Lista de exercícios: Funções – Problemas Gerais – Prof ºFernandinho

Questões: 01.(Unesp) Apresentamos a seguir o gráfico do volume do álcool em função de sua massa, a uma temperatura fixa de 0°C. Baseado nos dados do gráfico, determine: a ) a lei da função apresentada no gráfico. b ) a massa (em gramas) de 30 3cm de álcool. 02.(Unesp) Ao ser inaugurada, uma represa possuía 8 mil 3m de água. A quantidade de água da represa vem diminuindo anualmente. O gráfico mostra que a quantidade de água na represa 8 anos após a inauguração é de 5 mil 3m . Se for mantida essa relação de linearidade entre o tempo e a quantidade de água em 3m , determine em quantos anos, após a inauguração, a represa terá 2 mil 3m . 03.(GV) Nos últimos anos, o salário-mínimo tem crescido mais rapidamente que o valor da cesta básica, contribuindo para o aumento do poder aquisitivo da população. O gráfico abaixo ilustra o crescimento do salário-mínimo e do valor da cesta básica na região Nordeste, a partir de 2005. Suponha que, a partir de 2005, as evoluções anuais dos valores do salário-mínimo e dos preços da cesta básica, na região Nordeste, possam ser aproximados mediante funções polinomiais do 1º grau, f(x) = a.x + b, em que x representa o número de anos transcorridos após 2005. a ) Determine as funções que expressam os crescimentos anuais dos valores do salário-mínimo e dos preços da cesta básica, na região Nordeste. b ) Em que ano, aproximadamente, um salário-mínimo poderá adquirir cerca de três cestas básicas, na região Nordeste? Dê a resposta aproximando o número de anos, após 2005, ao inteiro mais próximo.

04.(Unicamp) Em uma determinada região do planeta, a temperatura média anual subiu de 13,35ºC em 1995 para 13,8°C em 2010. Seguindo a tendência de aumento linear observada entre 1995 e 2010, qual deverá ser a temperatura média em 2012? 05.(Unicamp) O custo de uma corrida de táxi é constituído por um valor inicial 0Q , fixo, mais um valor que

varia proporcionalmente à distância D percorrida nessa corrida. Sabe-se que, em uma corrida na qual foram percorridos 3,6km, a quantia cobrada foi de R$8,25, e que em outra corrida, de 2,8km, a quantia cobrada foi de R$7,25. Com base nessas informações, calcule o valor inicial 0Q .

06.(GV) Os gráficos abaixo representam as funções receita mensal R(x) e custo mensal C(x) de um produto fabricado por uma empresa, em que x é a quantidade produzida e vendida. Qual o lucro obtido ao se produzir e vender 1350 unidades por mês? 07.(Mack) A figura mostra os gráficos das funções custo total C(x) e receita total R(x) de uma empresa produtora de CDs. Se, produzindo e comercializando 960 CDs, o custo e a receita são iguais, qual será o lucro pela venda de 2000 CDs? (GV) O texto abaixo se refere às questões 08, 09 e 10. Paulo é um fabricante de brinquedos que produz determinado tipo de carrinho. A figura abaixo mostra os gráficos das funções custo total e receita, considerando a produção e venda de x carrinhos fabricados na empresa de Paulo.

08. Existem custos tais como: aluguel, folha de pagamento dos empregados e outros, cuja soma denominamos custo fixo, que não dependem da quantidade produzida, enquanto a parcela do custo que depende da quantidade produzida, chamamos de custo variável. A função custo total é a soma do custo fixo com o custo variável. Na empresa de Paulo, qual é o custo fixo de produção de carrinhos? 09. A função lucro é definida como sendo a diferença entre a função receita total e a função custo total. Paulo vai obter um lucro de R$2700,00 na produção e comercialização de quantos carrinhos? 10. A diferença entre o preço pelo qual a empresa vende cada carrinho e o custo variável por unidade é chamada de margem de contribuição por unidade. Portanto, no que diz respeito aos carrinhos produzidos na fábrica de Paulo, qual é a margem de contribuição por unidade? 11.(Unesp) Numa fazenda, havia 20% de área de floresta. Para aumentar essa área, o dono da fazenda decidiu iniciar um processo de reflorestamento. No planejamento do reflorestamento, foi elaborado um gráfico fornecendo a previsão da porcentagem de área de floresta na fazenda a cada ano, num período de dez anos. Esse

gráfico foi modelado pela função c bx

200 ax f(x)

