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PROBLEMARIO DE FISICA DEL MOVIMIENTO APLICADA

ELABORO: IF. RAMON FLORES RODRIGUEZ

DICIEMBRE DE 2007

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Introduccin

El presente problemario tiene como fin ayudar a los estudiantes de fsica a aplicar los

conceptos fsicos y facilitar la resolucin lgica de problemas del curso de Fsica del

Movimiento aplicada llevada en el primer semestre de Licenciatura en la UPIBI - IPN.

Se pretende que el contenido abarque todo el programa de estudio. La solucin de cada

problema es a detalle y se indica cada paso de resolucin del mismo.

El nmero de problemas incluido se considera el adecuado para cada tema y subtema, la

mayora de estos han sido resueltos previamente en clase, por lo que estos forman parte de

los apuntes de la materia. La bibliografa recomendada se menciona al final del problemario

La solucin final pedida para cada problema aparece subrayada, para ms prontalocalizacin.


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INDICE

UNIDAD I Fsica, magnitudes fsicas y mediciones

1.1 Presentacin del curso

1.1.1 Concepto de Fsica y sus dominios de aplicacin.1.2 Unidades fundamentales de medicin.

1.2.1 Sistemas de unidades

1.3 Unidades derivadas.

1.3.1 Conversin de unidades fsicas1.4 Notacin cientfica.

1.4.1 Operaciones con notacin cientfica (suma, resta, multiplicacin, divisin,

potenciacin, radicacin).1.5 Propagacin de errores

UNIDAD II Magnitudes escalares y vectoriales

2.1 Definicin de cantidades escalares y vectoriales.2.1.1 Representacin geomtrica y analtica de un vector.

2.1.2 Magnitudes fsicas escalares y vectoriales.

2.2 Algebra de vectores.2.2.1 Multiplicacin por un escalar

2.2.2 Suma y resta.

2.2.3 Producto punto.2.2.4 Producto cruz.

2.3 Aplicaciones

UNIDAD III Cinemtica

3.1 Cinemtica en una dimensin3.1.1 Movimiento rectilneo uniforme3.1.2 Movimiento rectilneo uniformemente acelerado

3.2 Cinemtica en dos dimensiones

3.2.1 Tiro parablico

UNIDAD IV Dinmica

4.1 Conceptos bsicos: masa, peso y fuerza4.1.1 Sistemas de referencia: inerciales y no inerciales

4.2 Leyes de Newton

4.2.1 Diagrama del cuerpo libre.

4.3 Fuerzas de la naturaleza4.3.1 Fuerza de rozamiento.

4.3.2 Coeficiente de friccin esttica y coeficiente de friccin cintica4.4 Aplicaciones.

4.4.1 Plano inclinado sin friccin y plano inclinado con friccin

4.4.2 Poleas4.4.3 Movimiento circular y fuerza centrpeta


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UNIDAD V Trabajo y energa

5.1 Concepto de trabajo.5.1.1 Trabajo realizado por una fuerza constante.

5.1.2 Trabajo realizado por una fuerza variable.

5.2 Concepto de Energa5.2.1 Definicin de la energa cintica.

5.2.2 Teorema del trabajo energa cintica, aplicaciones.

5.3 Definicin de potencia y aplicaciones

UNIDAD VI Momento e Impulso

6.1 Concepto de momento lineal e impulso

6.1.1 Centro de masa.6.2 Leyes de conservacin del momento y energa.

6.3 Colisiones

6.3.1 Colisiones elsticas e inelsticas6.4 Aplicaciones de la conservacin del momento.

UNIDAD VII mecnica de fluidos7.1 Concepto de fluido.

7.1.1 Presin y densidad.

7.2 Principio de Pascal y principio de Arqumedes.

7.2.1 Medicin de presin para un fluido esttico.7.2.2 Variacin de la presin atmosfrica con la altura.

7.3 Flujo de fluidos.

7.3.1 Ecuacin de continuidad.7.3.2 Ecuacin de Bernoulli.

7.4 Aplicaciones de la mecnica de fluidos.


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Unidad I FISICA, MAGNITUDES FISICAS Y MEDICIONES

1.1 Presentacin del curso

1.1.1 Concepto de fsica y sus dominios de aplicacinLa fsica es el estudio del universo material, es decir es el estudio de la materia, sus

interacciones y sus cambios.

1.2 Unidades fundamentales de medicinDebido a que existen muchas cantidades fsicas, resulta un problema internacionalorganizarlas adecuadamente, para esto se debe seleccionar el menor nmero posible de

cantidades fsicas que conduzcan a una descripcin completa de la fsica en los trminos

ms simples.

1.2.1 Sistemas de unidadesLa XIV Conferencia General de Pesos y medidas (1971), seleccion como unidades bsicas

las siete cantidades siguientes.Unidades bsicas del Sistema Internacional de Unidades SI

Cantidad Nombre SmboloLongitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo sCorriente elctrica ampere A

Temperatura termodinmica kelvin K

Cantidad de sustancia mol molIntensidad luminosa candela cd

1.3 Unidades derivadasLas unidades derivadas se expresan a partir de las unidades bsicas, y entre otras podemosmencionar a la velocidad, fuerza, aceleracin, resistencia elctrica, densidad, etc.

El organismo encargado de seleccionar las cantidades bsicas es la Oficina Internacional de

Pesos y Medidas establecida en 1875 en Pars Francia quin seleccion las Unidadesbsicas del Sistema Internacional de Unidades (SI).

Con frecuencia resulta que si se expresan ciertas cantidades fsicas, resultan ser nmeros

muy grandes o muy pequeos, la XIV Conferencia General de Pesos y Medidas

recomend los siguientes prefijos.


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1. [2a, 1-1]Calcule la densidad de un cubo slido que mide 5 cm de cada lado y tiene unamasa de 350 g.

Dividiendo la masa entre el volumen para obtener la densidad

= m = 350 g = 2.8 g/cm3

V (5 cm)

3

2. [2a, 1-5] Calcule la masa de un tomo de: a) helio, b) hierro, y c) plomo. D lasrespuestas en unidades de masa atmica y en gramos. Los pesos atmicos de los tomos

dados, son 4, 56 y 207, respectivamente.

a) mHe=peso atmico He =4 g/mol = 6.6x10-24

g/tomoNA 6.02x10

23tomos/mol

Como 1 uma = 1.6605402x10-27

kg, convirtiendo la masa a uma:

mHe=6.6x10-24

g (1 kg) (1 uma) = 4 uma1000 g 1.6605402x10

-27kg

b) mFe=peso atmico Fe =56 g/mol = 9.3x10-23

g/tomo

NA 6.02x1023

tomos/mol

Haciendo la conversin a unidades de masa atmica:

mFe=9.3x10-23

g (1 kg) (1 uma) =56 uma1000 g 1.6605402x10-27kg

c) mPb=peso atmico Pb =207 g/mol = 3.4x10-22

g/tomoNA 6.02x10

23tomos/mol

Haciendo la conversin a unidades de masa atmica:

mPb=9.3x10-23

g (1 kg) (1 uma) =207 uma1000 g 1.6605402x10

-27kg


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3. [2a, 1-6]Mediante un microscopio se observa una pequea partcula de hierro en formade cubo. La arista del cubo es de 5x10

-6 cm. Encuentre a) la masa del cubo y b) el

nmero de tomos de hierro en la partcula. El peso atmico del hierro es de 56 y su

densidad es de 7.86 g/cm3.

a) Como = (m/V), despejando la masa y convirtiendo el volumen de la partcula a m3

m = V =(7.86x106g/m3) 5x10-6cm 1 m 3= 9.83x10-16g100 cm

b) Se hace una proporcin, ya que un mol de Fe (56 g) contiene 6.02x1023

tomos

56 g = 6.02x1023

tomos

9.83x10-16

g N

N = (6.02x1023

tomos)(9.83x10-16

g) = 10.56x106tomos

56 g

4. [2a, 1-7]Calcule la razn entre las masas atmicas del plomo y del mercurio y comparecon la razn entre sus densidades.

Calculando las masas del Pb y del Hg

mPb=peso atmico Pb = 207 g/mol = 3.4x10-22

g/tomo

NA 6.02x1023

tomos/mol

mHg=peso atmico Hg = 200.59 g/mol = 3.3x10-22

g/tomoNA 6.02x10

23tomos/mol

Con lo obtenido se calcula la razn entre las masas del Pb y del Hg

mPb=3.4x10-22

g/tomo =1.03mHg 3.3x10-22g/tomo

Calculando la razn entre las densidades del Pb y del Hg

Pb=11.4 g/ml =.084Hg 13.6 g/ml

Esta discrepancia se debe a la diferencia en los espaciamientos atmicos y en losarreglos atmicos de sus estructuras cristalinas.

5. [2a, 1-8]Una placa circular plana de cobre tiene un radio de 0.243 m y una masa de 62

kg. Cul es el espesor de la placa?

Como = (m/V), despejando V e igualando con el volumen de una placa circularm/= (r2)(Espesor)Despejando el Espesor

E = m = 62 kg = 3.7x10-2

m

r2 (0.243 m)2(8.93x103kg/m3)


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1.3.1 Conversin de unidades fsicas

1.4 Notacin fsica

1.4.1 Operaciones con notacin cientfica (suma, resta, multiplicacin,

divisin, potenciacin, radicacin).

6. [2a, 1-9] Muestre que la expresin x = vt + (1/2)at2 es dimensionalmente correcta,donde x es una coordenada y tiene unidades de longitud, v es velocidad, a es aceleraciny t es tiempo.

Las dimensiones de los tres miembros de la igualdad son:

[x]= L[vt]= (L/T)T = L[(1/2)at2vt]= (L/T2)T2= LPor lo tanto la expresin es dimensionalmente correcta

7. [2a, 1-12]Demuestre que la ecuacin v2= vo2+ 2ax es correcta dimensionalmente,

donde v y vorepresentan velocidades, a es aceleracin y x es una distancia.

Las dimensiones de los tres miembros de la igualdad son:

[v2]= [vo2]= L2/T2

[2ax]= (L/T2)L = L2/T2

Por lo tanto la expresin es dimensionalmente correcta

8. [2a, 1-13]Cul de las siguientes ecuaciones es correcta dimensionalmente?a) v = vo+ax

b) y = (2 m)cos(kx), donde k = 2 m-1.

a) Las dimensiones de los tres miembros de la igualdad son:

[v]= [vo]= L/T[ax]= (L/T2)L = L2/T2

Por lo tanto la expresin es dimensionalmente incorrectab) Las dimensiones de los dos miembros de la igualdad son:

[y]= L[(2 m)cos(kx)]= (L)(1/L)(L) = L

Por lo tanto la expresin es dimensionalmente correcta


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9. [2a, 1-18]Convierta el volumen 8.50 in3a m3, recordando que 1 in = 2.54 cm y 1 cm =10

-2m.

Como 1 in3= (0.0254)

3m

3,

8.5 in(0.0254)m =139x10-6m1 in

10.[2a, 1-19] Un terreno rectangular tiene 100.0 ft por 150.0 ft. Determine el rea delterreno en m

2.

Como 1 ft = (0.3048) m

(100 ft)(150 ft)=15000 ft(0.3048) m =1.393x103m

1 ft

11.[2a, 1-22]Una seccin de Tierra tiene un rea de una milla cuadrada y contiene 640acres. Determine el nmero de metros cuadrados que hay en 1 acre.

Como 1 milla =(1609.344) m =640 acres

por lo tanto 1 acre =(1609.344) m =40.5x102m640

12.[2a, 1-23]Una pieza slida de plomo tiene una masa de 23.94 g y un volumen de 2.10cm

3. De estos datos, calcule la densidad del plomo en unidades SI (kg/m

3).

