptico.
Un dioptrio lo integran dos medios transparentes separados por una superficie de
distinto índice de refracción.
Se llama eje principal o eje óptico al eje perpendicular a los dioptrios. Cuando el
dioptrio es esférico, el centro de la circunferencia a la que pertenece ese dioptrio se
llama centro de curvatura del mismo.
Una imagen real es aquella que se forma cuando los rayos luminosos procedentes de un
punto de un objeto O tras reflejarse o refractarse en el sistema óptico convergen en un
punto I. Ese punto I es la imagen real de ese punto del objeto.
Si los rayos en vez de converger divergen, las prolongaciones en el sentido contrario
convergen en un punto I, que es la imagen virtual del punto del objeto O.
Imagen real
Imagen virtual
2.- Dioptrios
2.1.- Criterio de signos
En dioptrios, en general la luz va de izquierda a derecha.
- 50 -
Los símbolos que representan las imágenes coinciden con los de los objetos pero
añadiendo el signo ’.
El origen de coordenadas o vértice (V) es el punto de corte del casquete esférico
con el eje óptico.
Los ángulos de incidencia, de reflexión y de refracción son positivos cuando al
girar el rayo luminoso hacia la normal por el camino más corto lo hace en
sentido horario.
Los ángulos que los rayos forman con el eje óptico son positivos cuando al girar
el rayo hacia el eje por el camino más corto lo hace en sentido antihorario.
2.2.- Ecuación general del dioptrio esférico
Los dioptrios esféricos pueden ser convexos (si el radio es positivo y el centro de
curvatura se encuentra a la derecha del vértice) o cóncavos (si el radio es negativo y el
centro de curvatura se encuentra a la izquierda del vértice).
En la figura anterior:
º180ˆˆˆ
º180ˆˆ
i
ˆˆˆ i ˆˆˆ i
º180ˆ'ˆˆ
º180ˆˆ
r
'ˆˆˆ r 'ˆˆˆ r 'ˆˆˆ r
Si el rayo inicial es paraxial (es decir, que <<<): tgsen , además de que
también se cumple que ' <<<, <<<, i <<<, r <<<.
s
htg ˆˆ ;
''ˆ'ˆ
s
htg ;
R
htg ˆˆ ; iseni ˆˆ ; rsenr ˆˆ
A partir de la ley de Snell:
rsennisenn ˆ'·ˆ· rnin ˆ'·· 'ˆˆ'·ˆˆ· nn
- 51 -
''··
s
h
R
hn
R
h
s
hn
'
11'··
11··
sRnh
Rsnh
'
''
s
n
R
n
R
n
s
n
R
nn
s
n
s
n
'
'
'
2.2.1.- Focos y distancias focales en el dioptrio esférico
En el dioptrio esférico existen dos focos: foco objeto (F) y foco imagen (F’).
El foco objeto es un punto situado en el eje óptico y a la izquierda del dioptrio a una
distancia llamada distancia focal objeto (f) cuyos rayos que pasan por él, tras pasar por
el dioptrio se hacen paralelos al eje óptico.
En este caso si aplicamos la fórmula general de dioptrios esféricos, tenemos que fs
y 's :
R
nn
f
nn
''
R
nn
f
n
' R
nn
nf
'
El foco imagen es un punto situado en el eje óptico y a la derecha del dioptrio a una
distancia llamada distancia focal imagen (f ’). Todos los rayos paralelos al eje óptico,
tras pasar por el dioptrio convergen en el foco imagen.
En este caso si aplicamos la fórmula general de dioptrios esféricos, tenemos que s
y '' fs :
- 52 -
R
nnn
f
n
'
'
'
R
nn
f
n
'
'
' R
nn
nf
'
''
Si dividimos ambas expresiones aparece:
'' n
n
f
f
2.2.2.- Aumento lateral
La relación entre el tamaño de la imagen (y’) y el tamaño del objeto (y) se llama
aumento lateral: y
yAL
'
s
yitgi ˆˆ ;
'
'ˆˆ
s
yrtgr
rsennisenn ˆ'·ˆ· rnin ˆ'·· '
''··
s
yn
s
yn
sn
ns
y
yAL
'
''
2.3.- Ecuación general del dioptrio plano
- 53 -
Puesto que una recta es una circunferencia de radio infinito, un dioptrio plano es un
dioptrio esférico con radio infinito. De modo que la ecuación general de un dioptrio
plano es:
nn
s
n
s
n '
'
' 0
'
'
s
n
s
n
s
n
s
n
'
'
'
''
''
s
ns
n
sn
ns
y
yAL 1LA yy '
3.- Espejos
Independientemente del tipo de espejo, las imágenes se obtienen por reflexión.
Puesto que en un espejo la luz rebota, ésta no cambia de medio y por consiguiente, en
todos los espejos:
nn '
donde el signo - indica que el sentido de los rayos luminosos es el contrario al inicial.
3.1.- Espejos esféricos
R
nn
s
n
s
n
'
'
'
R
nn
s
n
s
n
'
Rn
ssn
21
'
1
Rss
21
'
1
3.1.1.- Focos y distancias focales en el espejo esférico
Si aplicamos la fórmula general de espejos esféricos para hallar el foco objeto, tenemos
que fs y 's :
R
nn
f
nn
''
R
nn
f
n R
n
nf
2
2
Rf
Si aplicamos la fórmula general de espejos esféricos para hallar el foco imagen,
tenemos que s y '' fs :
R
nnn
f
n
'
'
'
R
nn
f
n
' R
n
nf
2'
2'
Rf
De modo que: ff ' y el foco imagen coincide con el foco objeto.
Teniendo en cuenta éstas últimas deducciones, la ecuación general de los espejos
esféricos se queda así:
- 54 -
'
1121
'
1
ffRss
3.1.2.- Aumento lateral
ns
ns
sn
ns
y
yAL
'
'
''
s
s
y
yAL
''
En los espejos esféricos cóncavos la imagen puede ser real o virtual; mayor, menor
o igual que el objeto; y puede estar derecha o invertida. Todo esto depende de la
posición del objeto:
Objeto Imagen Características
C, FC, Real, menor e invertida
C C Real, igual e invertida
FC, C, Real, mayor e invertida
VF, Al otro lado del espejo Virtual, mayor y derecha
Ej:
En los espejos esféricos convexos la imagen es siempre virtual, menor y derecha.
3.2.- Espejos planos
s
n
s
n
'
'
s
n
s
n
'
ss
1
'
1 ss '
ns
ns
ns
ns
sn
ns
y
yAL
'
'
'' 1LA
- 55 -
En los espejos planos la imagen siempre es virtual e igual.
4.- Lentes
Las lentes son cualquier medio transparente limitado por dos superficies curvas o
por una superficie curva y otra plana. Se puede considerar que son dos dioptrios
acoplados.
Las lentes se clasifican en convergentes y divergentes según concentren los rayos
luminosos en un único punto (foco) o los dispersen. En este último caso, las
prolongaciones (hacia atrás) de los rayos luminosos dispersados convergen en un punto
(foco virtual).