+

+= , que fornece a porcentagem de área de floresta na fazenda a

cada ano x, onde a, b e c são constantes reais. Com base no gráfico, determine as constantes a, b e c e reescreva a função f(x) com as constantes determinadas. 12.(Unesp) O desenvolvimento da gestação de uma determinada criança, que nasceu com 40 semanas, 50,6 cm de altura e com 3.446 gramas de massa, foi modelado, a partir da 20ª semana, aproximadamente, pelas funções matemáticas h(t) = 1,5t – 9,4 e 246 72t - 3,8t p(t) 2 += , onde t indica o tempo em semanas, t ≥ 20, h(t) a altura em centímetros e p(t) a massa em gramas. Admitindo o modelo matemático, determine quantos gramas tinha o feto quando sua altura era de 35,6 cm. 13.(GV) O gráfico de uma função quadrática f(x) tem as seguintes características: - O vértice é o ponto (4, - 1). - Intercepta o eixo das abscissas no ponto (5, 0). Qual é o ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas? 14.(Unesp) Qual é a expressão que define a função quadrática f(x), cujo gráfico está esboçado abaixo?

15.(Unicamp) Durante um torneio paraolímpico de arremesso de peso, um atleta teve seu arremesso filmado. Com base na gravação, descobriu-se a altura (y) do peso em função de sua distância horizontal (x), medida em relação ao ponto de lançamento. Alguns valores da distância e da altura são fornecidos na tabela abaixo. Seja y(x) = c bx ax 2 ++ , a função que descreve a trajetória (parabólica) do peso. a ) Determine os valores de a, b e c. b ) Calcule a distância total alcançada pelo peso nesse arremesso. 16.(Unicamp) Uma grande preocupação atual é a poluição, particularmente aquela emitida pelo crescente número de veículos automotores circulando no planeta. Ao funcionar, o motor de um carro queima combustível, gerando 2CO , além de outros gases e resíduos poluentes. a ) Considere um carro que, trafegando a uma determinada velocidade constante, emite 2,7 kg de 2CO a cada

litro de combustível que consome. Nesse caso, quantos quilogramas de 2CO ele emitiu em uma viagem de 378 km, sabendo que fez 13,5 km por litro de gasolina nesse percurso? b ) A quantidade de 2CO produzida por quilometro percorrido depende da velocidade do carro. Suponha que,

para o carro em questão, a função c(v) que fornece a quantidade de 2CO , em g/km, com relação à velocidade v, para velocidades entre 20 e 40 km/h, seja dada por uma função do segundo grau. Determine essa função com base nos dados da tabela abaixo. 17.(Unicamp) Um jogador de futebol chuta uma bola a 30m do gol adversário. A bola descreve uma trajetória parabólica, passa por cima da trave e cai a uma distancia de 40m de sua posição original. Se, ao cruzar a linha de gol, a bola estava a 3m do chão, qual foi a altura máxima por ela alcançada? 18.(Unesp) O gráfico representa uma função f que descreve, aproximadamente, o movimento (em função do tempo t em segundos) por um certo período, de um golfinho que salta e retorna à água, tendo o eixo das abscissas coincidente com a superfície da água. a ) Sabendo que a parte negativa do gráfico de f é constituída por segmentos de retas, determine a expressão matemática de f nos instantes anteriores à saída do golfinho da água. Em que instante o golfinho saiu da água?

b ) A parte positiva do gráfico de f é formada por parte de uma parábola, dada por 9 -6t t4

3 - f(t) 2 += .

Determine quantos segundos o golfinho ficou fora da água e a altura máxima, em metros, atingida no salto.