Como =m =23.94 g (1 kg) (100)cm =11.4x103kg/mV 2.10 cm (1000 g)(1 m)

13.[2a, 1-24] Un contenedor de helado, de un cuarto de galn, est hecho en forma decubo. Cul ser la longitud de un lado en cm? (Use la conversin 1 galn = 3.786

litros).

Como V =(1/4)(3.786 litros) = (1/4)(3.786 dm)_______________

Por lo tanto: 1 lado =(1/4)(3.786 dm) =0.98 dm =9.8 cm


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14.La masa del Sol es aproximadamente 1.99x1030

kg, y la masa de un tomo de

hidrgeno, del cual esta compuesto principalmente el sol, es 1.67x10-27

kg. Cuntostomos hay en el sol?

Nmero de tomos de H =masa del Sol =1.99x1030

kg =1.19x1057

tomosmasa del H 1.67x10-27

kg

15.[2a, 1-29]a) Encuentre un factor de conversin para convertir de mi/h a km/h. b) Hastahace poco, la ley federal asign por mandato que la rapidez en las carreteras debera ser

de 55 mi/h. Utilice el factor de conversin de la parte a) para encontrar la rapidez en

km/h. c) La mxima rapidez en las carreteras ha sido elevada a 65 mi/h en algunoslugares. Cunto aument, en km/h, respecto al lmite de 55 mi/h?

a) 1 mi =1.609 kmh h

b) 55mi (1.609 km) =88.5 km/hh 1 mi

c) 65mi (1.609 km) =104.6 km/hh 1 mi

Aument en: (104.6 km/h) (88.5 km/h) =16.1 km/h

16.Un galn de pintura (volumen = 3.78x10-3

m3) cubre un rea de 25.0 m

2. Cul es el

espesor de la pintura en la pared?

Espesor = Volumen = 3.78x10-3

m3= 15.1x10

-5m

Area 25.0 m2

17.[2a, 1-32]La base de una pirmide cubre un rea de 13 acres (1 acre = 43 560 ft2), ytiene una altura de 481 ft. Si el volumen de una pirmide esta dado por la expresinV=(1/3)Bh, donde B es el rea de la base y h es la altura, encuentre el volumen de esta

pirmide en metros cbicos.

Como 1ft3= (0.3048)

3m

3

V= (1/3)Bh = (1/3)(13)(43 560 ft2)( 481 ft) = 90793560 ft

3(0.3048)

3m

3= 2.6x10

6m

3

1 ft3


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18.Suponiendo que 70% de la superficie de la Tierra esta cubierta con agua a una

profundidad promedio de 1 milla, calcule la masa del agua sobre la Tierra enkilogramos.

El radio promedio de la Tierra es 6.37x10

6

m, y el rea superficial de una esfera es 4r2

Por lo tanto:

Volumen H2O = (70% sup. de la Tierra)(profundidad)

= (0.7)(4)(6.37x106m)(1609.344 m) = 5.74x1017m3= 5.74x1017m3

= 5.74x1020

lComo 1 litro de agua tiene una masa aproximada de 1 kg

m = 5.74x1020

kg

19.[2a, 1-36]El radio promedio de la Tierra es 6.37x106m, y el de la Luna es de 1.74x108cm. Con estos datos calcule: a) la razn entre el rea superficial de la Tierra y la de la

Luna, b) la razn entre el volumen de la Tierra y la de la Luna. Recuerde que el rea

superficial de una esfera es 4r2

y el volumen de una esfera es (4/3)r3

.a) Area de la Tierra = 4rT = rT = (6.37x106m)2= 13.4

Area de la Luna 4rL rL (1.74x106m)2

b) Volumen de la Tierra = (4/3)rT3= rT3= (6.37x106m)3= 49.06Volumen de la Luna (4/3)rL3 rL3 (1.74x106m)3

20.[2a, 1-37]Del hecho de que la densidad de la Tierra es 5.5 g/cm3y su radio promedio es6.37x10

6m, calcule la masa de la Tierra.

Convirtiendo la densidad de la Tierra a kg/m3

= 5.5 g (1 kg) (100)3cm3= 5500 kg/m3

cm3

1000g 1 m3

Como =mV

Despejando la masa y considerando a la Tierra como una esfera

m = V = (4/3)r3= (5500 kg/m3)(4/3)(6.37x106m)3= 5.95x1024kg

21.Un metro cbico (1.00 m3) de aluminio tiene una masa de 2.70x10

3kg, y 1.00 m

3de

hierro tiene una masa de 7.86x103 kg. Encuentre el radio de una esfera slida de

aluminio que se equilibre con una esfera slida de hierro de 2.00 cm de radio en una

balanza de brazos iguales.

Al= mAl/VAl (1)

Fe= mFe/VFe (2)Despejando las masas de (1) y (2) e igualndolas para que la balanza se equilibre:

AlVAl= FeVFeComo el volumen de una esfera es (4/3)r3

(2.70x103kg)(4/3)rAl

3= (7.86x10

3kg)(4/3)rFe

3

_______________ __________________rAl= (7.86)( rFe

3)/(2.7) = (7.86)( 0.02)3/(2.7) = 0.0286 m


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22.La velocidad de la luz en el vaco es de 186 000 millas/s, a) cuntos cm recorrer en 3nanosegundos, b) cuntos fermis recorrer en el mismo lapso de tiempo. Recuerde que 1

fm = 1x10-15

m, 1 ns = 1x10-9

s.

a) 186000 mi (1x10-9

s) (160934.4 cm) = 29.934 cm/ns

s 1 ns 1 mi

Distancia recorrida en 3 nanosegundos = 3(29.934 cm/ns) = 89.8 cm

b) 186000 mi (1x10-9

s) (1609.344 m) (1 fm) = 2.993x1014

fm

s 1 ns 1 mi 1x10-15

m

Distancia recorrida en 3 nanosegundos = 3(2.993x1014

fm) = 8.98x1014

fm

1.5 Propagacin de errores

Clculos de orden de magnitud

23.[2a, 1-40]Estime el nmero de veces que el corazn de un humano late en una vidapromedio de 70 aos.

En un minuto late aproximadamente 75 vecesEn una hora late aproximadamente (75)(60) = 4 500 veces

En un da late aproximadamente (4500)(24) = 108 000 veces

En un ao late aproximadamente (108000)(365.25) = 3.9x107veces

En 70 aos late aproximadamente (3.9x107veces)(70) = 2.7x10

9veces

24. Estime el nmero de familias que tienen piano en la ciudad de Mxico.14 millones de habitantes

14x106= nmero de familias

5

5% nivel alto = 1400005% con piano = 7000 familias

Cifras significativas

25.[2a, 1-50]Determine el nmero de cifras significativas en los siguientes nmeros: a) 23cm, b) 3.589 s, c) 4.67x103 m/s, d) 0.0032 m.

a) 2

b) 4c) 3

d) 2


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26.[2a, 1-51]Calcule: a) la circunferencia de un crculo de radio 3.5 cm y b) el rea de un

crculo de radio 4.65 cm.

a) P = 2r = (2)(3.14159265)(3.5 cm) = 22 cmdebido a que el radio tiene dos cifras significativas

b) A = r2= (3.14159265)(4.65 cm)2= 67.9 cm2

ya que el radio tiene tres cifras significativas

27.[2a, 1-52] Efecte las siguientes operaciones aritmticas: a) la suma de los nmeros756, 37.2, 0.83 y 2.5; b) el producto 3.2 x 3.563; c) el producto 5.6 x .

a) Cuando se suman o se restan varios nmeros, el nmero de decimales en el resultadodeber ser igual al nmero menor de lugares decimales de cualquiera de los trminos de

la suma o resta.

756+37.2+0.83+2.5 = 797

ya que el primer trmino tiene 0 decimales

b) Cuando se multiplican o dividen varias cantidades, el nmero de cifras significativas

en la respuesta final es el mismo nmero de cifras significativas de la que tiene menos

cifras significativas.

(3.2)(3.563) = 11ya que el primer trmino tiene 2 cifras significativas

c) (5.6)(3.14159265) = 18

ya que el primer trmino tiene 2 cifras significativas

28.[2a, 1-55]Cuntas cifras significativas habr en: a) 78.90.2, b) 3.788x109, c) 2.46x10-6y d) 0.0053?a) 3

b) 4

c) 3

d) 2


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Unidad II MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

2.1 Definicin de cantidades escalares y vectoriales2.1.1 Representacin geomtrica y analtica de un vector

Escalares:Son las cantidades que se pueden representar por medio de un nmero, un signo

y una unidad. Ejemplos: peso, trabajo, masa, volumen, densidad, etc., los escalares sesuman por los mtodos ordinarios.

Vectores:Las cantidades que exigen la especificacin de una magnitud y una direccin yun sentido. Ejemplo: fuerza, velocidad, aceleracin, desplazamiento

Grficamente un vector se representa por una flecha, cuya direccin es la del vector que

representa y cuya longitud corresponde a la magnitud, el sentido lo indica la punta de la

flecha.

1. [1a, 2-10]Un peatn se mueve 6 km hacia el este y 13 km hacia el norte. Determine lamagnitud y direccin del vector desplazamiento resultante usando el mtodo grfico

Se trazan a escala los vectores, y utilizando el mtodo del paralelogramo se trazan

paralelas a los vectores, la resultante se obtiene al unir el punto de inicio con el punto deinterseccin de las paralelas.

As el vector resultante es:R = 14.3 u

N

S

Ew

6 km

13 km R


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2. [2a, 2-12]El vector A mide 6 unidades de longitud y forma un ngulo de 45respecto al

eje x, El vector B mide 3 unidades de longitud y est dirigido a lo largo del eje xpositivo (= 0). Halle el vector resultante A + B utilizando a) el mtodo grfico y b) laley de los cosenos.

a) Se trazan a escala los vectores, y utilizando el mtodo del paralelogramo se trazanparalelas a los vectores, la resultante se obtiene al unir el punto de inicio con el punto de

interseccin de las paralelas.

As el vector resultante es:R = 8.4 u

b) Utilizando la ley de los cosenos c2= a

2+b

2 2abcos

_____________________R = 32+62 2(3)(6)cos135 = 8.4 u

y

x

45

3 u

6 uR

135


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3. [2a, 2-16]Un perro que anda en busca de un hueso camina 3.5 m hacia el sur, despus

8.2 m a un ngulo de 30al noreste, y finalmente 15 m al oeste. Encuentre el vectordesplazamiento resultante del perro utilizando la tcnica grfica

Se trazan a escala los vectores, y utilizando el mtodo del polgono se unen los

desplazamientos, la resultante se obtiene al unir el punto inicial del primer vector con elpunto final del ltimo vector.

As el vector resultante es:R = 7.9 km

N

S

Ew

3.5 km

15 km

R

8.2 km


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Mtodo analtico

Por componentes de un vectorEn general se descomponen los vectores en sus proyecciones en el plano horizontal (x) yvertical (y), y se efecta la suma algebraica por separado

4. [2a, 2-23]Un vector tiene una componente x de 25 unidades, y una componente y de40 unidades. Encuentre la magnitud y direccin de este vector.

La magnitud del vector es:

___________R = (-25)2+(40)2 = 47.2 u

La direccin del vector es:

1= arctan[40/(-25)] = 57.9

Como se encuentra en el segundo cuadrante

Por lo tanto:

2= 180-57.990=122

5. [2a, 2-26]Un vector desplazamiento que se encuentra en el plano xy tiene una magnitudde 50 m y est dirigido formando un ngulo de 120con el eje x positivo. Cules sonlas componentes rectangulares de este vector?

Datos: magnitud 50 m; = 120Componente en x: 50cos120= -25 mComponente en y: 50sen120= 43.3 m

6. [2a, 2-27]Encuentre la magnitud y direccin de la resultante de tres desplazamientoscuyas componentes respectivas son: (3,2) m, (-5,3) m y (6,1) m.

