ÇOKTAN SEÇMELİ TESTLERİN PUANLANMASIÇoktan seçmeli testleri kullanmak araştırıcıya puanlama kolaylığı sağlar. Bu testler doğru cevabı

puanlama yöntemi ( number right scoring method ) ile puanlanır. Bu yönteme göre; Doğru yanıtlar 1, yanlış, boş veya birden fazla olan yanıtlar ise 0 puan alır.

Tam Bilme: Birey, doğru cevabı ve diğer seçeneklerin yanlış olduğunu bilir. Hiç Bilmeme: Yanıtlayıcı ona yöneltilen madde hakkında en ufak bir bilgiye sahip değil. Kısmi Bilme: Birey, maddenin doğru cevabını bilmemesine karşın, yanlış olan bazı seçenekleri bilir. Yanlış Bilme: Birey, doğru olan seçeneğin yanlış olduğunu düşünmektedir. Kısmi Yanlış Bilme: Birey, doğru olan seçeneğin yanlış olduğunu ve ek olarak bazı çeldiricilerin de

yanlış olduğunu düşünmektedir. Boş Bırakma: Yanıtlayıcı maddeyi işaretlemiyor.

Çoktan seçmeli testleri 1-0 ile puanlamak etkili ve kolay bir yol olsa da bu durumun zayıflıkları da vardır. 1-0 puanlama yöntemine çeşitli eleştiriler getirilmiştir. En temel eleştirilerden biri, cevaplayıcıların bilgi düzeylerinin ‘tam bilme’ den ‘tam yanlış bilme’ye düşmesi ve şansla tahminde bulunmalarını kontrol etmedeki zayıflığına yöneliktir.

Bu puanlamaya bir eleştiri de Abu Sayf getirmiştir. Abu Sayf bu yönteme ilişkin 4 zayıflık belirtir. Bunlar :

Psikometrik tartışma: Test yönergelerinde, tahmin ederek cevap vermeyi teşvik etmenin görece büyük bir hata varyansı oranı ortaya koyması ve formülün kısmi bilgiyi hesaba katmamasıdır.

Pragmatik tartışma: Bilmediği cevabı boş bırakan ve oldukça ihtiyatlı davranan cevaplayıcıların, risk alanlarla karşılaştırıldığında, cezalandırıldığına ilişkindir.

Etik tartışma: Yanlış tahminin yapıldığı ve bu davranışı ödüllendirmenin az da olsa tavsiye edilebilir olduğudur.

Politik tartışma: Cevaplayıcıları tahminle cevaplamaya teşvik etmenin, onların çoktan seçmeli testlere güvenini kaybedeceklerine ilişkindir.

1-0 ile puanlama yönteminin bir diğer zaafı da bu yöntemin uygulandığı testlere katılan cevaplayıcıların şans ile verdikleri yanıtlardır. Verilen seçenekler arasında muhakkak bir doğru yanıtın bulunması cevaplayıcının risk almasına neden olabilir. Bu da hiç bilmeyen bir cevaplayıcının maddeye doğru cevap vermesini sağlar. Eğitimciler ve psikometrisiler, 1-0 yöntemiyle puanlanan testlerden elde edilen güvenirlik ve geçerlik katsayılarına, şans başarısının getirdiği tahmin edilen puan varyansını azaltmaya çalışmaktadırlar.

Doğrudan Cevaplama Yöntemleri: Doğru cevabı buluncaya dek işaretleme: Bu puanlama yöntemi 1950 yılında ilk kez Brown tarafından önerilmiştir. Bu sınıfta yer alan doğru cevabı bulana dek cevaplama yöntemi (AUC), doğru cevap olduğuna inandığı bir seçeneği işaretleyen bir cevaplayıcının, bu işlemini doğru cevabı buluncaya dek tekrarlamasını gerektirir. Örneğin; Yanıtlayıcılara cevap kağıdının altında cevap anahtarı da dağıtılır, bu anahtar üzerinde doğru seçenekler kırmızı kalemle işaretlenmiştir. Yanıtlayıcı, her madde için doğru olduğunu düşündüğü seçeneği deler, alttaki kırmızı kalem işaretini görene kadar bu işleme devam eder. Ancak bu yöntemi uygulamak testin uygulama süresini arttırır. Ayrıca her bir cevaplayıcı ile birebir ilgilenmek gerekir. Merwin(1959), eğer uygulama ortamında araştırmacı yanıtlayıcı ile birebir ve etkin olarak çalışırsa, bu metodun (1-0) yöntemiyle puanlamadan daha güvenilir olduğunu belirtmiştir.

Seçenek ağırlıklandırma da yanıtlayıcılara, her bir madde için yalnızca bir seçeneği işaretlemeleri yönünde bir yönerge verilir. Yanıtlayıcı seçtiği seçeneğe göre değişik puanlar alır.

