Fakulteta za matematiko in fiziko Dinamika linearno stratificirane tekočine v rotacijskem sistemu

seminar

Povzetek

Iščemo obnašanje geofizikalnih tekočin – oceani in atmosfera. Navier-Stokesovo enačbo prepišemo v rotirajoč sistem in povemo nekaj o stratifikaciji medija, tako dobimo gibalne

enačbe. V nadaljevanju si ogledamo nekaj najbolj preprostih rešitev teh enačb - gravitacijske, Poincarejeve, Kelvinove in splošne valove v linearno stratificiranem

rotacijskem sistemu. Na koncu si ogledamo rešitev plimskega valovanja – vsota dveh Kelvinovih in serije Poincarejeveih valov.

Gregor Kosec Mentor: dr. Vlado Malačič 6. marec, 2006

2

Vsebina: 1. Uvod.............................................................................................................3 2. Geofizikalni sistem.......................................................................................3 2.1. Stratificirana tekočina – vzgonska frekveca ..................................................... 3 2.2. Dinamika rotirajoče tekočine ......................................................................... 4 3. Dinamika tekočin - načini valovanja.............................................................5 3.1. Površinski gravitacijski valovi ........................................................................ 5 3.2. Interni valovi............................................................................................... 7 3.3. Valovi v zvezno stratificirani tekočini .............................................................. 8 3.4. Rotacijski gravitacijski valovi - Poincarejevi valovi............................................ 9 3.5. Kelvinovi valovi ......................................................................................... 10 3.6. Lastni načini v zvezno stratificirani rotirajoči tekočini...................................... 11 3.7. Plimsko valovanje ...................................................................................... 13 4. Zaključek ...................................................................................................15

3

1. Uvod

Razumevanje dinamike linearno stratificirane tekočine je neposredno povezano z razumevanjem dinamike oceanov in atmosfere. Bivanje na zemlji je močno odvisno od dogajanja v atmosfere, saj je človek še vedno nemočno odvisen od vremenskih pojavov. Razumevanje in napovedovanje vremenskih pojavov je postala pomembna znanstvena disciplina. Na dogajanje v atmosferi precej vpliva gibanje oceanov – morski tokovi, izmenjava vlage, izmenjava toplote ... . Gibanje oceanov je zanimiva tema tudi iz stališča ekologije, navigacije, ... . Obnašanje oceanov in atmosfere je mogoče podobno obravnavati. Vsaka obravnava sicer ima svoje posebnosti (kontinenti bistveno vplivajo na gibanje oceanov, medtem ko pri atmosferskih pojavih nimajo tako močnega vpliva. Oblaki so značilni za atmosfero ...), vendar ima osnovna dinamika podobno naravo. Pri obeh obravnavah sta pomembna dejavnika stratifikacija medija in vrtenje zemlje. Dinamika take tekočine se pogosto imenuje Geofizikalna dinamika tekočin in je značilna za vse pojave v oceanih in astmosferi. Glavni motiv tega seminarja je bolje spoznati osnovna gibanja geofizikalnih tekočin. Poiskalni bomo nekaj načinov valovanja morja. Zanimal nas bo predvsem približek za plitko morje, saj je Tržaški zaliv precej plitek (do 40m). Ko poznamo nekaj osnovnih načinov valovanja lahko zapišem splošno rešitev kot vsoto teh valov. 2. Geofizikalni sistem

2.1. Stratificirana tekočina – vzgonska frekveca Pomembna spremenljivka v obravnavi geofizikalne tekočine je stratifikacija tekočine. Gostota je v splošnem odvisna od temperature, tlaka in v morju od slanosti. Tako dobimo krajevno odvisnost gostote. Nas bo zanimal primer kjer je gostota odvisna le od globine. Statično stabilen medij predstavlja tekočina, ki ima negativen gradient potencialne gostote (gostota ki bi jo imela tekočina če bi jo adiabatno dvignil na površje). V nasprotnem primeru bi se tekočina premešala, saj bi se težja plast na vrhu potopila.