Datos: desplazamientos: (3,2) m, (-5,3) m y (6,1) m.Obteniendo la sumatoria de desplazamientos en x, y

Dx: 3-5+6 = 4 m

Dy: 2+3+1 = 6 mPor lo tanto la resultante es:________ _____

R =x2+y2= 42+62 = 7.21 m

El ngulo es:

= arctan[y/x] = arctan[6/4] = 56.3


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7. [2a, 2-35]Un aeroplano vuela de la ciudad A a la ciudad B 800 millas en una direccinhacia el este. En la siguiente parte del viaje, el aeroplano vuela 600 millas de la ciudad

B a la ciudad C en una direccin de 40 al noreste. Cul es el desplazamiento

resultante del aeroplano entre la ciudad A y la ciudad C?

Dx = 800+600(cos40) = 1259.627 miDy = 600(sen40) = 385.673 mi____________ ______________________

AC = (x)2+ (y)2 = (1259.627)2+ (385.673)2 = 1317 mi

= arctan(y/x) = arctan(385.673/1259.627) = 17

40

C

S

AOB E

N


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2.2 Algebra de vectores

2.2.1 Multiplicacin por un escalar

Multiplicacin de un vector por un escalarUn vector se puede multiplicar por un escalar, al multiplicar por k se obtiene un vector kveces ms grande y opuesto al primero.

2.2.2 Suma y resta

Suma y resta de vectoresLos vectores se pueden sumar por mtodos geomtricos.

Mtodo del paralelogramo

Se trazan paralelas a ambos vectores, el vector resultante ser aquel una el punto de iniciode ambos con el punto donde se cruzan las dos paralelas.

Mtodo del polgonoConsiste en dibujar a escala y a partir de un punto cualquiera cada uno de los vectores

dados, de forma que el origen de uno de ellos coincida con el extremo del anterior y assucesivamente, el orden en que se toman los vectores es arbitrario. La longitud del

segmento que une el punto de partida del primero con el extremo del ltimo es el vector

resultante.

Sustraccin de vectoresPara restar el vector B del vector A, basta con sumar el opuesto de B, es decir A-B = A+(-B).

8. [2a, 2-28]Un vector Atiene componentes x,y de 8.7 cm y 15 cm, respectivamente, elvector Btiene componentes x,y de 13.2 cm y 6.6 cm, respectivamente. Si A-B+3C=0,

cules son las componentes de C?

Para que A-B+3C=0, se debe cumplir que x=0 y y=0Por lo tanto:

x= -8.7 13.2 + 3Cx= 0Despejando a CxCx= 8.7+13.2 = 7.3 cm

3

y= 15 -(-6.6) + 3Cy= 0Despejando a CyCy= -15-6.6 = -7.2 cm


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3

9. [2a, 2-29]Dos vectores estn dados por A=3i-2jy B=-i-4j. Calcule: a) A+B, b) A-B, c)A+B, d) A-B, e) la direccin de A+By A-B.

a) A+B = (3i-2j)+(-i-4j) = (3i-i)+(-2j-4j) = 2i-6jb) A-B = (3i-2j)-(-i-4j) = (3i+i)+(-2j+4j) = 4i+2j

_________c) A+B= (3i-2j)+(-i-4j)= (3i-i)+(-2j-4j)= (2)2+(-6)2= 6.32

________d) A-B= (3i-2j)-(-i-4j)= (3i+i)+(-2j+4j)= (4)2+(2)2= 4.47e) la direccin de A+Bse encuentra en el cuarto cuadrante:

1= 360- arctan(6/2) = 288.4la direccin de A-Bse encuentra en el primer cuadrante:

2= arctan(2/4) = 26.6

2.2.3 Producto punto

2.2.4 Producto cruz

10.[2a, 7-20]Halle el ngulo entre los vectores A= -5i-3j+2ky B= -2j-2k.

Efectuando el producto punto mediante componentes

AB= (-5)(0)+(-3)(-2)+(2)(-2) = 0+6-4 = 2

Adems se sabe que

AB= ABcos (1)Obteniendo A______________

A= (-5)2+(-3)2+(2)2= 6.164

Obteniendo B__________

B= (-2)2+(-2)2= 2.828

Despejando a de la ec. (1) y substituyendo Ay B= arccos AB =arccos 2 = 83.4AB (6.164)(2.828)


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11.[1a, 2-26]Un vector A con una magnitud de 10 unidades y otro vector Bde 6 unidadesde magnitud, apuntan en direcciones que difieren en 60. Encontrar a) el productoescalar de ambos vectores y b) el producto vectorial de dichos dos vectores.

a) Se sabe queAB= ABcos= (10)(6)cos60= 30.0

b) Se sabe que

AxB= ABsen= (10)(6)sen60= 52.0

12.[1a, 2-34] Tres vectores estn dados por a = 3i+3j-2k, b = -i-4j+2k, c = 2i+2j+k.

Encontrar a) a(bxc), b) a(b+c) y c) ax(b+c)

a) Se obtiene primero lo que est entre parntesis, es decir el vector bxc

i j kbxc= -1 -4 2 = i -4 2 + j 2 -1 + k -1 -4

2 2 1 2 1 1 2 2 2

= (-4-4)i+(4+1)j+ (-2+8)k= -8i+5j+6k

Finalmente se obtiene el escalar a(bxc)

a(bxc) = (3i+3j-2k)(-8i+5j+6k) = (3)(-8) + (3)(5) + (-2)(6) = -24 +15 12 = -21

b) Se obtiene primero lo que est entre parntesis, es decir el vector b+cb+c= (-i-4j+2k) + (2i+2j+k) = i-2j+3k

Finalmente se obtiene el escalar a(bxc)

a(bxc) = (3i+3j-2k)(i-2j+3k) = (3)(1) + (3)(-2) + (-2)(3) = 3-6-6 = -9

c) Como el vector b+cse obtuvo en el inciso b)

i j k

ax(b+c) = 3 3 -2 = i 3 -2 +j -2 3 + k 3 31 -2 3 -2 3 3 1 1 -2

= (9-4)i+(-2-9)j+ (-6-3)k= 5i-11j-9k


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13.[1a, 2-37]Dos vectores ay btienen componentes que en unidades arbitrarias son ax=3.2, ay= 1.6; bx= 0.5, by= 4.5. a) Encontrar el ngulo entre a y b. b) Encontrar lascomponentes x,y de un vector cque sea perpendicular a ay que tenga 5.0 unidades de

magnitud.

a) Efectuando el producto punto mediante componentes

ab= (3.2)(0.5)+(1.6)(4.5) = 1.6+7.2 = 8.8Adems se sabe que

ab= abcos (1)Obteniendo a___________

a= (3.2)2+(1.6)2= 3.578

Obteniendo b___________

b= (0.5)2

+(4.5)2

= 4.528

Despejando a de la ec. (1) y substituyendo ay b

= arccos ab =arccos 8.8 = 57.1ab (3.578)(4.528)

b) Como el ngulo entre el vector ay el vector ces 90ac= accos90= 0Efectuando el producto punto mediante componentes

ac= axcx+aycy= 0 (1)

De la definicin de magnitud de un vector

cx2+cy2= (5.0)2 (2)Por lo que tenemos un sistema de ecuaciones 2x2 el cual puede ser resuelto por

sustitucin

Despejando cyde 1cy = -axcx= 2cx (3)

aySustituyendo cyen 2 se forma la siguiente ecuacin cuadrtica:5cx

2-25 = 0

Resolviendo la ecuacin cuadrtica

cx= 2.2 uSustituyendo el valor de cxen 3 para encontrar cy

cy= 4.5 u


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2.3 Aplicaciones

14.[2b, 7-19]Se tiene el vector a= (3.00i+4.00j) N, y se sabe que ab=100.0 J, el nguloentre ay bes de 32determine el vector b.

Obteniendo a________

a= (3)2+(4)2= 5.0Como el ngulo entre el vector ay el vector bes 32ab= abcos32= 100Despejando bb= 100 = 100 =23.58acos32 5cos32

Efectuando el producto punto mediante componentesab= axbx+ayby= 100 (1)

De la definicin de magnitud de un vectorbx

2+by

2= (23.58)

2 (2)

Por lo que tenemos un sistema de ecuaciones 2x2 el cual puede ser resuelto por

sustitucinDespejando bxde 1

bx = 100-ayby=100-4by (3)

ax 3

Sustituyendo bxen 2 se forma la siguiente ecuacin cuadrtica:2.78by

2-88.89by+554.93 = 0

Resolviendo la ecuacin cuadrtica y sustituyendo el valor de byen 3 para encontrar bx,

por lo que se encuentran dos vectores que satisfacen las condiciones

b1= 2i+23.5jb2= 22i+8.5j


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Unidad III CINEMATICA3.1 Cinemtica en una dimensin

3.1.1 Movimiento rectilneo uniforme

3.1.2 Movimiento uniformemente acelerado

1. [2a, 3-6]La posicin de una partcula a lo largo del eje x est dada por x=3t 3-7t, dondex est en metros y t en segundos. Cul es la velocidad media de la partcula durante el

intervalo desde t=2.0 s a t=5.0 s?

Evaluando la posicin en t=3, t=5, y sustituyendo los valores en la frmula se obtiene la

velocidad media

x(2)=3(2)-7(2)=10 m

x(5)=3(5)-7(5)=340 m

vm=x =xf-xi =(340 m)-(10 m) = 110 m/st tf-ti (5 s)-(2 s)

2. [2a, 3-8]Con base en la figura, determine: a) la velocidad media entre t = 2.0 s y t = 5.0s y b) la velocidad instantnea en t = 3.0 s

a) De la figura

vmed= xf-xi= 1.1-3 = -0.6 m/stf-ti 5-2

b) Como v = dx/dt. En la figura se traza una recta aproximadamente tangente a lacurva en el punto (3,1.5) y se obtiene su pendiente.

v = 0.5-1.5 = -0.7 m/s

4.5-3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

t(s)

x(m)

Figura 1


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3. [2a, 3-17] Una partcula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuacinx=2t+3t, donde x est en m y t en s. calcule la velocidad y la aceleracin instantneasen t=3 s.

La posicin de la partcula esta dada por x=2t+3t

Derivando la posicin con respecto al tiempo, y evaluando en t=3 sv =dx =(2+6t) m/s

dt

v(3)=2+6(3)=20 m/s

Como la aceleracin es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo

a =dv =6 m/sdt

Por lo que la aceleracin es la misma para todo tiempo

4. [2a, 3-21] Una partcula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuacinx=2+3t-t, donde x est en m y t en s. En t=3 s, halle: a) la posicin de la partcula, b)

su velocidad y c) su aceleracin.a) Evaluando la posicin en t=3 s

x(3)=2+3(3)-(3)=2 m

b) Derivando la posicin con respecto al tiempo, y evaluando en t=3 s

v =dx =(3-2t) m/sdt

v(3)=3-2(3)= -3 m/sc) Como la aceleracin es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo

a =dv =-2 m/sdt

Por lo que la aceleracin es la misma para todo tiempo

5. [2a, 3-25]Un cuerpo que se mueve con aceleracin uniforme tiene una velocidad de 12cm/s cuando su coordenada x es de 3 cm. Si su coordenada x dos segundos ms tarde es

5 cm, cul es la magnitud de su aceleracin?Datos: vo=12 cm/s; xi=3 cm; xf= -5 cm

De la ecuacin y=vot+(1/2)at, la distancia recorrida es 8 m, sustituyendo valores

-8=(12cm/s)(2s)+(1/2)a(2s)Despejando la aceleracin

a=(-8m-24m)2=-16 cm/s4

La magnitud de la aceleracin es

|a|=16 cm/s


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6. [2a, 3-45]Se dio la noticia de que una mujer haba cado 144 ft desde el decimosptimopiso de un edificio, golpendose finalmente contra la caja metlica de un ventilador quese aplast 18 in. La mujer slo sufri pequeas lesiones. Despreciando la resistencia del

aire calcule: a) la rapidez de la cada de la mujer precisamente antes de chocar contra el

ventilador, b) su desaceleracin al estar en contacto con la caja y c) el tiempo que tarden aplastar la caja.

