Modelisation destrategies en

finance de marche

Alexander Surkov

Aspectsdynamiques

Rebalancement

Correlations

Modelisation de strategies en finance demarche

Seance 15 : Aspects dynamiques de la gestion deportefeuille

Alexander Surkov, CFA, FRM, PRM, PhDalexander.surkov@usherbrooke.ca

Ecole de gestionUniversite de Sherbrooke

Le 26 avril 2017

Modelisation destrategies en

finance de marche

Alexander Surkov

Aspectsdynamiques

Rebalancement

Correlations

Table de matiere

Aspects dynamiques de la gestion de portefeuilleStrategies de rebalancement du portefeuilleCorrelations en periode de tensions

Modelisation destrategies en

finance de marche

Alexander Surkov

Aspectsdynamiques

Rebalancement

Correlations

Table de matiere

Aspects dynamiques de la gestion de portefeuilleStrategies de rebalancement du portefeuilleCorrelations en periode de tensions

Modelisation destrategies en

finance de marche

Alexander Surkov

Aspectsdynamiques

Rebalancement

Correlations

Exemples de strategies de rebalancement

I Acheter et detenir (buy & hold)

I Composition constante (constant mix)

I Assurance de portefeuille (constant-proportion portfolioinsurance, CPPI)

Modelisation destrategies en

finance de marche

Alexander Surkov

Aspectsdynamiques

Rebalancement

Correlations

Acheter et detenir

I Choisir la mixture, disons, � 60/40 �, ν = 0.6.

I Etant donne le montant a investir V0, disons,V0 = 100$, investir νV0 en actions, (1 − ν)V0 enobligations

Na =νV0

P(a)0

, Nb =(1 − ν)V0

P(b)0

I Detenir toujours le nombre Na d’actions et Nb

d’obligations.

Modelisation destrategies en

finance de marche

Alexander Surkov

Aspectsdynamiques

Rebalancement

Correlations

Acheter et detenir

0 50 100 150 200 250 300 3500

50

100

150

200

Prix d’actions

Val

eur

du p

orte

feui

lle

Modelisation destrategies en

finance de marche

Alexander Surkov

Aspectsdynamiques

Rebalancement

Correlations

Composition constante

I Choisir la mixture, disons, � 60/40 �, ν = 0.6.

I Etant donne le montant a investir V0, disons,V0 = 100$, investir νV0 en actions, (1 − ν)V0 enobligations

Na =νV0

P(a)0

, Nb =(1 − ν)V0

P(b)0

I Rebalancer le portefeuille si

I le ratio ν′ ≡ NaP(a)t /Vt depasse les limites preetablies

ν − α ≤ ν′ ≤ ν + α.I ou bien, le prix d’actions depasse les limites preetablies,

1 − α ≤ P(a)t /P

(a)0 ≤ 1 + α.

N ′a =

νVt

P(a)t

, N ′b =

(1 − ν)Vt

P(b)t

Modelisation destrategies en

finance de marche

Alexander Surkov

Aspectsdynamiques

Rebalancement

Correlations

Strategie concave : composition constante

0 50 100 150 200 250 300 3500

50

100

150

200

Prix d’actions

Val

eur

du p

orte

feui

lle

Modelisation destrategies en

finance de marche

Alexander Surkov

Aspectsdynamiques

Rebalancement

Correlations

Assurance de portefeuille (CPPI)

I Choisir le multiplicateur m et la borne inferieure F

NaP(a)0 = m(V0 − F ), NbP

(b)0 = V0 − NaP

(a)0

Disons, m = 2, V0 = 100$, F = 70$, ce qui donne

NaP(a)0 /V0 = 0.6.

I Rebalancer le portefeuille si le prix d’actions depasse les

limites preetablies, 1 − α ≤ P(a)t /P

(a)0 ≤ 1 + α.

N ′a =

m(V0 − F )

P(a)t

, N ′b =

Vt − N ′aP

(a)t

P(b)t

Modelisation destrategies en

finance de marche

Alexander Surkov

Aspectsdynamiques

Rebalancement

Correlations

Strategie convexe : CPPI

0 50 100 150 200 250 300 3500

50

100

150

200

250

300

350

Prix d’actions

Val

eur

du p

orte

feui

lle

Modelisation destrategies en

finance de marche

Alexander Surkov

Aspectsdynamiques

Rebalancement

Correlations

Les strategies en Matlab : parametres

Nsim = 500; T = 252;

mu = 0.15 / T; sigma = 0.3 / sqrt( T );

Rf = 0.02 / T;

V0 = 100; nu = 0.6;

Pa0 = 100; Pa = ones(2, Nsim) * Pa0;

Pb0 = 100; Pb = Pb0;

