federal university of rio de janeiro · sicas da teoria da elasticidade linear em coordenadas...
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ANÁLISE DE PLACAS CIRCULARES COM ORTOTROPIA FÍSICA OU GEO~TRICA
Hierônimo Santos Souza
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE
PÔS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE
JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO
GRAU DE MESTRE EM CifNCIAS (M.Sc.).
Aprovada por:
Pr6. Sergio Fernandes Villaça
(Presidente)
..--.___ -~"-------+-------"'--~
s dos San tos /
Prof. Humberto Lima Soriano
RIO DE JANEIRO, R.J. - BRASIL
DEZEMBRO DE 1978
-
i
SOUZA, HIERÔNIMO SANTOS
Análise de Placas Circulares com Ortotropia
Física ou Geométrica. [Rio de Janeiro[, 1978.
X, 216 p., 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., En-
genharia Civil, 1978).
Tese - Universidade Federal do Rio de Janei-
ro - COPPE
1. Placas I. COPPE/UFRJ II. Título (série)
-
ii
A meu pai, com saudades:
e à minha mãe., com carinho.
-
iii
. AGRADECIMENTOS
Ao Prof. Sergio Fernandes Villaça, pela dedicada
e valiosa orientação do trabalho.
Ao Prof. Paulo Alcantara Gomes, pela idéia ini·ci
al da tese.
Aos Profs. Antonio Marmo de Oliveira e José Ber-
nardo Ortiz Monteiro, da Universidade de Taubaté, pelos conheci-
mentos transmitidos no período de graduação.
Pelo mesmo·. motivo, aos professores da COPPE /
UFRJ, durante os cursos de pós-graduação.
Ao CNPq e à CNEN, pelo auxílio financeiro.
à Enise, minha mulher, pela colaboração e incen-
tivo tantas vezes demonstrados.
Ao amigo 11enato Di Thomazo, pela excelente con -
fecção dos desenhos.
A tantas outras pessoas que, de outras formas
prestaram sua contribuição.
,
-
iv
RESUMO :
O objetivo deste trabalho é a análise. estrutural
da flexão de placas circulares com ortotropia física ou georrétri
ca. No primeiro caso a placa possui espessura uniforme e seu ma
terial apresenta diferentes propriedades segundo as direções ra-
dial e circunferencial; no segundo, a placa isótropa é enrijeci-
da por um conjunto de nervuras U11iformemente distribuídas nas
direções citadas, que lhe conferem características de estrutura
ortótropa.
Para cada caso sao instituídas as equações dife-
renciais de equilíbrio em termos dos deslocamentos do plano mé -
dio da placa e suas soluções gerais são obtidas por meio de se -
ries. Resultados analíticos dessas teorias são apresentados pa-
ra diversas combinações de carregamento e condições de contorno
usuais em placas circulares ou anulares.
Apresentam-se também, métodos aproximados~ para
análise de placas nervuradas, e seus resultados conparados com
as soluções da teoria desenvolvida.
-
V
ABSTRACT
The purpose of this work is the structural
analysis of circular plates with physical or geometrical ortho-
tropy. In· the former, the plate has uniform thickness and its
material has different elastic properties in the radial and
circunferential directions; in the latter, the isotropic plate
is stiffenned with uniformily spaced radial and circunferential
ribs.
For each case, the equilibrium differential
equations are derived in terms of the middle surface displace -
ments, and their general solutions are found by series. Closed
form solutions for several combinations of usual load and boundary
conditions are given in detail.
Some approximations to the theory of stiffened
plates are presented,and their results are compared to the
solutions of the theoretical developement.
-
vi
SIMBOLOGIA
CAP!TULO II
r, e, z - coordenadas cilíndricas
ªr' cr8 , ªz - tensões normais paralelas às direções ·de coordenadas
'ar' 'ze' 'rz - tensões tangenciais paralelas às direções de coor
denadas
Er' E8 , Ez - deformações normais
Yer' Yze' Yrz - deformações angulares
u, v, w - deslocamentos nas direções r, e e z respectivamente
Er' E9 , Ez - módulos de elasticidade do material ortótropo
, i,j = r,8,z - coeficientes de Poisson do material ortótropo
Gra' Gaz' Grz - módulos de cisalhamento
Pr, P9 , Pz - forças de superfície
l, m, n - co-senos diretores da normal à superfície
Ü, v, w - deslocamentos prescritos no contorno
CAP!TULOS III E IV
a, b - raios externo e interno da placa circular, respectivarrente
h - espessura
Qr, Q8 - esforços cortantes por unidade de comprimento
Vr' v9 - reações de apoio por unidade de corrprimento
Mr' M8 - momentos fletores por unidade de comprirrento
Mre, Mar - momentos torsores por unidade de comprimento
q (r, e) - carregarrento externo distribuído
w - flechas
-
vii
ªr' B9 - rigidezes fle.xionais da placa ortótropa
ªre, ªer - rigide zes torcionais da placa ortótropa
H - rigidez torcional efetiva
a, B, ó, II - parâmetros adimensionais associados às rigidezes da placa ortótropa
Lr' L9 , Lre - operadores diferenciais
Ài - raízes da equação característica
' m - índice contador da ordem dos'harmônicos
Cim - constantes de integração dos deslocamentos w
Wm - coeficientes das séries trigonorrétricas, dependentes da va-
riâvel r somente
F - função de tensões
E, v - constantes elâsticas de material isótropo
Fij - funções iniciais de influência
CAP!TULOS V E VI
a, h - raio e altura da placa isótropa
E, v - constantes elâsticas da placa isótropa
br' b 9 - espaçamento eixo a eixo entre nervuras contíguas nas ·di
reções radial e circunferencial respectivamente
hr' h 9 - alturas das nervuras
tr' t 9 - larguras das nervuras
Ar' A9 - áre.as unitárias das nervuras
Er' E9 - módulos de elasticidade das nervuras
er' e 9 - excentricidades das nervuras
ºr' o 9 - rigidezes extensionais unitárias da placa nervurada
ªr' B9 - rigidezes flexionais unitárias da placa nervurada
D, B - rigidezes extensional e flexional unitárias da placa isó-
tropa
Nr' N9 , Nre - esforços de membrana
-
viii
u, v, w - deslocamentos do plano rrédio da placa isótropa
Lr' La, Lre
x, a, S, Kr
operadores diferenciais
parâmetros adimensionais que relacionam propried~
des físicas e georrétricas das seções transversais
da placa nervurada
Ài' µi - raízes das equações características
K, L - constantes associadas às raízes Ài e µi
m - Índice contador da ordem dos harmônicos
d1 , d 2 , f, n - parâmetros adimensionais associados com o cisa lhamente e à torção da placa isótropa
y, ô - parâmetros adimensionais que relacionam rigidezes da pla-
ca nervurada com as da placa isótropa
e. - constantes de integração dos deslocamentos u, v e w im
n. , 1;. - fatores de multiplicidade entre as constantes de inte im i m
graçao
es, Ds, Bs grandezas referentes aos enrijecedores somante
x1 , a1 , Si - parâmetros adimensionais assoei ados com estas gran-
dezas
!AI - matriz dos coeficientes do sistema de equaçoes diferenci -ais
p coordenada radial adimensional
e: relação entre raios interno e externo da placa circular
-
ix
· ·tNDICE
CAPtTULO I - INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CAP!TULO II - EQUAÇÕES BÃSICAS DA TEORIA DA ELASTICIDADE
LINEAR EM COORDENADAS CILiNDRICAS
2.1 - Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 2 - Estado de Tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 - Estado de Deformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 - Lei de Hooke Generalizada
2.5 - Condições de Contorno
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CAP!TULO III - FLEXÃO DE PLACAS CIRCULARES COM ORTOTROPIA
F!SICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 - Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 2 - Hipóteses da Teoria
3.3 - Forças e Momentos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. 4 - Equilíbrio de um Elemento de Placa
3.5 - 'Relações Deformação-Deslocamento
3.6 - Relações Tensão-Deformação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 7 - Expressões Esforço 'Resultante - Flech.a
3.8 - Equação Diferencial da Placa
........
3. 9 - Rigidez Torcional Efetiva
3.10- Condições de Contorno
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11- Solução Geral da Equação Diferencial
3.12- Equação Diferencial das Chapas com Ort0tropia
Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CAP!TULO IV - APLICAÇÕES A CASOS USUAIS DE CARREGAMENTO E CON
DIÇÕES DE CONTORNO - ORTOTROPIA FtSICA
i
4
4
5
6
8
11
13
13
14
15
17
20
21
24
25
27
30
32
38
42
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X
4 .1 - Introdução
4. 2 - Flexão Axissinétri ca
4.3 - Flexão Assinétrica
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
42
83
4. 4 - Chapas Sujeitas a Pressões Radialmente Simétricas 96
CAPITULO V - FLEXÃO DE PLACAS CIRCULARES COM ORTOTROPIA GEO
fil:TRICA
5.1 - Introdução
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.................................... 5. 2 - Considerações Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. 3 - Definições Físicas e Geonétricas
5. 4 - Instituição das Equações de Equilíbrio
5.5 - Soluções Axissimétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 - Soluções Não.-Axissinétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 - Condições de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CAPITULO VI - APLICAÇÕES A CASOS COMUNS DE CARREGAMENTO
101\
100
103
106
111
122
135
145
E CONDIÇÕES DE CONTORNO (ORTOTROPIA GEOfil:TRICA) 147
6.1 - Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 - Flexão Axissinétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 - Flexão Não-Axissimétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CAPITULO VII - APROXIMAÇÕES DA TEORIA DE PLACAS". CIRCULARES
147
147
181
COM ORTOTROPIA GEOME!TRICA •••••••••••••• 189
7.1 - Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 - Aproximação por uma Equação de 4~ Ordem - Tipo Or-
trotopia Física
CAPITULO VIII - CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
REFE~NCIAS BIBLIOGRÃFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
APfNDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189
191
207
209
213
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1
CAP!TULO I
INTRODUÇÃO
A utilização de. estruturas laminares planas em
certos setores da construção civil, aeronáutica e naval, e~ge ,
na maioria das vezes, a preservaçao de um de seus lados como su-
perfície plana que irá receber as solicitações de serviço, tais
como os casos de pisos, pontes, cascos de navio, fuselagens de
avião, etc. Quando se requer da estrutura maior rigidez e esta-
bilidade sem o aumento proporcional da sua espessura, o nervura-
mento excêntrico é uma prática que produz bons resultados, pois
lhe confere as características estruturais desejadas com um in -
cremento relativamente pequeno dó seu peso próprio. O enrijeci-
mento de placas segundo direções perpendiculares leva ao estudo
d~ placas ortótropas.
Uma placa é considerada ortótropa quando aprese!!.
ta propriedades de rigidez diferentes em direções ortogonais pa-
ralelas ao seu plano médio. Este fato, de um modo geral, ocorre
nas seguintes situações: a) a placa tem espessura uniforme e a
variação se dá nas propriedades elásticas do material constituin
te; a esse tipo diz-se que contém ortotropia física ou natural;
b) a placa é construída com material de propriedades elásticas· u
niformes e a variação se dá nas propriedades geométricas da se -
ção transversal; neste caso diz-se que possui ortotropia geomé -
trica ou construtiva.