Datos: y1=144 ft; y2=18 in=1.5 ft; vo=0

a) La velocidad final de la mujer antes de chocar contra el ventilador se obtiene de la

ecuacin v=vo+2ay

_______ _____________________v=vo+2ay1 = 0+2(-32.185 ft/s)(-144 ft) = -96.277 ft/s

b) Despejando la aceleracin de v=vo+2ay, ahora la velocidad final es cero, y la

distancia recorrida es 1.5 ft.

a =v2-vo =0-(-96.277) =3089.754 ft/s

2y2 2(-1.5)c) De la ecuacin y=vot+(1/2)at, la distancia recorrida es 1.5 ft, sustituyendo valores

-1.5=(-96.277 ft/s)t+(1/2)(3089.754 ft/s)t


t=0.031 s

7. [2a, 3-47] Un estudiante lanza un juego de llaves verticalmente hacia arriba a sucompaera que se encuentra en una ventana 4 m arriba. Las llaves son atrapadas 1.5 s

ms tarde por la mano extendida de la compaera. a) A qu velocidad fueron lanzadas

las llaves? b) Cul era la velocidad de las llaves justo antes de ser atrapadas?

Datos: y=4 m; t=1.5 sa) Despejando la velocidad inicial de la ecuacin y=vot+(1/2)at

vo = y-(1/2)at = (4 m)-(1/2)(-9.81 m/s)(1.5) = 10.024 m/s

t 1.5 sb) Utilizando la ecuacin v=vo+at

v=vo+at = (10.024 m/s)+(-9.81 m/s)(1.5 s) = -4.69 m/s vienen bajando


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8. [2a, 3-49]Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde el piso con una rapidezinicial de 15 m/s. a) Cunto tarda la pelota en alcanzar su altura mxima? b) Cul es sualtura mxima? c) Determine la velocidad y aceleracin de la pelota en t=2 s.

Datos: vo=15 m/s;

a) Despejando el tiempo de la ecuacin v=vo+at, la velocidad final es igual a cero

t =v-vo =0-15 m/s =1.529 sa -9.81 m/s

b) Despejando la altura de la ecuacin v=vo+2ay, la velocidad final es igual a cero

y =v-vo =0-(15 m/s) =11.468 m2a 2(-9.81 m/s)

c) Empleando la ecuacin v=vo+at, y sustituyendo para t=2 s

v=(15 m/s)+(-9.81 m/s)(2 s)= -4.62 m/sDerivando la ecuacin v=vo+at con respecto al tiempo a=d(vo+at)/dt=a= -9.81 m/s

9. [2a, 3-51]Se lanza una pelota hacia arriba en lnea recta, desde el piso con una rapidezde 4.0 m/s. a) Cunto tiempo transcurre entre los dos momentos en que su velocidad

tiene una magnitud de 2.5 m/s? b) A qu distancia del piso se encuentra la pelota enesos instantes?

Datos: vo=4 m/s; v=2.5 m/s

a) Despejando el tiempo de la ecuacin v=vo+at, tomando 2.5 m/s para la velocidad de

subida

t1=v-vo =(2.5 m/s)-(4 m/s) =0.153 sa -9.81 m/s

Despejando el tiempo de la ecuacin v=vo+at, tomando -2.5 m/s para la velocidad debajada

t2=v-vo =(-2.5 m/s)-(4 m/s) =0.663 sa -9.81 m/s

Para encontrar el tiempo transcurrido se resta el tiempo de subida al tiempo de bajada

t2-t1=(0.663 s)-(0.153 s)=0.51 s

b) Despejando la altura de la ecuacin v=vo+2ay

y =v-vo =(2.5 m/s)-(4 m/s) = 0.497 m2a 2(-9.81 m/s)


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10.[2a, 3-58] Una partcula se mueve a lo largo del eje x con una aceleracin que esproporcional al tiempo de acuerdo con la expresin a=30t, donde a est en m/s.Inicialmente la partcula est en reposo en el origen. Encuentre: a) la velocidad

instantnea y b) la posicin instantnea en funcin del tiempo.

Datos: a=(30t) m/s

a) Como la aceleracin es a = dv/dt, para obtener la velocidad se plantea la integral y seresuelve

v=a dt=30t dtv=15t+c1Para encontrar c1se utilizan las condiciones iniciales para t=0; v=0

v(0)= 15(0)+c1=0

de la anterior c1=0, por lo que la velocidad instantnea esv=15t

b) Como la velocidad es v = dx/dt, para obtener la posicin se plantea la integral y se

resuelvex=v dt=15t dtx=5t+c2Para encontrar c2se utilizan las condiciones iniciales para t=0; x=0

x(0) =5(0)+c2=0

de la anterior c2=0, por lo que la posicin instantnea esx=5t

11.[2a, 3-60]La aceleracin de una canica en un cierto fluido es proporcional al cuadradode su velocidad, y est dada (en m/s) por a= -3v para v>0. Si la canica entra al fluido

con una rapidez de 1.50 m/s, cunto tiempo pasar antes de que la rapidez de la canicase reduzca a la mitad de su valor inicial?

Datos: a=(-3v) m/s; vo=1.50 m/s; v=0.75 m/sComo la aceleracin es a=dv/dt

-3v = dv

dt

0.75

-3dt= dv1.5

v

Resolviendo la integral

-3t =-23Por lo que el tiempo transcurrido es

t =2 =0.222 s9


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3.2 Cinemtica en dos dimensiones

12.[2a, 4-3]Encuentre la magnitud y direccin del vector velocidad media de un minuteroque tiene 5 cm de longitud cuando el tiempo cambia de 4:15 a 4:30

El desplazamiento de la punta del minutero desde las 4:15 hasta las 4:30 es.

_________r = rf- ri= (-5)

2+(-5)

2= 7.071 cm

Por lo tanto la magnitud del vector velocidad es

vm=r =7.071 cm =7.86x10-3cm/st 900 s

Si trasladamos este vector al origen, el ngulo que forma con el eje x positivo es

=180+arctan[(-5)/(-5)]= 225

13.[2a, 4-9] Una partcula localizada inicialmente en el origen tiene una aceleracin dea=3jm/s

2y una velocidad inicial de vo=5im/s. Halle a) el vector de posicin y de la

velocidad en cualquier tiempo t y b) las coordenadas y la rapidez de la partcula en t=2

s.

Datos: a=3jm/s2; vo=5im/s

a) Calculando la velocidad final de la partculav = vo+at = (5i+3tj)m/s

Obteniendo el vector de posicin

Como v = dr/dt

r = vdt = (5i+3tj)dt = (5ti+1.5t2j)mb) Calculando las coordenadas de la posicin para t =2 s

r(2) = (5)(2 )i+(1.5)(2)2j = (10 m, 6 m)

Obteniendo las coordenadas de la rapidez para t =2 s

v(2) = (5)i+(3)(2)j= (5 m, 6 m)Ahora obteniendo su magnitud

________v= (5)2+(6)2= 7.81 m/s


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3.2.1 Tiro parablico

14.[2a, 4-10] Se coloca un estudiante en el borde de un acantilado y lanza una piedrahorizontalmente sobre el borde con una rapidez de 18 m/s. El acantilado est a 50 m de

altura respecto a una playa plana horizontal, como se muestra en la figura. En cuntotiempo, despus de ser lanzada la piedra, golpear la playa bajo el acantilado? Con qu

rapidez y ngulo golpear la playa?

Datos: vox=18 m/s; voy=0; y=50 mPara el eje vertical se utiliza y=voyt+(1/2)at, la velocidad inicial en y es cero

15.[2a, 4-12] Un estudiante decide medir la velocidad de salida de las pelotillas de suescopeta BB; apunta su escopeta horizontalmente. El blanco est localizado sobre unapared vertical, a una distancia x de la escopeta. El disparo golpea el blanco a una

distancia vertical y abajo del can. a) Muestre que la posicin de la pelotilla cuandoviaja por el aire est dada por y= Ax, en donde A es una constante. b) Exprese la

constante A en trminos de la velocidad inicial y la aceleracin debida a la gravedad. c)

Si x=3.0 m; y=0.21 m, Cul es la rapidez de la BB?a) Como la velocidad en x es

vx=x/t (1)

La posicin en y esta dada pory=voyt+(1/2)at (2)

Despejando el tiempo de (1) y sustituyendo en (2), se obtiene

y=[a/(2 vx)]x (3)b) por lo que A= g/(2 vx)

c) Datos: x=3.0 m; y=0.21 m

Despejando vxde (3)

________ ______________________vx=(xa)/(2y) =3 (-9.81 m/s)/[(2)(-0.21)] =14.5 m/s

-50=(0)t+(1/2)(-9.81)tDespejando el tiempo

____________________________

t=(-50 m)(2)/(-9.81 m/s) =3.19 sDespejando la velocidad final en y de vy=vo+2ay

_______________________________vy=02+(2)(-9.81 m/s)(-50 m) = -31.32 m/s

Como la velocidad en x es vx=x/t

Despejando x se tiene

x= vxt=(18 m/s)((3.193 s)=57.474 mLa magnitud de la velocidad final es

_________ ____________________________

vf=vx+vy =(18 m/s)+(-31.32 m/s)= 36.13 m/s

El ngulo es

=arc tan(vy/vx)= arc tan[(-31.32 m/s)/(18 m/s)]= -60.11

h= 50 m

g

Vo = 1 8 m /s

x

y

Figura 2


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16.[2a, 4-14]Un baln de futbol que se patea a un ngulo de 50con la horizontal, recorreuna distancia horizontal de 20 m antes de chocar contra el suelo. Encuentre: a) larapidez inicial del baln, b) el tiempo que permanece en el aire y c) la altura mxima

que alcanza.

a) Las velocidades iniciales vx, vy son:

vx = vcos=x/t (1)voy = vsen (2)La altura final al recorrer los 20 m ser cero, por lo tanto:

0 = voyt + (1/2)at2 (3)

Despejando t, voyde 1 y 2 y sustituyendo en 3

0 = vsenx + (1/2)ax2vcos v2cos2

Despejando la velocidad inicial v

___________________ _________________________________

v = [(a)(x)]/[(2cos)(sen)]=[(-9.81 m/s2

)(-20 m)/[(2cos50)(sen50)] = 14.11 m/sb) el tiempo que permanece en el aire se obtiene haciendo y = 0

0 = voyt + (1/2)at2

Sustituyendo valores y formando la ecuacin cuadrtica

-4.905t2+10.81t = 0


t = 2.2 s

c) La altura mxima se obtiene haciendo la velocidad vfy igual a cerovfy

2= voy

2+2ay

0 = (vsen)2+2ayDespejando y

y = -(vsen)2= -[(14.11 m/s)(sen50)]2= 5.95 m2a (2)(-9.81 m/s

2)

17.[2a, 4-16]Un lanzador de bala lanza sta desde 2.3 m arriba del suelo y con un ngulode 60con la horizontal. La bala choca con la Tierra a una distancia de 20.5 m, a 0.60 mmenos del rcord estatal. a) Cules son las componentes de la velocidad cuando choca

con el suelo? b) Cul sera el alcance si la lanza a 45 desde una altura de 2.2 m?(Suponga que la rapidez inicial no cambia).

