VELEUILITE U KARLOVCU

FLUIDIKI AKTUATORI

RADOSLAV KORBAR

KARLOVAC, 2013.

1

SADRAJ

FLUIDIKI AKTUATORI..............................................................................................................2

1 UVOD ......................................................................................................................................2 1.1 OSNOVNE SHEME AKTUATORA...........................................................................................2

2 OPI PREGLED AKTUATORA ...........................................................................................5 2.1 VRSTE POMONE ENERGIJE ................................................................................................5 2.2 FLUIDIKI AKTUATORI ......................................................................................................7 2.3 VREMENSKI ODZIV I REGULACIJA AKTUATORA ...................................................................7

2.3.1 Zahtjevi na aktuatore i servo-pogone.......................................................................... 10 3 HIDRAULIKI AKTUATORI PREGLED I FIZIKALNE OSNOVE............................. 12

3.1 PREGLED HIDRAULIKIH AKTUATORA .............................................................................. 12 3.2 SVOJSTVA HIDRAULIKOG FLUIDA ................................................................................... 12 3.3 HIDRODINAMIKE OSNOVE .............................................................................................. 16

4 HIDRAULIKI ELEMENTI................................................................................................ 30 4.1 VENTILI .......................................................................................................................... 30 4.2 HIDRAULIKI TRANSLACIJSKI MOTORI ............................................................................. 34 4.3 HIDRAULIKI ROTACIJSKI MOTORI ................................................................................... 36 4.4 HIDRAULIKI AKUMULATORI........................................................................................... 45

5 MODELI HIDRAULIKOG SERVO-SUSTAVA: PRIMJER ........................................... 54 5.1 NELINEARNI MODEL ........................................................................................................ 55 5.2 LINEARIZIRANI MODEL .................................................................................................... 58

6 PNEUMATSKI AKTUATORI PREGLED I FIZIKALNE OSNOVE.............................. 64 6.1 SUSTAVI PNEUMATSKIH AKTUATORA ............................................................................... 64 6.2 FIZIKALNE OSNOVE ......................................................................................................... 66

7 PNEUMATSKI ELEMENTI ................................................................................................ 72 7.1 VENTILI .......................................................................................................................... 72 7.2 TLANA POSUDA (SPREMNIK ZRAKA, AKUMULATOR)........................................................ 74 7.3 VENTILI S AKUMULACIJOM ZRAKA I VODOVI .................................................................... 75 7.4 PNEUMATSKI CILINDRI .................................................................................................... 78

8 MODELI PNEUMATSKOG SERVO-SUSTAVA: PRIMJERI........................................... 79 8.1 REGULACIJA PNEUMATSKE SERVO-OSI NA BAZI MODELA................................................... 79 8.2 MODELI PNEUMATSKOG VENTILA .................................................................................... 82

2

FLUIDIKI AKTUATORI

1 UVOD Aktuatori (izvrni organi, pokretai, prigoni) utjeu na izvjesne (zahvatne) ulazne varijable tehnikog procesa, pa na taj nain znaajno utjeu na te procese ili njima upravljaju. U veini sluajeva potrebna je pomona elektrina, hidraulika ili pneumatska energija. Ulazne signale aktuatora moe podeavati ovjek, program (veza prema naprijed) ili povratna veza. Nakon prerade dobivenih informacija, aktuatori djeluju na tokove mase i energije u procesu, tvorei na taj nain vanu kariku izmeu signalne razine ureaja za automatsko upravljanje i samog tehnikog procesa. (Sl. 1.1).

Sl. 1.1 Aktuator veza izmeu sustava prerade informacija i tehnikog procesa

Aktuatori se koriste u svim tehnikim podrujima. Zbog raznovrsnih zahtijeva prisutna je velika raznolikost u njihovoj konstrukciji. Ovdje su obraeni aktuatori koji se koriste u mehatronikim sustavima. Oni obino imaju elektrini ulazni signal i mehaniki izlaz, npr. put, brzinu ili silu, a koriste razne vrste pomone energije iz elektrinih, hidraulikih ili pneumatskih izvora. Nakon opisa osnovne sheme, slijedi pregled razliitih principa rada aktuatora. Bit e opisani aktuatori koji koriste razliite pomone energije. Usporedit e se njihove karakteristike i podruja primjene koji su interesantni za odabir aktuatora. Detaljno e se obraditi matematiki modeli hidraulikih i pneumatskih aktuatora.

1.1 Osnovne sheme aktuatora Aktuatori obino pretvaraju upravljake signale niske razine energije (npr. analogni napon 0-10 V, strujne signale 0-20 mA ili 4-20 mA) u procesne ulazne varijable koje imaju znatno veu energetsku razinu. Procesna ulazna varijabla u mehatronikim sustavima esto je protok mase ili energije. Energija potrebna za pokretanje (rad aktuatora) dolazi iz izvora pomone energije koji napaja pojaalo sadrano u aktuatoru. Pomona energija moe biti elektrina, pneumatska ili hidraulika. Mnogi aktuatori djeluju prema jednoj od dviju osnovnih shema prikazanih na Sl. 1.2. U veini sluajeva upravljaki signal Uu je elektrina veliina koja se u transformatoru signala preoblikuje u veliinu U1 pogodnu za upravljanje pogonom aktuatora. Kod aktuatora na elektrini pogon to moe biti naponski signal drugaijeg napona ili

prerada informacija

aktuator senzor

tehniki proces

3

naponski taktni signal. Kod pneumatskog i hidraulikog pogona to moe biti poloaj upravljakog ventila. Upravljana veliina niske razine energije U1 koristi se kao ulazna veliina za servo-pogon aktuatora, gdje se ona pojaava u signal poveane energetske razine U2. Zato je potreban izvor pomone energije. U sluaju pravocrtnog gibanja, U2 moe biti sila, pomak ili brzina, a kod rotacionih gibanja to moe biti moment, kut rotacije ili kutna brzina. Ovaj servo-pogon spada u kategoriju aktivnih transformatora ili aktivnih pretvaraa. Transformator preoblikuje parametre energije iste vrste, dok se u pretvarau (konverteru) mijenja vrsta energije. Takav aktivni element omoguava upravljanje veliinom koja se prenosi odn. pretvara (i sam taj element je aktuator za koji je potrebna pomona energija), za razliku od pasivnog pogona, koji nije upravljiv (npr. reduktor s fiksnim prijenosnim omjerom). Izlaznu veliinu pogona aktuatora U2 esto treba dovesti u pogodni raspon za sljedeu komponentu. Ova prilagodba vri se u elementu koji se naziva transformator aktuatora, koji ima izlaznu veliinu U3. Taj element moe biti poluni pretvara pomaka, reduktor za prilagodbu zakreta ili momenta, vreteno ventila za pretvaranje krunog u pravocrtno gibanje, itd. Opisani sklop predstavlja upravljani pogon aktuatora (pogonski sklop) s ulaznom veliinom Uu i izlaznom veliinom U3, prikazan na Sl. 1.2 a.

Sl. 1.2 Osnovne sheme aktuatora a) aktuator s upravljakim lancem b) aktuator s regulacijskom petljom

Primjer ventil s elektromotornim pogonom: upravljaki signal Uu prilagoava se u transformatoru signala na razinu U1 prikladnu za upravljanje elektromotorom (pogonom aktuatora) kojemu se dovodi pomona (tj. pogonska) elektrina energija. Izlazno kruno gibanje U2 pretvara se u pravocrtno U3 pomou vretena (transformatora aktuatora). Vreteno pomie pladanj ventila (izvrnog ureaja aktuatora) i tako regulira izlazni protok mase U4 iz ventila, tj. protok mase koji ulazi u proces. Ulazni prikljuak ventila spojen je na izvor mase.

Uu U1 U2 U3 U4

PE

upravljaki signal

transformator signala

pogon aktuatora

transformator aktuatora

izvrni ureaj aktuatora

izvor

protok mase ili energije

ulazni protok procesa

pomona energija

Uu U1 U2

U3

U4

glavni regulator

R2 U4r

regulator poloaja

R1 U3r

a)

b)

4

Na vezu izmeu Uu i U3 mogu utjecati poremeaji ili pojave poput trenja, zranosti, elektromagnetske histereze ili promjene pojaanja zbog starenja i istroenosti. Zato se izlazna veliina U3 ponekad regulira pomou negativne povratne veze, ako je potreban aktuator visoke preciznosti (Sl. 1.2 b). Za to je u aktuatoru potreban dodatni senzor za mjerenje pomaka, brzine ili sile. Analogni ili digitalni regulator R1 mijenja upravljaki signal Uu na takav nain da se izlazna varijabla U3 uskladi s novom ulaznom varijablom referentnom varijablom U3r. Time se moe postii bolje statiko poklapanje veliina U3r i U3, ali i bolje dinamiko ponaanje. U mnogim sluajevima izlazna veliina pogona (pogonskog sklopa) aktuatora U3 nije ona koja djeluje na tehniki proces. Na tehniki proces djeluje protok mase ili energije kroz naredni element izvrni ureaj aktuatora ili ventil. To moe biti protok zraka (priguni ventil) ili protok goriva (ventil za ubrizgavanje) benzinskog motora, protok ulja u hidrauliki radni cilindar (glavni ventil), protok odn. promjena koliine gibanja (sila) kormila aviona, protok tople struje izmjenjivaa topline (regulacijski ventil) ili elektrina struja elektromotora (tiristorski elektrini ispravlja). Protok mase ili energije koju daje izvrni ureaj aktuatora je na energetskoj razini ulazne veliine procesa koja je obino znatno vea od energetske razine pomone energije. Zato izvrni ureaj aktuatora predstavlja drugo pojaalo snage, a time i drugi aktivni element (transformator ili pretvara), dok kompletni aktuator (ili aktuatorski sustav) sadri najmanje dva pojaala snage.

1) aktuator: upravljaki signal upravlja izlaznom veliinom aktuatora; 2) izvrni ureaj aktuatora: izlazna veliina aktuatora upravlja protokom energije

procesa. Moe se takoer govoriti o 'primarnom aktuatoru' i 'sekundarnom aktuatoru'. Izmeu njih moe se koristiti pomona energija ili pojaalo snage koje se naziva transformator aktuatora ili pretvara. Zbog poremeaja i nelinearnosti u izvrnom ureaju aktuatora mogue je regulirati izlaznu veliinu U4 pomou drugog regulatora R2. Ovaj glavni regulator aktuatora (regulator protoka mase ili energije) podeava referentnu veliinu regulatora poloaja, ime se dobiva kaskadni regulacijski sustav (Sl. 1.2 b). Prema tome, aktuatori se sastoje od lanca pojaala snage i mogu imati nekoliko povratnih veza. Mogue je razlikovati pogon (pogonski sklop) aktuatora, mehaniki (izvrni) ureaj aktuatora i senzore, kao to je prikazano na Sl. 1.3, pri emu protok energije ima smjer prema naprijed, dok protok informacija ima povratni smjer. Iz Sl. 1.1 i Sl. 1.3 vidljivo je da aktuatori i sami predstavljaju mehatronike sustave.

Sl. 1.3 Elektromehaniki aktuator kao mehatroniki sustav

pogon aktuatora

tok informacija

energija procesa

pomona energija

senzor

elektroniki regulator

izvor energije

mehaniki ureaj aktuatora

tok energije

5

U sljedeem poglavlju razmatraju se samo aktuatori s elektrinim ulaznim veliinama, mehanikim izlaznim veliinama i snagama do oko 5 kW.

2 OPI PREGLED AKTUATORA

2.1 Vrste pomone energije Sl. 2.1 shematski prikazuje razne vrste pomone energije i principe ostvarenja sile.

Sl. 2.1 Pomone energije i sile za ostvarivanje mehanikih izlaznih veliina

a) Elektrina energija U veini sluajeva elektrina energija je odmah na raspolaganju i decentralizirano je dostupna. Njena laka dostupnost i skladitenje u akumulatore u kombinaciji s dobrim mogunostima pretvorbe i prijenosa omoguava visoku fleksibilnost, koju jo poveava jednostavno upravljanje protokom energije pomou relativno jeftinih poluvodikih elemenata. Pretvorba signala i pogon aktuatora moe se izvriti istom vrstom energije, moda i na istom potencijalu. Zbog ovih prednosti elektrina pomona energija obino se preferira obzirom na druge vidove energije. Iznimke predstavljaju sluajevi u kojima su potrebne velike sile aktuatora, visoke temperature ili visoka sigurnost.

b) Hidraulika Protok ulja u hidraulikom sustavu obino se ostvaruje pomou dodatnog izvora pomone energije. Radni tlakovi su relativno visoki (100 do 400 bar). To daje prednost velikih sila pozicioniranja i robusnih i kompaktnih pogona aktuatora s vrlo visokom gustoom snage (omjer snaga / masa).

aktuator elektrina energija

kemijska energija

energija fluida

toplinska energija

elektrolitiki tlak

tlak eksplozije

sile polja

atomske molekularne sile

pneumatika hidraulika

toplinska dilatacija

memorijski efekt

oblik energije

princip dobivanja sile

6

c) Pneumatika Pneumatski sustavi koriste ili vakuum (posebno u cestovnim vozilima) ili pretlak. Dobavni tlakovi ogranieni su na 6-8 bar, a za automatizaciju na 1,4 bar, pa su zato ureaji vei od hidraulikih. Nadalje, neophodna je briljiva priprema zraka. Ipak, pneumatika prua niz prednosti poput robusne konstrukcije, te pouzdanog i sigurnog rada, naroito u toploj ili eksplozivnoj okolini.