-
2
O início do desenvolvimento teórico da flexão
de placas com ortotropia física se deve a M. T. Huber25
que a PªE.
tir de 1914 idealizou este modelo estrutural para o cálculo de
placas retangulares de concreto armado, com nervuras excêntricas
no seu plano médio e uniformemente dispostas em direções parale-
las a seus lados.
Pflüger26 em 1947 foi o primeiro a estudar rig~
rasamente o problema, ao considetar as deformações do plano mé -
dia da placa e o cisalhamento delas decorrentes por efeito da
excentricidade das nervuras, detalhe não considerado por Huber
Depois dele, pode-se citar, entre outros,
27 28 11 12 ks , Giencke , Massonnet , Clifton e
os trabalhos de Tren -
Troitsky6 , que contri-
bUÍram na formação da teoria considerada exata das placas excen-
tricamente enrijecidas.
Neste trabalho, objetiva-se o estudo da flexão,
no domínio de pequenos deslocamentos, das placas circulares com
ortotropia cilíndrica, as quais apresentam diferentes valores de
rigidez segundo as direções de coordenadas polares: raios e cir-
cunferências concêntricas.
No Capítulo II é feito um resumo das equaçoes bá
sicas da teoria da elasticidade linear em coordenadas cilíndri -
cas. Nos Capítulos III e IV apresentam-se a teor±a da flexão de
placas circulares com ortotropia física e resultados anafíticos
para casos clássicos de carregarrento e condições de contorno. '
No Capítulo V desenvolve-se a teoria da flexão
-
3
de placas circulares com: eririjecedores excêntricos ao seu plano
médio, tendo por base os trabalhos citados anteriormente que re-
latam o assunto detalhadamente para placas de forma retangular
No Capítulo VI procurou-se soluções analíticas para a maioria
dos casos comuns de carregamento e condições de contorno aborda-
dos no Capítulo IV.
Finalrrente no Capítulo VII , estuda-se a viabi1i
dade de aplicar em placas circulares, as aproximações das equa-
çoes da teoria de placas nervuradas por uma equação tipo Huber,
onde se procura substituir a placa isótropa com propriedades ge~
métricas descontínuas por uma placa ortótropa equivalente de
propriedades geométricas contínuas.
-
4
CAPITULO II
EQUAÇÕES BÃSICAS DA TEORIA DA ELASTICIDADE LINEAR
EM COORDENADAS CILÍNDRICAS
2.1 - INTRODUÇÃO
No estudo das tensões e deformações decorren-
tes da flexão de placas circulares possuindo ortotropia física
ou geométrica, utiliza-se a teoria da elasticidade linear equa-
cionada em coordenadas cilíndricas. Apresentamos a seguir um
resumo desta teoria tendo por base o trabalho de Lekhnitskii1 •
O comportamento estrutural de um sólicb elásti
co sujei to à açao de forças externas e devencb cumprir no con-
torno certas condições de deslocamento, se define em termos de
sua configuração de deformações e tensões internas resultantes.
As grandezas relacionadas a estes estados são referidas a um
sistema de coordenadas cilíndricas (r,e,z) como o da fig. 2.1 ,
sendo o ângulo e medido a partir de um eixo x arbitrário.
º'==--------,~-----__._,..X -~:::·.:::::_~;·· -------.... !,. !""-:' ,;----
'·-.,, 1
r
z
F IG-2.1
-
5
2.2 - ESTADO DE TENSÕES
O estado de tensões num ponto genérico P (r,
e,z) em equilíbrio no interior do corpo, é definido pelas com-
ponentes de tensão atuantes em 3 facetas perpendiculares as
direçiíes coordenadas, (fig. 2.1) ,que constituem o tensor
cr r Tre
Ter cr e ( 2 .1)
Tzr ''ze
simétrico devido à lei de reciprocidade de tensões cisalhantes:
I i,j=r,e,z
Considerando a variação de tensões sobre um e
!emento infinitesimal de volume r dr de dz , e estabelecendo
.o equilíbrio na posição indeformada (válido para pequenos desl~
camentos), as equações diferenciais do equilíbrio, na ausência
de forças de massa, se escrevem:
= o
il Tre 1 "a e il Tez T re ãr"" + - ãe + ~ + 2 = o ( 2. 2 J r r
ilTrz 1 a Tez il C/ Trz ãr"" + - ã'e"" +
__ z + -- = o r az r
-
6
2.3 - ESTADO DE DEFORMAÇÕES
O estado de deformações na vizinhança de um
ponto qualquer, é definido pelo tensor
·1 1 Er 2 Yre 2 Yrz
1 1 ( 2. 3) 2 Yer E6 2 Yez
1 1 2 Yzr 2Yze Ez
também simétrico. O vetor deslocamento entre a posição inicial
indeformada e a posição final tem as componentes u,v e w ,re.!!_
pecti vamente nas direções r, e e z.
As relações deformação-deslocamento, no caso
linear, sao:
au av V + 1 au Er = Yre = ãr - - - ãê ar r r
= 1 av + u = aw + au ( 2. 4 l E6 - as Yrz ãr r r az
aw av 1 aw Ez = ãz Yez = -+ as az r
Na figura 2.2 é esquematizada a geometria de
deformaç3es com pequenos deslocamentos que ocorre no plano re,
onde se pmcura realçar a influência dos deslocamentos radiais
sobre as deformações tangenciais e a mtação de corpo rígido do
elemento que deve ser excluída da variação angular total.
-
7
>v v + 00 rde+ude
o' FIG-2.2
A continuidade dos deslocamentos imp:ie que
as deformações satisfaçam as seguintes equações de compatibili-
dade:
2 e!. r
2 .a .E 6 2(--araz
1 r2
1 2 r
=
=
=
2 1 a Y ez r "'"a._.z-::-a-::-e-
2 1 a Yre - + r arae
a a · ·a · 1 · Y r z · .y e z _r_a_e (- r ae + ar
1 2 r
(2.5)
y -ª-
-
8
2. 4 - LEI DE HOOKE GENERALTZ:ADA :
O material é considerado homogêneo e segue a
lei de Hooke, em cujas relações constitutivas as deformações sao
funções algébricas lineares das tensões e vice-versa; esta line
aridade física, juntamente com a hipÓtese de pequenos desloca -
mentos, garantem a validade do princípio de superposição de efei
tos.
As equaçoes da lei de Hooke em coordenadas ci
líndricas, no caso mais geral de sólido anisótropo sem nenhuma
simetria elástica, podem ser colocadas na seguinte forma:
{E} = IAI {a}
Er ª11 ª12 ~3 ª14 ª15 ª16- ªr
Ee ª22 ª23 ª24 ª25 ª26 ªe
Ez ª33 ª34 ª35 ª36 ªz = Yre SIM. ª44 ª45 ª46 're
Yez ª55 ª56 'ez
Yrz ª66 'rz
(2.6)
onde JAJ é a matriz elástica, simétrica por considerações de
energia e com 21 elementos indep~ndentes.
O principal caso de anisotropia cilíndrica ,
de especial interesse em nosso estudo, denomina-se Ortotropia
Cilíndrica. t definida2 quando as constantes elásticas que
-
9
caracterizam o ma teria!, independem da distância radial r e
pernanecem invariantes sob as seguintes transformações de coor-
denadas: uma rotação ao redor do eixo z, uma translação do
eixo z e finalmente uma inversão desse eixo (z e chamado ei-
xo de ortotropia do sistema). Estas transformações significam
que em cada p:>nto do sólido existem 3 planos ortogonais de sime
tria elástica· dos quais um oontém o ei:xo de ortotropia e ou -
tro é normal a ele.
Na fig. 2.3, estão representados alguns ele-
mentos de volume no interior de um sólido ortótropo, que possu-
em propriedades elásticas semelhantes e o seu sistema de refe -
rência.
O cs-c--.-----------,1-------'-Xc.
~ '
e
FIG-2.3
-
10
A mudança de sinal nas tensões cisalhantes
com um giro de 180° em relação a um plano normal, nos mostra
que alguns elementos da matriz [Aj devem se anular de rrodo a
satisfazer a simetria elástica. De maneira geral, conclui-se
que: os alongamentos não dependem das tensões cisalhantes e as
variações angulares dependem somente das correspondentes ten -
sões de cisalhamento. Dessa forma, as relações constitutivas
simplificam-se, restando somente 9 constantes elásticas indepe~
dentes.
A lei de Hooke, escrita com notação mais fami
liar ao engenheiro, assume então o aspecto:
1 \) re "rz E - E -r E E r e z
o "er 1 "e z
E8 - ~ ~ ~ r z
= "zr "z e 1
Ez ~ - ç E r z 1
Yre ~ re o
1 Yez Gez
1 Yrz ~ rz
( 2. 7)
onde Er , E8 e Ez sao os m5dulos de elasticidade nas direções
r, e e z ; "ij e o coeficiente de Poisson que caracteriza uma
deformação na direção i quando uma tensão normal é aplicada
na direção j , i,j=r,e,z; e Gra' G8z e Grz são os nódulos
-
11
de cisalhamento entre as dire
-
12
a) de forças
O equilíbrio de um ponto situado sobre S e a
verificado pelas equaçoes:
T n rz
(2. 9)
nas quais: Pr' P 8 e P 2 sao as componente.s da força externa
por unidade de área segundo as direções coordenadas; l,m e n
sao os co-senos diretores da normal à superfície pelo ponto de
aplicação da força; e ªr' a 8 , etc sao as componentes do ten-
sor de tensões no ponto considerado.
b) de deslocamentos
-sobre su : u = u (2.10) -
V = V
- - conhecidos. w = w u , V e w
-
13
· CAPfTULO TII
FLEXÃO DE PLACAS CIRCULARES· COM ORTOTROPIA FfSTCA
3 .1 - INTRODUÇÃO
Nesse capítulo, trataremos da flexão de pla -
cas circulares com espessura invariável, no domínio de pequenos
deslocamentos, e nas quais as propriedades elásticas do materi-
al são diferentes segundo as direções de coordenadas polares,
raios e circunferências concêntricas, embora permaneçam consta~
tes ao longo de cada uma dessas famílias de curvas. A este ti-
po de placas, diz-se que apresentam ortotropia cilíndrica físi-
ca ou natural.
Peças estruturais que podem ter esse comporta
menta, sao por exemplo3 : discos de madeira possuindo fibras an~
lares dispostas com uma certa regularidade; placas obtidas jus-
tapondo-se lâminas finas de aço que são curvadas e nonolitica -
mente fixadas a um núcleo central; placas de concreto armado com
diferentes percentagens de armaduras nas seções radial e tan -
gencial, etc.
Adota-se o sistema de coordenadas cilíndricas
nostrado na fig. 3.1, com sua origem coincidindo com o centro da
placa e com o plano polar re coincidindo com o plano médio da
mesma.
-
14
o,,__~----11-------e ,
J ___ ,__ ____ --, X h -- ---- _______ ,_ __ ___, .. ·r-::_
a
z
3. 2 - HIPÕTESES DA TEORIA
FIG-3.1
A teoria clássica de placas delgadas se fun-
damenta em hipóteses simplificadoras e limitações feitas às e-
quaçoes da teoria da elasticidade tridimensional resumidas no
Capítulo II, levando-se em conta principalmente a forma de es -
trutura laminar,onde duas dimensões são bastante predominantes
sobre a terceira.
