ff.unze.baff.unze.ba/nabokov/matematika/zima2013/05 brojni... · granična vrijednost granična...

Kemal Halilović,profesor matematike Brčko

1

Granična vrijednost Granična vrijednost Granična vrijednost Granična vrijednost funkcijefunkcijefunkcijefunkcije

Neka je data realna funkcijaNeka je data realna funkcijaNeka je data realna funkcijaNeka je data realna funkcija ;: RRf →→→→

Pojam granične vrijednosti funkcijePojam granične vrijednosti funkcijePojam granične vrijednosti funkcijePojam granične vrijednosti funkcije Za nekZa nekZa nekZa nekuuuu funkciju funkciju funkciju funkciju (((( ))))xfy ==== kažemo da ima graničnu vrijednostkažemo da ima graničnu vrijednostkažemo da ima graničnu vrijednostkažemo da ima graničnu vrijednost A A A A u u u u tački a tački a tački a tački a ako ako ako ako jejejeje

(((( ))))(((( ))))εεεεδδδδ

εεεε

<<<<−−−−

<<<<−−−−

ax

Axf i pišemo: i pišemo: i pišemo: i pišemo: (((( )))) Axf

ax

====→→→→lim

Nreka su Nreka su Nreka su Nreka su (((( ))))xf i i i i (((( ))))xg i i i i (((( )))) Axf

ax

====→→→→lim i i i i (((( )))) Bxg

ax

====→→→→lim tada važi: tada važi: tada važi: tada važi:

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) BAxgxfxgxfaxaxax

±±±±====±±±±====±±±±→→→→→→→→→→→→limlimlim

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) BAxgxfxgxfaxaxax

⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅→→→→→→→→→→→→limlimlim

(((( ))))(((( )))) (((( )))) cAxfcxfcaxax

====⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅→→→→→→→→limlim

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))

(((( )))) B

A

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

========

→→→→

→→→→

→→→→ lim

limlim

(((( )))) ±∞±∞±∞±∞≠≠≠≠====

====

+∞+∞+∞+∞→→→→+∞+∞+∞+∞→→→→kaaa

k

k

nn

k

nn

limlim

±∞±∞±∞±∞≠≠≠≠========+∞+∞+∞+∞→→→→+∞+∞+∞+∞→→→→

kaaa kk nn

kn

nlimlim

±∞±∞±∞±∞≠≠≠≠======== +∞+∞+∞+∞→→→→

+∞+∞+∞+∞→→→→kkkk

aa

a

n

nnnlim

lim

(((( )))) ex x

x

====++++→→→→

1

0

1lim 1sin

lim0

====→→→→ x

x

x

ax

ax

x

ln1

lim0

====−−−−

→→→→

ZADACIZADACIZADACIZADACI 1.1.1.1. NaćiNaćiNaćiNaći::::

xxx

x

x++++++++

+∞+∞+∞+∞→→→→lim

RješenjeRješenjeRješenjeRješenje

1

111

1lim

11

1lim

1

1lim

1

1lim

1limlimlim

322

====

++++++++

====

++++++++

====++++

++++

====++++

++++

====++++++++

====++++++++

====++++++++

+∞+∞+∞+∞→→→→+∞+∞+∞+∞→→→→+∞+∞+∞+∞→→→→

+∞+∞+∞+∞→→→→+∞+∞+∞+∞→→→→+∞+∞+∞+∞→→→→+∞+∞+∞+∞→→→→

xxx

x

xx

xx

x

xx

x

xxx

x

xxx

x

x

xxx

x

xxx

xxxx


2

2.2.2.2. Naći:Naći:Naći:Naći:

(((( ))))33

2 1lim

ax

axax

ax −−−−

++++++++−−−−→→→→


(((( ))))(((( ))))(((( ))))

(((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( ))))