2

potd d g

dz dz c

ρ ρ ρ= + (2.1)

Drugi člen (adiabatni gradient gostote) gre za nestisljive tekočine proti nič, saj gre hitrost zvoka v nestisljivem mediju c→∞ . Navada je da se gradient gostote opiše z vzgonsko frekvenco (bouyancy frequency) - N. Vzgonska frekvenca je frekvenca s katero zaniha del tekočine v stratificiranem medijo če je malo izmaknjen iz ravnovesne lege. Do vzgonske periode pridemo, tako da seštejemo vse sile na delec tekočine in upoštevamo II. newtonov zakon. Hitro pridemo do diferencialne enačbe [1]:

2

2

20

d zN z

dt+ = , 2

0

gN

z

ρρ∂

= −∂

(2.2)

Vzgonska frekvenca je v splošnem odvisna od globine, vendar bo v tem seminarju obravnavana le tekočina s konstanto vrednostjo N, ali linearno stratificirana trekočina.

4

Slika 1: tipična porazdelitev temperature, gostote in vzgonske frekvence

Nekatere rešitve se bodo nanašale tudi na homogeno ali dvoslojno tekočino - snov kjer ima gostota nezvezen skok. 2.2. Dinamika rotirajoče tekočine Zaradi rotacije zemlje je potrebno gibalne enačbe zapisati v rotacijskem koordinatnem sistemu. Dinamiko stisljive viskozne tekočine opisuje Navier Stokesova enačba [2] (NS).

2 ( ) ( )3

Dvf p v v

Dt

µρ ρ µ ξ= −∇ + ∇ + + ∇ ∇

(2.3)

kjer so ρ gostota, f gostota zunanjih sil, µ dinamična viskoznost in ξ dilatacijska viskoznost. Namesto navadnega operatorja časovnega odvoda je v NS enačbi zaradi Eulerjevega opisa uporabljen substancialni odvod / /D Dt t v= ∂ ∂ + ∇

.

Ugodno si je ogledati posebne primer za nestisljivo in neviskozno tekočino. Iz kontiunitetne enačbe za nestisljivo tekočino sledi:

( ) 0 ( ) 0

0

v vt

u v w

x y z

ρρ

∂+∇ = →∇ =

∂∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

(2.4)

Navada je da se hitrosti označijo z u v smeri x, v v smeri y in w v smeri z. Zaradi nestisljivosti in neviskoznosti odpadeta zadnja dva člena. NS enačba postane tako precej lažje rešljiva in v primeru ko je obravnavana voda sta popravka precej dobro upravičena. Za geofizikanlo obravnavo tekočine je potrebno hitrost v laboratorijskem sistemu (N) transformirati v relativno hitrost glede na točko na zemlji (B) (Slika 2). Pričakujemo popravke zaradi vrtenja.

5

N

B

R

r'

r w

Slika 2:B Rotirajoč sistem – točka na zemlji, N laboratorijski sistem.

Splošna Navier Stokesova enačba v rotacijskem sistemu je nepregledna, a vendar je razumevanje poti do nje pomembna in pogosto preveč poenostavljeno (priloga: A). Ne da bi zapisali enačbo lahko takoj naredimo nekaj poenostavitev. Če izhodišče koordinatnega sistema B sovpada z izhodiščem koordinatnega sistema A pomeni da enačba ne upošteva centrifugalnega pospeška zaradi vrtenja zemlje. Ta poporavek bo za nadaljno obravnavo zanemarljiv. V primeru da je opazovano dogajanje na polu zemlje se zaradi tega člena

rešitev le premakne v smeri vektorja R.