Tablica 2.1 prikazuje razna svojstva i karakteristike aktuatora u cestovnim vozilima koji koriste neki od ova tri tipa pomone energije. Obzirom na ova tri glavna izvora pomone energije, mogu se razlikovati sljedei tipovi aktuatora: elektromehaniki aktuatori aktuatori na energiju fluida nekonvencionalni aktuatori

Tablica 2.1 Svojstva i karakteristike pomonih energija za aktuatore u vozilima

Pomona energija

Potencijal Prosjena nominalna

snaga

Gustoa snage (bez izvora energije)

Prikladna za translacijsko

gibanje

Prikladna za rotacijsko gibanje

W W/kg

Elektrina -akumulator 12-24 V

7

2.2 Fluidiki aktuatori Sljedea poglavlja bave se hidraulikim i pneumatskim aktuatorima koji spadaju u klasu fluidikih aktuatora. Karakterizira ih vrsta konstrukcija i visoki omjer snage prema teini. Takoer, oni pruaju mogunost da se koritenjem hidraulikih cilindara ili membranskih aktuatora jednostavno i direktno ostvari pravocrtno gibanje. Nadalje, fluidike aktuatore moe se izraditi tako da se u njima gubici energije javljaju jedino tijekom dinamikog rada. Zato se u statikim fazama mogu generirati velike reakcijske sile uz nisku potronju energije. Sadanji proces fuzije fluidikih i (mikro) elektronikih komponenti ('fluidotronika') omoguava konstrukciju aktuatora koji imaju i precizno pozicioniranje i brzi dinamiki odziv. Osim tih prednosti, postoje i neki nedostaci. Ukupni stupanj korisnog djelovanja takvih sustava nii je nego kod isto elektrikih pogona, a potrebna pomona energija obino nije na raspolaganju. Nadalje, maksimalna tonost pozicioniranja ograniena je otprilike na 10 m. Glavne prednosti i nedostaci navedene su u sljedeoj tablici.

Tablica 2.3 Karakteristike fluidikih aktuatora

Prednosti Nedostaci velika izvrna sila aktuatora veliki pomaci visoka gustoa snage direktno ostvarivanje pravocrtnog gibanja ne troi se snaga u mirovanju vrsta konstrukcija

potrebna (dodatna) pomona energija potrebna je kompleksna struktura sustava razmjerno skupe servo-komponente (npr.

ventili) ograniena tonost pozicioniranja buka

Tablica 2.4 daje klasifikaciju fluidikih aktuatora. Uglavnom, moe ih se podijeliti u dvije grupe. Prva obuhvaa pneumatske aktuatore i dalje se dijeli na tlane i vakuumske aktuatore. Druga grupa sadri hidraulike aktuatore s tipinim pravocrtnim i rotacijskim pogonima.

Tablica 2.4 Pregled vanijih fluidikih aktuatora (uspravno: pravocrtno gibanje, koso: rotacijsko odn. kutno gibanje)

Generiranje sile Pretvorba energije Ugradnja Pneumatsko tlani aktuator

vakuumski aktuator

cilindar membranski aktuator zrani motor membranski aktuator

Hidrauliko tlani aktuator cilindar hidrauliki motor

2.3 Vremenski odziv i regulacija aktuatora Pogoni aktuatora ili cijeli aktuatori mogu se razlikovati i po njihovom prijelaznom ponaanju. Ako se pri skokovitoj promjeni upravljakog (ulaznog) signala U1 izlazna veliina pogona aktuatora U2 (Sl. 1.2) mijenja proporcionalno s U1, tako da vrijedi U2(t) = KpU1(t) , (2.1) prijelazno ponaanje naziva se proporcionalno djelovanje (Sl. 2.2a). Ako se izlazna veliina mijenja konstantnom brzinom

8

)()( 12 tUKdttdU

I = odnosno dUKtUt

I =0

12 )()( , (2.2)

prijelazno ponaanje naziva se integralnim djelovanjem (Sl. 2.2b). Prikazano asimptotsko pribliavanje izlazne veliine odgovarajuim pravcima (Sl. 2.2) moe biti posljedica npr. postojanja proporcionalnog lana prvog reda povezanog u seriju s osnovnim djelovanjem (2.1) odn. (2.2).

Sl. 2.2 Prijelazna funkcija pogona aktuatora a) proporcionalno djelovanje, b) integralno djelovanje

Statiko ponaanje aktuatora s proporcionalnim djelovanjem prikazuje se karakteristinim krivuljama (karakteristikama). Sl. 2.3. a) prikazuje primjer linearne (puna linija) i nelinearne (crtkano) jednoznane karakteristike. Na sl. b) prikazana je histereza uzrokovana trenjem ili zranostima, kao primjer dvoznane karakteristike.

Sl. 2.3 Statiko ponaanje aktuatora s proporcionalnim djelovanjem a) jednoznana karakteristika b) dvoznana karakteristika (histereza)

navodi tipina statika ponaanja pojedinih pogona aktuatora. Sl. 2.4 prikazuje blok-dijagram pogona (pogonskog sklopa) aktuatora koji je tipian za vie vrsta i konstrukcija aktuatora. Nelinearni lanovi istaknuti su dvostrukim okvirom. Generiranje sile aktuatora esto se odvija prema nelinearnoj karakteristici (npr. elektromagnet, pneumatski ili hidrauliki cilindar), a dinamiko ponaanje odgovara lanu niskog reda (esto gotovo linearno ili kao proporcionalni lan prvog reda). Sila pozicioniranja djeluje na mehaniki pretvara (npr. osovina ventila s leajem i povratnom oprugom). Ovaj mehaniki element ima masu m, konstantu opruge c, te viskozno i suho trenje. Suho trenje izaziva dodatnu dvoznanu nelinearnost (histereza).

t

U1 U2 U2 U1

t

a) b)

U1

U2

U1

U2

a) b)

9

Tablica 2.5 Statiko ponaanje nekih aktuatora

Proporcionalno djelovanje Integralno djelovanje Karakteristika Karakteristika

Jednoznana Dvoznana Jednoznana Dvoznana

Princip aktuatora

Linearna Nelinearna Nelinearna (histereza)

Linearna Nelinearna Nelinearna (histereza)

Elektro-mehaniki aktuatori

korani motori

elektromagneti istosmjerni motori

izmjenini motori

elektriki pogoni s trenjem ili zranostima

Aktuatori na energiju fluida

pneumatski membranski aktuator

hidrauliki aktuatori

pneumatski cilindri

Nekonvencionalni aktuatori

piezokeramiki aktuatori, magnetostiktivni aktuatori, aktuatori s memorijskom legurom

Sl. 2.4 Blok-dijagram pogona aktuatora s proporcionalnim djelovanjem i nelinearnim generiranjem sile (elektrina, hidraulika, pneumatska) i mehaniki transformator s viskoznim i suhim trenjem za generiranje brzine i pomaka: U1 je ulazna veliina u aktuator; U2 je izlazna veliina aktuatora (pomak); FU je sila aktuatora; FL je optereenje aktuatora (sila od izvrnog ureaja aktuatora, koji je sljedei element u lancu).

Zbog opisanog tipinog ponaanja aktuatora, kvalitetni pogoni aktuatora opremljeni su kaskadnom regulacijom (Sl. 2.5) s podreenom regulacijom sile (regulacija struje elektromagneta, regulacija diferencijalnog tlaka za hidraulike cilindre) i nadreenom regulacijom poloaja. Nelinearna karakteristika generiranja sile moe se kompenzirati inverznom karakteristikom, ime se dobiva priblino linearno ponaanje upravljanja silom. Nadalje, nelinearno ponaanje mehanikog pretvaraa koji obavlja pozicioniranje moe se neutralizirati kompenziranjem suhog trenja. Koristei ove

U1

1m

U2' U2

FL

FU

generiranje sile aktuatora

mehaniki transformator

10

mogunosti kompenzacije putem software-a, mogu se znaajno popraviti loa svojstva pogona aktuatora. Izvrni ureaj aktuatora, koji u lancu slijedi iza pogona aktuatora, esto upravlja protokom mase ili energije i esto ima proporcionalno djelovanje. Statika karakteristika ovog ureaja aktuatora zavisi od statikog ponaanja tehnikog procesa, tako da kombinirano djelovanje aktuatora i procesa definira konkretnu ukupnu radnu karakteristiku.

Sl. 2.5 Blok-dijagram kaskadne regulacije pogona aktuatora: GR1 je regulator sile; GR2 je regulator poloaja; FU-1(U1') je kompenzacija statike nelinearnosti; F-1(U2') je kompenzacija suhog trenja.

Ta radna karakteristika treba biti priblino linearna u regulaciji s povratnom vezom, ako to prua stabilnost uz konstantne regulacijske parametre u cijelom radnom podruju. Ako proces ima linearnu karakteristiku, mora se i karakteristika aktuatora projektirati linearno. U sluaju nelinearne karakteristike procesa, moe se pomou odgovarajue nelinearne inverzne karakteristike aktuatora (npr. za protoni ventil) postii linearna ukupna radna karakteristika. Prilagoavanje operateru neki puta zahtijeva nelinearne karakteristike aktuatora, npr. nelinearna vozna karakteristika motora s unutranjim izgaranjem automobila ili podeavanje ponaanja ruica-kormilo aviona.

2.3.1 Zahtjevi na aktuatore i servo-pogone Za razliku od strojeva koji generiraju ili troe energiju, pogoni aktuatora ne rade kontinuirano ve samo tijekom kratkih vremenskih razdoblja, a moraju biti toni pri pozicioniranju. Zbog toga su za ovaj zadatak razvijeni specijalni pogoni, tzv. servo-pogoni. Moraju ispunjavati sljedee zahtjeve:

U1

1m

U2' U2

FL

FU

U1'

FU(U1')

F-1(U2')

r2

GR2 GR1 r1 U1'

FU-1(U1 ')

pogon aktuatora

11

funkcioniranje u sva etiri kvadranta (pogon i koenje u oba smjera), velika mogunost preoptereenja, visoka rezolucija radi tonog pozicioniranja, dobra svojstva statikog prijenosa (to linearniji, slabo trenje i bez zranosti), brza i jako priguena dinamika svojstva (mala vremenska konstanta, bez

premaivanja), velik raspon brzine i brzine rotacije, generiranje velike sile ili momenta uz malo troenje pri stajanju (koenje i

dranje). odgovarajue prikljuivanje (interface, suelje) na upravljaki signal

12

3 HIDRAULIKI AKTUATORI PREGLED I FIZIKALNE OSNOVE

3.1 Pregled hidraulikih aktuatora Hidrauliki aktuatori obino se koriste za vrlo velike sile i snage pokretanja. Meutim, za njih je potreban zaseban izvor hidraulike energije. Zato oni predstavljaju interesantnu mogunost u sluajevima kada je mogue simultano zamijeniti vie servo-osi (krugova) koji zahtijevaju srednju veliinu izvrne sile. Hidrauliki aktuatori kao dinamiki sustavi imaju bolje radne karakteristike od odgovarajuih elektrikih pogona. injenica da hidrauliki pogoni imaju razmjerno male pomine mase unato velike izvrne snage, olakava brzo dinamiko pozicioniranje. Hidrauliki aktuatori nadmauju pneumatske po visokoj krutosti i otpornosti na udare. Glavne prednosti i nedostaci hidraulikih aktuatora navedeni su u tablici.

