filtros de wiener
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Filtros de Wiener
Introdução à Filtragem Linear Ótima
Esta aula trata de uma classe de filtros lineares ótimos discretos no tempo
conhecidos como Filtros de Wiener.
A teoria para um filtro de Wiener é formulada para o caso geral de
séries temporais de valor complexo com o filtro especificado em termos
de sua resposta impulsiva. A razão para o uso destas séries é que em
muitas situações práticas (ex. comunicação, radar, sonar) o sinal de
banda base de interesse aparece na forma complexa.
• O termo banda base é usado para designar a banda de frequências
do sinal original gerado pela fonte de informação.
• Este estudo é iniciado pelo problema da filtragem linear ótima...
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Introdução à Filtragem Linear Ótima
Seja o filtro linear discreto no tempo:
A entrada consiste de uma série temporal u(0), u(1), u(2),..., e o filtro é caracterizado pela resposta
impulsiva w0, w1, w2, ...
Em um tempo discreto n, o filtro produz uma saída denotada por y(n). Esta saída é usada para prover
uma estimativa de uma resposta desejada que pode ser denotada por d(n).
Com a entrada do filtro e a resposta desejada representando realizações simples de processos
estocásticos, a estimação é acompanhada por um erro com características estatísticas próprias. Em
particular, o erro estimado, denotado por e(n), é definido como sendo a diferença entre a resposta
desejada d(n) e a saída do filtro y(n). O requisito básico é fazer o erro estimado e(n) o menor possível
num sentido estatístico.
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Introdução à Filtragem Linear Ótima
Até aqui, duas restrições foram impostas ao filtro:
O filtro é linear, o que facilita sua análise matemática
O filtro opera num tempo discreto, o que torna possível sua
implementação usando hardware/software digital.
Entretanto, os detalhes finais da especificação do filtro dependem de duas
outras escolhas a serem feitas:
Se a resposta impulsiva é de duração finita ou infinita
• A escolha da duração finita (finite-duration impulse response, FIR)
ou infinita (infinite-duration impulse response, IIR) é ditada por
considerações práticas.
Qual o tipo de critério estatístico será usada para a otimização.
• A escolha do critério estatístico para otimização do filtro é
influenciada pela tratabilidade (acessabilidade) matemática. 4
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Em resumo: Problema que se encontra em engenharia:
Estimação de um sinal desejado [ s(n) ] a partir de um outro [ x(n) ]
em que x(n) consiste do sinal desejado mais um sinal de ruído ou
interferência v(n).
x(n) = s(n) + v(n)
objetivo:
projetar um filtro que minimiza a interferência aditiva e ao mesmo
tempo preserva as características do sinal desejado.
Filtros Clássicos:
Os filtros passa baixas, etc., raramente restauram o sinal em algum sentido
ótimo.
Solução:
Filtros de Wiener ou então de Kalman.
Utilizam métodos dos mínimos quadrados
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1. Introdução ao problema
Problema:
Projeto de um filtro com resposta ao impulso h(n) que produz uma
estimativa ótima de s(n).
Critério:
O erro quadrático médio entre as amostras originais e as estimadas
deve ser mínimo, isto é,
= E[ e2(n) ]MIN
Este critério tem a vantagem de ser simples na implementação e no
tratamento matemático
H(z) x(n) = s(n) + v(n)
s(n)
)(ˆ ns)(ˆ)()( nsnsne - +
estimativa ótima de s(n) Erro na estimativa
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2. Filtro de Wiener FIR
Admitindo um filtro FIR com M coeficientes constantes, então:
1
0
)()(
M
l
lzlhzH
Sendo x(n) o sinal de entrada, então o sinal estimado será dado pela soma
convolução entre h(n) e x(n). Assim:
1
0
)()()(ˆM
l
lnxlhns
Problema:
Encontrar os coeficientes h(k) : k = 0, 1, ... M-1 tal que o erro quadrático
médio seja mínimo, isto é:
MÍNIMOnsnsEneE 22 |)(ˆ)(||)(|
8
3. Cálculo dos h(k)
Derivando em relação a h*(k) tem-se:
0
)(
)()(
)(
)()(
)( *
*
*
*
*
kh
neneE
kh
neneE
kh
Derivada do conjugado do erro:
)(
)(
)(ˆ)(
)(
)( *
*
*
*
*
knxkh
nsns
kh
ne
Para que o erro seja mínimo tem-se que:
1,,1,0:0)()( * MkknxneE
Sinal de erro e de entrada devem ser ortogonais.
Princípio da ortogonalidade.
x
e
substituindo
9
1
0
)()()()(ˆ)()(M
l
lnxlhnsnsnsne como:
0)()()()()(1
0
**
M
l
knxlnxlhknxnsE
0)()( * knxneE substituindo na equação anterior: tem-se:
0)()()()()(1
0
**
M
l
knxlnxElhknxnsE
portanto:
1,,1,0:)()()(1
0
MklkrlhkrM
l
xsx Equações
de Wiener-
Hopf
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Na forma matricial: sxx rhR .