Reševanje enačbe za velike skale bi bilo potrebno reševati v sferičnem koordinatnem sistemu, vendar so horizontalne skale za večino problemov veliko manjše od radija zemlje. Ukrivljenost zemlje lahko v takem primeru zanemarimo in uvedemo lokalni kartezični koordinatni sistem (x,y,z) in hitrost (u,v,w). Navada je še vpeljati Coriolisov parameter 2 sinf = Ω Θ , kjer je Θ geografska širina. Coriolisov parameter se lahko

imenuje tudi Coriolisova frekvenca ali planetarna vrtinčnost. Tako lahko zapišemo poenostavljeno NS enačbo [2]

1

2 ( ) ( ) 2

2cos

fv

v v r v v p v fu

uρ

− + Ω× +Ω× Ω× + ∇ = − ∇ Ω× = − Θ

(2.5)

Vertikalna komponenta Coriolisovega člena je v večini primerov zanemarljiva proti sili teže in vzgona v z smeri. V večini primerov obravnavamo gibanje tekočine na konstani geografski širini, tako je f konstanta vrednost. Tak model se imenuje f ravninski-model. V prvem približku lahko f razvijemo v vrsto okoli konstante Θ - 0f f yβ= + , tak model se

imenuje β ravninski-model [1]. Za f model si lahko predstavljamo gibanje delca tekočine podobno kot gibanje nabitega delca v homogenem magnetnem polju. 3. Dinamika tekočin - načini valovanja

3.1. Površinski gravitacijski valovi Kot smo že napovedali v uvodu bomo obravnavali nekatere oblike valovanja in poizkusili z rešitvami razložiti kakšno bolj kompleksno gibanje. Za lažje razumevanje nadaljne analize je ugodno povedati nekaj osnov o gravitacijskih valovih. Pri gravitacijskih valovih nihanje uravnava sila teže in tlačna razlika v mediju.

6

Slika 3:Orbite delca pri gravitacijskem valovanju

Gravitacijski valovi se propagirajo na horizontalni ravnini in so izotropni [1]. Delci pri gravitacijskih valovih se gibljejo po elipsah v xz ravnini. Sploščenost elipse je odvisna od globine delca, vendar je faza gibanja delca po elipsi neodvisna od globine [1]. Na površju so elipse skoraj krožnice in pri dnu se bližajo ravninvskem (horizontalno) gibanju. Do rešitve pridemo lahko če privzamemo da je tekočina brezvrtinčna in tako lahko zapišemo hitrost kot gradient hitrostnega potenciala. Tako rešujemo Laplaceovo enačbo pri dveh robnih pogojih – vertikalna hitrost na dnu mora biti nič (voda ne pronica skozi dno) in na površini mora biti enaka hitrosti gladine (delci tekočine ne morejo pobegniti iz sloja). Rešitev za hitrostni potencial dobimo [1]:

cosh[ ( )] 2

sin ( )sinh( )

a k z Hx ct

k kH

ω πφ

λ+ = −

(3.1)

Analizo gravitacijskih valovanjih se razširi na razne približke, nas bo zanimal približek tankega sloja. Pri tem približku upoštevamo, da je / 1H λ . Tako lahko hiperbolične funkcije v rešitvi za hitrostni potencial razvijemo do prvega reda in dobimo rezultat za hitrost u in w (ker je valovanje horizontalno izotropno lahko vedno postavimo smer x v smeri hitrosti u in dobimo dvo dimenzionalen problem):

cos( )

(1 )sin( )

au kx t

kH

zv a kx t

H

ωω

ω ω

= −

= + − (3.2)

Iz enačbe (3.2) opazimo da je vertikalna komponenta hitrosti zanemarljiva v primerjavi z horizontalno in da amplitude niso več odvisne od globine. Tako lahko zanemarimo vertikalno hitrost in upoštevamo, da spremembi tlaka prispeva le še višina stolpca tekočine. Tako dobimo le hidrostatsko tlačno spremembo: 'p gρ η= (3.3)

7

Gravitacijski valovi v piltiki vodi se zaradi te lastnosti imenujejo tudi hidrostatski valovi. V nadaljevanju bomo večino delali le v približku plitkega sloja tako da lahko zapišemo še fazno hitrost za tako vrsto valovanja:

c gH= (3.4)