19.(GV) Quando o preço do ingresso para uma peça de teatro é p reais, o número de pessoas que comparecem, por apresentação, é x. Sabe-se que p relaciona-se com x mediante a equação p = 800 – 4x. Nessas condições, qual é a receita máxima que se pode obter, por apresentação? 20.(GV) Segundo um analista de mercado, nos últimos 7 anos, o preço médio dos imóveis por metro quadrado (em R$100) pode ser representado pela equação abaixo (em que t representa o tempo, em anos, variando de t = – 3 em 2004 a t = 3 em 2010):

Preço(t) = 50t6t3 2 ++− De acordo com o analista, houve uma crise no mercado imobiliário nesse período, em um ano em que o preço dos imóveis por metro quadrado atingiu o valor Maximo, decaindo no ano seguinte. Em que ano ocorreu a referida crise? 21.(Unesp) Um ônibus de 40 lugares transporta diariamente turistas de um determinado hotel para um passeio ecológico pela cidade. Se todos os lugares estão ocupados, o preço de cada passagem é de R$ 20,00. Caso contrário, para cada lugar vago será acrescida a importância de R$ 1,00 ao preço de cada passagem. Assim, o faturamento da empresa de ônibus, em cada viagem é dada pela função f(x) = (40 – x).(20 + x), onde x indica o número de lugares vagos (0 ≤ x ≤ 40). Determine: a ) quantos devem ser os lugares vagos no ônibus, em cada viagem, para que a empresa obtenha faturamento máximo. b ) o faturamento máximo obtido em cada viagem. 22.(Unicamp) Um restaurante a quilo vende 100 kg de comida por dia, a R$ 15,00 o quilograma. Uma pesquisa de opinião revelou que, a cada real de aumento no preço do quilo, o restaurante deixa de vender o equivalente a 5 kg de comida. Responda às perguntas abaixo, supondo corretas as informações da pesquisa e definindo a receita do restaurante como o valor total pago pelos clientes. a ) Em que caso a receita do restaurante será maior: se o preço subir para R$ 18,00 / kg ou para R$ 20,00 / kg? b ) Formule matematicamente a função f(x), que fornece a receita do restaurante como função da quantia x, em reais, a ser acrescida ao valor atualmente cobrado pelo quilo da refeição. c ) Qual deve ser o preço do quilo da comida para que o restaurante tenha a maior receita possível? 23.(GV) Uma loja de departamentos compra cartuchos para uma determinada impressora jato de tinta a R$28,00 a unidade e prevê que, se cada cartucho for vendido a x reais, serão vendidos 200 – 2x cartuchos por mês. a ) Encontre uma fórmula que fornece o lucro mensal em função do preço de venda x de cada cartucho. b ) Estabeleça matematicamente o intervalo dos valores de x para os quais existe efetivamente lucro. c ) Para que o lucro seja máximo, qual deve ser o preço de venda x de cada cartucho? d ) Qual será o lucro máximo e quantos cartuchos serão vendidos mensalmente ao preço que maximiza esse lucro? 24.(GV) A Editora Progresso decidiu promover o lançamento do livro “Descobrindo o Pantanal” em uma Feira Internacional de Livros, em 2012. Uma pesquisa feita pelo departamento de Marketing estimou a quantidade de livros adquirida pelos consumidores em função do preço de cada exemplar. Considere que os dados da tabela possam ser expressos mediante uma função polinomial do 1º grau y = a.x + b, em que x representa a quantidade de livros vendida e y, o preço de cada exemplar. a ) Que preço de venda de cada livro maximizaria a receita da editora?

b ) O custo unitário de produção de cada livro é de R$8,00. Visando maximizar o lucro da editora, o gerente de vendas estabeleceu em R$75,00 o preço de cada livro. Foi correta a sua decisão? Por quê? Resolução