)0()2()1(
)2()0()1(
)1()1()0(
xxx
xxx
xxx
rMrMr
Mrrr
Mrrr
Rx =
)1(
)1(
)0(
mh
h
h
h =
)1(
)1(
)0(
mr
r
r
sx
sx
sx
rsx =
Matriz de Toeplitz
(hermitiana)
xH = [XT]*
Erro mínimo:
1
0
* )()()(M
l
sxsMIN lrlhnr
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4. Aplicação prática
Em muitas aplicações sinal e ruído são admitidos descorrelacionados.
vsx RRR
)()()()()(
krkrnvnsnx
ssx
e as equações de Wiener-Hopf se tornam:
svs rhRR
Solução das equações
sxx rhR . Rx Matriz de Toeplitz (hermitiana)
xH = [XT]*
Algoritmos de Levinson
e de Cholesky
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5. Filtro de Wiener como supressor de ruído
Estimação de um sinal s(n) a partir de uma medida x(n) contaminada
por ruído aditivo.
x(n) = s(n) + v1(n)
Neste caso, as estatísticas do ruído são obtidas através de um sensor
secundário como mostra a figura.
O sinal é utilizado para estimar o ruído v1(n).
Filtro de Wiener
h(n)
)(ˆ)()(ˆ 1 nvnxns
-
+ sinal
s(n)
ruído
)()()( 1 nvnsnx
)(2 nv)(ˆ
1 nv
Os ruídos medidos nos dois sensores são correlacionados mas não são
iguais; O filtro estima v1(n) a partir de v2(n).
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Obtenção das equações de Wiener-Hopf
Sinal de entrada v2(n)
sinal a ser estimado v1(n)
equações de Wiener-Hopf: 212 vvv rhR
Cálculo da correlação cruzada:
)(
*
2
*
2
*
2
*
2
*
21)(
2
21
)()(
)()()()(
)()()()()(
kxv
kvv
rknvnxE
knvnsEknvnxE
knvnsnxEknvnvEr
22 xvv rhR
Observe que x(n) e v2(n) são sinais disponíveis e portanto é possível
uma implementação prática deste filtro.
Portanto:
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5.1 Exemplo
Sinal desejado:
Os sinais de ruído foram gerados considerando um modelo AR(1):
1.0:)sen()( 00 wondenwns
brancoruídongondengnvnv
ngnvnv:)(
)()1(6.0)(
)()1(8.0)(
22
11
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-2
0
2
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-2
0
2
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-2
0
2
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6. Filtro de Wiener IIR
l
lnxlhns )()()(ˆ
MÍNIMOnsnsEneE 22 |)(ˆ)(||)(|
kkrlkrlhl
sxx :)()()(
Neste caso h(n) tem duração infinita.
Tem-se disponível uma medida x(n) contaminada por ruído aditivo.
x(n) = s(n) + v(n)
Dois tipos de filtros: causal e não causal.
6.1 Filtro de Wiener não causal
Saída do filtro:
Problema: Encontrar o filtro que minimiza o erro quadrático médio:
Solução: derivando o erro com relação aos h*(k) tem-se que:
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No domínio da frequência:
)(
)()(
jw
x
jw
sxjw
eP
ePeH
Erro quadrático médio mínimo:
l
*sxs
jw*sx
jwjwsMIN lrlhrdwePeHeP 0
2
1
No caso de sinal e ruído serem descorrelacionados:
)()(
)()(
jw
v
jw
s
jw
sjw
ePeP
ePeH
0)()()(
1)()()(
jwjw
v
jw
s
jwjw
v
jw
s
eHePeP
eHePeP Sinal predominante
ruído predominante
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6.2 Exemplo
Sinal AR(1) com dep:
)1)(1()(
1
2
0
zz
bzPs
Ruído branco com variância: 2
v
Resposta do filtro:
)1)(1()(
122
0
2
0
zzb
bzH
v
admitindo: 25.0;5.0;5.0 2
0 vb
)2344.01)(2344.01(
4688.0)(
1 zzzH
n
nh 2344.0496.0)(
Erro mínimo: 124.0)0(2 hvMIN
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Apêndice
Exemplos de filtragem de um sinal de voz
19
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000-2
-1
0
1
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000-2
-1
0
1
2
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000-2
-1
0
1
2
Filtro de Kalman
20
Filtro de Wiener
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-2
-1
0
1
2Sinal Limpo
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-2
-1
0
1
2Sinal Ruidoso
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-2
-1
0
1
2Sinal Filtrado
21
Filtro de Butterworth
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-2
-1
0
1
2sinal limpo
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-2
-1
0
1
2sinal ruidoso
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-2
-1
0
1
2sinal filtrado
22
Tabela Comparativa
Butterworth
Wiener
Filtro
Kalman
Aumento na SNR
5 dB
8 dB
18 dB