Na morju valovi nikoli ne nastopajo le z eno frekvenco. Realna slika valovanja je vsota po vseh možnih valovanjih, v odvisnosti od začetnih pogojev. Smer širjenja energije je podana z grupno hitrostjo, ki v primeru splošnega gravitacijskega vala ni enaka fazni [1]. V približku plitkega sloja postane grupna hitrost spet enaka fazni. Primer: za morje globoko 5km je hitrost valovanja ranga 220 /c m s= . Za naše morje ki je globoko okoli 20m je hitrost ranga 15 /c m s= . Zaradi približka o neviskozni tekočini ne dobimo pričakovanega dušenja, saj ni nobenih sil ki bi lahko ustavljale valovanje. 3.2. Interni valovi Do valovanja lahko pride tudi na meji med dvema plastema tekočine. Tak primer je v morju lahko izliv reke. Gostota ima oster skok na neki globini in tako da dobimo dvoslojno tekočino (lahko tudi več slojno). V takem primeru razdelimo področje na dva dela in za vsakega posebej rešujemo Laplaceovo enačbo. Na meji jih kot smo vajeni zlepimo. Z zelo podobnim računom kot za površinske valove pridemo do disperzijske relacije

2 1

2 1

gkρ ρ

ωρ ρ

−= +

(3.5)

Takoj opazimo da v primeru ko je gostota zgornje tekočine ( 1ρ ) nič dobimo rezultat za

površinske valove. Površinski valovi so valovi kjer je zgornja tekočina zrak in lahko rečemo da ima gostoto blizu nič (v primerjavi z vodo). Opazimo da imajo interni valovi v splošnem nižjo frekvenco in če bi zapisali še energijsko bilanco bi opazili, da imajo večje amplitude [1]. To si lahko predstavljamo z vzmetjo – večja ko je razlika gostot večji bi bil koeficent vzmeti in tako večja frekvenca in nižja amplituda. V primeru ko imamo končen sloj tekočine z nižjo gostoto na neskončnem sloju s končno gostoto lahko pričakujemo dva načina nihanja (slika 4)

8

Slika 4: Načina valovanja pri končnem sloju tekočine na neskočno globoki plasti

Pri barotropnem načinu izokline in izobare sovpadajo medtem ko pri baroklinskem načinu zaradi odmikov tekočine temu ni več tako. Za nas bolj usodno je spoznanje da sta horizontalni hitrosti v zgornjem in spodnjem sloju pri baroklinskem načinu obratni. To pomeni da je mejna površina ni več brezvrtinčna in to pomeni da ne velja več Laplaceova enačba. Za N-slojno tekočino to seveda ni problem, saj lahko območje razdelimo na N območji. Za vsako območje bo spet veljala Laplaceova enačba. Rešitve za različna področja le zlepimo z 2N robnimi pogoji. Problem se bo pojavil pri zvezno stratificirani tekočini. Opazimo da se gibanje bistveno spremeni pri tako konfiguraciji tekočine. Hitrost v takem režimu je podobna kot pri navadnih površinskih valovih:

2 1

2

' 'c g H g gρ ρρ

−= =

(3.6)

Le da namesto garvitacijskega pospeška vpeljemo reduciran gravitacijski pospešek. Hitrsot v takem sloju je manjša kot v povpršinskih valovih. V primeru ko imamo barotropen način nihanja lahko rečemo za stratificiran medij, da ima v splošnem valovanje v njem veliko krajše valovne dolžine kot v homogenem mediju. 3.3. Valovi v zvezno stratificirani tekočini Bolj zanimi postanejo interni valovi v stratificiranem mediju. Podobno kot je pri gravitacijskih valovih mejna plast tekočina zrak lahko za interne valove predstavlja plast vsaka izoklina (ravnina z enako gostoto). Kot smo videli v prejšnjem poglavju sedaj rešitev problema ne bo več rešitev Laplaceove enačbe. Iskanje obnašanja se začne z Boussinesq-ovim1[1] približkom za dinamiko tekočin:

0 0 0 0

1 1 1u p v p w p g

t x t y t z

ρρ ρ ρ ρ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − = − = − −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (3.7)

1 Boussinesq-ov približek se uporablja ko je machovo število toka dovolj majhno, propagacija zvočnih valov ni upoštevana, vertikalni tokovi so majhni in temeperaturne razlike so majhne. Gostoto je tako konstantna v kontinuitetni in gibalnih enačbah (razen v gravitacijskem členu). Konstante se tudi ostali lastnosti tekočine. Povzeto po [1].