Soruların güçlük düzeyine göre puanlama: bu teknikte maddelerin güçlük düzeyine göre puanlama yapılmaktadır. Kolay sorulara düşük zor sorulara yüksek puan verme şeklindedir. Bununla ilgili herhangi bir standart bulunmamaktadır. Ancak aşağıda bir örnek verilebilir:

Çok zor soru (5); zor soru (4);orta güçlük (3); kolay soru (2); Çok kolay soru (1)

Maddelerin ölçtüğü davranışın düzeyine göre puanlama: alt düzey davranışlara daha düşük, üst düzey davranışlara daha yüksek puan vermek. Örneğin: Bilgi (1), kavrama (2), uygulama (3), analiz (4), sentez (5), değerlendirme (6) puan.

MADDE ANALİZLERİTestin belli bir gruba uygulandıktan sonra, her bir madde için o gruba bağlı olarak belirti len sayısal

özelliklere madde istatistikleri denilir. Maddelerden oluşan testin sayısal özeliklerine de test istatistikleri adı verilir.

Madde analizi ile hedeflenen istenilen özelliklerde maddelerin seçilerek, istenilen özellikte testin oluşturulmasıdır. Test geliştirme sürecinde madde analizi ile test geliştirilmesi önerilir. Ancak madde analizinin yapılabilmesi için, testin uygulanacağı asıl grup dışında benzer bir gruba uygulanması gereklidir. Bu uygulamaya yukarıda da belirtildiği gibi deneme uygulaması adı verilir. Ancak deneme uygulamasının yapılamadığı durumlarda da test geliştirmek olanaklıdır. Bu durumda madde hazırlayıcılarının, testin uygulanacağı grubu iyi tanıması ve grubun yanıtlama davranışlarını tahmin ederek madde istatistiklerini kestirmeleri gerekir.

Özellikle çoktan seçmeli maddelerden oluşturulan testler için madde ve test istatistiklerinin kestirilmesi konusunda çok çalışmalar yapılmış, farklı yöntemler ortaya atılmıştır. Bu bağlamda farklı kuramlar geliştirilmiştir. Bu kuramlar; klasik test, genellenebilirlik ve örtük özellikler kuramları olmak üzere üç tanedir. Anlaşılmasının, uygulamasının ve istatistiksel işlemlerin kolay olması nedeniyle yaygın olarak kullanılan kuram, klasik test kuramıdır.

Klasik test teorisinde genellikle iki yöntem kullanılır. Bu yöntemlerden birincisi basit yöntem (%27'lik alt ve üst gruplar yöntemi) olarak adlandırılmaktadır. Bu yöntemde teste yanıt veren öğrencilerden alt ve üst grup olarak iki grup seçilerek analizlere gidilir. Henryson yöntemi olarak adlandırılan ikinci yöntemde ise, testi alan bütün öğrenciler analize alınır. Bu yöntemlerden hangisinin kullanılacağına, deneme formunun uygulandığı grubun büyüklüğüne göre karar verilir, Eğer grup 400 kişi ya da daha fazla kişiden oluşmaktaysa "%27'lik alt ve üst gruplar" yöntemi, daha az sayıda kişiden oluşmaktaysa Henryson yönteminin kullanılması tercih edilir.Basit Yöntemle Madde İstatistiklerinin kestirilmesi Basit Yöntemle Madde istatistiklerinin kestirilmesinde aşağıdaki adımlarlar uygulanır,

Testi alan öğrencilerin maddelere verdikleri yanıtlar; doğru olması durumunda "1" yanlış,boş bırakılmış ya da birden çok seçenek işaretlenmesi durumunda "0" olarak puanlanır.

Her bir öğrencinin kağıdındaki doğru sayıları sayılarak ham puanları belirlenir. Testten aldıkları ham puanlara göre kağıtlar en yüksek puandan en düşük puana sıralanır, Daha sonra madde puanları matrisi oluşturulur. Testi alan öğrencilerin %27'si belirlenir. Örnek: 19 x27 /100= 5,13 öğrenci gölgeli yerler üst ve alt grup. En yüksek puan alan alandan aşağı doğru grubun %27'si kadar kağıt ayrılarak üst grup,

en düşük puan alan alandan yukarı doğru grubun %27'si kadar kağıt ayrılarak da alt grupolarak adlandırılır. Geriye ortada kalan kağıtlar (grubun % 46'sı) çıkarılır ve analizealınmaz.

