fim702: lecture 9

Modelisation destrategies en

finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique

Modelisation de strategies en finance demarche

Seance 14 : Aspects dynamiques de la gestion deportefeuille

Alexander Surkov, CFA, FRM, PRM, [email protected]

Faculte d’AdministrationUniversite de Sherbrooke

Le 13 avril 2016


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique

Table de matiere

Execution de decisions d’investissementCouts de mise en œuvre d’une decision d’investissementTactique d’execution d’une decision d’investissement


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique

Couts explicites de negociation

I Commission du courtier

I Impots

I Frais


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique

Couts implicites de negociation

I Spread bis-ask :I Disons, 19.97 (bid) – 20.03 (ask), le prix est 20.00.I En achetant pour 20.03, on obtient qqch qui coute

20.00.

I Impact sur le marche : l’execution fait bouger les prix.I Couts d’opportunite d’une transaction manquee :

I Disons, un ordre a cours limite d’acheter l’actif pour20.01 (ou mieux) expire quand le prix est 20.10.

I La difference 20.10− 20.03 = 0.07 est le coutd’opportunite.

I Couts de delai lies a l’impossibilite d’executer latransaction en raison de la liquidite insuffisante dumarche


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique

Mesure de couts implicites

I Par rapport a midquoteI Par rapport au prix moyen pondere par le volume

(VWAP, volume-weighted average price)I peu efficace pour des transactions de grand volume

I En utilisant les prix d’ouverture / de fermeture dumarche

I Implementation shortfall : la difference entre lerendement du portefeuille souhaite et et le rendementrealise du portefeuille actuel :

I couts explicites,I profits/pertes realise,I couts de delai,I couts d’opportunite d’une transaction manquee.


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique

Implementation shortfall : exemple (1)

I J1 : le prix de fermeture est 10.00

I J2 : la decision d’acheter 1000 actions pour 9.95 oumieux, l’ordre est expire, le prix de fermetureetant 10.05

I J3 : achat de 800 actions pour 10.08 chacune, lacommission etant 20 et le prix de fermeture etant 10.12

I Portefeuille theorique : 1000 · (10.12− 10.00) = 120

I Portefeuille actuel : 800 · (10.12− 10.08)− 20 = 12

I Implementation shortfall est 108 pdb.


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique

Implementation shortfall : exemple (2)

I Les couts explicites : 20/10 000 = 20 pdb

I Les profits/pertes realises :(10.08− 10.05)/10.00 · 800/1000 = 24 pdb

I Les couts de delai :(10.05− 10.00)/10.00 · 800/1000 = 40 pdb

I Les couts d’opportunite d’une transaction manquee :(10.12− 10.00)/10.00 · 200/1000 = 24 pdb

I En utilisant β pour l’actif en question, implementationshortfall peut etre ajuste pour exclure la contribution durendement de marche pour les periodes ou il n’y a pasd’exposition au risque de marche.


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique

Facteurs determinant les couts

I Liquidite (la capitalisation, le prix, la frequence detransactions, le volume, la participation dans un indice,le spread bid-ask)

I Risque (volatilite du rendement)

I Volume de la transaction par rapport a la liquidite (lataille de l’ordre par rapport au volume quotidien)

I Momentum (plus difficile d’acheter dans le marchecroissant)

I Style (ordre au marche sont plus couteux que ceux acours limite)

I Un modele econometrique pourrait etre construit pourpredire les couts.


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique

Table de matiere

Execution de decisions d’investissementCouts de mise en œuvre d’une decision d’investissementTactique d’execution d’une decision d’investissement


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique

Execution optimale

I Disons, on a besoins d’acheter un bloc d’actions de lataille S pendant la periode [0,T ].

I Acheter tout tout de suite n’est pas optimal, il fauttrouver une facon de le faire graduellement :

E1

T∑t=1

PtSt → min{St}

,

T∑t=1

St = S

I Une contrainte supplementaire St ≥ 0.

I Le processus de prix :

Pτ = fτ (Pτ−1,Sτ , ετ , . . . )

I La forme de solution :

S∗τ = hτ

(Pτ−1, S −

τ−1∑t=1

S∗t , . . .

)


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique

Programmation dynamique

I Les variables d’etat pour le moment τI Le prix observe Pτ−1

I Le nombre restant des actions :

Wτ = Wτ−1 − Sτ−1, W1 = S , WT+1 = 0

I La solution {S∗1 ,S∗2 , . . . ,S∗T} doit etre optimal pourn’importe quel moment τ = 1, 2, . . . ,T .

I La valeur optimale du probleme

Vτ (Pτ−1,Wτ ) ≡ min{St}

Eτ

T∑t=τ

PtSt ,T∑

t=τ

St = Wτ

I L’equation de Bellman

Vτ (Pτ−1,Wτ ) ≡ minSτ

Eτ [PτSτ + Vτ+1 (Pτ ,Wτ+1)] ,


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique

Exemple : impact lineaire absolu (1)

I Supposons que Pτ (sans transactions) suit lemouvement brownien arithmetique avec l’effet lineairede transactions :

Pτ = Pτ−1 + θSτ + ετ , θ > 0

I Cette hypothese est peu realiste, mais instructive.

