fakÜlte / yÜksekokul: İktİsat fakÜltesİ

FAKÜLTE / YÜKSEKOKUL: İKTİSAT FAKÜLTESİ

BÖLÜM: EKONOMETRİ

DÖNEM (GÜZ / BAHAR): BAHAR

DERSİN ADI: PANEL VERİ ANALİZİ

DERS NOTU YAZARININ

ADI ve SOYADI: PROF. DR. FERDA YERDELEN TATOĞLU

CANLI DERS ÖĞRETİM

GÖREVLİSİNİN / ÜYESİNİN

ADI ve SOYADI:

PROF. DR. FERDA YERDELEN TATOĞLU

Yazar Notu

Elinizdeki bu eser, İstanbul Üniversitesi Açık ve Uzaktan Eğitim Fakültesi’nde okutulmak için

hazırlanmış bir ders notu niteliğindedir.

1. HAFTA DERS NOTU

2 / 20

İÇİNDEKİLER

1. PANEL VERİ – TEMEL KAVRAMLAR

1.1. EKONOMETRİK ANALİZLERDE KULLANILAN VERİ TÜRLERİ

1.2. PANEL VERİ

1.3. TEMEL KAVRAMLAR

1.3.1. Dengeli Panel – Dengesiz Panel

1.3.2. Birim Etki – Zaman Etkisi

1.3.3. İçsellik – Dışsallık

1.3.4. Heterojenlik

1.3.5. Birimler Arası Korelasyon

1.4. PANEL VERİNİN AVANTAJLARI VE KISITLAMALARI

1.4.1. Panel Verinin Avantajları

1.4.1.1. Birim Değişkenliğini ve Gözlenemeyen Heterojenliği Modele İlave

Edebilmek

1.4.1.2. Tahmin Sapmasını Azaltmak

1.4.1.3. Çoklu Doğrusal Bağlantı Problemini Azaltmak

1.4.1.4. Daha Kapsamlı Modeller Kurabilmek

1.4.2. Panel Veri Kullanmanın Getirdiği Kısıtlamalar

1.4.2.1. Hata Payında Oluşan Sapmalar

1.4.2.2. Veri Toplama Problemi

1.4.2.3. Zaman Serisinin Kısa Olma Problemi

3 / 20

ÖZET (TÜRKÇE)

Birinci hafta genel olarak ekonometride kullanılan veri türlerinden bahsedilmekte ve panel

veriler detaylı olarak tanıtılmaktadır. Panel veriler, panel veri modellerinde karşılaşılabilecek

bazı kavramlar ve panel veri modellerinin avantaj ve kısıtlamaları da bu bölümde ele

alınmaktadır.

4 / 20

1. PANEL VERİ – TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde ekonometrik analizlerde kullanılan veri türlerine, panel veri analizinde gerekli

olabilecek çeşitli temel kavramlara ve panel veri kullanımının avantajlarına ve getirdiği

kısıtlamalara yer verilmiştir.

1.1. EKONOMETRİK ANALİZLERDE KULLANILAN VERİ TÜRLERİ

Ekonometrik araştırmanın en önemli aşamalarından bir tanesi, değişkenlere ait verilerin

toplanmasıdır. Güvenilir kaynaklardan ve doğru olarak veri toplanmasının yanı sıra,

kullanılacak modele uygun olacak şekilde veri toplanması da ekonometrik tahminlerin

güvenilirliğini büyük ölçüde etkilemektedir. Bu noktada ekonometrik analizlerde kullanılan

üç çeşit veri türünden bahsetmeye gerek duyulmaktadır. Bunlar;

- zaman serisi verisi

- yatay kesit veri

- panel veri

olarak sınıflandırılabilmektedirler.

Zaman Serisi Verisi: Değişkenlerin değerlerinin gün, ay, mevsim, yıl gibi zaman birimlerine

göre değişimini içeren verilere denilmektedir. Örneğin; yıllık milli gelir, aylık ihracat, günlük

hisse senedi getirileri gibi. Tablo 1.1’de Türkiye’nin 1990–2008 yılları arasındaki işsizlik

oranı verileri zaman serisi verisine örnek olarak gösterilmektedir.

Tablo 1.1. Türkiye’nin 1990–2008 Yılları Arasındaki İşsizlik Oranları

Yıllar Türkiye’nin İşsizlik Oranları

1990 8,20 1991 7,80

׃ ׃2004 10,30

׃ ׃2008 9,40

5 / 20

Yatay Kesit Veri: Zamanın belli bir noktasında, farklı birimlerden toplanan verilere

denilmektedir. Burada “birim”; birey, hane halkı, firma, sektör, ülke gibi ekonometrik

birimleri ifade etmek için kullanılmaktadır. Örneğin; 2007 yılının Ocak ayında Türkiye’de

illere göre otomobil sayısı, Akdeniz Ülkelerinin her birine 2009 yılının 3. çeyreğinde

(temmuz-eylül) gelen toplam turist sayısı gibi. Tablo 1.2’de 25 OECD ülkesinin 2004

yılındaki işsizlik oranı verileri yatay kesit veriye örnek olarak gösterilmektedir.

Tablo 1.2. 25 OECD Ülkesinin 2004 Yılı İşsizlik Oranları

Ülkeler Avusturya Belçika … İspanya … Türkiye … Birleşik Krallık

Yıl: 2004 4,94 8,43 … 10,97 … 10,30 ... 4,63

Panel Veri: Bireyler, ülkeler, firmalar, hane halkları gibi birimlere ait yatay kesit

gözlemlerin, belli bir dönemde bir araya getirilmesi olarak tanımlanmaktadır. Panel veri, N

sayıda birim ve her bir birime karşılık gelen T sayıda gözlemden oluşmaktadır. Örneğin;

Türkiye’nin illerinin 1980–2005 yılları arasındaki buğday üretim miktarları, İMKB-30’da yer

alan hisse senetlerinin 2009 yılı günlük getiri oranları, 1986–2007 döneminde imalat

sanayindeki firmalarda çalışan işçi sayıları gibi. Tablo 1.3’de, 25 OECD ülkesinin 1990–2008

yılları arasındaki işsizlik oranı verileri panel veriye örnek olarak gösterilmektedir.

Tablo 1.3. 25 OECD Ülkesinin 1990–2008 Yılları Arasındaki İşsizlik Oranları

Ülkeler Avusturya Belçika … İspanya … Türkiye … Birleşik Krallık

1990 3,25 6,83 … 16,25 ... 8,20 ... 6,03 1991 3,42 6,71 … 16,34 … 7,80 ... 7,51

׃ ׃ ׃ ׃ ׃ ׃ ׃ ׃ ׃ 2004 4,94 8,43 … 10,97 … 10,30 ... 4,63

׃ ׃ ׃ ׃ ׃ ׃ ׃ ׃ ׃2008 3,80 7,00 … 11,30 … 9,40 … 5,60

Tablo 1.3’de görüldüğü gibi her bir ülkeye ait işsizlik oranı zaman serisi verileri bir araya

getirilerek panel veri seti oluşturulmuştur.

6 / 20

Ekonometrik analizlerde çeşitli nedenlerden dolayı, yatay kesit ve zaman serisi verilerinin

ayrı ayrı kullanılma eğilimi vardır; ya sadece kesit boyut ya da sadece zaman boyutu ile

ilgilenilmektedir. Bazı iktisadi ve finansal ilişkilerde tek bir boyutun yetersizliği, yatay kesit

ve zaman serisi verilerinin bir arada kullanımına imkân sağlayan panel verileri gündeme

getirmiştir. Yatay kesit veri, birçok birim için sadece bir dönem hakkında bilgi verirken;

zaman serisi verisi, sadece bir birimin dönemlere göre bilgisini vermektedir. Hem dönemlere

hem de birimlere göre bilgilerin elde edilmesi isteniliyorsa, panel veri kullanılması

gerekmektedir.

1.2. PANEL VERİ

Yatay kesit ve zaman serisi verilerinin birleştirildiği panel verilere ilk olarak; Hildreth (1950),

Kuh (1959), Grunfeld ve Griliches (1960), Zellner (1962), Balestra ve Nerlove (1966),

Swamy (1970) tarafından yapılan çalışmalarda değinilmiştir. Fakat gerçek anlamda

uygulamalı çalışmalar, daha çok 1990’lı yıllardan itibaren başlamıştır.

Son zamanlarda, her biri farklı zamanlarda gözlenmiş birçok ülkeye ve binlerce birey ya da

hane halkına ait gözlemler içeren dikey veri setleri hazırlanmıştır. Özellikle OECD’nin

yayınladığı istatistiklerde birçok ülke için yıllar bazında oluşturulmuş çok sayıda ekonomik

seriler mevcuttur. Analizlerde kullanılan en önemli panel veri setleri:

- 1960’lı yıllardan itibaren başlayan işgücü piyasasındaki bireylere ait detaylı verilere

ulaşılabilen ve Bureau of Labour Statistics’in sponsorluğunda yayınlanan, NLS (National

Longitudinal Surveys of Labor Market Experience),

- 1968 yılında başlayan Michagan Üniversitesi Sosyal Araştırmalar Enstitüsü tarafından

6000’den fazla aile ve 15000’den fazla birey için toplanan ve yaklaşık 5000 değişken

içeren, PSID (University of Michangan’s Panel Study of Income Dynamics),

- Eurostat tarafından 1994 yılından beri derlenen, Avrupa Birliği üye ülkelerindeki hane

halkı ve bireylerin yaşam koşullarını yansıtan sosyal göstergelere ait verileri yayınlayan,

BHPS (British Household Panel Survey).

7 / 20

Bunların dışında,

- SLID (Canadian Survey of Labour Income Dynamics),

- JPSC (Japanese Panel Survey on Consumers),

- KLIPS (Korea Labor and Income Panel Study),

- HILDA (Household Income and Labor Dynamics in Australia),

- IFLS (Indonesia Family Life Surveys),

- SEP (Netherlands Socio-Economic Panel),

- GSOEP (German Social-Economic Panel),

- PSELL (Luxemburg Socio-Economic Panel)

gibi panel veri setleri de, örnekler arasında sayılabilmektedir. Türkiye’de ise, bu şekilde hazırlanmış

ve sürekliliği olan veri setleri mevcut değildir.

Zaman boyutuna sahip yatay kesit veriler bir başka ifade ile panel veriler kullanılarak

oluşturulan panel veri modelleri yardımıyla ekonomik ilişkilerin tahmin edilmesi yöntemine

“panel veri analizi” ismi verilmektedir. Bu analizde genelde, yatay kesit birim sayısının (N)

dönem sayısından (T) fazla (N>T) olduğu durumla karşılaşılmaktadır.

Genel olarak panel veri modeli;

it it it it itY X uα β= + + i=1,......,N ; t=1,......,T (1.1)

şeklinde yazılabilmektedir. Burada, Y: bağımlı değişken, X: bağımsız değişken, α sabit

parametre, β eğim parametresi ve u hata terimidir. i alt indisi birimleri (birey, firma, şehir,

ülke gibi), t alt indisi ise zamanı (gün, ay, yıl gibi) ifade etmektedir. Değişkenlerin,

parametrelerin ve hata teriminin i ve t alt indisini taşıması, panel veri setine sahip olduklarını

göstermektedir. Bu modelde sabit ve eğim parametreleri hem birimlere hem de zamana göre

değer almaktadır.

1.3. TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde, panel veri analizinde sıklıkla karşılaşılan kavramlar üzerinde durulacaktır.

8 / 20

1.3.1. Dengeli Panel – Dengesiz Panel

Panel verilerle çalışıldığında, her bir birim tüm zamanlar boyunca gözlenmişse “dengeli

panel”; bazı birimler için bazı zamanlar kayıpsa “dengesiz panel” söz konusu olmaktadır. Bu

derste daha çok dengeli panel üzerinde durulacaktır.

1.3.2. Birim Etki – Zaman Etkisi

Panel veri birçok birimin bir araya gelmesi ile oluşmaktadır ve her bir birimin kendisine has özellikleri

mevcuttur. Birimlerin özelliklerini yansıtan değişkenlere “birim etki” ismi verilmektedir. Birim etki,

birimlere göre değişen ve zamana göre sabit bir değişkendir. Bireylerden bahsediliyorsa

yetenek, kişilik özellikleri; firmalardan bahsediliyorsa yönetici yeteneği, yönetim kalitesi;

illere göre tarımsal üretim fonksiyonlarından bahsediliyorsa toprak özelliği örnek olarak

verilebilir.

Panel veride birimlerin yanında zaman boyutu da yer almaktadır ve her bir zaman diliminin

kendine özgü özellikleri de mevcut olabilmektedir. Bu zaman özelliklerini yansıtan değişken

“zaman etkisi” ismini almaktadır. Zaman etkisi, birimlere göre sabit ve zamana göre değişen

bir değişkendir. Örneğin makro iktisadi verilerle çalışılırken belli dönemlerde kriz, sel,

deprem gibi etkiler, firma verileri ile çalışılırken yönetici değişikliklerinin etkilediği dönemler

örnek olarak verilebilmektedir.

Uygulamada daha çok birim etkinin olduğu durumlarla karşılaşılırken, her bir dönemin

kendine has özellikleri olduğu durumla pek karşılaşılmamaktadır, bu nedenle birim etkiler

modelleri üzerinde daha çok durulmaktadır.

1.3.3. İçsellik - Dışsallık

Zaman serisi verisi ve kesit veri analizlerinde olduğu gibi, panel veri analizinde önemli

varsayımlardan bir tanesi, dışsallık varsayımıdır. “İçsellik”, bağımsız değişkenler ile hata

teriminin korelasyonlu olması olarak ve “dışsallık”, bağımsız değişkenler ile hata teriminin

korelasyonlu olmaması olarak tanımlanmaktadır. Dışsallığın, zayıf (eşzamanlı) ve katı

9 / 20

dışsallık olmak üzere iki türü vardır. Bağımsız değişkenin ve hata teriminin aynı dönemde

korelasyonsuz olduğu durumda “zayıf dışsallık”; bağımsız değişkenin geçmiş ve gelecek

değerleri ile hata teriminin korelasyonsuz olduğu (tersi de geçerlidir) durumda da “katı

dışsallık” söz konusu olmaktadır.

O halde zayıf dışsallık;

( ) 0 1, 2,...it itE u X t T= =

gibi gösterilebilmektedir. Hata terimi ile bağımsız değişkenler aynı dönemde (t zamanında)

korelasyonsuzdur. Katı dışsallık ise;

( )1 2| , ,..., 0 1, 2,...it i i iTE u X X X t T= =

şeklinde ya da genel olarak aşağıdaki gibi ifade edilebilmektedir;

( ) ( )0 ya da 0 tüm s ve t'ler içinit is is itE u X E u X= =

Burada hata teriminin t dönem değeri bağımsız değişkenlerin t dönemi, t dönemi öncesi ve

sonrası değerleri ile korelasyonsuzdur, tam tersi de geçerlidir.

Katı dışsallık varsayımı teknik olarak yapılmasına rağmen, bazı araştırmacılar (örneğin

Wooldridge) bu varsayımın gerçek dünyada ekonomi için oldukça katı bir varsayım olduğunu

savunup, zayıf dışsallık varsayımını yeterli bulmaktadırlar.

İçsellik probleminin rastlanıldığı durumlar detaylı olarak, “1.4.1. Panel Verinin Avantajları

(1.4.1.2. Tahmin Sapmasını Azaltmak)” alt başlığı altında anlatılacak olmasına rağmen,

burada aşağıdaki gibi özetlenmiştir:

1. Dışlanmış değişkenler: Modelden dışlanmış değişkenler, içsellik problemine sebep

olabilmektedirler. Bu maddeyi açıklamak için aşağıdaki model ele alınabilir;

1... , 1...it it it itY X Z i N t Tα β γ ε= + + + = = (1.2)

10 / 20

burada z gözlenmemiş bir değişken iken, X ve Z’nin korelasyonlu olduğu bilgisi mevcut

olsun. Panel veri ile çalışılıyorsa, model Zit’yi dışlayacak şekilde dönüştürülebilmekte (fakat

bu durumda X ile korelasyonlu olması sebebiyle β sapmalı tahmin edilmekte) ya da çeşitli

formlarda Zit’yi de içerecek şekilde tahmin edilebilmektedir. Örneğin Zit=Zi (Zi, birimlere

göre değişen ve zamana göre sabit bir değişkendir; cinsiyet gibi) ve Zit=Zt (Zt, birimlere göre

sabit ve zamana göre değişen bir değişkendir; şehirlere göre bir malın satışları üzerinde

reklamın etkisi gibi) durumları ile karşılaşıldığında da tahmin yapılabilmektedir. Böylece, iki

boyutun birinde değerlenen dışlanmış değişkenlere izin verilmektedir.

2. Modelin dinamik yapısı: Dinamik modellerde, bağımsız değişken olarak ele alınan

gecikmeli bağımlı değişkenler ile hata terimi arasındaki korelasyon içsellik problemine

sebep olmaktadır.

3. Eşanlı denklem sistemleri: Eşanlı denklem sistemlerinde bağımlı-bağımsız değişken

ayırımı mevcut olmadığından, bir modeldeki bağımsız değişken başka bir modelde

bağımlı değişken olabilmektedir. Dolayısıyla bağımsız değişkenler ile hata terimi

korelasyonlu olabilmektedirler.

4. Ölçme hataları: Bağımsız değişkenlerde ölçme hatası olduğu takdirde, bu ölçme hatası

hata teriminde ifade edilmektedir ve hata terimi ile bağımsız değişkenin korelasyonlu

olmasına neden olmaktadır.

1.3.4. Heterojenlik

Panel veri analizinde kullanılan bireyler, firmalar, ülkeler, şehirler gibi birimler genelde

heterojendir. Bu heterojenliği hesaba katmamak, ilgilenilen parametrelerin tutarsız

tahminlerine sebep olmaktadır. Heterojenliği modele yansıtmanın en kolay yolu sabit ve/veya

eğim parametrelerinin heterojen olduğunu varsaymak ve ona göre tahmin yöntemi

belirlemektir. Bu durum daha sonra detaylandırılacak olup, burada açıklamak amacıyla örnek

olarak iki durum ele alınacaktır:

11 / 20

X

1

2

3

4

Y

1) Sabit parametre birimlere göre heterojen (αi≠αj), eğim parametresi homojen (βi=βj)

olabilmektedir:

it i it itY X uα β= + + (1.3)

Bu durum Şekil 1.1’den net bir şekilde izlenebilmektedir.

Şekil 1.1. Sabit Parametrenin Heterojen, Eğim Parametresinin Homojen Olduğu Durum

Şekil 1.1’de dört birim için sabit parametre birimden birime değişirken, eğim parametresi

sabit olduğundan regresyon doğrusunun eğimi değişmemektedir.

2) Sabit parametre ve eğim parametresi birimlere göre heterojen (αi≠αj ve βi≠βj)

olabilmektedir.

it i i it itY X uα β= + + (1.4)

Şekil 1.2’de beş birim için hem sabit hem de eğim parametresi birimden birime

değişmektedir.

12 / 20

X

4

5

3

2

1

Y

Şekil 1.2. Sabit Parametrenin ve Eğim Parametresinin Heterojen Olduğu Durum

Hem sabit parametre hem de eğim parametresi, birimden birime değişmektedir.

Benzer eğilimler sabit ve eğim parametrelerinin zamana göre heterojen olduğu durumlarda da

görülebilmektedir.

1.3.5. Birimler Arası Korelasyon

Birimler arası korelasyon, literatürde “yatay kesit bağımlılık” ya da “uzamsal korelasyon” olarak da

bilinmektedir. Panel veri modelinin her bir birimi için hesaplanan hata terimleri arasında korelasyon

olduğunu ifade etmektedir. Birçok panel veri çalışmasında, dışlanan değişkenlerin (birim ve/veya

zaman) etkilerinin yatay kesit birimler boyunca birbirinden bağımsız dağıldığı varsayılmaktadır. Eğer

panel verideki birimler tesadüfi olarak çekilmişlerse (çalışılan birim boyutu birey, firma gibi ise) bu

doğru bir yaklaşım olabilmektedir; çünkü bu durumda birimler arası korelasyon çok önemli

olmamaktadır. Fakat bazen, birimler arasındaki korelasyon göz ardı edilememektedir; özellikle

ülkeler, bölgeler, eyaletler ve şehirler gibi birimlerle çalışıldığında birimler arası korelasyonla

karşılaşılması beklenebilmektedir.

