FALE

•Równanie falowe w jednym wymiarze

•Fale harmoniczne proste

•Zasada superpozycji

•Równanie falowe w trzech wymiarach

• Interferencja

RÓWNANIE FALOWE W JEDNYM WYMIARZE

Przykład: drgania poprzeczne struny

ψ(z,t) - wychylenie pionowe z połoŜenia

równowagi elementu struny ∆z w punkcie

z w chwili t

ρ0 - gęstość liniowa masy struny

∆m= ρ0 ∆z - masa elementu struny

T(z) - napręŜenie struny w punkcie z przy

wychyleniu z połoŜenia równowagi

T0 - napręŜenie struny w połoŜeniu

równowagi

Zakładamy, Ŝe ruch elementu struny

odbywa się tylko wzdłuŜ osi pionowej Ox.

T(z+∆z)

T(z)

θ(z)

θ(z+∆z)x

z

ψ(z,t)

T0T0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xx

z

mazzTzzzzTzT

TzzTzzzzT

zzTzzzzTzT

∆=−∆+∆+=∆

==∆+∆+

=−∆+∆+=∆

θθ

θθ

θθ

sinsin

coscos

0coscos

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

0

0

2

2

22

2

2

2

0

0

2

2

2

2

2

2

00

000

,1

tgtg

tg

tgtgtgtg

tgcostgcos

sinsin

ρψψ

ψρψ

ψθψθ

ψρ

θ

θθθθ

θθθθ

θθ

Tv

tvz

tTz

zdz

d

z

tdzmadz

dz

dT

zz

zzzTzTzzT

zzzTzzzzzzT

zzTzzzzTzT

x

x

=∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=⇒∂∂

=

∂∂

=∆=

≈∆∆

−∆+=−∆+

=−∆+∆+∆+

=−∆+∆+=∆

Ogólna postać równania falowego w

jednym wymiarze

v - prędkość fali (prędkość fazowa)

FALE HARMONICZNE PROSTE

ψ(z,0)

ψ(0,t)

T

λλλλ

Szczególne rozwiązanie równania falowego w postaci fali biegnącej.A - amplituda

λ - długość fali - najmniejsza odległość przestrzenna miedzy dwoma punktami, w których w tej samej chwili faza drgań jest jednakowa z dokładnością do 2π.k - liczba falowa (wektor falowy)T - okres fali - czas, po którym faza drgań dowolnego elementu ośrodka wzrośnie o 2π.ω- częstość

( ) ( )λππ

ωωψ2

,2

,sin, ==−= kT

kztAtz

Aby ψ(z,t) było rozwiązaniem równania falowego, musi byćspełniona relacja dyspersji

vk=ω

vkt

zkztconst

kzt

==⇒=−⇒==

−=

ωωφ

ωφ

00

Faza

Prędkość fazowa -

prędkość przemieszczania się stałej fazy

ZASADA SUPERPOZYCJI

Zaburzenie falowe osrodka, pochodzące od układu źródeł, równe jest sumie

(wypadkowej) zaburzeń, pochodzących od poszczególnych źródeł.

Równanie falowe jest liniowym równaniem róŜniczkowym cząstkowym, więc kombinacja liniowa niezaleŜnych rozwiązań jest równieŜ jego rozwiązaniem.

Przykład: fale stojace w jednym wymiarze

2π/k=λ( ) ( )

( ) ( ) ( )kztAtztztz

kztAtzkztAtz

cossin2),(),(,

sin),(,sin),(

21

21

ωψψψ

ωψωψ

=+=

+=−=

t=T/4

t=3T/4

t=0.1T

t=0.05T

t=0

węzeł

strzałka

ψ(z,t)

A(z,t) obwiednia

Prędkość grupowa -

prędkość przemieszczania

się obwiedni = predkości

przepływu informacji

dk

dvgr

ω=

2π/dk

Przykład: prędkość grupowa

( ) ( ) ( )( )

+−

+

−=+=

+−+=−=

zdk

ktd

zdk

td

Atztztz

zdkktdAtzkztAtz

tzA

22sin

22cos2),(),(),(

sin),(,sin),(

),(

21

21

ωω

ωψψψ

ωωψωψ

444 3444 21

RÓWNANIE FALOWE W TRZECH WYMIARACH

Zaburzenie, rozchodzące się w przestrzeni trójwymiarowej, opisywane jest wektorem o trzech składowych.KaŜda ze składowych wektora jest funkcją trzech zmiennych przestrzennych x, y, z i spełnia równanie falowe.