Lente convergente Lente divergente
Las lentes divergentes siempre producen imágenes virtuales, menores y derechas,
mientras que en las lentes convergentes pueden aparecer diferentes tipos de imágenes:
(Hay que tener en cuenta que los rayos luminosos que pasan por el vértice no se
desvían)
Posición
objeto Esquema
Clase
imagen
Posición
imagen Aplicación
F2,
Real,
menor,
invertida
'2,' FF Cámara
fotográfica
F2
Real,
igual,
invertida
'2F Cámara
copiadora
- 56 -
FF,2
Real,
mayor,
invertida
,'2F Proyector
F
No hay
imagen
Foco
luminoso
para
obtener
rayos
paralelos
VF,
Virtual,
mayor,
derecha
V, Lupa
4.1.- Ecuación general de las lentes
Puesto que las lentes son dos dioptrios acoplados y la ecuación general del dioptrio es
R
nn
s
n
s
n
'
'
', para cada dioptrio de la lente:
111 ' R
nn
s
n
s
n mediolentemediolente ;
222 ' R
nn
s
n
s
n lentemediolentemedio
Puesto que se trata de lentes muy delgadas se puede considerar que '12 ss :
111 ' R
nn
s
n
s
n mediolentemediolente ;
212 '' R
nn
s
n
s
n mediolentelentemedio
Sumando ambas expresiones:
2112
11·
' RRnn
s
n
s
nmediolente
mediomedio
21
11·
1
'
1
RRn
nn
ss medio
mediolente
- 57 -
Si aplicamos la condición de que 'ff entonces la ecuación queda así:
'
11
'
1
fss
4.2.- Potencia de una lente
'
1
fP
Su unidad son las dioptrias (D). La potencia es positiva para las lentes convergentes y
negativa para las divergentes.
4.3.- Aumento lateral
sn
sn
y
yA
medio
medio
L
''
s
s
y
yAL
''
5.- El ojo como sistema óptico
El cristalino del ojo humano es una lente convergente cuya misión es enfocar en la
retina los rayos luminosos que le llegan del exterior, creando una imagen real, invertida
y menor.
El músculo ciliar (que rodea el cristalino) se encarga de estirar o contraer el cristalino
con el fin de regular su distancia focal y poder percibir correctamente objetos cercanos
al ojo o lejanos. La distancia focal del cristalino humano puede variar entre 44 D (visión
de objetos muy cercanos) y 40 D (visión de objetos alejados).
6.- Fenómenos relacionados con el carácter ondulatorio de la luz:
Interferencia de Young
Si hacemos pasar un haz de luz monocromática (única frecuencia o color) por dos
pequeños orificios muy juntos, en cada uno de ellos la luz se difracta, dando lugar a dos
ondas que interfieren entre ellas.
En una pantalla perpendicular a los orificios veríamos franjas iluminadas y franjas
oscuras alternándose. Las franjas iluminadas corresponden a los puntos de la pantalla
donde se produce una interferencia constructiva y las franjas oscuras corresponderían a
interferencias destructivas.
Si los dos orificios están separados una distancia d, la pantalla se encuentra a una
distancia D de los orificios, y analizamos un punto situado a una distancia x del centro
de la pantalla:
- 58 -
Puesto que d<<D 2d y la línea discontinua que está entre
1d y 2d son
prácticamente paralelas y º90
D
xtg
d
ddsen
12
Para ángulos muy pequeños tgsen :
D
x
d
dd
12 D
xddd 12
Recordando el tema de ondas:
2212
ndd Interferencia constructiva
2
1212
ndd Interferencia destructiva
De modo que en la Interferencia de Young:
nD
xd Luz;
212
nD
xd Oscuridad
- 59 -
Resumen del tema 5
Dioptrios
Ecuación general del dioptrio esférico
Los dioptrios esféricos pueden ser convexos o cóncavos.
R
nn
s
n
s
n
'
'
'
Distancias focales en el dioptrio esférico
Rnn
nf
' R
nn
nf
'
''
'' n
n
f
f
Aumento lateral
sn
ns
y
yAL
'
''
Ecuación general del dioptrio plano
Se cogen las fórmulas de dioptrio esférico y se hace R :
s
n
s
n
'
' 1LA yy '
Espejos
Se cogen las fórmulas de los dioptrios y se hace nn '
Espejos esféricos
'
1121
'
1
ffRss
Distancias focales en el espejo esférico
2
Rf
2'
Rf ff '
Aumento lateral
s
s
y
yAL
''
- 60 -
En los espejos esféricos cóncavos la imagen puede ser real o virtual; mayor, menor o
igual que el objeto; y puede estar derecha o invertida.
En los espejos esféricos convexos la imagen es siempre virtual, menor y derecha.
Espejos planos
ss ' 1LA yy '
En los espejos planos la imagen siempre es virtual e igual.
Lentes
Las lentes son cualquier medio transparente limitado por dos superficies curvas o
por una superficie curva y otra plana. Se puede considerar que son dos dioptrios
acoplados.
Las lentes se clasifican en convergentes y divergentes.
Las lentes divergentes siempre producen imágenes virtuales, menores y derechas,
mientras que en las lentes convergentes pueden aparecer diferentes tipos de imágenes.
Ecuación general de las lentes
21
11·
1
'
1
RRn
nn
ss medio
mediolente ó '
11
'
1
fss
Potencia de una lente
'
1
fP
Aumento lateral
s
s
y
yAL
''
Interferencia de Young
nD
xd Luz;
212
nD
xd Oscuridad
- 61 -
Tema 6.- Relatividad
Para poder hablar de reposo o movimiento se necesita elegir previamente un sistema de
referencia (SR). Un cuerpo puede estar en movimiento si tomamos un sistema de
referencia o en reposo si tomamos otro. De aquí que se diga que el estado de
movimiento o reposo de un cuerpo es relativo.
1.- Suposiciones de la mecánica de Newton
1º.- El espacio es euclídeo. Los ejes de coordenadas ayudan a medir distancias con
independencia del observador y el tiempo.
2º.- La distancia es universal. Una distancia es siempre la misma con independencia
del observador o el tiempo.
3º.- El tiempo es universal. Todos los observadores miden el mismo intervalo de
tiempo independientemente del sistema de referencia (SR) y del estado de movimiento o
reposo de éste.
2.- Sistemas de referencia inerciales
A la hora de estudiar un caso de cinemática los mejores sistemas de referencia que
pueden tomarse son los sistemas de referencia inerciales.
Estos sistemas de referencia son aquellos que se encuentran en reposo o se mueven
en movimiento rectilíneo uniforme.
3.- Principio de relatividad de Galileo
Si consideramos un sistema de referencia inercial S(O) en reposo respecto a otro S’(O’),
que se mueve con una velocidad av
respecto al primero, siendo paralelos los ejes de
coordenadas de ambos sistemas de referencia:
tvrr a
'
Derivando respecto del tiempo:
avvv
'
Si consideramos el eje Y, las ecuaciones de trasnsformación entre ambos SR son:
- 62 -
ttzzxxtvyy a ''','
A este conjunto de ecuaciones se le llama transformación de Galileo.