a) Las velocidades iniciales vx, vy son:

vx = vcos=x/t (1)voy = vsen (2)La altura final al recorrer los 20.5 m es 2.3 m, es decir por abajo del punto de

lanzamiento:

y = voyt + (1/2)at2 (3)

Despejando t, voyde 1 y 2 y sustituyendo en 3

y = vsenx + (1/2)ax2vcos v2cos2


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Despejando la velocidad inicial v

_______________________v = [(a)(x2)]/[(2cos2)(y-xtan)]_____________________________________

= [(-9.81)(20.5)2

]/[(2cos2

60)(-2.3-20.5tan60)]= 14.77 m/sPor lo tanto las componentes se obtienen sustituyendo el valor de v en 1 y 2

vx = vcos= (14.77 m/s)cos60= 7.38 m/svoy = vsen= (14.77 m/s)sen60= 12.79 m/sUtilizando la ecuacin vfy

2= voy

2+2ay para despejar la velocidad final en y

________ ___________________________vfy= voy

2+2ay = (12.79 m/s)2+2(-9.81 m/s2)(-2.3 m) = 14.45 m/s

b) La velocidad es la misma que la obtenida en a) pero cambia y la alturaDespejando t, voyde 1 y 2 y sustituyendo en 3

y = vsenx + (1/2)ax2vcos v2cos2

Simplificando

-2.2 =xtan+ (a/(2v2cos2)x2

Resolviendo la ecuacin cuadrticax = 24.25 m

18.[2a, 4-18]Muestre que el alcance horizontal de un proyectil con una rapidez inicial fijaser el mismo para cualesquiera dos ngulos complementarios, tales como 30y 60.Las velocidades iniciales vx, vy son:

vx = vcos=x/t (1)voy = vsen (2)La altura final al recorrer x m ser cero

0 = voyt + (1/2)at2 (3)

Despejando el tiempo de 1

t = x 0

vxDespejando el tiempo de la ecuacin cuadrtica 3

t = -2voy

aIgualando los dos despejes del tiempo

x = -2voy

vx a

Despejando el alcance mximo x

x = -2vxv0y= -2v2cossena a

Como

cos30sen30= cos60sen60Por lo tanto el alcance es el mismo


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19.[2a, 4-20]Se apunta un rifle horizontalmente a travs de su mira hacia el centro de unblanco grande que est a 200 m. La velocidad inicial de la bala es de 500 m/s. a) Endnde golpea la bala en el blanco? b) Para dar en el centro del blanco, el can debe

estar a un ngulo arriba de la lnea de puntera. Halle el ngulo de elevacin del can.

Datos: x = 200 m; vx= 500 m/s

a) La velocidad vx, es:vx = x/t (1)

Como la velocidad voy= 0

y = 0 (1/2)gt2 (2)

Despejando el tiempo de 1 y sustituyendo en 2y = (1/2)(9.81 m/s

2)[(200 m)/(500 m/s)]

2= 0.785 m

b) Empleando 2cossen= sen2en el alcance mximox = 2v

2cossen= v2sen2g g

Despejando a = arcsen(xg/vo2) = arcsen[(200 m)(9.81 m/s2)/(500 m/s)2= 0.222 2


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34

Unidad IV DINAMICA4.1 Conceptos bsicos: masa, peso y fuerza

Masa inercial y masa gravitacionalMasa es una cantidad escalar definida por la relacin m = F/a, donde F es la magnitud de lafuerza que acta en el cuerpo y a es el valor de la aceleracin que f produce en el.

La masa puede ser considerada como una medida del concepto de inercia, de manera que si

la masa de un objeto es pequea, tendr poca inercia. La masa de un cuerpo no cambia alser trasladado de un lugar a otro. En cambio su peso si varia, ya que g varia con la altitud y

con la latitud.

Hay dos formas de medir la masa de un cuerpo:

1. Proporcionndole al cuerpo un fuerza conocida F, se mide su aceleracin y se

determina m=F/a

2. Con una balanza de brazos iguales equilibrada, este proceso de medicin funcionanicamente en lugares donde los cuerpos tienen peso.

La masa que se presenta en la ecuacin F=ma, de los experimentos de dinmica se leconoce como masa inercial.

Hay otra situacin diferente en la que aparece la masa del cuerpo, aqu la inercia no juega

ningn papel, lo que interviene es la propiedad de los cuerpo materiales de ser atrados porotros objetos como la Tierra.

F = G mMt

Rt2

Donde m se le conoce como masa gravitacional

Newton lleg a la conclusin que la masa inercial de un cuerpo es equivalente a su masagravitacional, es decir.m = m

4.1.1 Sistemas de referencia: inerciales y no inerciales

1. [2a, 2-1]Las coordenadas cartesianas de dos puntos en el plano xy son: (2.0,-4.0) y (-3.0,3.0), donde las unidades son m. Determine: a) La distancia entre estos dos puntos y

b) sus coordenadas polares.

a) Obteniendo la distancia entre los dos puntos________________ ________________________

d = (x2-x1)2+ (y2-y1)

2= (-3.0 2.0)2+ (3.0 + 4.0)2 = 8.6 m

b) Obteniendo las coordenadas polares (r, ) para el primer punto


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_______ ________r = x2+ y2= 22+ (-4)2= 4.47 m= 360- arctan(y/x) = 360- arctan(-4/2) = 297

Obteniendo las coordenadas polares (r, ) para el segundo punto_______ ________r = x2+ y2= (-3)2+ 32= 4.24 m= 180+ arctan(y/x) = 180- arctan[3/(-3)] = 135

2. [2a, 2-5] Una esquina de un cuarto se elige como el origen de un sistema decoordenadas rectangular. Si una mosca est parada sobre una pared adyacente a un

punto que tiene coordenadas (2.0,1.0), donde las unidades estn en metros, cul es ladistancia de la mosca desde la esquina del cuarto?

Obteniendo la distancia entre los puntos (0,0) y (2.0,1.0)________________ ___________________

d = (x2-x1)2+ (y2-y1)

2= (2.0 - 0)2+ (1.0 - 0)2 = 2.24 m

3. [2a, 2-7]Un punto est localizado en un sistema de coordenadas polares mediante lascoordenadas r = 2.5 m y = 35. Determine las coordenadas xy de este punto,suponiendo que los dos sistemas de coordenadas tienen el mismo origen.

Obteniendo las coordenadas (x,y)

x = r(cos) = 2.5(cos35) = 2.05 m

y = r(sen) = 2.5(sen35) = 1.43 m

4.2 Leyes de Newton

Primera ley de NewtonLey de la inercia. Todo cuerpo conserva su estado de reposo o de movimiento rectilneo

uniforme mientras no lo afecte una fuerza externa

Segunda ley de Newton2a. Ley de Newton , tambin llamada Ley de la proporcionalidad entre fuerzas y

aceleraciones. Cuando se aplica una fuerza constante a un cuerpo, la aceleracin producidaes directamente proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa, es decir.

Fx=max, Fy=may, Fz=maz.

Dicho en otras palabras, la fuerza aplicada a un cuerpo es igual al producto de la masa, porla aceleracin producida.

Tercera ley de Newton


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3a. Ley de Newton, tambin llamada Ley de la accin y de la reaccin. A toda accin

corresponde una reaccin igual y de sentido contrario.

4.2.1 Diagrama de cuerpo libre

4. [2a, 5-26] Determine la tensin en cada una de las cuerdas para los sistemas que sedescriben en la figura siguiente. (Desprecie la masa de las cuerdas.)

a) Diagrama de cuerpo libre

Haciendo la sumatoria de fuerzas

Fx= -T1cos40+T2cos50= 0 (1)Fy= T1sen40+T2sen50-mg = 0 (2)Despejando T2de 1

T2= T1cos40 (3)cos50

Sustituyendo T2en 2 y despejando a T1(5)(9.81 m/s

2) a

T1 = sen 40+ cos40sen50 = 31.53 Ncos50

Sustituyendo el valor de T1en 3 para encontrar el valor de T2T2= (31.53 N)cos40= 37.57 N

40 50

T1T2

T3

T1T2

T3

60

5 kg10 kg

a) b)

40 50

T1 T2

x

y

T3

Figura 3


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cos50T3= mg = (5 kg)(9.81 m/s

2) = 49.05 N

b) Diagrama de cuerpo libre


Fx= -T1cos60+T2= 0 (1)Fy= T1sen60-mg = 0 (2)Despejando T1de 2

T1= mg = (10 kg)(9,81 m/s2 = 113.28 N

sen60 sen60Sustituyendo el valor de T1en 2 para encontrar T2T2= T1cos60= (113.28 N)cos60= 56.64 N

T3= mg = (10 kg)(9.81 m/s2

) = 98.1 N

60

T1

T2

x

y

T3


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5. [2a, 5-31]Una bolsa de cemento cuelga de tres alambres como se muestra en la figura.Dos de los alambres forman los ngulos 1y 2con la horizontal. Si el sistema est en

equilibrio, a) muestre queT1= Wcos(2) 4

sen(1+2)b) Dados W = 200 N, 1 = 10 y 2 = 25, encuentre las tensiones T1, T2y T3de losalambres.

Diagrama de cuerpo libre

a) Sumatoria de fuerzas

Fx= -T1cos1+T2cos2= 0 (1)Fy= T1sen1+T2sen2-W = 0 (2)Despejando T2de 1

T2= T1cos1 (3)cos2

Sustituyendo T2en 2 y despejando T1Wcos2 1 Wcos2 1

T1= sen1cos2+cos1sen2 = sen(1+2)

b) Sustituyendo valores en la ecuacin anterior para encontrar T1T1 = Wcos2 = 200cos25 = 316 N

sen(1+2) sen(10+25)Sustituyendo en 3 para encontrar T2T2= T1cos1= (316 N)cos10= 343 N

1 2

WCCEMENTO

1 2

T1T2

x

y

W

Figura 4


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cos2 cos25T3= W = 200 N

6. [2a, 5-39] Se conectan dos masas de 3 kg y 5 kg por medio de una cuerda que pasasobre una polea lisa, como se indica en la figura. Determine a) la tensin en la cuerda,

b) la aceleracin de cada masa y c) la distancia que recorre cada masa en el primersegundo de movimiento si parten del reposo.

Mquina de Atwood Diagrama de cuerpo libre

a) Haciendo la sumatoria de fuerzas que actan en cada masa

T-m1g = m1a (1)

T-m2g = -m2a (2)

Despejando la aceleracin de 1

a = T-m1g (3)

m1Sustituyendo en 2 y despejando T

T = 2m1m2g = 2(3 kg)(5 kg)(9.81 m/s2) = 36.8 N

m1+m2 3 kg+5 kg

b) Sustituyendo el valor de T en 3 para encontrar la aceleracin

a = (36.8 N)-(3 kg)(9.81 m/s2) = 2.45 m/s

2

3 kg

c) Como la velocidad inicial es cero

y = vot + (1/2)at2= (1/2)(2.45 m/s

2)(1 s)

2= 1.22 m

7. [2a, 5-1]Una fuerza, F, aplicada a un objeto de masa m1produce una aceleracin de 3m/s

2. La misma fuerza aplicada a un segundo objeto de masa m2produce una aceleracin

de 1 m/s2. a) Cul es el valor de la razn m1/m2? b) Si se sujetan m1 y m2, calcule su

aceleracin con la accin de la fuerza F.