222

2222

2

33

2

3

11lim

limlim1

lim

a

a

aaxx

x

aaxxax

axaxx

aaxxax

axaxx

ax

axax

ax

axaxax

−−−−====

++++++++

−−−−

====++++++++−−−−

−−−−−−−−−−−−====

++++++++−−−−

++++−−−−−−−−====

−−−−

++++++++−−−−

→→→→

→→→→→→→→→→→→


1

1lim

4

3

1 −−−−

−−−−→→→→ x

x

x


(((( ))))(((( ))))====

++++++++

++++++++⋅⋅⋅⋅

−−−−−−−−

====++++

++++⋅⋅⋅⋅

++++

++++⋅⋅⋅⋅

++++++++

++++++++⋅⋅⋅⋅

−−−−

−−−−====

−−−−

−−−−→→→→→→→→→→→→ 1

11

1

1lim

1

1

1

1

1

1

1

1lim

1

1lim

33 2

4

14

4

33 2

33 2

4

3

14

3

1 xx

xx

x

x

x

x

x

x

xx

xx

x

x

x

x

xxx

(((( ))))(((( ))))3

4

1

11lim

33 2

4

1====

++++++++

++++++++→→→→ xx

xx

x


34

6262lim

2

22

3 ++++−−−−

−−−−++++−−−−++++−−−−→→→→ xx

xxxx

x


(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( )))) 3

1

332

4

62621

4lim

626213

124lim

6262

6262

13

6262lim

34

6262lim

223223

22

2222

3

2

22

3

−−−−====++++

−−−−

====−−−−++++++++++++−−−−−−−−

−−−−====

−−−−++++++++++++−−−−−−−−−−−−

++++−−−−

====−−−−++++++++++++−−−−

−−−−++++++++++++−−−−⋅⋅⋅⋅

−−−−−−−−−−−−++++−−−−++++−−−−

====++++−−−−

−−−−++++−−−−++++−−−−

→→→→→→→→

→→→→

→→→→

xxxxxxxxxxx

x

xxxx

xxxx

xx

xxxx

xx

xxxx

xx

x

x

5.5.5.5. NaćiNaćiNaćiNaći

x

x

x 3

cos21lim

3

−−−−−−−−

→→→→ ππππππππ


====−−−−

−−−−====

−−−−

−−−−====

====−−−−

−−−−

→→→→→→→→→→→→ x

x

x

x

x

x

xxx 3

cos3

cos2

lim3

cos2

12

lim0

0

3

cos21lim

333

ππππ

ππππ

ππππππππ ππππππππππππ


3

3

3

6

6sin4

6

36

6

3sin

6

3sin4

lim3

2

3sin2

3sin22

lim

33

−−−−====

++++−−−−

====−−−−

⋅⋅⋅⋅

−−−−++++−−−−

====−−−−

−−−−++++−−−−

→→→→→→→→

ππππππππ

ππππ

ππππππππ

ππππ

ππππππππ

ππππππππ x

xx

x

xx

xx


x

x

x −−−−→→→→ 1

2cos

lim1

ππππ


(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))ππππ

ππππππππ

ππππ

ππππ

ππππππππππππππππ

====⋅⋅⋅⋅

====−−−−⋅⋅⋅⋅

++++

−−−−

====−−−−

++++

−−−−====

++++

++++⋅⋅⋅⋅

−−−−

−−−−====

====−−−−

→→→→

→→→→→→→→→→→→

2

21

12

2

112

sin

lim

1

112

sin

lim1

1

1

22sin

lim0

0

1

2cos

lim

1

111

x

xx

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

xxx


x

xxx

x x

x −−−−

−−−−

+∞+∞+∞+∞→→→→

++++++++ 1

2

1lim

RješenjeRješenjeRješenjeRješenje(((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) 121