Bu durumda doğru modeli kurabilmek için, birimler arası korelasyonun varlığı test edilmeli

ve eğer varsa tahmin aşamasında ona göre önlemler alınmalıdır. Birimler arası korelasyon

genelde uzamsal (spatial) etkiler, bir birimden taşan etkiler ya da gözlenemeyen genel

faktörler sebepleriyle meydana gelmektedir. Bu konu ayrıntıları ile 6. ve 7. Bölümlerde ele

alınacaktır.

13 / 20

1.4. PANEL VERİNİN AVANTAJLARI VE KISITLAMALARI

Ekonometrik analizlerde panel veri kullanmanın zaman serisi verisi veya yatay kesit veri kullanmaya

göre avantajları ve getirdiği bazı kısıtlamalar vardır.

1.4.1. Panel Verinin Avantajları

Ekonometrik araştırmalarda panel veri kullanımı, yatay kesit ve zaman serisi verileri

kullanmanın avantajlarına ilave olarak birçok avantaj sağlamaktadır.

Zaman serisi ve yatay kesit veri gözlemlerinin eş zamanlı olarak yer alması sebebiyle, panel

veri araştırıcıya daha fazla veri ile çalışma imkânı vermektedir. Bu durumda, gözlem sayısı ve

dolayısıyla serbestlik derecesi artmaktadır. Böylece, açıklayıcı değişkenler arasındaki çoklu

doğrusal bağlantının derecesi azalmakta ve ekonometrik tahminlerin etkinliği ve güvenilirliği

artmaktadır. Ayrıca panel veri kullanımı, sadece yatay kesit veri ya da zaman serisi verileri ile

çözülemeyecek iktisadi sorunların analiz edilmesine de olanak tanımaktadır. Panel veri

kullanımının, ekonometrik tahminler için sağladığı faydalar aşağıda başlıklar halinde

ayrıntıları ile incelenecektir.

1.4.1.1. Birim Değişkenliğini ve Gözlenemeyen Heterojenliği Modele İlave Edebilmek

Ekonometrik analizlerde kullanılan birimler genelde heterojendir. Zaman serisi ve yatay kesit

verileri analizleri bu değişkenliği tek başına kontrol edememekte iken; panel veri analizi, bu

heterojenliği dikkate almaktadır. Zaman serisi verileri, örneğin mikro-ekonomik ya da sosyo-

demografik faktörlerin etkisini göstermekte yetersiz kalmaktadır. Yatay kesit veride ise,

mikro-ekonomik ve sosyo-demografik faktörlerden kaynaklanan değişiklikler modelde ifade

edilirken zaman boyutu kullanılamamaktadır. Yatay kesit verilerden tahmin edilen

parametrelerde, birim özelliklerinden çok birimler arası farklılıklarının etkileri görülmektedir.

Dolayısıyla, zaman serilerinde sadece birim özellikleri, kesit veride sadece birimler arası

farklılıklar ifade edilebilirken; panel veride hem birim özellikleri hem de birimler arası

farklıklar eşanlı olarak ifade edilebilmektedir.

- Baltagi ve Levin (1992) tarafından yapılan bir çalışmada, 1963–1988 yılları arasında 46

Amerikan Eyaleti’nde sigara talebi modeli incelenmiştir. Modelde sigara tüketiminin

14 / 20

gecikmeli değeri, sigaranın fiyatı ve gelir bağımsız değişkenler olarak ele alınmıştır. Sigara

tüketimi üzerinde etkili olan sadece zamana göre değişen (eyalete göre değişmeyen: eyalet

değişmezi) ya da sadece eyaletlere göre değişen (zamana göre değişmeyen: zaman değişmezi)

çok sayıda faktör vardır. Zaman değişmezine örnek olarak, eyaletin dini (bazı bölgelerdeki

dinsel inanışlar sigaraya kullanımını yasaklamıştır, örneğin: Mormon eyaletindeki dinsel

inanış) ve eyalet değişmezine örnek olarak, TV ya da radyoda yayınlanan sigara ile ilgili

reklamlar verilebilmektedir. Dolayısıyla panel verilerle çalışılarak, bu zaman ya da birimlere

göre değişmeyen değişkenler modele alınabilmekte ve kontrol edilebilmektedir.

- Aşağıdaki tarımsal üretim modeli örnek olarak ele alındığında;

it it it itY X Z uα β γ′ ′= + + + i=1,......,N ; t=1,......,T (1.5)

burada; bağımlı değişken Y üretim değeri iken X: ekili dikili alan, dağıtılan tohumluk miktarı,

tüketilen tarımsal ilaç miktarı, kullanılan gübre miktarı, traktör sayısı gibi bağımlı değişkeni

etkileyen bağımsız değişkenlerdir. Z ise, gözlenemeyen değişkenleri örneğin toprak kalitesini

(Zit = Zi) ifade etmek için kullanılmıştır. Görüldüğü gibi panel veriler kullanılarak

gözlenemeyen bireysel etkiler modele dahil edilebilmektedir.

- Örnek olarak işgücü arzı modeli aşağıdaki gibi ele alındığında;

0it it it itY X Z uβ β λ′ ′= + + + i=1,......,N ; t=1,......,T (1.6)

burada; Y çalışma saatlerinin logaritmasını, X reel ücret oranının logaritmasını, Z işçilerin

daha önceki servetlerinin marjinal faydasını gösteren gözlenemeyen bir değişken olarak

düşünülebilmektedir. İşçilerin yaşamları boyunca servetlerinin (örneğin emlak gelirlerinin)

zamana göre sabit olduğu, fakat birimlere göre değişkenlik gösterdiği farz edilebilmektedir

(Zit = Zi). Görüldüğü gibi, panel veriler kullanılarak gözlenemeyen birim etkiler modele dahil

edilebilmektedir. Bu modelde sadece Xit ve Zi korelasyonlu değil; aynı zamanda eğitim gibi

Xit’yi etkileyen fakat modele dâhil edilmeyen tüm değişkenler de Zi ile korelasyonlu

olmaktadır. Bu şartlar altında, β’nın tutarlı tahminini elde etmek olası değildir. Panel veri

analizi kullanılarak çeşitli varsayımlar ve uygun tahmin yöntemleri ile β parametresi tutarlı

tahmin edilebilmektedir.

15 / 20

1.4.1.2. Tahmin Sapmasını Azaltmak

Panel veri modellerinde, dışlanan değişkenler nedeniyle hata terimi ile açıklayıcı değişkenler

korelasyonlu olmakta ve parametre tahminleri sapmalı olmaktadır. Panel veri kullanılarak bu

değişkenlerin etkileri kontrol altında tutulabilmektedir, bu durumda tahmin sapması

azalmakta ya da tamamen yok olmaktadır. Çünkü korelasyonun kaynağını bilmek, tutarlı

tahminciler elde etmek için önemli bilgiler sağlamaktadır. Sapmayı minimize etmek amacıyla,

modeldeki açıklayıcı değişkenler ile hata terimi arasındaki korelasyonun (içsellik

probleminin) üç tipinden bahsetmeye gerek duyulmaktadır;

1) Dışlanan Değişken Sebebiyle Sapma: Spesifikasyon hatası ya da veri yetersizliği

sonucunda, eşitlikte yer alması gereken fakat yer almayan (dışlanmış) değişkenler ile

modeldeki açıklayıcı değişkenler arasındaki korelasyon varsa, hata terimi ve bağımsız

değişkenler arasındaki korelasyon. Örneğin firma verileri ile kurulan bir üretim modelinde,

yönetici kabiliyeti ölçülemeyen bir değişkendir. Yönetici kabiliyetinin üretim üzerindeki

etkisinin modele alınmaması nedeniyle, bağımsız değişken ile hata terimi korelasyonlu

olmakta ve faktör elastikiyetlerinin tahminleri sapmalı olmaktadır.

Panel veri modellerinde, birim ve/veya zaman boyutlu dışlanan değişkenlerden kaynaklanan

sapma aşağıdaki üç metoddan biri ile yok edilebilmektedir;

- Birim ve/veya zaman etkisini yok etmek için örnek gözlemlerini dönüştürmek,

- Birim ve/veya zaman etkisini göstermek için gölge değişken kullanmak,

- Gözlenen açıklayıcı değişkenler sabitken, birim ve/veya zaman etkilerinin koşullu bir

dağılımını oluşturmak.

Doğrusal panel veri modellerinde, dışlanmış değişkenler sebebiyle ortaya çıkan sapmayı yok

etmek için kullanılan bu metodlarda, birimlere ve zamana göre değerlenen hata terimi

öğelerinin özdeş ve bağımsız dağıldığı varsayımı yapılıyorsa, sapmasız, tutarlı ve etkin

tahminciler elde edilebilmektedir. Doğrusal panel veri modelleri için geçerli olan bu

sonuçların, doğrusal olmayan panel veri modelleri için geçerli olduğunu söylemek çok zordur.

Çünkü doğrusal olmayan panel veri modellerinde, doğrusal durumun aksine birim etkinin

tahmini ile genel katsayıların tahminini ayırmak zordur. Birim ve/veya zaman etkisini ifade

16 / 20

etmek üzere gölge Değişken kullanıldığında, T sabitken etkinin sayısı birim sayısı (N) ile

birlikte arttığından dolayı, birim ve/veya zaman etkilerinin tahminine kalkışmak daha sonra

bahsedilecek olan rastlantısal parametre problemini yaratacaktır. Böylece, ne parametrelerin

tutarlı tahmini elde edebilecek, ne de etkiler modele doğrusal olarak girmedikçe örnek

gözlemlerinin dönüştürülmesi yolu ile etkiler yok edilebilecektir.

2) Modelin Dinamik Yapısı ve Şoklar Nedeniyle Sapma: Dinamik modellerde, gecikmeli

bağımlı değişkenler ile hata terimleri korelasyonludur ve bu korelasyonun göz ardı edilmesi

yüzünden parametreler sapmalı tahmin edilmektedir.

3) Eşanlılık Sapması: Eşanlı panel veri modellerinde bağımlı ve bağımsız değişken ayrımları

net olarak yapılamadığından, bağımsız değişkenler (ortak bağımlı değişkenler) ile hata terimi

genelde korelasyonludur. Eşanlılık sapmasını yok etmek için standart yaklaşım, tam bağımlı

değişkenler ile hata terimleri arasındaki korelasyonu yok etmektir. Bunun için, Araç

Değişkenler Yöntemleri kullanılabilmektedir.

1.4.1.3. Çoklu Doğrusal Bağlantı Problemini Azaltmak

Zaman serilerinde serbestlik derecesinin az olması ve ciddi çoklu doğrusal bağlantı durumu,

her bir açıklayıcı değişkenin tek başına etkisine karar vermek isteyen ekonometristler için

önemli bir problem olmaktadır. Bu problem, örnekten sağlanan bilginin modelin ihtiyacı olan

bilgiyi karşılamakta yeterli olmadığı sonucunu doğurduğundan, oldukça ciddidir. Bu

durumda, ya örnekten sağlanacak bilgiyi arttırmak ya da modelin ihtiyacı olan bilgiyi

azaltmak zorunluluğu ortaya çıkmaktadır. Panel veri kullanılarak hem serbestlik derecesi

arttırılabilmekte, hem de panel veride değişkenlerin iki boyuta göre değerlenmesi ve özellikle

birimlere ait bilgilerinin varlığı nedeniyle veriden sağlanan bilgi ile model için gerekli olan

bilgi arasındaki fark azaltılabilmektedir. Örneğin dağıtılmış gecikmeli modellerde, bağımsız

değişkenin gecikmeli değerleri arasında çoklu doğrusal bağlantılar olması mümkündür, panel

veri kullanılarak bu tür modellerde bağımsız değişkenlerdeki birimler arası farklılıklar modele

dâhil edildiğinden, çoklu doğrusal bağlantı probleminin ciddiyeti azalmaktadır.

17 / 20

- Örnek olarak, bir dağıtılmış gecikmeli model ele alınırsa:

0

h

t T t T tT

Y X uβ −=

= +∑ t=1,..................,T (1.7)

Genelde, gecikmeli X değişkenleri arasında (örneğin: Xt ile Xt-1 arasında) yakın ilişki olduğu

düşünülmektedir, bu sebepten h+1 sayıda açıklayıcı değişken (Xt, Xt-1,.........Xt-h) arasında

oldukça şiddetli çoklu doğrusal bağlantı görülebilmektedir. Çoklu doğrusal bağlantı

nedeniyle, gecikmeli değişkenlerin parametrelerini tahmin etmek için yeterli bilgi

sağlanamayabilmektedir. Panel veri kullanılırsa, X gecikmeli değişkenlerinin değerleri

arasındaki çoklu doğrusal bağlantı problemini azaltmak için, birim farklılıklarından

yararlanılabilmektedir.

Dolayısıyla gözlem sayının ve serbestlik derecesinin artması çoklu doğrusal bağlantı

sorununu azalttığı gibi, parametre tahminlerinin de güvenilirliğini arttırmaktadır.

1.4.1.4. Daha Kapsamlı Modeller Kurabilmek

Panel veri, tek başına zaman serisi ya da yatay kesit veri kullanılarak kurulamayan, hem

zaman hem de birim boyutunu içeren, daha kapsamlı ve karmaşık davranışsal modeller

yapılmasına ve bu modellerin test edilmesine imkân tanımaktadır.

- Örneğin klasik üretim modeli analizleri, ekonomileri derecelerine göre ayırmakta ve

teknolojik değişiklikleri ifade etmekte yetersiz kalmaktadır, panel verilere başvurularak daha

kapsamlı analizler yapılabilmektedir.

1.4.2. Panel Veri Kullanmanın Getirdiği Kısıtlamalar

Panel veri kullanmanın yukarıda sayılan avantajlarının yanında, getirdiği bazı dezavantajlar

ve kısıtlamalar da vardır. Bunlar aşağıdaki gibi sıralanabilmektedir.

18 / 20

1.4.2.1. Hata Payında Oluşan Sapmalar

Panel veri modellerinde özellikle hata terimi büyük önem taşımaktadır, çünkü panel veri

modellerindeki hata terimi;

- zaman serisi modeline özgü sapmayı,

- yatay kesit veri modeline özgü sapmayı,

- panel veri modeline özgü sapmayı

taşımaktadır. Bu nedenlerden dolayı, panel veri modellerinde hata terimi çoğu zaman

sapmalıdır.

1.4.2.2. Veri Toplama Problemi

Panel veri ile yapılan çalışmalarda en önemli problem, verilere ulaşmak ve verileri

düzenlemektir. Özellikle Türkiye’de, panel verilerle çalışmaya imkân sağlayacak şekilde veri

bulunması oldukça zor olmaktadır. Ayrıca sansürlü gözlemler ve özellikle anket

çalışmalarında çeşitli nedenlerden dolayı cevapsız kalan sorular nedeniyle, verinin

kısıtlanması da mümkündür.

1.4.2.3. Zaman Serisinin Kısa Olma Problemi

Panel veride genellikle, birim boyutu fazla olmasına rağmen zaman boyutu kısadır. Bunun

anlamı, asimptotik özelliklerin oldukça fazla olan birim sayısına bağlı olmasıdır. Bu da,

özellikle doğrusal olmayan panel veri modellerinde çözülmesi zor ekonometrik problemler

yaratmaktadır.

19 / 20

ÇALIŞMA SORULARI

1. 20 firmanın 1990-2013 yılı stok ve satış verileri kesit veriye örnektir. Doğru Yanlış

2. Panel veri kullanımı çoklu doğrusal bağlantıyı nasıl hafifletir?

3. Türkiye için panel veri analizi kullanarak bir çalışma yapmak isterseniz neyi incelerdiniz?

4. 20 şehire ait 2012 yılı aylık verilerle nüfus ve işsizlik arasındaki ilişki incelenmek isteniyor.

1 şehir için 2012 yılı temmuz ayı verisine ulaşılamıyor. Sadece 1 gözlem kaybı olduğu için

dengeli panel ile karşı karşıyayız. Doğru Yanlış

5. Zayıf dışsallık kavramını açıklayınız.

20 / 20

KAYNAKÇA

Baltagi B. H., 1995, “Econometric Analysis of Panel Data”, Chichester: John Wiley&Sons.

Wooldridge J. M., 2002, “Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data”

Cambridge, Ma: MIT Press.

Yerdelen Tatoğlu F., 2013 (2. Baskı), “Panel Veri Ekonometrisi”, Beta Yayınları, İstanbul.

Yerdelen Tatoğlu F., 2013 (2. Baskı), “İleri Panel Veri Analizi”, Beta Yayınları, İstanbul.

2. HAFTA DERS NOTU

2 / 13

İÇİNDEKİLER

2. DOĞRUSAL PANEL VERİ MODELLERİ VE TAHMİN YÖNTEMLERİ

2.1. DOĞRUSAL PANEL VERİ MODELLERİ 2.2. KLASİK MODEL VE HAVUZLANMIŞ EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ

2.2.1. Havuzlanmış En Küçük Kareler Yönteminin Ardındaki Varsayımlar 2.2.2. Havuzlanmış En Küçük Kareler Yönteminin Özellikleri

2.2.3. Bilgisayar Uygulaması

3 / 13

ÖZET (TÜRKÇE)

Bu hafta doğrusal panel veri modelleri ve tahmin yöntemlerine giriş yapılmaktadır. Bu

bağlamda klasik model ve tahmini için kullanılan havuzlanmış en küçük kareler yöntemi

detaylı olarak incelenmektedir.

4 / 13

2. DOĞRUSAL PANEL VERİ MODELLERİ VE TAHMİN

YÖNTEMLERİ

2.1. DOĞRUSAL PANEL VERİ MODELLERİ

N sayıda birimin ve her birime ait T sayıda gözlemin birlikte ele alınması, daha öncede

bahsedildiği gibi panel verileri meydana getirmektedir. Genel olarak doğrusal panel veri

modeli;

itkitkititititititit uXXXY +++++= ββββ .....22110 i=1,...,N; t=1,...,T (2.1)

ya da kısaca;

∑=

++=K

kitkitkititit uXY

10 ββ i=1,..........,N; t=1,..........,T (2.2)

şeklinde ifade edilebilmektedir. Burada alt indislerden i; hane halkı, birey, firma, şehir gibi

birimleri, t ise gün, ay, yıl gibi zamanı göstermektedir. Bir başka ifade ile i yatay kesit

boyutunu; t ise zaman boyutunu ifade etmektedir. β0it, sabit terimi; βkit, Kx1 boyutlu

parametreler vektörünü; Xkit, k. açıklayıcı değişkenin t zamanında i. birim için değerini; Yit,

bağımlı değişkenin t zamanında i. birim için değerini göstermektedir. Panel veri modellerinde

parametrelerin, her dönemde ve her birim için değer almasına izin verilmektedir. Modelin

tahminine geçmeden önce, parametrelerin birim ve/veya zamana göre değer almasına göre

bazı varsayımlar yapılmaktadır. Bunlar; takip eden bölümde ele alınacak olan, sabit etkiler ve

Tesadüfi Etkiler varsayımlarıdır. Her iki varsayımla da kurulan modelde, uit hatalarının sıfır

ortalama ve sabit varyansla tüm zaman dönemlerinde ve tüm birimler için özdeş ve bağımsız

normal dağıldığı [IIN(0, 2uσ )] varsayılmaktadır.

Panel veri modelleri, parametrelerin birim ve/veya zamana göre değer almasına bağlı olarak

aşağıdaki gibi sınıflandırılabilmektedir;

1. Hem sabit, hem de eğim parametrelerinin birimlere ve zamana göre sabit olduğu modeller:

5 / 13

∑=

++=K

kitkitkit uXY

10 ββ (2.3)

Bu tür modellere, “Klasik Model” denilmektedir.