Tablica 3.1 Karakteristike hidraulikih aktuatora

Prednosti Nedostaci male dimenzije, brza dinamika i visoka gustoa snage, velika krutost, veliki radni kapacitet

relativno visoka cijena sustava dvocijevni sustav mogua potreba za pripremom/hlaenjem ulja trenje i kompleksna dinamika oteavaju regulaciju

Podruje primjene: srednja i velika pokretaka sila srednji i velik raspon pomaka ogranienost radnog prostora visoko dinamiki sustavi

Dinamiko ponaanje hidraulikih regulacijskih krugova karakterizira prije svega slabo priguenje, koje zavisi od i pomaka klipa i od vanjskog optereenja. Koristei suvremene regulacijske koncepcije mogue je projektirati servo-hidraulike aktuatore koji pruaju i visoku tonost pozicioniranja i dobro dinamiko ponaanje. Sl. 1.1 prikazuje tipini hidrauliki aktuator za linearno gibanje. Izvor hidraulike energije sastoji se od spremnika za ulje i klipne pumpe na elektriki pogon koja je spojena na proporcionalni elektro-hidrauliki servo-ventil. Zavisno od poloaja servo-ventila klip se giba odgovarajuim brzinom i u odgovarajuem smjeru. U cijev koja spaja pumpu i servo-ventil obino se ugrauju jo nepovratni ventil kako bi se izbjegao povratni protok ulja, ventil za ogranienje tlaka kao osiguranje od prekomjernog tlaka, te hidrauliki akumulator za priguivanje oscilacija tlaka pumpe. Sljedee poglavlje opisuje principe i modeliranje ovih hidraulikih komponenti. Na kraju poglavlja detaljno e se razmotriti servo-os.

3.2 Svojstva hidraulikog fluida Zbog modeliranja hidraulikih komponenti najprije se razmatraju neka svojstva hidraulikog fluida i daje se kratki saetak principa mehanike fluida i njihova primjena na linije hidraulikog prijenosa. Zatim se obrauju hidraulike komponente. One ukljuuju solenoidne (elektromagnetne), zaporne, prigune i sigurnosne ventile. U nastavku se razmatraju, akumulatori i motori.

13

Sl. 3.1 Hidrauliki aktuator za pravocrtno gibanje s izvorom energije: a) shema; b) shema tokova energije; c) prikaz s dva prikljuka. 1. jedinica za el. napajanje, 2. izmj. motor, 3. radijalna klipna pumpa, 4. akumulator, 5. sigurnosni ventil, 6. proporcionalni ventil, 7: cilindar

Zadaci radnog fluida su: prijenos energije (glavni zadatak) hlaenje podmazivanje zatita od korozije Zahtjevi koji se postavljaju na radne fluide obuhvaaju: neznatna stlaivost

a)

6

7

U1 U1

mopt

optereenje

4

5

3

M

2 1

~ ~ ~

b)

U1

1 2 3

5

4

6 7

c)

U

1 2 3 6 7 4

Q Q x

F p p T l

14

sposobnost podmazivanja mala promjena viskoznosti s temperaturom otpornost na visoka termika optereenja mala sklonost oksidaciji mala sposobnost upijanja plinova mala sklonost stvaranju pjene ne-higroskopnost postojanost karakteristika tijekom starenja netoksinost i ekoloka prihvatljivost ne-agresivnost odn. kompatibilnost sa materijalima elemenata nezapaljivost (visoka temperatura paljenja) visok elektrini otpor niska cijena niski trokovi odravanja

Vrste radnih fluida koji se koriste u hidraulici su: voda i vodene emulzije, mineralna ulja, sintetiki fluidi, tekui metali i legure. Klasifikacija (oznake) pojedinih radnih fluida provedena je prema aditivima (dodaju se u svrhu poboljanja nekih svojstava fluida). Tehnoloki napredak hidraulikih ulja je intenzivan. Danas se, zbog dobrog podmazivanja i dobre zatite od korozije, u najveoj mjeri koriste mineralna ulja (za temperature 50 do 80 0C). Zato se i termin hidrauliko ulje koristi kao sinonim za hidrauliki fluid. Za temperature iznad 80 0C (do 400 0C) koriste se sintetika ulja, a za jo vie temperature (-10 do 770 0C) tekui metali i njihove legure. Izbor odgovarajueg radnog fluida je znaajan utjee i na izbor hidraulikih elemenata (filtri, ventili, brtve...) koji se projektiraju za odreenu vrstu fluida. Tablica 3.2 prikazuje klasifikaciju hidraulikih ulja prema normi ISO 6743/4. Viskoznost je najvaniji parametar pri odabiru radnog fluida. Za veinu hidraulikih fluida moe se koristiti model newtonskog fluida, tj. pretpostavlja se da je tangencijalno naprezanje proporcionalno gradijentu brzine

yv

= , (3.1)

pri emu se konstanta proporcionalnosti naziva dinamiki koeficijent viskoznosti (viskoznost). Viskoznost se neki puta izraava i kinematikim koeficijentom viskoznosti: = / , (3.2) pri emu je gustoa fluida. Viskoznost tvari poveava se porastom tlaka, a smanjuje porastom temperature. Naroito se u zrakoplovstvu od fluida zahtijeva priblina postojanost svojstava s porastom temperature. Prevelika viskoznost izaziva visoke gubitke tlaka, posebice u hladnim uvjetima, a premala dovodi do opasnosti od proputanja kroz brtve. Preporuuje se da toka teenja (najnia temperatura pri kojoj fluid tee) bude vea od 8 0C. Stlaivost. Openito gustoa materijala poveava se porastom tlaka i smanjenjem temperature. Poveanje gustoe s porastom tlaka naziva se stlaivost. Stlaivost fluida

15

i njoj reciproni modul stlaivosti (volumenski modul elastinosti) povezuju promjenu tlaka i relativnu promjenu volumena ili gustoe:

Tablica 3.2

Oznaka Sastav i osnovna svojstva HH Nehibirano rafinirano mineralno ulje HL Rafinirano mineralno ulje s dodatkom aditiva protiv oksidacije i za zatitu od korozije HM Svojstva ulja HL s poboljanim svojstvima protiv troenja HR Svojstva ulja HL s dodatkom aditiva za poboljanje indeksa viskoznosti HV Svojstva ulja HM s dodatkom aditiva za poboljanje indeksa viskoznosti NG Svojstva ulja HM s antistic-slip svojstvima HS Sintetika teko zapaljiva tekuina HF Teko zapaljive tekuine s vodom HFAE Emulzija ulja u vodi ili vodena otopina koja sadri maks. 20% gorivog materijala HFAS Otopina kemikalija s min. 80% vode HFB Emulzija vode uz ulju s maks. 20% gorivog materijala HFC Vodena otopina s aditivom za poveanje viskoznosti i min. 35% vode HFD Teko zapaljive tekuine bez vode HFDR Sintetika tekuina na bazi fosfat-estera HFDS Sintetika tekuina na bazi kloriranih ugljikovodika HFDT Mjeavina tekuina HFDR i HFDS HFDU Teko zapaljiva tekuina drugog sastava

constTconstT ppV

V==

=

==

111

, (3.3)

Promjena volumena fluida pri porastu tlaka na 10 MPa uglavnom ne prelazi 0,7% i najee se ne uzima u obzir. Meutim, obzirom da je stlaivost hidraulikih fluida stotinjak puta vea od stlaivosti elika, ona se ne moe uvijek zanemariti, naroito kod dinamikih (nestacionarnih) pojava. Duljina stupca fluida L konstantnog poprenog presjeka (npr. unutar eline cijevi) mijenja se u istom omjeru kao i volumen fluida tj.

dp

VdV

LdL

== . (3.4)

Budui da za volumen vrijedi relacija mV = , slijedi 2mddV = . Prema tome

dpd

VdV

== . (3.5)

Brzina prostiranja zvuka u fluidu c (brzina irenja slabih tlanih poremeaja) definirana je izrazom

ddp

c = , (3.6)

16

pa prema tome za kapljevine vrijedi relacija

=2c , (3.7)

Fluidi koji sadre otopljeni zrak postaju stlaiviji, to moe izazvati smetnje. Voda i tekui metali imaju slabu mazivost (sposobnost podmazivanja stvaranja zatitnog filma). Zato se umjesto vode koriste emulzije vode i ulja. Mazivost mineralnih jo se poboljava dodatkom aditiva koji pospjeuju stvaranje dugih lanaca molekula. Otapanje plinova (iz zraka) u tekuini pospjeuje kavitaciju i druge neeljene pojave u radu hidraulikih ureaja. Stvaranje pjene (emulzija tekuine i plina) pospjeuje kavitaciju, koroziju i starenje ulja. Stvaranje pjene u mineralnom ulju bit e znatno intenzivnije ako je prisutan i najmanji sadraj vode. ista mineralna ulja nisu toksina, ali su njihovi aditivi esto otrovni. Ekoloki prihvatljivi fluidi znatno su skuplji. Starenje fluida (oksidacija) pospjeuju otopljeni zrak, estice metala i neistoa (ra, produkti starenja), voda i poviena temperatura. Tekui metali naroito su skloni oksidaciji u doticaju sa zrakom. estice neistoe dovode do opasnosti od habanja, zaribavanja i zaepljenja hidraulikih elemenata. Kod mineralnih ulja, pojavljuju se i produkti starenja u obliku estica. Ulje se mora kontinuirano istiti (filtrirati), te zamjenjivati prema uputstvima proizvoaa. Radna temperatura ulja mora se odravati u propisanim granicama. Voda i njene emulzije dodatno donose i opasnost od zamrzavanja, zbog ega se esto dodaje glikol. Kao vatrootporni fluidi koriste se emulzije (rastvori) ulja u vodi ili mjeavinu ulja i glikola. U pogonima u kojima postoji opasnost od poara i/ili eksplozije moraju se koristiti teko zapaljivi fluidi. U tablici su navedene vrijednosti nekih fizikalnih svojstava standardnog hidraulikog ulja, da se dobije uvid u njihov red veliine.

Tablica 3.3 Karakteristina svojstva standardnog hidraulikog ulja

Gustoa

pri 15 0C

Specifina toplina

pri 20 0C

Modul stlaivosti

Kinematika viskoznost

pri 40 0C

Koeficijent toplinske dilatacije

Brzina zvuka

, kg/m3 cp, J/kgK , Pa , mm/s2 T, K-1 c, m/s

870 1885 2x109 1570 7x10-4 1516

3.3 Hidrodinamike osnove

Apsolutni i manometarski tlak. Apsolutni tlak p je normalno naprezanje kojem su podvrgnuta plinovita i kapljevita tijela (fluidi) uslijed mehanikog djelovanja estica tih tijela (sudaranje molekula). Ovom naprezanju podvrgnute su i sve vrste povrine uronjene u fluid: p = F/S

17

F pritisak (sila kojom fluid djeluje na uronjenu povrinu) S povrina Atmosferski (barometarski) tlak pa je apsolutni tlak okolnog atmosferskog zraka koji zavisi od geodetske visine i meteorolokih uvjeta. Manometarski tlak pM dobije se tako da se od vrijednosti apsolutnog tlaka p u nekom fluidu raunski oduzme vrijednost atmosferskog tlaka pa pM = p - pa

ili oitavanjem odgovarajueg manometra. (Manometar je instrument za mjerenje tlaka koji u sutini mjeri razliku tlaka izmeu dva fluida u ovom sluaju izmeu mjerenog fluida i okolnog atmosferskog zraka). U sluaju p > pa dobiva se pozitivna vrijednost manometarskog tlaka (pM>0) koji se tada naziva pretlak (Sl. 1.3). Ako je p < pa, manometarski tlak poprima negativnu vrijednost (pM 0) i esto se izraava u postocima atmosferskog tlaka (pV% = -pM/pa100%).

Sl. 3.2 Objanjenje pretlaka, podtlaka i vakuuma

Treba naroito naglasiti da je u pneumatici i hidraulici uobiajeno koristiti naziv tlak i oznaku p za pretlak, pa e se i ovdje u daljnjem tekstu tako postupati. Zato je pri raunanju s tlakom uvijek potreban izvjestan oprez. U termodinamikim relacijama pojavljuje se gotovo iskljuivo apsolutni tlak. Kod odreivanja sile tlaka na povrinu mjerodavna je razlika tlaka na obje strane te povrine. Zato se moe koristiti pretlak, a to je i pogodnije ako na jednoj strani povrine djeluje atmosferski tlak. U Bernoullijevoj jednadbi (v. kasnije) tlak se pojavljuje na obje strane jednadbe, pa jednadba u istom obliku vrijedi kako za apsolutni tlak, tako i za pretlak.