25.(GV) A editora fez também um estudo sobre o lançamento do livro em duas versões: capa dura e capa de papelão. A pesquisa mostrou que, se a versão capa dura for vendida por x reais e a versão capa de papelão por y reais, serão vendidos, no total, )yx(y70x130 22 +−+ exemplares das duas versões. Por uma questão de estratégia, o gerente de vendas decidiu que a versão capa dura deve custar o dobro da versão capa de papelão. a ) Qual deve ser o preço de venda de cada versão, de modo que a quantidade de livros vendida seja a maior possível? b ) Nas condições do item a, quantos exemplares a editora estima vender no total? 26.(Fuvest) Sejam f(x) = 2x – 9 e 3 5x x g(x) 2 ++= . Qual é o valor da soma dos valores absolutos das raízes da equação f(g(x)) = g(x)? 27.(GV) Sejam f e g duas funções de ℜ em ℜ , tais que f(x) = 2x e g(x) = 2 – x. Qual é o valor de x na seguinte equação: f(g(x)) + g(f(x)) = f(f(x)) + g(g(x)). 28.(Mack) As funções f(x) = 3 – 4x e g(x) = 3x + m, onde m é uma constante, são tais que f(g(x)) = g(f(x)), qualquer que seja x real. Nessas condições, qual é o valor da constante m? 29.(Anglo) Sendo f(x) = 1 x -2x 2 + e g(x) = x – 2 funções de ℜ em ℜ calcule: a ) o valor de g(3)gfgf oooo . b ) os valores reais de x para que se tenha f(g(x)) ≤ 2g(x). 30.(Espm) Considere as funções f(x) = xlog 2 e g(x) = 2x - x 2 , definidas para todo x real estritamente positivo. Se a > 0 e f(g(2a)) = 3, quanto vale f(a)? 31.(Mack) Sejam as funções f e g de ℜ em , definidas por f(x) = 10x4x 2 +− e g(x) = – 5x + 20. Qual é o valor

da expressão y = ))0(f(g)0(f

))4(f(g))4(f( 2

−

− ?

32.(Mack) Se f(x) = 2xa − , g(x) = xb − , e f(g(2)) = 2, calcule o valor de f(g(0)). 33.(Anglo) Para um número real fixo α , a função f(x) = α.x - 2 é tal que f(f(1))= -3. Qual é o valor de α?

34.(Unesp) Determine a função inversa de f(x) = x

1x −.

35.(Espm) Seja f(x) = 1x

1

+ uma função real definida para x > 0 e seja )x(f 1− a sua função inversa. Qual é a

solução da equação f(x) = )x(f 1− ? 36. (Anglo) Considere a função f(x) = 3 4x - x 2 + , de domínio A = ] ] 2 , - ∞ e contra domínio B = [ [ , 1 - ∞+ . a ) Esboce o gráfico de f(x). b ) Obtenha a função (x)f 1 - . 37.(Anglo) Sendo A = [ [ , 1 ∞+ , determine o conjunto B, dado que f: B A → , f(x) = 10 2x - x 2 + é uma função

bijetora e, nessas condições, obtenha também a função (x)f 1 - .

38.(Anglo) Seja B A :f → com [ ]8 , 5 A = e f (x) = 21 10x -x 2 + . Sabe-se ainda que f(x) é bijetora. Obtenha: a ) o conjunto imagem de f(x). b ) a função inversa (x)f 1 - . 39.(Anglo) Seja f: B A → com A = { }6 x 4 / x ≤<ℜ∈ e f(x) = 5 -4x - x 2 . Sabe-se ainda que a função f é bijetora. a ) Esboce o gráfico de f(x). b ) Obtenha o conjunto-imagem de f(x). c ) Obtenha a função (x)f 1 - inversa de f(x).

d ) Esboce o gráfico de (x)f 1 - . 40.(Fuvest) Considere a função quadrática f(x) = 2 2x x 2 ++ , definida para todo x real, tal que x ≥ – 1. Encontre para a função f(x) a sua função inversa (x)f -1 .

41.(GV) A curva de Gompertz é o gráfico de uma função expressa por tkC.A N = , em que A, C e K são

constantes. É usada para descrever fenômenos como a evolução do aprendizado e o crescimento do número de empregados de muitos tipos de organizações. Suponha que, com base em dados obtidos em empresas de mesmo porte, o Diretor de Recursos Humanos da Companhia Nacional de Motores (CNM), depois de um estudo

estatístico, tenha chegado à conclusão de que, após t anos, a empresa terá ( )t5,00,0110000. N(t) = funcionários