As hipÓteses básicas podem ser referidas qu~
to a:
1 - Material - O material da placa é perfeitamente elástico
contínu:, e honogêneo, obedecendo à lei de Hooke generalizada
Não atuam forças de massa.
2 - Geometria - A espessura h é constante e pequena em rela -
çao ao raio a , bem cono as maiores flechas w obtidas pelo
plano médio são pequenas quando comparadas com a espessura h
-
15
3 - Cbmportamento estrutural (Kirchhoff)
a) Não há deformação no plano médio durante a flexão ,
transformando-se ele numa superfície neutra defletida. Esta con
sideração implica em que o carregamento externo seja normalmen-
te aplicado e que os suportes sejam liberados aos deslocamentos
horizontais, de nodo a evitar esforços de membrana.
b) Segmentos retos e normais ao plano médio indeformado
permanecem retos e normais à superfície média após a aplicação
das cargas. Esta hipótese traduz que as deformações angulares
transversais ao plano da placa são desprezadas: Yrz=y 8~;;o. A
validade da hipÓtese diminui acentuadamente com o aumento da es
pessura e em regiões de brusca variação do esforço cortante.
c) Tensões normais cr z sao desprezíveis em comparaçao com
as derrais: - o • Esta hipótese não é verificada em região onde se tem carga concentrada.
Cbmentários sobre estas hipóteses sao bem de-
4 talhados no livIO de Pane .
3.3 -· FORÇAS E MOMENTOS
As placas, quando solicitadas sob as condições
do í tem 3. 2 , apresentam uma configuração de tensões resul tan -
tes como a indicada no elemento da fig. 3.2.
-
X o .------r--~ , e
' '
z
' ' '
16
(í g
h 2
__t,_ 2
FIG-3. 2
A distribuição dessas tensões na espessura
da placa tem uma analogia com as tensões, em vigas, de Bernoulli
devido à semelhança na hipótese de seções planas durante a de -
formação, sendo a diferença básica o carácter bidimensional da
placa e a consequente resistência a esforços de torção.
De nodo geral temos: tensões normas ªr e ªe
com variação linear em z originando os momentos flet:ores Mr
e Me ; tensões cisalhantes Trz e Tez com variação parabólica
em z causando os cortantes Qr e Qe e finalmente as tensões
cisalhantes Tre e Ter com variação linear em z dando origem
aos rromentos de torção Mre e Mer •
A distribuição de tensões e os esforços resul
tantes sao esquematizados nas figuras 3.3 e 3.4. Os esforços
são grandezas uni tá rias (por unidade de comprimento) e estão o-
rientados positivamente segundo a convençao adotada por Szilard5 .
-
17
o ', X
z
o X ' ' ' ' e ' ' ' ' ' ' ' ' '
z
3. 4 - EQUIL1BRIO DE UM ELEMENTO DE PLACA
-~
h 2
h 2
FIG-3.3
h -2
h -2
FIG-3.4
Considerando as variações dos esforços solici
tantes sobre um elemento infinitesimal de placa (r dr de h),
fig. 3.5, p:>denos formular as seguintes equações de equilíbrio:
a) Equilíbrio Vertical de Forças
O carregamento distribuído q (r, e) pode ser
considerado constante e uniforme sobre a área elementar, então:
-
(Q + r
18
+ q(r,e)r dr de = O
desprezando os infinitésirros de ordem superior,ª equação, se sim
plifica:
( 3 .1)
b) Equilíbrio de M:>mentos na Direção Ridial
'lbrrando corro referência o lado A 'B' , e ain-
da os resultados da geometria diferencial :sen d2e -
de -cos 2 = 1 , terros:
de 7 ;
~ + (M + aMe de •rde)dr + Me dr 2 e rãe rde)dr 2 + Qr rdr de =
= o
que se resume em:
aM aM M -M Q = ___E + ~ + r e
r ar rae r ( 3. 2)
-
19
'
z
Oe M9r
O ªº'dr r+ ar
dMrs Mre+ã"r dr
FIG-3.5
c) Equilíbrio de Momentos na ·oireção Tangencial
Relacionando-se agora ao lado AA', temos:
ílMre "Tr'"") (r+dr) de -
- M dr de (M + er 2 - er rde)dr de Q d de T + e r r = o
que se reduz para
( 3. 3)
A equaçao (3.1), escrita em termos dos momentos,
tem o aspecto:
íl2 (-ar2
+ 2 íl) M + (l r ílr r r
= -q (r, 6)
1 a - - -)M = r ar -e
( 3. 4)
-
20
Nas equaçoes definidas acima, podemos ainda con-
siderar que a reciprocidade das tensões cisalhantes: Tre = Ter'
quando elas são distribuídas em uma altura constante, nos forne
ce:
M = M re er (3.5)
3.5 - RELAÇÕES DEFORMAÇÃO-DESLOCAMENTO
Os deslocamentos provenientes da flexão que ocoE
remem um ponto P distante de z do plano médio, são obtidos
diretamente da hipótese 3b.
·- F IG-3.6
Considerando a fig. 3.6a, e a geometria de pequ~
nos deslocamentos, podemos supor que a declividade da superfí -
cie w(r,8) na direção radial é aproximadamente:
-
21
r tg r aw - = ar
= aw ( 3. 6) u - z ar r
-r
u = sen = z
Analogamente, da fig. 3.6b, temos:
( 3. 7)
Com esses deslocamentos substitu{dos em (2.4),
calculamos as deformações em termos da flecha:
= - z
z (.! aw 2
- + ..l.. a w) ( 3. 8) e:e = ar r r 2 ae 2
Yre = 1 a2w
-2z(- -r arae - ....!. aw,
r2 ae
3.6 - RELAÇÕES TENSÃO-DEFORMAÇÃO
A lei de Hooke para sólidos apresentando ortotro
pia cil{ndrica, definida no Capitulo II, e simplificada pelas
hipóteses que consideram -Y = y = cr O • rz ez z Este comporta -mente bidimensional de tensões permite também reduzir os subs-
critos:
Com estas simplificações, (2.7) se resume em:
-
22
. 1 - .v e o Er (J E E6 r r
\) 1
E6 = -~ o cr e ( 3. 9) Er E6
o o 1 Yre G T re
ou na forma inversa:
E v6Er r o (J 1-vrve 1-v v Er r r e
vrEe Ee o (3.10) cr e = E6 1-vr"e 1-vrve
T re o o G Yre
A simetria da matriz dos coeficientes em (3.9)
ou (3.10), conduz à relação:
( 3 .11)
Obtemos as tensões em função das flechas, substi
tuindo-se ( 3. 8) em (3.10):
Erz [ a
2w + 1 a
2w 1 aw>J crr = "e
-
23
As tensões T e rz 'ez nao aparecem na expre~
sao da lei de Hooke devido à simpli fie ação: Yrz = Yez = o ; p~ dem ser obtidas das equaçoes de equilíbrio (2. 2):
1 ª·'·re +---r a e
=
Agora, derivando (3.12), substituindo e inte-
grando as equaçoes acirra em z ,tendo em vista que para
: , =, = O , encontramos: rz ez
1 2 = 2
-
24
3. 7 - EXPRESSÕES ESFORÇO RESULTANTE-'FLECHA
Os rromentos e forças cortantes sao calcula -
dos por integração das tensões sobre a espessura da placa:
f h/2 f h/2 T e M = cr r z dz Mre = Mer = z dz r
-h/2 r -h/2
Me = f h/2 cr e z dz (3.14) -h/2
f h/2 fh/2 Qr = T z dz ºe = Te dz
-h/2 r -h/2 z
Antes de efetuarmos as integrações (3.14), é
razoável definir as constantes que representam as rijezas da pl~
ca ortótropa:
fh/2
I = z 2 dz
=
-h/2
Erl 1-V V 1 r e
momento de inércia por unida-
de de comprimento em relação ao
plano médio
rigidez flexional nas di
reções radial e circunferen-
cial respectivamente
rigidez à torção
rigidez torcional efe-tiva
-
25
Integrando (3.14) com o auxílio de (3.12) e
(3.13), e utilizando as constantes definidas acima, tenos a for
ma final dos esforços solicitantes:
= -B r
Me = -B [ !. aw + e r ar
= _ IB (33w + L r ar3
3.8 - EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA PLACA
aw ãr +
+ H
(3.15)
A equaçao diferencial que governa as flechas
do plano médio de uma placa com ortotropia cilíndrica, pode ser
obtida,por exemplo, substituindo-se os esforcps cortantes de
(3.15) na equação de equilíbrio vertical de forças (3.1 l.
Feitas as substituig:5es e derivag:5es necessá-
-
26
rias, tem-se finalmente a equaçao.:
B [a4w r[ar4
res diferenciais:
1 = r2
1 ~ r
+
= q (r, e)
( 3 .16)
Designarem::>s por Lr , L6
e Lre os operacb -
1 r3
1 a ~ãr r
(3.17)
logo, 17 4 = Lr + 2Lre + L6 , que é o conhecido · operacbr bi-
harmônico em coordenadas polares.
A equaçao (3.16) é equivalente à equaçao de
Huber em coordenadas cartesianas, aplicável em placas retangul~
res. A transformação pode ser feita através do artifício: qua~
do r+w, ar+ ax e rae + ay ; e com a correspondente troca
de Índices, tem::>s:
-
27
+ 2H = q(x,y) (3.18)
Com (3.17), escrevemos (3.16) de urna forma mais
simples:
(3.19)
que se reduz ao caso isótropo quando:
ou
v4 (w) = g(r,e) B
2 12(1-v)
3.9 - RIGIDEZ TORCIONAL EFETIVA
Ao resolvermos um problema de placa ortótropa,
é necessário conhecer os valores dos coeficientes Br,Be e H
Dos materiais ortótropos, geralmente se conhecem Er' E8 , "r e
"e , que sao obtidos por testes unidimensionais de laboratório;
o valor do módulo de cisalharnento G é usualmente incógnito,te~
do em vista exigir testes mais laboriosos para sua obtenção.
O método analltico para determinação da rigi -
f 4,6 - -dez torcional e etiva , e baseado em urna analogia com a torçao
de placas isótropas, devendo ser levado em conta o seu gênero a-
proximativo; em aplicações onde se requer maior precisão, reco -
mendam-se verificações experirnentais7 •8
-
28
O momento torsor atuante em urna placa isótro-
pa, é definido por:
Mre = -(1-v)B( 1 aw ) ?ãã
onde B é a rigidez flexional da placa e " é o coeficiente
de Poisson.
O momento correspondente na placa ortótropa
tem o valor:
..!.. aw) r2 ae
A torção de urna placa ortótropa depende da ri-
gidez que ela apresenta nas direções de ortotropia, parecendo e~
tão razoável trocar os valores de "e B na expressão de materi
al isótropo, pela média geométrica dos valores apresentados pelo
material ortótropo.
Então,
e a rigidez torcional efetiva fica:
, ou
De (3.11),
Be V = V e r Br ,
que,substituido na expressao acima, nos fornece:
-
29
(3.20)
Da mesma maneira, pode-se definir o módulo de
cisalhamento:
E G = 2(1+v) = (3.21)
Em placas de concreto diferentemente armadas
nas direções de ortotropia, Timoshenko9 aponta os seguintes valo
res de rigidezes:
onde Ec' "c
E s n =
Ec
I ....