Na0 = nu * V0 / Pa0;

Nb0 = ( 1 - nu ) * V0 / Pb0;

Na = ones(1,Nsim) * Na0; Nb = ones(1,Nsim) * Nb0;

alpha =0.1; m = 2; F = 70;

Modelisation destrategies en

finance de marche

Alexander Surkov

Aspectsdynamiques

Rebalancement

Correlations

Les strategies en Matlab : simulation

for t = 2:(T+1)

Pa(1,:) = Pa(1,:).*exp(normrnd(mu,sigma,1,Nsim));

Pb = Pb * exp( Rf );

V1 = Na0 .* Pa(1, :) + Nb0 * Pb;

V2 = Na .* Pa(1, :) + Nb * Pb;

r = Pa(1, :) ./ Pa(2, :);

idx1 = r > 1 + alpha; idx2 = r < 1 - alpha;

idx = or(idx1, idx2);

if any(idx)

Na(idx) = nu * V2(idx) ./ Pa(1, idx);

% Na(idx) = m * ( V2(idx) - F ) ./ Pa(1, idx);

Nb(idx) = (V2(idx) - Na(idx).*Pa(1, idx))/Pb;

Pa(2, idx) = Pa(1, idx);

end

end

Modelisation destrategies en

finance de marche

Alexander Surkov

Aspectsdynamiques

Rebalancement

Correlations

Table de matiere

Aspects dynamiques de la gestion de portefeuilleStrategies de rebalancement du portefeuilleCorrelations en periode de tensions

Modelisation destrategies en

finance de marche

Alexander Surkov

Aspectsdynamiques

Rebalancement

Correlations

Correlations en periode de tensions

I Des observations montrent que les correlationss’augmentent en periode de tensions (voir, par exemple,l’article � Quantifying the Behavior of StockCorrelations Under Market Stress �).

I Cependant, la croissance de correlations peut etrecontribuee par le biais lie a l’observation des correlationsen periode d’une forte volatilite.

I Simulation 1 : 5000 simulation de T = 62 pairesd’observations aleatoires correlees, la correlation estimeevs. les volatilites estimees.

I Simulation 2 : 500 simulations de N = 2520 pairesd’observations aleatoires correlees, une fenetre roulantede T = 62, la correlation estimee correspondante a laperiode des volatilites maximales.

Modelisation destrategies en

finance de marche

Alexander Surkov

Aspectsdynamiques

Rebalancement

Correlations

Simulation 1 : ρ = 0.1

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

√

σ1σ2

ρ12

Modelisation destrategies en

finance de marche

Alexander Surkov

Aspectsdynamiques

Rebalancement

Correlations

Simulation 1 : ρ = 0.5

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.30

0.2

0.4

0.6

0.8

√

σ1σ2

ρ12

Modelisation destrategies en

finance de marche

Alexander Surkov

Aspectsdynamiques

Rebalancement

Correlations

Simulation 1 : ρ = 0.9

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.30.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

√

σ1σ2

ρ12

Modelisation destrategies en

finance de marche

Alexander Surkov

Aspectsdynamiques

Rebalancement

Correlations

Simulation 1 en Matlab

T = 62; Nsim = 5000;

s = [1 1]; c = 0.5;

sigma = diag(s) * [1 c; c 1] * diag(s);

vols = NaN(Nsim,1);

cors = NaN(Nsim,1);

for j = 1:Nsim

x = mvnrnd( zeros(2,1), sigma, T );

covs = cov( x );

vols(j) = sqrt( prod( diag( covs ) ) );

cors(j) = covs(1,2) / vols(j);

end

Modelisation destrategies en

finance de marche

Alexander Surkov

Aspectsdynamiques

Rebalancement

Correlations

Simulation 2

0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

20

40

60

80

100

120

ρ12

N. d

’obs

.

Modelisation destrategies en

finance de marche

Alexander Surkov

Aspectsdynamiques

Rebalancement

Correlations

Simulation 2 : periode aleatoire

0.2 0.4 0.6 0.80

20

40

60

80

100

120

ρ12

N. d

’obs

.

Modelisation destrategies en

finance de marche

Alexander Surkov

Aspectsdynamiques

Rebalancement

Correlations

Simulation 2 en Matlab

Nsim = 500; T = 62; N = 2520;

cors = NaN(Nsim,1);

for i = 1:Nsim

volm = 0;

x = mvnrnd(zeros(2,1), sigma, N);

for j = 1:(N-T+1)

covs = cov( x(j:(T+j-1),:) );

vol = sqrt( prod( diag(covs) ) );

if vol > volm

volm = vol; corm = covs(1,2) / vol;

end

end

cors(i) = corm;

end