De aquí se deduce el principio de relatividad de Galileo:
“Es imposible poner de manifiesto el movimiento rectilíneo uniforme de un sistema
respecto de cualquier otro sistema de referencia inercial mediante experimentos
mecánicos realizados en el mismo”.
3.1.- Consecuencias de la transformación de Galileo
1º.- La distancia es universal:
Un observador ligado a un sistema de
referencia en reposo percibe la distancia
entre un punto 1r y otro
2r como 12 rrd ,
mientras que otro observador ligado a un
sistema de referencia que se encuentra en
MRU con velocidad av
percibirá una
distancia:
121212 ''' rrtvrtvrrrd aa
, que es igual a la medida por el primer
observador.
2º.- La velocidad no es universal:
Si un objeto para un observador ligado a un sistema de referencia en reposo tiene una
velocidad 12
12
tt
xxvx
, para un observador ligado a un sistema de referencia que se
mueve en MRU con velocidad av
será:
a
aaa
x vtt
xx
tt
ttvxx
tt
tvxtvx
tt
xxv
12
12
12
1212
12
1122
12
12
''''
''
''
''
''
'''
Considerando que ambos observadores miden tal velocidad en los mismos instantes,
tenemos que 11' tt y 22' tt :
axax vvv
tt
xxv
12
12'
- 63 -
3º.- La 2ª ley de Newton es idéntica para todos los SR inerciales:
Derivando las velocidades anteriores:
dt
vda x
x ;
x
xxax
x adt
vd
dt
vd
dt
vd
dt
vda 0'
De modo que:
xx
x
mamaF
maF
'' FF '
4.- Introducción a la teoría de la relatividad especial
En 1905 Einstein publicó tres trabajos, uno de ellos contenía los fundamentos de la
teoría de la relatividad especial:
1.- No es posible distinguir mediante experimentos físicos si un sistema está en
reposo o en movimiento rectilíneo uniforme.
2.- La velocidad de la luz en el vacío es constante para todos los observadores e
independiente del movimiento de la fuente luminosa que la emite.
Este segundo postulado significa que si hay un foco de luz en movimiento y otro en
reposo, ambos emiten luz a la misma velocidad (la velocidad de la luz) sin tener en
cuenta la velocidad que lleve el foco que está en movimiento.
5.- Consecuencias de los postulados de Einstein
5.1.- Dilatación del tiempo
Al contrario de las suposiciones de la mecánica de Newton el tiempo no es absoluto.
El resultado de medir la duración de un intervalo de tiempo depende del
movimiento entre el observador y el suceso que se está observando.
Para demostrarlo se utiliza un “reloj de
luz” consistente en un cilindro que
posee en la parte superior un espejo E,
y en su base una fuente luminosa F y
un reloj.
La fuente F emite un rayo luminoso, y
cuando llega al espejo el reloj se
detiene. El observador O’ percibe que
la duración entre la emisión del rayo
luminoso y su recepción en el espejo
es:
- 64 -
c
Lt p (tiempo propio)
Si consideramos el mismo experimento para el observador O, que se encuentra en
reposo:
Durante el tiempo que tarda la luz en ir hasta el espejo, la fuente ha recorrido una
distancia tv , y el rayo luminoso una distancia:
22 tvLd
Por tanto, el tiempo medido por el observador O es:
22 tvLd 22 tvLtc 2222 tvLtc
2222 · Lvct 22
22
vc
Lt
22 vc
Lt
2
2 1c
vc
Lt
2
1
/
c
v
cLt (tiempo impropio)
Si definimos: 2
1
1
c
v
, entonces tenemos que:
ptt ·
Dado que 1 , los tiempos impropios son siempre mayores que los tiempos
propios. A este aumento temporal se le denomina dilatación del tiempo.
- 65 -
5.2.- Contracción de longitudes
Supongamos que ponemos el cilindro
paralelo al eje X y el “reloj de luz” se
para cuando el rayo luminoso, tras chocar
con el espejo, vuelve a la fuente. El
observador O’ medirá un intervalo de
tiempo propio c
Lt
p
p
2 . Por tanto, la
longitud propia será:
2·
p
p
tcL
Para el observador O ocurre lo siguiente:
La luz que sale del foco en el instante inicial 0t , tarda en alcanzar el espejo móvil en
un tiempo 1t y recorre la distancia dada por:
111 tctvLd vctL ·1
vc
Lt
1
Una vez la luz llega al espejo se refleja en él y vuelve a la fuente en un tiempo 2t ,
recorriendo una distancia dada por:
222 tctvLd vctL ·2 vc
Lt
2
El tiempo total medido por el observador O es:
222222222221
·
22··
vcvc
Lc
vc
Lc
vc
vcL
vc
vcL
vc
L
vc
Lttt
- 66 -
2222
2
2
2
2
2 1
1·
1
1·
2
1·1·
2
1··1·
2
c
v
c
vc
L
c
v
c
vc
Lc
c
vc
c
vc
Lct
2·2
c
Lt
A partir de la expresión:
ptt · c
L
c
L p2··
2 2 pLL ·
pLL
A esta disminución espacial se le denomina contracción de longitudes. Esto no
significa que al moverse un cuerpo éste se acorte, sino que desde un sistema de
referencia en reposo respecto al cuerpo se mide una longitud menor a la propia.
6.- Energía relativista
6.1.- Momento lineal (o cantidad de movimiento) de una partícula
En un choque entre dos partículas siempre se conserva la cantidad de movimiento, que
para una partícula en reposo es:
vmp · ó vmp ·· 0
si tenemos en cuenta la existencia de la masa relativista:
0·mm
donde 0m es la masa que tiene la partícula cuando está en reposo.
Esto significa que una partícula en movimiento aumenta su masa.
6.2.- Energía relativista
Puesto que dt
dpF :
amv
dt
dm
dt
dvmv
dt
dm
dt
mvd
dt
dpF ···
dt
dmvamF ·
La energía cinética de una partícula viene dada por:
2
0
2 cmmcEc
- 67 -
2
0 ·cmmEc 2
00 ·· cmmEc 2
0 ··1 cmEc
Einstein identificó el término 2mc con la energía total (E) de la partícula, y el término 2
0cm con su energía en reposo, es decir:
reposoc EEE 2mcE
6.3.- Leyes de conservación
En física clásica la energía total y la masa se conservan por separado, pero en física
relativista hay una única ley de conservación, pues la energía y la masa son
proporcionales ( 2mcE ):
Los cambios de energía de un sistema están ligados a la variación de masa por la
ecuación:
2·cmE
- 68 -
Resumen del tema 6
Suposiciones de la mecánica de Newton
1º.- El espacio es euclídeo
2º.- La distancia es universal
3º.- El tiempo es universal
Principio de relatividad de Galileo
“Es imposible poner de manifiesto el movimiento rectilíneo uniforme de un sistema
respecto de cualquier otro sistema de referencia inercial mediante experimentos
mecánicos realizados en el mismo”.