[r + (n-1) rJ
(3.22)
módulo de elasticidade e coeficiente de Pois-
son do concreto
módulo de elasticidade do aço
momento de inércia unitário da seçao da placa
em relação ao plano neutro
momentos de inércia unitários das seçoes de
armadura nas direções radial e tangencial em
relação ao plano neutro.
-
30
3.10 - CONDIÇÕES DE CONTORNO
A resolução da equaçao (3.16) requer que sejam
prescritas condições no contorno da placa. Pela hipótese dos
"segmentos normais", verifica-se que para definir as deformações
em um ponto qualquer da superf!cie média situada no contorno, na
ausência de forças de membrana, são necessários 2 parâmetros geo . -
métricos: uma rotação :; e uma translação vertical w. Essas
condições geométricas têm suas equivalentes condições estáti-
cas, em termos de forças e momentos, segundo o esquema da fig.3-7.
4rJ---~ - r ____ --- ... _ ·------ - ------; ---1 ---:w ' :-----
r::: o
CONDIÇÕES GEOMÉTRICAS CONDIÇÕES ESTÁTICAS
FIG-3.7
A condição estática correspondendo à rotação aw ar é o momento fletor Mr i entretanto para o deslocamento w
existe uma aglutinação entre as condições estáticas de esforço
cortante Qr e momento torsor Mre • Esse fato deve-se à falta
de consideração da deformação cisalhante
nada levaria a um problema de integração
Yrz a de 6-
i uma teoria refi-
ordem, prescreven-
do 3 condições geométricas no bordo e compat!vel portanto ao con
torno estático.
-
31
Kirchhoff propôs equacionar o equilibrio exis
tente na fronteira através da urna equivalência mecânica entre fo~
ças e momentos distribuidos em espaços unitários, conforme a fig,
3.8.
z
vr Q + = r
ê válido:
ve = ºª +
(Mre+aMre) rde / r ,il8
( M· •Me,) er+ar dr
A expressao
aMre
rae
das reaçoes
Para placas em forma de
aMer ar
M_n~rde
FIG-3.8
de apoio fica sendo:
(3.23)
setor, analogamente
(3.24)
e no canto formado entre o contorno circular e o bordo reto tem-
se urna reação concentrada de intensidade igual a 2Mre
Os casos mais usuais de condições de bordo em
placas circulares de raio a sao:
em r=a
rigidamente engastada : w = o aw ãr = o
-
32
simplesmente apoiada:
Contorno carregado
com forças ou moment2s de intensidade F e M:
w = o
M = O r
Mr =
Qr +
M
aM re m- = F
3.11 - SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
A solução da equaçao
(3.25)
como sempre, consiste em uma superposição de soluções w=wp+wh,
onde wh é a solução complementar correspondendo à flexão da
placa descarregada em sua superfície e solicitada no seu contor-
no; enquanto que wp é a solução particular correspondendo às
flechas provenientes do carregamento distribuído q(r,e).
A) Solução da Equação Homogênea
A equação bi-harmônica homogênea v4 (w) = O
tem sua solução conhecida desde há muito tempo; Timoshenko9 cita
em referência que em 1862, Clebsch se utilizou das seguintes sé-
ries infinitas para estudar placas isótropas circulares:
(3.26)
onde w0 , Wm e Wm sao funções somente da variável r. Dessa
maneira, consegue-se separar as variáveis e constituir equações
-
33
diferenciais ordinárias tipo equidimensional ou de Euler para os
éoeficientes das séries.
Em nosso estudo, estamos particularmente inte-
ressados em placas cujo contorno circular é completo, de maneira
que sempre poderemos colocar o carregamento simetricamente em re
lação à variável e , bastando-nos reter os termos em co-seno5 •
Em placas em forma de setor circular, a falta de simetria requer
soluções em série de senos. As expressões de Wm e Wm sao simi
lares, a menos evidentemente das constantes de integração.
Então, tomando-se wh =
lução, na qual aplicando-se os operadores
1 Wm cos me como so m=O (3.17) e indicando a
ordem das derivadas em r por superescritos linha (','',''',etc),
obtemos :
I Íw~v + ~ wi:i • ;i cos m=O L r J
"' t 2 2 2 wJ Lre(wh)= l m W'' + m W' m (3.27) 2 ....,. -.,. cos me m m m=O r r r
"' t 1 1 4 2
Le(wh) = l 2 W'' + r3 W' + cm -2m iwJ cos me , m m r4 m m=O r
que, substituídas em (3.19), nos dão uma equaçao independente
de e :
2 2m H+Be
+ ( )W' + r3 m
= o (3.28)
-
e
34
Definindo as constantes adimensionais:
H ó =
Br , (3.29)
a equaçao (3.28) em sua forma normal se escreve:
(3.30)
Esta equaçao apresenta as seguintes soluções:
a) m = O
wh = w0 independe de e e representa a solu-
çao dos problemas axissimétricos.
= o (3. 31)
As soluções da equaçao de Euler têm a forma 4 l , onde os sao as raízes da equaçao carac-
i=l terística associada, que para este caso é:
(3.32)
cujas raízes sao facilmente identificáveis e valem: O, 2, 1+re-
e 1-re-
Denominando , temos
(3.33)
-
35
O caso particular de placa isótropa é obtido
com a= 1
(3.34)
b) m> 1
Novamente as soluções sao da forma
4
l , e a equação característica obtida de (3.30) i=l
é:
4 3 2 2 2 r,4 2 ] l -41 +(5-2m 6-Bll -2(1-2m &-B)l+~ 8-2m (8+6) = o
(3. 35)
Utilizaremos ainda, algumas constantes auxilia
res:
2 K = l-2m 6-8 (3.36)
4 2 L = m B-2m (B+&) , que simplificam (3.35) em:
= o , logo
2
K + = o
2
Resolvendo-se novamente a equaçao do 29 grau,
encontramos todos os li.
-
36
À = 1 +
Chamando de:
b = 1~-K+/ K2-4L
m
1:-K-/ K2-4L c = m ,
as quatro raízes sao: l+bm, l+cm, 1-bm e 1-cm
- para m=l
e
c = O 1
: K = 1-2ô-B K-1 L =
L = -2ô-B
K2-4L = K2-4K+4 = (2-K) 2
Substituindo-se em (3.37):
= ./ 1+2ô+B
,
b 1 é sempre real e a solução para o 19 harmônico fica:
w = e l+b1 + e r 1 ""b1 r + e 1 1 11 r 21 + c31 41 r n r
para m>l :
(3.37)
( 3. 38)
bm e cm serao reais desde que os parâmetros
que definem a ortotropia B e 8 não se afastem muito da unida-
de ou da situação isôtropa. Eles poderão assumir valores compl~
xos10
quando houver um forte enrijecimento somente em uma das
direções, situação esta que não apresenta interesse prático e
-
37
que deixaremos de considerar.
As flechas correspondentes aos harmônicos de
maior ordem ficam:
e l+bm 1-b rl+cm + e 1-c = lm r + C2m r m + c3m 4m r m
(3.39)
No caso isótropo: 8 = 5 = 1
bm = m+l
cm = m-1
wl = c11 r3 + c21 -1 r + c3lr + C41 r ln r
(3.40)
2+m -m r m + 2-m w = clm r + c2m r + c3m c4m r m
B) Solução Particular
A solução particular wp da equaçao (3.19)
pode ser obtida representando-se o carregamento prescrito q(r,e)
em uma série infinita de termos em co-seno:
onde
m
q(r,e) = l Qm cos me ItFl
Q é uma função sô de m
(3.41)
r •
A equaçao (3.30) nao homogénea, toma a forma:
-
38
que tem solução por métodos usuais de cálculo: coeficientes a de
terminar, variação de parâmetros, etc.
Para o caso usual de carregamento uniformemen-
te distribuído com intensidade q0
reduz em:
r 4 w'V + 2r3 W''' - B1r 2 w•• - r w•l o o ~ o oJ
na qual, experimentando a solução na forma
gualando os coeficientes, obtemos
,.-.,.......= 8B (9-o2) r
quando B = 1
=
Br = B , temos a situação isótropa:
4 r qo -B- (3.43)
r
, e i-
(3.44)
,
e quando B=9 , isto é, B = 9B e r ,uma forte ortotropia na dir~
ção tangencial, ocorre uma indeterminação que deve ser levantada
no limite juntamente com a solução complementar.
3.12 - EQUAÇÃO DIFERENCIAL DAS CHAPAS COM ORTOTROPIA POLAR
Neste item, deduziremos a equaçao diferencial
do estado plano de tensões para aplicação em chapas com ortotro
pia polar, mostrando a analogia existente entre essa equação de
finida pela função de tensões no plano e a equação homogênea da
flexão de placas.
As hipóteses simplificadoras sao as mesmas do
-
39
Item 3.2 , com exceçao evidente da que diz que a superficie mé-
dia permanece indeformada. Na situação presente tanto o plano
médio como os paralelos a ele, são solicitados nela:a tensões
renresentadas na Fig, 3.9,
que satisfazem as
= 1 aF + ªr r ar
a 2F ªe = ;;z
h 2
...h 2
FIG-3.9 •
As tensões dadas pela função de Airy F {r, e) ,
equaçoes de equi1Ibrio no plano, se escrevem:
1 a 2F
?~
{3.45)
1 aF ?ãã
Sob as mesmas simplificações: {az=Yrz=Yez~O),
a lei de Hooke se representa pelas equações:
-
40
ºr ve Er = E -·r ºe r e
ºe V r E8 = Ee - Er ºr
ou, em termos de F:
1 2 V
e!. aF (a F) r .E0 = Ee - Er -+ ;7 r ar
1 ( 1 aF 1 a2F
Yra = G - r 'ãr"ããl ~ãã
ve
Ee
1 a2F ~ ;?")
(3.46)
(3.47)
Para eliminarmos as deformações e constituir -
mos uma única equaçao em F, lançamos mão da equação de compat!
bilidade de deformações no plano re, a primeira das expressoes
(2.5). Substituindo-se (3.47) nesta equação, encontramos, após
derivações e simplificações:
1 a4F 3 1 vr (~
a4F 1 a3F + ~ a F) Ee
(-:---i + 2(2G - -) ar2ae 2
-, + r~ E ar r r r ara e
4 1 4 2 a2F 1 a2F 1 aF) + 1 a F) + ( 1 a F + = o ;r ;?° E ;r ;;,r ;r ;?° - -"7 ~ + :? ar r r ar (3.48)
Multiplicando-se esta equaçao por E8 e ainda
-
41
com os operadores definidos anteriormente, temos:
eram:
s =
ô =
outra li =
= o (3.49)
As constantes definidas na equaçao da flexão
B8 E8 =
Br Er
H Br
"rB8+2GI E8 + 2G . definindo = = "r Er Er ' agora uma B r Ee 2G ...,.. + -"'" Er
, a constante que multiplica fica sen
do (li-ô) , daí:
(3. 50)
Comparando esta equaçao com a equaçao homogê -
nea da flexão de placas com ortotropia (3.19), podemos observar
que F e wh têm soluções muito parecidas; no caso assimétrico
bastando trocar ô por (li-ô) nas soluções apresentadas, enqua~
to que no caso simétrico, F e wh são de forma idêntica.