9

Reševanja sistema enačb se lotimo (3.7) s klasičnem nastavkom za valovanje [1]. Račun nas pripelje do disperzijske relacije: cos( )Nω α= (3.8)

Podobno kot prej lahko x os koordinatnega sistema postavimo vzporedno z hitrostjo u in opazimo da je frekvenca odvisna od kota med valovnim vektorjem in horizontalno ravnino, lahko tudi kot med fazno hitrostjo in vertikalno osjo. Neposredno lahko razberemo najvišjo možno frekvenco – N. Delec lahko niha z najvišjo frekvenco ko niha vertikalno. Zanimiv je rezultat za grupno hitrost. Po izračunu grupne hitrosti [1] se izkaže, da je pravokotna glede na fazno hitrost. Val se propagira pravokotno glede na fazno hitrost. Na rezultat lahko pogledamo tudi iz druge smeri. Če v linearno stratificirani tekočini vzbujamo oscilacije z neko frekvenco manjšo od N, se bo valovanje širilo le pod kotom α , ki zadošča vsiljevani frekvenci - torej kotom ki zadošča enačbi (3.8). Valovanje se bo tako širilo v štiri pravokotne smeri rotirane za kot α glede na horizotnalno ravnino.

Slika 5: Obnašanje internih valov v stratificirani tekočini – fazna in grupna hitrost sta pravokotni, propagacija valovanja je pod danim kotom glede na horizontalno ravnino.

3.4. Rotacijski gravitacijski valovi - Poincarejevi valovi Naslednji korak k razumevanju geofizikalnih gibanj je upštevanje coriolisovega pospeška v dinamičnih enačbah. Coriolisova sila postane dovolj velika, ko imamo valovanje s frekvenco primerljivo z f. V prejšnji obravnavi smo opazovali valovanja kjer je frekvenca mnogo večja od coriolisovega parametra. Reševanja dinamičnih enačb v vrtečem sistemu se lotimo v približku za plitiek sloj. Kot smo videli v poglavju (3.1) je v približku za plitek sloj lahko tlačno spremembo zapišemo hidrostatično, saj so vertikalne hitrosti mnogo manjše od horizontalnih in jih lahko zanemarimo. Tako lahko iz enčbe (3.3) zapišemo gradient tlaka:

p p

g gx x y y

η ηρ ρ

∂ ∂ ∂ ∂= =

∂ ∂ ∂ ∂ (3.9)

Sedaj vertikalno integriramo kontinuitetno enčbo (2.4) od dna do gladine - [0, ]H η+ . V

poglavju 3.1 smo videli da so horizontalne hitrosti v približku za plitek sloj neodvisne od globine. Iz robnih pogojev izrazimo hitrost na gladini in dnu (oba člena namreč dobimo

10

pri integraciji enačbe (2.4)) in lahko zapišemo dinamične enačbe za plitek rotacijski sistem.

0u v u v

H fv g fu gt x y t x t y

η η η ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = − = − + = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(3.10)

Nove dinamične enačbe (3.10) opisujejo gibanje tekočine v rotacijskem sistemu. Vzamemo standarni nastavek za valovanje. ( )

0 0 0( , , ) ( , , ) i kx ly tu v u v e ωη η + −= (3.11)

Če je bilo gibanje delca v nevrtečem sistemu nihanje v horizontalni ravnini (vsa razmišljanja so za gibanje v plitkem sloju, v razsežnem sloju dobimo nihanje tudi v vertikalni osi) sedaj pričakujem eliptično gibanje. To hitro potrdijo tudi enačbe, saj če rešimo sistem (3.10) dobimo nihanje hitrosti v in u v faznem zamiku / 2π . Razlaga za spremembo je dokaj preprosta. Pri f modelu bo pravokotno na delec, ki se giblje, ves čas delovala sila. Razlog za kroženje je enak kot pri gibanju nabitega delca v homogenem magnetnem polju.

