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FisicaSperimentaleNucleareeSubnucleare
AA2019/2020,UniTS
MonteCarlo- VProf.MarinaCobal
UniversitàdiUdineeINFNTrieste
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Definizione
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Definizione
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Definizione
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Ilmetodo MonteCarlo
• Unatecnicanumericapercalcolareleprobabilitàelerelativequantitàusandosequenzedinumericasuali.
• Sequenzaoperazioni:1. Sigeneralasequenzar1,r2,...,rm uniformein[0,1].2. Siutilizzaquestasequenzaperprodurreun'altrasequenzax1,x2,
...,xn distribuitasecondoalcunipdff (x)acuisiamointeressati(xpuòessereunvettore).
3. Siutilizzanoivalorixperstimarealcuneproprietàdif (x),adesempiolafrazionedivalorixcona<x<bdà→CalcoloMC=integrazione(almenoformalmente)
• ValorigeneratidaMC="datisimulati"→utilizzatipertestareleprocedurestatistiche
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Esempio:stima delp
• Sesi è dei giocatori scadenti difreccette,esi vuole colpire la
regione blu adestra,si vedrà che ditutte lefreccette che
colpiscono il quadrato disegnato,quelleche colpiranno l’area blu
nella figura asnistra saranno proporzionali all’area blu.
# @ABCCBDDB EF ABGEHFB IJK
# @ABCCBDDB EF LKMNAMDH=MABM NBJJM ABGEHFB IJK
MABM LKMNAMDH
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Esempio:stima delp
# /01221331 45 0164751 89:# /01221331 45 ;:<=0<37 =
?@ p 0A0A
p =4# /01221331 45 0164751 89:# /01221331 45 ;:<=0<37
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Esempio:stima delp
(x, y)
• x=(random)y=(random)
• distanza =sqrt(x^2+y^2)• Seladistanza dall’origine è <=r->hits=hits+1.0
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Esempio:stima delp
(x, y)
• Con105 puntisiottengonoleprimeduecifredecimali.• Conunmiliardodipuntiprecisioneallaquartacifradecimale,(tempo~55secondi.)
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Storiadelmetodo MonteCarlo
(x, y)
• Dadoveprende il suo nome lasimulazione MonteCarlo?o Ilnome egli sviluppi delMonteCarlosi fanno risalire al1940,
nell’ambito delProgetto Manhattano Maanche primac’erano stati degli approcci almetodo
• Nella2ndametà del18esimosecolo,diversepersoneeffettuarono esperimenti incuigettavano casualmente unagodilungjhezza l su unpianoconlineparallele ecalcolavan laprobabilità che l’ago toccasse una delle line(agodiBuffon)o Ilproblma si poteva risolvere conlageometria integrale,evidenziando
dipendeza dapo Utilizzato comeMonteCarloperinferire il valore dip -
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• x=distanzacentroago– lineavicina• Funzionedidensitàdiprob.dix:
• Funzionedidensitàdiprob.diq: tra0ep/2
• xe q: variabilialeatorieindipendenti->densitàdiprob totale:
• L’agoattraversalalinease:
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Storiadelmetodo MonteCarlo
(x, y)fra0et/2
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Storiadelmetodo MonteCarlo
(x, y)• Integrandolaf(x,q)sihalaprob.p chel’agoattraversiunalinea• Se t>=l,
• Siricavaquindi: cioè
conn=#esperimentiem=#esperimenticonintersezione
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Storiadelmetodo MonteCarlo
(x, y)
• Nel1850 Wolf lanciò5000aghiconunrapportol/t=0,8 e trovò2532intersezioni,
• p =3,15955conerrore0,57%
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Storiadelmetodo MonteCarlo
(x, y)
• Goal:generarevaloriuniformementedistribuitiin{0,1}/o Lanciareunamoneta,peresempioperunnumerocon32
bit.(stancante).→‘generatoredinumerirandom’=algoritmosucomputerpergenerarer1,r2,...,rn.
• Esempio:multiplicative linearcongruential generator(MLCG)ni+1=(ani)mod m,doveni=interoa=moltiplicatorem=modulon0=seed (valoreiniziale)N.B.mod =modulo(resto),e.g.27mod 5=2.o Questaproceduraproduceunasequenzadinumeri:n0,n1,...