Também devem ser estabelecidas condições de co~
torno na solução de (3.50), em termos de forças ou de deslocamen-
tos.
-
42
CAPfTULO IV
APLICAÇÕES A CASOS USUAIS DE CARREGAMENTO E CONDIÇÕES DE CONTORNO
ORTOTROPIA FfSICA
4.1 - INTRODUÇÃO
A seguir apresentam-se algumas aplicações práti -
cas da teoria desenvolvida no Capítulo III, para placas com con-
torno circular completo e podendo possuir um furo concêntrico '
vinculadas de diversos modos e submetidas a diferentes tipos
de carregamento.
Primeiro enfocamos detalhadamente problemas rela-
tivos à flexão axissimêtrica, depois abordamos alguns casos sim-
ples de flexão não simêtrica e por Último, aproveitando a analo-
gia existente entre a equação da flexão com a equaçao do estado
plano de tensões, apresentamos a solução de uma chapa circular
ortótropa sob uma distribuição de pressoes radialmente uniforme.
4.2 - FLEXÃO AXISSIMÉTRICA
As flechas e esforços solicitantes que ocorrem em
placas circulares sujeitas a carregamento e contorno axissimêtri
cos, independem da coordenada angular e , e por isso seu esqu~
ma estrutural é definido apenas por um corte diametral como o da
Fig. 4 .1 .
A expressao de w em função da coordenada radial
e dada por:
-
43
w = w e + e 2 + e l+a + e 1-a p + 10 20r 30r 40r
onde depende do carregamento distribuído Wp ~
parâmetro que define a ortotropia: a· = / ~ Br
c30 e c40 são calculadas através de condições
métricas impostas ao contorno.
CORTE AA
( 4 .1)
q (r) -, . a. e o e clO' c20'
estáticas ou ge~
FIIG-4.1
Os esforços solicitantes por unidade de compri -
mento, definidos em (3.15), se simplificam para:
M r = - B r
= - B ( r 3
d w + dr
3 1 dw
2 dr r
( 4. 2)
-
44
A tabela 4.1, representada a seguir, é bastante
útil ao se formular as condições de contorno e escrever as ex-
pressoes dos resultados, sem recorrer a repetitivas derivações
de w ela mostra as funções envolvidas em casos simétricos
em termos das constantes de integração e de um carregamento uni
formemente distribu{do q 0 .
Apresentaremos casos de flexão a. axissimétrica, s~
gundo os sub-Itens desenvolvidos a seguir:
A) PLACAS COMPLETAS
As placas circulares completas apresentam a de -
clividade da superficie e o esforço cortante nulos no centro de
vido à simetria; da tabela 4.1, a parte referente às condições
de bordo dessas funções sao dadas por:
w' 2c 20 r + a -a
= (l+a) c30r + (1-a) c 40r
e
Qr -2
c20 (l-a2 ) =
Br r
o parâmetro a e sempre positivo, logo em r=O
para que tenhamos valores finitos:
( 4. 3)
A condição de cortante nulo na origem tem uma
exceçao para cargas concentradas que proporcionam uma desconti-
nuidade indeterminada para esse esforço no ponto de aplicação da
carga; neste caso, a constante c20 é obtida pelo equil{brio
de forças verticais em um contorno circular de raio r arbitrá
rio:
-
cio C20 C30 c40 qo
8 (9-c/)Br
1 r2 rl+a 1-a 4 w r r
w' - 2r (l+ct)rª (1-a)r -a 4r3
l\fBr -2(l+v8) a-1 -a-1 -4(3+v8)r
2 - -(l+ct) (a+v8)r (1-a) (a-v9)r
Me/Br 2 2 a-1 2 -a-1 2 2 - -2(1+vr)ct -(l+a) (l+ctvr)ct r - (1-a) (1-av ) a r -4 (1+3vr) a r r
2 2 y'Br
-2(1-a) - - - -4 (9-a ) r r
Tabela 4-1
-
46
c20 2 p = -2 r (1-a )Br = - --2llr
p
2 411(1-a )B r
( 4. 4)
Feitas estas considerações,calcularemos as cons-
tantes c10 e c30 e apresentaremos um formulário de flechas e
esforços resultantes, nos seguintes casos clássicos:
a) Placa circular apoiada, sob a açao do momento M0 uniforme-
mente distribuído na borda externa.
Mo Mo
r:--~ a j
FIG-4.2
A ausência de carga distribuída anula wp, e com
(4.3) a expressao das flechas fica:
w = e + e rl+a 10 30
- condições de contorno em r=a
w = o
M = M r O
;
1-a a
( 4. 5)
-
47
- flechas e esforços solicitantes:
MO 2 a
Pl+cx) w = (1 -(l+cx) (cx+v 6) B r
Mr MO cx-1 = p
( 4. 6)
Me ex MO cx-1 = p
Qr o r = p = a
b) Placa circular engastada, submetida a um carregamento unifor
memente distribuído q 0
1 qo
f 1 )1)11) 1111111111111, . 1 o 1
FIG-4.3
As flechas obtidas com este tipo de carregamento
sao dadas por:
qo r4 w = ---"~--
8(9-cx2) Br
l+cx r
- condições de bordo engastado em r=a
4 l+cx qo a
ºW = o o = cio+ c30 a + 2 8(9-cx )B 3 r
w' = o o = c 30 (1+cx)aª + 4qoa
2 8(9-cx) B r
-
2 8 (9-a )B r
3-a l+a
. '
48
- flechas e esforços resultantes:
2 2(9-a )
2 2(9-a)
I r
p = a
3-a -4q a . o 2 8 (9-a ) B
r
3-a J + l+a
1 l+a ( 4. 7)
( 4. 8)
c) Placa circular apoiada, submetida a um carregamento uniforme
mente distribuído q 0
A solução para este caso pode ser obtida por s~
perposição das soluções a) e b) , segundo o esquema da
onde o momento de engastamento dado por (4.8) é Ma= -
Ma Mo M M
1nnn!Inin[, =~iuuiiinnn~ + ~~º __ __,.j
Fig.4.4 qoa2
2 (3+a) •
FIG-4.4 .
-
49
Somando-se as expressoes correspondentes nos 2
casos, obtém-se para a placa apoiada:
w = 2 8(9-a )B
r
2 2(9-a)
2
[
,
4(3+"8)
[ a-1 2 J p - p
(3+v8
) (l+avr)
(a+v8
)
r p = a
l+a p +
(3-a) ( 4+a+v 8 ) J (l+a) (a+v
8)
( 4. 9)
Nas figuras 4.5 e 4.6 temos os gráficos que re-
presentam a variação de flechas e momentos fletores (4.9) com a
coordenada adimensionalizada p , para diversos valores de enr~
jecimento (a) e não se levando em conta o efeito de Poisson. No
ta-se claramente pela Fig. 4. 6 que os momentos Mr e M8 nas
proximidades do centro da placa, convergem para valores nulos ai
infinitos, conforme a seja maior ou menor que l; esta singul~
ridade será analisada no sub-ítem B.
-
o º·ºº
0,.10
0,20
w
0,30
01 2
50
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 P=....!.
a 0,8 0,9 1,0
FIG-4.5
-
0,60
0,40
º·ºº º·º 0,1
0,60
0,40
0,20
º·ºº 0,1
51
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
,· ' •
O; 7 O,B 0,9 1,0 f
/
0,2 0,3 o,4 o,5 o,6 0,1 o,e o,9 1,0 f
FIG-4.6
-
52
d) Placa circular engastada, sob açao. de carga centrada
1 o
FIG-4.7
A expressão que define o campo de flechas, ten-
do em vista (4.4) e a ausência de carregamento distribuído, é
dada por:
w = 2 411(1-a )Br
+ e e l+a 10 + 30 r
- condições de bordo engastado em r=a
Pa 2
w = o o = + 2 411 (1-a ) Br
+ ClO
2Pa w' o o + (l+a) c 30 = = 2 411(1-a )B r
Pa 2 1..:a
clO = C30 = -2 ; 411(1-a )Br l+a
- flechas e esforços resultantes
Pa2
[ 2 2 w = 411(1-a 2JB P - l+a
r
p 2 211(1-a )
l+a + 1-a J P l+a
c30 al+a
a a
2Pal-a 1
2 l+a 411 (1-a ) B r (4.10)
(4 .11)
-
=
2 211 (1-a )
p - 2rrr
53
r p =
a
e) Placa circular apoiada, sob a açao de carga centrada
Analogamente, poderemos obter as soluções supeE_
pondo-se os casos a) e d)
w =
M = r
Me =
=
Pa2
2 411(1-a )Br
p (l+v e) 2 211(1-a)
Pa 2 [l:ve 2 211(1-a)
p - 2rrr , p =
[Pa-1_ 1 ]
a-1 ' J p - (l+v ) . r r a
B) CORREÇÃO DOS MOMENTOS FLETORES NO CENTRO DA PLACA
(4.12)
De acordo com o que foi mostrado no Capítulo II,
a ortotropia cilíndrica não pode existir na origem do sistema ée
coordenadas (centro da placa), que é um ponto isótropo devido à
coincidência das direções principais da ortotropia. A esta sin
gularidade física, corresponde uma singularidade matemática, ma
nifesta em termo das expressões dos monentos fletores Mr e Me,
-
54
que em r=O assumem valores O ou= conforme o parâmetro a
seja maior ou menor que 1 (ver fórmulas dos esforços de a) a-
té e) e a Fig. 4.6).
- 19 Faremos a correçao desses momentos, introdu -
zindo na região central um pequeno disco isótropo de raio b e
altura h com constantes elásticas E e v, em substituição ao
núcleo que apresenta a ortotropia alterada. Este disco deve ser
monoliticamente ligado ao restante da placa, devendo se verifi-
car as condições de continuidade de forças e deslocanentos em
r=b
O subscrito i indica as grandezas referentes
à parte isótropa, como no esquema da Fig. 4.8.
~ 1 5 E ,V Ç~'.E,%.
t-----~ÚMl'J;H----t 1 b 1 1 v.; 'w
1
dw;_dw -a-;- -c1r
FIG-4.8
:E; feita em seguida, a correçao dos momentos nos
casos a), b) e d) ; para os casos c) e e) pode-se aplicar,
como fizemos anteriornente, o princípio da superposição.
-
55
ã) Placa circular apoiada, sob a açao de momento M0 uniforme-
mente distribuido na borda externa
1 1
M I Mo 1 ' ~ ht= c--~--i~ISO-TR-OP0_
1)
Là -t----1U 1 o 1
FIG-4,9
As equaçoes que representam as flechas nas regi -
oes de placa isótropa e ortótropa são definidas por:
r < b
r > b e r2 e l+a 1-a w = clO + 20 + 30 r + c40 r (4.13)
O esforço cortante e nulo em toda a placa; então
da Tabela 4.1:
c20 2 = - 2 (1-a )Br , donde = o r
As constantes que interessam no cálculo dos mome~
tos fletores sao: b 20 , c 30 e c 40 ; que são explicitadas pelas
seguintes condições:
- de continuidade em r=b w' - w' i -
( 4 .14)
- de extremidade em r=a M = M r O
Antes de escrevermos (4.14) em função de (4.13) ,
introduzimos as seguintes constantes auxiliares adimensionais:
-
C3 = (l+a) ba-l
C4 = (1-a)b-a-l
B2 2 B = b20 M o
onde B Eh3
= 2 12(1-v)
5,;
B r
c30 MO
B r
M0
c30 (4.15)
e
é
b E: = -a
a rigidez flexional do disco isótropo.