2. Eğim parametresinin sabit, sabit parametrenin birimlere göre değişken olduğu modeller:

∑=

++=K

kitkitkiit uXY

10 ββ i=1,..........,N; t=1,..........,T (2.4)

Bu tür modellere, “Birim Etkiler Modeli” denilmektedir. Bu modeller, bir önceki bölüm 1.3.4.

Heterojenlik başlığı altında Şekil 1.1’de gösterilmişti.

3. Eğim parametresinin sabit, sabit parametrenin birimlere ve zamana göre değişken olduğu

modeller:

∑=

++=K

kitkitkitit uXY

10 ββ i=1,..........,N; t=1,..........,T (2.5)

Bu tür modeller ise, hem birim hem de zaman etkisi içermesi nedeniyle, “Birim ve Zaman

Etkileri Modeli” olarak bilinmektedir.

4. Tüm parametrelerin birimlere göre değişken, zamana göre sabit olduğu modeller,

∑=

++=K

kitkitkiiit uXY

10 ββ i=1,..........,N; t=1,..........,T (2.6)

şeklinde gösterilebilmektedir. Bu modeller, bir önceki bölüm 1.3.4. Heterojenlik başlığı

altında Şekil 1.2’de ifade edilmişti.

5. Tüm parametrelerin hem birimlere hem de zamana göre değişken olduğu modeller ise,

∑=

++=K

kitkitkititit uXY

10 ββ i=1,..........,N; t=1,..........,T (2.7)

6 / 13

şeklindedir. (2.4) ve (2.5) numaralı modellerde, eğim parametresi sabitken sabit katsayı

değişkendir. Bu modeller, panel veri analizinde en çok kullanılan modeller olup “Değişken

Sabit Katsayılı Modeller” ya da “Sabit Parametresi Değişken Modeller” olarak

adlandırılmaktadır. Birimlere ve zamana göre farklılıkları değişik şekillerde hesaba katmak

için en kolay yol, Sabit Parametresi Değişken Modelleri kullanmaktır.

Sabit Parametresi Değişken Modellerin temel varsayımı; modelden çeşitli sebeplerle dışlanan

değişkenlerin etkilerinin modelde, sabit terim ya da hata terimi yardımıyla ifade edilmesidir.

Modelden dışlanan değişkenler aşağıdaki gibi sınıflandırılabilmektedir.

1. Zamana göre sabit olan birimden birime değişen değişkenler (birimlerin özelliklerini

yansıtan değişkenler). Bu değişkenler, “zaman değişmezi değişkenleri” ya da daha önce

tanımlandığı gibi “birim etki” ismini almaktadırlar. Örnek olarak; demografik özellikler,

firma vasıfları, yetenek, cinsiyet ve sosyal sınıflar verilebilir.

2. Zamanın verilen bir noktasında tüm birimler için sabit, zamana göre değişim sergileyen

değişkenler. Bu değişkenler “birim değişmezi değişkenleri” ya da daha önce tanımlandığı gibi

“zaman etkisi” ismini almaktadırlar.

3. Hem birimlere hem zamana göre değişim sergileyen değişkenler.

Panel veri modelleri kullanılarak, Sabit Parametresi Değişken Modellere uygun bir

spesifikasyon sağlanmış olmaktadır.

- Örnek olarak, firmalar için kurulan Cobb-Douglas üretim fonksiyonu ele alınırsa;

itkitkitit uXXY ++++= βββ ............110 i=1,.......,N; t=1,.......,T

Bu modelde; Y çıktının, X1,........,Xk girdilerin logaritmik değerleridir. Genelde, dışlanan

etkilerin X’den ve onun dağılımından bağımsız olduğu, yani tesadüfi olarak değiştiği

varsayılmaktadır. Bu model, firmalar arasındaki idari farklılıkları yansıtan değişkenlerin (Mi)

7 / 13

ve firmaların verimliliklerini etkileyen fakat zamana göre düzenli değişmeyen (örneğin

teknoloji ya da tarımsal üretim modeli için hava şartları) farklılıkları yansıtan değişkenlerin

(Pt) dışlanması sebebiyle eleştirilebilir. Cobb-Douglas modelinden dışlanan bu değişkenlerin

etkileri hata terimine de yansımakta ve içerisinde özetlenmektedir. Bu durumda uit aşağıdaki

şekilde gösterilebilmektedir;

ittiit vPMu ++= λα

burada vit; Mi ve Pt dışında, diğer dışlanmış olan değişkenlerin etkisini ve hata teriminin

diğer kaynaklarını temsil etmektedir. Mi ve Pt ile ilgili hiç gözlem bulunmaması nedeniyle α

ve λ’yı direkt olarak tahmin etmek mümkün değildir.

Bu derste panel veri modelleri, sabit ve eğim parametrelerinin sabit olduğu klasik model (2.3

modeli) ve sabit ve/veya eğim Parametrelerinin değişken olduğu modeller (2.4, 2.5, 2.6 ve 2.7

modelleri) olmak üzere iki grupta incelenecektir. Panel veri analizinde daha önce de

değinildiği gibi, en fazla sabit parametresi değişken modeller (2.4 ve 2.5 modelleri) ile

ilgilenilmektedir. (2.4) modeli sadece birimlere göre değişkenlik içerdiği için “Tek Yönlü

Model”; (2.5) modeli ise hem birimlere hem de zamana göre değişkenlik içerdiği için “İki

Yönlü Model” olarak adlandırılmaktadır. Basitleştirmek amacıyla önce tek yönlü modelden

(2.4 numaralı model) başlanacak, iki yönlü modellere (2.5 numaralı model) 4. Bölüm’de ve

eğim parametresinin değişken olduğu modellere (2.6 ve 2.7 numaralı modeller) ise bu derste

yer verilmeyecektir.

2.2. KLASİK MODEL VE HAVUZLANMIŞ EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ

Klasik modelde, daha önce de belirtildiği gibi hem sabit hem de eğim parametrelerinin

birimlere ve zamana göre sabit olduğu yani bütün gözlemlerin homojen olduğu

varsayılmaktadır. Bu durumda panel veri modeli genel olarak,

01

K

it k kit itk

Y X uβ β=

= + +∑ (2.8)

ya da;

1,........., ; 1,..........,it it itY X u i N t Tβ= + = = (2.9)

8 / 13

şeklinde yazılabilmektedir. Burada, β sabit ve eğim parametrelerini içermektedir. β için

Havuzlanmış En Küçük Kareler (HEKK) Tahmincisi,

1

1 1 1 1

ˆN T N T

it it it iti t i t

X X X Yβ−

= = = =

′ ′= ∑∑ ∑∑ (2.10)

şeklinde hesaplanabilmektedir. Görüldüğü gibi Havuzlanmış En Küçük Kareler Yöntemi,

birim ve/veya zaman etkilerinin var olmadığı ve sabit ve eğim parametrelerinin sabit olduğu

varsayımları altında tahmin yapmaktadır.

2.2.1. Havuzlanmış En Küçük Kareler Yönteminin Ardındaki Varsayımlar

Havuzlanmış En Küçük Kareler Yönteminin varsayımları aşağıdaki gibi özetlenebilmektedir:

HEKK 1: ( ) 0 tüm i ve t'ler içinit itE X u′ =

• Xit, zayıf dışsal değişkendir, bir başka ifade ile uit ile korelasyonsuzdur.

• Xis, uit ile korelasyonlu olabilmektedir (t≠s için), bir başka ifade ile katı dışsal değildir.

HEKK 2: 1 1

rank ( )N T

it iti t

E X X K= =

′ = ∑∑

• Burada K açıklayıcı değişken sayısı olmak üzere X’ler arasında tam çoklu doğrusal

bağlantı olmadığını ifade etmektedir.

HEKK 3a: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 tüm i ve t'ler içinit it it it it it it itE u X X E u E X X E X Xσ′ ′ ′= =

Bu varsayım, homoskedasite varsayımıdır ve içerisinde,

( )2 2| tüm i ve t'ler içinit itE u X σ=

varsayımını da barındırmaktadır. Şöyle özetlenebilmektedir:

9 / 13

• Koşullu varyans Xit’den bağımsızdır,

• Koşulsuz varyans tüm dönemler için aynıdır.

HEKK 3b: ( ) 0 ( )it is it isE u u X X t s′ = ≠

Farklı dönemlerin hata terimleri arasında (koşullu) kovaryans yoktur, bir başka ifade ile

otokorelasyon yoktur. Şöyle de özetlenebilmektedir:

• ( ) 0 (t s)it isE u u = ≠ : hata teriminin koşulsuz kovaryansı sıfırdır,

• ( )| , 0 ( )it is it isE u u X X t s= ≠ : hata teriminin koşullu kovaryansı sıfırdır,

• Hata teriminin içerisinde, birim ve zaman etkilerine izin verilmemektedir.

HEKK 3 ÖZET: ( ) 2Iit it TE u u σ′ = ’dir

• Koşulsuz varyanslar sabittir.

• Koşulsuz kovaryanslar sıfırdır.

• Buna ilaveten, koşullu varyanslar ve kovaryanslar da kısıtlanmıştır.

Tüm bu varsayımlar sağlansa bile, Havuzlanmış En Küçük Kareler Tahmincileri “Doğrusal

En İyi Sapmasız Tahmin Edici (DESTE)” değildir. Çünkü DESTE’yi sağlamak için katı

dışsallık varsayımına ihtiyaç duyulmaktadır.

2.2.2. Havuzlanmış En Küçük Kareler Yönteminin Özellikleri

Panel veri modellerinde, Havuzlanmış En Küçük Kareler Yönteminin en önemli özellikleri

aşağıda sıralanmıştır.

Hata teriminde birim ve/veya zaman etkileri yoksa Havuzlanmış En Küçük Kareler iyi bir

tahmin yöntemidir, tutarlı tahminciler vermektedir.

10 / 13

Hata teriminde birim ve/veya zaman etkileri varsa, Havuzlanmış En Küçük Kareler

Yönteminde hata terimi it i t itv uµ λ= + + ’dir, yani birleşik (karma) hatadır (burada µi:

birim etkileri, λt ise zaman etkisini göstermektedir).

Eğer hata teriminde birim ve/veya zaman etkileri varsa; Havuzlanmış En Küçük Kareler

Tahmincileri, sadece bu etkiler bağımsız değişkenler ile korelasyonsuzsa

[ ]( ) 0 ve ( ) 0it i it tE X E Xµ λ= = tutarlıdır. Bu da ( ) 0it itE X u = ve ( ) 0it itE X v =

varsayımlarının sağlanması ile mümkün olmaktadır. Örneğin, otoregresif modellerde

bağımsız değişkenler ile birim etki korelasyonludur, bu nedenle dışsallık varsayımı

bozulmaktadır. Bu varsayım sağlansa bile, her bir hata teriminde birim etkiler olması

nedeniyle, otokorelasyonla karşılaşılmaktadır. Dolayısıyla tutarlılık sağlansa bile,

tahminciler (genelde) etkin değildir. Bu nedenle, dirençli standart hataları kullanmak gibi

bir yöntem seçilmelidir. Bu konu, ileriki bölümlerde detaylı olarak incelenecektir.

Hata terimi heteroskedastik ise, etkin tahminciler elde edilememektedir. Bu durumda,

dirençli standart hataların kullanılması ya da Genelleştirilmiş En Küçük Kareler (GEKK)

Yöntemi kullanılarak tahminler yapılması gibi bir yöntem seçilmelidir. Bu konu da, ileriki

bölümlerde detaylı olarak incelenecektir.


Turizm Gelirleri Modeli

1993-2005 yılları arasında 25 ülke için turizm gelirleri panel veri modeli aşağıdaki gibi

kurulmuştur:

TGit = α + β1GTit + β2THit + β3D1i + β4INit + β5YSit + uit (2.11)

Burada; TG: turizm gelirlerinin logaritmasını, GT: ülkelere gelen turist sayısının

logaritmasını, TH: turizm harcamalarının logaritmasını, D1: Akdenize kıyısı olan ülkeler için

1, diğerleri için 0 değerini alan gölge değişkeni, IN: internet kullanıcı sayısının logaritmasını

ve YS: yatak sayısının logaritmasını ifade etmektedir. i alt indisi, birimleri (burada ülkeleri); t

alt indisi ise, zamanı (burada yılları) göstermektedir. Birim boyutu 25 ülkeden1, zaman boyutu

1 Avusturya, Belçika, Kıbrıs, Danimarka, Fransa, Almanya, Yunanistan, İzlanda, İtalya, Hollanda, Norveç, Portekiz, İspanya, İsveç, İsviçre, Türkiye, Birleşik Krallık, Hırvatistan, Çek Cumhuriyeti, Estonya, Macaristan, Polonya, Romanya, Slovakya, Slovenya.

11 / 13

ise 13 yıldan2 oluşmaktadır. Veriler ESDS International (Economic and Social Data Service)

aracılığı ile derlenmiştir.

Stata’da Havuzlanmış En Küçük Kareler tahmin sonuçlarına,

. reg TG GT TH D1 IN YS

komutu kullanılarak ulaşılmaktadır.

Havuzlanmış En Küçük Kareler

2 1993-2005

12 / 13

ÇALIŞMA SORULARI

1. Panel veri ile çalışılırken birim ve/veya zaman etkilerinin olmadığı biliniyorsa havuzlanmış

en küçük kareler tercih edilmemelidir. Doğru Yanlış

2. Panel veri modellerinde otokorelasyon ve heteroskedasite olursa parametreler sapmalı

tahmin edilmektedir. Doğru Yanlış

3. Panel veri modelleri ile çalışılırken modelde çoklu doğrusal bağlantı olmaması önemlidir.

Neden?

4. Sabit ve eğim parametrelerinin birimlere göre değiştiği durumu bir iktisadi örnekle

açıklayınız.

5. Havuzlanmış en küçük kareler yönteminin 1. Varsayımı olan zayıf dışsallık varsayımı

sağlanmazsa ne olur?

13 / 13

KAYNAKÇA






3. HAFTA DERS NOTU

2 / 11

İÇİNDEKİLER

2.3. GÖZLENEMEYEN ETKİLER (BİRİM VE ZAMAN ETKİLERİ) 2.3.1. Gözlenemeyen Etkilere Örnekler

2.4. BİRİNCİ FARKLAR YÖNTEMİ 2.4.1. Birinci Farklar Yönteminin Ardındaki Varsayımlar 2.4.2. Birinci Farklar Yönteminin Özellikleri 2.4.3. Bilgisayar Uygulaması

3 / 11

ÖZET (TÜRKÇE)

Bu hafta doğrusal panel veri modelleri ve tahmin yöntemlerine devam edilmektedir. Bu

bağlamda gözlenemeyen etkiler (birim ve/veya zaman etkileri) ele alınmaktadır. Bu

modellerin tahmin yöntemlerinden Birinci Farklar Yöntemi de varsayımları ile birlikte yine

bu hafta detaylı olarak incelenmektedir.

4 / 11

2.3. GÖZLENEMEYEN ETKİLER (BİRİM VE ZAMAN ETKİLERİ)

Gözlenemeyen etkilerle model genel olarak şöyle yazılabilmektedir;

it it i t itY X uβ µ λ= + + + (2.12)

burada Xit, sadece zamana göre değişen, sadece birimlere göre değişen ve hem zamana hem

birimlere göre değişen değişkenlerden oluşabilmektedir. µi ve λt gözlenemeyen birim ve

zaman etkileridir. Gözlenemeyen etkiler; “gözlenemeyen bileşen”, “gözlenemeyen

heterojenlik”, “latent (örtük, gizli) değişkenler” ya da “birim ve zaman etkileri” olarak da

adlandırılmaktadır. Daha önce de bahsedildiği gibi, (2.12) numaralı model, hem birimlere

hem zamana göre birim ve/veya zaman etkilerini içerdiği için, “İki Yönlü Model”dir.

it it t itY X uβ λ= + + (2.13)

it it i itY X uβ µ= + + (2.14)

Bu iki model ise, daha önce de belirtildiği gibi “Tek Yönlü Model”dir. (2.13) numaralı

modelde, sadece zaman etkileri; (2.14) numaralı modelde ise, sadece birim etkiler yer

almaktadır. Genelde tek yönlü model denilince, (2.14) numaralı model düşünülmektedir.

(2.13) numaralı modelde λt zaman etkisi iken (2.14) numaralı modelde, µi, birim etkidir.

2.3.1. Gözlenemeyen Etkilere Örnekler

1) İş eğitimi gibi programların ücretler üzerindeki etkisini gösteren model aşağıdaki

gibi ele alındığında;

( ) 1log ücret progit it it t i itz uγ δ λ µ= + + + + (2.15)

bu modelde ücretler (ücretit) bağımlı, iş eğitimi gibi programlara katılıp katılmadığını ifade

eden (progit) bağımsız değişkendir. Ayrıca z it de, ücretler üzerinde etkili olan diğer

değişkenleri ifade etmektedir. λt, sadece zaman etkisini, µi birim etkiyi (burada kişisel

özellikler, yetenekler olarak düşünülebilir) göstermektedir. Bu modelin özellikleri şöyle

sıralanabilir;

5 / 11

- Bireylerin bir programa katılıp katılmaması kararı, bireylerin yetenekleri ile

korelasyonlu olabilmekte ya da yöneticiler, çalışanların kişilik özelliklerine göre

programa katılacak kişileri seçebilmektedirler. Bunların sonucunda progit değişkeni,

µi ile korelasyonlu olabilmektedir.

- Ayrıca, z it gibi progit’nin de hata terimi uit ile korelasyonsuz olması istenilmektedir

(zayıf dışsallık). Fakat progit+1 ile uit arasında korelasyon olup olmadığı da önemlidir

(katı dışsallık); gelecekte programa katılma kararı uit ile korelasyonlu olabilmektedir.

Çünkü bireylerin gelecekte programa katılma kararı almalarının sebebi, geçmiş

ücretlerinde yaşadıkları bir şok olabilmekte ya da yöneticiler t+1 döneminde programa

katılacak kişileri düşük u it’ye sahip kişiler arasından seçebilmektedirler.

2) Dağıtılmış gecikmeli model: Dayanıklı tüketim malları üreten firmaların stokları ile

cari ve geçmiş dönem satışları arasındaki ilişki aşağıdaki gibi modellendiğinde;

0 1 1 5 5...it t it it it it i itR z S S S uλ γ δ δ δ µ− −= + + + + + + + (2.16)

bu modelde Rit, firmaların stokları bağımlı değişkeni ifade ederken; bağımsız değişkenlerden

Sit satışları, 1 5,...,it itS S− − satışların geçmiş beş dönem değerlerini ve zit stoklar üzerinde etkili

olan diğer bağımsız değişkenleri (örneğin, işçi sayısı gibi firma büyüklüğünü ifade etmek için

kullanılan ölçülebilen değişkenler) göstermektedir. Bu modelin özellikleri şöyle

sıralanabilmektedir:

- µi, birim etkidir ve bu modelde firma heterojenliğini (firma yöneticisinin yeteneği

gibi) gösteren terimdir; bugün, geçmiş ya da gelecek dönem satışları ile korelasyonlu

olabilmektedir. Bunların sonucunda, Sit’nin bugün, geçmiş ya da gelecek değerleri ile

µi korelasyonlu olabilmektedir.

- Ayrıca bugünün stoklarında bir şok olması (uit’de değişiklik) gelecek dönemlerdeki

satışları da etkileyebilmektedir. Bunların sonucunda, hata terimi ile bağımsız

değişkenin gelecek dönem değerleri korelasyonlu olabilmektedir.

