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CEM – Centro de Estudos Matemáticos

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Florianópolis Santa Catarina Professor: Erivaldo

Função Quadrática – SUPERSEMI

1)(Afa 2013) O gráfico de uma função polinomial do segundo grau ( )y f x ,= que tem como coordenadas do vértice (5, 2) e passa pelo ponto (4, 3), também passará pelo ponto de coordenadas a) (1, 18) b) (0, 26) c) (6, 4) d) (–1, 36) 2)(Ufpr 2013) O número N de caminhões produzidos em uma montadora durante um dia, após t horas de operação, é dado por 2N(t) 20 t t ,= ⋅ − sendo que 0 t 10.≤ ≤ Suponha que o custo C (em milhares de reais) para se produzir N caminhões seja dado por C(N) 50 30 N.= + × a) Escreva o custo C como uma função do tempo t de operação da montadora. b) Em que instante t, de um dia de produção, o custo alcançará o valor de 2300

milhares de reais? 3)(Ufmg 2013) Dois robôs, A e B, trafegam sobre um plano cartesiano. Suponha que no instante t suas posições são dadas pelos pares ordenados ( ) ( )2

As t t, – t 3t 10= + + e ( ) ( )Bs t t, 2t 9 ,= + respectivamente.

Sabendo que os robôs começam a se mover em t 0,= a) DETERMINE o instante t em que o robô A se chocará com o robô B. b) Suponha que haja um terceiro robô C cuja posição é dada por ( ) ( )Cs t t, kt 11 ,= +

em que k é um número real positivo. DETERMINE o maior valor de k para que a trajetória do robô C intercepte a trajetória do robô A.


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4)(Pucrj 2013) O retângulo ABCD tem dois vértices na parábola de equação 2x 11y x 36 6

= − + e dois vértices no eixo x, como na figura abaixo.

Sabendo que D = (3,0), faça o que se pede. a) Determine as coordenadas do ponto A. b) Determine as coordenadas do ponto C. c) Calcule a área do retângulo ABCD. 5)(Ufsj 2012) O gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c é:

Com relação a f(x), é INCORRETO afirmar que a) seu discriminante ( )Δ é maior que zero. b) o vértice da parábola tem ordenada positiva. c) o coeficiente do termo quadrado (a) é positivo. d) as raízes da função quadrática são 0 e 3/2.


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6)(Ufpa 2012) Um estudante, ao construir uma pipa, deparou-se com o seguinte problema: possuía uma vareta de miriti com 80 centímetros de comprimento que deveria ser dividida em três varetas menores, duas necessariamente com o mesmo comprimento x, que será a largura da pipa, e outra de comprimento y, que determinará a altura da pipa. A pipa deverá ter formato pentagonal, como na figura a

seguir, de modo que a altura da região retangular seja 1 y4

, enquanto a da triangular

seja 3 y4

. Para garantir maior captação de vente, ele necessita que a área da superfície

da pipa seja a maior possível.

A pipa de maior área que pode ser construída, nessas condições, possui área igual a a) 350 cm2 b) 400 cm2 c) 450 cm2 d) 500 cm2 e) 550 cm2 7)(CFTMG 2012) Na função f : {0,1, 2,3} → Z,definida por f(x) = x2 + 2x – 5, a) o domínio de f(x) é Z. b) a imagem de x = –1 é igual a –2. c) o conjunto imagem de f(x) é {0, 1, 2, 3}. d) o conjunto imagem de f(x) é {–5, –2, 3, 10}.


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8)(Espm 2012) A figura em destaque representa o gráfico da função y = f(x).

Assinale a alternativa que melhor se aproxima do gráfico da função y = f(x – 1). a) b) c)

d) e)


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9)(Enem 2012) Existem no mercado chuveiros elétricos de diferentes potências, que representam consumos e custos diversos. A potência (P) de um chuveiro elétrico é dada pelo produto entre sua resistência elétrica (R) e o quadrado da corrente elétrica (i) que por ele circula. O consumo de energia elétrica (E), por sua vez, é diretamente proporcional à potência do aparelho. Considerando as características apresentadas, qual dos gráficos a seguir representa a relação entre a energia consumida (E) por um chuveiro elétrico e a corrente elétrica (i) que circula por ele?

a)

b)

c)

d)

e)


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10)(Insper 2012) A área da região sombreada na Figura 1, limitada pelo gráfico da função ( ) 2f x 9 x= − e pelos eixos coordenados, é igual a 18.