Örnek: madde puanları matrisi1.soru 2.soru 3.soru 4.soru 5.soru 6.soru 7.soru 8.soru 9.soru 10.soru Toplam

puan1. A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 102. B 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 93. C 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 84. D 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 85. E 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 76. F 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 77. G 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 78. H 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 69. I 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 610. J 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 611. K 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 612. L 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 513. M 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 514. N 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 415. O 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 316. Ö 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 317. P 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 218. R 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 119. S 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

Madde güçlük derecesinin hesaplanması: Madde güçlük derecesi bir maddeyi doğru yanıtlayanların testi alanların tümünün sayısına bölümüdür. Madde güçlük indeksi, soruya doğru yanıt verenlerin tüm gruba bölünmesiyle elde bir o lasılık ve yüzde

değeridir ve 0,00 ile 1,00 arasında değerler alır. Adından da anlaşılacağı gibi madde güçlük indeksi bir sorunun zor ya da kolaylığının bir göstergesidir. Hesaplanan madde güçlük indeksi 1,00'a yaklaştıkça sınava giren öğrencilerin çoğunluğu tarafından sorunun doğru yanıtlandığı ve bu nedenle de kolay bir soru olduğunu gösterir. Madde güçlük indeksinin 0,00'a yaklaşması ise, sorunun az sayıda öğrenci tarafından doğru yanıtlandığını ve bu nedenle de zor olduğunu gösterir. 0,50 olan madde güçlük in deksi ise, öğrencilerin yarısının soruya doğru yanıt verdiğini gösterir ve ortalama güçlük olarak tanımlanır.

Soruların ortalama güçlükte olması güvenirliği artırdığından, testi oluşturacak maddelerin ortalama güçlükte seçilmesine özen gösterilir. Fakat,bu testin amacına bağlı olarak farklılıklar gösterir.

Madde güçlük derecesi aşağıdaki gibi hesaplanır: Pj= n (dü) + n(da) ______________ (n+n)Formülün açılımı:

Pj: Madde güçlük endeksi n(dü):Maddeyi Üst Grupta doğru yanıtlayanların sayısı n(da): Maddeyi Alt Grupta doğru yanıtlayanların sayısı n: Üst ve Alt gruptaki toplam öğrenci sayısı

katsayıların yorumlanması: 0,00-0,15 arası: çok zor bir soru 0,16-0,40 arası: zor bir soru 0,41-0,60 arası: orta güçlükte 0,61-0,85 arası: kolay 0,86-1,00 arası çok kolay bir soru.

Örnek hesaplama: 1 ve 6 numaralı soruların güçlük derecelerinin hesaplanması aşağıdaki gibidir.1 soru: 5+ 2 _____ = 7/10= 0,70 kolay bir soru

5+56. soru: 3+0 /5+5= 3/10= 0, 30 zor bir soru.

Kural hatırlatması: soruların orta güçlükte olması iyidir.

Soruların güçlük derecesi alt grup üst grup olayı olmadan da hesaplanır. Bu işlemde her bir soruya tüm testi alanların kaçının doğru cevap verdiği bulunur ve testi alanların toplamına bölünür. Bu işlemle elde edilecek sonuçta diğerine benzerdir. Örneğin 1. Soru: doğru cevap öğrenci sayısı/ testi alan öğrenci sayısıSoru 1 p değeri: 15/19=0,78 soru kolay bir soru

Madde ayırt edicilik hesaplaması:Madde ayırıcılık gücü indeksi, maddenin kalitesini gösteren bir değerdir. Bir maddenin bilen öğrenciyle bilmeyen öğrenciyi ayırt etmesi beklenir. Başka bir ifadeyle, üst grupta (başarılı grup) ve alt grupta (başarısı düşük grup) yer alan bireylerin, maddeyle ölçülen özellik bakımından ayrılıp ayrılmadığını gösterir. Bu bağlamda madde ayırt edicilik gücü, maddenin bilenle bilmeyeni ayırt etme gücüdür. Madde ayırt edicilik gücü indeksi -1,00 ile +1,00 arasında değerler alır, Fakat negatif ayırt edicilik maddenin önemli bir kusuru olduğunu gösterir ve negatif ayırt edicilikteki maddeler teste alınmaz. Ayırtedicilik derecesi aşağıdaki formülle hesaplanır.

Rjx = üst grupta doğru cevap öğrenci sayısı ( - ) alt grupta doğru cevap öğrenci sayısı / bir gruptaki öğrenci sayısıRjx = n (Dü) – n(Da) ______________ n

Bu işlemde tek bir gruptaki öğrenci sayısı alınır. Örnek hesaplama: Soru 1: 5-2/5= 0,60 çok iyi bir maddeSoru 6: 3-0/5= 0,60 Soru 8: 3-2/5= 0,20 düzeltilmeliYorumlar: 0,40 ve yukarısı çok iyi bir madde0,40-0,30 arası iyi0,30-0,20 arası düzeltilmeli0,20 ve aşağısı kesinlikle atılmalıÖrnek soru:

Madde No: A B C D* E Toplam

Üst Grup 16 15 19 40 10 100

Alt Grup 25 22 16 23 14 100

D* Anahtar/anmış doğru cevap (yanıt)Verilen sorunun madde güçlük indeksi kaçtır? A) 0,20 B) 0,23 C) 0,32 D) 0,36 E) 0,42Bu sorunun güçlük düzeyi için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?a)Zor bir soru b) Çok zor bir soru c)Ortalama güçlükte d) Kolay bir soru e) Çok kolay bir soru

Doğru seçenek dışında, seçeneklerde üst gruptaki sayıların alt gruptakinden küçük olması gereklidir. Çünkü çeldiricilerin alt gruptaki öğrencileri çeldirmesi beklenir. Örneğin (c) seçeneğinde çeldirici üst grubu yani bilen öğrenci grubunu daha çok yanıltmıştır.