Slika 6: horizontalna orbita delca v rotacijskem sistemu – Poincarejev val

Če v sistem enačb (3.10) vstavimo nastavek (3.11) dobimo sistem linearnih enačb. Disperzijsko relacijo dobimo z enačenjem determinatne dobljenega sistema na nič. 2 2 2f gHKω = + (3.12)

Kjer je ( , )K k l=

valovni vektor. V primero ko je frekvenca vsiljevanja podobna

coriolisovi frekvenci orbite postanejo krožnice. Takemo gibanje se imenuje inercialno gibanje. Tipičnen radij krožnice je ranga 1km in tipični tokovi so 0.1 m/s. 3.5. Kelvinovi valovi Do sedaj smo obravnavali horizontalno neskončen medij. V primeru ko omejimo medij na eni strani se obnašanje seveda spremeni. Dobimo dodaten robni pogoj, ki govori da se tekočina ne more širiti v steno. Če postavimo koordinatni sistem tako da stena kaže v smeri x in se nahaja na 0y = lahko formuliramo nov robni pogoj ( 0) 0v y = = . Posledice

lahko pričakujemo. Tekočina se ne more več prosto gibati v y osi, a nanjo še vedno deluje Coriolisova sila, ki sedaj tekočino »pritiska« na steno. Oglejmo si sistem enačb (3.10) z novim robnim pogojem. Ob steni dobimo:

11

fu gy

η∂= −

∂ (3.13)

Gladina se ob steni dvigne ali spusti, odvisno od smeri gibanja tekočine in geografske širine. Gladina ima obliko:

0

yeη η −Λ= (3.14)

Kjer je /c fΛ = Rossby-ev radij deformacije. Elipse horizontalnega gibanja se v bližini

stene sploščijo in ponovno dobimo nihanje v x smeri. Kelvinovi valovi se vedno propagirajo ob obalah. Poznamo tudi ekvatorske Kelvinove valove. Kelvinovi valovi nimajo disperzije in njihova fazna hitrost je enaka nerotacijskim gravitacijskim valovom (3.4).

Slika 7: oblika gladine ob steni kjer se tekočina giblje s smeri normale lista.

Podobno kot smo prej obravnavali interne gravitacijske valove lahko sedaj naredimo za interne Kelvinove valove. Potem imamo opravka z internim Rossby-evim radijem deformacije, ki je manjši kot površinski[1]. Tipične vrednosti za interni Rossby-ev radij deformacije je 50km [1], medtem ko za 20m globoko morje na naši geografski širini pričakujemo radij deformacije 140km. 3.6. Lastni načini v zvezno stratificirani rotirajoči tekočini V poglavju (3.3) smo že nekaj povedali o lastnih načinih valovanja v zvezno stratificiranem mediju. Sedaj nas zanima kakšna so ta stanja v rotirajočem sistemu. Radi bi poiskali splošno rešitev sistema enačb (3.7) z dodanimi Coriolisovimi členi. Da bo problem lepše formuliran enačbe ponovno zapišem z dodanimi členi:

0 0 0

2

0

0

1 11. 3. 0

12. 4. 0

u p p gfv

t x z

Nv pfu

t y t g

ρρ ρ ρ

ρρρ

∂ ∂ ∂− = − = − −

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ = − − =

∂ ∂ ∂

(3.15)

Prva, druga in tretja enačba so komponente vektorske NS enačbe za dan problem. Pri tretji enačbi smo že upoštevali, da so hitrosti v vertikalni smeri zanemarljive v primerjavi s hitrostmi v horizontalni smeri. Četrta enačba je le substancialni odvod gostote po času, ki mora zaradi nestisljivosti biti nič. V advekcijskem členu četrte enačbe smo gradient gostote že zapisali z vzgonsko frekvenco. Zaradi simetrije je ugoden razcep rešitve na vertikalen in horizontalen del. Rešitev sistema bomo zapisali kot vsoto vertikalnih – lastnih načinov. V splošnem lahko zapišem nastavek v obliki vsote