3) Otoregresif model:

1 1log logit it i itU U uβ µ−= + + (2.17)

6 / 11

Bu modelde ücretler (Uit), geçmiş dönem ücretleri (Uit-1) tarafından belirlenmektedir, µi

gözlenemeyen heterojenliktir, bireysel özellikler (örneğin bireysel verimlilik) olarak

düşünülebilir. Bu modelin özellikleri şöyle sıralanabilmektedir;

- Kişilerin geçmiş dönem ücretleri, bireysel verimlilik gibi kişisel özellikler tarafından

belirlenebildiğinden; bağımsız değişken ile µi korelasyonlu olacaktır.

- Hata terimi bağımsız değişkenin geçmiş değerleri ile korelasyonsuzdur, fakat

gelecekteki değerleri ile korelasyonludur. Dolayısıyla, katı dışsallık varsayımı

otoregresif modellerde asla sağlanmaz.

2.4. BİRİNCİ FARKLAR YÖNTEMİ

HEKK 1 varsayımı olan bağımsız değişkenler ile hata teriminin korelasyonsuz olduğu

varsayımı ( ) 0it itE X u′ = , çoğu zaman hata teriminin içinde yer alan birim etkinin bir ya da

daha fazla açıklayıcı değişken ile korelasyonlu olması sebebiyle gerçekleşmemektedir. Bu

durumda bir yol, modeldeki birim etkileri elimine etmektir, bu da değişken dönüşümü ile

mümkün hale gelebilmektedir. Birim etkileri elimine etmek için basit bir çözüm, birinci fark

dönüştürmesidir. Birinci fark dönüştürmesi sonucunda, birim etkinin modelden düşmesinin

yanı sıra her bir yatay kesit birimde zaman boyutunun birinci gözlemi kaybolmaktadır.

Sadece birim etkilerin olduğu tek yönlü model,

1... 1...it it i itY X u i N t Tβ µ= + + = = (2.18)

şeklinde ya da;

it it itY X vβ= + (2.19)

olarak ele alındığında, hata terimi (vit) “birleşik hata terimi” olarak adlandırılmaktadır ve

içinde birim etkiyi de (µi) barındırmaktadır:

( ) ( ~ )it i it itu u iidν µ= +

(2.19) numaralı modelinin birinci farkı aşağıdaki gibi elde edilmektedir;

7 / 11

it it itY X uβ∆ = ∆ + ∆ (2.20)

burada, ΔYit=Yit-Yit-1 ve ΔXit=Xit-Xit-1’dir. Hata terimi ise, dönüşüm sonucu aşağıdaki

gibidir:

Δνit = νit-νit-1 = (µi+uit) - (µi+uit-1) = uit-uit-1 = Δuit = eit

(2.20) numaralı Birinci Fark Modeline, Havuzlanmış En Küçük Kareler Yöntemi

uygulandığında, β’nın “Birinci Fark Tahmincisi” ( ˆBFβ ) elde edilmektedir.

2.4.1. Birinci Farklar Yönteminin Ardındaki Varsayımlar

Birinci farklar dönüşümünden elde edilen modelin, Havuzlanmış En Küçük Kareler Yöntemi

ile tutarlı tahminini elde edebilmek aşağıdaki varsayımların yerine gelmesine bağlıdır:

BF 1: ( ) 0it itE X u′∆ ∆ =

Parantez içi açıldığında;

( ) ( )1 1 0it it it itE X X u u− −′ − − =

ve daha açık olarak;

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 0it it it it it it it itE X u E X u E X u E X u− − − −′ ′ ′ ′+ − − =

şeklinde ifade edilebilmektedir. Zayıf dışsallık varsayımı yapılıyorsa, ilk 2 terim sıfırdır, fakat

son terimin sıfır olabilmesi için katı dışsallık varsayımına da ihtiyaç vardır.

BF 2: ( )2

rank T

it itt

E X X K=

′∆ ∆ = ∑

burada K, açıklayıcı değişken sayısıdır. Bu varsayıma göre, bağımsız değişkenler arasında

tam çoklu doğrusal bağlantı bulunmamaktadır. Bu varsayımın sağlanabilmesi için, X

değişkenleri arasında zaman değişmezi değişkenleri (cinsiyet, ırk, eğitim gibi)

bulunmamalıdır, çünkü bu değişkenler birinci fark dönüştürmesi sonucunda modelden

düşecektir.

8 / 11

BF 3: ( ) 21 1| ,......, , ,it it i iT i t e TE e e X X Iµ λ σ −′ =

burada, it ite u= ∆ ’dir. Bu varsayıma göre, fark hata terimleri (eit) homoskedastiktir ve

otokorelasyonsuzdur, bir başka ifade ile uit zamana göre rassal yürüyüş süreci izlemektedir.

Bu varsayımlarla, birinci farklar tahmincisi, kendi sınıfındaki tahmincilerden daha etkin ve

asimptotik geçerlidir. Bununla birlikte fark alma işlemi ile, gözlem sayısı ve dolayısıyla

serbestlik derecesi azalmaktadır.

2.4.2. Birinci Farklar Yönteminin Özellikleri

Birinci farklar yönteminin önemli özellikleri aşağıda sıralanmaktadır:

1. Birinci fark dönüşümü sonucu, birim etki (ve eğer varsa zaman etkisi) modelden

düşmektedir.

2. Birinci fark dönüşümü sonucu, modelde eğer varsa sabit terim de yok olmaktadır.

3. Birinci fark dönüşümü sonucu, eğer varsa zaman değişmezi değişkenleri de

modelden düşmektedir.

4. Model zaman gölge değişkeni içeriyorsa, ikinci farkta zaman gölge değişkeni

modelin sabit terimi haline gelmektedir.

5. Birinci fark modelinde, Y’deki değişme ile X’teki değişme arasında regresyon

modeli kurulmuş olmaktadır.


Stata’da birinci farklar yöntemi ile tahmin yapmak için iki yol kullanılacaktır.

I. YOL:

Değişkenlerin birer gecikmeli değerleri alınmaktadır. Örneğin turizm gelirleri değişkeninin

birinci farkı:

. gen lagTG=TG[_n-1]

. replace lagTG=. if t==1993

9 / 11

Değişkenlerin gerçek değerlerinden bir dönem gecikmeli değerleri çıkarılmakta, yani birinci

farkları alınmaktadır.

. gen farkTG=TG-lagTG

Farkı alınmış değişkenlerle kurulan regresyon, Havuzlanmış En Küçük Kareler Yöntemi ile

tahmin edilmektedir.

. reg farkTG farkGT farkTH farkIN farkYS, noconstant

Birinci Farklar-1

II. YOL:

Birinci Farklar Regresyonunu tahmin etmek amacıyla kısa yol olarak,

. reg D(TG GT TH IN YS)

komutu kullanılmaktadır.

Birinci Farklar-2

10 / 11

ÇALIŞMA SORULARI

1. Panel veri kullanarak için tasarladığınız bir örnek iktisadi model üzerinde birim etkiye

örnek veriniz.

2. Panel veri kullanarak için tasarladığınız bir örnek iktisadi model üzerinde zaman etkisine

örnek veriniz.

3. Panelin zaman boyutu kısa ise birinci farklar yöntemi kullanmanın bir sakıncası var mıdır?

4. Panelin birim boyutu kısa ise birinci farklar yöntemi kullanmanın bir sakıncası var mıdır?

5. Bir talep modeli düşünün ve bu talebi açıklamakta cinsiyetin büyük önemi olsun, birinci

farklar yöntemi kullanarak nasık bir sonuca ulaşırsınız? Tartışınız.

11 / 11

KAYNAKÇA






4. HAFTA DERS NOTU

2 / 12

İÇİNDEKİLER

3. TEK YÖNLÜ BİRİM ETKİLER PANEL VERİ MODELLERİ VE TAHMİN YÖNTEMLERİ

3.1. SABİT ETKİLER MODELİ (SABİT KATSAYILAR MODELİ) 3.1.1. Gölge Değişkenli En Küçük Kareler Yöntemi

3.1.1.1. Gölge Değişkenli En Küçük Kareler Yönteminin Özellikleri 3.1.1.2. Bilgisayar Uygulaması

3 / 12

ÖZET (TÜRKÇE)


bağlamda Sabit ve Tesadüfi Etkili Modeller tanıtılmakta ve Sabit Etkili Modellerin tahmin

yöntemleri incelenmeye başlanmaktadır. Gölge Değişkenli En Küçük Kareler Yöntemi bu

hafta incelenen tahmin yöntemleri arasındadır.

4 / 12

3. TEK YÖNLÜ BİRİM ETKİLER PANEL VERİ MODELLERİ VE

TAHMİN YÖNTEMLERİ

Panel verilerin kullanımı ile, her bir birimde gözlenemeyen birim etkilerinin ortaya

çıkabileceğinden daha önce bahsedilmişti. Eğer etkilere hata terimi gibi tesadüfi bir değişken

olarak davranılıyorsa, “tesadüfi etkiler”; her bir yatay kesit gözlem için tahmin edilen bir

parametre olarak davranılıyorsa, “sabit etkiler” söz konusu olmaktadır. Genel olarak, eğer

yatay kesit boyut büyük bir ana kütleden tesadüfi olarak çekilmişse, tesadüfi etkileri; eğer

daha spesifik bir veri seti söz konusu ise, sabit etkileri düşünmek mantıklı olabilmektedir.

Ayrıca tesadüfi etkiler modelinde, birim etkiler ile açıklayıcı değişkenler arasındaki

korelasyonun sıfır olduğu varsayılmakta iken; sabit etkiler modelinde ise, bu korelasyonun

sıfırdan farklı olmasına izin verilmektedir. Bununla beraber tesadüfi etkiler modelinde, zaman

sabiti değişkenlerin varlığına izin verilirken; sabit etkiler modelinde bu tarz değişkenlerin

varlığı kısıtlanmıştır.

Bu derste sabit ve tesadüfi etkiler modelleri incelenirken, eğim parametresinin değiştiği

modeller ele alınmayacak, eğim katsayının sabit, sabit katsayının birim, zaman ya da hem

birim hem zamana göre değişiklik gösterdiği modeller ele alınacaktır. Bu modellerden ise,

literatürde daha çok sabit parametrede sadece birim etkinin olduğu modeller kullanıldığı ve

modelden dışlanan etkinin sadece birim etki (μi) olduğu düşünüldüğü için, bu model üzerinde

daha çok durulacaktır.

3.1. SABİT ETKİLER MODELİ (SABİT KATSAYILAR MODELİ)

Birinci fark alma, gözlenemeyen etkilerin açıklayıcı değişkenler ile korelasyonlu olduğu

durumda, içsellik problemini çözmek için basit bir yöntemdir. Gözlenemeyen etkilerin

açıklayıcı değişkenler ile korelasyonlu olduğu durumda uygulanan diğer yöntemler de bu

başlık altında incelenecektir.

5 / 12

Sabit etkiler modelinde, (2.4) modelinden hareket edildiği zaman eğim parametreleri tüm

yatay kesit birimler için aynı (βi=β) iken, sabit parametre birim etki içermesi sebebiyle

birimden birime değişmektedir. Diğer bir deyişle, sabit terim her bir yatay kesit birim için

farklı değer almaktadır, yani birimler arası farklılıklar sabit terimdeki farklılıklarla ifade

edilmektedir. Bu nedenle sabit katsayı, sabit bir değişken gibi düşünülebilmektedir. Ayrıca bu

modellerde bağımsız değişkenlerin, hata terimi ile korelasyonsuz olduğu varsayımı yapılırken,

birim etki ve bağımsız değişkenlerin korelasyonlu olmasına izin verilmektedir.

µi, Xit ile korelasyonlu olursa, gözlenemeyen birim etkiler ile gözlenebilen zaman değişmezi

değişkenleri ayırmak için hiçbir yol yoktur. Bu sebepten örneğin bireylerle çalışıldığında,

cinsiyet ya da ırk; firmalarla çalışıldığında, teknoloji (bazı firmalar için zamana göre

değişmedikçe); şehirlerle çalışıldığında, şehrin nehir kıyısında olup olmadığı gibi bir değişken

Xit’de içerilememektedir. Bununla birlikte, sadece zamana göre değişen değişkenler

açıklayıcı değişkenler arasında yer aldığında, modelleme konusunda bir problem

olmamaktadır.

Sabit etkiler modelinin tahmini çeşitli yöntemlerle yapılabilmektedir. Gölge Değişkenli En

Küçük Kareler, Grup İçi (Kovaryans) Tahmin, Gruplar Arası Tahmin, Havuzlanmış En

Küçük Kareler, En Çok Olabilirlik , Genelleştirilmiş En Küçük Kareler ve Esnek

Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Yöntemleri sayılabilir.

3.1.1. Gölge Değişkenli En Küçük Kareler Yöntemi

Şimdiye kadar birim etki (µ), gözlenemeyen (stokastik) bir değişken olarak tanımlanmıştı. Bu

modelde µi, β parametreleri gibi tahmin edilmesi gereken bir katsayı olarak (ayrı bir sabit

terim gibi) düşünülmektedir.

Sabit etkiler panel veri modellerinin Gölge Değişkenli En Küçük Kareler (GDEKK) Yöntemi

kullanılarak tahminini açıklamak amacıyla genel bir panel veri modeli ele alındığında;

itkitkititititititit uXXXY +++++= ββββ .....22110 (3.1)

6 / 12

(2.4) modelinden hareket edildiği için, sabit etkiler modelinde,

kkitititiiit ββββββµβββ ===+== .......,,.........;; 221100

olduğu varsayılmaktadır. β0it birim etkiyi de içeren sabit terimi, μi birim etkileri; uit ise hata

terimini ifade etmektedir. Eğim parametrelerinin ise, birimlere ve zamana göre değişmediği

varsayılmaktadır. Görüldüğü gibi birim etkiyi içermesi sebebiyle, sadece sabit parametre

değişmekte; zamana göre sabitken, birimlere göre farklılıklar göstermektedir. Farklı birimler

için farklı sabitler içeren bu model ile çözüm yapmanın bir yolu, Gölge Değişkenli En Küçük

Kareler Yöntemini kullanmaktır. N yatay kesit birim ve T zaman periyodunun var olduğu

düşünüldüğünde birim etkileri modele dâhil etmek amacıyla, sabit etkiler modelinde gölge

değişken tuzağına düşmemek için birim sayısından bir eksik (N-1) sayıda gölge değişken

kullanılmaktadır.

(3.1) modeli, vektör formunda aşağıdaki şekilde de yazılabilmektedir;

uXY ++= βµ (3.2)

Bu modelde, β sabit parametreyi de ( β ) içeren 1xK boyutlu parametre vektörü [β=( β ,

β1,......,βk)] ve μ birim etki’dir. Farklı birimler için, farklı μ’ler söz konusu olmaktadır. Hata

terimi (u), özdeş ve bağımsız dağılımlı, ortalaması sıfır, varyansı 2uσ olan ve normal dağılan

bir değişkendir ( )20, uu IIN σ .

Gölge Değişkenli En Küçük Kareler metodunda, birim etki gölge değişken olarak kabul

edilmektedir ve (3.2) modeli sabit parametre olmadığı durumda i. eşitlik için aşağıdaki gibi

ifade edilebilmektedir:

iiii uXeY ++= βµ (3.3)

Genel olarak,

7 / 12

1 1 1

2 2 21 2

0 00 0

.............. ... ....... .... ...0 0

N

N N N

Y X ueY X ue

Y

eY X u

µ µ µ β

= = + + + + +

(3.4)

ya da,

+

+

=

=

NNNN u

uu

X

XX

e

ee

Y

YY

Y............

..........00...................

0..........00..........0

....2

1

2

1

2

1

2

1

β

µ

µ

µ

(3.5)

şeklinde gösterilebilmektedir. Görüldüğü gibi, N tane gölge değişken vardır. Modelde sabit

parametre varsa daha önce de bahsedildiği gibi, N-1 sayıda gölge değişken kullanılmalıdır.

Burada,

1 1 1 2 1 1

2 1 2 2 2 2

1

1 2

..................................

, ,.... ....................................

................

i i i ki

i i i kii i

Tx TxK

iT iT iT kiT

Y X X XY X X X

Y X

Y X X X

= =

( ) 11 11,1,..........,1 , ( ,.........., )i i iTxT xT

e u u u′ ′= =

eşitlikleri vardır. Ayrıca,

Hata terimi sıfır ortalamaya sahiptir: E(ui) = 0,

Hata terimi sabit varyanslıdır: ( ) 2i i u TE u u Iσ′ = ,

Hata terimi otokorelasyonsuzdur: ( )E 0i ju u′ = (i ≠ j için)

varsayımları da sağlanmaktadır. iµ ve β’nın Havuzlanmış En Küçük Kareler Tahmincileri

aşağıdaki fonksiyonun minimizasyonu ile elde edilebilmektedir:

∑ ∑= =

−−′−−=′=N

i

N

iiiiiiiii XeYXeYuuS

1 1)()( βµβµ (3.6)

S’in iµ ’ye göre kısmi türevi alınıp sıfıra eşitlenirse,

8 / 12

ˆi i iY Xµ β ′= − (i=1,..........,N) (3.7)

elde edilmektedir. Burada,

∑∑==

==T

titi

T

titi X

TXY

TY

11

1,1

eşitlikleri vardır, vei iY X , birimlerin zamana göre ortalamalarıdır. (3.6) eşitliğinde, (3.7)

eşitliği yerine konulur ve S’in β’ya göre kısmi türevi alınırsa β , Gölge Değişkenli En Küçük

Kareler Yönteminde ortalamadan sapmalar kullanılarak,

1

1 1 1 1

ˆ ( )( ) ( )( )N T N T

GDEKK it i it i it i it ii t i t

X X X X X X Y Yβ−

= = = =

′= − − − − ∑∑ ∑∑ (3.8)

şeklinde tahmin edilir.

3.1.1.1. Gölge Değişkenli En Küçük Kareler Yönteminin Özellikleri

Panel veri modellerinde, Gölge Değişkenli En Küçük Kareler Yönteminin özellikleri aşağıda

sıralanmıştır.

1. T küçükse ve sabitse, iµ ’nin Gölge Değişkenli En Küçük Kareler Tahmincisi tutarsızdır.

2. Her bir birim için bir sabit hesaplanması, serbestlik derecesini ciddi bir biçimde

azaltmaktadır. Bu nedenle, eğer birim boyutu (N) büyükse, β yukarı doğru sapmalı

olabilmektedir.

3. μi’nin tahmincisi, tutarsızdır. Doğrusal modelde μi’nin tahmincisinin tutarsız olarak

tahmin edilmesi, β’nın tahmincisini etkilememektedir. Çünkü, β’nın Gölge Değişkenli En

Küçük Kareler Tahmincisi ( ˆGDEKKβ ), birim etkinin Gölge Değişkenli En Küçük Kareler

Tahmincisi ( ,ˆi GDEKKµ )’nin bir fonksiyonu değildir ve β tutarlı tahmin edilebilmektedir.

4. Bu yöntem kullanıldığında, bütün yatay-kesit değişkenlik kaybolmaktadır, katsayıların

tahmini için sadece birimler içinde zamana göre değişkenlik kullanılmaktadır. Kaybedilen

bilgi nedeniyle, Gölge Değişkenli En Küçük Kareler Tahmincisi, gerekli olmadıkça

kullanılmak istenilmez.

9 / 12

5. Gölge Değişkenli En Küçük Kareler Yöntemi kullanılarak, belirginlik katsayısı (R2)

hesaplanabilmekte ve yorumlanabilmektedir, fakat çok bilgi verici değildir. Çünkü her bir

birim için bir gölge değişken ilave etmek, bağımlı değişkendeki değişmenin büyük kısmını

açıklayacaktır. Eğer, Y’deki zaman değişiminin ne kadarının, açıklayıcı değişkenlerdeki

zaman değişimi ile açıklandığı net olarak görülmek isteniliyorsa, grup içi dönüştürülmüş

verilere Havuzlanmış En Küçük Kareler uygulanmakta ve elde edilen R2 bunu açıklamaktadır.

Bu yöntem bir sonraki bölümde ele alınacaktır.

Bilgisayar Uygulaması

Turizm gelirleri modelini Gölge Değişkenli En Küçük Kareler Yöntemi ile tahmin etmek

isteyelim.