Introducción a la teoría de la relatividad especial
1.- No es posible distinguir mediante experimentos físicos si un sistema está en
reposo o en movimiento rectilíneo uniforme.
2.- La velocidad de la luz en el vacío es constante para todos los observadores e
independiente del movimiento de la fuente luminosa que la emite.
Consecuencias de los postulados de Einstein
Dilatación del tiempo
ptt ·
Contracción de longitudes
pLL
Energía relativista
Momento lineal (o cantidad de movimiento) de una partícula
vmp · ó vmp ·· 0
Masa relativista: 0·mm
Energía relativista
2
0
2 cmmcEc 2
0 ··1 cmEc
reposoc EEE 2mcE
2
1
1
c
v
- 69 -
Tema 7.- Física cuántica
1.- Antecedentes de la hipótesis cuántica
A partir de la segunda mitad del siglo XIX se produjo el descubrimiento de una serie de
hechos y fenómenos físicos relacionados con la interacción de la energía con la materia
y que no se podían explicar con las leyes de la física clásica.
Aquellos fenómenos que más influyeron en el nacimiento de la física cuántica son:
los espectros atómicos, las leyes de la radiación y el denominado efecto
fotoeléctrico.
1.1.- Los espectros atómicos
Al colocar en la llama de un mechero una sustancia simple ésta emite luz de un color
determinado. En 1859 Kirchhoff y Bunsen pusieron de manifiesto que cada elemento
químico da un espectro de emisión característico. El espectro de emisión de un
elemento químico es el conjunto de todos los colores que emite al ser expuesto a una
llama.
A Kirchhoff y Bunsen se les considera los “padres” de la espectroscopía y del análisis
espectral, ya que mediante un espectrómetro determinaban las longitudes de onda de las
líneas de emisión de una muestra de una sustancia expuesta a una llama, y por
comparación con los espectros conocidos de los diferentes elementos químicos podían
determinar la composición química de la sustancia.
Como todo elemento químico, el hidrógeno tiene su espectro característico. Al analizar
las diferentes longitudes de onda de las rayas emitidas por el hidrógeno en la zona de la
luz visible, Johann Balmer logró establecer una ley empírica que relaciona las diferentes
longitudes de onda:
22
1
2
1·
1
nRH
donde 1710·0973'1 mRH y ...6,5,4,3n
Balmer no pudo explicar la causa de la aparición de números enteros en la fórmula.
También anunció que podría haber otras series de rayas espectrales dependiendo de
otros números enteros diferentes a 22 , como ...4,3,1 222
1.2.- Leyes de radiación
La energía que recibimos del Sol nos llega por radiación. Cualquier cuerpo emite
energía en forma de radiación electromagnética según su temperatura.
Se llama radiación térmica la energía electromagnética que emite un cuerpo debido
a su temperatura. Solamente si la temperatura es superior a 500 ºC parte de la
radiación se hace visible.
- 70 -
Si aplicamos una tensión variable a una bombilla vemos que al ir aumentando la tensión
se intensifica el brillo del filamento, lo que significa que ha aumentado su temperatura.
El color de la luz emitida varía desde un tono rojizo al blanco, pasando por el amarillo.
Está demostrado que un cuerpo a mayor temperatura emite más energía por
unidad de superficie que uno a menor temperatura.
1.3.- El efecto fotoeléctrico: leyes experimentales
Hertz descubrió que una descarga eléctrica entre dos electrodos se efectuaba más
fácilmente al iluminar uno de los electrodos. También descubrió que la “luz” más eficaz
para producir este efecto era la ultravioleta.
El efecto fotoeléctrico consiste en la emisión de electrones al iluminar con luz
apropiada una lámina metálica.
Curiosamente, los experimentos de Hertz, por una parte confirmaban el carácter
ondulatorio de la luz (la luz es una onda), pero al mismo tiempo el efecto fotoeléctrico
nos introduce en la interpretación corpuscular de la luz (la luz está formada por
partículas).
El dispositivo adecuado para estudiar el efecto fotoeléctrico es la célula fotoeléctrica.
Consiste en una ampolla opaca salvo por una ventana que permite el paso de la luz. En
el interior se ha hecho el vacío para permitir el libre movimiento de los electrones y se
han colocado dos láminas metálicas: una llamada cátodo, que está conectada al polo
negativo de una batería, y otra llamada ánodo, conectada al polo positivo.
Cuando la luz apropiada incide sobre el cátodo arranca electrones de esta superficie
metálica y, debido a la batería, son acelerados hacia el ánodo.
1.3.1.- Leyes del efecto fotoeléctrico
1.- Para un metal dado, sólo se produce el efecto fotoeléctrico si la frecuencia de la luz
utilizada sobrepasa un límite, llamado frecuencia umbral 0 .
- 71 -
2.- Cuando el efecto fotoeléctrico se produce, lo hace instantáneamente.
3.- La corriente electrónica que circula por la célula depende de la tensión aplicada, V ,
de tal modo que si V aumenta la intensidad de corriente también aumenta (aunque no
linealmente) hasta alcanzar un límite, llamado corriente de saturación, sI .
4.- Si invertimos la polaridad de la batería el campo eléctrico frena a los electrones. La
tensión de la batería que llega a frenar totalmente el avance de los electrones (los
electrones no llegan al ánodo), y que con ello anula la corriente, se llama potencial de
corte o de frenado 0V . Para una misma frecuencia de luz incidente el potencial de corte
se mantiene constante sin importar la intensidad de la luz.
5.- Para extraer un electrón se necesita una energía mínima llamada trabajo de
extracción eW , propio de cada material. Si se aplicase más energía, el electrón
adquiriría energía cinética.
2.- Hipótesis cuántica
El físico Max Planck consideró que un átomo se comporta como un oscilador armónico
cuya frecuencia natural de vibración es . Este oscilador sólo puede variar su energía
en cantidades múltiplos de la cantidad 1E , que depende de la frecuencia de la vibración:
·1 hE
siendo h la constante de Planck, cuyo valor es Jsh 3410·626'6
Cuando un sistema emite o absorbe radiación monocromática los cambios energéticos
se ajustan a la ecuación:
··hnEoscilador
siendo n un número entero.
2.1.- Hipótesis cuántica de Einstein
La radiación se emite y se capta por “cuantos” o “paquetes de energía”.
Un haz de luz consta de un número entero de cuantos o paquetes de energía. Más tarde
se propuso el nombre de fotones. El fotón es una partícula sin masa en reposo, cuya
velocidad es la de la luz y su energía es ·hE .
3.- Interpretación cuántica del efecto fotoeléctrico
Puesto que el carácter ondulatorio de la luz no explica el efecto fotoeléctrico, Einstein
supuso estas hipótesis:
- 72 -
1.- La luz se comporta como si estuviese compuesta por corpúsculos o fotones, cuya
energía es ·hE .