Madde standart sapması varyansı ve güvenirlik katsayısı

Madde no Güçlük derecesiPj

Madde varyansıS2= p*q

Madde standart sapması√p*q

AyırtEdicilik(d)

Madde güvenirlik Katsayısı rj

Standart sapma*ayırtedicilik1 0,73

Kolay bir soru

0,20 0,45İyi bir madde

0,83iyi

0,37Güvenirlik iyi ama yükseltilebilir.

23

Toplam * * * *

Q= maddeye doğru cevap veremeyenlerin oranı. Formülü=1-pTest puanlarının ortalaması soruların güçlük düzeylerinin toplamına eşittir. Testin ortalama güçlüğü test puanlarının ortalamasının madde sayısına bölümü ile elde edilebilir. Bulunan sonucun 0,50 ye yakın olması beklenir.Test puanlarının standart sapması ve varyansı madde güvenirlik katsayılarının toplamına eşittir. Yukarıdaki verilere bağlı olarak KR20 hesaplanabilir. Madde varyansı veya standart sapması yükseldikçe maddenin ayırtedicilik gücü artar.Madde güvenirlik katsayıları yükseldikçe güvenirlik artar.

Testin ortalama güçlüğü: Aritmetik ortalamanın testten alınabilecek en yüksek puana bölünmesiyle elde edilir. Örneğin testi alan öğrencilerin ortalaması 65 testten alınabilecek en yüksek puan da 100 ise testin ortalama güçlüğü 65/100= 0,65 dir. Bu mutlak başrı düzeyi olarak da tanımlanabilir. Buna göre testi alan öğrenciler hedeflerin %65’ine sahiptirler şeklinde de ifade edilebilir.

Testin ortalama güçlük düzeyi Testin değerlendirilmesi

Testin ortalama güçlüğü 0,50 den düşük ise; Test öğrenciler için zor gelmiştir. Sorular zor hazırlanmış olabilir Sınıfta yapılan öğretim yetersiz olabilir. Sınıfta durumu kötü olan öğrenciler çoğunlukta

olabilirTestin ortalama güçlüğü 0,50 den yüksek ise Öğrenciler hedeflerin büyük çoğunluğuna

erişmiştir. Öğretim yeterlidir. Test kolay sorulardan oluşmuştur.

TEST İSTATİSTİKLERİDeğişken: Gözlemden gözleme farklı değerler alan özelliklere denir. Değişkenler bazı özellikleri ve

istatistik işlemlerine olan uygunlukları yönünden gruplara ayrılırlar. Böylece, değişken ya da veriler nicel-nitel; sürekli-süreksiz; bağımlı-bağımsız olarak sınıflanabilir.

Nicel (Kantitatif) Değişken: Olay ve varlıkların sayısal olarak belirlenebildiği değişkenlerdir. Örneğin: Yaş, ağırlık, boy, gelir, bir test üzerindeki puanla, sıcaklık, basınç v.b.

Niteliksel (Kalitatif) Değişkenler: Gözlemden gözleme farklılık gösteren ancak bu farklılığın derece ya da sayı yönünden değil kalite ve çeşit yönünden olduğu değişkendir, örneğin: Zeka, kişilik, doğruluk, güdü v.b

Sürekli Değişken: Hem tam, hem de kesirli olarak ifade edilebilen değişkenlerdir. Rasyonel olarak ifade edilebilirler, örneğin: 65 puan; 50 kg; 180 cm; 21 yaş v.b

Süreksiz Değişken: Ancak tam üniteler ve birimler olarak bulunan özelliklerdir, ölçek üzerinde iki birim arasının bölünemediği değişkenlerdir. Örneğin: kız-erkek; beyaz-siyah; büyük-orta-küçük; pekiyi-orta-zayıf; evet-hayır. Sürekli değişkenler, süreksiz hale getirilebilir, örneğin: 90 puanlık başarı-Pekiyi; 190 cm'lik boy-uzun boylu v.b.

Bağımsız Değişken: Bir sebep-sonuç ilişkisinde, sebep durumunda olan değişkenlerdir. Araştırma sürecinde araştırmacı tarafından ayarlanan, neden değişkeni, örneğin: Bilgisayar destekli öğretimin öğrenci başarısına etkisi var mıdır? Problem cümlesinde -Bilgisayar destekli öğretim- bağımsız değişkendir.