Teorisinde anlatıldığı gibi Gölge Değişkenli En Küçük Kareler Yöntemi ile tahmin

yapabilmek için, öncelikle birim gölge değişkenleri modele ilave edilmelidir. Bahsedildiği

gibi gölge değişken tuzağına düşülmemesi için, birim sayısından 1 eksik sayıda (N-1) gölge

değişken kullanılmalıdır. Örneğimizde 25 (N=25) ülkemiz olduğu için, 24 adet gölge

değişken kullanılmalıdır. 1. gölge değişken; 1. ülke için 1, diğer ülkeler için sıfır değerini

almaktadır. 2. gölge değişken; 2. ülke için 1, diğerleri için sıfır değerini almaktadır. Bu

şekilde 24 adet gölge değişken yaratılmakta ve daha sonra bu gölge değişkenler de modele,

diğer bağımsız değişkenlerle birlikte ilave edilmektedir. Tahmin edilmek istenilen model,

0 1 2 3 4 2 2 3 3 25 25...it it it it it itTG GT TH IN YS d d d uβ β β β β λ λ λ= + + + + + + + + +

şeklindedir.

Stata’da örneğin 2. ülkeyi ifade etmek için gölge değişkeni yaratmak amacıyla sırasıyla

aşağıdaki komutlar kullanılmaktadır:

. gen d2=0

. replace d2=1 if id==2

Bu şekilde 24 gölge değişken tek tek türetildikten sonra, Gölge Değişkenli En Küçük Kareler

sonuçlarını elde etmek için komut satırına,

10 / 12

. reg TG GT TH IN YS d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11 d12 d13 d14 d15 d16 d17 d18 d19 d20

d21 d22 d23 d24 d25

komutu yazılarak sonuçlar alınabilmektedir.

Gölge Değişkenli En Küçük Kareler

Aynı çıktıyı elde edebilmek için kısayol olarak,

xi: reg TG GT TH IN YS i.id


11 / 12

ÇALIŞMA SORULARI

1. Panel veri kullanarak için tasarladığınız bir örnek iktisadi model üzerinde birim etki için

gölge değişkenleri tanımlayınız.

2. Birim etki bağımsız değişkenlerinden en az birisi ile korelasyonlu ise gölge değişkenler

yöntemi kullanılamaz. Doğru Yanlış

3. Panelin zaman boyutu kısa ise gölge değişkenli en küçük kareler yöntemini kullanmanın bir

sakıncası var mıdır?

4. Panelin birim boyutu kısa ise gölge değişkenli en küçük kareler yöntemini kullanmanın bir

sakıncası var mıdır?

5. Gölge değişkenli en küçük kareler yöntemini kullanırken neden birim sayısından bir eksik

sayıda gölge değişken modele dahil edilmektedir?

12 / 12

KAYNAKÇA






5. HAFTA DERS NOTU

2 / 13

İÇİNDEKİLER

3.1.2. Grup içi Tahmin Yöntemi 3.1.2.1. Sabit Etkiler Modelinin Varsayımları 3.1.2.2. Grup İçi Tahmin Yönteminin Özellikleri 3.1.2.3. Bilgisayar Uygulamaları

3 / 13

ÖZET (TÜRKÇE)

Bu hafta sabit etkili modellerin tahmin yöntemlerinden Grupiçi Tahmin Yöntemi detaylarıyla

ele alınacaktır.

4 / 13

3.1.2. Grup içi Tahmin Yöntemi

Sabit etkiler modelinde öncelikli amaç eğim parametrelerini tahmin etmek ise, açıklayıcı

değişkenler matrisinde birim etkileri göstermek için modele gölge değişken ilave etmek

gerekli değildir. Grup içi tahmin yönteminde, her bir birim için zaman serisi gözlemlerinden

birim ortalamaları çıkarılarak değişkenler dönüştürülmektedir ve bu dönüştürülmüş

değişkenlerle oluşturulan regresyona, Havuzlanmış En Küçük Kareler Yöntemi

uygulanmaktadır. Daha sonra birim gölge değişken katsayıları, kalıntıların grup ortalamaları

kullanılarak tahmin edilebilmektedir. Böylece, hem gölge değişken tuzağından hem de çoklu

doğrusal bağlantıdan sakınılmaktadır.

Bu yöntemde birinci farklar yönteminde olduğu gibi, β’yı tahmin ederken yapılan dönüşüm

sonucu öncelikle birim etki (µi) elimine edilmeye çalışılmaktadır. Panel veri modeli;

0 1... 1...it it i itY X u i N t Tβ β µ= + + + = = (3.9)

şeklinde iken, zaman boyutuna göre ortalamalar alınarak başlanılmaktadır:

0i i i iY X uβ β µ= + + + (3.10)

µi ve β0 zamana göre ortalamasına eşittir. Daha sonra, bu eşitliğin ilk modelden (3.9) farkı

alınmaktadır:

( ) ( ) ( )it i it i it iY Y X X u uβ− = − + − (3.11)

µi, zamana göre ortalamasına eşit olduğundan modelden düşmüştür. Aşağıdaki gibi de ifade

etmek mümkündür;

1... 1...it it ity x u i N t Tβ= + = = (3.12)

burada,

( )it it iy Y Y≡ − , ( )it it ix X X≡ − , ( )it it iu u u≡ −

5 / 13

eşitlikleri vardır. Bu grup içi dönüşüme, “zaman kısaltılmışı (birimlerin zamana göre

ortalamadan fark dönüştürmesi)” da denilmektedir. Bu nedenle, (3.12) numaralı model

“Zaman Kısaltılmış Modeli” olarak adlandırılmaktadır. Genel olarak, sabit etkiler tahmincisi

denilince, grup içi tahminci akla gelmektedir. Bu nedenle, grup içi tahminci’ye, sabit etkiler

tahmincisi de (SE) denilmektedir. Bu son dönüştürülmüş eşitliğe (3.12), Havuzlanmış En

Küçük Kareler Yöntemi uygulanması ile β’nın sabit etkiler tahmincisi elde edilmektedir:

1

1 1 1 1

ˆ ˆN T N T

SE it it it itGİTi t i t

x x x yβ β−

= = = =

′ ′= = ∑∑ ∑∑ (3.13)

Grup içi tahmincinin elde edilmesinde alternatif bir gösterim; (3.3) numaralı i. eşitliğin, TxT

boyutlu bir kovaryans dönüşüm matrisi (Q) ile çarpılması ve elde edilen modelin

Havuzlanmış En Küçük Kareler Yöntemi ile tahmin edilmesidir. Kovaryans dönüşüm matrisi

aşağıdaki gibi ifade edilebilmektedir:

eeT

IQ T ′−=1 (3.14)

i. eşitliğin Q matrisi ile çarpılması ile,

iiii QuQXQeQY ++= βµ (3.15)

elde edilmektedir. Qe=0 olması nedeniyle, Qeμi=0 olmakta ve birim etki iµ dışarıda

kalmaktadır. Böylece,

iii QuQXQY += β (i = 1,..........,N) (3.16)

modeli elde edilmektedir. Bu model Havuzlanmış En Küçük Kareler Yöntemi ile tahmin

edilirse, β’nın Kovaryans Tahmincisi ( ˆKVβ ) aşağıdaki gibi bulunmaktadır:

1

1 1

ˆN N

KV i i i ii i

X QX X QYβ−

= =

′ ′= ∑ ∑ (3.17)

6 / 13

Bu son ifade, (3.13) eşitliğine denktir. Bu tahminci kovaryans dönüşüm matrisi ile çarpılması

nedeniyle, “Kovaryans Tahmincisi” ve her bir grup içi değişiklikten yararlanıldığı için ise,

“grup içi tahminci” isimlerini almaktadır. Dolayısıyla, ˆ ˆ ˆSE KVGİTβ β β= = ’dir.

Eğim parametreleri bu şekilde tahmin edildikten sonra (3.9) modelinin tüm gözlemlere göre

ortalamaları regresyonundan (3.10) hareket edilerek grup içi dönüşümle dışlanan sabit

parametre,

0ˆ ˆY Xβ β= − (3.18)

şeklinde elde edilebilmektedir. Birim etkiler ise, birim ortalaması regresyonundan (3.10)

hareketle,

0ˆ ˆˆi i iY Xµ β β= − − (3.19)

elde edilmektedir.

3.1.2.1. Sabit Etkiler Modelinin Varsayımları

Sabit etkiler (grup içi) modelinin varsayımları aşağıdaki gibidir:

SE 1: ( )| , 0it i iE u x µ =

Bu varsayım, bağımsız değişkenler ve birim etkinin hata terimi ile korelasyonsuz olması

anlamına gelmektedir, bir başka ifade ile katı dışsallık varsayımıdır. Fakat, ( )| 0i iE xµ ≠

olabilmektedir. Bu varsayım, daha sonra ele alınacak olan tesadüfi etkiler modelinde yoktur.

Bu nedenle, sabit etkiler modelinde Xit’lerle korelasyonlu olan birim etkilerin varlığında bile

parametreler tutarlı hesaplanabilmektedir, bu durumda sabit etkiler tahmincisi, tesadüfi etkiler

tahmincisinden daha dirençlidir.

SE 1 varsayımı daha açık yazılırsa:

( ) ( ) 0it i it iE X X u u′ − − =

7 / 13

Bunun sağlanması için,

( ) ( ) ( ) ( ) 0it it it i i it i iE X u E X u E X u E X u− − + =

olmalıdır. Dolayısıyla uit’lerle Xit’lerin korelasyonsuz olmasının yanında, uit ile iX ’nın ve Xit

ve iu ’nin korelasyonsuz olduğu ilave varsayımlarına da gerek duyulmaktadır. Bu durumda,

dönüştürülmüş değişkenlere ait parametrelerin Havuzlanmış En Küçük Kareler Tahmincisi

( ˆSEβ ) tutarlı olmaktadır.

SE 2: 1

( )T

it itt

rank E x x K=

′ = ∑

Bu varsayım, bağımsız değişkenler arasında çoklu doğrusal bağlantı olmaması varsayımıdır.

Xit, zamana göre değişmeyen bir değişken içeriyorsa, itx ’de buna karşılık gelen eleman sıfır

olacaktır. Böylece, ix sıfır olan bir kolondan oluşacak, rank düşecek ve SE 2 varsayımı

gerçekleşmeyecektir. Bu da, sabit etkiler analizinde zaman sabiti olan değişkenlere neden izin

verilmediğinin bir başka açıklamasıdır. Bu varsayımın gerçekleşmesi için, zamana göre

değerlenen bağımsız değişkenler arasında tam çoklu doğrusal bağlantılar da olmamalıdır.

SE 1 ve SE 2 varsayımları, sabit etkiler tahmincisinin en etkin olmasını sağlamamakta,

tutarlılığı sağlamaktadır. İlave edilecek bir varsayımla (SE 3) sabit etkiler tahmincisi daha

etkin olacaktır.

SE 3: ( ) 2| ,i i i i u TE u u x Iµ σ′ =

Bu varsayım homoskedasite ve otokorelasyonsuzluk varsayımlarıdır; koşullu varyanslar

sabittir ve koşullu kovaryanslar sıfırdır. Bu varsayımın ilavesi ile, sabit etkiler tahmincisi

DESTE olmaktadır. Dolayısıyla sabit etkiler tahmincisi etkindir; t ve F istatistikleri geçerlidir.

8 / 13

(üit)’nin varyansı;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2

2 2 2

2

2

2

(1 1 )

it it i it i it i

u u u

u

E u E u u E u E u E u u

T TT

σ σ σ

σ

= − = + − = + −

= −

(3.20)

(üit) ile (üis) arasındaki kovaryans;

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 2

2

0

0

it is it i is i it is it i is i i

u u u

u

E u u E u u u u E u u E u u E u u E u

T T TT

σ σ σ

σ

= − − = − − + = − − +

= − <

(3.21)

şeklinde hesaplanmaktadır ve görüldüğü gibi negatiftir. üit ile üis arasındaki korelasyon ise,

( ) ( ) ( )( )

2Corr

1 1 0it is it is itu u E u u E u

T

=

= − − <

(3.22)

şeklinde elde edilmektedir ki, bunun da negatif olduğu görülmektedir.

Özetle; uit otokorelasyonsuz olsa bile, dönüştürülmüş hata terimleri üit negatif

otokorelasyonludur. Otokorelasyon katsayısı, T’nin büyüklüğüne bağlıdır ve T arttıkça,

otokorelasyon sıfıra yaklaşmaktadır. Bu nedenle, grup içi dönüşüm yapılıyor ve

dönüştürülmüş değişkenlere Havuzlanmış En Küçük Kareler Yöntemi uygulanıyorsa,

hesaplanan standart hatalar ve test istatistikleri düzeltilmelidir, çünkü bu şekilde kalıntı

varyansı ( )2ˆuσ olduğundan küçük tahmin edildiği için parametre varyanslarını da

etkilemektedir. Her bir standart hata; (NT-K)/[N(T-1)-K]1/2 düzeltme faktörüne bölünerek

düzeltilebilmektedir. Örneğin, N=50, T=10 ve K=7 ise, düzeltme faktörü: 1.0549’dur.

Stata’da dahil olmak üzere, birçok paket program, varyansları düzeltilmiş olarak vermektedir.

3.1.2.2. Grup İçi Tahmin Yönteminin Özellikleri

Panel veri modellerinde, grup içi tahmin yönteminin özellikleri aşağıda sıralanmıştır.

9 / 13

1. Eğim parametrelerinin Grup İçi (Kovaryans) Tahmincisi ( ˆ ˆKVGİTβ β= ),

sapmasızdır ve hem birim (N), hem de zaman (T) ya da her ikisi de sonsuza gittiği zaman bile

tutarlıdır.

2. β ’nın varyans kovaryans matrisi şöyledir:

12

1

ˆ( )N

KV u i ii

Var X QXβ σ−

=

′= ∑

3. iµ ’nin tahmincisi sapmasız olmasına rağmen, sadece T→∞ olduğu durumda

tutarlıdır.

4. Birinci farklar yönteminde olduğu gibi, zamana göre değişmeyen değişkenler

dönüşüm sonucu, birim etki ile birlikte modelden düşmektedir.

3.1.2.3. Bilgisayar Uygulaması

Stata’da grup içi tahminci iki yolla elde edilmeye çalışılacaktır.

I. YOL:

1. Adım: Değişkenlerin birim ortalamaları alınır.

. egen meanTG=mean(TG), by( id)

2. Adım: Değişkenlerin gerçek değerlerinden birim ortalamaları çıkarılmakta, yani birim

ortalamalarından farkları alınmaktadır.

. gen meandfTG=TG-meanTG

3. Adım: Birim ortalamalarından farkı alınmış yeni değişkenlerle kurulan regresyon,

Havuzlanmış En Küçük Kareler Yöntemi ile tahmin edilir.

. reg meandfTG meandfGT meandfTH meandfIN meandfYS, noconstant

10 / 13

Grup İçi Tahminci (1)

Sabit parametre yapılan grup içi dönüşümle birlikte modelden düşeceği için modele

alınmamıştı, bu parametrenin tahmini değeri aşağıdaki gibi hesaplanabilmektedir:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

0 1 2 3 4

0

0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ 8.3423913 0.6480705 9.3350566 0.3428412 7.9687630

0.0173414 6.5826665 0.2263757 5.3423158ˆ 1.762927

TG GT TH IN YSβ β β β β

β

β

= − × − × − × − ×

= − × − ×

− × − ×

= −

II. YOL:

. xtreg TG GT TH D1 IN YS, fe

Grup İçi Tahminci (2)

11 / 13

Tek tek birim etkileri elde edebilmek için ise;

( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 3 4ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆi i i i i iTG GT TH IN YSµ β β β β β= − − × − × − × − ×

formülü kullanılmaktadır. Birim etkiler,

[ ]

0.10820.43961.16350.69870.25260.87290.87100.25150.25650.16370.21650.4293

ˆ0.03160.65640.81330.17140.37101.51880.22220.75250.70351.26051.01621.2417

iµ

−−−−−

= −−−−−−−−

12 / 13

ÇALIŞMA SORULARI

1. Geçen hafta anlatılan gölge değişkenli en küçük kareler yöntemi ile grup içi tahminciyi

karşılaştırınız.

2. Birim etkiler ile bağımsız değişkenler arasında korelasyon varsa kullanılan bu tahminci

neden bu varsayıma gerek duymaktadır?

3. Grup içi tahmincinin birinci farklar tahmincisine göre en önemli avantajı nedir?

4. Zaman boyutu T küçükse birim etkinin tahmincisi nasıl etkilenir?

5. zamana göre değişmeyen bir değişkenin modelde tutulması isteniyorsa grup içi tahminci

kullanılamamaktadır. Doğru Yanlış

13 / 13

KAYNAKÇA






6. HAFTA DERS NOTU

2 / 10

İÇİNDEKİLER

3.1.3. Gruplar Arası Tahmin Yöntemi 3.1.3.1. Gruplar Arası Tahmin Yönteminin Özellikleri 3.1.3.2. Bilgisayar Uygulaması

3 / 10

ÖZET (TÜRKÇE)

Bu derste gruplararası tahminci ele alınacaktır. Ayrıca, havuzlanmış en küçük kareler

tahmincisi, birinci farklar tahmincisi, gölge değişkenli en küçük kareler tahmincisi, grup içi ve

gruplararası tahmincilere ilişkin özet yer almaktadır.

4 / 10

3.1.3. Gruplar Arası Tahmin Yöntemi

Grup içi tahmin yöntemi, sadece yatay kesit birimlerin içinde zamana göre değişkenlik olduğu

durumda kullanılması uygundur. Fakat bazen, sadece yatay kesit boyuttaki gözlemler arasında

da değişkenlik olabilmektedir, bu durumda “Gruplar Arası Tahmin Yöntemi”nin kullanılması

daha uygun olmaktadır.

Aşağıdaki genel modelden hareket edildiğinde;

1... 1...it it i itY X u i N t Tβ µ= + + = = (3.23)

Gruplar arası tahminciyi elde edebilmek için, grup içi tahmin yönteminde olduğu gibi ilk

aşamada, her bir değişken için zamana göre birim ortalamaları hesaplanmaktadır:

i i i iY X uβ µ= + + (3.24)

Bu eşitlik, zaman göre ortalamalar alınarak elde edildiği için “Zaman Ortalamaları Modeli”

adıyla da bilinmektedir. Burada hata payı,

it i iv uµ= +

şeklinde ifade edilebilmektedir. Gruplar arası tahmin Yönteminin ikinci aşamasında, bu

zaman ortalamaları eşitliğine (3.10) En Küçük Kareler Yöntemi uygulanarak, β’nın gruplar

arası tahmincisi ( GATβ

) elde edilmektedir.

3.1.3.1. Gruplar Arası Tahmin Yönteminin Özellikleri

Panel veri modellerinde, gruplar arası tahmin yönteminin özellikleri aşağıda sıralanmıştır.

1. SE 1 varsayımı altında gruplar arası tahminci, ( )i iE X µ ’nin sıfır olmasının

önemli olmaması sebebiyle, tutarlı değildir. Çünkü burada µi modelden düşmediğine göre,

ile i iX µ arasındaki korelasyonun sıfır olması da önemlidir. Eğer bu korelasyon sıfır değilse,

β’nın tahmincisi iY ’deki değişimin ne kadarının iX ’deki değişimden kaynaklandığına karar

5 / 10

verememektedir, bir başka ifade ile iX ’nin iY üzerindeki tekil etkisi saptanamamaktadır. Bu

durumda, Havuzlanmış En Küçük Kareler ve ilerleyen bölümlerde anlatılacak olan tesadüfi

etkiler tahmincisi gibi gruplar arası tahminci de tutarsızdır, bunun yerine sabit etkiler

tahmincisi ya da birinci farklar tahmincisi kullanılmalıdır.

2. µi, Xit ile korelasyonlu değilse bile, gruplar arası tahminci etkin değildir, çünkü

ortalamalardan hareket edildiği için veri setindeki bütün zaman serisi bilgileri yok olmuştur.