Assim, a área da região sombreada na Figura 2, limitada pelo gráfico da função ( ) 2g x x ,= pelo eixo x e pela reta de equação x 3,= é igual a

a) 4,5. b) 6. c) 9. d) 12. e) 13,5. 11)(Uftm 2012) As funções f(x) e g(x) são funções quadráticas reais, tais que: f(x) = x2 + 2x + 2 e g(x) = –x2 – 2x – 2. Considerando que os gráficos de f(x) e de g(x) são simétricos em relação ao eixo das abscissas, pode-se afirmar que a distância entre seus vértices é a) 1. b) 2. c) 2. d) 3. e) 2 3.


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12)(Ufrn 2012) Uma lanchonete vende, em média, 200 sanduíches por noite ao preço de R$ 3,00 cada um. O proprietário observa que, para cada R$ 0,10 que diminui no preço, a quantidade vendida aumenta em cerca de 20 sanduíches. Considerando o custo de R$1,50 para produzir cada sanduíche, o preço de venda que dará o maior lucro ao proprietário é a) R$ 2,50. b) R$ 2,00. c) R$ 2,75. d) R$ 2,25. 13)(Afa 2012) Considere f uma função quadrática de raízes reais e opostas. O gráfico de f intercepta o gráfico da função real g definida por ( )g x 2= − em exatamente um ponto. Se ( )f 3 4= e

D f( ) = D g( ) = R, então, é INCORRETO afirmar que

a) ( ) ( )f x g x 0,− > ∀x ∈R. b) o produto das raízes de f é um número ímpar. c) a função real h definida por ( ) ( ) ( )h x g x f x= − admite valor máximo. d) f é crescente

∀x ∈ 1,+∞⎡⎣ ⎡⎣.

14)(Uff 2012) Fixado um sistema de coordenadas retangulares no plano, sejam T o triângulo cujos vértices são os pontos ( ) ( ) ( )2,0 , 2,0 e 0,3− , e R o retângulo de vértices

( ) ( )x,0 , x,0 ,0 x 2− < < , e cujos outros dois vértices também estão sobre os lados de T . Determine o valor de x para o qual a área de R é máxima. Justifique sua resposta.


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15)(Ime 2012) Seja a, b e c números reais e distintos. Ao simplificar a função real, de

variável real, ( ) ( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

2 2 2x b x c x c x a x a x bf x a b c ,a b a c b c b a c a c b− − − − − −= + +− − − − − −

obtém-se f(x)

igual a: a) ( )2x a b c x abc− + + + b) 2x x abc+ − c) 2x d) 2–x e) 2x x abc− +


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Gabarito:

01) a

02)

a) C(t) = –30t2 + 600t + 50

b) t = 15h

03)

a) 1 5t2

+= .

b) O maior valor de k deverá ser 1.

04)

a) -1

b) 5

05) b

06) d

07) d

08) b

09) d

10) c

11) c

12) c

13) a

14) 1

15) c


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Resolução: Questão 01: Sendo V(xv, yv) o vértice de uma função polinomial do segundo grau dada por f(x) = ax2 + bx + c. Toda função polinomial do segundo grau pode ser escrita através de sua forma canônica f(x) = a ⋅ (x – xv)2 + yv. Portanto, f(x) = a ⋅ (x – 5)2 + 2. Como f(4) = 3, temos: a ⋅ (4 – 5)2 = 3 a = 3. Logo, f(x) = (x – 5)2 + 2. Portanto, o ponto (1, 18) pertence ao gráfico da função, pois (1 – 5)2 + 2 = 18. Questão 02: a) C(t) = 50 + 30.(20t – t2)

C(t) = –30t2 + 600t + 50 b) 2300 = –30t2 + 600t + 50 Dividindo por 30, temos:

30t2 – 600t + 2250 = 0

t2 – 20.t + 75 = 0 Resolvendo a equação, temos t = 15h (não convém) e t = 5h.


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Questão 03: a) SA(t) = SB(t)

2

2

t 3t 10 2t 9

t t 1 0

− + + = +

− − =

Resolvendo a equação, temos 1 5t2

+= .

b) SA(t) = SC(t)

SA(t) = SC(t)

( )

2

2

kt 11 t 3t 10

t k 3 t 1 0

+ = − + +

+ − ⋅ + =

Para que k seja máximo, o delta deverá ser zero, pois assim a reta será tangente à parábola.

