Fractales et structure des réseaux
hydrographiques
Cyril Fleurant, Jean Duchesne, Bernard Roland, Institut National d’Horticulture, Angers, France
Budi Kartiwa, Center for Soil and Agroclimate Research, Bogor, Indonesia
• Introduction
• contexte
• problématique
• Modélisation Pluie-débit
• principes
• fonction de transfert
• fractale et réseau hydrographique
• applications
• Conclusion
Fonctionnement hydrologique d’un bassin versant
• cycle de l’eau
• bassin versant
• unité spatiale
• entrée : précipitations
• sortie : débit
© Cogeby 2003
• physique des flux ?
• transfert des polluants ?
• aménagement ?
• ressource en eau ?
Comment prédire un débit ?
entrée : précipitations
sortie : débit
Modélisation pluie-débit
• Introduction
• contexte
• problématique
• Modélisation Pluie-débit
• principes
• fonction de transfert
• fractale et réseau hydrographique
• applications
• Conclusion
Principes de la modélisation pluie-débit
Les écoulements
La démarche
• Introduction
• contexte
• problématique
• Modélisation Pluie-débit
• principes
• fonction de transfert
• fractale et réseau hydrographique
• applications
• Conclusion
Principes de la modélisation pluie-débit
t
dtTPtq s0
)()()( Chow et al., 1988
q(t) : débit à l’exutoire au temps t (m3/s)
S : aire du bassin versant (m2)
P(t) : intensité de la pluie au temps t (m/s)
T(t) : fonction de transfert au temps t (s-1)
Fonction de transfert ?
• Introduction
• contexte
• problématique
• Modélisation Pluie-débit
• principes
• fonction de transfert
• fractale et réseau hydrographique
• applications
• Conclusion
Fonction de transfert hydro-géomorphologique
• morphométrie du réseau hydrographique
• fonction densité de probabilité des temps de transfert
• raisonnement sur les distances
• hiérarchisation (Strahler, 1957)
• longueur hydraulique d’ordre k (k=1,…,n)
• Introduction
• contexte
• problématique
• Modélisation Pluie-débit
• principes
• fonction de transfert
• fractale et réseau hydrographique
• applications
• Conclusion
Longueur hydraulique d’ordre k et lois de Horton
1
k
kll
lr
1
k
kN
N
Nr
Nature fractale des réseaux hydrographiques
• lois scalantes
• auto-similarité statistique des fractales naturelles
• origine : auto-organisation du relief ?
lN
r
rD
log
log Tarboton et al., 1990
• Introduction
• contexte
• problématique
• Modélisation Pluie-débit
• principes
• fonction de transfert
• fractale et réseau hydrographique
• applications
• Conclusion
Longueur hydraulique d’ordre k
k
kk
k
kl
ll
llT exp
2
1)( 2
1
Duchesne and Cudennec, 1997
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 10 20 30 40 50 60
lk (m)
T(l
k) (
m-1
) <l1>=10 m
<l2>=20 m
<l3>=40 m
<l4>=80 m
2lr
• Introduction
• contexte
• problématique
• Modélisation Pluie-débit
• principes
• fonction de transfert
• fractale et réseau hydrographique
• applications
• Conclusion
Longueur hydraulique totale
n
kklL
1
kk lTl
nlTlTLTL 1
• Introduction
• contexte
• problématique
• Modélisation Pluie-débit
• principes
• fonction de transfert
• fractale et réseau hydrographique
• applications
• Conclusion
Longueur hydraulique totale
k
nl
nl
k
k
kn
n
i
nil
n
nn
i
ni
l
LrL
rn
k
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L
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L
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10
1
12
2
1
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1
2
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2!
21
2exp
22
)(
j
iii
iiik
j
j
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illl
lll
ij
ijb
kb
21
121
0
1
21
!
22
1 si i=2
si i=3, 4, …, n
Fleurant and Boulestreau, 2004
v
LTtT
lrnL ,,Paramètres géométriques :
• Introduction
• contexte
• problématique
• Modélisation Pluie-débit
• principes
• fonction de transfert
• fractale et réseau hydrographique
• applications
• Conclusion
0,0E+00
1,0E-04
2,0E-04
3,0E-04
4,0E-04
5,0E-04
6,0E-04
0 1000 2000 3000 4000 5000
L (m)
T(L)
(m-1
)0,0E+00
5,0E-04
1,0E-03
1,5E-03
2,0E-03
2,5E-03
3,0E-03
3,5E-03
0 200 400 600 800 1000
L (m)
T(L
) (m
-1)
• Introduction
• contexte
• problématique
• Modélisation Pluie-débit
• principes
• fonction de transfert
• fractale et réseau hydrographique
• applications
• Conclusion
0
1
2
3
4
5
6
0,00 24 48 72 96 120 144
Time (mn)
Flo
w r
ate
(m3 /s
)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
Rainfall (m
m)
Net rainfall
Infiltrated water
Observed runoff
Simulated runoff
0
1
2
3
4
5
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7
8
9
0,00 24 48 72 96 120 144
Time (mn)
Flo
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(m3 /s
)
0
5
10
15
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25
30
35
40
45
50
55
60
Rainfall (m
m)
Net rainfall
Infiltrated water
Observed runoff
Simulated runoff
• Introduction
• contexte
• problématique
• Modélisation Pluie-débit
• principes
• fonction de transfert
• fractale et réseau hydrographique
• applications
• Conclusion
• Introduction
• contexte
• problématique
• Modélisation Pluie-débit
• principes
• fonction de transfert
• fractale et réseau hydrographique
• applications
• Conclusion
• stabilité des rapports de Horton
• hypothèse d’auto-similarité
tT lrnL ,,