Gruplar arası tahminci yerine Havuzlanmış En Küçük Kareler Tahmincisi ya da tesadüfi

etkiler tahmincisi kullanılmalıdır.

3. Genelde gruplar arası tahminci, tesadüfi etkiler tahmincisini açıklamak için bir

araç olarak yorumlanabilmektedir. Tesadüfi etkiler tahmincisi, sabit etkiler ve gruplar arası

tahmincilerin ağırlıklı ortalaması olarak düşünülebilmektedir.

4. Gruplar arası tahmin Yönteminin en önemli avantajı, birim etkilerin (µi) olmadığı

fakat açıklayıcı değişkenlerde ölçme hatalarının olduğu bir model düşünüldüğünde; zamana

göre ortalama alınmasının, ölçme hatasını ve ölçme hatasından kaynaklanan sapmayı

azaltmasıdır.

5. Gruplar arası tahminci daha sonra anlatılacak olan, tesadüfi etkiler modeline ait TE

1 ve TE 2 varsayımları altında tutarlıdır.

6. Sabit parametre ve zaman değişmezi değişkenleri (eğer varsa) modelden

düşmemekte, ilk aşamada tahmin edilebilmektedir.


Stata’da gruplar arası tahmincinin elde edilmesi için iki yol kullanacağız.

I. YOL:

6 / 10

Yöntemin esasına uygun olarak değişkenlerin zamana göre birim ortalamaları alınmakta ve

daha sonra Havuzlanmış En Küçük Kareler Yöntemi uygulanabilmektedir.

. reg meanTG meanGT meanTH D1 meanIN meanYS

Gruplar Arası Tahminci-1

II. YOL:

Stata’da gruplar arası tahminciyi elde etmek için aşağıda verilen hazır komut:

. xtreg TG GT TH D1 IN YS, be

Gruplar Arası Tahminci-2

7 / 10

ÖZET

Havuzlanmış En Küçük Kareler Tahmincisi

Eğer modelde gözlenemeyen etkiler varsa; HEKK tahmincileri, sadece bu etkiler

bağımsız değişkenler ile korelasyonsuzsa tutarlıdır, bununla birlikte (genelde) etkin

değildir.

Ancak modelde gözlenemeyen etkiler yoksa, HEKK iyi bir tahmin yöntemidir.

Birinci Farklar Tahmincisi

Birinci fark tahmincisi, gözlenemeyen etkilerin, açıklayıcı değişkenler ile

korelasyonlu olmasına izin verir.

Birinci farklar yöntemi, değişkenlerin kendi gecikmelerinden farklarını alarak

dönüştür; bu durumda gözlenemeyen etkilerle birlikte zamana göre değişmeyen

değişkenler ve sabit parametre de modelden elimine olur.

Fark alma işlemi ile, gözlem sayısı ve serbestlik derecesi düşer.

Sabit Etkiler

8 / 10

Sabit etkiler, gözlenemeyen etkilerin, açıklayıcı değişkenler ile korelasyonlu olmasına izin

verir.

Grup içi Tahminci

Gölge Değişkenli EKK

Grup İçi Tahminci

Grup içi tahminci, daha çok kesit birimlerin içinde, zamana göre değişkenlik olduğu

durumda kullanılır.

Grup içi dönüşüm yapıldığında, zaman değişmezi açıklayıcı değişkenler, sabit etki ile

birlikte modelden düşecektir.

Gölge Değişkenli En Küçük Kareler Tahmincisi

Bu yöntemde, N sayıda gölge değişken (paneldeki her bir birim için bir gölge

değişken) modele alınır. Grup içi tahminci ile aynı sonucu verir, fakat N büyükse

hesaplanması çok zordur, serbestlik derecesi kaybı çok olur.

Grup içi tahminci N sonsuza giderken tutarlıdır, fakat GDEKK (N sonsuza giderken

her bir ilave kesit birim için yeni bir µi ilave etmek gerekli olduğundan) sabit T ve

N→∞ için µi’nin EKK tahmincisi, tutarlı değildir (β tutarlı).

Bu yöntemde bütün yatay-kesit değişkenlik kaybolur, katsayıların tahmini için sadece

birimler içinde zamana göre değişkenlik kullanılır.

Her bir birim için modele bir gölge değişken ilave etmek R2’yi yükseltir, bu nedenle

çok bilgi verici değildir.

Gruplararası Tahminci

Gruplararası tahminci, daha çok kesit boyuttaki gözlemler arasında değişkenlik olduğu

durumda kullanılır.

Açıklayıcı değişkenlerde ölçme hataları varsa, zamana göre ortalama almak, ölçme

hatasını ve ölçme hatasından kaynaklanan sapmayı azaltır.

9 / 10

ÇALIŞMA SORULARI

1. Gruplararası tahmincinin en önemli dezavantajı nedir?

2. Gruplararsı tahmincinin kullanılmasının yararlı olduğu durumlardan bahsediniz.

3. Birinci farklar ve grup içi tahmincilerin her ikisinde de bağımsız değişkenler ile birim etki

korelasyonlu olması varsayılmaktadır. Hangisini tercih edeceğinize nasıl karar verirsiniz?

4. Grup içi tahminci ve gölge değişkenli en küçük kareler tahmin yöntemleri aynı sonucu

verdiklerini biliyoruz. Hangi durumda hangisini tercih edersiniz? Neden?

5. Modelde birim ve/veya zaman etkilerinin varlığından şüpheleniliyorsahavuzlanmış en

küçük kareler yönteminin kullanılması hakkında ne düşünürsünüz?

10 / 10

KAYNAKÇA






7. HAFTA DERS NOTU

2 / 16

İÇİNDEKİLER

3.2. TESADÜFİ ETKİLER MODELİ 3.2.1. Tesadüfi Etkiler Modelinin Varsayımları 3.2.2. Tesadüfi Etkiler Modelinin Tahmin Yöntemleri

3.2.2.1. Grup İçi Tahmin Yöntemi 3.2.2.2. En Çok Olabilirlik Yöntemi

3.2.2.2.1. En Çok Olabilirlik Yönteminde Karşılaşılan Sorunlar 3.2.2.2.2. Bilgisayar Uygulaması

3 / 16

ÖZET (TÜRKÇE)


kapsamda Tesadüfi Etkili Modeller ve bu modellerin tahmin yöntemleri incelenmeye

başlanmaktadır. Tahmin yöntemlerinden Grupiçi Tahmin Yöntemi ve En Çok Benzerlik

Yöntemi ele alınmaktadır.

4 / 16

3.2. TESADÜFİ ETKİLER MODELİ

Sabit etkiler modeli, birim etkilerin (μi) dolayısıyla birimler arası farklılıkların sabit olduğu ve

sabit terimdeki farklılıklarla ifade edilebildiği durumlarda kullanılmaktadır. Fakat bazen

örnekteki birimler tesadüfi olarak seçilmektedir ve bu durumda, birimler arası farklılıklar da

tesadüfi olmaktadır. Bu birim farklılıklarına, “tesadüfi farklılıklar” denilmektedir. Böylece,

tesadüfi etkilerin örnekleme sürecinin bir sonucu olduğu söylenebilmektedir.

Sabit etkiler ve birinci farklar tahmin yöntemleri, birim etkiler açıklayıcı değişkenler ile

korelasyonlu ise kullanılmakta, katsayıları tahmin etmek için sadece zamana göre değişkenliği

dikkate almakta ve bu durumda tutarlı tahminciler üretmektedirler. Birim etkiler ile açıklayıcı

değişkenler arasında korelasyon yoksa, yatay kesit boyuttaki değişkenlikten kaynaklı bütün

bilgileri yok etmeleri nedeniyle, bir başka ifade ile yaptıkları dönüşümlerle birim etkiyi

modelden elimine ettikleri için etkin değillerdir. Eğer birim etkiler açıklayıcı değişkenler ile

korelasyonsuz ise, dirençli standart hatalar ile Havuzlanmış En Küçük Kareler Yönteminin

kullanılması mantıklı görülebilmektedir. Fakat bilindiği gibi, Havuzlanmış En Küçük

Kareler’in hata terimi, eğer varsa hem birim hem de artık hata öğesini içermektedir. Bu

durumda Havuzlanmış En Küçük Kareler Yöntemi ile tahmin sonucunda, bu iki hata öğesinin

tahmini birbirinden ayrılamadığı için hata teriminin yapısı hakkındaki bilgiler yok

olacağından, etkinlik kaybı olacaktır. Dolayısıyla, Havuzlanmış En Küçük Kareler Yöntemi

gibi µi’yi hata terimi içerisine koyan ve bu iki hata öğesini ayırmaya çalışan tesadüfi etkiler

tahmin yöntemlerinin kullanımı uygun olmaktadır.

Sabit etkiler ve birinci farklar tahmin yöntemlerine göre tesadüfi etkiler tahmin Yöntemlerinin

bir avantajı, zaman değişmezi değişkenleri modele ilave edebilmektir. Fakat bu avantaj bir

maliyet getirmektedir, çünkü tüm açıklayıcı değişkenlerin birim etki ile korelasyonsuz olması

ilave varsayımının da yapılması gerekmektedir.

Ayrıca farklı yatay kesit birimlerin kalıntılarının birbirinden bağımsız (birimler arası

korelasyonsuzluk) olmasına rağmen, μi’nin varlığı nedeniyle aynı yatay kesit birimlerin

kalıntıları arasında korelasyon (birim içi otokorelasyon) görülebilecektir.

5 / 16

Panel veri modeli tekrar ele alındığında:

0 1 1 2 2 .....it it it k kit itY X X X vβ β β β= + + + + + (3.33)

Tesadüfi etkiler modelinde birim etki sabit olmadığından sabit parametre içerisinde değil,

tesadüfi olduğundan hata payı içerisinde yer almaktadır. Dolayısıyla burada hata terimi;

it it iv u µ= +

şeklinde ifade edilebilmektedir; itu artık hataları gösterirken, iµ birim hatayı yani, birim

farklılıklarını ve zamana göre birimler arasındaki değişmeyi göstermektedir. Bir başka ifade

ile μi, i. yatay kesit birimin sabitini temsil etmektedir. ( )it iu µ+ teriminden dolayı, (3.33)

tesadüfi etkiler modeli, “Hata Öğeleri Modeli” ya da “Hata Bileşenleri Modeli” olarak da

adlandırılmaktadır. (3.33) modeli tesadüfi etkiler varsayımıyla,

0 1 1 2 2 .....it i i it i it ki kit i itY X X X uβ β β β µ= + + + + + + (3.34)

şeklinde ya da,

01

( )K

it i k kit it ik

Y X uβ β µ=

= + + +∑

olarak da ifade edilebilmektedir. Ayrıca Yit’nin Xit’ye koşullu varyansı,

2 2 2v u µσ σ σ= +

şeklinde gösterilebilmektedir. Bu ifadede 2 2 ve u µσ σ ; 2vσ varyansının bileşenleri olması

nedeniyle, tesadüfi etkiler modeline, “Varyans Bileşenleri (Öğeleri) Modeli” de

denilebilmektedir.

6 / 16

3.2.1. Tesadüfi Etkiler Modelinin Varsayımları

Tesadüfi etkiler modelinde aşağıdaki genel varsayımların yanında, tesadüfi etkiler modeline

özgü 3 varsayım da yapılmaktadır.

Genel Varsayımlar

- Tesadüfi değişkenler iµ ve itu , her i ve t için birbiriyle korelasyonsuzdur

( ) 0i itE uµ = .

- iµ ve itu ’nin ortalamaları sıfırdır [E( iµ ) = 0 ve E( itu ) = 0].

- itu ’nin varyansı: 2 ,

( )0 diğer durumlar için

uit i t

i i t tE u u

σ′ ′

′ ′ = ==

- iµ ’nin varyansı: 2

( )0 diğer durumlar içini i

i iE µσµ µ ′

′ ==

- itu normal dağılmaktadır; itu ~ N(0, 2uσ ).

- μi normal dağılmaktadır; μi ~ N(0, 2µσ ).

- X matrisi deterministiktir.

Tesadüfi Etkiler Modeline Özgü Varsayımlar

TE 1a: ( )| , 0 1, 2, ... it i iE v X t Tµ = =

TE 1b: ( ) ( )| 0i i iE X Eµ µ= =

TE 1 varsayımının a şıkkında katı dışsallık, b şıkkında ise birim etkiler ve açıklayıcı

değişkenler arasında korelasyon olmadığı ifade edilmektedir. Bu varsayımlarla, µi stokastik

bir değişken olarak düşünülebilmektedir ve “tesadüfi etki” ismini almaktadır.

7 / 16

Görüldüğü gibi Tesadüfi Etkiler Analizinde, Havuzlanmış En Küçük Kareler Yönteminden

daha fazla varsayım yapmaya gerek duyulmaktadır. Havuzlanmış En Küçük Kareler

Yöntemi’nin birinci varsayımı, sadece zayıf dışsallıktı. Tesadüfi Etkiler Yönteminde, hem

katı dışsallık varsayımı yapılmakta hem de buna µi ile bağımsız değişkenlerin korelasyonsuz

olma varsayımını da eklenmektedir.

TE 2: 1rank E( )i iX X K−′Ω =

Bu varsayım, X bağımsız değişkenleri arasında çoklu doğrusal bağlantı olmadığını ifade

etmektedir.

Tesadüfi Etkiler Analizi, artık hata öğesi (uit) için de bir takım varsayımlarda bulunmaktadır.

- 2 2( )it uE u σ= (1) koşulsuz varyansı sabittir.

- ( ) 0it isE u u = (2) otokorelasyonsuzdur.

Bu varsayımlardan ve ( ) 0i iE uµ = bilgisinden yararlanarak, birleşik hatanın (vit) varyans

kovaryans matrisi türetilebilmektedir. Varyans:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2

2 2

2it i it i i it it

u

E E u E E u E u

µ

ν µ µ µ

σ σ

= + = + +

= + (3.35)

şeklinde ve kovaryans ise,

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

2

2 2

it is i it i is i i it i is it is

i

E E u u E E u E u E u u

E µ

ν ν µ µ µ µ µ

µ σ

= + + = + + +

= = (3.36)

olarak elde edilmektedir. Böylece birleşik hatanın varyans kovaryans matrisi,

8 / 16

( )

2 2 2 2

2 2 2

2

2 2 2 2

u

ui i

u

E

µ µ µ

µ µ

µ

µ µ µ

σ σ σ σσ σ σ

ν νσ

σ σ σ σ

+ + ′Ω = =

+

(3.37)

şeklindedir. Görüldüğü gibi, T ne olursa olsun Ω matrisi, sadece 2 parametreye ( 2 2 ve uµσ σ )

bağlıdır.

vit ve vis arasındaki korelasyon ise,

( )2 2 2( ) 0it is ucorr v v µ µρ σ σ σ= = + ≥ (3.38)

şeklinde elde edilmektedir. Açıkça görüldüğü gibi bu korelasyon, t ve s arasındaki farka bağlı

değildir, µi’nin varyansının birleşik hatanın varyansına oranıdır ve bu oran µi’nin önemini

ölçmek için iyi bir ölçüdür.

- ( ) ( )|i i i i iE u u X E u u′ ′= (3) ui’nin Xi’ye koşullu varyansı sabittir.

TE 3: Artık hata öğesine ait 1, 2 ve 3 numaralı varsayımlar, tesadüfi etkiler modelinin 3.

varsayımını oluşturmaktadır. Bu üç varsayımda özet olarak, homoskedasite, koşulsuz

varyansın zamana göre sabit ve otokorelasyonsuz olduğu yer almaktadır. TE 3 varsayımı,

etkinlik için gereklidir.

TE 3a: ( ) 2| ,i i i i u TE u u X Iµ σ′ =

TE 3b: ( )2 2|i iE X µµ σ=

TE 3a varsayımı, 1 ve 2 numaralı varsayımlara benzemekle birlikte, burada farklı olarak

koşullu varyanslar yer almaktadır. Koşullu varyansların sabit ve koşullu kovaryansların sıfır

9 / 16

olduğunu ifade eden bu varsayım, 1 ve 2 numaralı varsayımlardan daha güçlüdür. TE 3b

varsayımı ise, µi’nin homoskedastik olduğunu göstermektedir.

3.2.2. Tesadüfi Etkiler Modelinin Tahmin Yöntemleri

Tesadüfi etkiler modelinin tahmini için birçok yöntem önerilmektedir. Bunlardan bazıları;

Havuzlanmış En Küçük Kareler Yöntemi, Grup İçi (Kovaryans) Tahmin Yöntemi, En Çok

Olabilirlik Yöntemi, Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Yöntemi, Esnek Genelleştirilmiş En

Küçük Kareler Yöntemi, Genel Esnek Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Yöntemi, İki

Aşamalı Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Yöntemi ve Genelleştirilmiş Tahmin Eşitliği

Kitle Ortalaması Modelini kullanarak tahmindir.

3.2.2.1. Grup İçi Tahmin Yöntemi

Tesadüfi etkiler modelinin tahmininde grup içi tahminci aşağıdaki dönüştürülmüş eşitliğe,

Havuzlanmış En Küçük Kareler Yönteminin uygulanması ile açıklanabilmektedir;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1it i it i i it iY Y X X u uθ θ α θ β θ µ θ− = − + − + − + −

(3.37) numaralı eşitlik kısaca,

( ) ( ) ( )it i it i it iY Y X Xθ θ β ν θν− = − + − (3.39)

şeklinde gösterilebilmektedir. Burada,

2

2 2ˆ 1 u

u T µ

σθσ σ

= −+

eşitliği vardır. Görüldüğü gibi θ, 2 2veu µσ σ ’nin bir fonksiyonudur.

- 2 0µσ = ise; θ =0 olduğundan, µi de sıfırdır ve (3.39) numaralı eşitlik, Havuzlanmış

En Küçük Kareler Tahmincisine eşittir.

10 / 16

- θ=1 ise, (3.39) numaralı eşitlik, grup içi tahminci’ye eşittir.

Bu eşitlik artık zaman kısaltılmışı olarak değil, “yaklaşık kısaltılmış” olarak

adlandırılmaktadır, çünkü değişkenlerden grup içi tahmin yöntemindeki gibi birimlerin

zamana göre ortalaması değil, varyansların bir oranı çıkartılmaktadır. μi tesadüfi iken, β’nın

kovaryans tahmincisi sapmasız ve tutarlı olmasına rağmen, küçük örneklerde Genelleştirilmiş

En Küçük Kareler Tahmincisi ile karşılaştırıldığında DESTE değildir. Standart tesadüfi etkiler

varsayımları altında, dönüştürülmüş hatalar otokorelasyonsuzdur.

3.2.2.2. En Çok Olabilirlik Yöntemi

Tesadüfi etkiler modeli, En Çok Olabilirlik Yöntemi ile de tahmin edilebilmektedir. μi ve uit,

tesadüfi ve normal dağıldığı zaman, olabilirlik fonksiyonunun logaritması şöyledir;

10 0

1

2 2 2

0 02 2 21

1log log 2 log | | ( ) ( )2 2 2

( 1)log 2 log log( ) (3.40)2 2 21 ( ) ( ) (

2 2( )

N

i i i i i ii

v u

N

i i i i i i iiv u

NT NL Y e X Y e X

NT N T N T

TY e X Q Y e X YT

µ

µ

π β β β β

π σ σ σ

β β β βσ σ σ

−

=

=

′= − − Ω − − − Ω − −

−= − − − +

′− − − − − −+

∑

∑ 20

1)

N

i ii

Xβ β=

′− −∑

burada 2( 1) 2 2| | ( )Tv u T µσ σ σ−Ω = + ’dir.