2.- El efecto fotoeléctrico se produce cuando un electrón interacciona con un único
fotón, pero sólo si la energía del fotón es suficiente para arrancarlo del metal.
3.1.- Explicación de los hechos experimentales
Solamente los fotones cuya energía sea mayor o igual que el trabajo de
extracción del metal podrán provocar el efecto fotoeléctrico. Este hecho implica
que hay una frecuencia mínima necesaria para producirlo (hecho que concuerda
con las leyes del efecto fotoeléctrico):
0·hWe
Si se disminuye la intensidad de la iluminación, disminuye el número de
fotones, y con ello el número de electrones que pueden arrancarse.
Si se produce el efecto fotoeléctrico, el exceso de energía del fotón sobre el
trabajo de extracción es la energía cinética que adquiere el electrón arrancado.
cefotón EWE cEhh 0·· 0· hEc
El papel del fotón es únicamente aportar energía, ya que al chocar con el
electrón le transfiere su energía y “desaparece”.
3.2.- Relación entre frecuencia y potencial de corte
Cuando la batería de la célula fotoeléctrica tiene su polo negativo conectado al ánodo,
actúa una fuerza eF
sobre los electrones que los va frenando. Los únicos que llegarán al
ánodo serán aquellos cuya energía cinética sea superior a la energía potencial eléctrica
que se opone a su movimiento:
epc EE VeVqEc ··
Si se aplica una tensión de frenado 0V tal que 0max, ·VeEc ningún electrón será capaz
de llegar al ánodo:
0max, ·VeEc 00 ·· Veh 00 · e
hV
Por tanto, si representamos el potencial de corte en función de la frecuencia de la luz
incidente, sea cual sea el metal, aparece una recta cuya pendiente es: C
Js
e
h 1510·14'4 .
4.- Modelo de Bohr
Según el modelo de Bohr, en los átomos los electrones solamente pueden situarse en
ciertas órbitas permitidas. En cada órbita el electrón tendrá una energía total diferente.
- 73 -
Se cumple que la energía del nivel n viene dada por 2
1
n
EEn . El nivel más próximo al
núcleo es el 1n , al que corresponde la menor energía eVE 6'131 . A este nivel
de energía más bajo se le llama estado fundamental. Los otros niveles energéticos se
llaman estados excitados.
Si el electrón salta de un nivel energético superior a otro inferior, emite un fotón cuya
energía es la diferencia entre la de los dos estados energéticos:
finalinicial EEh ·
5.- El efecto compton y sus implicaciones
Este efecto demuestra el carácter corpuscular de la luz, ya que el protagonista del efecto
compton es el fotón.
Compton comprobó experimentalmente que cuando un haz de rayos X o rayos
(radiación muy energética) incide sobre sustancias como la parafina o el grafito ocurre
que la radiación dispersada por la materia tiene una longitud de onda mayor que la
inicial.
Según la física clásica, la radiación debería difractarse al interaccionar con el blanco,
pero no debería cambiar su longitud de onda. No obstante, si aceptamos el modelo
corpuscular postulado por Einstein, el efecto Compton se puede interpretar como un
choque entre el fotón incidente y el electrón. Dicho electrón se puede considerar
inicialmente en reposo porque su energía cinética de agitación es mucho menor que la
de los fotones incidentes.
De acuerdo con la teoría relativista:
h
c
ch
c
h
c
Ep
·
··.
El fotón, al chocar con el electrón, intercambia con éste cantidad de movimiento y
energía; como consecuencia de los principios de conservación de E y p
, disminuye la
energía del fotón (porque aumenta la energía cinética del electrón) y por tanto también
disminuye la frecuencia y aumenta la longitud de onda del fotón.
Si el haz de rayos X se desvía un ángulo muy pequeño su
energía prácticamente no cambiará y al revés, si la desviación
es mayor, los fotones habrán cedido más energía y su
frecuencia decrecerá más.
Queda demostrado que:
cos1··
' cm
h
e
- 74 -
donde es la longitud de onda incidente, ' es la longitud de onda difundida, em es la
masa del electrón dispersado y es el ángulo de desviación del haz incidente.
6.- Hipótesis de Broglie: dualidad onda-corpúsculo
Podemos hablar de un comportamiento dual para la luz:
Onda Dualidad Partícula
Energía 2·cmE
·hE
Frecuencia
c
Movimiento lineal vmp ·
hp
Longitud de onda
Louis de Broglie consideró que era posible generalizar la dualidad de la luz a los
electrones y por extensión a todos los corpúsculos.
La hipótesis de Broglie es: Toda partícula de cantidad de movimiento p lleva
asociada una onda cuya longitud de onda cumple la ecuación:
hp
7.- Física cuántica
7.1.- Bases de la física cuántica
El carácter dual de las partículas condujo a la aparición de la mecánica cuántica. Pero
debido al éxito de la mecánica clásica al describir la dinámica de toda clase de objetos,
desde el movimiento de las moléculas hasta la estructura del sistema solar o las
galaxias, su sustitución por una nueva mecánica no fue nada fácil. Sin embargo, la
mecánica cuántica es la única capaz de explicar el comportamiento de la
naturaleza a escala atómica o inferior.
7.2.- Principio de indeterminación de Heisenberg
La mecánica clásica es determinista, es decir, si conocemos el estado actual de un
sistema y las fuerzas que actúan sobre él, podemos predecir su evolución futura. No
obstante, tal y como dijo Heisenberg, la dualidad onda-corpúsculo implica aceptar el
principio de indeterminación:
No se puede determinar simultáneamente con precisión absoluta la posición y el
momento lineal de una partícula.
Suponiendo un movimiento sobre el eje X y llamando x e xp a las imprecisiones
absolutas de la posición y el momento lineal, la relación de Heisenberg se concreta en la
desigualdad:
2·
hpx x
- 75 -
Resumen del tema 7
Antecedentes de la hipótesis cuántica
Los espectros atómicos
Fórmula de Balmer:
22
1
2
1·
1
nRH
donde 1710·0973'1 mRH y ...6,5,4,3n
Leyes de radiación
Se llama radiación térmica la energía electromagnética que emite un cuerpo debido
a su temperatura.
Un cuerpo a mayor temperatura emite más energía por unidad de superficie que
uno a menor temperatura.
El efecto fotoeléctrico: leyes experimentales
1.- Sólo se produce si la frecuencia de la luz utilizada sobrepasa la frecuencia umbral
0 .
2.- Cuando el efecto fotoeléctrico se produce, lo hace instantáneamente.
3.- Si V aumenta la intensidad de corriente también aumenta hasta alcanzar la corriente
de saturación, sI .
4.- Si invertimos la polaridad de la batería el campo eléctrico frena a los electrones. La
tensión de la batería que llega a frenar totalmente el avance de los electrones se llama
potencial de corte o de frenado 0V .
5.- Para extraer un electrón se necesita una energía mínima llamada trabajo de
extracción eW , propio de cada material.