[ ][ ]

( ) ( )

01

,,,,,

,,,

,,

2

2

22

2

2

2

2

2

=∂

∂−

∂∂

+∂

∂+

∂∂

===

=

=

tvzyx

zyxizyxr

zyxr

iiii

iii

zyx

ψψψψ

ψψψ

ψψψψr

r

r

Operator Laplace’a (laplasjan) 2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

≡∇

zyxitv

ii ,,,0

12

2

2

2 ==∂

∂−∇

ψψRównanie falowe w trzech

wymiarach

Przykład: fale płaskie

z

x

λ

k

r

constrk =⋅ rr

Płaszczyzny stałej fazysą prostopadłe do kierunku propagacji danego wektorem falowym k i odległe od siebie o λ

ψx(z,0)

( )

[ ] ( )tkzAkkkk

zyxitrkA

iizyx

ii

ωψλπ

ωψ

−=⇒

==

=−⋅=

cos2,0,0,,

,,,cos

r

rr

Przykład: polaryzacja fal płaskich

z

x

y

ψx(z,0)ψ

Fala płaska spolaryzowana liniowo - drgania zachodzą wzdłuŜ jednej osi.

[ ] ( )[ ]0,0,cos0,0, tkzAx ωψψ −==r

ψψψψ

ψx

ψyωt

Superpozycja dwóch fal płaskich spolaryzowanych liniowo jest w ogólności falą

płaską spolaryzowaną eliptycznie - przy ustalonym z=const koniec wektora zaburzenia zakreśla w czasie elipsę.

[ ] ( )[ ][ ] ( )[ ]

( ) ( )[ ]0,cos,cos0

0,cos,00,,0

0,0,cos0,0,

21

21

22

11

ϕωωψ

ψψψ

ϕωψψ

ωψψ

−=⇒=

+=

+−==

−==

tAtAz

tkzA

tkzA

y

x

r

rrr

r

r ωt

A

2

,21

πϕ =

== AAA

A

ωt

0

,21

=

==

ϕ

AAA

Przykład: Fale kuliste

( ) ( )

( ) ( )krtr

Ar

zyxirr

i

ii

−=

==⇒=

ωψ

ψψψψ

cos

,,,rr Zasada Huyghensa: kaŜdy punkt, do

którego dociera zaburzenie, staje sięźródłem nowej fali kulistej. Zaburzenie wypadkowe jest superpozycją fal kulistych, pochodzących od wszystkich punktów ośrodka.

NatęŜenie fali kulistej: energia, przepływająca przez jednostkępowierzchni w jednostce czasu

22 rAI =

Całkowita energia, przepływająca przez powierzchnię zamkniętą, otaczającą źródło fali kulistej, nie zaleŜy od odległości constA

IrE

==

==2

2

4

4

π

π

a) b)

INTERFERENCJA

Przykład: Interferencja fal kulistych

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )tPtPtP

krtr

AtP

kdkrtr

Akrt

r

AtP

,,,

cos,

sincoscos,

21

2

2

2

2

2

1

1

1

ψψψ

ωψ

θωωψ

+=

−=

−−≈−=

⇒<<

=≅

21,

2

rrdk

dπ

λ

d

ψ1

ψ2

P

r2

r1

ΘΘ

dsinΘ

Θ1,max

Θ0,max

Θ2,max

Θ0,min

Θ1,min

Maksimum interferencyjne

Minimum interferencyjne

( )

=

−−

=

2

sincos

4)(

2

sincos

2

sincos

2,

2

2

2

2

2

2

θ

θω

θψ

kd

r

API

kdtkr

kd

r

AtP

Maksima interferencyjne

,...2,1,0,sin

,...2,1,0,2

sin1

2

sincos

max, ±±==

±±==⇒±=

nnd

nnkdkd

n λθ

πθθ

,...2,1,0,2

1sin

,...2,1,0,22

sin0

2

sincos

min, ±±=

+=

±±=+=⇒=

nnd

nnkdkd

n λθ

ππθθ

Minima interferencyjne

Efektywne natęŜenie

d=4λr 2,min=100λ

Interferencja fal kulistych na powierzchni wody (u dołu) i światła przechodzącego przez dwie szczeliny (z prawej)

Przykład: Dyfrakcja fali płaskiej na szczelinie

Przy przechodzeniu fali płaskiej przez szczelinę na ekranie ustawionym za wąską szczeliną obserwuje się obraz dyfrakcyjny. Jest on związany z interferencją fal kulistych, wzbudzonych przez padajacą falę płaską, wychodzących z poszczególnych punktów szczeliny (odległość poszczególnych punktów ekranu od poszczególnych punktów szczeliny jest róŜna, a róŜnice sąrzędu długości fali)