Strujanje fluida

U veini sluajeva ulje se moe smatrati nestlaivim, tj. gustoa ulja se smatra konstantnom (=const.). U sluaju kada se strujanje moe smatrati stacionarnim i jednodimenzijskim (1D), zakoni odranja mase i energije za strujanje ulja u cjevovodnim mreama hidraulikih sustava poprimaju sljedee oblike:

standardni atm. tlak, pstand=1,01325 bar

p

pstand p1 (apsolutni)

pM1>0 (pretlak)

pa p2 (apsolutni)

pM20 (vakuum)

stvarni atm. tlak, pa

apsolutna nula (vakuum 100%)

18

Jednadba kontinuiteta (zakon odranja mase): U svakom presjeku cijevi maseni protok mora biti isti

.constQvSm === (3.8) pri emu v oznaava srednju protonu brzinu ulja, a S je popreni presjek cijevi. Takoer (zbog =const.) i volumenski protok mora biti isti Q = vS = const. (3.9) U cjevovodnim mreama mora suma svih masenih protoka koji ulaze u vor cjevovoda (ravu) biti jednaka sumi svih protoka koji iz vora izlaze (Sl. 3.3)

= izul mm . (3.10) Za sluaj nestlaivog fluida (=const.) mora suma svih volumenskih protoka koji ulaze u vor biti jednaka sumi svih protoka koji iz vora izlaze Qul = Qiz . (3.11)

Sl. 3.3 Primjer vora cjevovoda

Zakon koliine gibanja: Jednadba koliine gibanja za kontrolni volumen moe se u velikom broju sluajeva zapisati u obliku:

+=i

iIGF

, (3.12)

pri emu F

oznaava silu fluida na dio kontrolne povrine kroz koji ne protjee fluid (obino vrsti dio povrine), a G je teina fluida koji ispunjava kontrolni volumen (G = gV). Impulsne funkcije

iiiiii nSvpI )( 2+= , (3.13)

djeluju na svakom dijelu Si kontrolne povrine S kroz koji protjee fluid, pri emu in oznaava vanjsku normalu na Si. Napomene: I) Gornji izraz vrijedi samo ako se poklapaju smjerovi brzine i normale II) Kada s vanjske strane vrste povrine kontrolnog volumena djeluje

atmosferski tlak, njegovo se djelovanje moe jednostavno uraunati tako da se u gornji izraz umjesto apsolutnog tlaka pi uvrsti manometarski tlak pMi.

.

mul,1

.

mul,2

.

miz,1

.

miz,2

19

Bilanca mehanike energije (modificirana Bernoullijeva jednadba): Zbog relativno malih razlika geodetskih visina, u hidraulikim krugovima najee se zanemaruje gravitacijski potencijal. Dakle, bilanca specifine mehanike energije (energija po jedinici volumena) za strujanje fluida koji ima priblino konstantnu gustou (const.) kroz cjevovod odn. dionicu cjevovoda od odabranog ulaznog presjeka 1 do izlaznog presjeka 2 glasi

FMP pvpppvp ++=++ 22

22

22

21

11 , (3.14)

pri emu p oznaava tlak (ili pretlak) fluida, gustou fluida, pP je prirast totalnog tlaka u pumpi, pM je pad totalnog tlaka u hidraulikom motoru, a pF je zbroj svih linijskih i lokalnih gubitaka (mehanika energija koja je trenjem pretvorena u toplinu) od presjeka 1 do presjeka 2. U hidraulikim mreama esto se nastoji ostvariti laminarno strujanje fluida. Tada je za cijev krunog promjera koeficijent ispravka kinetike energije =2, dok je u turbulentnom reimu 1.

Pumpa i motor Snaga stroja (motora, pumpe) na spojci jednaka je umnoku momenta na spojci (vratilu) i kutne brzine vrtnje (P = M). Snaga pumpe PP jednaka je:

P

PP

pQP

= , (3.15)

pri emu je P ukupni stupanj korisnog djelovanja pumpe, a snaga motora: PM = MQpM , (3.16) pri emu je M ukupni stupanj korisnog djelovanja motora. U hidraulici se uglavnom koriste volumenske pumpe i motori, kod kojih protok Q zavisi od radnog volumena (V) i broja okretaja (n) stroja. Tako npr. za klipnu pumpu teoretski protok iznosi Q = znV, (3.17) pri emu je z broj cilindara pumpe.

Gubici Za dionicu cjevovoda duljine L i konstantnog promjera D linijski gubitak (pad tlaka) moe se odrediti izrazom

2

2v

DLpF = , (3.18)

pri emu je koeficijent viskoznog trenja ulja. Za sluaj laminarnog strujanja u cijevi krunog presjeka (strujanje je laminarno kad je Reynoldsov broj manji od kritinog Re=vD/f Rekrit=2320) vrijedi

vDf

64

Re64

== , (3.19)

20

gdje f oznaava koeficijent dinamike viskoznosti ulja. Za turbulentno strujanje koriste se eksperimentalni dijagrami (Moodyev dijagram) i/ili formule kao npr. iterativna formula ColebrookWhite

+=

Re51,2

7,3log21

Dk

, (3.20)

gdje k oznaava srednju visinu hrapavosti cijevi. Priguni element esto ima oblik uske cijevi ili kanala (prigunica) u kojima je strujanje laminarno. Zato se u hidraulici obino uzima da je sila na takav element proporcionalna brzini fluida (Fd = cdv), to odgovara sluaju laminarnog strujanja. Konstanta prigunog elementa cd moe se u sluaju laminarnog strujanja kroz cijev izraunati iz

vcvLvDL

vDDpSF df

fFd ==== )8(2

644

22

pi

pi, (3.21)

dok za laminarno strujanje kroz pravokutni procjep izmeu dviju ravnih ploa (LxB) razmaknutih za visinu h (zazor visine h i irine B) vrijedi relacija

vcvh

LBv

hL

hBpSF dff

Fd =

=== 1212 2 . (3.22)

Ako se u hidraulikom elementu povea povrina na koju djeluje gornja razlika tlaka (kao npr. u amortizeru Sl. 1.2) kako bi se poveala sila priguivanja, tada se uz koritenje jednadbe kontinuiteta (Sv = const.) dobiva

vcvSSLvL

SSpSF dffFd =

=== 2

0

2

00

88 pipi , (3.23)

Sl. 3.4 Priguni amortizer

Sila suhog (Coulombovog) trenja (Sl. 3.5) jednaka je

Sl. 3.5 Ilustracija suhog trenja

Fd, v S

S0 v0

F

FN v

FC

21

FC = FNsign(v) (3.24) pri emu je v brzina, FN normalna sila, a koeficijent suhog trenja. Lokalni gubici u nekom elementu armature cjevovoda (npr. ventil, koljeno, ili rava) mogu se odrediti prema izrazu

2

2vKpF = , (3.25)

pri emu je K koeficijent lokalnog gubitka u tom elementu armature. U prirunicima se koeficijent lokalnog gubitka esto izraava pomou ekvivalentne duljine cijevi Le = KD/. Posebno se za ventile uobiajeno navodi kv-vrijednost koja odgovara protoku u m3/h vode kroz ventil ako pad tlaka pF na ventilu iznosi 1 bar. Koristei jednadbu kontinuiteta prethodni izraz moe se zapisati u obliku

422

2

36008100000

DkK vVpi

= , (3.26)

tako da se koeficijent lokalnog gubitka za ventil KV moe izraunati iz kv-vrijednosti prema izrazu

2

42111062,1

v

V kDK

pi

= , (3.27)

Kao priguni elementi koriste se prigunice i dijafragme (blende). Openito prigunice imaju oblik uskih kanala (v. ranije), a dijafragme (Sl. 3.6) imaju oblik ploe s uskim otvorom za protjecanje. Za razliku od prigunica, hidrauliki otpor dijafragmi u radnom podruju gotovo ne zavisi od viskoznosti fluida (a time niti od temperature). Zbog toga se dijafragme koriste npr. za mjerenje protoka.

Sl. 3.6 Dijafragma suenje s otrim bridovima

Presjek 2 treba biti na mjestu najveeg suenja mlaza (vena contracta), a presjeci 1 i 3 moraju biti dovoljno daleko od dijafragme. Postavljanjem Bernoullijeve jednadbe i jednadbe kontinuiteta za presjeke 1 i 2 dobiva se idealizirani izraz za odreivanje protoka kroz dijafragmu

Q

1

1

2

2

3

3 p1 p2 p3

d d0

22

p

SS

SQ

=2

1 220

0, (3.28)

pri emu je p = p1-p2, a protone povrine su S = d2/4 i S0 = d02/4. Izrazi za stvarne vrijednosti protoka dobivaju se uvoenjem koeficijenta kontrakcije cc, koeficijenta brzine cv odn. koeficijenta protoka dijafragme C

pCSp

SS

c

SccQ

c

cv

=

=22

10

2

202

0. (3.29)

U hidraulikim elementima od interesa je gubitak tlaka u dijafragmi odn. suenju s otrim bridovima. U tom cilju uvodi se koeficijent protoka dijafragme D i izraz

FD

pSQ = 20 , (3.30)

pri emu pF = p1-p3 oznaava gubitak tlaka izmeu presjeka 1 i 3. Oita je i sljedea veza s koeficijentom lokalnog gubitka KD u dijafragmi

221 22

20

2

2vKv

SSp D

DF

== , (3.31)

pri emu je v srednja brzina strujanja u cijevi. Svi gubici strujanja (linijski i lokalni) predstavljaju onaj dio mehanike energije ulja koji se putem trenja transformira u unutranju energiju ulja. Isto vrijedi i za velik dio gubitaka u strojevima (pumpe i motori). Poveanje unutranje energije ulja dovodi do odgovarajueg poveanja temperature ulja. Promjena ove temperature mora se proraunavati, a zbog nje je esto potrebno ugraditi hladnjak za ulje. Za rad na otvorenom ponekad je potrebno ugraditi i grija za ulje.

Serijski i paralelni spoj elemenata Kod serijskog spajanja elemenata (gubitaka ili otpora), ukupni protok Q jednak je protoku Qi kroz bilo koji element (jed. kontinuiteta: Q=Qi), dok je ukupni pad tlaka p jednak sumi gubitaka tlaka na svim elementima u seriji (p = pi).

Sl. 3.7 Primjer serijskog povezivanja

Q1, p1

Q, p Q2, p2 Q3, p3

23

Primjer serijskog povezivanja elemenata u hidraulici Q = Q1 = Q2 = Q3 p = p1+p2+p3

Kod paralelnog spajanja elemenata, ukupni protok Q jednak je sumi protoka Qi kroz sve paralelno spojene elemente (Q = Qi), dok je ukupni pad tlaka p isti odn. jednak padu tlaka pi na svakom elementu u seriji (p = pi). Primjer paralelnog povezivanja elemenata u hidraulici Q = Q1+Q2+Q3 p = p1 = p2 = p3

Sl. 3.8 Primjer paralelnog povezivanja

Kavitacija Kavitacija je pojava parne faze unutar kapljevine (isparavanje ulja). Javlja se na mjestu na kojem unutar hidraulikog sustava tlak padne na razinu tlaka isparavanja (zasienja) ulja. Kada nakon pojave isparavanja ulje doe u podruje viih tlakova, dolazi do implozije parnih mjehuria i time do vrlo intenzivne erozije materijala i brzog troenja (unitenja) hidraulikih elemenata. Zato unutar sustava tlak nigdje ne smije pasti na nivo tlaka isparavanja. Tlak isparavanja zavisi od vrste i temperature ulja, a problemi s kavitacijom se u praksi javljaju kad apsolutni tlak ulja padne ispod vrijednosti 0,3 bar.

Nestacionarno strujanje u hidraulikim vodovima a) Mehaniki model Utjecaji koje je modelom potrebno obuhvatiti zavise od duljine cijevi. Vrlo kratke cijevi obino se ne modeliraju, naroito ukoliko imaju relativno veliku povrinu poprenog presjeka. Kod duljih cijevi potrebno je uzeti u obzir stlaivost. Inercija fluida mora se uraunati kada je fluid izloen harmonijskoj uzbudi ili ako dijelovi cjevovoda imaju relativno mali popreni presjek. Otpor trenja ima vanu ulogu kod relativno dugakih ili uskih cijevi.

Q1, p1 Q, p

Q2, p2 Q3, p3

24

Za relativno spore promjene kod strujanja fluida u cijevi, od koristi moe biti najjednostavniji model masa-opruga-prigunica (proporcionalni lan 2. reda Sl. 2.2). Jednadba koliine gibanja za ovaj model moe se zapisati u obliku

)()()()()( 1222 tFtsctsctsctsm LLd +=++ , (3.32) pri emu su s1 i s2 pomaci krajeva cilindra kapljevine unutar cijevi, cd je konstanta prigunice, m je masa fluida u cijevi (m = LS), cL je konstanta elastine sile (konstanta opruge), a F(t) oznaava poremeajnu silu.