11

lim12lim1

2

1

2

11

11

1

2

11lim

2

11lim

2

12lim

2

1lim

−−−−++++

++++

−−−−++++++++

−−−−

++++

++++++++

+∞+∞+∞+∞→→→→

++++

+∞+∞+∞+∞→→→→

−−−−

++++−−−−

+∞+∞+∞+∞→→→→

−−−−

−−−−

+∞+∞+∞+∞→→→→

============

++++

−−−−

====

++++

−−−−====

++++−−−−++++

====

++++++++

+∞+∞+∞+∞→→→→+∞+∞+∞+∞→→→→ eeex

xx

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

x

xx

x

x

xxx

x

x

xxx

x

xx


x

x x

tgx sin

1

0 sin1

1lim

++++++++

→→→→


1eeexsin1

tgxxsin1lim

xsin1

tgxxsin1lim

xsin1

tgxxsinxsin1lim

xsin1

tgx1lim

0xsin1

xcos

11

limxsin

1.

xsin1

tgxxsinlim

xsin

1.

xsin1

tgxxsin

tgxxsin

xsin1

0x

xsin

1

0x

xsin

1

0x

xsin

1

0x

0x0x ================

++++

−−−−−−−−

====

++++

−−−−−−−−====

++++

++++−−−−++++====

++++++++

++++

−−−−−−−−

++++

−−−−−−−−

++++

−−−−

−−−−

++++

→→→→

→→→→→→→→→→→→

→→→→→→→→

******moguće su štamparske greške************moguće su štamparske greške************moguće su štamparske greške************moguće su štamparske greške******