(k – 3)2 – 4.1.1 = 0 k2 – 6k + 5 = 0, resolvendo a equação, temos: k = 1 ou k = 5 Se k = 1, temos t2 – 2t + 1 = 0, logo t = 1 (válido) Se k = 5, temos t2 + 2t + 1 = 0, logo t = –1 (inválido)

Portanto, o maior valor de k deverá ser 1.


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Questão 04:

a) Sabendo que D (3, 0),= vem A Dx x 3.= = Além disso, como A pertence à parábola,

temos A A

2

y f(x )

3 11 3 36 61.

=

= − ⋅ +

= −

b) Como ABCD é retângulo, concluímos facilmente que B Ay y 1.= = − Assim,

22C

C C C

C

x 11x 3 1 x 11x 24 06 6

x 8

− + = − ⇔ − + =

⇒ =

e, portanto, C (8, 0).=

c) A área do retângulo ABCD é dada por C D A(x x ) | f(x ) | (8 3) | 1| 5 u.a.− ⋅ = − ⋅ − =

Questão 05: [A] Verdadeira – A parábola intersecta o eixo x em dois pontos distintos. [B] Falsa – O vértice tem ordenada negativa. [C] Verdadeira – A parábola tem concavidade para cima. [D] Verdadeira – A parábola intersecta o eixo x nos pontos (0,0) e (3/2,0).


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Questão 06: Sabemos que 2x y 80 y 2 (x 40).+ = ⇔ = − ⋅ −

Podemos dividir a pipa em um retângulo de base x e altura y ,4

e um triângulo de

base x e altura 3y .4

Assim sendo, temos que a área da pipa, em cm2, é dada por:

2

y 1 3yA x x4 2 4

5 x y85 x (x 40)4

5500 (x 20) .4

= ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅ −

= − ⋅ −

Portanto, a pipa de área máxima que pode ser construída é obtida quando x 20cm,= e sua medida é 2500cm . Questão 07: f(0) = 02 + 2 ⋅ 0 – 5 = –5 f(1) = 12 + 21 – 5 = –2 f(2) = 22 + 2 ⋅ 2 – 5 = 3 f(3) = 32 + 2 ⋅ 3 – 5 = 10 Logo, o conjunto imagem de f(x) é {–5, –2, 3, 10}.


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Questão 08:

O gráfico da função sofrerá uma translação horizontal de uma unidade para a direita. Portanto, a alternativa [B] é a correta. Questão 09:

2 P r iP k E= ⋅= ⋅

2

2 r.ik E r i Ek

⋅ = ⋅ ⇒ = (como r e kA são constantes reais, temos uma função do segundo

grau na variável i). Portanto, o melhor gráfico para que representa a relação pedida é o da alternativa D . Questão 10:

Observando as figuras, concluímos que a área pedida será dada por: A = 3 ⋅ 9 – 18 = 9.


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Questão 11: Reescrevendo a lei de f sob a forma canônica, obtemos 2f(x) (x 1) 1.= + + Desse modo, o valor mínimo de f é 1 e, portanto, a distância pedida é 2 1 2.⋅ = Questão 12: Se x é o número de aumentos de R$ 0,10, então serão vendidos (200 20x)+ sanduíches ao preço de (3 0,1x)− reais. Desse modo, o lucro obtido pelo proprietário é dado por: L(x) (3 0,1x)(200 20x) 1,5(200 20x)

2(x 10)(x 15).= − + − += − + −

Então, o número de aumentos de R$ 0,10 que produz o maior lucro para o proprietário é:

10 15x 2,52

− += = e, portanto, o resultado pedido é 3 0,1 2,5 R$ 2,75.− ⋅ =

Questão 13: De acordo com a questão podemos desenhar o seguinte gráfico:

Portanto, a única afirmação incorreta é a alternativa [A]: ( ) ( )f x g x 0,− > x ,∀ ∈ ° pois, para x 0,= ( ) ( )f x g x 0.− =


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Questão 14:

Utilizando semelhança de triângulos podemos escrever que: 2x 3 h 3.xh 34 3 2

−= ⇔ = − +

Considere A, a área do retângulo R.

2

V

3.xA 2x. 32

A 3x 6x

b 6x 12.a 2.( 3)

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

= − +

= − = − =−

Portanto, x = 1. Questão 15: Sabendo que f(a) = a2, f(b) = b2,f(c) = c2 e f(x) = x2 e que f(x) é um polinômio do segundo grau, logo 2f(x) x= .

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