Bağımlı Değişken: Bir sebep-sonuç ilişkisinde sonuç olan özellik ya da değişkendir, örneğin: öğrenme stratejilerinin öğrenci başarısına etkisi var mıdır? Problem cümlesinde -öğrenci başarısı- bağımlı değişkendir

Frekans: Her hangi bir seri veya dizide aynı değerlerin geçiş sayısı.Frekans Dağılımı: Bir diziye ait her puan veya puan gurubu basamağı karşısında o basamaktaki puan

sayısını gösteren dağılım.Grafik: Aynı aralıkta bir seri yatay ve dikey hatlar üzerinde bilgi vermek, mukayeseler yapmak ve

ilişkileri canlandırmak üzere kullanılan diyagram.Ham puan: Bir test uygulamasında elde edilen ve henüz standart puan ve diğer ölçülere

dönüştürülmemiş ilk puan.

Yığılma (Ortalama) ÖlçüleriMod

Merkezi ölçüler içinde bulunması en kolay olanı fakat en az kullanılanıdır. Bir seride frekansı en fazla olan puan veya puanlar, o serinin modunu meydana getirirler. Gruplanmış serilerde yine frekansı en fazla olan grup veya grupların orta noktaları, o serinin modunu meydana getirir.

Bir seride mod her zaman bir tane olmayabilir Bazen İki, üç ve daha fazla mod bulunabilir. Bir seride mod sayısının fazla olması, o seri ile ilgili sınıfın homojen olmadığını, birbirlerine yakın değil uzak olduğunu ve çok seviye kümesinin bulunduğunu gösterir. Serinin modunun çok olması halinde o sınıf iyi sayılmaz.

Medyan Bir seride (dizilmiş puan grubunda) tam ortaya düşen ve seriyi iki eşit parçaya ayıran puan

veya sayıya medyan denir. Medyanın bir adı da ortancadır. Medyan genellikle (Mdn) harfleri ile gösterilir.

OrtalamaYığılma ölçüleri içerisinde en sağlam ve en güvenilir olanıdır. Çeşitli grupları karşılaştırmada mod ve

medyandan çok daha güven vericidir. Çünkü ortalamada büyük veya küçük bütün puanların etkisi vardır. Çoğunlukla M harfi ile gösterilir. Bütün puan toplamının öğrenci mevcuduna bölünmesiyle bulunur. 480+406+334+22 1440--------------------------- = ---------- = 36 40 40

YAYILMA (DAĞILMA) ÖLÇÜLERİYayılma (Dizi) Genişliği (Ranj)

Yayılma genişliğine seri genişliği de denmektedir. Yayılma ölçülerinin en basit olanı ve kolayca bulunabilenidir. Bir puan grubundaki en büyük puan ile en küçük puan arasındaki fark o serinin yayılma genişliğini vermektedir.

Yayılma genişliğine göre, değişik sınıfların puanlarını karşılaştırabiliriz. Daha az bir alana yayılmış olan grup, geniş bir alana yayılmış olan gruptan iyi sayılır. Yayılma alanının az oluşu, o sınıftaki öğrencilerin bilgi seviyeleri bakımından birbirlerinden fazla farklı olmadığı anlamını taşır. Yayılmanın çok fazla olması, sınıftaki öğrencilerin homojen olmadığını, çok çalışkan öğrencilerin yanında çok zayıf öğrencilerin de bulunduğunu gösterir. Fakat sadece yayılma genişliğine göre karşılaştırma yapmak da doğru değildir. Daha önce de belirttiğimiz gibi yayılma genişliği güvenilir bir ölçü değildir. Çok çalışkan veya tembel bir öğrenci bu genişliği büyük oranda etkileyebilir.

Standart Kayma veya sapma Yayılma ölçüleri içerisinde en çok kullanılmakta olanı ve en güvenileni standart kaymadır. Çünkü

ortalamada olduğu gibi, standart kaymada da bütün puanların etkisi vardır. Kısaca standart kayma, bütün puanların ortalamadan olan kaymalarının (sapmalarının) kareleri ortalamasının kareköküdür. Genellikle (S.K.) harfleri ile gösterilir. Bazı kitaplarda da (S.D.) şeklinde kullanılmaktadır.

Hesaplanma biçimleriGruplanmamış verilerde hesaplamalar

201 202 193 184 185 186 177 178 169 1610 1611 1612 1513 1514 1515

1516 1517 1418 1419 1320 1321 1222 12(23) 1222 1221 1220 1219 1118 1117 1116

1015 1014 913 912 811 810 89 78 67 66 55 54 43 42 31

N= puan sayısı veya testi alan öğrenci sayısı. 45Ranj: En yüksek puandan en düşük puan çıkarılır. Örnek: 20-3= 17Mod: 12 çünkü en fazla tekrar eden (6)Modla ilgili özel durumlar:

Bazen aynı değere (frekans) sahip puanlar ardı ardına gelebilir. 2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,6,6Bu durumlarda mod bu iki puanın ortalamasıdır. Örneğin: 3+4=7/2=3,5 mod2,2,3,3,3,4,4,5,5,5,6,7 bu tür dağılımlarda mod iki tanedir. 3 ve 5Tüm frekanslar birbirine eşitse bu dağılımın modu yoktur.