Fazendo uso dessas constantes e de (4.13), as con
dições (4.14) se escrevem:
l+ct E:
das quais obtém-se:
-K C3 =
2
K2 (a+v 9 Je: 1-a - K1 (a-v9 )e:
-K C4 =
1
K2 (a+v 9 J e: 1-a - K (a-v )e:
1 e
onde:
Kl (l + B (l+v) = V9 B r
K2 V9 + B (l+v) = (l - B r
= -1
l+ct (4.16)
l+ct
(4.17)
-
57
Dessa forma, colocamos os momentos fletores em
para r < b (4.18)
para r > b
r , p = a
Nota-se que quando a placa é inteiramente isótro-
pa ou totalmente ortótropa, K1=0 e as soluções retomam as já
conhecidas formas.
Na Fig. 4.10 , apresenta-se um gráfico com os mo-
mentos fletores na direção radial corrigidos para diferentes va-
!ores de o.. Adotou-se B = B e r v ="e= o,3 com o objet.!_
vo de simplificar K1 e K2 , e que o raio do disco isótropo é a
décima parte do raio da placa e:=0,1.
-
Mr !1 1 1 -,1 1 Mo 11 1 p 1 i' 1 1 1\ 1 1
4,0
3,0
2p
,,o
11
1 \ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 \ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 \
o
-
59
b) Placa circular engastada, submetida a carregamento uniforme -
mente distribuído q 0
w =
1 1 qo
FIG-4.11
As flechas nos dois intervalos sao dadas por:
2 8 (9-a ) Br
O valor do esforço cortante em r=b e b -q --o 2 ,
que deve ser verificado com qualquer dos dois campos de flecha;
recorrendo a Tabela 4.1, tiramos:
logo = o
As condições de continuidade sao as mesmas doca-
so anterior: wr = wi
se w' = O •
e Mri = Mr; enquanto que em r=a tem-
As constantes auxiliares no caso de carga distri-
buída sao postas na forma:
-
60
c3 = (l+ex) bex- 3
c30 B (4.19) 4qo
r
C4 (l-ex)b-ex- 3
c40 B b = e E =
4qo r a
Equacionando-se as condições de continuidade e
contorno com o auxílio de (4.19), obtém-se:
das
onde
3+v B2 (l+v) + 64 =
1 = 2 8 (9-ex )
quais tiramos:
[ 2 -ex-3
J r. = -3+ex +4v 8-4K 2E
-3 2 2ex 32 (9-ex ) (Kl E +K2)
[ 2 ex-3
c4 3+ex +4v 8-4K1 E J = 32 (9-ex2 ) (Kl E 2ex+K2)
B2 B
[c3+c4] 1 = - 64 B r
novamente
Kl = ex + B (l+v) Ve B r
K2 ex - V + B (l+v) = e Br
2ex E
3+Ve 2 8(9-ex)
Assim, os momentos ficam determinados por:
(4.20)
-
61
r < b
(4.21)
r > b
1+3vr 2 J + 2 p
8(9-a)
r p =
a
d) Placa circular engastada, sob a açao de carga centrada
p.
FIG- 4.12
Sob esse tipo de solicitação, as flechas sao de -
finidas pelas expressoes:
e r 2 e l+a 1-a w = clO + 20 + 30 r + C40 r
-
quer um dos
62
O esforço cortante em
p w é igual a - 2 ílb
r=b calculado com qual -
Primeiro equacionando na parte isótropa, temos:
p - 2ílb =
agora pelo lado ortótropo:
p - 2ílb
e = - 2 ...lQ B (1-a2 ) b r
p = 8ITB
p 2
4ll(l-a )Br
As constantes auxiliares para o caso de carga con
centrada tomam a forma:
2ITB r p
a-1 c30
(l+a)b
2l1Br -a-1 P c40 (1-alb , E: =
b a
(4.22)
As condições de continuidade e de contorno sao as
mesmas do caso anterior, e podem ser equacionadas por:
B + l + 2 ln b = 2
4
(3+v)+2 ln b(l+v) B2 (l+v) + 4
1 = - l+a2
-
63
que, depois de resolvidas, resultam:
(4.23)
B2 B
[ ~ + C3 + C4 J - 1+2 ln b = B 4 r 1-cx
onde:
B Kl = cx+v - B(l+v> e r
B K2 = cx-v + BCl+v) e r
K3 = l+v - BB (l+v) e r
Após o cálculo das constantes, podemos escrever
as expressoes dos momentos corrigidos:
r < b Mr = - 8~ [ b
Pcx 2 Me = 2IT
r p = a
-
64
C) PLACAS COM FURO CONCtNTRICO
As placas circulares possuindo furo concêntrico
nao apresentam condições de simetria imediatas na determinação
de c 20 e c 40 ,como acontece com as placas completas; de maneira
geral teremos 4 equações algébricas, 2 referentes à borda inte-
rior e 2 referentes ao contorno exterior, que nos permite expl!
Dois casos de carregamento axissimétrico têm es-
pecial importância no estudo das placas anulares.
a) Placa anular simplemente apoiada,submetida a momentos unifor-
memente distribuidos: M1 na borda interna livre e M2 na per!
feria.
A solução geral para as flechas e:
2 l+a 1-a w = clO + c20 r + c30 r + c40 r
- condições de contorno:
em r=b
= o (como em toda placa) - 2
FIG-4.13
-
65
em r=a
o o clO + C30 al+cx +
C40 1-cx
w = = a
M2 cx-1 -cx-1 M = M2 = (l+cx) (cx+v 8)a c 30-(1-cx) (a-v8 )a c 40 r Br
que nos dá:
2 [ (M2-Ml tl+cx) tl-cx (M2-Ml tl-cx) tl+cx j a cio = B (tl-cx_tl+cx) (l+cx) (cx+v8
) + (1-cx) (cx+v8
) r
c30 -1
(M2-Ml tl+cx) bl-cx =
B (tl-cx_tl+cx) (l+cx) (cx+v0
) r
(M2-Mltl-cx)bl+cx (4.25)
c40 -1 =
B (tl-cx_tl+cx) (1-cx) (a-v8
) r
onde
b E: = -a
- flechas e esforços resultantes:
Cl Mé = -(---a-1---cx-=--~l-+-cx-)
t -e
Q = o r , r
p = a
(4.26)
-
Quando M =O 1
66
e b+O (E+O) ; (4.26) levadas ao li
mite retornam ao caso de placas completas com momentos M2 dis -
tribu!dos na borda externa.
b) Placa anular simplesmente apoiada, submetida a carga linear
Q0
uniformemente distribuída na borda livre
F IG-4.14
A solução geral das flechas novamente se escreve:
r 2 l+a 1-a w = clO + C20 + C30 r + C40 r
- condições de contorno:
em r=b
e Qr = -oo - ºº = - 2
..2Q.(l-a2 )B . b r
o o a-1 Mr = = 2c20 (l+val + (l+a) (a+va) b c 30- (1-a) (a-vai ·
-a-1 ·b C40
em r=a
o o ClO + c20 2
+ C30 l+a 1-a
w = = a a + C40 a
M o o a-1 = = 2c 20 11+val+(l+a) (a+valª c 30-(1-a) (a-vai· r . -a-1 C40 a
-
mos:
c20 =
C30 =
C40 =
67
Resolvendo o sistema e fazendo b E = -a encontra
(l+v6
) (e: 2-e:1-ªl (l+v6
)
2 (1-cx )Br
+ ----'---(l+cx) (cx+v
6) (e: 1 -ª-e:l+cx) (1-cx) (cx-v
6)
ºob 2
2(1-cx )Br
Q0
b ( 1 +v 6 l ( E l+cx -1) 2 ( 1-cx l+cx) (l+cx) (cx+v 6 ) (1-cx )Br E -e:
Q0b(l+v6 l (El-cx - 1) 2 ( 1-cx l+cx) (1-cx) (cx-v 6) (1-a. )Br E - E
b 1-cx
bl+cx
( 2 1 +ex) J E -e: ~
( 1-cx l+cx) E -e:
( 4. 27)
- flechas e esforços resultantes
2 (l+v6
) 2 1-a. Q0ba [1 2 E -e: l+ w =
(1-a.2)Br 2(1-p ) + 1-cx l+a. (l-p ª) +
(l+a.) (cx+v 6 ) E -e:
(l+v6
) 2 l+a.
(l _ Pl-cx) J E - E + 1-cx l+cx (4.28) (1-a.) (a.-v6
) E - E
ºob (l+v 6 ) [ 1 +
2 1-cx cx-1 2 l+cx P -cx-1 J M = E -e; E -e: r (1-a.2) 1-cx l+a. p 1-cx l+a E -e: E -e: ººb ~
(l+vr) 2 1-cx a-1 2 l+cx Me = (l+v 6 )cx + E -e: + E -e: 2 1-a. l+cx
p 1-cx l+cx ( 1-cx ) (l+v6
) E -e: E -e:
p -cx-1 J Qr
b r = -Qo r p = a
-
f; 8
Se na primeira das expressoes (4.28), fizermos
p = 21Tb
e levarmos ao limite com c-+-0 , obtemos:
Pa2 w = ------2
41!(1-a )Br
l+a (1-a) (a+v 8+2) J p +
(l+a) (a+v 8) (l+a) (a+v
8)
que é o caso de placa completa sob a açao de uma carga P cen -
trada.
Foi dito anteriormente que estes casos eram impoE
tantes pois se a eles combinamos os casos resolvidos no sub-Íta~
de placas completas, poderemos resolver uma extensa lista de pl~
cas anulares submetidas a carregamento axissimétrico (Ver Timo -
shenko9).
Como exemplo poderíamos calcular uma placa anular
apoiada, sujeita a carregamento distribuído q 0 segundo o esqu~
ma de superposição da Fig. 4.15, onde Q 0 e M1 são obtidos de
(4.9) invertendo-se os sinais:
l}UUH
2 q0
a (3+v8
) e
2 (9-a2 ) ( 2 a-1) e -e ; b E: = ã
, , ~º 'Lº 1 Qo I Qo : : OIIIII1 = lUl+UlU+lUJOUJl + 1~'; M( 1 t= ~F o 1 1 o 1 ~ o 1
FIG -4.15
-
69
D) LIMITAÇÕES DA TEORIA
Na bibliografia técnica, pouca referência se tem
sobre dados experimentais das constantes elásticas em materiais
que possuem ortotropia física. Entretanto, Carrier3
ao analisar
placas circulares com esse tipo de material, verificou que certos
valores assumidos pelo coeficiente de Poisson poderiam causar va
lores infinitos para os momentos fletores. Essa anomalia o le-
vou a propor restrições de caráter empírico, baseadas na hipÓte-
se de que certas propriedades constatadas em materiais isótro -
pos devam continuar a se verificar em materiais ortótropos.