4. Limesi funkcija (sa svim korekcijama)

71

2 2 2 2

2 2 2

3 113 1 ( 3 1) / 1225. lim lim lim .12 (2 ) / 22x x x

x x x x x x xx x x x x

x

∞∞→∞ →∞ →∞

− +− + − += = = =

+ + +

4 2 4 2 4 2 3

4 3 4 3 4

4

5 733 5 7 (3 5 7 ) /226. lim lim lim 3.1 55 ( 5) / 1x x x

x x x x x x x x xx x x x x

x x

∞∞→∞ →∞ →∞

− +− + − += = = =

− + − + − +

2 2 3 2 3

3 3 3

2 3

5 1 35 3 (5 3) / 0227. lim lim lim 0.2 43 2 4 (3 2 4) / 33

x x x

x x x x x x x xx x x x x

x x

∞∞→∞ →∞ →∞

− +− + − += = = = =

+ − + − + −

4 3 2 4 3 2 4 2

3 2 3 2 4

2 4

2 166 2 (6 2 ) / 6228. lim lim lim .2 1 32 3 (2 3) / 0x x x

x x x x x x x x xx x x x x

x x x

∞∞→∞ →∞ →∞

− +− + − += = = = = ∞

+ − + − + −

2 2212 ( 2 ) /229. lim lim lim 1.11 ( 1) / 1

x x x

x x x x x xx x x

x

∞∞→∞ →∞ →∞

−− −= = = =

+ + +

2 211 1( ) / 1 1230. lim lim lim 1.32 3 (2 3) / 22

x x x

x x x x x x x xx x x

x

∞∞→∞ →∞ →∞

+ −+ − + − += = = = =

+ + +

2 24 4

2 24 4

42

42

3 3 1 [ 3 3 1] /231. lim lim2 4 5 [2 4 5] /

3 3 11 1 1 1 2 lim .2 1 34 52 1 1

x x

x

x x x x x x xx x x x x

x x x

x x

∞∞→∞ →∞

→∞

+ + − + + + − += = =

− + − − + −

+ + − + += = =

+− + −

5 55 3 5 3

3 33 2 2 3 2 2

52 5

33 2

2 4 (3 4) [ 2 4 (3 4)] /232. lim lim4 1 [ 4 1]/

2 4 41 3 1 3 4 lim 2.1 1 21 4 11 1

x x

x

x x x x x x xx x x x x x x

x x x

x x x

∞∞→∞ →∞

→∞

− + + − − + + −= = =

+ − + − + − + −

− + + − += = = =

++ − + −

Mervan Pašić: Matan1 – dodatak predavanjima za grupe GHI

72

22 2

2

( ) 2( )2 2233. lim | ( ) | lim lim1 1 1

21( 2 ) / lim lim 1.1( 1) / 1

x x x

x x

x xx x x xx xx x x

x x x xx x

x

∞−∞→−∞ →∞ →∞

→∞ →∞

− − −− += = → − = = =

+ − + − +

++= = = −

− + − +

22

2 2

( ) ( ) 3( )3234. lim | ( ) | lim2 1 2( ) 1

31 13 [ 3 ] / 1 1 lim lim lim 1.12 1 [ 2 1] / 22

x x

x x x

x x xx x x x xx x

x x x x x x x xx x x

x

−∞−∞→−∞ →∞

→∞ →∞ →∞

− − − + −− += = → − = =

+ − +

− − −− − − − − − − −= = = = =

− + − + −− +

ZADACI ZA VJEŽBU

3 2

3 2

2 1235. lim .2 4x

x xx x→∞

− ++ −

2

3 2

4 10236. lim .1x

x xx x→∞

− ++ −

2

2

2 1237. lim .3 7x

x x xx x→∞

− + −

+ +

2

2

2 1238. lim .3 7x

x x xx x→−∞

− + −

+ +

3 3

2

2 4 1239. lim .2 3x

x x xx x x→∞

− + −

+ +

3 3

2

2 4 1240. lim .2 3x

x x xx x x→−∞

− + −

+ +

32 3 2

2

4 5 1 7241. lim .3 4 2 5x

x x x xx x x→∞

⋅ − + + + −

+ + − +


73

32 3 2

2

4 5 1 7242. lim .3 4 2 5x

x x x xx x x→−∞

⋅ − + + + −

+ + − +

RJEŠENJA

235. 2.R 236. 0.R 3237. .4

R 1238. .2

R 5239. .3

R 240. 5.R −

5241. .4

R 3242. .2

R −

4.2 NEODREĐENI OBLIK ∞−∞

U ovoj točki ćemo računati limese funkcija kod kojih se nakon uvrštavanja ∞=x pojavljuje neodređeni oblik ∞−∞ . U tom slučaju je potrebno danu funkciju transformirati raznim “trikovima” (racionaliziranje, faktoriziranje, itd.) na oblik ∞

∞ , te nastaviti u smislu prelaza sa beskonačno velikih na konačne i proizvoljno male veličine (dijeljenje brojnika i nazivnika sa najvećom potencijom), što je objašnjeno u prethodnom poglavlju. RJEŠENI PRIMJERI

U slijedećim zadacima izračunati limese funkcija.

3 3243. lim( 3) lim( 3) lim3 3

3 lim 0.3

x x x

x

x x x xx x x xx x x x

x x

→∞ →∞ →∞

→∞

+ − − +− − = − − = =

+ − + −

= =+ −

2

2 2

2

2 2

2 2

2

3 4244. lim( 3 4) lim( 3 4)3 4

433 4 (3 4) / 3 = lim lim lim .23 43 4 [ 3 4]/ 1 1

x x

x x x

x x xx x x x x xx x x

x x x x x xx x x x x x x

x x

→∞ →∞

∞∞→∞ →∞ →∞

+ − +− − + = − − + =

+ − +

−− + − −= = = =

+ − + + − + + − +


74

2 22 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

4 2 5245. lim( 4 2 5) lim( 4 2 5)4 2 5

4 2 5 (2 9) / lim lim4 2 5 [ 4 2 5] /

92 2 lim 1.1 14 2 51 1

x x

x x

x


x x x x xx x x x x x x

x

x x x

→∞ →∞

∞∞→∞ →∞

→∞

− + − +− − − + = − − − + =

− + − +− − + − −

= = = =− + − + − + − +

−= = =

+− + − +

1 1 3 4246. lim lim( 3 4) ( 3 4) 3 4

3 4 1 3 4 lim lim7( 3 4)

1 [ 3 4]/ 1 3 4 2 lim lim[ 1 1 ] .7 7 7/

x x

x x

x x

x xx x x x x x x x

x x x xx x x x

x x xx xx x

→∞ →∞

∞∞→∞ →∞

→∞ →∞

− + += =

− − + − − + − + +

− + + − + += = − = =

− − −

− + += − = − − + + = −

2 2

22 2

2

2 2

2 2

247. lim ( 2) | ( ) | lim [( ) ( ) ( ) 2]