Datos: a1= 3 m/s2; a2= 1 m/s

2

m1

m2

T

m1

m2

a

m1g

m2g

a

T

Figura 5


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a) Se tiene una fuerza F aplicada a dos masas m1y m2, por lo que:F = m1a1 (1)

F = m2a2 (2)

Igualando la ecuacin (1) con (2)m1a1= m2a2

m1= a2= 1 m/s2= 1/3

m2 a1 3 m/s2

b) si se sujetan m1y m2F = (m1+m2)a3 (3)

Del resultado del inciso a), se pone m1en funcin de m2, y sustituyendo en (3)

F = [(1/3)m2+m2]a3= (4/3)m2a3Igualando esta ltima ecuacin con (2)(4/3)m2a3= m2a2

Cancelando la masa m2y despejando a3a3= (3/4)a2 = (3/4)(1 m/s2) = 0.75 m/s

2

8. [2a, 5-2] Un objeto de 6 kg experimenta una aceleracin de 2 m/s2. a) Cul es lamagnitud de la fuerza resultante que acta sobre l? b) Si se aplica esta misma fuerza a un

objeto de 4 kg, qu aceleracin le producir?

Datos: m1= 6 kg; a1= 2 m/s2

a) De la segunda Ley de Newton

F = m1a1 = (6 kg)( 2 m/s2) = 12 N

b) F = m2a2

Despejando la aceleracin a2a2= F/m2= (12 N)/(4 kg) = 3 m/s2

9. [2a, 5-3] Una fuerza de 10 N acta sobre un cuerpo de masa 2 kg. Cul es a) laaceleracin del cuerpo, b) su peso en N y c) su aceleracin si se duplica la fuerza?

Datos: F1= 10 N; m = 2 kg

a) De la segunda Ley de Newton F1= ma1Despejando la aceleracin a1a1= F1/m = (10 N)/(2 kg) = 5 m/s

2

b) P = mg= (2 kg)( 9.81 m/s2) = 19.6 N

c) F2= ma2

Despejando la aceleracin a2a2= F2/m = (20 N)/(2 kg) = 10 m/s2

10.[2a, 5-7]Una masa de 3 kg adquiere una aceleracin de a= (2i+5j) m/s2. Calcule lafuerza resultante, F, y su magnitud.

Como F = ma = (3 kg)[(2i+5j) m/s2] = (6i+15j) N


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________F= 62+(15)2= 16.2 N

11.[2a, 5-9]Una persona pesa 120 lb. Determine a) su peso en N y b) su masa en kg.

Como 1 libra = 4.448 N

Por lo tanto

120 lb = 533.8 N

Despejando la masa de la segunda Ley de Newtonm = P/g = (534 N)/(9.81 m/s

2) = 54.4 kg

12.[2a, 5-11]Cul es la masa de un astronauta cuyo peso sobre la Luna es de 115 N? Laaceleracin debida a la gravedad sobre la Luna es de 1.63 m/s

2.

Como F = maDespejando la masa

m = F/a = (115 N)/(1.63 m/s

2

) = 70.6 kg

13.[2a, 5-12]Si un hombre pesa 900 N sobre la Tierra, cul sera su peso en Jpiter, endonde la aceleracin debida a la gravedad es de 25.9 m/s

2.

Como P1= mg

Despejando la masa

m = P1/g = (900 N)/(9.81 m/s2) = 91.74 kg

Utilizando la masa obtenida y la aceleracin de la gravedad en JpiterP2= ma = (91.74 kg)(25.9 m/s

2) = 2376.15 N

14.[1a, 5-4] Un viajero espacial cuya masa es de 75 kg abandona la Tierra. Calcular supeso a) en la Tierra, b) en Marte, en donde g = 3.8 m/s

2y c) en el espacio interplanetario

d) Cul es su masa en cada uno de estos sitios?

a) P1= mg = (75 kg)(9.81 m/s2) = 735.8 N

b) P2= mgm= (75 kg)(3.8 m/s2) = 285 N

c) P3= m(0) = (75 kg)(0) = 0 N

d) La masa es la misma para todos los sitios

15.[2a, 5-20]Un objeto de 9 kg experimenta una aceleracin de 2 m/s2hacia la derecha conla accin de dos fuerzas, F1y F2. F1acta hacia la derecha y tiene una magnitud de 25

N. Cules son la magnitud y la direccin de F2?

La fuerza neta resultante que acta sobre el objeto es


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FR= ma = (9 kg)(2 m/s2) = 18 N

Haciendo la sumatoria de fuerzas en x e igualndola con F para encontrar F2Fx= 25 N+F2= 18 NDespejando F2

F2= 18 N 25 N = -7 N

16.[2b, 5-16]De manera simultnea se aplican fuerzas de 10.0 N al norte, 20.0 N al este y15.0 N al sur sobre una masa de 4.00 kg. Obtenga su aceleracin.


Fx= 20 NFy= 10 N-15N = -5 N

Obteniendo la resultante____________ __________

FR= (Fx)2+(Fy)

2= (20)2+(-5)2 = 20.6 N

Por lo que la aceleracin es:

a = FR/m = (20.6 N)/(4 kg) = 5.15 m/s2

4.3 Fuerzas de la NaturalezaTodas las fuerzas en la naturaleza pueden clasificarse en cuatro tipos

1. Fuerzas gravitacionales, que relativamente son muy dbiles.2. Fuerzas electromagnticas, que tienen una intensidad intermedia.

3. Fuerzas nucleares que mantienen unidos a los neutrones y a los protones en el ncleo y

son las ms intensas de todas.

4. Fuerzas de interaccin dbil , que intervienen en el decaimiento de los ncleos y enlas interacciones de muchas partculas elementales.


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4.3.1 Fuerza de rozamiento

4.3.2 Coeficiente de friccin esttica, y coeficiente de friccin cintica

4.4 Aplicaciones

17.[2a, 5-48] Un bloque de 25 kg est inicialmente en reposo sobre una superficiehorizontal spera. Se requiere una fuerza horizontal de 75 N para hacer que el bloque seponga en movimiento. Una vez que se encuentra en movimiento, se requiere una fuerza

horizontal de 60 N para mantenerlo en movimiento con rapidez constante. Calcule los

coeficientes de rozamiento esttico y cintico a partir de esta informacin.Datos: m = 25 kg; vo= 0; F1= 75 N; F2= 60 N;

Diagrama de cuerpo libre

Sumatoria de fuerzas en x

Fx: -f+F1= 0 (1)Fy: -mg+N = 0 (2)Como f sN, la igualdad se establece cuando el bloque est a punto de deslizarseDespejando N de 2 y sustituyendo en 1

-smg+F1=0Despejando el coeficiente de friccin esttico

s = F1 = 75 N = 0.31mg (25 kg)(9.81 m/s

2)

Cuando ya se ha iniciado el movimiento la rapidez es constante por lo que a=0, las

ecuaciones 1 y 2 siguen siendo vlidas, pero con F2 y k, por lo tanto-kmg+F2=0k = F2 = 60 N = 0.24

mg (25 kg)(9.81 m/s2)

N

mg

f F


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18.[2a, 5-50]Un automvil de carreras se acelera uniformemente desde 0 hasta 80 mi/h en8 s. La fuerza externa que acelera el automvil es la fuerza de rozamiento entre los

neumticos y el piso. Si los neumticos no giran, determine el coeficiente mnimo de

rozamiento entre los neumticos y el piso.Convirtiendo mi/h a m/s

80mi (1609.344 m) (1 h) = 35.76 m/sh 1 mi 3600 s

Obteniendo la aceleracin

a = v = 35.76 m/s - 0 = 4.47 m/s2

t 8 sSumatoria de fuerzasf = ma (1)

Como f = N = mg, sustituyendo en 1mg = ma

Cancelando la masa y despejando = a = 4.47 m/s2= 0.46g 9.81 m/s

2

19.[2a, 5-52]Un automvil se est moviendo a 50 mi/h sobre una carretera horizontal. a) Siel coeficiente de rozamiento entre el piso y los neumticos en un da lluvioso es de 0.1,

cul es la distancia mnima en la que el automvil se detendr? b) Cul es la distancia

para detenerse cuando la superficie est seca y =0.6? c) Por qu debe evitarse oprimirde golpe los frenos s se desea detenerlo en la distancia ms corta?a) Convirtiendo mi/h a m/s

50 mi (1609.344 m) (1 h) = 22.35 m/s

h 1 mi 3600 sHaciendo la sumatoria de fuerzas

f = ma (1)

Como f = N = mg, sustituyendo en 1mg = -maCancelando la masa y obteniendo la aceleracin

a = -g = -(0.1)(9.81 m/s2) = -0.981 m/s2

Despejando la distancia de la ecuacin v2= vo

2+2ax

x = v2-vo

2= 0

2-(22.35 m/s)

2= 254.6 m

2a 2(-0.981 m/s2)

b) Ahora =0.6, obteniendo la aceleracina = -g = -(0.6)(9.81 m/s2) = -5.886 m/s2Despejando la distancia de la ecuacin v

2= vo

2+2ax

x = v2-vo

2= 0

2-(22.35 m/s)

2= 42.4 m

2a 2(-5.886 m/s2)

c) Al oprimirse de golpe los frenos, las llantas patinan y el dibujo de las llantas se

hace ms liso, por lo que el coeficiente de friccin disminuye.


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20.[2a, 5-56]Un puck de hockey que est sobre un lago congelado se golpea e inicia sumovimiento con una velocidad de 12.0 m/s. En t=5.0 s, su velocidad es de 6.0 m/s. a)Cul es la aceleracin media del puck? b) Cul es el valor medio del coeficiente de

rozamiento entre el puck y el hielo? c) Qu distancia recorre el puck durante el

primer intervalo de 5 s?a) Obteniendo la aceleracin media

am= vf-vi= (6 m/s)-(12 m/s) = -1.2 m/s2

t 5 sHaciendo la sumatoria de fuerzasf = ma (1)

Como f = N = mg, sustituyendo en 1mg = ma

b) Cancelando la masa y obteniendo el coeficiente de friccin

= a = -1.2 m/s2 = 0.122g -9.81 m/s

2

c) Obteniendo la distancia recorridax = vot+(1/2)at

2= (12 m/s)(5 s)+(1/2)(-1.2 m/s

2)(5 s)

2= 45 m

21.Un nio tira de una caja utilizando una cuerda que hace un ngulo de 30 con lahorizontal, con una fuerza de 9 N, con una velocidad constante, el peso de la caja es de

15 N. a) Encuentre la fuerza normal y la de rozamiento. b) Halle el coeficiente derozamiento cintico.

Datos: =30; F=9 newtons; w=15 newtons

a) fx: -f+9cos30=0 (1)fy: N-15+9sen30=0 (2)Despejando la fuerza de rozamiento de la ecuacin (1)

f=9cos30=7.79 newtonsDespejando la fuerza Normal de la ecuacin (2)

N=15-9sen30=10.5 newtonsb) Como fk=Nk

Despejando el coeficiente de rozamiento cintico

k=(fk)/N=(7.794 N)/(10.5 N)=0.74

9 newtons

w

f

N

30w

9 newtons

N

f 30


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22.Un hombre arrastra una canasta de 160 N que se desliza sobre el piso con velocidad

constante por medio de una cuerda que hace 38 con la horizontal y aplicando unafuerza de 77 N. a) Cul debe ser el valor de la fuerza de rozamiento para que la canasta

permanezca en reposo? b) Cul es el valor de la fuerza normal?

a) fx: -f+77cos38=0 (1)

fy: N-160+77sen38=0 (2)Despejando la fuerza de rozamiento de la ecuacin 1f=77cos38=60.68 newtons

b) Despejando la fuerza Normal de la ecuacin 2

N=160-77sen38=112.59 newtons

23.[4, 6-3]Una caja de madera de 40 kg se empuja a lo largo del piso con una fuerza de198 N. Si =0.25, calcular la aceleracin de la caja.Datos: w=40 kg; F=198 newtons; =0.25

El peso de la caja es:

w=mg=(40 Kg)(9.81 m/s)=392.4 newtons

La fuerza de rozamiento es igual al coef. de friccin por la fuerza normal

f=N=w=(0.25)(392.4 N)=98.1 newtonsLa fuerza neta aplicada a la caja esFt=198 newtons-98.1newtons=99.9 newtons

De la segunda Ley de Newton F=ma

Despejando la aceleracin

a=F/m=(99.9 N)/(40 kg)=2.5 m/s

77 newtons

w

f

N

38

w

N

f 38

77 newtons

fF


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24.[4, 6-5] El coeficiente de rozamiento cintico entre las llantas de un automvil y lacarretera es de 0.6. a) Encontrar el mnimo tiempo que emplea en detenerse un auto queviaja a 48 km/h. b) Qu distancia recorre el auto antes de detenerse?