δσσββ µ ′=′

),,,( 220 vi ’nin En Çok Olabilirlik (EÇO) Tahmincisi, aşağıdaki birinci mertebeden

türevlerin alınıp sıfıra eşitlenmesiyle elde edilmektedir:

02 210

log ( ) 0( )

N

i i iii u

L T Y XT µ

β ββ σ σ =

∂ ′= − − =∂ + ∑ (3.41)

( ) ( )2

0 02 2 21

log 1 0( )

ui i i i i i i i

iu u

TL Y e X QX Y e X XT µ

σβ β β ββ σ σ σ =

∂ ′ ′ ′= − − − − − = ∂ +

∑ (3.42)

11 / 16

0 02 2 2 2 41

202 2 2

1

log ( 1) 1 ( ) ( )2 2( ) 2

( ) 0 (3.43)2( )

N

i i i i i iiv v u v

N

i i iiu

L N T N Y e X Q Y e XT

T Y XT

µ

µ

β β β βσ σ σ σ σ

β βσ σ

=

=

∂ − ′= − − + − − − −∂ +

′+ − − =+

∑

∑2

202 2 2 2 2

1

log ( ) 02( ) 2( )

N

i i iiu u

L NT T Y XT Tµ µ µ

β βσ σ σ σ σ =

∂ ′= − + − − =∂ + + ∑ (3.44)

(3.40)-(3.43) denklemlerinin eşanlı olarak çözümü oldukça karmaşıktır, çözüm için Newton-

Raphson iteratif süreci kullanılabilmektedir. Bu süreçte öncelikle, δ

için bir tesadüfi

başlangıç değeri ( )1(δ

) alınmakta ve iterasyon aşağıdaki gibi yapılmaktadır:

)1()1( ˆ

1

ˆ

2)1()( loglogˆˆ

−−

=

−

=

−

∂∂

′∂∂

∂−=

jj

LLjj

δδδδ δδδδδ

(3.45)

Bu süreç j. iteratif çözüme kadar tekrarlanmaktadır.

En Çok Olabilirlik Tahmincilerini elde etmek için alternatif olarak, ardışık iteratif bir süreç

kullanılabilmektedir. (3.41) ve (3.42)’den aşağıdaki eşitlikler yazılabilmektedir:

10 1 1

1 1

12 2

2 2 21

ˆ

ˆ

( , )

N Nit

i i i ii i

N

T i Ti i iu u

X X X V Y

e eI ee e X I

X XT Tµ µ

µ µ

β

β

σ σσ σ σ σ

−− −

= =

−

=

′ ′= Ω Ω

′ ′ ′= − − ′ ′+ +

∑ ∑

∑

21

N

ii

ee Y=

′

∑ (3.46)

düzeltmeler yapıldığında,

)()()1(

1ˆ 01

02 ββββσ iii

N

iiiiv XeYQXeY

TN−−′−−

−= ∑

=

(3.47)

ve,

2

1

20

2 ˆ1)ˆˆ(1ˆ v

N

iiii T

XYN

σββσ µ ∑=

−′−−= (3.48)

12 / 16

elde edilmektedir. 0 veiβ β ’yı tahmin etmek için, (3.46) eşitliğinde, 2 2 2/ ( )u Tµ µσ σ σ+ için bir

tesadüfi başlangıç değeri seçilmekte ve 0 veiβ β ’nın En Çok Olabilirlik Tahmincileri elde

edilmektedir. Sonra (3.46) eşitliğinden elde edilen bu sonuçlar, (3.47)’de yerleştirilerek 2vσ

tahmin edilmektedir. (3.46) ve (3.47) eşitliklerinde bulunan sonuçlar ise, (3.48)’de yerine

konulduğunda 2µσ ’nin de tahmini elde edilmektedir. 0 veiβ β ’nın yeni tahminlerini elde

etmek için, (3.46) eşitliğine 2vσ ve 2

µσ ’nin yeni değerleri yerleştirilmekte ve süreç

tekrarlanarak devam etmektedir.

T’nin sabit olduğu ve N’nin sonsuza gittiği durumda, En Çok Olabilirlik Tahmincisi tutarlıdır

ve aşağıda verilen varyans kovaryans matrisi ile asimptotik normal dağılmaktadır:

12 logˆ−

′∂∂

∂−=

δδδ LNENVar MLE

+−

′−′

′

=∑

∑

=

=

4

2

442

2

2

12

122

2

21

21

0011

001

σ

σσσ

σσ

σ

σσ

µ

T

TT

XeeIXN

XN

TT

v

iT

N

ii

v

N

ii

burada, 222µσσσ Tu += ’dir.

N’nin sabit olduğu ve T’nin sonsuza gittiği durumda; i0β , β ve 2vσ ’nin En Çok Olabilirlik

Tahmincisi, Kovaryans Tahmincisine yaklaşmaktadır. Dolayısıyla tutarlı tahminciler elde

edilmektedir, Amemiya (1971) yaptığı çalışmada, En Çok Olabilirlik Yönteminden tahmin

edilen varyansların tutarlı olduğunu ispatlamıştır. Fakat 2µσ ’nın En Çok Olabilirlik

Tahmincisi tutarsız olmaktadır. N sabitken T ne kadar büyük olursa olsun, tutarlılık

sağlanamamaktadır. Ayrıca bazen (3.41)-(3.44) eşitliklerinin eşanlı olarak çözümü 2µσ ’nin

13 / 16

tahminini negatif vermektedir. Bununla birlikte, 2vσ ≥0 ve 2

µσ ≥0 kısıtlamaları olduğu zaman,

kısıtlı bir çözüm oluşabilmektedir. Bazen (3.41)-(3.44) türev eşitliklerinin hepsi için çözüm

gerçekleşmeyebilmektedir. Maddala (1971), 2vσ =0’ın kısıtlayıcı çözümünün

gerçekleşmediğini göstermiştir, fakat 2µσ =0’ın kısıtlayıcı çözümü,

]2[ 1111yxxxxxxxyxyxxxyxyyyxxxyxyy TTBTTTTTBTTTTT

−−−− ′+′−>′−

Eşitliğinin geçerliliği ile gerçekleşmektedir. Bununla birlikte T ya da N’den biri sonsuza

gittiği zaman, kısıtlayıcı bir çözümün gerçekleşme olasılığı da sıfıra gitmektedir. Burada,

yxyxyxxxxxxx

N

iiiyx

N

iiixx

iiyx

N

iiixx

BTWBTW

YeeXT

BXeeXT

B

YXTXXT

−=−=

′′=′′=

′=′=

∑∑

∑

==

=

,

),(1,)(1

,,

11

1

eşitlikleri vardır. Burada yxxx BB ve matrisleri, gruplar arası yatay kesit birimlerin toplamı ve

kareler toplamından meydana gelmektedir, yxxx WW ve , grup içi matrislerini; yxxx TT ve ise,

toplam değişkenlik matrislerini ifade etmektedir.

3.2.2.2.1. En Çok Olabilirlik Yönteminde Karşılaşılan Sorunlar

En Çok Olabilirlik Tahmin Yönteminde karşılaşılan sorunlar şöyle özetlenebilmektedir;

- Normallik varsayımı altında, olabilirlik fonksiyonu doğrusal değildir. Doğrusal

olmama özelliği, bu fonksiyonun tahmin edilmesini güçleştirmektedir.

- Olabilirlik fonksiyonu, küresel içbükey değildir ve bu nedenle, çoklu yerel

maksimuma izin verilmemektedir.

- Varyans bileşenlerinin tahmini, uygulamada negatif olabilmektedir.

14 / 16

3.2.2.2.2. Bilgisayar Uygulaması

Stata’da Tesadüfi Etkiler En Çok Olabilirlik Yöntemi ile tahmin yapmak için komut,

. xtreg TG GT TH D1 IN YS, mle nolog

En Çok Olabilirlik

15 / 16

ÇALIŞMA SORULARI

1. Çalıştığınız iktisadi örnekte kullandığınız veri seti 20 ülke ve 30 yıldan oluşsaydı ve sabit

ve tesadüfi etkiler modelleri arasında önsel seçim yapmak durumunda olsaydınız hangisini

seçerdiniz? Neden?

2. Birim etkilerle bağımsız değişkenler arasında korelasyon varsa kullanılabilecek tek

tahminci havuzlanmış en küçük kareler tahmincisidir. Doğru Yanlış

3. Tesadüfi etkiler modelinde en çok olabilirlik yüntemiyle tahmin yaparken karşılaşılabilen

en büyük güçlük nedir?

4. Birleşik hatanın varyans kovaryans matrisinde varyans ve kovaryanslar neyi ifade

etmektedir? Tartışınız.

5. Birleşik hatanın otokorelasyon katsayısı (ρ) aynı zamanda neyi ifade etmektedir?

16 / 16

KAYNAKÇA






8. HAFTA DERS NOTU

2 / 11

İÇİNDEKİLER

3.2.2.4. Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Yöntemi 3.2.2.4.1. Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Yönteminin Özellikleri 3.2.2.4.2. Bilgisayar Uygulaması

3.2.2.5. Esnek Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Yöntemi 3.2.2.5.1 Esnek Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Yöntemi’nin Özellikleri

3.2.2.6. Genel Esnek Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Yöntemi

3 / 11

ÖZET (TÜRKÇE)

Bu hafta doğrusal tesadüfi etkili modellerin tahmin yöntemleri incelenmeye devam

edilmektedir. Tahmin yöntemlerinden Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Yöntemi, Esnek

Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Yöntemi ve Genel Esnek Genelleştirilmiş En Küçük

Kareler Yöntemi ele alınmaktadır.

4 / 11

3.2.2.4. Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Yöntemi

veiµ β ’nın etkin tahmincilerini elde etmek için, Genelleştirilmiş En Küçük Kareler

Yöntemi kullanılabilmektedir. ( )βµδ ,i= için Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Tahmincisi

aşağıdaki gibi elde edilebilmektedir;

1

1 1

1 1

ˆN N

GEKK i i i ii i

X X X Yδ−

− −

= =

′ ′= Ω Ω ∑ ∑

(3.49)

burada Ω daha önce bahsedildiği gibi, vit’nin varyans kovaryans matrisidir ve,

2 2( )i i u tE v v I eeµσ σ′ ′Ω ≡ = + (3.50)

eşitliği vardır. Bu matrisin tersi ise,

21

2 2 2

1i T

v u

I eeTµ

µ

σσ σ σ

−

′Ω = − +

(3.51)

ya da,

12 2

1 1 1 1 1T

v v

I ee ee Q eeT T T

ψ ψσ σ

− ′ ′ ′Ω = − + = + (3.52)

şeklinde gösterilebilmektedir. Burada,

2

2 2u

u T µ

σψσ σ

=+

(3.53)

dir. Böylece (3.49) şu hale gelmektedir:

[ ] 0ˆ

ˆit

xx xx xy xy

GEKK

W B W Bβ

ψ ψβ

+ = +

(3.54)

(3.54) eşitliği çözüldüğünde,

5 / 11

1

10

1 11 1 1

ˆ

ˆ

N

i iiit N N

N N Ni i iGEKK i i i i i i i

i i i

NT T X NTY

X QY T X YT X X Qx T X X

ψ ψ ψβ

ψβ ψ ψ

−

=

= == = =

′ = ′ + ′′ +

∑∑ ∑∑ ∑ ∑

(3.55)

elde edilmektedir. Kısmi ters formülü kullanılarak, β vektörü ve β0i’nin Genelleştirilmiş En

Küçük Kareler Tahmincileri aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır;

( )( ) ( )( )1

1 1 1 1

1 1ˆN N N N

GEKK i i i i i i i ii i i i

X QX X X X X X QY X X Y YT T

β ψ ψ−

= = = =

′′ ′= + − − + − − ∑ ∑ ∑ ∑

ˆ ˆ( )GAT K GİTIβ β= ∆ + −∆ (3.56)

XY GEKKGEKKi ββ ′−= ˆˆ,0 (3.57)

burada,

( )( ) ( )( )1

1 1 1

N N N

i i i i i ii i i

T X QX T X X X X X X X Xψ ψ−

= = =

′ ′′∆ = + − − − − ∑ ∑ ∑ ,

dir. Görüldüğü gibi, (3.56)’daki Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Tahmincisi gruplar arası

ve grup içi tahmincilerinin ortalamaların bir ağırlığıdır.

Eğer [ ]xxxx BW ψ+ sabit değilse, δ’nın Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Tahmincisinin

kovaryans matrisi şöyle yazılabilmektedir:

[ ] 10 2

12

11 1

ˆ

ˆ

0 0

0

iu xx xx

GEKK

N

iiN

v N Ni i

i i i ii i

Var W B

N XT

X QXx X X

βσ ψ

β

σ ψ

−

=

== =

= +

′ = + ′ ′

∑∑ ∑ ∑

(3.58)

6 / 11

Kısmi ters formülü kullanılarak aşağıdaki sonuçlar elde edilebilmektedir:

( )( )1

2

1 1

ˆ( )N N

GEKK v i i i ii i

Var X QX T X X X Xβ σ ψ−

= =

′′= + − − ∑ ∑ (3.59)

ψ>0 olması sebebiyle, ˆ ˆveKV GEKKβ β ’nın kovaryans matrisleri arasındaki fark, pozitif tanımlı

bir matristir. Bununla birlikte N’in sabit ve T’nin sonsuza gitmesi (T→∞) nedeniyle, ψ de

sıfıra yaklaşmaktadır (ψ→0). Böylece T’nin sonsuza gitmesi ve

( ) ( )1 11/ ve 1/N N

i i i ii iNT X X NT X QX

= =′ ′∑ ∑ ’nın sonlu pozitif tanımlı matrislere yaklaşması

varsayımları altında, Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Tahmincisi ve varyansı, grup içi

tahminci ve varyansına yaklaşmaktadır ( ) ( ) ( )( )ˆ ˆ ˆ ˆveGEKK GEKKGİT GİTVar T Var Tβ β β β→ → .

Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Tahmincisinin hesabı, Ω-1’in eşitlik (3.52)’deki özel formu

kullanılarak basitleştirilebilmektedir. 1 2(1 )(1/ )TP I T eeψ ′ = − − yazılırsa, 1 P P− ′Ω =

olmaktadır.

Yaklaşık kısaltılmış eşitliğin, Havuzlanmış En Küçük Kareler Yöntemi ile tahmini (Grup İçi

tahmin), Genelleştirilmiş En Küçük Kareler tahminine eşittir.

3.2.2.4.1. Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Yönteminin Özellikleri

Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Tahmin Yönteminin özellikleri aşağıdaki gibi


- 1→ψ bir başka ifade ile 2 0µσ → ise; Genelleştirilmiş En Küçük Kareler

Tahmincisi Havuzlanmış En Küçük Kareler Tahmincisine yaklaşmaktadır.

- 0→ψ bir başka ifade ile 2µσ →∞ ya da T→∞ ise; β’nın Genelleştirilmiş En

Küçük Kareler Tahmincisi, grup içi tahminci haline gelmektedir ve bu durumda değişkenliğin

kaynağı hiç önemsenmemektedir.

- TE 1 ve TE 2 varsayımları altında, Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Tahmincisi,

tutarlı fakat sapmalıdır (Ω bilinirse, sapmasız olabilmektedir).

7 / 11

- Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Tahmincisi, grup içi ve gruplar arası

tahmincilerin ağırlıklı bir ortalama matrisi olarak açıklanabilmektedir.


Stata’da Tesadüfi Etkiler Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Yöntemi ile tahmin yapmak için

komut,

. xtreg TG GT TH D1 IN YS, re theta

Tesadüfi Etkiler Genelleştirilmiş En Küçük Kareler

3.2.2.5. Esnek Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Yöntemi

Esnek Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Tahmincisi, tesadüfi etkiler tahmincisi olarak da

bilinmektedir. Tesadüfi etkiler modelinin Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Yöntemi ile

tahmin edilebilmesi için varyans kovaryans matrisinin bilinmesi gerekmektedir, fakat çoğu

zaman bilinmemekte ancak tahmin edilebilmektedir. Hata terimlerinin varyans kovaryans

matrisinin tahmin edilebildiği varsayımı altında ise, uygun prosedür Esnek Genelleştirilmiş

En Küçük Kareler Yöntemidir. Bu yöntemle açıklayıcı değişkenlerin birleşik hata terimi ile

korelasyonsuz olduğu ( )| 0it iE v X = varsayımı altında, tutarlı tahminciler elde edilmektedir.

8 / 11

Tesadüfi etkiler tahmincisinin elde edilebilmesi için öncelikle 2 2 ve uµσ σ ’nin hesaplanması

gerekmektedir. TE 3a varsayımı altında;

( )2 21

1ˆ Titt

E vTνσ =

= ∑ (3.60)

dır. β’nın Havuzlanmış En Küçük Kareler Tahmincisi ˆβ , Havuzlanmış En Küçük

Kareler’den elde edilen kalıntılar ˆitv olmak üzere, 2

νσ aşağıdaki gibi tahmin edilmektedir;

2 2

1 1

1 ˆˆ ˆN T

iti t

vNT Kνσ

= =

=− ∑∑ (3.61)

2µσ için tutarlı tahminci şöyledir;

( )1

2

1 1 1

1 ˆ ˆˆ ˆ ˆ1 2

N T T

it isi t s t

v vNT T Kµσ

−

= = = +

=− −

∑∑∑ (3.62)

2uσ

için tutarlı tahminci ise, 2 2 2v uµσ σ σ= + eşitliğinden yararlanılarak hesaplanabilmektedir,

böylece Ω matrisinin tahmini elde edilebilmektedir. Esnek Genelleştirilmiş En Küçük Kareler

Tahmincisi, Ω varyans kovaryans matrisinin tersini kullanarak modelin parametrelerini,

11 1

1 1

ˆ ˆ ˆN N

TE i i i ii i

X X X Yβ−

− −

= =

′ ′= Ω Ω ∑ ∑ (3.63)

şeklinde tahmin etmektedir.

3.2.2.5.1 Esnek Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Yöntemi’nin Özellikleri

Esnek Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Yönteminin önemli özellikleri aşağıdaki gibi


1) TE 3 varsayımı olmaksızın da β tahmincisi tutarlıdır; TE 1 ve TE 2 varsayımları

tutarlılık için yeterlidir. Fakat TE 3 varsayımı ile ( )| 0i iE Xν = , tutarlı tahminciler içinde

en etkin olmaktadır.

9 / 11

2) Esnek Genelleştirilmiş En Küçük Kareler, kısıtsız bir varyans tahmincisi (Ω)

kullanarak, tutarlı ve N sonsuza giderken asimptotik normaldir.

3) TE 1 - TE 3 varsayımları altında,

1

1

1

ˆ ˆvar( )N

i ii

A X Xβ−

−

=

′= Ω ∑ (3.64)

şeklindeki Esnek Genelleştirilmiş En Küçük Kareler varyans matrisi geçerlidir.

3.2.2.6. Genel Esnek Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Yöntemi

Hata terimi uit genelde heteroskedastik ve otokorelasyonludur, dolayısıyla TE 3 varsayımı

geçerli değildir. Bu durumda, tesadüfi etkiler tahmincisi etkin değildir. Ω’nın daha genel bir

tahmincisi, asimptotik etkindir. Ω varyans-kovaryans tahmincisi, aşağıdaki gibi elde

edilebilmektedir:

1

1

ˆ ˆˆ ˆ ˆN

i ii

N ν ν−

=

′Ω = ∑ (3.65)

Bu tahminci dolaylı olarak şu varsayımı yapmaktadır:

( )|i i iE Xν ν ′ = Ω (1)

TE 1-TE 2 varsayımları ile, Esnek Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Tahmincisi tutarlıdır,

(1) numaralı varsayım ile de asimptotik etkindir. Bununla birlikte TE 1-TE 3 varsayımları

altında (N büyükken) Genel Esnek Genelleştirilmiş En Küçük Kareler (GEGEKK)

Tahmincisi, Esnek Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Tahmincisi kadar etkindir.

10 / 11

ÇALIŞMA SORULARI

1. Tesadüfi etkiler modelinin genelleştirilmiş en küçük kareler yöntemi ile tahmininde

karşılaşılan en büyük sorun nedir?

2. Modelde heteroskedasite ve otokorelasyon varsa bile genellştirilmiş en küçük kareler

etkindir. Doğru Yanlış

3. Genelleştirilmiş en küçük kareler hangi şartlar altında havuzlanmış en küçük kareler

tahmincisine yaklaşır?