Hipótesis cuántica
·1 hE siendo h la constante de Planck, cuyo valor es Jsh 3410·626'6
Hipótesis cuántica de Einstein
La radiación se emite y se capta por “cuantos”, “paquetes de energía” o “fotones”.
El fotón es una partícula sin masa en reposo, cuya velocidad es la de la luz y su energía
es ·hE .
- 76 -
Interpretación cuántica del efecto fotoeléctrico
Explicación de los hechos experimentales
0·hWe
cefotón EWE 0· hEc
A menos intensidad de iluminación, se arrancan menos electrones.
Relación entre frecuencia y potencial de corte: 00 · e
hV
Modelo de Bohr
2
1
n
EEn siendo eVE 6'131 . A este nivel de energía más bajo se le llama
estado fundamental. Los otros niveles energéticos se llaman estados excitados.
finalinicial EEh ·
El efecto compton
cos1··
' cm
h
e
Hipótesis de Broglie: dualidad onda-corpúsculo
Onda Dualidad Partícula
Energía 2·cmE
·hE
Frecuencia
c
Movimiento lineal vmp ·
hp
Longitud de onda
Toda partícula de cantidad de movimiento p lleva asociada una onda cuya longitud
de onda cumple la ecuación:
hp
Física cuántica
Principio de indeterminación de Heisenberg
No se puede determinar simultáneamente con precisión absoluta la posición y el
momento lineal de una partícula.
2·
hpx x
- 77 -
Tema 8.- Física nuclear
1.- Estructura y características del núcleo
1.1.- Partículas del núcleo
El núcleo está formado por protones y neutrones. Estas dos partículas reciben el
nombre genérico de nucleones y tienen prácticamente la misma masa pero difieren en la
carga.
En un átomo neutro el número de protones del núcleo coincide con el número de
electrones de la corteza. Este número se denomina número atómico, Z, y caracteriza a
cada elemento químico en la tabla periódica.
El núcleo se identifica por el número de nucleones. Este número se denomina número
másico, A, que verifica que:
NZA
donde N es el número de neutrones.
Los núcleos que poseen el mismo número atómico y el mismo número másico son los
núclidos. Un núclido se representa por el símbolo del elemento químico con un
superíndice a la izquierda que señala el número másico y un subíndice a la izquierda
que señala el número másico, por ejemplo, C12
6 ; H1
1 ; N14
7 .
A veces no se pone el subíndice porque el símbolo ya implica el número atómico.
1.2.- Isótopos
La mayoría de los elementos químicos se presentan en dos o más variedades
caracterizadas por poseer distinto número másico A, es decir, por diferir en el número de
neutrones N. Esta variedad de núclidos se llaman isótopos.
Los isótopos de un elemento tienen prácticamente las mismas propiedades químicas
pero diferentes propiedades nucleares.
1.3.- Unidad de masa atómica
Es la doceava parte de la masa del átomo de carbono-12 C12 .
Para medir masas nucleares y atómicas se utiliza la unidad de masa atómica, u.
kgCg
Ckg
Cmol
Cg
Cátomo
CmolCátomou 27
12
12
12
12
1223
12
12 10·6605'11000
1·
1
12·
10·022142'6
1·1·
12
11
kgu 2710·6605'11
- 78 -
2.- Energía de enlace nuclear
2.1.- Fuerzas nucleares
El problema más importante por resolver es explicar el origen de la estabilidad nuclear,
hecho que exige la existencia de unas interacciones de gran intensidad capaces como
mínimo de superar la repulsión eléctrica entre los protones del núcleo.
No obstante las fuerzas nucleares son de corto alcance, ya que no se manifiestan fuera
del núcleo. Tan sólo tienen un alcance de hasta 3 fermios ( m1510·3 ). Esta fuerza
nuclear sólo se manifiesta entre un nucleón y sus vecinos más próximos y es
independiente de la carga eléctrica, es decir, se manifiesta entre dos protones, entre dos
neutrones, y entre un protón y un neutrón.
La fuerza nuclear, inicialmente de atracción, se convierte en repulsiva a distancias
inferiores al fermio, lo que evita el colapso nuclear.
2.2.- Estabilidad nuclear
Los núcleos ligeros (valores de Z y N bajos) son más estables si NZ , mientras que
los núcleos masivos son más estables a medida que el número de neutrones excede al de
protones.
Es un hecho que la masa total de un núcleo es siempre menor que la suma de las masas
de sus nucleones antes de unirse. Esto es porque parte de la energía asociada a los
nucleones en reposo, se transforma en energía en movimiento al formarse el núcleo.
Para separar las partículas de un núcleo es necesario aplicar una energía igual a la que
transfirió al formarse.
La energía en reposo de un núcleo es menor que la suma de las energías en reposo
de sus componentes suficientemente separados para no experimentar la fuerza
nuclear entre ellos.
Esta diferencia de energía, llamada energía de enlace o de ligadura, bE , es la que le da
estabilidad al núcleo.
núcleonucleonesb EEE
2.3.- Energía de enlace
Al unirse los nucleones para formar el núcleo, parte de su masa se transforma en
energía. Tal energía es la energía de enlace.
22222 ····· cmcmNmZcmcmNcmZEEE núcleonpnúcleonpnúcleonucleonesb
2··· cmmNmZ núcleonp
22 ·· cmcmmE finalinicialb
- 79 -
donde m es el defecto de masa que se pierde.
núcleonp mmNmZm ··
Sabemos que kgu 2710·6605'11 , que equivale a una energía de:
JmcE 1028272 10·4924'110·3·10·6605'1
eVJ
eVJ 6
19
10 10·49'93110·60218'1
1·10·4924'1
Es decir, que una unidad de masa atómica libera una cantidad de energía igual a:
MeVu 49'9311
Por tanto, la energía de ligadura es igual a:
MeVmu
MeVumEb ·49'931
1
49'931· MeVmEb ·49'931
2.4.- Energía de enlace por nucleón
2·
··c
A
mmNmZ
A
E núcleonpb
Si representamos la energía de enlace por nucleón de cada elemento químico frente al
número másico A, aparece la siguiente gráfica:
Como vemos, tanto los núcleos con números atómicos mayores a 60 como los menores
a 60 no están tan fuertemente enlazados (no son tan estables) como aquellos que tienen
un número atómico de alrededor del 60 (son los más estables).
Si se unen dos núcleos ligeros para formar un núcleo más masivo (fusión nuclear) se
libera energía, y si un núcleo masivo se divide en otros más ligeros (fisión nuclear)
también se libera energía.
- 80 -
3.- Radiación
La radiación está formada por varios componentes: partículas alfa ( ), partículas
beta ( ), y partículas gamma ( ).
En un haz de rayos radiactivos, las partículas alfa sufren una pequeña desviación al
encontrar un campo magnético o eléctrico, las partículas beta sufren una gran
desviación, y a las partículas gamma no les afecta en absoluto ninguno de los campos.
Las partículas están formadas por dos protones y dos neutrones, es decir, son
equivalentes al núcleo del átomo de helio He4
2 , las partículas son electrones, y
las partículas no tienen ni carga ni masa.