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Generatori dinumerirandom
(x, y)
• Sfortunatamente lasequenzaèperiodica!
Esempio:a=3,m=7,n0=1
• Siscelgonoa,mperottenereperiodilunghi(massimo=
m- 1);mdisolitoèvicinoalpiùgrandeinterochepuò
essereappresentatonelcomputer.
• Siutilizzapoisolounsottoinsiemediunsoloperiodo
dellasequenza
Lasequenzasiripete!
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Generatori dinumerirandom
(x, y)
• ri=ni/m sonocompresiin[0,1]masono«random»?• Siscelganoa,mcosìcheri passivaritestdicasualità:
o DistribuzioneUniformein[0,1]o Valoriindipendenti(nessunacorrelazionetralecoppie)
• Disponibiligeneratorimigliori,e.g.TRandom3,basatosultwister algorithm diMarsenne ,diperiodo=219937 – 1.
•F.James,Comp.Phys.Comm.60(1990)111;BrandtCh.4
• L’Ecuyer,Commun.ACM31(1988)742suggerisce:a=40692m=2147483399
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Ilmetodo della trasformazione
(x, y)
• Datir1,r2,...,rn uniformiin[0,1],sitrovinox1,x2,...,xnche seguono f (x)trovandounafunzioneadattax(r )
• Sirichiede:
• Si pone: F(x) = r esi risolve per x(r)
xr
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Esempio trasformazione
(x, y)
• pdfesponenziale:
• Sipone:esirisolveperx(r)
• ->
xr
r x(r)
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Metodo accettanza-reiezione
(x, y)
• Sichiudelapdfinuna«box»
(1)Sigeneraunnumerocasualex,uniformein[xmin,xmax],i.e.conr1uniformein[0,1].
(2)Sigeneraunsecondonumerocasualeindependente uuniformementedistribuitotra0efmax,i.e.u– r2fmax
(3)Seu<f (x),allorasiaccettax.Altrimentisirifiutax esiripete.
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Esempio accettanza-reiezione
(x, y)
• Seipuntisonosottolacurva,si usa x per l’istogramma
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Accettanza-reiezione:efficienza
(x, y)
• La frazionedei punti accettati èugualealla frazione dell’areadellaboxsottolacurva.
• Per distribuzionimoltopiccate,questafrazionepuòesserebassaequindil’algoritmopuòesserelento.
• Sipuo migliorarerinchiudendolapdff(x)inunacurveCh(x)chesiavvicinapiùallaf(x),doveh(x)èlapdfdallaqualesigeneranoivaloricasualieCè una costante.
Sigeneranopuntiuniformemente sopraCh(x).Seilpuntoèsottof(x),siaccettax.
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MonteCarlo:generatore dieventi
(x, y)
• Esempiosemplice:e+e- ->µ+µ-• Sigeneranocosq ef:
• Meno semplice: generatori di eventi per varie interazioni
e+e- ->µ+µ- ,adroni…pp ->adroni,DY,SUSY
• Esempi:Pythia,Herwig,Madgraph,MC@NLO...
• Output=eventi.Perciascunolistadiparticelle,momentietc..
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Unevento simulato
(x, y)
Pythia MCpp -> gluino-gluino
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MonteCarlo:simulazione rivelatore
(x, y)
• Prendecomeinputdalgeneratorelistaparticelleemomenti• Simulalarispostadelrivelatore
o Scattering multiplodiCoulomb(generaunangolodiscattering)o Decadimentidi particelle(generavitemedie),o Perdite di energia per ionizzazioneo Sciamiadronicieelettromagnetici,o Produzionedisegnali,rispostadell’electronica ...
• Output=datiraw simulati→inputalsoftwarediricostruzioneo Ricercaditracce,fit..
• Predicequelchesivedealivellodelrivelatoredataunacertaipotesialivellodelgeneratore.Siconfrontaconidati.
• Sistimal’‘efficienza’=#eventitrovati/#eventigenerati.
• Programmingpackage:GEANT