(com t ≥ 0). a ) Segundo esse estudo, qual é o número inicial de funcionários empregados pela CNM? b ) Qual será o número de funcionários que estarão empregados na CNM, após dois anos? c ) Depois de quanto tempo a CNM empregará 1000 funcionários? 42.(Unifesp) Sob determinadas condições, o antibiótico gentamicina, quando ingerido, é eliminado pelo organismo à razão de metade do volume acumulado a cada 2 horas. Daí, se k é o volume inicial da substância

no organismo, pode-se utilizar a função f(t) = 2

t

2

1 .k

para estimar a sua quantidade depois de um tempo t, em

horas. Neste caso, qual será o tempo mínimo necessário para que uma pessoa conserve 2 mg desse antibiótico no organismo, tendo ingerido inicialmente 128 mg numa única dose? 43.(Fuvest) Uma substância radioativa sofre desintegração ao longo do tempo, de acordo com a relação

k.t -c.a m(t) = em que a é um número real positivo, t é dado em anos, m(t) é a massa em gramas, m0 é a quantidade de massa inicial e, c e k são constantes positivas. Sabe-se que no prazo de 10 anos a quantidade inicial dessa substância foi reduzido a 20%. A que porcentagem de m0 ficará reduzida a massa da substância, em 20 anos? 44.(Unifesp) A figura 1 representa um cabo de aço preso nas extremidades de duas hastes de mesma altura h em relação a uma plataforma horizontal. A representação dessa situação num sistema de eixos ortogonais supõe a plataforma de fixação das hastes sobre o eixo das abscissas; as bases das hastes como dois pontos, A e B; e considera o ponto O, origem do sistema, como o ponto médio entre essas duas bases (figura 2). O

comportamento do cabo é descrito matematicamente pela função x

+=

2

1 2 f(x) x , com domínio [ ] B ,A .

a ) Nessas condições, qual a menor distância entre o cabo e a plataforma de apoio? b ) Considerando as hastes com 2,5 m de altura, qual deve ser a distância entre elas, se o comportamento do cabo seguir precisamente a função dada? 45.(Fuvest) a ) Esboce, num mesmo sistema de coordenadas, os gráficos de f(x) = x2 e g(x) = 2x. b ) Baseado nos gráficos da parte a, resolva a inequação: x2 ≤ 2x.

c ) Qual é o maior valor: 22 ou 22 ? Justifique. 46.(Unicamp) As populações de duas cidades, A e B, são dadas em milhares de habitantes pelas funções

68 t) (1log A(t) += e 4) (4t log B(t) 2 += , onde a variável t representa o tempo em anos. Qual é a população de

cada uma das cidades nos instantes t = 1 e t = 7? 47.(Unesp) Numa fábrica, o lucro originado pela produção de x peças é dado em milhares de reais pela função

k x) (100log L(x) 10 ++= , com k uma constante real.

a ) Sabendo que não havendo produção não há lucro, determine k. b ) Determine o número de peças que é necessário produzir para que o lucro seja igual a mil reais. 48.(Ibmec) Na figura abaixo, está representada, fora de escala, uma parte do gráfico da função xlog y 3= . A

partir do gráfico, calcule aproximadamente o valor de x na equação 15 9 x = .

49.(Unesp) Considere as funções xlog g(x) e 2

x f(x) 2== , para x > 0.

a ) Represente, num mesmo sistema de coordenadas, os gráficos das duas funções, colocando os pontos cujas abscissas são x = 1, x = 2, x = 4 e x = 8.

b ) Baseado na representação gráfica, dê o conjunto solução da inequação: xlog 2

x2< .

c ) Qual é o maior: ππ

2logou 2

? Justifique sua resposta.