3.1.- Emisión
En los núcleos de los elementos muy masivos ( 82Z ), el número de neutrones es muy
superior al de protones, hecho que los convierte en núcleos poco estables. Estos núcleos
alcanzan espontáneamente mayor estabilidad emitiendo partículas :
HeYX A
Z
A
Z
4
2
4
2
La masa del núcleo inicial es mayor que la suma de las masas de las partículas
formadas.
3.2.- Emisión
En los núcleos con muchos neutrones la desintegración espontánea se produce con
emisión de electrones (o partículas ).
Puesto que en el núcleo no hay electrones, la emisión de un electrón se debe a que un
neutrón se desintegra formando un protón, un electrón y un neutrino electrónico (una
partícula sin carga y de masa en reposo nula); este electrón es el que se emite junto al
neutrino.
eepn 000
1
1
1
1
0
El número másico se mantine, ya el protón reemplaza al neutrón anterior, pero el
número atómico aumenta en una unidad, ya que hay un protón de más:
e
A
Z
A
Z eYX 000
11
3.3.- Emisión
Este proceso sucede en los núcleos con deficiencia de neutrones. Los protones se
transforman en un neutrón, un positrón (una partícula de carga positiva y con masa la
- 81 -
misma que el electrón. “Es como un electrón con carga positiva”) y un neutrino
electrónico:
eenp 000
1
1
0
1
1
Se emite el positrón y el neutrino:
e
A
Z
A
Z eYX 000
11
3.4.- Emisión
Cuando un núclido se desintegra por emisión o , queda normalmente en un estado
excitado. Para pasar de este estado a otro estado de menor energía o al estado
fundamental, se produce una emisión de fotones muy energéticos, llamados rayos
gamma.
La emisión de rayos gamma es un mecanismo por el que los productos de una
desintegración radiactiva ceden el exceso de energía.
3.5.- Captura electrónica orbital
Los núcleos con deficiencia de neutrones pueden adquirir mayor estabilidad mediante
otro tipo de transformación. Este mecanismo consiste en que el núcleo captura un
electrón de la órbita más cercana al él.
Este electrón se une con un protón del núcleo para originar un neutrón. El número
másico se mantiene constante, ya que el nuevo neutrón reemplaza al antiguo protón, y el
número atómico disminuye en una unidad:
YeX A
Z
A
Z 1
0
1
4.- Leyes de emisión radiactiva
Si tenemos una muestra de 0N átomos de un isótopo radiactivo, el número de átomos N
que quedan aún sin desintegrar transcurrido un cierto tiempo t decrece de forma
exponencial.
En un proceso de desintegración radiactiva el número de núcleos desintegrados, dN ,
en un tiempo, dt , es proporcional al número de núcleos presentes, N , en un cierto
instante y al intervalo de tiempo, dt :
dtNdN ··
donde es la constante radiactiva o constante de desintegración. Si la constante
radiactiva es grande significa que la muestra se desintegra rápidamente.
- 82 -
El número de núcleos desintegrados por unidad de tiempo representa la velocidad de
desintegración o actividad ( cA ) de la muestra radiactiva:
Ndt
dNAc ·
Como podemos observar, la actividad, además de depender de la constante radiactiva,
depende del número de núcleos de la muestra, N. Esto significa que según se va
desintegrando la muestra disminuye su velocidad de desintegración.
La actividad, en el SI se mide en becquerels (Bq), que equivalen a una desintegración
por segundo. También se utiliza bastante el rutherford, que equivale a 610 de
becquerels.
dtNdN ·· dtN
dN·
tN
Ndt
N
dN
0·
0
tN
N tN 0·ln0
0·lnln 0 tNN tN
N·ln
0
teN
N ·
0
teNN ·
0 ·
donde 0N representa el número de núcleos que hay en el instante 0t y N el número
de núcleos que quedan sin desintegrar al cabo de un tiempo t.
teNN ·
0 · t
AA
eN
N
N
N ·0 · tenn ·
0 · (n representa el número de moles)
t
atómicaatómica eMnMn ·
0 ··· (se multiplica por la masa atómica de la muestra) temm ·
0 ·
4.1.- Periodo de semidesintegración
Es el tiempo que pasa hasta que el número de núcleos de la muestra se reduce a la
mitad, y se simboliza por T.
TeNN ·
0
0 ·2
Te ·
2
1 2
1ln· T 2ln2ln1ln· T
2ln· T
2lnT
Otro concepto es el de vida media, , que representa el promedio de vida de un núcleo
y equivale a:
1
2ln
T
- 83 -
5.- Reacciones nucleares
Cuando dos núcleos o un núcleo y una partícula chocan, se crean otros núcleos o
partículas. Esto son las reacciones nucleares.
En estos procesos nucleares cambian las estructuras debido a una reagrupación de los
nucleones.
Rutherford bombardeó nitrógeno con partículas , apareciendo oxígeno y protones (fue
así como se descubrió el protón):
HOHeN 1
1
17
8
4
2
14
7 (el protón es el núcleo de un átomo de hidrógeno)
Las reacciones nucleares son esencialmente procesos de choque en los que se
conserva la energía, la cantidad de movimiento, el momento angular, el número de
nucleones y la carga.
5.1.- Balance energético
En las reacciones nucleares se conserva la energía cinética total del sistema, pero se
produce una variación de energía cinética interna. Esa variación de energía cinética está
asociada a la variación de masa que experimenta el sistema.
Imaginemos una reacción nuclear yYxX donde la partícula incidente x , de
masa xm , choca con el núcleo X , de masa Xm , produciendo el núcleo Y , de masa
Ym ,
y la partícula emitida y , de masa ym .
Teniendo en cuenta que reposoc EEE :
Xxinicial EEE 2
,
2
, cmEcmEE XXcxxcinicial
Yyfinal EEE 2
,
2
, cmEcmEE YYcyycfinal
Puesto que la energía se conserva:
finalinicial EE 2
,
2
,
2
,
2
, cmEcmEcmEcmE YYcyycXXcxxc
2
,,
2
,, ·· cmmEEcmmEE YyYcycXxXcxc
22
,,,, ·· cmmcmmEEEE YyXxXcxcYcyc
22
,, ·· cmcmEE finalinicialinicialcfinalc
La variación de energía cinética que se produce está asociada a la variación que
experimenta la masa en reposo del sistema. Esto significa que la energía asociada a
las partículas en reposo se ha convertido en energía que puede realizar
transformaciones.
- 84 -
La variación de energía cinética recibe el nombre de energía de desintegración o factor
Q:
2
,, ·cmmEEQ finalinicialinicialcfinalc
Si Q es positivo, el sistema transfiere energía al entorno, y la reacción es exoenergética.
Si Q es negativo, el sistema recibe energía del entorno, y la reacción es endoenergética.