Sl. 3.9 Hidraulika cijev kao proporcionalni lan 2. reda

Obzirom da se ovdje koristi model sustava s koncentriranim parametrima, pretpostavlja se da su sva fizikalna svojstva fluida identina unutar volumena i na desnom kraju cijevi u toki 2 (tj. =2; v=v2; p=p2). Dakle, u ovom modelu ukupna promjena fizikalnih svojstava koncentrirana je na lijevom kraju cijevi, pa se zatim beskonanom brzinom iri kroz volumen. Zbog toga je potrebno da brzina i iznos tih promjena budu relativno mali. U svakom asu deformacija fluida odgovara trenutanom tlaku u fluidu (p2). Za promjenu elastine sile uslijed perturbacije tlaka p2 = p2 p0, (pri emu je s p0 oznaena neka ravnotena stacionarna vrijednost tlaka) moe se prema tome zapisati

2

2122 )(pLc

VVLc

SV

csscpL

mpS LLLL

=

=

=== , (3.33)

pa slijedi

2Lm

cL

= . (3.34)

Uz navedenu pretpostavku koncentriranih parametara u toki 2, jednadba koliine gibanja za kapljevinu koja ispunjava cijev i na koju djeluju sile tlaka i sila trenja (Ff) moe se zapisati u obliku

221212 vcSpSpFSpSp

dtdv

m df == , (3.35)

gdje je zbog izraza za elastinu silu potrebno razliku tlaka izraziti putem perturbacijskih varijabli p1 i p2 (odstupanja od nekog ravnotenog tlaka p0). Gornju jednadbu mogue je uz koritenje izraza (3.33) zapisati u obliku

Spscscvcdt

dvm LLd 1122

2 +=++ , (3.36)

L

s1 cd

cL

s2

m

m

=2; v=v2; p=p2;

25

to odgovara traenom modelu masa-opruga-prigunica, tj. proporcionalnom lanu 2. reda. Frekvencija nepriguenih oscilacija ovog lana iznosi

Lm

cLn

1== , (3.37)

uz koeficijent priguenja

Sc

mc

c d

L

d

22== , (3.38)

b) Hidrauliki udar hidrodinamiki model Hidrauliki udar je pojava opasno visokog tlaka (tlani udar) izazvana naglom promjenom koliine gibanja fluida. Najee se javlja prilikom nagle obustave ili naglog uspostavljanja protoka (npr. naglo zatvaranje ili otvaranje ventila) u cjevovodu. Prilikom prorauna vezanih uz hidrauliki udar nuno je uzeti u obzir stlaivost fluida. Pretpostavlja se da je kapljevina neviskozna, a strujanje jednodimenzijsko (1D) tj. da su brzina fluida i tlak konstantni po presjeku cijevi. Analizira se sluaj trenutnog zatvaranja ventila na kraju elastine cijevi duljine L (Sl. 3.10). Prije zatvaranja ventila, kroz cijev stacionarno struji idealna kapljevina (f=0) konstantnom brzinom v. Pri tome je tlak p u cijevi konstantan (strujanje bez gubitaka). Nakon zatvaranja ventila, protok i brzina kapljevine na kraju cijevi (uz ventil) praktiki se trenutano smanjuju na nulu, uz odgovarajue skokovito poveanje tlaka p i gustoe .

L

x

D

Sl. 3.10 Primjer hidraulikog udara trenutano zatvaranje ventila

Ovaj poremeaj (poveanje tlaka i gustoe uz potpuno zaustavljanje kapljevine) iri se ulijevo prema spremniku brzinom u. Kontrolni volumen (VK) za analizu hidraulikog udara (Sl. 3.11) obuhvaa frontu poremeaja, tako da se i taj kontrolni volumen kree ulijevo brzinom poremeaja u ulijevo. Prema tome, kapljevina ulazi u kontrolni volumen relativnom brzinom u+v, a naputa ga relativnom brzinom u. Zbog poveanja tlaka p, elastina cijev se iri (promjer se poveava za D, a povrina poprenog presjeka cijevi poveava se za S). U ovom pominom kontrolnom volumenu nita se s vremenom ne mijenja, dakle strujanje je stacionarno. Jednadba kontinuiteta za sluaj stacionarnog strujanja kroz kontrolni volumen zahtijeva da ulazni i izlazni protok budu jednaki:

( ) ( ) ( )SSuSvu ++=+ , (3.39) Nakon sreivanja, dijeljenja jednadbe s S i zanemarivanja lana koji sadri produkt diferencija vieg reda S , jednadba kontinuiteta moe se zapisati u obliku

26

Sl. 3.11 Kontrolni volumen za analizu hidraulikog udara

+

=

SS

uv

. (3.40)

Budui da se pretpostavlja da fluid nije viskozan, aksijalna sila fluida na cijev mora biti jednaka nuli (Fx=0). Jednadba koliine gibanja za aksijalni (x) smjer svodi se tada na zahtjev da impulsne funkcije s obje strane kontrolnog volumena budu jednake:

( )[ ] ( )[ ]( )SSppuSpvu ++++=++ 22 . (3.41) Kad se izvre mnoenja navedena u gornjim izrazima, dobiva se nakon sreivanja ( ) pSSpSuSuSvuv +++=+ 2222 , (3.42) pri emu su ponovo zanemareni mali lanovi SuSu

27

Sl. 3.12 Optereenje i naprezanja u cijevi

xxpD = 2 , (3.46) pri emu oznaava debljinu stijenke cijevi. Porast tlaka p dovodi do prirasta naprezanja . Nakon poveanja tlaka p, uvjet ravnotee sila cijevnog elementa glasi ( ) ( ) xxDpp +=+ 2 , (3.47) oduzimanjem posljednje dvije jednadbe dobiva se izraz za prirast naprezanja

2pD

= . (3.48)

Ako =l/l predstavlja relativnu duljinsku deformaciju, za elastinu cijev vrijedi ( ) E

DDE

DDE ===

pi

pi , (3.49)

pri emu E oznaava modul elastinosti cijevi. Povrina presjeka cijevi je

4

2DS pi= , (3.50)

pa je diferencijal te povrine DdDdS 2pi= , tako da priblino vrijedi

EpD

EDD

SS

=

=

22 . (3.51)

Ako se s oznai modul volumenske elastinosti fluida, jednadba kontinuiteta (3.40) uz primjenu izraza ukovskog (3.45) postaje

+=

+

=

+

=

D

Euv

u

EpDp

uSS

uv 1 . (3.52)

Budui da za brzinu irenja slabih tlanih poremeaja (brzinu zvuka) u fluidu vrijedi izraz =c , slijedi izraz za brzinu irenja tlanog poremeaja u elastinoj cijevi

DE

cu

+

=

1, (3.53)

a skok tlaka pri hidraulikom udaru iznosi

x

D p

x

28

D

E

cvuvp

+

==1

. (3.54)

Zbog elastinosti cijevi (konana vrijednost modula elastinosti cijevi EC), smanjuje se tlani udar p. U realnim situacijama u kojima je brzina strujanja v znatno manja od brzine zvuka c, brzina irenja fronte poremeaja u ipak se ne razlikuje bitno od brzine zvuka c. Lako je izraunati da ve pri uobiajenim brzinama strujanja u cijevima od 13 m/s, skok tlaka iznosi p=1040 bar. Postupci kojima se sprjeava tlani udar obuhvaaju ugradnju hidraulikog akumulatora ili ugradnju razvodnika koji se sporo zatvaraju. Vidljivo je takoer da e u vremenu t = L/u fronta poremeaja stii do ulaza u cijev. Ako se tamo nalazi spremnik u kojem postoji slobodna povrina odn. plin (npr. hidrauliki akumulator), tlak e na tom kraju cijevi skokovito pasti. Ovaj novi poremeaj krenut e brzinom zvuka u suprotnom smjeru (udesno, u smjeru ventila). Lijevo od te fronte ponovo se uspostavljaju poetni tlak p i brzina strujanja v ulijevo (isti iznos ali suprotan smjer). Kada ova fronta stigne do ventila (opet nakon isteka vremena t = L/u), ponovo se fluid uz ventil zaustavlja, a tlak se skokovito smanjuje za isti iznos p. Slino kao na samom poetku ciklusa, ovaj poremeaj sada se kree ulijevo prema spremniku, gdje se ponovo rastereuje i kree udesno prema ventilu (lijevo od fronte sada je tlak p i brzina v usmjerena udesno). Nakon to ovaj val stigne do ventila, kompletni ciklus se ponavlja. Sl. 3.13 prikazuje vremensku promjenu tlaka u toki uz ventil (puna linija) i u toki koja se nalazi na polovici duljine cijevi, tj pri x=L/2 (crtkana linija). U stvarnosti nije mogue postii trenutno zatvaranje ventila, a fluid je viskozan (priguni lan). Zato stvarni skokovi tlaka nisu trenutni kao na dijagramu, a amplituda poremeaja se s vremenom smanjuje (priguivanje).

Sl. 3.13 Vremenski tijek tlaka na kraju cijevi u toki x=L (puna linija) i u toki x=L/2 (crtkana linija)

Perioda ovih oscilacija iznosi T=4L/u, a njihova frekvencija je f=u/(4L). U sluaju apsolutno krute cijevi (u=c), kruna frekvencija nepriguenih oscilacija je

pipi

piLL

cfn 222 === . (3.55)

Ovo je relativno realna vrijednost frekvencije nepriguenih oscilacija za hidrauliki udar, koja se znatno razlikuje od vrijednosti

p

p

p+p

p-p

ut

L

1 2 3 4 5

29

Ln1

= . (3.56)

dobivene u prolom odjeljku pomou mehanikog modela.

30

4 HIDRAULIKI ELEMENTI

4.1 Ventili Hidrauliki ventili koriste se za regulaciju i usmjeravanje hidraulikog fluida. Prema konstrukciji razlikuju se klizni ventili (preteno klipni) i ventili sa sjeditem. Prema funkciji dijele se na razvodnike, zaporne ventile, tlane ventile i protone ventile. Postoji niz moguih naina aktiviranja ventila, pa se ventili i u tom smislu razlikuju. Nadalje ventili se mogu aktivirati neposredno (direktno) ili posredno (predupravljani dvostupanjski ili trostupanjski ventili). Ventili se razlikuju i prema broju prikljuaka (dvoputni, troputni itd.). Razvodnici se razlikuju i oznaavaju po broju prikljuaka i broju razvodnih poloaja. Ventili mogu biti digitalno ili kontinuirano pokretani. Digitalno pokretani ventili se u normalnom radu nalaze u jednom od moguih fiksnih poloaja (npr. dvopoloajni su otvoreni ili zatvoreni). Ventili za regulaciju tlaka ili protoka su kontinuirano pokretani, tj. u normalnom radu se nalaze u nekom meupoloaju meu krajnjim poloajima, tako da ostvaruju priguno djelovanje. Za regulaciju su od posebnog znaaja hidrauliki proporcionalni i servo ventili. Granica izmeu ove dvije kategorije nije jasno odreena, proporcionalni ventili su u principu robusniji, a servo-ventili su toniji i skuplji. Postoje tri kategorije proporcionalnih i/ili servo-ventila: ventili kojima je hod proporcionalan struji kroz svitak (x~i), te regulatori tlaka (p~i) i regulatori protoka (Q~i). Proporcionalni ventili nazivaju se i ventili s proporcionalnim elektromagnetima. Postoje dvije kategorije takvih magneta, zavisno da li je sila ili hod kotve proporcionalan struji kroz svitak. Servo-ventili imaju veu tonost regulacije i zato obavezno imaju negativnu povratnu vezu. Sl. 1.1 prikazuje proporcionalni ventil za ogranienje tlaka. Pomou elektromagneta i njemu suprotstavljene opruge podeava se poloaj konusnog ventila kojim se regulira tlak ulja u komori iza samog ventila. Sl. 4.2 prikazuje proporcionalni regulator protoka.

Sl. 4.1 Proporcionalni ventil za ogranienje tlaka: 1 zavojnica, 2 kotva elektromagneta, 3 konini pilot ventil, 4 opruga, 5 razvodni klip

Kod proporcionalnih ventila jedan ili vie proporcionalnih elektromagneta (Sl. 4.3) odreuje poloaj klipa.