50.(Unesp) O brilho de uma estrela percebido pelo olho humano, na Terra, é chamada de magnitude aparente da estrela. Já a magnitude absoluta da estrela é a magnitude aparente que a estrela teria se fosse observada a uma distância padrão de 10 parsecs (1 parsec é aproximadamente 133.10 km). As magnitudes aparente e absoluta de uma estrela são muito úteis para se determinar sua distância ao planeta Terra. Sendo m a magnitude aparente de uma estrela e M a magnitude absoluta de uma estrela, a relação entre M e m é dada aproximadamente pela seguinte fórmula: )(3.d5.log m M 0,48 -

3+= , onde d é a distância da estrela em parsecs. A estrela Rigel tem

aproximadamente magnitude aparente 0,2 e magnitude absoluta – 6,8. Determine a distância, em quilômetros, de Rigel ao planeta Terra. 51.(Unicamp) A escala de um aparelho de medir ruídos é definida como ( )Ilog 1210. R 10d +=β , em que βdR é a

medida do ruído, em decibéis, e I é a intensidade sonora, em 2W/m . O ruído dos motores de um avião a jato equivale a 160 decibéis, enquanto o tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade atinge 80 decibéis, que é o limite a partir do qual o ruído passa a ser nocivo ao ouvido humano. a ) Determine a intensidade sonora máxima que o ouvido humano suporta sem sofrer qualquer dano. b ) Calcule a razão r entre as intensidades sonoras do motor de um avião a jato e do tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade. 52.(Unesp) Considere as funções x)- (1log 5 - f(x) 2+= , definida para x < 1, e g(x) = 4 -4x - x 2 , definida para

todo x real. Resolva a equação g(x) =

8

7f .

53.(Unesp) O altímetro dos aviões é um instrumento que mede a pressão atmosférica e transforma esse resultado em altitude. Suponha que a altitude h acima do nível do mar, em quilômetros, detectada pelo altímetro

de um avião seja dada, em função da pressão atmosférica p, em atm, por h(t) = 20.log

p

1. Num determinado

instante, a pressão atmosférica medida pelo altímetro era 0,4 atm. Considerando a aproximação log 2 = 0,3, qual era a altitude h do avião nesse instante, em quilômetros? 54.(Fuvest) Tendo em vista as aproximações log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, qual é o maior número inteiro n, satisfazendo a inequação 418n 12 10 ≤ ? 55.(Unicamp) Uma bateria perde permanentemente sua capacidade ao longo dos anos. Essa perda varia de acordo com a temperatura de operação e armazenamento da bateria. A função que fornece o percentual de perda anual de capacidade de uma bateria, de acordo com a temperatura de armazenamento, t (em ºC), tem a forma P(t) = b.ta.10 , em que a e b são constantes reais positivas. A tabela abaixo fornece, para duas temperaturas específicas, o percentual de perda de uma determinada bateria de íons de Lítio. Com base na expressão de P(t) e nos dados da tabela, determine as constantes a e b para a bateria em questão. Se necessário, use log 2 = 0,30, log 3 = 0,48 e log 5 = 0,70. 56.(Unesp) Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma tendência natural a se desintegrar (emitindo partículas e se transformando em outro elemento). Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade original desse elemento diminui. Suponhamos que certa quantidade de um elemento radioativo com

inicialmente 0m gramas se decomponha segundo a equação matemática: 70

t -

0 .10m m(t) = , onde m(t) é a

quantidade de massa radioativa no tempo t (em anos). Usando a aproximação log 2 = 0,3, determine: a ) log 8. b ) quantos anos demorará para que esse elemento se decomponha até atingir um oitavo da massa inicial. 57.(Unesp) Um determinado lago foi tomado por uma vegetação. Em 1990, a área coberta pela planta era de

2m 160 , e a partir de então o aumento anual da área coberta pela vegetação foi de 60%. Determine:

a ) a área, em 2m , coberta pela vegetação n anos mais tarde. b ) usando log 16 = 1,2, quantos anos se passaram até que uma área de 2560 2m fosse coberta. 58.(Unicamp) Um capital de R$12.000,00 é aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizados anualmente. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, encontre: a ) o capital acumulado após 2 anos. b ) o número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital inicial. (Se necessário, use log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477)

59.(Unesp) A função t0,1. -12.3 1

8 9 p(t)

++= expressa, em função do tempo t (em anos), aproximadamente, a

população, em milhões de habitantes, de um pequeno país, a partir de 1950 (t = 0). Um esboço do gráfico dessa função, para 0 ≤ t ≤ 80, é dado na figura abaixo. a ) Determine aproximadamente quantos habitantes tinha o país em 1950. b ) De acordo com esse modelo matemático, calcule em que ano a população atingiu 12 milhões de habitantes. (Use as aproximações 1,4 5log e 0,6 2log 33 == ).

