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FIEECS, UNI

Teoría Macroeconómica II

Modelo de Solow (II)

Carlos Rojas Quirozwww.carlos-rojas-quiroz.weebly.com

Agosto del 2017

1 Modelo de Solow con cambio tecnológico1.1 La estructura básica del modelo1.2 Análisis del Estado Estacionario1.3 La dinámica de la transición

2 Anexos2.1 Anexo 12.2 Anexo 2

Índice

2/25 FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II

Fuente: Acemoglu (2009).

La estructura básica del modelo


Crecimiento balanceado

• Se refiere a la situación donde el PBI crece a una tasaconstante, mientras que el ratio capital/producto, la tasa deinterés, y los porcentajes de los factores de producción semantienen constantes.



Tipos de progreso tecnológico neutralPosibles funciones de producción, de acuerdo a “posición” delprogreso técnico, A(t):• Neutral en el sentido de Harrod

Y (t) = F(K (t),A(t)L(t))

• Neutral en el sentido de Solow

Y (t) = F(A(t)K (t),L(t))

• Neutral en el sentido de Hicks

Y (t) = A(t)F(K (t),L(t))



A: Hicks neutral, B: Solow neutral, C: Harrod neutral.Fuente: Acemoglu (2009).



Importante:Para que exista crecimiento balanceado se necesita que lafunción de producción sea neutral en el sentido de Harrod(Usawa’s Theorem).



Evolución en el tiempo de los factores de producción:

L(t) = nL(t)

A(t) = gA(t) (1)

Donde n y g son parámetros exógenos. Además, g > 0.Crecimiento exponencial



Ecuación fundamental en niveles:

K (t) = sF(K (t),A(t)L(t))− δK (t) (2)

“Normalizamos” las variables en términos “efectivos”.Definimos k(t):

k(t) ≡ K (t)A(t)L(t)

(3)



• Tasa de crecimiento del capital per cápita(

˙k(t)k(t)

):

∂k(t)∂t

≡ ˙k(t) =K (t)

A(t)L(t)K (t)K (t)

− K (t)A(t)L(t)

L(t)L(t)− K (t)

A(t)L(t)A(t)A(t)

˙k(t)k(t)

=K (t)K (t)

− L(t)L(t)

− A(t)A(t)

˙k(t)k(t)

=K (t)K (t)

− n − g



Además:y(t) ≡ Y (t)

A(t)L(t)

En forma intensiva:

1A(t)L(t)

×F(K (t),A(t)L(t)) = F(

K (t)A(t)L(t)

,1)≡ f (k(t))

Llamando y(t) ≡ Y (t)L(t) , entonces:

y(t) = A(t)y(t) (4)

y(t) = A(t)f (k(t))



˙k(t)k(t)

=sF(K (t),A(t)L(t))

K (t)− (δ + g + n)

˙k(t)k(t)

=sF(K (t),A(t)L(t))× 1

A(t)L(t)

K (t)× 1A(t)L(t)

− (δ + g + n)

˙k(t)k(t)

=sf (k(t))

k(t)− (δ + g + n) (5)

Donde:• sf (k(t)): inversión por unidad de trabajo efectivo.• (δ + g + n)k(t): inversión de reposición.• Restricción adicional es que δ + g + n > 0.



Proposición 1

Considere el modelo de crecimiento de Solow con tecnologíaneutral en el sentido de Harrod, progreso técnico a una tasa gy crecimiento poblacional a tasa n. Si los supuestos 1 y 2 semantienen, entonces existe una única senda de crecimientobalanceado, donde el ratio capital-trabajo efectivo es igual ak∗ ∈ (0,∞), dado por:

f (k∗)

k∗=δ + g + n

s(6)

Además, el PBI per cápita y el consumo crecen a una tasa g.

Análisis del Estado Estacionario


Definición 1Si los supuestos 1 y 2 se mantienen y sea A(0) el nivel inicialde tecnología, el nivel de estado estacionario del ratiocapital-trabajo efectivo consistente con la senda balanceadak∗(A(0), s, δ,n) y el nivel de estado estacionario del productoper cápita y∗(A(0), s, δ,n, t), entonces:

∂k∗

∂A(0)= 0,

∂y∗

∂A(0)> 0,

∂k∗

∂s> 0,

∂y∗

∂s> 0,

∂k∗

∂δ< 0,

∂y∗

∂δ< 0,

∂k∗

∂n< 0;

∂y∗

∂n< 0 ∀ t .



k

f (k)

k∗

sf (k(t))sf (k∗)

f (k(t))f (k∗)

(δ + n + g)k(t)

consumo

inversión



Proposición 2

Si los supuestos 1 y 2 se mantienen, entonces la senda decrecimiento balanceada del modelo de Solow con progresotecnológico a la Harrod y crecimiento poblacional esasintóticamente estable, por lo que si se empieza de cualquierk(0) > 0, el ratio de capital trabajo efectivo converge a k∗

(k(t)→ k∗).

La dinámica de la transición


k

f (k)

k∗viejo k∗

nuevo

sviejof (k(t))

snuevof (k(t))

(δ + n + g)k(t)

Dinámica comparativa


k(t)

˙k(t)k(t)

k∗viejo k∗

nuevo

sviejo f (k(t))

k(t)− (δ + g + n)

snuevo f (k(t))k(t)

− (δ + g + n)



Fuente: Romer (2006).



1 Modelo de Solow con cambio tecnológico1.1 La estructura básica del modelo1.2 Análisis del Estado Estacionario1.3 La dinámica de la transición

2 Anexos2.1 Anexo 12.2 Anexo 2

Índice


Evolución en el tiempo de los factores de producción:

L(t) = nL(t) (7)

A(t) = gA(t) (8)

Donde n y g son parámetros exógenos. Además, una variablecon “punto” indica la derivada de esa variable respecto altiempo:

X (t) =∂X (t)∂t

(9)

Anexo 1 Crecimiento exponencial


Tasa de crecimiento de una variable:

X (t)X (t)

=∂lnX (t)∂t

=∂lnX (t)∂X (t)

∂X (t)∂t

(10)

Aplicando esto en las ecuaciones 7 y 8, se tiene:

lnL(t) = lnL(0) + nt (11)

lnA(t) = lnA(0) + gt (12)

Anexo 1


Aplicando operador exponencial a ambos lados de lasecuaciones 11 y 12:

L(t) = L(0)expnt (13)

A(t) = A(0)expgt (14)

Por tanto, L y A crecen exponencialmente a una tasa exógenade n y g, respectivamente.

Anexo 1


Senda de crecimiento balanceada:Cuando k → k∗, ¿Qué sucede con las otras variables deinterés?• K = AL× k , si llegamos a k = k∗, entonces K

K = n + g.

• Y = F(K ,AL) = AL× f (k∗,1), luego YY = n + g.

• k = A× k∗, entonces kk = g.

• y = A× y∗, por lo que yy = g.

1 Todas las variables de interés del modelo crecen a unatasa constante.

2 En Estado Estacionario, la tasa de crecimiento de laproducción per cápita depende sólo de la tasa decrecimiento tecnológico (progreso técnico).

Anexo 2 Senda de crecimiento balanceada


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