Una reacción exoenergética ocurre para todos los valores de energía cinética de la
partícula incidente, incluso cero; pero en una reacción endoenergética la partícula
incidente debe tener como mínimo cierta energía cinética, llamada energía umbral, que
es numéricamente igual al factor Q, y el exceso de energía sobre este valor se convierte
en energía cinética de las partículas que se producen en la reacción.
5.2.- Radiactividad artificial
Irene Curie y su esposo estudiaron la producción de neutrones al bombardear aluminio
con partículas :
nPHeAl 1
0
30
15
4
2
27
13
Observaron que, además de los neutrones, se obtenían también positrones. Pero lo más
llamativo era que, a diferencia de los neutrones, la emisión de positrones no cesaba al
dejar de bombardear el aluminio. Esto ocurre porque el isótopo P30
15 producido es
radiactivo (radiactividad artificial), y se desintegra emitiendo positrones:
eeSiP 000
1
30
14
30
15
La producción de positrones es más abundante en la radiactividad artificial, ya que en la
radiactividad natural mayoritariamente se emiten radiaciones , y .
En la producción de isótopos radiactivos se utilizan normalmente, como partículas
incidentes, los neutrones, porque al no poseer carga no experimentan fuerzas de
repulsión electrostática de los protones de los núcleos sobre los que inciden,
permitiendo un contacto más efectivo.
5.3.- Familias radiactivas
Cuando un núcleo radiactivo emite partículas se convierte en otro núcleo que, si
también es radiactivo, se desintegra, y así sucesivamente, originando una familia de
núclidos que constituyen una serie radiactiva.
En una serie radiactiva los núclidos de los elementos químicos que la constituyen
pueden alcanzar un estado estacionario, en el que el número de átomos que se
desintegran en la unidad de tiempo es igual al número de átomos que se forman en el
mismo tiempo, es decir, la actividad ( N· ) de cada uno de ellos es constante. Cuando
esto ocurre decimos que se ha alcanzado el equilibrio radiactivo:
...··· 332211 NNN
- 85 -
6.- Fisión nuclear y fusión nuclear
6.1.- Fisión nuclear
Consiste en la ruptura de un núcleo masivo, como el uranio o el torio, en dos
fragmentos de masa comparable y la consiguiente liberación de gran cantidad de
energía útil o transformable en energía útil. Esta ruptura nuclear se consigue
desestabilizando el núcleo.
Mayoritariamente se utilizan los neutrones como partículas incidentes:
nCsRbUnU 1
0
141
55
93
37
236
92
1
0
235
92 2
En esta reacción, primero se bombardea un núcleo de uranio con un neutrón y aparece
un núcleo de uranio inestable. Esta inestabilidad provoca la fisión del núcleo en otros
dos de rubidio y cesio, y la liberación de dos neutrones.
La fisión del uranio no es siempre la misma. En general es así:
neutronesoYXUnU 32236
92
1
0
235
92
La fisión nuclear libera una energía promedio de MeV9'0 por nucleón, lo que
representa en total alrededor de MeV5'211 para cada núcleo de uranio.
6.2.- Reacción en cadena
Con la fisión nuclear se liberan dos o tres neutrones, que pueden provocar nuevas
fisiones creando una reacción en cadena.
Si la reacción ocurre de tal modo que únicamente un neutrón emitido produce una nueva
fisión entonces tenemos una reacción en cadena controlada. De lo contrario el número
de fisiones crece muy rápidamente, creando una reacción en cadena incontrolada. Esto
último es lo que ocurre en una bomba atómica.
6.3.- Fusión nuclear
Consiste en aproximar dos núcleos ligeros lo suficiente para que las fuerzas
nucleares superen las de repulsión eléctrica y se forme un núcleo más masivo.
En el proceso de la fusión la energía de enlace del nuevo núcleo es mayor que la suma
de las energías de enlace de los núcleos originales, lo que proporciona una liberación de
energía. Si las condiciones son apropiadas, esta energía es suficiente para excitar
nuevos núcleos y originar una reacción en cadena.
Para que los núcleos se aproximen hay que dotarlos de suficiente energía cinética para
superar las fuerzas repulsivas. Esto se logra elevando la temperatura aproximadamente a
- 86 -
100 millones de grados. Por ello, las fusiones nucleares también se llaman reacciones
termonucleares.
La fusión nuclear es el proceso por el cual el Sol emite energía. En su interior se realiza
la fusión de los dos isótopos del hidrógeno (el deuterio y el tritio), con formación de
helio y un neutrón, además de liberación de energía.
7.- Aplicaciones de los radioisótopos
Como trazadores. En reacciónes químicas, para seguir el mecanismo de una
reacción indicando los compuestos que se forman.
Como fuente de radiación. En medicina, para el tratamiento del cáncer
(radioterapia).
Para técnicas de datación. Los seres vivos durante su ciclo vital intercambian
continuamente carbono mediante la respiración y la fotosíntesis, de forma que
mantienen en su organismo la misma relación isotópica que existe en la
atmósfera. Cuando el ser vivo muere, el C14 sigue desintegrándose, pero la
relación C14 / C12 disminuye.
La medida de esta variación permite averiguar el tiempo transcurrido desde que
el ser vivo murió.
La datación para objetos de origen no orgánico se realiza con minerales
radiactivos, como el uranio. Los isótopos que se presenta en forma natural, U238
y U235, se desintegran con mucha lentitud, y finalmente se transforman en
isótopos de plomo, Pb206 y Pb207
. Cuanto más vieja sea una roca que contiene
uranio, mayor será el porcentaje de isótopos de plomo presentes en ella.
Como fuente de energía. Los satélites artificiales, las naves espaciales, y otros
aparatos y mecanismos que no pueden conectarse a una red eléctrica, usan pilas
atómicas para poder desarrollar su función.
- 87 -
Formulario del tema 8
Estructura y características del núcleo
NZA
Unidad de masa atómica
kgu 2710·6605'11
Energía de enlace nuclear
Energía de enlace
núcleonucleonesb EEE 22 ·· cmcmmE finalinicialb
núcleonp mmNmZm ··
MeVu 49'9311 MeVmEb ·49'931
Energía de enlace por nucleón
2·
··c
A
mmNmZ
A
E núcleonpb
Radiación
Emisión
HeYX A
Z
A
Z
4
2
4
2
Emisión
e
A
Z
A
Z eYX 000
11
Emisión
e
A
Z
A
Z eYX 000
11
Captura electrónica orbital
YeX A
Z
A
Z 1
0
1
- 88 -
Leyes de emisión radiactiva
Ndt
dNAc · teNN ·
0 · temm ·
0 ·
Periodo de semidesintegración
2lnT
2ln
1 T
Reacciones nucleares
En toda reacción nuclear la masa inicial es siempre mayor que la final, ya que se libera
energía.
Además, en toda reacción nuclear: WZYX g
h
e
f
c
d
a
b
geca y hfdb
Balance energético
2
,, ·cmmEEQ finalinicialinicialcfinalc
Fisión nuclear y fusión nuclear
Fisión nuclear
neutronesoYXUnU 32236
92
1
0
235
92