60.(Unesp) A temperatura média da Terra começou a ser medida por volta de 1870 e em 1880 já apareceu uma diferença: estava (0,01)°C (graus Celsius) acima daquela registrada em 1870 (10 anos antes). A função

(0,05).x(0,01).2 t(x) = , com t(x) em °C e x em anos, fornece uma estimativa para o aumento da temperatura média da Terra (em relação àquela registrada em 1870) no ano (1880 + x), x ≥ 0. Com base na função, determine em que ano a temperatura média da Terra terá aumentado 3°C. (Use as aproximações 1,6 3log 2 = e 2,3 5log 2 = )

61.(Unesp) A função f(x) = 10

x

4

5500.

, com x em anos, fornece aproximadamente o consumo anual de água no

mundo, em 3km , em algumas atividades econômicas, do ano 1900 (x = 0) ao ano 2000 (x = 100). Determine, utilizando essa função, em que ano o consumo de água quadruplicou em relação ao registrado em 1900. Use as aproximações log 2 = 0,3 e log 5 = 0,7. 62.(Unicamp) O sistema de ar condicionado de um ônibus quebrou durante uma viagem. A função que descreve a temperatura (em graus Celsius) no interior do ônibus em função de t, o tempo transcorrido, em horas, desde a quebra do ar condicionado, é T(t) = ext

t/4-ext0 T ).10T - (T + , onde 0T é a temperatura interna do ônibus enquanto

a refrigeração funcionava, e extT é a temperatura externa (que supomos constante durante toda a viagem).

Sabendo que 0T = 21ºC e extT = 30ºC, responda às questões abaixo.

a ) Calcule a temperatura no interior do ônibus transcorridas 4 horas desde a quebra do sistema de ar condicionado. b ) Calcule o tempo gasto, a partir do momento da quebra do ar condicionado, para que a temperatura subisse 4ºC. Se necessário, use log 2 = 0,30, log 3 = 0,48 e log 5 = 0,70. 63.(Unifesp) Pesquisa feita por biólogos de uma reserva florestal mostrou que a população de uma certa espécie de animal está diminuindo a cada ano. A partir do ano em que se iniciou a pesquisa, o número de exemplares desses animais é dado aproximadamente pela função f(t) = 0,05t -750.2 , com t em anos, t ≥ 0.

a ) Determine, com base na função, em quantos anos a população de animais estará reduzida à metade da população inicial. b ) Considerando 2,3 5log e 1,6 3log 22 == , e supondo que nada seja feito para conter o decrescimento da população, determine em quantos anos, de acordo com a função, haverá apenas 40 exemplares dessa espécie de animal na reserva florestal. 64.(Unicamp) Uma barra cilíndrica é aquecida a uma temperatura de 740ºC. Em seguida, é exposta a uma corrente de ar a 40ºC. Sabe-se que a temperatura no centro do cilindro varia de acordo com a função:

( ) ar12

t

ar0 T10.TT)t(T +−=−

, sendo t o tempo em minutos, 0T a temperatura inicial e arT a temperatura do ar.

Baseado nessa função, qual será o tempo requerido para que a temperatura no centro atinja 140ºC? Use para cálculos log 7 = 0,85. 65.(GV) Um capital A de R$10000,00 é aplicado a juros compostos, à taxa de 20% ao ano; simultaneamente, um outro capital B, de R$5000,00, também é aplicado a juros compostos, à taxa de 68% ao ano. Utilize a tabela abaixo para resolver. Depois de quanto tempo os montantes se igualam? 66.(GV) Meia-vida de uma grandeza que decresce exponencialmente é o tempo necessário para que o valor dessa grandeza se reduza à metade. Uma substância radioativa decresce exponencialmente de modo que sua