31

Sl. 4.2 Proporcionalni dvostupanjski regulator protoka: 1 glavni ventil, 2 pilot ventil, 3 elektromagnet, 4 osjetnik poloaja

Sl. 4.3 Proporcionalni elektromagnet: 1 zavojnica, 2 kotva, 3 prsten od ne-feromagnetnog materijala

Dinamiki model Ponaanje elektromagneta moe se modelirati izrazom

dttdx

cdt

tdILtRItU x)()()()( ++= , (4.1)

pri emu je: U napon na zavojnici t vrijeme R omski otpor I jakost struje kroz zavojnicu

2 1 3

y

32

L induktivitet cx konstanta proporcionalnosti za pomak kotve x pomak kotve Kod proporcionalnih magneta s reguliranom silom, sila magneta FM proporcionalna je struji kroz zavojnicu: FM(t) = cx I(t) , (4.2) Uz pretpostavku da je promjena napona zbog promjene poloaja kotve zanemariva, kombinacijom gornjih dviju jednadbi dobiva se sljedea diferencijalna jednadba

)()()( tVktFtF MMMM =+ , (4.3) pri emu je FM sila magneta na razvodni klip, M je vremenska konstanta, a kM je pojaanje. Kod direktno upravljanih razvodnika izvodi se razvodni klip i ipka magneta s kotvom kao jedinstveni element. Primjenom zakona koliine gibanja takav razvodni klip moe se modelirati kao sustav drugog reda

)()()()()( tFtFtzctzctzm vMKdK +=++ , (4.4) pri emu je: mK masa razvodnog klipa z pomak razvodnog klipa od zatvorenog poloaja t vrijeme cd konstanta priguivanja uslijed viskoznog trenja cK konstanta opruge Fv vanjsko optereenje Vanjsko optereenje Fv moe biti posljedica suhog trenja i sila uzrokovanih teenjem radnog fluida kroz ventil. Utjecaj ovih sila je relativno mali, pa se one najee zanemaruju. Protok fluida kroz suenja otrih rubova u ventilu (Sl. 4.4) modelira se izrazom za dijafragmu

pSQ D

=

20 , (4.5)

Sl. 4.4 Priguivanje u klipnom ventilu

Najui protoni presjek ventila S0 zavisi od pomaka z razvodnog klipa, odn. od zazora H = z+H0-HK na sljedei nain S0 = S'H, za z0 , (4.6)

H

HK

z

H0

33

uz S0=0 u sluaju H

34

Odziv unutranjih dinamikih lanova ventila tipino je znatno bri nego kod ostalih komponenti hidraulikih sustava. Zato najee nije potrebno zasebno modelirati pojedine komponente ventila (masa, opruga, klip itd.), ve je dovoljan statiki model ponaanja ventila izraen kroz njegovu karakteristiku (tlak u zavisnosti od protoka za razliite poloaje ili jakosti struje).

4.2 Hidrauliki translacijski motori Prema vrsti gibanja koje ostvaruju, hidrauliki motori dijele se na rotacijske (hidrauliki motori) i translacijske (hidrauliki cilindri, hidrauliki linearni aktuatori). Translacijsko gibanje postie se hidraulikim cilindrima. Prema konstrukciji oni se dijele na jednoradne i dvoradne. Kod jednoradnih cilindara radni fluid je u kontaktu samo s jednom stranom klipa i obavlja pomak (rad) samo u jednom smjeru (izvlaenje klipnjae). Povratno gibanje vri se uslijed djelovanja drugih sila (teret, opruga itd.). Kod dvoradnih cilindara fluid je u doticaju s obje strane klipa i vri rad (pomak) u oba smjera. Dvoradni cilindri mogu imati klipnjau samo s jedne strane klipa (najei tip) u kojem sluaju su volumeni radnog fluida koje klip istiskuje razliiti pri izvlaenju i uvlaenju klipnjae. Klipovi s dvostranom klipnjaom istiskuju isti volumen fluida pri gibanju u oba smjera. Za velike hodove koriste se teleskopski cilindri. Prema nainu brtvljenja hidraulikog fluida cilindri se dijele na: cilindre s kontaktnim brtvama niske razine trenja cilindre s hidrostatikim leajevima Cilindri s kontaktnim teflonskim brtvama niske razine trenja u najveem broju sluajeva ispunjavaju sve postavljene zahtjeve. Potrebna je relativno visoka kvaliteta povrine kouljice cilindra, klipnjae i njene vodilice. Vodilice i brtve izrauju se od PTFE sinteriranog broncom koji uz druga povoljna svojstva posjeduje i svojstvo da se sila trenja vrlo malo mijenja s promjenom brzine. Cilindri s hidrostatikim leajevima imaju klizne leajeve (ujedno vodilice i brtve) sa zasebnim sustavom za dovod ulja pod tlakom u leajeve (u vodilice klipnjae i u klip), kako bi se nosivost odrala i za vrijeme mirovanja klipa. Zazori su uski i brino izvedeni, leajevi imaju blago konusni oblik. Na ovaj nain se u potpunosti izbjegava suho trenje, ali je potrebna izuzetno fina izrada, a gubici proputanja kroz brtveno-nosive zazore su relativno visoki.

Matematiki model Za razliku od rotacijskih motora, hidrauliki cilindar ima relativno veliki volumen u odnosu na protok radnog fluida. Klip predstavlja masu koja je upeta izmeu dva elastina stupca fluida, pa ima mogunost titranja. Zbog toga je u dinamikom modelu cilindra nuno uzeti u obzir elastinost (stlaivost) fluida, a kod rotacijskih motora uglavnom ju se smije zanemariti. Vlastita frekvencija titranja klipa openito se poveava sa smanjenjem dimenzija cilindra. Ovakvo dinamiko ponaanje praktiki onemoguava primjenu cilindara s hodom duim od 1m u regulacijskim krugovima. Zakon odranja mase zapisat e se posebno za lijevu i desnu komoru cilindra (Sl. 4.6). Kao poetni volumeni komora (u asu t=0) odabiru se volumeni V01 i V02 u krajnjem lijevom poloaju klipa. Pretpostavlja se da su svojstva fluida (gustoa, tlak) u svakom asu jednaka u komori i u njenom prikljuku.

35

Sl. 4.6 Skica dvoradnog cilindra

Zakon odranja mase za svaku komoru moe se zapisati kao

( ) QdtdV

dtdVV

dtd =+= . (4.8)

Uzevi u obzir definiciju koeficijenta kompresibilnosti radnog fluida

dpd

= , (4.9)

zakon odranja mase prelazi u oblik

QdtdV

dtdpV

=+ . (4.10) Trenutni volumeni lijeve (V1) i desne (V2) komore iznose V1 = V01 + S1z , (4.11) V2 = V02 S2z , (4.12) a diferencijali tih volumena su dV1 = S1dz i dV2 = S2dz. Konani oblik jednadbe kontinuiteta za lijevu i desnu komoru prema tome glasi

111101 Q

dtdzS

dtdpzSV

=++

. (4.13)

222202 Q

dtdzS

dtdpzSV

=++

. (4.14)

Kod dvoradnih cilindara potrebno je uzeti u obzir i proputanje Q12 iz lijeve u desnu komoru kroz prstenasti procijep izmeu cilindra i klipa (pretpostavlja se laminarno strujanje). Ako je D promjer cilindra, L visina klipa, h zazor izmeu klipa i cilindra, a razlika tlaka izmeu komora p = p1 p2, pomou izraza za gubitak tlaka u zazoru izmeu dviju ploha dimenzija LD dobiva se izraz za protok proputanja

pL

DhQ =3

12 12pi

. (4.15)

U praksi se susree izraz

pCpL

DhQ =+= 1223

12)5,11(

12

pi

. (4.16)

pri emu je ekscentricitet definiran kao = 2e/(D-h), e je udaljenost osi klipnjae i leaja.

S1 S2 p1 p2

Q1 Q2

z=0 z

FV

V01 V02

36

Zakon koliine gibanja zapisan za klip glasi VTKdK FSpSpzsignFzczczm =+++ 2211)( , (4.17)

uz sljedea znaenja oznaka: mK masa klipa i klipnjae cd koeficijent priguenja cK konstanta opruge FT sila suhog trenja FV vanjska sila (optereenje). Uz zanemarenje utjecaja razlike tlaka i ubrzanja fluida u rasporu, koeficijent priguenja uslijed viskoznog trenja klipa iznosi

hLD

c fdpi=

. (4.18)

4.3 Hidrauliki rotacijski motori Hidrauliki rotacijski motori koriste se znatno ee nego pneumatski, jer ostvaruju relativno velik moment obzirom na dimenzije motora (gustoa snage hidraulikih motora je 2025 puta vea nego kod elektrikih), a momenti inercije su relativno mali. Zbog toga vremenske konstante imaju vrlo niske vrijednosti, to dozvoljava znatne i brze promjene brzine vrtnje. Dinamike pojave kod ovih motora obino se zanemaruju (pretpostavlja se trenutani odziv), za dinamiku se koriste modeli stacionarnog ponaanja. Hidrauliki rotacijski motori su volumetriki strojevi. Oni imaju odgovarajui mehaniki element koji, zbog tlaka radnog fluida kojem je izloen, naizmjenino poveava i smanjuje radni volumen ispunjen tim fluidom. Na bazi oblika i kinematike tog elementa razlikuju se sljedei tipovi hidraulikih motora: klipni

aksijalni radijalni

zupasti s unutranjim ozubljenjem s vanjskim ozubljenjem

lamelni (krilni) s kliznim lamelama s valjnim (obrtnim) lamelama

U pojedinim kategorijama primjene hidraulikih motora tipino se odabiru samo neki od tipova motora, to je uvjetovano njihovim karakteristikama (Tabl. 4.1, Tabl. 4.2). Unato znatnim razlikama u konstrukciji, svi hidrauliki rotacijski motori rade na istom volumetrikom principu i mogu se opisati istim matematikim modelom. tovie, veina konstrukcijskih rjeenja i matematikih jednadbi istovjetni su za hidraulike motore i pumpe, zato e se dalje u tekstu koristiti termin hidrauliki stroj. U modelu idealnog hidraulikog stroja pretpostavlja se apsolutno nestlaivi radni fluid i odsustvo svih gubitaka (trenja, proputanja). Kao primjer takvog stroja moe posluiti idealni klipni stroj s ventilima (Sl. 4.7)

37

Tablica 4.1

Tip motora Radni tlak, bar

Broj okretaja, min-1

Radni volumen, cm3

St. korisnog djelovanja, %

Aksijalni klipni 100500 58000 24000 8590

Radijalni klipni 120750 53000 235000 8590

Zupasti s unutranjim o. 80300 2008000 11000 6090

Zupasti s vanjskim o. (gerotor)

38

Gornja povrina klipa S kree se izmeu gornje (GMT) i donje (DMT) mrtve toke, prelazei pri tome hod s. Iznad GMT nalazi se tetni prostor V0. Ciklus prikazan u indikatorskom P-V dijagramu odvija se kod pumpe u smjeru obratnom od kazaljke sata (1-2-3-4-1), faza usisa zapoinje u toki 4 pri tlaku pu=p1, dok faza tlaenja zapoinje u toki 2 pri tlaku pi=p2. Kod motora smjer ciklusa je obrnut (1-4-3-2-1), faza punjenja zapoinje u toki 3 pri tlaku pu=p2, dok faza ispuha zapoinje u toki 1 pri tlaku pi=p1. Povrina indikatorskog dijagrama (lika 1-2-3-4-1) naziva se indicirani rad Wi i predstavlja energiju koju stroj efektivno razmjeni s fluidom tijekom jednog punog okreta. Protok kroz idealni stroj je teoretski protok

RRt NVVQ ==pi

2 , (4.19)

pri emu je brzina vrtnje, N broj okretaja u jedinici vremena (sek, min), a VR =V1-V0 je (geometrijski) radni volumen stroja. (Oznaka n koristit e se iskljuivo za broj okretaja u minuti.) Kod idealnog stroja to je ujedno i volumen fluida koji u stroj ue odn. izae tijekom jednog punog okreta. Snaga idealnog stroja je

iitid NWWpQP ===pi

2 , (4.20)

gdje p = p2-p1 predstavlja razliku tlaka na ulazu i izlazu stroja. U realnom stroju pojavljuju se gubici koji se mogu podijeliti u tri kategorije: volumetriki, mehaniki i hidrauliki gubici.