Datos: =0.25; vo=48 km/h=13.333 m/s

a) Igualando la fuerza de rozamiento con la masa por la aceleracin

f=mg=maComo la masa se cancela

a=g=(0.6) (9.81 m/s)=5.886 m/sDespejando t de la ecuacin v=vo-at, y como la velocidad final es cero

t= vo/a=(13.333 m/s)/(5.886 m/s)=2.27 s

b) Obteniendo la distancia recorridax=voxt-(1/2)at=(13.333 m/s)(2.265 s)-(1/2)(5.886 m/s)(2.265 s)=15.10 m


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4.4.1 Plano inclinado sin friccin y plano inclinado con friccin

4.4.2 Poleas

25.[2a, 5-40]Un bloque resbala hacia abajo de un plano liso que tiene una inclinacin de

= 15 ver figura. Si el bloque parte del reposo desde la parte superior del plano y lalongitud del mismo es de 2 m, calcule a) la aceleracin del bloque y b) su rapidezcuando llega a la parte inferior.

a) Obteniendo la sumatoria de fuerzas paralela al plano

mgsen= macancelando la masa y despejando la aceleracin

a = gsen= (9.81 m/s2)(sen15) = 2.54 m/s2

b) Obteniendo la velocidad final de la ecuacin v2=vo

2+2ax

______ _________________v =vo

2+2ax = 02+2(2.54 m/s2)(2 m) = 3.19 m/s

26. [2a, 5-41]A un bloque se le imprime una velocidad inicial de 5 m/s hacia arriba de unplano inclinado que forma un ngulo de 20con la horizontal. Hasta qu punto delplano inclinado llega el bloque antes de detenerse?

Obteniendo la sumatoria de fuerzas paralela al plano

-mgsen= macancelando la masa y despejando la aceleracin

a = -gsen= -(9.81 m/s2)(sen20) = -3.36 m/s2

Despejando la distancia de la ecuacin v2= vo

2+2ax

x = v2-vo

2= 0

2-(5 m/s)

2= 3.73 m

2a 2(-3.36 m/s2)

Figura 6


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27. [2a, 5-42]Se conectan dos masas por medio de una cuerda ligera que pasa sobre unapolea lisa, como se ve en la figura. Si el plano inclinado no tiene friccin y si m1=2 kg,

m2=6 kg y =55, calcule a) la aceleracin de las masas, b) la tensin en la cuerda y c)

la rapidez de cada masa 2s despus de que se sueltan a partir del reposo.

a) Haciendo la sumatoria de fuerzasSumatoria de fuerzas en y para m1fy: -m1g+T = m1a (1)Sumatoria de fuerzas paralela al plano para m2-T+m2gsen= m2a (2)Despejando T de 1

T = m1(a+g) (3)

Sustituyendo T en 2 y despejando la aceleracin

a = g(m2sen-m1) = (9.81 m/s2)[(6 kg)(sen55)-2kg] = 3.57 m/s2

m1+m2 6 kg+2 kg

b) Sustituyendo la aceleracin encontrada en la ecuacin 3 para encontrar TT = m1(a+g) = (2 kg)(3.57 m/s

2+ 9.81 m/s

2) = 26.76 N

c) Para encontrar la rapidez se utiliza la ecuacin:

vf=vo+at = 0+(3.57 m/s2)(2 s) = 7.14 m/s

m2

m1

Figura 7


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28.Un objeto de 20 kg se desliza sobre un plano inclinado que hace 32con lahorizontal, encuentre el coeficiente de rozamiento cintico si se considera que lavelocidad del objeto es constante.

Sumatoria de fuerzas perpendicular al plano

N-mgcos=0Despejando la fuerza normal

N= mgcos=(20 kg) (9.81 m/s)cos32=166.387 newtonsSumatoria de fuerzas paralela al plano

mgsen-f=0Despejando la fuerza de rozamientof= mgsen=(20 kg) (9.81 m/s)sen32=103.97 newtonsComo f=N, se despeja el coeficiente de friccin=f/N=(103.97 N)/(166.387)=0.625

29. [3, 2-9]Suponga que el bloque que se muestra en la figura se encuentra en reposo. Elngulo del plano se aumenta lentamente, el bloque comienza a deslizarse. Cul es el

coeficiente de rozamiento esttico entre el bloque y el plano inclinado?



N= mgcosSumatoria de fuerzas paralela al plano

mgsen-f=0Despejando la fuerza de rozamientof= mgsenComo fsN, se despeja el coeficiente de friccinsf/N(mgsen)/(mgcos)s (sen/cos) tan

F

f

F

f


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30. [3, 2-19]El bloque de la figura inicia su movimiento hacia arriba del plano inclinadocuando la fuerza que lo empuja, como se muestra se incrementa a 70 N. a) Cul es lafuerza crtica de rozamiento esttico sobre el bloque? b) cul es el valor del

coeficiente de rozamiento esttico?

a) Sumatoria de fuerzas peralela al plano

-70cos 40+f+60sen40=0Despejando la fuerza de rozamiento

f = 70cos 40- 60sen40= 15.06 newtons

b) Sumatoria de fuerzas perpendicular al plano-70sen40- 60cos40+ N = 0Despejando la fuerza normal

N = 70sen40+ 60cos40= 90.96 newtonsComo f= N, se despeja = (f/N) = (15.06 N)/(90.96 N) = 0.166

31. [4, 6-16]Un carro frenado permanece en reposo sobre un plano inclinado de concretoseco, cuando el ngulo entre el plano y la horizontal es inferior a 45. Determinar elcoeficiente de rozamiento esttico para llantas de caucho sobre concreto seco.



N= mgcosSumatoria de fuerzas paralela al plano

mgsen-f=0Despejando la fuerza de rozamientof= mgsenComo fsN, se despeja el coeficiente de friccinsf/N(mgsen)/(mgcos)ssen/costanstan(45)1

F

45

f

F

40

f

60 N

40


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32. [4, 6-17]Se va a construir una rampa de acero para deslizar bloques de hielo desde unaplanta de refrigeracin hasta un piso inferior, si = 0.05, encontrar el ngulo deinclinacin para el cual el hielo se deslizara a velocidad constante.



N= mgcos

Sumatoria de fuerzas paralela al planomgsen-f=0Despejando la fuerza de rozamiento

f= mgsenComo f=NDespejando el coeficiente de friccin

=f/N= (mgsen)/(mgcos)Cancelando mg y sustituyendo 0.05=sen/cos=tan=arctan(0.05)=25144.65

33. [4, 6-18] Un bloque baja por un plano inclinado de 8 m de longitud que forma unngulo de 30con la horizontal. Si el bloque parte del reposo y =0.25, encontrar. a)La aceleracin del bloque. b) Su velocidad al final del plano. c) El tiempo que tarda enllegar al final del plano.

Datos: x=8 m; =30; vo=0; =0.25

a) Sumatoria de fuerzas perpendicular al plano

N-mgcos (1)Sumatoria de fuerzas paralela al plano

mgsen-f (2)

F

f

F

30

f


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Despejando N de (1) y como f=NSustituyendo f en (2) e igualando a la masa por la aceleracin

mgsen-mgcos=maCancelando las masas y despejando la aceleracin, se obtiene

a= g(sen-cos)=(9.81 m/s)[sen30-0.25(cos30)]= 2.78 m/sb) Utilizando la ecuacin v=vo +2ax, y como la velocidad inicial es cero_______ _______________

v=o +2ax =2(2.781 m/s)(8 m) = 6.67 m/sc) Utilizando la ecuacin x=vot+(1/2)at

Despejando el tiempo

____ ________________t=2x/a =2(8 m)/(2.781 m/s) = 2.399 s

34. [2a, 5-54]Un bloque se mueve hacia arriba de un plano inclinado a 45con rapidezconstante con la accin de una fuerza de 15 N aplicada en forma paralela al plano. Si el

coeficiente de rozamiento cintico es de 0.3, determine a) el peso del bloque y b) lafuerza mnima requerida para hacer que el bloque se mueva hacia abajo del plano conrapidez constante.

a) Sumatoria de fuerzas paralela al plano-15+f+mgsen45=0 (1)Sumatoria de fuerzas perpendicular al plano

-mgcos45+ N = 0 (2)Se despeja N de (2), para obtener f=N, y esto se sustituye en (1)-15+mgcos45+mgsen45=0Despejando mg

mg = 15 = 16.32 newtons

cos45+sen45b) Sumatoria de fuerzas paralela al plano

-F-f+mgsen45=0Como f=N=mgcos45-F-mgcos45+mgsen45=0Despejando F

F = mgcos45(1-) = (16.32 newtons)(cos45)(1-0.3) = 8.08 newtons

F

45

f


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35. [2a, 5-57] Un bloque de 3 kg parte del reposo desde la parte superior de un planoinclinado a 30y resbala una distancia de 2 m hacia abajo del plano en 1.5 s. Calculea) la aceleracin del bloque, b) el coeficiente de rozamiento cintico entre el bloque y

el plano, c) la fuerza de rozamiento que acta sobre el bloque y d) la rapidez del

bloque despus que ha resbalado 2 m.Datos: m = 3 kg; = 30; d = 2 m; t = 1.5 s;a) Como la velocidad media se define como:

vm= x (1)t

vm= v+vo (2)

2Igualando estas dos ecuaciones

x = v+vot 2Despejando la velocidad instantnea final v

v = 2x vo= (2)(2-0) 0 = 2.667 m/st 1.5-0

Ahora de la ecuacin v = vo+at, se despeja la aceleracin

a = v-vo= (2.667 m/s)-0 = 1.78 m/s2

t 1.5 s

b) Obteniendo la sumatoria de fuerzas paralela al plano

-mgsen+N = -ma (3)Obteniendo la sumatoria de fuerzas perpendicular al plano

-mgcos+N = 0 (4)Despejando la Normal de 4 y sustituyendo en 3

-mgsen+mgcos= -ma (5)Cancelando la masa y despejando el coeficiente de rozamiento cintico = -a+gsen= -1.78 m/s2+(9.81 m/s2)(sen30) = 0.368

gcos (9.81 m/s2)(cos30)c) Obteniendo la fuerza de rozamiento

f = N = (mgcos) = (0.368)(3 kg)(9.81 m/s2)(cos30) = 9.38 Nd) Obteniendo la rapidez de la ecuacin v

2= vo

2+2ax

_______ _________________v = vo

2+2ax = 02+2(1.78 m/s2)(2 m) = 2.67 m/s


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4.4.3 Movimiento circular y fuerza centrpeta

Sea una partcula que gira alrededor de un centro fijo, describiendo una circunferencia.

s=r longitud de arco o desplazamiento de la partcula alrededor de la circunferencia=/t velocidad angular promediovt=r velocidad tangencialat=r aceleracin angularac=r=vt/r aceleracin centrpetaFc=mac=mvt/r Fuerza centrpeta

Las ecuaciones para el movimiento circular uniformemente acelerado son anlogas para el

movimiento rectilneo uniformemente acelerado:

Lineal Angular

v=(vo+v)/2 =(o+)/2

v=vo+at =o+tx=(vo+v)t/2 =(o+)t/2x=vot+(1/2)at =ot+(1/2) tv2=vo

2+2ax 2=o2+2

Tambin se tiene para el movimiento circular que:

1 rev=2rad=360

36.[2a, 4-27]Halle la aceleracin de una partcula que se mueve con una rapidez constantede 8 m/s en una circunferencia de 2 m de radio.