12

0

0 0

[ , , ] [ ( , , ), ( , , ), ( , , )] ( )

( , ) ( ) ( , )

n n n n

n

zn

n n nH

n n

u v p u x y t v x y t p x y t z

dw w x y z dz x y

dz

ψ

ψψ ρ ρ

∞

=

∞ ∞

−= =

= ⋅

= =

∑

∑ ∑∫ (3.16)

Enačbe za u,v in p morajo imeti enako vertikalno strukturo da lahko zadoščajo prvi in drugi enačbi v sistemu enačb (3.15). Iz kontinuitetne enačbe (2.4) vidimo zahtevo da je vertikalni profil vertikalne hitrosti odvisen od integrala funkcije ψ . Podobno lahko iz

tretje enačbe sistema (3.15) vidimo da mora biti gostota v odvisnosti od odvoda funkcije ψ . Ko vstavimo nastavek (3.16) v sistem (3.15) po krajšem računu dobimo diferencialno enačbo za funckijo ψ in sicer:

2

2

10n

n

n

ddN

dz dz c

ψψ− + =

(3.17)

Enačba (3.17) postane za linearno stratificiran sistem preprosta nihajna enačba, saj N ni več odvisen od koordinate z. Zanimivo je da ko rešimo sistem (3.15) z upoštevanjem (3.17) in nastavka (3.16), dobimo identičen sistem kot za homogeno plast (3.10). V členu np spoznamo člen gη in 2

nc nadomestimo z gH . Sledi uporabna izjava: normalni

načini zvezno stratificiranega rotacijskega sistema imajo enako horizontalno in časovno sliko kot enak homogen sistem globine:

2

ne

cH

g= (3.18)

Za reševanje enačbe (3.17) uporabim enake robne pogoje kot pri gravitacijskih valovih. Iz (3.16) hitro opazimo robne pogoje za funkcijo nψ

2

0

0 0nn

z H z

dd N

dz dz g

ψψψ

=− =

= + =

(3.19)

Prvi pogoj zahteva da je vertikalna hitrost na dnu nič in drugi pogoj zahteva da so delci ujeti v tekočino. Rešitev enačbe (3.17) je seveda vsota dveh triogonometričnih funkcij.

cos( ) sin( )n

n n n

Nz Nz Nz

c c cψ = − (3.20)

Iz prvega robnega pogoja dobim še zvezo:

tan( ) n

n

c NNH

c g= (3.21)

Za osnovno stanje n=0 dobimo 0 1ψ ≈ - barotropno stanje. Ostala stanja so baroklinska.

13

Slika 8: vertikalni načini nihanja linearno stratificirane rotirajoče tekočine

Za interno valovanje v nerotirajočem sistemu smo izpeljali zgornjo mejno frekvenco (3.8). Sedaj nas zanima kako je z omejitvami, ko v dinamičnih enačbah upoštevamo rotacijo koordinatnega sistema. Z upoštevanjem

2 2

2 2 2 2

2 20H

ww N w f

t z

∂ ∂∇ + ∇ + =

∂ ∂ (3.22)

Sedaj vstavimo nastavek ( )( ) i kx ly wtw w z e + −= (3.23)

v enačbo (3.22) in dobimo sledečo diferencialno enačbo:

2 2 2 2 2

002 2 2

( )( )0

d w N k lw

dz f

ωω− +

+ =−

(3.24)

Iz drugega člena v enačbi (3.24) lahko razberemo kakšna je lahko frekvecna. Enačba (3.24) mora zadostiti robnim pogojem in to lahko le če je rešitev triogonometrična funkcija. Rešitev enčbe (3.24) bo triogonometrčna funkcija le če je drugi člen pozitiven. V nasprotnem primeru dobimo vsoto eksponentnih funkcij. Tako lahko hitro vidimo da je pogoj za normalne načine: f Nω< < (3.25)