Volumetriki gubici Kod realnog stroja protok na ulazu u stroj odn. izlazu iz stroja i protok kroz sam stroj nisu isti razlikuju se za volumetriki gubitak Q. Termin protok pumpe QP podrazumijeva koliinu fluida koju pumpa dobavlja (izlazni protok). Protok kroz motor QM je koliina fluida koja u motor ulazi (potronja fluida). Volumetriki gubitak Q predstavlja smanjenje dobavljene (pumpa) odn. poveanje ulazne (motor) protone koliine u odnosu na teoretsku Qt. Izraavaju se pomou volumetrikog stupnja djelovanja pumpe V, pa za pumpu vrijedi: QP = VQt = QtQ , (4.21) a za motor

QQQQ tV

tM +== . (4.22)

Uzroci nastajanja volumetrikih gubitaka su: proputanje radnog fluida kroz brtve i zazore elastinost radnog fluida elastinost mehanikih dijelova zranosti izmeu strojnih dijelova (troenje leajeva i sl.) kavitacija Gubici proputanja predstavljaju najznaajniji volumetriki gubitak, pa se ostali volumetriki gubici obino zanemaruju. Gubitak proputanja Qpr je protok kroz sve zazore i brtve meu pokretnim dijelovima strojeva izloenim tlaku fluida (izmeu

39

klipa i cilindra, kroz brtvu klipnjae, kroz ventile cilindra, izmeu upravljake i razvodne ploe, pokraj zupanika zupastog stroja, izmeu lamela i kuita lamelnog stroja itd.). Gubici proputanja ujedno su i gubici energije, jer istjee fluid povienog tlaka (p2) koji pri istjecanju gubi svoj energetski potencijal. Taj fluid obino se vodovima dovodi na prikljuak niskog tlaka (p1) na stroju. Na indikatorskom dijagramu realne pumpe (Sl. 4.8) gubici proputanja ilustrirani su smanjenjem radnog volumena pumpe za volumen fluida Vpr koji se proputanjem gubi tijekom jednog okreta pumpe. Lik 1-2-3-4-1 predstavlja indikatorski dijagram pumpe. Radni ciklus pumpe s volumetrikim gubitkom ilustriran je likom 1-2-3'-4'-1, a razlika povrina ova dva lika ilustrira gubitak energije izazvan volumetrikim gubitkom. Kod motora se protok fluida vieg tlaka poveava za iznos gubitaka proputanja.

Sl. 4.8 Indikatorski dijagram realne pumpe i motora

U veini sluajeva nije mogue egzaktno odrediti kategoriju strujanja kroz brtve i zazore, pa se strujanje djelomino modelira kao laminarno, a djelomino kao turbulentno:

pkpkQ turlampr

+=

. (4.23)

Ovaj model prikladan je za nie tlakove. Pri viim tlakovima gubitak proputanja je znatno vei, jer se poveavaju zazori, a znatni gubici energije poveavaju temperaturu fluida, pa se smanjuje viskoznost. Volumetriki gubitak uslijed elastinosti fluida Qel nastaje zbog kompresije elastinog fluida. U pumpi je najprije potrebno izvriti rad kompresije fluida koji ispunjava volumen V1 (linija 1-2, Sl. 4.8) do tlaka pri kojem se otvara tlani ventil. To tijekom svakog okreta pumpe izaziva volumetriki gubitak zbog smanjenja dobavljenog fluida Vel = V1-V2. Linija 3-4 predstavlja ekspanziju fluida stlaenog u tetnom prostoru V0 koja prethodi otvaranju usisnog ventila. Ovaj efekt je znatno manje izraen, jer ekspandira samo volumen fluida koji ispunjava (relativno mali) tetni prostor. Openito gubitak Qel u pumpi ne izaziva gubitak energije, jedino se smanjuje ukupna energija razmijenjena izmeu pumpe i fluida (indicirani rad Wi). Kod motora je prisutan samo volumetriki gubitak uslijed razlike volumena V0-VA', koji je posljedica tetnog prostora V0 (tlani ventil se otvara u asu dok je V0 ispunjen fluidom niskog tlaka) i moe se zanemariti. Meutim, prisutni su gubici energije

Pumpa:

Motor:

V0

p p2

0

p1

1

2 3

4

V

Wi

A B

C D

V1

3'

4'

Vpr

C'

A'

40

(prikazani crtkano) koji su poglavito posljedica ekspanzije fluida izvan motora nakon otvaranja izlaznog ventila (linija B-C'). Volumetriki gubitak uslijed elastinosti fluida iznosi

pVNpVQel == pi 112 , (4.24)

pri emu oznaava koeficijent kompresibilnosti radnog fluida. Qel esto se moe zanemariti, ali za pumpe visokih tlakova moe iznositi i do 50% Qt. Volumetriki gubitak uslijed elastinosti mehanikih dijelova nalikuje onom uslijed elastinosti fluida, ali se umjesto fluida elastino deformiraju strojni dijelovi (npr. poveanje cilindra, skraenje klipnjae itd. zbog tlanih naprezanja). Takve elastine deformacije ne izazivaju gubitak energije. Volumetriki gubitak uslijed zranosti izmeu strojnih dijelova nastaje kod pumpi, i to ako u usisnom cjevovodu ostvaruju podtlak, a u tlanom pretlak (pumpa usisava i tlai). Strojni dijelovi tada su tijekom ciklusa naizmjenino optereeni tlano i vlano. Prilikom promjene optereenja u ciklusu javlja se zbog zranosti prazni hod vratila, to izaziva smanjenje radnog volumena, a time i volumetriki gubitak. Energetski gubitak je minimalan gubitak trenja mehanikih dijelova u praznom hodu. Kavitacija je pojava parne faze u fluidu i pojavljuje se praktiki iskljuivo kod pumpi. Volumetriki gubitak uslijed kavitacije nastaje tako da prilikom usisa mjehurii pare ispune dio radnog volumena i na taj nain ga efektivno smanje. To se deava kada tlak na ulazu u radni volumen padne sve do nivoa tlaka isparavanja fluida. Ovaj preniski tlak moe biti posljedica prevelike visine podizanja fluida (usisne visine), prevelikih otpora usisnog cjevovoda odn. protoka kroz njega, previsoke temperature fluida (veliki tlak isparavanja), ili velikih ubrzanja fluida u usisnom cjevovodu zbog promjena protoka (brzine) tijekom radnog ciklusa. Pojava kavitacije je nedozvoljiva jer prijeti oteenjem ili unitenjem pumpe, pa se tako ne smije pojaviti niti ovaj volumetriki gubitak, niti ga je potrebno uzeti u obzir u proraunima.

Energetski gubici i snaga stroja Idealna snaga stroja Pid ovdje je izlazna korisna snaga pumpe (snaga koju bi u idealnom sluaju trebalo predati fluidu u pumpi za isti uinak), odn. ulazna snaga motora (maksimalna snaga koju bi fluid koji ulazi u motor mogao razviti). Prema tome, idealna snaga pumpe i motora rauna se prema istom izrazu pomou realnih (ostvarenih) veliina Pid = Qp , (4.25) gdje p = p2-p1 predstavlja razliku tlaka na ulazu i izlazu stroja. Energetski gubitak zbog volumetrikog gubitka Q u pumpi odreuje se uz pretpostavku da se i koliini fluida Q energija predaje u punom iznosu. Ta pretpostavka nije adekvatna za gubitke uslijed elastinosti fluida Qel, ali se oni ionako najee zanemaruju. Kod motora se pretpostavlja da se sav energetski potencijal koliine fluida Q beskorisno potroi (snaga gubitka iznosi Qp za pumpu i za motor). Definira se pojam teoretske snage stroja Pt (budui da se hidrauliki gubici i s njima povezano poveanje p uglavnom zanemaruje, koristi se i naziv indicirana ili unutranja snaga) prema

41

tMpRNVpRVptQtP pi

====

2, (4.26)

i teoretskog momenta torzije

pi2

pRVt

M

= , (4.27)

pa je gubitak snage zbog gubitka volumena Q jednak razlici snaga PtPid (pumpa) odn. PidPt (motor), a volumetriki stupanj djelovanja V povezuje te snage, tako da za pumpu vrijedi

V

idPtPP

= , (4.28)

a za motor

PtM = VPid . (4.29) Osim gubitka energije uzrokovanog gubitkom volumena fluida, u pumpi su prisutni jo mehaniki i hidrauliki gubici. Mehaniki gubici su gubici trenja meu elementima pumpe (u reduktoru, spojci, leajevima, brtvama, izmeu klipa i cilindra itd.). Hidrauliki gubici su gubici trenja fluida (npr. pri strujanju kroz ventile, pri promjenama brzine fluida itd.). Kod volumetrikih strojeva hidrauliki gubici su relativno mali pa se ne izraavaju zasebno, ve se obino pridruuju mehanikim ili volumetrikim gubicima. Kao moment M i snaga P (stvarna, efektivna) stroja prihvaaju se moment torzije i snaga na spojci (vratilu) stroja (ta snaga je ulazna snaga pumpe PP, odn. izlazna korisna snaga motora PM, PM

42

iNWiWiP == pi

2 , (4.33)

pri emu je Wi indicirani rad stroja (energija koju stroj i fluid efektivno razmijene u jednom ciklusu). Odstupanje tlakova u radnoj komori stroja od prikljunih tlakova p1 i p2 koje je vidljivo na indikatorskom dijagramu (Sl. 4.8) posljedica je hidraulikih gubitaka (npr. gubitak tlaka pri prolasku kroz ventil itd.). Ovdje treba naglasiti da u radnoj komori pumpe u fazi usisa (linija 4-1) mora biti nii tlak od tlaka p1, kako bi se ostvario ulazak fluida u komoru. Tipino, to je najnii tlak u cijeloj instalaciji, dakle mjesto gdje, pri nepovoljnim uvjetima, zapoinje kavitacija. Zbog toga uvijek postoji opasnost od pojave kavitacije u pumpi, a za motor ta opasnosti uglavnom ne postoji.

Radne karakteristike volumetrikih strojeva Radne karakteristike volumetrikih strojeva obino se prikazuju u zavisnosti od razlike tlaka p (pri broju okretaja n=const.) ili u zavisnosti od broja okretaja n (pri p=const.). Radne karakteristike su funkcije protoka (Q) snage (P) stupnja korisnog djelovanja () i eventualno momenta (M) danog stroja u zavisnosti od p ili od n. Utvruju se eksperimentalno (ispitivanjem stroja) i definiraju ponaanje danog stroja u raznim reimima rada koji mogu nastupiti u eksploataciji. Oblik ovih funkcija bitno karakterizira injenica da su volumetriki gubici praktiki jednaki gubicima proputanja, te da je strujanje gubitaka kroz raspore gotovo iskljuivo laminarno. Doprinos turbulentnih protoka proputanja moe se zanemariti, tako da preostaje linearna zavisnost volumetrikog gubitka od razlike tlaka Q = klamp . (4.34) Protok pumpe QP = Qt klamp = NVR klamp , (4.35) i motora QM = Qt + klamp = NVR + klamp , (4.36) su prema tome takoer linearne funkcije razlike tlaka p i broja okretaja n. Znatnija odstupanja od ovih jednostavnih linearnih karakteristika prisutna su jedino pri visokim razlikama tlakova i/ili brojevima okretaja. Sl. 4.9 prikazuje karakteristike volumetrikih pumpi i motora pri konstantnom broju okretaja n. Nelinearnosti karakteristika protoka Q, momenta M i snage P prikazane su preuveliano, u praksi te su nelinearnosti obino jedva zamjetne. Na slikama su takoer prikazane teoretske karakteristike Qt, Mt i Pt. Volumetriki gubitak predstavljen je razlikom Q = |QtQ| teoretskog stvarnog protoka. Pomou ucrtanih karakteristika idealne Pid i teoretske Pt snage mogue je pratiti iznos i promjene MH-mehanikih Pmh = |PPt| i volumetrikih PV = |PtPid| gubitaka snage. Snaga P0 troi se na MH-gubitak rastereene pumpe. Takoer se i kod motora razlika tlaka p0 utroi na svladavanje MH-gubitka, a koristan moment ostvaruje se tek poveanjem te razlike. Na slikama c) i d) prikazani su odgovarajui stupnjevi korisnog djelovanja. Za drugi (konstantni) broj okretaja dobivaju se i nove karakteristike koje se u obliku familija (gotovo) linearnih funkcija esto prikazuju na istim dijagramima (Sl. 4.10). Na slici je prikazan tipian oblik takvih familija karakteristika snage i protoka za pumpu i hidrauliki motor, pri emu se broj okretaja poveava od n=n1 do n=n5 u jednakim koracima.