Datos: vt=8 m/s; r= 2 mLa aceleracin centrpeta es:

ac= vt/r=(8 m/s) /(2 m)=32 m/s

37.[2a, 4-28]El joven David quien derrib a Goliath experiment con su honda antes deembestir al gigante. Descubri que con una honda de 0.6 m de longitud, l podra

hacerla girar a la razn de 8 rev/s. Si l aumenta la longitud a 0.9 m, entonces la podra

hacer girar nicamente 6 veces por segundo. a) Qu razn de rotacin da una rapidezlineal ms grande? b) Cul es la aceleracin centrpeta en 8 rev/s? c) Cul es la

aceleracin centrpeta en 6 rev/s?

a) Convirtiendo la velocidad angular a radianes sobre segundo(8 rev/s)(2rad/1 rev) = 16rad/s(6 rev/s)(2rad/1 rev) = 12rad/sAhora obteniendo las velocidades tangenciales para ambos casos

vt1= r1= (0.6 m)(16rad/s) = 30.16 m/svt2= r2= (0.9 m)(12rad/s) = 33.93 m/sDe lo anterior se ve que para la segunda opcin da una rapidez lineal ms grande


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b) Tomando los datos de r= 0.6 m y vt=30.16 m/s, se tieneac1= (vt1)

2= (30.16 m/s)

2= 1515.94 m/s

2

r1 0.6 m

c) Tomando los datos de r= 0.9 m y vt=33.93 m/s, se tieneac2= (vt2)2= (33.93 m/s)

2= 1279.16 m/s

2

r2 0.9 m

De lo anterior se ve que para la segunda opcin da una aceleracin centrpeta menor

38.[2a, 4-30] De la informacin que se encuentra en la cubierta delantera de este libro,calcule la aceleracin radial de un punto del Ecuador sobre la superficie de la Tierra.

Como la Tierra realiza una revolucin en 24 h, convirtiendo esto a rad/s

=1 rev 1 h 2rad =7.27x10-5rad/s

24 h 3600 s 1 revDe la portada del libro se obtiene el radio promedio de la Tierra, por lo tanto

ac= (r)2= r2= (6.37x106m)(7.27x10-5rad/s)2= 3.37x10-2m/s2

r

39.[2a, 4-31]La rbita de la Luna respecto a la Tierra es aproximadamente circular, con unradio promedio de 3.84x10

8 m. A la luna le toma 27.3 das para completar una

revolucin alrededor de la Tierra. Encuentre: a) La rapidez orbital media de la luna y b)Su aceleracin centrpeta.

Datos: r=3.84x108m; t=27.3 das

a) Como la Luna realiza una revolucin en 27.3 das, convirtiendo esto a rad/s

= 1 rev 1 d 2rad =2.66x10-6

rad/s27.3 d 86400 s 1 rev

vt= r= (3.84x108m)(2.66x10

-6rad/s) = 1021.44 m/s

b) ac= (r)2= r2= (3.84x108m)(2.66x10-6rad/s)2= 2.72x10-3m/s2

r

40.[2a, 4-33] Una partcula se mueve en una trayectoria circular de 0.4 m de radio conrapidez constante. Si la partcula hace cinco revoluciones en cada segundo de su

movimiento, halle: a) La rapidez de la partcula y b) Su aceleracin.

Datos: r=0.4 m; =5 rpsa) Convirtiendo los rpm a rad/s

=5 rev 2rad =31.42 rad/ss 1 rev

Obteniendo la velocidad tangencial

vt= r= (0.4 m)(31.42 rad/s) = 12.6 m/sb) Obteniendo la aceleracin centrpeta

at= r2= (0.4 m)( 31.42 rad/s)

2= 395 m/s

2


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41.[2a, 4-32]En el ciclo de secado de una lavadora, el tubo de radio 0.30 m desarrolla unarapidez de 630 rpm. Cul es la rapidez lineal mxima con la cual el agua sale de lamquina?

Convirtiendo los rpm a rad/s=630 rev 2rad =65.97 rad/s60 s 1 rev

Obteniendo la velocidad tangencial

vt= r= (0.30 m)(65.97 rad/s) = 19.79 m/s

42.[2a, 4-34]Un neumtico que tiene 0.5 m de radio gira con una rapidez constante de 200revoluciones por minuto. Determine la rapidez y la aceleracin de una pequea piedra

incrustada en el dibujo de la llanta (en su corte exterior).

Convirtiendo los rpm a rad/s

=200 rev 2rad =20.94 rad/s60 s 1 revObteniendo la velocidad tangencial y la aceleracin centrpeta

vt= r= (0.5 m)(20.94 rad/s) = 10.47 m/sat= r

2= (0.5 m)(20.94 rad/s)

2= 219.24 m/s

2

43.[3, 9-2] El pndulo de un reloj de 0.35 m oscila describiendo un arco de 0.20 m.Encuentre el ngulo en grados y radianes que forma al oscilar.

Datos: r=0.35 m; s=0.20 m;

Como s=rDespejando

=s/r=(0.20m)/(0.35m)=0.571 rad(360/2rad)=324425

44.[3, 9-3] La polea de un motor gira a 840 rpm. a) Encuentre la rapidez de un puntosituado en la polea b) Encuentre la rapidez tangencial de la polea si la distancia desde el

centro de la polea a uno de sus extremos es de 15 cm.

Datos: =840 rpm; r=15 cm;a) Convirtiendo la velocidad angular a radianes sobre segundo

=840 rpm=840 rpm/60 s=14 rps(2rad/1 rev)=87.965 rad/sb) Como

vt=r=(87.964 rad/s)(0.15 m)=13.195 m/s


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45.[3, 9-5] Una rueda de 0.40 m de radio gira sobre un eje estacionario. Su rapidezaumenta uniformemente desde el reposo hasta 900 rpm en un tiempo de 20 s. a)Encuentre la aceleracin angular de la rueda y b) La aceleracin tangencial de un punto

sobre su borde.

Datos: r=0.4 m; o=0 rpm; f=900 rpm; t=20 sa) Obteniendo la aceleracin angular:

=(f-o)/2=[(900 rpm/60s)-0 rpm]/20s=0.75 rev/s(2rad/1 rev)=4.71 rad/s

b) Obteniendo la aceleracin tangencial:

at=r=(0.4 m)(4.712 rad/s)=1.89 m/s

46.[3, 9-7] Un vehculo tiene ruedas de 0.29 m de radio, parte del reposo y se acelerauniformemente hasta una rapidez de 18 m/s, en un tiempo de 12 s. Encuentre la

aceleracin angular de sus ruedas y el nmero de vueltas que realizan en ese tiempo.

Datos: r=0.29 m; vo=0; v=18 m/s; t=12 sComo la aceleracin tangencial del vehculo es: v=vo+at

Despejando la aceleracin

a=(v-vo)/t=(18 m/s-0)/12 s=1.5 m/s

Como la aceleracin tangencial es: at=rDespejando la aceleracin angular

=at/r=(1.5 m/s)/0.29 m=5.172 rad/sDe la ecuacin: =vot+(1/2) tDespejando el ngulo ; y como o=0=0+(1/2) t=(1/2)(5.172 rad/s)(12 s) =372.384 rad (1 rev/2rad)=59.267 rev

47.[3, 9-8]La centrifugadora de una lavadora da vueltas a razn de 960 rpm y disminuyeuniformemente a 360 rpm mientras efecta 75 revoluciones. Encuentre a) Laaceleracin angular. b) El tiempo requerido para efectuar estas 75 revoluciones.

Datos: o=960 rpm; =360 rpm; =75 reva)

o=[(960 rpm)/60 s](2rad/1 rev)=100.531 rad/s=[(360 rpm)/60 s](2rad/1 rev)=37.699 rad/s=75 rev(2rad/1rev)=471.239 radComo =o +2Despejando

=(-o)/2=[(37.699 rad/s) -(100.531 rad/s) ]/2(471.239 rad/s)=-9.22 rad/sb) Como =(o+)/2=( 100.531 rad/s+37.699 rad/s)/2=69.115 rad/sy =/tDespejando el tiempo t

t=/=471.239 rad/69.115 rad/s=6.82 s


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48.Un nio hace girar una piedra en un circulo horizontal a 6.0 pies (1.8 m) por encima del

suelo, valindose de una cuerda de 4.0 pies (1.2 m) de largo. La cuerda se rompe y lapiedra sale disparada en forma horizontal llegando a una distancia de 30 pies (9.1 m).

Cunto vala la aceleracin centrpeta durante su movimiento circular?

Datos: y=6.0 pies (1.8 m); voy=0; r=4.0 pies (1.2 m); x=30 pies (9.1 m)Como y=voyt+(1/2)gt y voy=0

1.8=(1/2)(9.81 m/s2)t

Despejando el tiempo

_________________t=2(1.8 m)/(9.81 m/s) =0.606 sComo la velocidad en x es vx=x/t

Sustituyendo x y t en la ecuacin anterior

vx=(9.1 m)/(0.606 s)=15.017 m/sComo en este caso vx= vt; y la aceleracin centrpeta es ac=vt/r

ac=(15.017m/s)/(1.2 m)=187.93 m/s

49.[Bueche,179,3] Una rueda de ruleta que inicialmente giraba a razn de 0.80 rev/s llega

al reposo en 20 s. Cul es la desaceleracin de la rueda? Cuntas revoluciones dio en

el proceso? (suponga una desaceleracin uniforme).

Datos: o=0.80 rps; =0; t=20 sDe la ecuacin =o+tDespejando la aceleracin angular

=(-o)/t= (0-0.80 rps)/20 s=-0.04 rev/s (2rad/1 rev)=-0.251 rad/sComo

=ot+(1/2) t=(0.80 rps)(20 s)+(1/2)(-0.04 rev/s)(20 s) =8 rev

50. [2a, 6-1]Un carro de juguete completa una vuelta alrededor de una pista circular (unadistancia de 200 m) en 25 s. a) Cul es la rapidez media? b) Si la masa del carro es de

1.5 kg, cul es la magnitud de la fuerza centrpeta que lo mantiene en el crculo?

a) La velocidad media es:

vm= x = 200 m = 8 m/st 25 s

b) El permetro de la circunferencia es 200 m, por lo tanto:

200 = 2rDespejando el radior = (200)/(2) = 31.83 mPor lo tanto la fuerza centrpeta es:

F = mvm2= (1.5 kg)(8 m/s)

2= 3.02 N

r 31.83 m


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51. [2a, 6-3]Qu fuerza centrpeta se requiere para mantener a una masa de 1.5 kg que semueve en un crculo de radio 0.4 m a una rapidez de 4 m/s?

La fuerza centrpeta es:

F = mv

2

= (1.5 kg)(4 m/s)

2

= 60 Nr 0.4 m

52. [2a, 6-5]Una masa de 3 kg atada a una cuerda ligera gira en un movimiento circularsobre una mesa horizontal sin friccin. El radio del crculo es de 0.8 m y la cuerdapuede soportar una masa de 25 kg antes de romperse. Que rango de velocidades

puede tener la masa antes de que se rompa la cuerda?

Obteniendo la Fuerza mxima que puede soportar la cuerdaFmax= mg = (25 kg)(9.81 m/s

2) = 245.25 N

Igualando con la fuerza centrpetaFmax= mv2

r

Despejando la velocidad tangencial

___________ _____________________v = (Fmax)(r)/m = (245.25 N)(0.8 m)/(3 kg) = 8.09 m/sPor la tanto el rango de velocidades es mayor que cero y menor que 8.09 m/s, es decir

0 < v < 8.09 m/s


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