Medyan: Medyan hesaplaması biraz farklıdır. Öncelikle n bulunur ve n’in tek mi çift mi olduğuna bakılır. Sınıf mevcudunun çift olması halinde N/2, tek olması halinde de N + 1/2 formülünü uygulayacağız.Örnekte (n) tek olduğu için 45+1/2=23Daha sonra yapılması gereken ise baştan itibaren sayarak 23. puanı bulmaktır. Yukarıdaki tabloda görüldüğü gibi en yüksekten ve en düşük puandan başlayarak 23. Sayıya gelindiğinde 23. Sayı medyan olmaktadır. Bu dağılımın medyanı 12’dir.

Ortalama: Tüm puanlar toplanır ve n’e bölünür. Örnek: 20+20+19+……………….5+4+4+3 / 45= 12,15

yarı gruplanmış veriler:

puan f Tf Puan*f

3 1 45 3

4 2 44 8

5 2 42 10

6 2 40 12

7 1 38 7

8 3 37 24

9 2 34 18

10 2 32 20

11 3 30 33

12 6 27 72

13 2 21 26

14 2 19 28

15 5 17 75

16 4 12 64

17 2 8 34

18 3 6 54

19 1 3 19

20 2 2 40

45 547

Toplamalı veya yığılmalı frekans: Frekansların aşağı doğru toplanmasıyla elde edilir. Bu bulgu aynı zamanda testi alan öğrenci sayısıdır.Ortalama: Bu tür tablolarda ortalamayı bulmak için puanlar frekansla çarpılır ve toplamı bulunur daha sonra ise toplam frekansa bölünür. 547/45= 12,15Medyan: Bu tür tablolarda önce yığılmalı veya toplamalı frekansa bakılır. Örnekte frekans toplamı 45 yani tek sayı olduğu için n+1/2= formülü kullanılır. Bulunan değer 23’tür. Yalnız karıştırılan bir durum medyan 23 değildir. 23 sadece medyanın kaçıncı puan olduğunu gösterir. Daha sonra yapılması gereken işlem ise yığılmalı frekans içerisinde 23’ün hangi satırda olduğunu bulmaktır. 23 yukarıdan aşağı doğru inildiğinde 27 sayısının içindedir. Bu işlemden sonra 23’ün bulunduğu satırdaki ham puan medyan olarak alınır.Mod: frekans değerlerine bakılır. En yüksek frekans değerinin karşısındaki puan mod dur.

Yukarıdaki veriler aşağıdaki gibi grafikle de gösterilebilir. Frekans poligonu

Bu tür grafiklerde medyan bulunurken aynı işlemler uygulanır.

Verilerin gruplandırılması

Ham puanlar aşağıdaki biçimde gruplandırılır.

20 20 19 18 18 18 17 17 16 16 16 16 15 15 15

15 15 14 14 13 13 12 12 12 12 12 12 11 11 11

10 10 9 9 8 8 8 7 6 6 5 5 4 4 3

1. Dağılımdaki en büyük ve en küçük değer bulunur. Örneğimizdeki en büyük değer 20, en küçük değer 3’tür.2. En büyük değerden en küçük değer çıkarılarak dağılım aralığı bulunur.Dağılım aralığı = En büyük değer- En küçük değer Dağılım aralığı= 20-3=173. Dağılım aralığı (ranj) bir kez 8'e bir kez 15'e bölünerek(sınıf sayısının en az 8, en çok 15 olmasını önerdiğimiz için) sınıf aralığı saptanmaya çalışılır. Grup aralık katsayılarının da 3, 5 ve 7 olması gereklidir.

puan f tf Orta nokta

F*orta nokta

3 5 ///// 5 45 4 4*5 20

6 8 ////// 6 40 9 9*6 36

9 11 /////// 7 34 10 10*7 70

12 14 ////////// 10 27 13 13*10 130

15 17 /////////// 11 17 16 16*11 176

18 20 ////// 6 6 19 6*19 114

45 546

Başka bir örnek:

115 94 110 103 92 104 114 106 100 102 100 95 97 113 98

101 99 103 93 107 96 113 110 108 102 114 90 100 103 114

111 105 99 102 98 97 93 91 99 114 108 103 100 98 101

104 110 114 113 109 108 106 115 103 111 109 112 104 104 102

107 106 119 105 96 94 96 101 101 106 107 105 113 112 99

1. Dağılımdaki en büyük ve en küçük değer bulunur. Örneğimizdeki en büyük değer 115, en küçük değer 90'dır.2. En büyük değerden en küçük değer çıkarılarak dağılım aralığı bulunur.Dağılım aralığı = En büyük değer- En küçük değer Dağılım aralığı= 115-90=253. Dağılım aralığı bir kez 8'e bir kez 15'e bölünerek(sınıf sayısının en az 8, en çok 15 olmasını önerdiğimiz için) sınıf aralığı saptanmaya çalışılır. 25÷8=3.1, 25÷15=1.6'dır. 1.6 ile 3.1 arasında herhangi bir değer sınıf aralığı olarak seçilebilir. Eğer sınıf aralığını 3 olarak alırsak yaklaşık 8-9 sınıf elde ederiz, sınıf aralığını 2 alırsak sınıf sayımız 12-13 arasında olur. Burada sınıf aralığı 3 olarak alınmıştır. Sınıflar şu şekilde olur:Sınıflar90-9293-9596-9899-101102-104105-107108-110111-113114-116