43

Sl. 4.9 Radne karakteristike pumpi i hidraulikih motora pri konstantnom broju okretaja: a) i b) protok, moment, snaga; c) i d) stupnjevi korisnog djelova

Sl. 4.10 Karakteristike protoka (a i b) i snage (c i d) pumpi i hidraulikih motora pri 5 raznih brojeva okretaja

Sl. 4.11 prikazuje karakteristike volumetrikih pumpi i motora pri konstantnom diferencijalnom tlaku p. Nelinearnosti karakteristike protoka Q obino nisu izrazite, dok su nelinearnosti karakteristike momenta M i snage P znatne. Ponovno su ucrtane takoer i teoretske karakteristike, a ucrtana idealna i teoretska karakteristika snage omoguavaju praenje iznosa i promjene volumetrikih i MH-gubitaka snage. Do broja okretaja n0 nije mogue postii pozitivan protok pumpe, jer je pri zadanom

0 p

1

mh

V

0 p

1

mh

V

Qt

p0

Q

P

Pt

Pid

Mt M

n=const

0 p a) pumpa

c) pumpa d) motor

b) motor

Qt

0 P0

p

Q P Pt

Pid

M Mt

n=const

Pmh PV

QV

0 p

P

n1

n2

n3

n4

n5 p

Q

n1 n2 n3 n4 n5

p

Q

p

n1 n2 n3 n4 n5

0

P

n1

n2

n3

n4

n5 a) pumpa

c) pumpa

b) motor

d) motor

44

diferencijalnom tlaku p volumetriki gubitak vei od teoretskog protoka Qt. Na slikama c) i d) prikazani su odgovarajui stupnjevi korisnog djelovanja.

Sl. 4.11 Radne karakteristike pumpi i hidraulikih motora pri konstantnoj razlici tlaka: a) i b) protok, moment, snaga; c) i d) stupnjevi korisnog djelovanja

Promjenljiv radni volumen Kod hidraulikih strojeva promjenljivog kapaciteta regulacija protoka vri se promjenom broja okretaja ili promjenom radnog volumena (promjenom hoda radnog elementa). U sluaju promjene radnog volumena teoretski protok rauna se prema izrazu Qt = NVR , (4.37) pri emu je VR maksimalni radni volumen stroja, a faktor koji poprima vrijednosti izmeu 0 i 1 za obini stroj, a izmeu 1 i 1 za reverzibilni stroj. Kod radijalnih i lamelnih strojeva promjena radnog volumena ostvaruje se promjenom ekscentriciteta e (npr. za radijalni stroj = e/emax, emax je maksimalni mogui ekscentricitet). Kod aksijalnih strojeva s nagibnom ploom je hod (i protok) jednak nuli kad je ploa okomita na os vrtnje. Kad se u odnosu na taj poloaj ploa nagne za maksimalni kut =max postie se maksimalni protok, pa prema tome vrijedi = tg / tgmax.

Oscilacije protoka i tlaka Volumetriki strojevi svojim ciklikim radom izazivaju oscilacije protoka i tlaka u cjevovodima. Kao mjera tih oscilacija definirani su stupanj neravnomjernosti protoka

n0

Qt

0 n

Q

P

Pt

Pid

M Mt

p =const

0 n

v

mh

0 n

v

mh

Qt

0 n

Q

P

Pt

Pid

M Mt

p =const

a) pumpa

c) pumpa d) motor

b) motor

45

QQmax

= , (4.38)

koji poprima vrijednosti izmeu 1 i (maksimalna mogua neravnomjernost protoka) i stupanj neravnomjernosti tlaka

srppp minmax

= , (4.39)

pri emu su Qmax i pmax maksimalni protok i tlak u cjevovodu, pmin je minimalni tlak u cjevovodu, a Q i psr su srednje vrijednosti protoka i tlaka u cjevovodu. Ove oscilacije prenose se i na ostale elemente povezane istim cjevovodom, a takoer predstavljaju i izvor buke. Oscilacije se mogu smanjiti: koritenjem viekomornih (npr. viecilindarskih strojeva) ugradnjom kompenzatora (akumulatora) tlaka Motori koji se koriste u hidraulici ne izazivaju velike oscilacije (niske vrijednosti stupnjeva neravnomjernosti), pa ugradnja kompenzatora najee nije potrebna.

4.4 Hidrauliki akumulatori Hidrauliki akumulatori (kompenzatori tlaka, tlani spremnici) su zatvorene posude djelomino ispunjene stlaenim plinom (obino duikom N2) koje iz hidraulikog sustava preuzimaju izvjestan volumen radnog fluida pod tlakom, pa prema potrebi taj fluid vraaju u sustav. Time se ostvaruje: pokrivanje vrnih optereenja, rezerva fluida pod tlakom za kratkotrajno napajanje sustava u sluaju nude

(kvar pumpe), nadoknaivanje gubitaka istjecanja fluida iz hidraulikog sustava, priguivanje tlanih udara prilikom ukljuivanja/iskljuivanja ureaja, priguivanje pulsacija smanjenje nejednolikosti protoka i tlaka koje uzrokuju

hidrauliki strojevi, ekspanzijska posuda preuzimanje vika volumena fluida uzrokovanog

temperaturnom dilatacijom, iskoritavanje energije koenja akumulator prilikom punjenja preuzima

energiju tereta koji se koi, uloga opruge/amortizera preuzimanje udara (aktivni ovjes, odravanje

nategnutosti uadi), energija za koenje u nudi. Akumulatori se obino pune duikom, a zrak nije dozvoljen zbog opasnosti od eksplozije. Plin i radni fluid odvojeni su pominom stjenkom. S jedne strane stjenke je zatvorena komora ispunjena duikom, a s druge je komora koja je spojena na hidrauliki sustav pod tlakom i ispunjena radnim fluidom. Prema tipu te stjenke razlikuju se: akumulatori s klipom, akumulatori s membranom i akumulatori s mijehom.

46

Akumulatori s klipom su cilindri u kojima su plin i radni fluid razdvojeni slobodno pokretnim (leteim) klipom. Koriste se za relativno velike volumene i protoke. Budui da klip ima relativno veliku masu, akumulatori s klipom imaju znatno sporiji odziv od preostala dva tipa akumulatora. Akumulatori s membranom imaju oblik kugle koja je na sredini podijeljena stjenkom u vidu horizontalne elastine membrane. Koriste se za manje volumene, esto za kompenzaciju tlanih udara ili nejednolikosti protoka i tlaka. Akumulatori s mijehom izvedeni su kao posuda u kojoj je u funkciji stjenke smjeten mijeh od elastomernog materijala ispunjen duikom. Odlikuju se apsolutnim brtvljenjem mijeanje duika i radnog fluida nije mogue. Akumulatori podlijeu propisima za posude pod tlakom, koji izmeu ostalog propisuju: 1. akumulator mora imati odgovarajui manometar 2. akumulator mora imati sigurnosni ventil koji se ne moe iskljuiti niti neovlateno

podeavati 3. u dovodni vod mora se ugraditi runi zaporni ventil 4. akumulator se mora ispitati (nain ispitivanja zavisi od maksimalnog radnog

tlaka). Tlak radnog fluida u akumulatoru uvjetovan je ponaanjem plina kojim je punjen. Stanje duika se za pretlak do 10 bar moe s dovoljnom tonou opisati jednadbom stanja idealnog plina

pV = NRmT = mRT , (4.40)

pri emu su p i T apsolutni tlak i temperatura plina, N broj molova plina, Rm = 8,315 J/molK je univerzalna plinska konstanta, a R specifina plinska konstanta. Za visoke tlakove moraju se koristiti odgovarajui iskustveni izrazi. Kao primjer moe posluiti Beattie-Bridgman-ova jednadba koja vrijedi za tlakove do 250 bar:

22 )()1(

VABV

VRTp += ,

300 ;1;1 VTC

VbBB

VAA =

=

=

. (4.41)

Kompresijom ili ekspanzijom plina u akumulatoru mijenja se unutranja energija (i temperatura) tog plina, pa u manjoj ili veoj mjeri dolazi do razmjene topline s drugim komponentama odn. okolinom. Najjednostavniji model ponaanja plina pretpostavlja politropski proces promjene stanja plina pVn = const. (4.42)

uz konstantni koeficijent politrope n. U sluaju procesa s vrlo polaganom promjenom stanja plina, temperatura plina ostaje konstantna (izotermna promjena stanja, n=1), dok kod vrlo brzog procesa nema izmjene topline plina s okolinom (adijabatska promjena stanja, n=, eksponent izentrope za zrak i duik iznosi =1,4). Pri visokim tlakovima potrebno su odgovarajue korekcije eksponenta izentrope. U praksi, procesi promjene stanja plina krai od cca 1 min odvijaju se otprilike adijabatski, a procesi dulji od cca 3 min odvijaju se otprilike izotermno, dok ostali procesi lee izmeu ovih graninih procesa (politropski proces uz 1

47

ponaanja akumulatora potrebno je modelirati razmjenu topline i uvesti temperaturu T kao novu varijablu. Ako minimalnom p1 i maksimalnom p2 radnom tlaku odgovaraju volumeni V1 i V2 stlaenog plina u akumulatoru, raspoloivi korisni volumen akumulatora V iznosi

==

n

ppVVVV

1

2

1121 1 . (4.43)

Pri koritenju akumulatora kao spremnika energije radnog fluida, poeljno je unutar danog spremnika pohraniti to veu koliinu energije. Ako su zadani maksimalni dozvoljeni radni tlak p2 i spremnik (vrijednosti volumena spremnika V0 i plina V1), pohranjena energija zavisit e od minimalne vrijednosti radnog tlaka p1. Koliina pohranjene energije bit e maksimalna pri odreenoj (optimalnoj) vrijednosti tlaka p1=p1opt. Lako je pokazati da u sluaju izotermne promjene tlaka ta vrijednost iznosi p1opt = 0,368p2, a u sluaju adijabatske promjene (=1,4) iznosi p1opt = 0,308p2.

Primjer Odredite potrebni volumen V0 akumulatora punjenog duikom =1,4, ako uz radne tlakove p1 = 100 bar i p2 = 150 bar, korisni volumen akumulatora treba iznositi V = 4 l. Rjeenje: Odabire se adijabatska (brza) promjena stanja plina (n=), dok se kao tlak predpunjenja odabire 70 % minimalnog radnog tlaka (p0 = 0,7p1 = 70 bar).

l

pp

pp

VppVV 5,20

1

1

2

1

1

0

11

0

110 =

=

=

. (4.44)

Kompenzacija oscilacija protoka Poremeaj protoka u cijevi zbog prisustva volumetrikog hidraulikog stroja ima oscilatorni karakter. Zavisno od stroja i mehanizma pretvaranja krunog u pravocrtno gibanje radnih elemenata, oscilacije protoka u cjevovodima poklapaju se u veoj ili manjoj mjeri sa sinusnom funkcijom. Sl. 4.12 prikazuje protok Q kroz cijev prikljuenu na jednocilindarski stroj u zavisnosti od zakreta vratila stroja Q = Qmax sin , (4.45) gdje je s Qmax oznaen maksimalni protok u cijevi. Ako se radi npr. o tlanom cjevovodu jednocilindarske pumpe (puna linija), u fazi tlaenja protok se mijenja prema funkciji istog (sinusnog) oblika, kao to se mijenja i brzina klipa koja uvjetuje protok kroz pumpu. U fazi usisa (

48

Sl. 4.12 Oscilacije dobavnog protoka jednocilindarske i dvocilindarske pumpe

Srednji protok dobiva se dijeljenjem povrine ispod krivulje protoka s 2 (jedan kompletni ciklus). Jednocilindarska jednoradna pumpa ima najvei mogui stupanj nejednolikosti protoka ( = Qmax/Qsr), a studentima se preporua da za vjebu pokau kako on iznosi =. Takoer bi na slian nain trebalo pokazati da teoretski korisni volumen kompenzatora (akumulatora) V potreban za ujednaavanje protoka iznosi 0,551VR (VR je radni volumen pumpe) za sluaj jednocilindarske pumpe, 0,211VR za sluaj dvocilindarske, 0,014VR za tri cilindra itd. Ta vrijednost je viak protoka koji kompenzator mora primiti (za jednocilindarsku pumpu on odgovara rafiranoj povrini oznaenoj na slici oznakom '+'), a jednaka je manjku volumena koji kompenzator kasnije mora nadoknaditi (povrina oznaena oznakom ''). Ako se za smirivanje oscilacija izazvanih strojem minimalni tlak u kompenzatoru oznai p1, a maksimalni tlak p2, njima odgovaraju maksimalni V1 i minimalni V2 volumeni stlaenog plina u kompenzatoru. Korisni volumen akumulatora tada je V = V1V2, a srednji Vsr = (V1+V2)/2. Oscilacije koje izaziva hidrauliki stroj imaju relativno visoku frekvenciju pa se moe pretpostaviti da je srednji volumen kompenzatora daleko vei od korisnog volumena (Vsr>>V). Tada se za produkt minimalnog i maksimalnog volumena nadopunjavanjem na kvadrate binoma dobiva

221

221

2221

21

2221

2121 )(4

1)(41

41

21

41

41

21

41 VVVV