Fractales et structure des réseaux

hydrographiques

Cyril Fleurant, Jean Duchesne, Bernard Roland, Institut National d’Horticulture, Angers, France

Budi Kartiwa, Center for Soil and Agroclimate Research, Bogor, Indonesia

• Introduction

• contexte

• problématique

• Modélisation Pluie-débit

• principes

• fonction de transfert

• fractale et réseau hydrographique

• applications

• Conclusion

Fonctionnement hydrologique d’un bassin versant

• cycle de l’eau

• bassin versant

• unité spatiale

• entrée : précipitations

• sortie : débit

© Cogeby 2003

• physique des flux ?

• transfert des polluants ?

• aménagement ?

• ressource en eau ?

Comment prédire un débit ?

entrée : précipitations

sortie : débit

Modélisation pluie-débit

• Introduction

• contexte

• problématique

• Modélisation Pluie-débit

• principes

• fonction de transfert

• fractale et réseau hydrographique

• applications

• Conclusion

Principes de la modélisation pluie-débit

Les écoulements

La démarche

• Introduction

• contexte

• problématique

• Modélisation Pluie-débit

• principes

• fonction de transfert

• fractale et réseau hydrographique

• applications

• Conclusion

Principes de la modélisation pluie-débit

t

dtTPtq s0

)()()( Chow et al., 1988

q(t) : débit à l’exutoire au temps t (m3/s)

S : aire du bassin versant (m2)

P(t) : intensité de la pluie au temps t (m/s)

T(t) : fonction de transfert au temps t (s-1)

Fonction de transfert ?

• Introduction

• contexte

• problématique

• Modélisation Pluie-débit

• principes

• fonction de transfert

• fractale et réseau hydrographique

• applications

• Conclusion

Fonction de transfert hydro-géomorphologique

• morphométrie du réseau hydrographique

• fonction densité de probabilité des temps de transfert

• raisonnement sur les distances

• hiérarchisation (Strahler, 1957)

• longueur hydraulique d’ordre k (k=1,…,n)

• Introduction

• contexte

• problématique

• Modélisation Pluie-débit

• principes

• fonction de transfert

• fractale et réseau hydrographique

• applications

• Conclusion

Longueur hydraulique d’ordre k et lois de Horton

1

k

kll

lr

1

k

kN

N

Nr

Nature fractale des réseaux hydrographiques

• lois scalantes

• auto-similarité statistique des fractales naturelles

• origine : auto-organisation du relief ?

lN

r

rD

log

log Tarboton et al., 1990

• Introduction

• contexte

• problématique

• Modélisation Pluie-débit

• principes

• fonction de transfert

• fractale et réseau hydrographique

• applications

• Conclusion

Longueur hydraulique d’ordre k

k

kk

k

kl

ll

llT exp

2

1)( 2

1

Duchesne and Cudennec, 1997

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 10 20 30 40 50 60

lk (m)

T(l

k) (

m-1

) <l1>=10 m

<l2>=20 m

<l3>=40 m

<l4>=80 m

2lr

• Introduction

• contexte

• problématique

• Modélisation Pluie-débit

• principes

• fonction de transfert

• fractale et réseau hydrographique

• applications

• Conclusion

Longueur hydraulique totale

n

kklL

1

kk lTl

nlTlTLTL 1

• Introduction

• contexte

• problématique

• Modélisation Pluie-débit

• principes

• fonction de transfert

• fractale et réseau hydrographique

• applications

• Conclusion

Longueur hydraulique totale

k

nl

nl

k

k

kn

n

i

nil

n

nn

i

ni

l

LrL

rn

k

nkb

L

r

nL

L

rLT

10

1

12

2

1

2

1

2

1

2!

21

2exp

22

)(

j

iii

iiik

j

j

ji

illl

lll

ij

ijb

kb

21

121

0

1

21

!

22

1 si i=2

si i=3, 4, …, n

Fleurant and Boulestreau, 2004

v

LTtT

lrnL ,,Paramètres géométriques :

• Introduction

• contexte

• problématique

• Modélisation Pluie-débit

• principes

• fonction de transfert

• fractale et réseau hydrographique

• applications

• Conclusion

0,0E+00

1,0E-04

2,0E-04

3,0E-04

4,0E-04

5,0E-04

6,0E-04

0 1000 2000 3000 4000 5000

L (m)

T(L)

(m-1

)0,0E+00

5,0E-04

1,0E-03

1,5E-03

2,0E-03

2,5E-03

3,0E-03

3,5E-03

0 200 400 600 800 1000

L (m)

T(L

) (m

-1)

• Introduction

• contexte

• problématique

• Modélisation Pluie-débit

• principes

• fonction de transfert

• fractale et réseau hydrographique

• applications

• Conclusion

0

1

2

3

4

5

6

0,00 24 48 72 96 120 144

Time (mn)

Flo

w r

ate

(m3 /s

)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Rainfall (m

m)

Net rainfall

Infiltrated water

Observed runoff

Simulated runoff

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,00 24 48 72 96 120 144

Time (mn)

Flo

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(m3 /s

)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Rainfall (m

m)

Net rainfall

Infiltrated water

Observed runoff

Simulated runoff

• Introduction

• contexte

• problématique

• Modélisation Pluie-débit

• principes

• fonction de transfert

• fractale et réseau hydrographique

• applications

• Conclusion

• Introduction

• contexte

• problématique

• Modélisation Pluie-débit

• principes

• fonction de transfert

• fractale et réseau hydrographique

• applications

• Conclusion

• stabilité des rapports de Horton

• hypothèse d’auto-similarité

tT lrnL ,,