I Pour τ = T , S∗T = WT , car il faut acheter tout ce qu’ilreste a acheter.

VT (PT−1,WT ) = minST

ETPTWT = (PT−1 + θWT )WT


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique


I Pour τ = T − 1 :

VT−1 (PT−2,WT−1)

= minST−1

ET−1 [PT−1ST−1 + VT (PT−1,WT )]

= minST−1

ET−1 [(PT−2 + θST−1 + εT−1)ST−1

+VT (PT−2 + θST−1 + εT−1,WT−1 − ST−1)]

I La solution

S∗T−1 =WT−1

2

I Pour τ = T − k :

S∗T−k =WT−kk + 1

, S∗1 =W1

T


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique


I Etant donne que W1 = S

S∗1 =S

T

I Etant donne que W2 = W1 − S∗1

W2 = S

(1− 1

T

), S∗2 =

W2

T − 1=

S

T, . . .

I La solution

S∗1 = S∗2 = · · · = S∗T =S

T

ne depend pas des prix observe.

I Ceci est en raison de l’effet lineaire et permanent detransactions sur les prix.


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique

Strategie optimale

0 2 4 6 8 10=

0

200

400

600

800

1000

S=;W

=


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique

Couts de la strategie optimale

1.53 1.54 1.55 1.56 1.57VT #105

0

20

40

60

80

No.

d'o

bs.,N

sim

=50

0


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique

Strategie alternative

0 2 4 6 8 10=

0

200

400

600

800

1000

S=;W

=


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique

Couts de la strategie alternative

1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58VT #105

0

20

40

60

80

100

No.

d'o

bs.,N

sim

=50

0


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique

Simulation en Matlab

T = 10; % no. de periodes

Nsim = 500; % no. de simulations

eps = normrnd(0, 0.01, Nsim, T); % bruit

theta = 0.1; % l’effet sur le prix

P = repmat(100, Nsim,1); % prix initial

W = repmat(1000, Nsim,1); % no. initial d’actions

V = zeros(Nsim,1);

for t = 1:T

S = W / ( T - t + 1);

% S = W * 2 / ( T - t + 2 );

P = P + theta * S + eps(:, T);

V = V + P .* S;

W = W - S;

end


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique

Fonction objectif

function v = V( P0, S, eps )

theta = 5e-4;

P = NaN( size(eps) );

v = 0;

for t = 1:length(S)

if t == 1

Ptm1 = P0;

else

Ptm1 = P(t-1, :);

end

% Mouvement brownien geometrique

P(t, :) = Ptm1 .* exp( eps(t, :) ) *...

( 1 + theta * S(t) );

v = v + mean( P(t,:) ) * S(t);

end

end


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique

Calcul pour τ = 1

% Nombre de periodes

T = 10;

% Nombre d’actions

Ns = 1000;

% Prix initial

P0 = 100;

[Sstar, Vstar] = sstar(Ns, P0, T);


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique

Resultat pour τ = 1

2 4 6 8 1070

80

90

100

110

120

130

140

150

τ

Sτ


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique

τ = 1, Ntr = 1000

2 4 6 8 1060

80

100

120

140

160

τ

Sτ


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique

τ = 1, Ntr = 10 000

2 4 6 8 1060

80

100

120

140

160

τ

Sτ


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique

Scenario de prix

0 2 4 6 8 1098

100

102

104

106

108

τ

Pτ


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique

Scenario naıf, V = 135 980

0 2 4 6 8 10100

120

140

160

180

τ

Pτ


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique

Scenario optimal, V = 134 990

0 2 4 6 8 10100

120

140

160

180

τ

Pτ


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique

Scenario optimal

2 4 6 8 1070

80

90

100

110

120

130

140

150

τ

S∗ τ


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique

Calcul en Matlab

eps = normrnd( 0,0.02, T, 1 );

theta = 5e-4; W = Ns; Val = 0;

Sstar = NaN(T, 1); P = NaN(T, 1);

for t = 1:T

if t == 1

Ptm1 = P0;

else

Ptm1 = P(t-1);

end

res = sstar( W, Ptm1, T+1-t );

Sstar(t) = res(1); % Sstar(t) = Ns / T;

P(t) = Ptm1 .* exp( eps(t) ) *...

( 1 + theta * Sstar(t) );

Val = Val + P(t) * Sstar(t);

W = W - Sstar(t);

end


finance de marche

Alexander Surkov

Execution

Couts

Tactique

Extensions possibles du modele

I Prise en compte d’information supplementaire(conditions de marche, resultats d’analyse)

I Generalisation sur le portefeuille

I Fonction objectif penalisant pour le risque

fim702: lecture 9

Economy & Finance