De acordo com esta analogia, parece claro que um
elemento de sólido ortótropo sujeito a tensões de tração deva au
mentar de volume, consequentemente a variação volumétrica unitá-
ria do elemento é positiva:
> o (4.29)
quando as tensões de tração sao d.o tipo ºr, de acordo com a
lei de Hooke (2,7), pode-se escrever:
1 o (- -r Er
"er Er
> o
e quando são do tipo ºe
> o
Multiplicando-se (4.30) e (4.31) por
respectivamente, temos:
E r
ºr e
( 4. 30)
(4.31)
-
70
1-v -v er zr > o "er + "zr < 1
(4.32)
1 - "re - "ze > 0 "re + "ze < 1
Continuando com as deduções lógicas, nao parece
claro que uma tração aplicada em uma direção corresponda a um a-
largamento na direção perpendicular à primeira; isto significa
que os números que representam o coeficiente de Poisson devem ser
- - . - 20 todos positivos,embora consideraçoes teoricas da Termodinamica
admitam valores negativos. Sendo assim,os números que interessam
à teoria das placas devem satisfazer:
"er = "r < 1 ( 4. 33)
2 < 1 "re = v e = a. "r
Com o intuito de mostrar o efeito dos coeficien -
tes de Póisson sobre os esforços solicitantes em placas com orto
tropia física, na Fig. 4.16 apresentam-se gráficos momento de en
gaste x coeficiente de enrijecimento (a.) para os casos b) e d)
do sub-item A, tomando-se os seguintes valores para os coefici
entes 3 :
para a.< 1 "r = 0,5
0,5 2 "e = a. ( 4. 34)
"r = 0,5 -2-para a.> 1 a.
"e = 0,5
de modo que eles sempre permanecem menores do que 1 independente
mente de a.
-
71
Os momentos radiais no engaste nao sao função de
vr e v 9 , e apresentam curvas contfnuas. Com os momentos tange~
ciais, tem-se um ponto anguloso em a=l que é o limite das vari
ações (4.34); a linha tracejada representa os valores que esses
momentos assumiriam se a primeira formação dos coeficientes fos-
se mantida para a>l .
-
0,200
0,100
1.000
-M P/2lf
0,500
I I
1,0
I I
I I
72
/ /
I I I
I I
/ I
/ I
/ /
2,0
/ /
I I
/
I I
I
I I
I I
I I
I I
I I
!,O
qo
d!rTTJlTTlllITTHTllll~ 41' 1 o 1
Mr
Me
4,0
Mr
Me
~~:__------;-,_----2,e,---i;Í3,o,-:o.:::~ 44.0 o,oooop 1p
2·° FIG-4.16
-
73
E) m:TODO DAS FUNÇÕES INICIAIS
O cálculo de flechas e esforços solicitantes em
placas circulares possuindo um furo concêntrico ou sujeitas a
um carregamento descontinuo a partir de uma coordenada radial in
termediária, como nos esquemas da Fig. 4.17, apresenta um desen-
volvimento analítico bastante laborioso. Nas primeiras, se faz
necessário satisfazer condições de contorno tanto na borda exter
na como na· interna; nas Últimas, devemos propor dois conjuntos
de soluções, um para cada região de carregamento e efetuar a co~
patibilização de flechas, rotações, momentos fletores e forças
cortantes no ponto de transição das cargas.
jJ)lbíl~ '
1 1 :~Qo 1~ r O 1
FIG-4.17
t vantajoso então, em situações práticas, lançar
mao da técnica empregada por Marguerre14 ou Bryant21 , na qual se
utilizam das funções w ,
-
74
restrinja as condições de contorno na periferia (r=a).
A solução para as flechas, em problemas axissimé-
-tricos, como temos escrito frequentemente e:
que deve agora ser colocada sob a forma:
(4.35)
Utilizaremos em nossos cálculos, somente o caso
de carga constante uniformemente distribuida, que é a mais comum.
Chamando a ordenada de carga que porventura exista em r=b de
qb, podemos escrever:
e a expressao (4.35) é definida na sua forma final:
(4.36)
De maneira análoga, as outras grandezas que inte-
ressam à análise estrutural da placa são dadas pela Tabela 4.2
-
75
w
q
Tabela 4.2
na qual as funções contidas nos quadros hachureados têm valor nu
lo, como será mostrado adiante.
Os Fij são denominados na literatura referida a
cima por "beginning or starting functions", sendo que o seu va -
lor é determinado por:
Fii(b) = 1
F .. (b) = O 1J
a) cálculo dos F .. 1J
'
(4.37)
i;,!j
Utilizaremos a Tabela 4.1 para formar diretamente
os sistemas de equaçoes que verificam (4.37).
j=l
wb = 1
"'b = Mb = Qb = qb = o
-
7,:,
2 c20 2 o o Qb = (1-a ) Br = c20 = b
cio+ e bl+a +
C40 1-a
1 wb = b = 30
a -a
-
77
constantes:
ClO
b (1+v 6) c20 = o = - 2 1-a
a-v a+v 6 e -a = b = C30 2a (l+a)
C40 2a (1-o.)
funções iniciais:
-
78
constantes:
elo -b2
c20 = o = 2 Br(l-a)
-b 1-a bl+a = = C30
2a(l+a)Br C40
2a(l-a)Br
funções iniciais:
2 2a (1-a ) Br
[ l+a 1-a J 2a+(l-a)p -(l+a)p
cpr F23 -b
[ (l -a_J = = 2aBr
p - p
1 M = F33 =-r 2a
Q = F = O ·r 43
q = F53 = O
j=4
Qb = 1
wb = c/Jb = Mb
2 c20
Qb = - """"jj"""
[ a-1 (a+v8
)p +
= qb = o
2 (1-a ) Br
r p = b
= 1
(a-v8
) p -a-~
wh = ClO + c20 b2 + c30
bl+a + C40 bl-a
c/Jb 2C20 b + c 30 c1+a)bª + -a = c
40 (1-a)b =
= o
o
(4 .42)
(4.43)
-
constantes:
b3 e = ---=--
lO 2(1-a2 )B r
b2-a e 3 o = ---"---=2--
2 a (1-a )Br
funções iniciais:
Fl4 = b3
w = 2 2a(l-a )Br
-b2 = =
[ a -
-b 2 2(1-a )B r
2 + l+a ap p
(l+a)pª +
(4 .44)
- Pl-a J
(1-a)p
-
80
e + ~ Qb = 2 ..1Q(l-n
2 )B = o b r 2
2 + e bl+n + e bl-n + . b4 wb = ClO + C2ob = 30 40 2
Ct cj>b = 2c20b + c 30 (1+alb +
constantes:
b4 e = --...,,.--
10 8(1-n2)B r
b3-n (3+n) 2 2 2et(9-n ) (1-n )Br
funções iniciais:
8(9-n )Br
-a b3 c 40 (1-n)b + 2(9-n2)Br
-bJ+n (3-n) C40 = ---2;;--------::2c-
2et(9-n l (1-n )Br
b4 ~ 2 2 2 l+et 2 2 et(9-n )-2n(9-n )p +4(3+et)p
=
8a (1-n ) (9-n ) B r ( 1-n 2 ~ - 4 3-n)p +a(l-n )p J
o
o
(4 .46)
-
81
Mr = F35 = 2 2 2a (1-a ) (9-a ) r: 2 a-1 Lª (.9-a ) (l+v 6)- (l+a) (3+a) (a+v 9 ) p -
-a-1 2 2] -(1-a) (3-a) (a-v6 ) p -a (1-a l (3+v 6 ) p (4.47)
Qr = F 45 = ~ [ ! - p J
q = Fss = 1 r p = b
As funções iniciais nao nulas da Tabela 4-2 sao
listadas no Jlpêndi ce.
b) Exerrq;>los de aplicação
b-1
FIG-4.18
Os esforços que atuam em r=b e que serao usa-
dos como constantes de integração são ~ e Qb assim o carrq;>o
de flechas nos 2 intervalos pode ser obtido da Tabela 4-2:
para b < r < c
e
para c < r < a
Obs.: F14 que multiplica P deve ser tomada na nova coordena -
-
da inicial, isto é, trocando-se b por c no formulário do Apê~
dice, e por isso usamos a barra para distinguí-la.
As constantes Mi, e ~ que definem as flechas
nos dois intervalos, bem como todos os esforços solicitantes,são
calculadas pelas condiççes em r=a:
w = o
M = O r Mi,F 33 (a) + %F 34 (a) + q0F 35 (a) - PF 34 (a) = O
logo:
% p [ F34F13 - F14F33 J [ F35F13 F15F33 J = - q F34F13 - F14F33 r=a O F34F13 F14F33 r=a
Mi, p [ F14F34 - F14F34 J [F15F34 F14F35 J =
F14F33 r:aqO F34F13 F34Fl3 - F14F33 r=a
b-2
FIG -4.19
Neste caso de placa completa com descontinuida-
de de carregamento, temos as seguintes expressões para as fle -
chas:
para para
r < b
r > b + e l+n 30 r + e l+n 30r
-
83
As constantes c10 e c 30 sao eJeI>licitadas pe -
las condições de contorno em r=a:
w=O
· dw dr= o
4.3 - FLEXÃO ASSI~TRICA
Nesse Item, consideraremos as placas circulares
que estão submetidas a um estado de carregamento que nao apre -
senta simetria de revolução em torno do eixo de coordenadas z.
Nesta situação, as flechas do plano médio podem ser colocadas
sob a forma:
w = wp + "ti + I wm cos m8 m=l onde:
wo = clO + C2or2 + C3orl+a + C4orl-a
e para m > 2
com
a Be
ó ·H
= Br
e = B r
K = 1 - 2m2o - a L = m4a - 2m2 (,s+al
(4.48)
(4.49)
( 4. 50)
-
84
a = re bm = /2-K+/ K2-4L
2
bl = ,I 2-K cm = /2-K-/ K2-4L
2
Os esforços solicitantes em função de w sao de
finidos em (3.15).
Apresentamos a seguir a solução da placa com uma
carga concentrada em uma posição arbitrária22 , e a da placa soli
citada por um carregamento com variação linear, sendo que esta
necessita apenas do 19 harmônico da série (4.48) e tem uma solu-
ção particular razoavelmente simples (Ver Timoshenko 9 ).
-a) Placa circular engastada, sujeita a açao de carga concentrada em posição qualquer
-------/ ' / ' / ' / \ I 'B X 1 o 1 1 • /, 1 1 \ 1 r / J
' 1 / ! ' -...__J_ ...... / 1
p
º...__I -b~ª-1 ª-----J FIG -4.20
Ile acordo com o proposto no Capítulo III, a solu
-
85
çao (4. 4 8) é válida quando o eixo polar Ox, origem da coordena
da angular e , passar pelo ponto de aplicação da carga.