quantidade, daqui a t anos, é ( )t0,975A. Q = . Adotando os valores ln 2 = 0,693 e ln 0,975 = - 0,025, qual é o valor aproximado da meia-vida dessa substância? 67.(GV) O diretor de uma editora estima que, se x exemplares de um novo livro de Cálculo para o Ensino Superior forem entregues aos professores para análise, as vendas do livro no primeiro ano serão de aproximadamente ( )0,003x -24e - 151000. f(x) = exemplares. Quantos exemplares a editora deverá distribuir para análise, para vender cerca de 9000 exemplares no primeiro ano? Use a aproximação ln 2 = 0,69 para responder a questão. 68.(Unesp) Em 2010, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realizou o último censo populacional brasileiro, que mostrou que o país possuía cerca de 190 milhões de habitantes. Supondo que a taxa de crescimento populacional do nosso país não se altere para o próximo século, e que a população se estabilizará em torno de 280 milhões de habitantes, um modelo matemático capaz de aproximar o número de habitantes (P), em milhões, a cada ano (t), a partir de 1970, é dado por: [ ]1970) -0,019.(t -190.e - 280 P(t) = . Baseado

nesse modelo, e tomado a aproximação para o logaritmo natural 1,9 - 95

14ln =

, em que ano a população

brasileira será 90% da suposta população de estabilização?

Gabarito:

01. g 24 m ) b

.x4

5 y ) a

=

= 02. 16 anos 03.

2012 ano ) b

154 6x C(x)

300 42x S(x) ) a

+=

+=

04. 13,86°C

05. Q0 = R$3,75 06. 1750 07. 2600 08. R$ 2400,00

09. 850 carrinhos 10. R$ 6,00 11.

10 x

200 100x f(x)

10 c 1, b 100, a

+

+=

=== 12. 1.506 g

13. (0, 15) 14. 4x2x2)x(f 2 −+= 15.

metros 11 ) b

1,1 c

1 b 0,1, - a ) a

=

==

16.

1000 40v -

2

v c(v) ) b

kg 75,6 ) a2 +

=

17. 4 m 18. 3 h e 4 t ) b

2 t e 4 -2t y ) a

==

== 19. R$ 40000,00 20. 2008

21. 900,00 R$ ) b

10 x ) a = 22.

17,50 R$ ) c

5x) - x).(100 (15 f(x) ) b

18,00 R$ ) a

+= 23. ] [

cartuchos72e00,2592$R)d

00,64$R)c

100,28S)b

5600x256x2)x(L)a 2

=

−+−=

24. Não)b

00,65$R)a 25.

exemplares 5445)b00,33$RPapelão

00,66$RDura)a

=

=

26. Soma = 7 27. x = 3

2

28. m = - 5

6 29.

= 3 ,

2

5 S ) b

7 ) a 30. f(a) = 1 31. y =

4

13

32. 2 33. α = 1 34. x1

1)x(f 1-

−= 35.

2

15x

−=

36. (x)f 1 - = 2 - 1 x + 37. [ [

9 -x 1 (x)f

, 9 B1 - +=

∞+= 38.

[ ] x 4 5 (x)f ) b

5 , 4 - Im ) a1- ++=

= 39.

] ] x 9 2 (x)f ) c

7 , 5 - Im ) b1- ++=

=

40. (x)f 1 - = - 1 + 1 -x 41.

ano 1 ) c

10 ) b

100 ) a3,5 42. t = 12 horas 43. 4%

44. m 2 ) b

2 ) a 45.

[ ]22)c

2,1S)b = 46.

5000 e 3000 :B

6000 e 2000 :A 47.

peças 900 ) b

2 - k ) a =

48. x= 1,25 49. ] [

π2Log ) c

4 , 2 S ) b = 50. d = 1510.29,7 km 51.

8

24 -

10 r ) b

W/m10 I ) a

=

=

52. S = �2� 53. 8 km 54. n = 451 55. a = 1,6 e b = 0,02

56. anos 63 ) b

0,9 ) a 57.

( )anos 6 ) b

1,6160. A ) a n=

58. anos 10 ) b

13.996,80 R$ ) a 59.

1968 ) b

milhões 9,6 ) a

60. 2044 61. 1960 62. h 1,04 t ) b

C29,1 T ) a

=

°= 63.

anos 84 ) b

anos 20 ) a

64. 10,2 65. 2 anos 66. 27,7 anos 67. 460 68. 2070