En küçük değer 90 olduğundan ilk sınıfın alt sınırı 90 ile başlatılmıştır. Tüm sınıf sayımız ise 9'dur. Bütün değerler sınıflamaya dahil edilmiştir.Her Sınıfa Düşen Frekans (Sıklık)Sınıflar saptandıktan sonra her bir değerin hangi sınıfa gireceğine bakılır. Örneğimizdeki ilk değer 115'dir. Bu değer 114-116 sınıfına gireceği için bu sınıfın karşısına bir çizgi çizilir. Sonra geri kalan değerler teker teker ait oldukları sınıfın karşısına işaretlenir. Buna "Çetereleme" denir. Sonra çeteleler sayılır ve her sınıfın karşısına yazılır. Örnek dağılımımızın çetele ve sayı ile gösterilmesi şöyledir:

Sınıflar Çetele Frekans90-92 /// 3

93-95 ///// 5

96-98 ///// /// 8

99-101 ///// ///// // 12

102-104 ///// ///// //// 14

105-107 ///// ///// / 11

108-110 ///// //// 9

111-113 ///// /// 8

114-116 ///// 5

Toplam 75

Değerler frekans(f)

toplamfrekans

(tf)

orta noktaX0

fX X0-X (X0-X)2

90-92 3 75 91 273 91-104=-13 169

93-95 5 72 94 470 94-104=-10 100

96-98 8 67 97 776 97-104=-7 49

99-101 12 59 100 1200 100-104=-4 16

102-104 14 47 103 1442 103-104=-1 1

105-107 11 33 106 1166 106-104=2 4

108-110 9 22 109 981 109-105=5 25

111-113 8 13 112 896 112-104=8 64

114-116 5 5 115 575 115-104=11 121

Toplam 75 7779 549

Ortalama: 104

Standart sapma formülü:

Varyans ise karekök dışına çıkmamış halidir.

NORMAL DAĞILIM

Puanlar arası karşılaştırmalar yapmada ve çeşitli istatistiksel kararların alınmasında önemli yararlar sağlar.

Şekil olarak çana benzediği içim çan eğrisi olarak da adlandırılır.

Normal dağılım Özellikleri: Dağılım ortalamaya göre simetriktir. %50'si sağda, %50'si soldadır. Eğriyle X ekseni arasındaki toplam alan 1 birim karedir. Aritmetik ortalama, ortanca, tepe değer(mod) birbirine eşittir. Ortalama ile + - 1 standart sapma arası deneklerin %68.2'sini Ortalama ile + - 2 standart sapma arası deneklerin %95.44'ünü Ortalama ile + - 3 standart sapma arası deneklerin %99.74'ünü kapsar. En düşük puan dağılım eğrisinin sol tarafında yer alır. Bir dağılımın aritmetik ortalaması ve standart sapması biliniyorsa bu dağılımdaki bir puan hakkında

daha kolay yorum yapılabilir. Bir sınıftaki öğrencilerden birinin aldığı puanın, dağılımın neresinde olduğu ya da bu öğrencinin sınıftaki öğrencilerin kaçından daha yüksek not aldığı bilgileri görülebilir.

Dağılımlarda çarpıklık

Bir dağılım normal değilse bu dağılımın çarpık olduğu söylenir. Dağılımlar sola çarpık ve sağa çarpık olarak ifade edilebilir.Simetrik: Normal dağılım. Ortalama=mod=medyanSağa çarpık: Sınıf başarısı düşük. Mod<Medyan<Ortalama. Sorular ve test zordur.Sola çarpık: Sınıf başarısı yüksek. Ortalama<Medyan<Mod. Sorular ve test kolaydır.

Formülle de aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

Çarpıklık katsayısı: 3*(ortalama-medyan) ______________________ Standart sapma

Bulunan değer -3 ile +3 arasında değişir. -3 tamamen sola çarpık, +3 ise sağa çarpık olduğunu, 0 ise normal dağılım eğrisi gösterir. Çarpıklık katsayısı aynı zamanda testin güçlük düzeyinin de bir göstergesidir.