Povzamemo lahko da je splošna rešitev valovanja v stratificiranem rotirajočem sistemu vsota lastnih nihanj. Vertikalno strukturo določajo lastne funkcije – vertikalni lastni načini. 3.7. Plimsko valovanje Primer uporabe lastnih načinov valovanja v dani geometriji je plimsko valovanje v pravokotnem bazenu. Jadransko morje lahko v grobem opišemo kot pravokoten bazen brez ene stranice. Gibanje tekočine v takem bazenu opišemo kot vsoto dveh Kelvinovih valov in celega spektra Poincarejeveih valov (izkaže se da je prvih 30 členov že dovolj [4]). En Kelvinov val se propagira na enem robu bazena. Val se na koncu bazena odbije

14

in odbiti val se nato propagira ob drugem robu nazaj na odprto morje. Ta račun je naredil G.I. Taylor leta 1920 [5]. Aplikacijo za severni Jadran je naredil Renzo Mosetti leta 1986 [4].

Slika 9: Horizontalno gibanje tekočine v pravokotnem rotirajočem bazenu.

Bolj ko se bližamo k steni bolj so elipse sploščene. Ob robu dobimo čisti Kelvinov val, ki se propagira po robu bazenu. Z oddaljevanjem od roba vpliv robnega pogoja ob steni upada in tako dovolj daleč dobimo čiste Poincarejeve valove. Vmesno območje je vsota obeh načinov – Kelvinovega in Poincarejevega vala. Taka rešitev zadošča gibalnim enačbam in robnim pogojom. Tako valovanje napaja gravitacijski potencial lune in sonca – plimski potencial, kjer je osnovna lunina perioda 12.42h in osnovna sončeva perioda 12h. Teoretična amplituda luninega vzbujanja je 53cm in sončevega 24cm. V primeru Jadranskega morja so te valovi inducirani s plimovanjem Jonskega morja [4].

15

4. Zaključek

Ta seminar je le kratek uvod v razumevanje dinamike tekočin v geofizikalnem sistemu. Naredili smo veliko približkov. Tekočina je bila ves čas neviskozna in nestisljiva. Večina rezultatov je bila narejena za plitko morje. Zanimive postanejo analize različnih konfiguracija plasti tekočine – več slojne plasti. Ta del oceanografije smo le preleteli. Izpustili smo tudi obravnavo topologije. Vsekakor je poznavanje dinamike geofizikalne tekočine v splošnem komplicirano. Obstajajo numerični modeli in tudi eksperimentalna veja raziskovanja take tekočine. Laboratorij za dinamiko tekočin na Morski Biološki Postaji – Piran, ki deluje v sklopu z Nacionalnim Inštitutom za Biologijo je en izmed takih laboratorijev. Laboratorij trenutno še ni pripravljen za prave meritve. Na sliki (13) lahko vidite preizkus novega laserja za osvetljevanje plasti tekočine, ki bi jo radi obravnavali.

Slika 10: Fotografija testnega osvetljevanja plasti z laserjem. Vidi se laserska ravnina ki seka plast obarvane snovi. Barvilo dodajamo preko kletke, ki jo nato z robotsko roko

umaknemo da se barvilo lahko širi po prostoru. Kleta je na fotografiji še v bazenu. Vidi se da je pri poizkusu bilo barvilo pregosto in se je zato hitro potopilo na dno. Uporabljeni sta

dve barvili – zelena tvorba je z UV svetlobo osvetljen fluoroscein in delci v laserski ravnini so osvetljeni delci orgasola.

16

Literatura [1] Pijush K. Kundu, Ira M. Cohen, Fluid Mechanics Third Edition, Elsevier Academic Press, (2004) [2] James P. Vanyo, Rotating Fluids in Engineering and science, Dover Publivations, (1993) [3] Myrl C. Hendershott, Long Waves and Ocean Tides, http://ocw.mit.edu/ [4] Renzo Mosetti, Determination of the current structure of the M2 tidal component in the northern Adriatic by apllying the rotara analysis to the Taylor model, Bollettino di Oceanologia Teorica ed Applicata, Vol. IV N.3 Luglio 1986 [5] G. I. Taylor, Tidal oscillations in gulfs and rectangular basins, Proc. of the London Math. Soc., 1920, pp.148-181