O problema apresenta 2 canpos de flecha distin-
tos, que sao separados pela circunferência de raio b - Fig.4.20.
para r > b
m
com w0 e wm definidos por (4.49).
para r < b , temos expressoes análogas que distinguiremos por
um asterisco:
W* = W* + o m
}: w; cos m0 m=l
Esta região contém a origem; então para que te-
nhamos flechas, monentos e forças cortantes finitas em r=O , é
necessário eliminar algumas constantes:
c~o = C40 = o
c~l = C41 = o
m>2 c~m = c4m = o
logo: ., = Cio + Cjo l+a r ( 4. 51)
-W* 1 = Ci1 rl+b1 + Cjl r
m>2 ,W* 'm = Cim rl+bm + C* 3m
rl+cm
Dessa maneira, para cada valor de m temos 6
constantes a determinar: 4 para a parte externa e 2 para a in -
-
P6
terna à circunferência de raio b. As condições para determi -
naçao dessas constantes são. postas da seguinte maneira:
- bordo engastado em r = a
w = o
aw - = o ar
- continuidade de forças e deslocamentos em r = b
onde
de flechas: w = w*
de rotações : aw ar = aw* ar
de momentos fletores desde que
não atuem momentos externos:
de forças cortantes no ponto
de aplicação da carga: Q - Q* = -P r r
p . -p
pode ser representada pela série: llb
Cálculo dos wm
1) m = o
+ C20 2 l+cx
+ C40 1-cx Wo = ClO r + C30 r r
w* * * l+cx = ClO + C30 r o
( 1 + 2
( 4. 52)
As forças cortantes sao obtidas substituindo-se
estas expressões em (3.15):
-
· c20 2 Qr = -2 ~(1-a )B r r
Q* = o r
87
Equacionando as condições (4. 52) temos:
em r=a
w = o
· ·aw ãr = o
em r=b
w = w*
· ·aw ãr
· ·aw* = o = ãr
Q - Q* r r
C20 =
C3Q = -
. ·p = - Tnli
Resolvendo-se o sistema, obtém-se as constantes:
Pa2
[ (l-a)-2El+a J 41! (1-a)Br --'-=-..::.1.:...+_a..::...::.--
p 2
41! (1-a ) Br
1-a [ l+a J Pa 2a+ (1-a) E 2 41la (1-a )B l+a r
-
* ClO =
* c30 =
Então:
2 4Jla(l-a )Br
Pa 2
2 41l (1-a ) Br
Pbl-a 2
4 lla (1-a ) Br
88
[ l+a + E2 J (1-a) -2E
l+Cl
~ 1-a l+a J E (l+a)-2a-E (1-a) (l+a) El-a
Pa 2
2 41l (1-a ) B r
{ (1-a)-2El+a + p2
l+Cl
,
l+a + E pl-a}
Cl
(4.53)
b E = a
(4.54)
Wõ = Pa2 { (1-a)-2El+a + E2 1 [2+El+a (l~a)j Pl+a + - l+a
l+Cl
1-a l+a + _E __ p } Cl
p = r a
Quando b+O (E+O), w0 representa a solução p~
ra carga concêntrica, expressão (4.11):
[ 1-a + 2 __ 2_ l+a J l+a P l+a P
2) m=l
wl = e l+b1 + llr e r1 -b1
21 + c 31r + c 41r ln r
W* e* l+b1 + * 1 = 11 r c3lr
-
89
As forças cortantes nesse caso sao dadas por:
( B+o) r 2 c41 } cose
As condições (4.52) agora se escrevem:
em r=a
w = o
aw ãr = o
em r=b
w = w*
aw ar =
aw* ãr
* ·p Qr - Qr = - Ilb cose
(C 31-c~1 )b+c41b ln b=
= o
+ c41 (1 + ln b) = O
+
= o
-
= p
IlbBr
90
donde se obtém as constantes:
logo:
Pa
Pb
IIB b2
r 1
1. l+b .:l LE 1 - E+ b 1 E ln~
, b E = -a
(4.55)
[ b1 l+b1 b1 1-b b1 l (2-E )p -E p 1+2(E -l)p-2blp ln Pj
Wi =
r p = a
3) m>2
w = e l+bm + e 1-bm + e rl+cm + e 1-cm m lmr 2mr 3m 4mr
(4.56)
E]
-
91
W* = * rl+bm + e* rl+cm m clm 3m
As forças cortantes sao dadas por:
com:
b2 13 2 m2 (13+ô)
Al = - - m ô + m l+b m
A2 = b2 - 13 + m2 ô + m2 (S-ô)
m 1-b m
e~ 8 2 m2 (B+ô)
A3 = - - m ô + l+c m
A4 2 13 + m2ô + m
2 (B-ô) = cm -1-c m
- condições:
em r=a
w = o e l+bm + lmª e al-bm + 2m e l+cm + 3mª e al-cm 4m = o
aw ar = 0 +
-
9?.
em r=b
w = w* (C -e* )bl+bm + e bl-bm + (C -e* )bl+cm + lm lm 2m 3m 3m
= o
(l+b) (C -e* )bbm + (1-b )C b-bm + (l+cm) (c3
m-m lm lm m 2m
-e* )bem+ (1-c )C b-cm = O 3m m 4m
= p
- Ilb cos me
constantes:
P b2 a-bm-1 [ 2Ecm-l -
b -1 (bm+cm>] clm
E m =
211B (b2-c2) (b -e ) b m r m m m m
2 -e -1 [ 2Ebm-l -
e -1 (bm+cm)] c3m =
p b a m E m 2 2 211B (b -e ) (b -e ) e r m m m m m
c2m = P b2 bbm-1
211B b (b2-c2) (4.57) r m m m
-
93
c4m =
* P b2 a-bm-1 [ C -1 Ebm-l (b +c l
clni = 2 2 2c m - b m m 2TIBr(bm-cm) (bm-cm) m
-b -1 (bm -cm)J
E m b m
* P b2 a-cm-1
[2cbm-l_ c -1 -cm-1 E m
c3m = 2 2 (bm+cm) + E
2TIBr(bm-cm) (bm-cm) cm c m
· (b -c >] m m
b E = a
2 [ Ebro (b + >] l+bm w = P b { 2ccm ~ + m 2TIBrc(b;-c;> (bm-cm) m cm P
m
1-b (b -c ) p m m m +
(= . -bm J - _c_(b -c ) ·
bm m m
(b +c l + _c~-(b -c) Pl+cm} -cm J m m c m m
m (4.58)
r p = a
-
94
Os valores de w e w* m m decrescem rapidamente
com o aumento de m, sendo preciso, portanto, poucos termos da
série (4.48) para se obter uma boa aproximação dos resultados.
b) Placa circular engastada, sob açao de carregamento com var·ia
ção linear
formação:
q (r, e)
cular é da forma
º~~--1---~X~ •
' : ' ' 1 1
' ' 1 ' 1 ' 1 1 1 ,rQo.L.COS-8
l l )~- o
~~" º1 a 1 FIG-4.21
O carregamento distribuído tem a seguinte lei de
Sob esta distribuição de carga, a solução parti
w = A r 5 cose p , onde a constante A e de-
terminada substituindo-se esta expressão na equação (3.16) e
igualando-se os coeficientes de termos correspondentes.
-
95.
Feito isto, encontramos:
A =
q0
r 5 cose e a s9lução particular: wp = ~~~~~~~~
16 d Br a , d= 15-28-S.
A solução 9omplementar é inteiramente definida
pelo harmônico de primeira ordem:
• cose
onde, para que nao haja valores indeterminados no centro, nova-
mente temos:
Assim, a solução geral para as flechas tem por
expressao:
onde as constantes c 11 e c 31 sao determinadas pelas condições
de bordo engastado:
em r=a:
w = a
aw ar= 0
que nos fornecem:
4 qo a
16dB r
5qo a 3
16dB r
+ e l+b1 + 11 ª c31 a = o
+ ( b1 l+b1 )c11 a + C31 = o
-
4qo 4 . -l-b1 a
c11 a =
16dBr bl (4.59)
qo ª3 ( 4-bl) c31 =
16dB bl r
e a partir destas, as flechas e esforços resultantes:
w = cose
cose
Bre 3 b 1-1 (p + p )sen e (4.60)
r p =
a
4.4 - CHAPAS SUJEITAS A PRESSÕES RADIALMENTE SIM!1:TRICAS
O equilíbrio das chapas que possuem ortotropia
polar é verificado pela equação:
-
= o (4.61)
cuja solução é dada por:
F e e 2 C l+a C rl-a = 10 + 20r + 30r + 40 (4 .62)
onde a= /5: Er
e F é a função de tensões no plano re , ca-
racterizada por satisfazer:
1 dF ªr = r ãr
d 2F (4.63)
ªe = dr2
As deformações em termos do deslocamento radial
u sao:
du Er = ãr
( 4. 64) u
E8 = -r
ou ainda pela lei de Hooke:
ªr "e Er = - Ee ªe E r (4.65)
ªe "r E8 = Ee - E a r r
Com esses dados, podemos apresentar a solução
do problema clássico de Lamé, ou seja, de um anel uniformairente
comprimido por pressões p 1 e p 2 nos contornos interno e exter
no respectivairente, como mostra a Fig. 4.22.
-
98
F I G-4.22
Tendo em vista (4.63), c 10 nao interessa ao cál
culo das tensões e c 20 deve se anular para não causar valores
múltiplos para o deslocamento em um mesmo ponto13 Assim, (4.62)
se reduz a :
l+a 1-a F = C30 r + C40 r
As condições de contorno sao fixadas por:
em r=b a-1 -a-1 = c 30 (l+a)b + c 40 (1-a)b
em r=a
donde se obtém:
l+a P1 e -p2 1-a
C30 = a 2a (1-c ) (l+a) (4.66)
1-a P1 e -p2 l+a ·b
c40 = a , e = --2a a (1-c ) (1-a)
-
as tensões
l+a P1 E -p2 a-1
crr = p 1-E
2 (l
(18 = (l [
e o deslocamento radial:
u = l+a )
E -p2
1 2a -E
+
a-1 p
99
P1 ,E 1-a
-p2 -a-1 -2a
p
1-E
_P~l~E~~-~-2 P-a-l 1-a J l-E-2a
(l (1-a" )p -r
(4.67)
Quando a chapa é completa e existe somente a
compressao p 2 , os resultados de (4.67) se reduzem para:
b -,. o
P1 =
crr =
cr e =
u = -
(E -,. O)
o
a-1 -p2 p
a-1 -p2a p
ªª (1-a"r)p 2 p Ee (l
I r
p = a
(4. 68)
Novamente as fórmulas (4.68) constatam uma sin-
gularidade matemática para r=O, que como sabemos, é um ponto
de singularidade da ortotropia polar. De maneira análoga, po -
der-se-ia corrigir esta singularidade introduzindo-se um disco
isótropo em substituição à região alterada da ortotropia, e fa-
zendo a compatibilização de tensões e deformações ao longo da
circunferência que limita as duas espécies de material.
-
100
CAPfTULO V
FLEXÃO DE PLACAS CIRCULARES COM ORTOTROPIA GEOMtTRICA
5.1 - INTRODUÇÃO
Neste capítulo estudaremos a flexão com peque-
nos deslocamentos de placas circulares possuindo ortotropia geo-
métrica ou construtiva. Esta espécie de ortotropia é caracteri-
zada quando a placa apresenta propriedades de forma~ diferentes
e descontínuas nas direções radial e circunferencial, o que, in-
dependentemente da isotropia do material, lhe confere diferentes
rijezas nestas direções.
O modelo estrutural em questão, conhecido pe-
lo nome de placa enrijecida (stiffened plate), é um conjunto for
mado por u