2 lim[ 2] lim[ 2]2

2 ( 2) / lim lim2 [ 2] /

x x

x x

x x

x x x x x x x x


x x x x xx x x x x x x

→−∞ − →−∞

→∞ →∞

∞∞→∞ →∞

+ − + = → − = − + − − − + =

+ + += − + + + = − + + + =

+ + +− + + + +

= = = =+ + + + + +

2

21 1 1 lim .1 1 21 21 1

x

x

x x→∞

+= = =

++ + +

ZADACI ZA VJEŽBU

2248. lim ( 3 1).

xx x x

→−∞+ − +

2249. lim( 3 1 ).

xx x x

→∞− + −

2 2250. lim( 1 5 ).

xx x x x

→∞+ + − +


75

3 3 2251. lim( 2 1).x

x x x→∞

− + −

4 3 4 24 4252. lim( 2 3 ).

xx x x x x

→∞+ − − − +

RJEŠENJA

3248. .2

R 3249. .2

R − 250. 2.R − 2251. .3

R − 1252. .4

R

4.3 NEODREĐENI OBLIK ∞1

U ovoj točki računamo limese funkcija oblika )()( xgxfy = kod kojih nakon uvrštavanja

∞=x dobivamo oblik ∞1 . Osim svojstava limesa, nabrojanih na početku ovog poglavlja, koristit ćemo važan identitet:

.)11(lim ex

x

x=+

∞→

Nadalje, treba primijeniti određene «trikove» pomoću kojih se dani oblik )()( xgxfy =

transformira na eksponencijalni oblik ∞∞

e , pa potom u eksponentu primijeniti rješavanje oblika ∞

∞ s početka ovog poglavlja. RJEŠENI PRIMJERI

U slijedećim zadacima izračunati limese funkcija.

3 33

3 3

3 3 1 1253. lim 1 lim 1 lim 1 lim 1 .xxx x

x xx x x x

x ex x

∞

→∞ →∞ →∞ →∞

+ = = + = + = + =

1 1254. lim 1 lim 1 lim 1 lim 1

1 lim 1 .

xa

xa

x ax x

x xx x x xa a

a

axxa

x a ax x

e

∞

→∞ →∞ →∞ →∞

→∞

+ = = + = + = + =

= + =


76

44

1 1 1255. lim 1 lim .4 4 4lim

x

x xx x

x

x ex ex x

x x

∞ −

→∞ →∞

→∞

= = = = = + + +

1 1 1256. lim 1 lim .

lim

xa

x x ax x

x

x ex a ex a x a

x x

∞ −

→∞ →∞

→∞

= = = = = + + +

222 25

2 2

525

2 25 5

5 5 1 1257. lim 1 lim 1 lim 1 lim 1 .xxx x

x xx x x x

x ex x

∞

→∞ →∞ →∞ →∞

+ = = + = + = + =

1 44 1 4

1

( )lim 4

14

3 3 4258. lim 1 lim 1 1 lim 11 1 1

1 lim 1 .x x

x xxx

x x x

x x x

xx

x xx x x

e e+ −− + −

+→∞

∞

→∞ →∞ →∞

−

+→∞−

− − − = = + − = + = + + +

= + = =

( )( )( ) lim

259. lim 1 lim 1 1 lim 1

1 lim 1 .

b a xx bb a x b x

x bx

x x x

x x x

b a b ax bxb a

x a x a b ax b x b x b

e e

−−− −

−→∞

∞

→∞ →∞ →∞

− −

−→∞−

− − − = = + − = + = − − −

= + = =

ZADACI ZA VJEŽBU

2

2260. lim .1

x

x

xx→∞

+ −

233

3261. lim .4

x

x

x xx→∞

+ +

2

2262. lim .3 1

x

x

x xx x→∞

− + −

2 3263. lim .1

x

x

x xx x→∞

− + + −

ff.unze.baff.unze.ba/nabokov/matematika/zima2013/05 brojni... · granična vrijednost granična...

Documents