Çarpıklık katsayısı ve testin güçlük düzeyi

Çarpıklık katsayısı Testin güçlük düzeyi

Negatif KolayPozitif Zor0,10 dan küçük Hafif zor0,10-0,25 arası Orta güçlükte0,25’den büyük Çok zor

Standart sapma:Yayılma ölçüleri içerisinde en çok kullanılmakta olanı ve en güvenileni standart kaymadır. Çünkü ortalamada olduğu gibi, standart kaymada da bütün puanların etkisi vardır. Kısaca standart kayma, bütün puanların ortalamadan olan kaymalarının (sapmalarının) kareleri ortalamasının kare köküdür. Genellikle (S.K.) harfleri ile gösterilir. Bazı kitaplarda da (S.D.) şeklinde kullanılmaktadır.

Gruplanmamış puanlarda standart kaymanın bulunuşuStandart kaymanın bulunması oldukça çok işlemleri gerektirmektedir. Özellikle kare kök almalar

öğrencilerin gözünü korkutmaktadır. Bu nedenle, çok pratik olarak standart kaymanın bulunuşunu öncelikle açıklayalım.

(Üstten N/6 Kadar puan toplamı) — (Alttan N/6 kadar puan top.)S.K.= ------------------------------------------------------------------------------------------- N/2Standart kaymanın bu yolla bulunuşunda yapılacak çalışmalar sırasıyla:

1- Önce puanlar büyükten küçüğe doğru sıralanır.2- Sınıf mevcudunun altı da (1/6) birini bulunur.3- Üstten ye alttan sınıf mevcudunun altıda biri kadar puan ayrılır. Eğer sınıf mevcudu 6’ya tam olarak bölünmüyorsa tamsayı kadar puan aldıktan sonra gelen puandan kesir kadarı alınır.4- Üstten ve alttan ayrılan puanlar ayrı ayrı toplanır.5- Üstten alınan puanların toplamından alttan alınan puanların toplamı çıkarılır. Bulunan fark öğrenci mevcudunun yarısına bölünür. Çıkan sonuç puanların yaklaşık standart kaymasını verecektir.

Gruplanmamış puanların standart kaymasını bulmada ikinci yol şöyledir. Bütün puanların kareleri alınır ve öğrenci mevcuduna bölünür. Bölümden ortalamanın karesi çıkarılır ve kare kökü alınır.Gruplanmamış puanlarda standart kaymanın bulunmasındaki ikinci yolu formül şeklinde gösterelim:S.K. =ÖPuan karelerinin toplamı / Öğrenci sayısı – Ortalama karesi S.K. = SÖ P2 / N – M2Standart sapması küçük olan gruplar daha homojen (öğrencilerin öğrenme düzeyleri birbirine yakın), büyük olan gruplar daha heterojendir (öğrenme düzeyleri, notları birbirinden uzak)

Ders Ortalama Standart sapma

Türkçe 70 3

Matematik 71 4

Coğrafya 70 4Fizik 80 5

Kimya 75 4

Bir testte alınan puanların standart sapması büyüdükçe güvenirlik artar.

Ranj değeri standart sapmaya bölündüğünde 4-6 arası değer elde edilmelidir. Eğer elde edilen sayı bu değerler

arasında değilse güvenirlik düşük demektir.

Bağıl değişkenlik katsayısı: standart sapmanın ortalamaya bölünmesi ve 100’le çarpılmasıyla elde edilir. V= standart sapma / ortalama*100Normal dağılımlı bir veride bağıl değişkenlik katsayısı 20-25 arasında değişir. Bağıl değişkenlik katsayısının 20 den küçük olması dağılımın homojen olduğunu (puanların birbirlerine yakın olduğunu), bağıl değişkenlik katsayısının 25’ ten büyük olması ise dağılımın heterojen olduğunu gösterir.

Z Puanı

Normal dağılıma sahip bir puan grubu, aritmetik ortalaması 0,00 ve standart sapması 1,00 olacak biçimde bir puana dönüştürülebilir. Aritmetik ortalaması 0,00 ve standart sapması 1,00 olan bu dağılıma standart normal ya da birim normal dağılım denilir. Puanların böyle bir dönüşüm sonunda elde edilecek yeni puanlara Z standart puanı denilir. Z puanı istatistiksel işlemlerde ve karşılaştırmalarda kolaylık sağlar. Aynı zamanda Z standart puanının başlangıç noktası sıfırın bağıl (izafi) sıfır ve birimlerinin standart olması nedeniyle, eşit aralık ölçeğinde puanlar verir. Bu nedenle eşit aralık ölçeğinde verilere uygulanabilecek her türlü işlem Z puanlarına uygulanabilir.

Z (Z Puanı) =X (bir öğrencinin puanı) - X puanlar dağılımının ortalaması

S (standart sapma)

T Puanı

Z puanı negatif değerler alması bu puanların sıraya konulması ya da karşılaştırılmasını güçleştirir. Z puan dağılımının aritmetik ortalamasının 50 ve standart sapmasının 10 olacak şekilde dönüştürülmesi ile T puanı elde edilir ve bu puan aşağıdaki formülle hesaplanır.

T=10.Z,+50 şekilde de yazılabilir.

T: 50+ X – X . 10

S