4. Genelleştirilmiş en küçük kareler hangi şartlar altında grupiçi tahminciye yaklaşır?

5. Tesadüfi etkiler modelinin tahmininde kullanılan (geçen dersde bahsedilenler de dahil

olmak üzere) yöntemleri kıyaslayınız.

11 / 11

KAYNAKÇA






9. HAFTA DERS NOTU

2 / 12

İÇİNDEKİLER

3.3. VARSAYIMLARIN ÖZETİ 3.3.1. Sabit Etkiler Modeli 3.3.2. Tesadüfi Etkiler Modeli

3.4. PANEL VERİ MODELLERİNDE ETKİNLİK VE TUTARLILIK 3.5. GENEL ÖZET

3.6. UYGULAMALAR

3 / 12

ÖZET (TÜRKÇE)

Bu hafta doğrusal panel veri modellerinde tahmin yöntemlerinin karşılaştırmaları yapılmakta,

varsayımlar özetlenmekte ve panel veri modellerinde etkinlik ve tutarlılık konusu genel

hatlarıyla tartışılmaktadır.

4 / 12

3.3. VARSAYIMLARIN ÖZETİ

Sabit ve tesadüfi etkiler modellerinin varsayımları aşağıda sıralanmaktadır:

3.3.1. Sabit Etkiler Modeli

1) SE 1 - SE 4: BF 1 - BF 4 ile aynıdır.

2) SE 5: Hata terimleri (uit) homoskedastiktir.

3) SE 6: Hata terimleri (uit) otokorelasyonsuzdur.

4) SE 7: µi ve Xi üzerine koşullu uit, özdeş ve bağımsız dağılımlı normal tesadüfi değişkendir

(IIN(0, 2uσ )).

3.3.2. Tesadüfi Etkiler Modeli

1) TE 1 - TE 2: BF 1 - BF 2 ve SE 1 - SE 2 ile aynıdır.

2) TE 3: Xit, birim etkilere (µi) bağlı katı dışsaldır ve Xit ile birim etkiler korelasyonsuzdur.

3) TE 4: Tam çoklu doğrusal bağlantı yoktur.

4) TE 5: Birim hata öğesi (µi) ve artık hata öğesi (uit) homoskedastiktir.

5) TE 6: Hata terimleri otokorelasyonsuzdur.

3.4. PANEL VERİ MODELLERİNDE ETKİNLİK VE TUTARLILIK

Panel veri modellerinde gözlem sayısının genelde fazla olması nedeniyle, etkinliğin tutarlılık

kadar önemli olmadığı düşünülebilmektedir, fakat bu düşünce yanlıştır. Panel veri, hem

zaman serisi boyutu hem de yatay kesit boyutu içermesine rağmen, daha çok bir boyutta

(genelde zaman boyutu) az gözlem içerirken diğer boyutta (genelde yatay kesit boyut) daha

fazla gözlem içermektedir. Etkinliğin sağlanabilmesi için gözlem sayısının fazla olduğu

boyuttan elde edilen bilginin, genel parametrelerin tahmininde olumlu olarak kullanılabilmesi

önemlidir.

5 / 12

Bilinmeyen parametrelerin tutarlı tahminini elde edebilmek için, daha çok bilgi içeren

boyutun gözlem sayısını arttırmak gereklidir. Böylece panel verilerle çalışılırken, N’in ya da

T’nin veya hem T’nin hem de N’in sonsuza gidip gitmediğinin ayrımı önemlidir. Bu ayrımı

yapabilmek için, hangi parametrelerin tutarlı tahminci olmasının daha önemli olduğuna karar

vermek gereklidir.

Tesadüfi etkiler modeli açıklanırken, Havuzlanmış En Küçük Kareler Tahmincilerinin tutarlı

olduğundan, fakat yatay kesit birimlerin tesadüfi yapısını dikkate alarak çözüm yapan

Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Tahmincileri ile karşılaştırılınca, etkin olmadığından

bahsedilmişti. Tesadüfi etkiler modeli kullanılacaksa, etkiler ile ilgili bir dağılım varsayımı

yapılması gerekmektedir. Model doğrusal değilse, dağılım varsayımı doğrusal olmayan

modelin türüne bağlıdır ve tutarlı tahminler elde etmek için, En Çok Olabilirlik Yönteminin

çok karmaşık bir hali kullanılmaktadır. Eğer model doğrusal ise, etkilerin bağımsız dağıldığı

varsayılmakta ve böyle bir modelin tahmini için, Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Yöntemi

kolayca uygulanabilmektedir. Bu durumda, kalıntıların korelasyon yapısı bilinmekte ve

tahminciler asimptotik etkin olmaktadır.

T’nin sonlu olduğu, yatay kesit birim sayısının (N) sonsuza gittiği durumda, T döneminde bir

birimin davranışsal eşitliğinin parametrelerini tahmin etmek için, yatay kesit gözlemler

kullanılarak Minimum Aralık Tahmincisi kullanılabilmektedir. Minimum Aralık süreci,

heteroskedasite ve otokorelasyon problemleri doğurmakta ve bu nedenle tutarlı fakat etkin

olmayan tahminciler türetmektedir.

3.5. GENEL ÖZET

- Gözlenemeyen birim etkilere hata terimi gibi tesadüfi bir değişken gibi davranılıyorsa

tesadüfi; sabit parametre gibi davranılıyorsa sabit etkiler söz konusu olmaktadır.

- Tesadüfi etkiler modelinde bağımsız değişkenler ile birim etki arasındaki korelasyonun

sıfır olduğu varsayılmakta iken, sabit etkiler modelinde sıfırdan farklıdır.

- Zaman sabiti değişkenler tesadüfi etkiler modelinde yer alabilir ve tahmin edilebilirken,

sabit etkiler modelinde yapılan dönüşümlerle modelden düşmektedir.

6 / 12

- Sabit etkiler modelinin tahmininde Gölge Değişkenli En Küçük Kareler, Grup İçi

(Kovaryans) Tahmin, Gruplar Arası Tahmin, Havuzlanmış En Küçük Kareler, En Çok

Olabilirlik, Genelleştirilmiş En Küçük Kareler ve Esnek Genelleştirilmiş En Küçük Kareler

Yöntemleri kullanılabilmektedir.

- Sabit etkiler modelinin tahmininde Gölge Değişkenli En Küçük Kareler Yöntemi sıklıkla

kullanılmaktadır, fakat birim sayısı fazla ise serbestlik derecesi kaybı fazla olmakta ve bu

nedenle grup içi tahmin Yöntemi tercih edilmelidir. Grup içi tahmin yöntemi tahminde en

fazla kullanılan yöntem olması sebebiyle, sabit etkiler tahmincisi ismini almaktadır.

- Grup içi tahmincide dönüştürülmüş hata terimi negatif otokorelasyonludur.

- Tesadüfi etkiler modelinde birim etki hata terimi içerisinde özetlenmekte ve kalıntının

varyans kovaryans matrisinde yer almaktadır.

- Tesadüfi etkiler modelinin tahmini için; Havuzlanmış En Küçük Kareler, Grup İçi

(Kovaryans) Tahmin, En Çok Olabilirlik, Genelleştirilmiş En Küçük Kareler, Esnek

Genelleştirilmiş En Küçük Kareler, Genel Esnek Genelleştirilmiş En Küçük Kareler ve İki

Aşamalı Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Yöntemleri kullanılabilmektedir.

- Bununla birlikte tahminde en çok kullanılan yöntemlerden Genelleştirilmiş En Küçük

Kareler Yöntemi, En Çok Olabilirlik Yöntemine göre hesaplama kolaylığına sahip

olduğundan ve bazı sorunlarından dolayı daha fazla tercih edilmekte ve bu nedenle

Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Tahmincisi, tesadüfi etkiler tahmincisi olarak da

bilinmektedir.

3.6. UYGULAMALAR

1. Grunfeld Yatırım Modeli

Aşağıdaki Grunfeld Yatırım Modelini, Gölge Değişkenli En Küçük Kareler, Sabit Etkiler,

Gruplar Arası Etkiler, Tesadüfi Etkiler için En Çok Olabilirlik ve Genelleştirilmiş En Küçük

Kareler Yöntemleri ile tahmin edelim.

0 1 2it it it itinvest mvalue kstock uβ β β= + + +

7 / 12

Çıktı 3.10. Gölge Değişkenli En Küçük Kareler, Sabit Etkiler, Gruplar Arası Etkiler, En Çok Olabilirlik ve Tesadüfi Etkiler Tahmincileri

8 / 12

2. İşsizlik Tazminatı Modeli

Wooldridge’in (2002) “ezunem.dta” isimli veri setini kullanarak, aşağıdaki modeli Gölge

Değişkenli En Küçük Kareler, Sabit Etkiler, Gruplar Arası Etkiler, Tesadüfi Etkiler için En

Çok Olabilirlik ve Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Yöntemleri ile tahmin edelim.

0 1 2log( )it it ituclms ez t uβ β β= + + +

uclms: işsizlik tazminatı talebi sayısı

ez: şehir serbest (gümrüksüz) bölgeye sahipse 1, değilse 0 değerini alan gölge değişken

(zamana göre değişebilmektedir)

t: zaman gölge değişkeni (trend, birim değişmezi)

i (city): şehirler (22 adet)

t (year): yıllar (1981-1988)

Çıktı 3.11. Gölge Değişkenli En Küçük Kareler, Sabit Etkiler, Gruplar Arası Etkiler, En Çok Olabilirlik ve Tesadüfi Etkiler Tahmincileri

9 / 12

3. Getiri Oranı Modeli

2004-2009 yılları arasında İMKB imalat sanayinde yer alan ve faaliyetlerine sürekli olarak

devam eden 124 firmanın hisse senedi yatırımcısına sağlamış olduğu dönemsel verim (getiri

oranı) ile işletmenin finansal yapısı ve faaliyet sonuçlarının verimliliği hakkında bilgiler veren

finansal oranlar (rasyolar) arasında bir ilişki kurulmak istenmektedir. Çalışmada bağımsız

değişken olarak yer alan oranlar elde edilirken kullanılan finansal tablo kalemleri, İstanbul

Menkul Kıymetler Borsası (İMKB) ve Kamuyu Aydınlatma Platformu’nun resmi web

sitelerinden temin edilen finansal tablolardan sağlanmıştır (www.imkb.gov.tr ve

www.kap.gov.tr). Söz konusu verileri kullanarak aşağıda tanımlanan modeli, sabit etkiler,

gruplar arası etkiler ve tesadüfi etkiler tahmincilerini kullanarak tahmin edelim.

0 1it it i it it itgetiri finkal krbym nkrakt uβ β β= + + + +

getiri: hisse senedi getiri oranı (hisse senedi verimi)

finkal: finansal kaldıraç oranı (toplam borçların toplam kaynaklara oranı)

krbym: net kardaki dönemsel büyüme oranı

10 / 12

nkrakt: net karın toplam aktiflere oranı

i (id): hisse senetleri (124 adet)

t (t): yıllar (2004-2009)

Çıktı 3.12. Sabit Etkiler, Gruplar Arası Etkiler ve Tesadüfi Etkiler Tahmincileri

11 / 12

ÇALIŞMA SORULARI

1. Sabit etkilerde bağımsız değişkenlerle birim etki arasındaki korelasyon sıfırıdır.

Doğru Yanlış

2. Homojen bir anakütleden çekim yapılıyorsa sabit etkileri düşünmek daha doğrudur.

Doğru Yanlış

3. Zamana göre değişmeyen (zaman sabiti) değişkenlere sabit etkiler modelinde neden izin

verilmez?

4. Sabit etkiler modelinin tahmininde en çok kullanılan yöntem hangisidir? Neden?

4. Tesadüfi etkiler modelinin tahmininde en çok kullanılan yöntem hangisidir? Neden?

12 / 12

KAYNAKÇA






10. HAFTA DERS NOTU

2 / 14

İÇİNDEKİLER

4.2. İKİ YÖNLÜ PANEL VERİ MODELLERİ 4.2.1. İki Yönlü Sabit Etkiler Modeli

4.2.1.1. Gölge Değişkenli En Küçük Kareler Tahmin Yöntemi 4.2.1.1.1. Bilgisayar Uygulamaları

4.2.1.2. Grup İçi Tahmin Yöntemi 4.2.1.2.1. Sabit Etkiler Modelinin Varsayımları 4.2.1.2.2. Bilgisayar Uygulaması

4.2.2. İki Yönlü Tesadüfi Etkiler Modeli 4.2.2.1. Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Yöntemi 4.2.2.2. En Çok Olabilirlik Yöntemi 4.2.2.2.1. Bilgisayar Uygulamaları

3 / 14

ÖZET (TÜRKÇE)

Bu derste hem birim hem de zaman etkilerini içeren iki yönlü panel veri modelleri ve tahmin

yöntemleri ele alınmaktadır.

4 / 14

4.2. İKİ YÖNLÜ PANEL VERİ MODELLERİ

Bu derse kadar olan derslerde basitleştirmek amacıyla, modelde sadece birim veya zaman

etkilerinin olduğu tek yönlü panel veri modellerine yer verilmiştir. Zaman etkilerinin de birim

etkiler ile birlikte modele dahil edildiği iki yönlü panel veri modelleri için tahmin yöntemleri,

tek yönlü modeller için önerilen tahmin yöntemleri kullanılarak genişletilebilmektedir. Bu

derste, çok ayrıntısına girmeden iki yönlü panel veri modelleri ve tahmin yöntemleri

anlatılacaktır.

İki yönlü panel veri modelleri sabit etkiler varsayımıyla,

it it i t itY X uα β µ λ= + + + + (4.3)

şeklinde ve tesadüfi etkiler varsayımıyla,

it it itY X vα β= + + ( it i t itv uµ λ= + + ) (4.4)

olarak ifade edilebilmektedir. Görüldüğü gibi modelde birim etkilerin yanında zaman etkileri

de içerilmektedir.

4.2.1. İki Yönlü Sabit Etkiler Modeli

(4.3) modelindeki vei tµ λ tahmin edilmesi gereken sabit parametreler olarak

tanımlanıyorsa, iki yönlü sabit etkiler modeli söz konusu olmaktadır ve tahmin için aşağıdaki

yöntemler kullanılabilmektedir.

4.2.1.1. Gölge Değişkenli En Küçük Kareler Tahmin Yöntemi

Birim sayısından bir eksik ve zaman boyutundan bir eksik olacak şekilde gölge değişkenler

[(N-1)+(T-1) sayıda] türetilip modele bağımsız değişkenler olarak dahil edilmekte ve sonra bu

model Havuzlanmış En Küçük Kareler Yöntemi ile tahmin edilmektedir.

5 / 14


Turizm gelirleri modelini, sabit etkiler varsayımıyla İki Yönlü olarak Gölge Değişkenli En

Küçük Kareler Yöntemiyle tahmin edelim.

I. YOL:

Turizm gelirleri modelini sabit etkiler varsayımıyla İki Yönlü Gölge Değişkenli En Küçük

Kareler Yöntemiyle tahmin edebilmek için, öncelikle 24 (=25-1) birim için ve 12 (=13-1)

dönem için tek tek gölge değişkenler tanımlanmalı ve modele dahil edilmelidir. Tahmin için,

. xi: reg TG GT TH D1 IN YS i.id i.t

İki Yönlü Sabit Etkiler Modeli (Gölge Değişkenli En Küçük Kareler)

6 / 14

Yukarıdaki çıktıda, 1. birime ait ve 1993 yılına ait gölge değişkenler gölge değişken tuzağına

düşülmesini engellemek amacıyla modele alınmamıştır.

II. YOL:

Alternatif olarak sabit etkiler varsayımıyla iki yönlü turizm gelirleri modelini tahmin etmek

için aşağıdaki komut kullanılabilir;

. xi: xtreg TG GT TH D1 IN YS i.t, fe

İki Yönlü Sabit Etkiler Modeli (Gölge Değişkenli En Küçük Kareler)

Aynı sonuçlara aşağıdaki komut kullanılarak da ulaşılabilmektedir:

. xi: xtmixed TG GT TH D1 IN YS i.id i.t

7 / 14

4.2.1.2. Grup İçi Tahmin Yöntemi

N ve/veya T büyükken, sabit etkiler varsayımıyla tahmin yaparken regresyonda çok fazla

gölge değişken içerilmesi gerekmektedir. Bu da daha önce bahsedilen problemlere sebep

olabilmektedir. Bu durumda, modelin tahmininde Gölge Değişkenli En Küçük Kareler

Yöntemi yerine grup içi dönüşümün kullanılması uygun olmaktadır.

Genel panel veri modeli vektör formunda aşağıdaki gibi tanımlandığında,

Y X vβ= + (4.5)

ve,

N T N T N T N T N TQ E E I I I J J I J J= ⊗ = ⊗ − ⊗ − ⊗ + ⊗

burada ve EN N N T T TE I J I J= − = − , ayrıca NI N boyutunun birim matrisi, TI T boyutunun

birim matrisi, TJ T boyutunun birler matrisi ve NJ N boyutunun birler matrisidir. (4.3)

modeli Q ile çarpılarak grup içi dönüşüm yapılmış olmaktadır;

QY QX Qvβ= + (4.6)

burada Y QY= ve X QX= kısaltmaları yapılırsa, Y ’nin X üzerine regresyonu grup içi

tahminciyi,

( ) 1X QX X QYβ −′ ′= (4.7)

vermektedir. Bu dönüşüm, ve i tµ λ etkilerini modelden düşürmektedir. Ayrıca zaman

değişmezi ya da birim değişmezi değişkenleri varsa dönüşümle modelden elimine

edilmektedir.

Daha açık olarak dönüştürülmüş model,

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ). .. . 0 0 0 1

. .

i tit i t it i i

i tt t it

Y Y Y X X X

u u u

β β β β µ µ

λ λ

− − = − − + − − + −

+ − + − − (4.8)

8 / 14

ya da,

0 1it it ity x uβ β= − + +

şeklinde ifade edilebilmektedir. Bu son model, Havuzlanmış En Küçük Kareler Yöntemi

kullanılarak tahmin edilince iki yönlü model için grup içi tahminci elde edilmektedir.

4.2.1.2.1. Sabit Etkiler Modelinin Varsayımları

İki yönlü sabit etkiler modelinin varsayımları aşağıdaki gibidir:

SE 1: ( )| , , 0it i i tE u x µ λ = bağımsız değişkenler katı dışsaldır, ayrıca hata terimi ile birim ve zaman etkileri arasında da korelasyon yoktur.

SE 2: 1

( )T

it itt

rank E x x K=

′ = ∑ bağımsız değişkenler arasında çoklu doğrusal

bağlantı yoktur.

SE 3: ( ) 2| , ,i i i i t u TE u u x Iµ λ σ′ = modelde heteroskedasite ve otokorelasyon

yoktur.


Stata’da grup içi tahmin yöntemini kullanarak iki yönlü sabit etkiler modelini tahmin

edebilmek için öncelikle birim ve zaman ortalamaları değişkenleri türetilmeli daha sonra fark

alınmalıdır.

Çıktı 4.6. İki Yönlü Sabit Etkiler Modeli (Grup İçi Tahmin)

9 / 14

4.2.2. İki Yönlü Tesadüfi Etkiler Modeli

Xit; , ve i t itvµ λ ile korelasyonsuzsa ve ( )20,i IID µµ σ , ( )20,t IID λλ σ ve

( )20,it vv IID σ varsayımları sağlanıyorsa tesadüfi etkiler modelinden söz edilebilmektedir.

İki yönlü tesadüfi etkiler modelinin tahmininde çeşitli yöntemler kullanılmaktadır, bunlardan

bazıları aşağıda açıklanmıştır.

4.2.2.1. Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Yöntemi

(4.4) modelinde tanımlanan tesadüfi etkiler modelinin kalıntısının varyans kovaryans matrisi;

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

2 2 2

u NT

N T N T u N T

E vv Z E Z Z E Z I

I J J I I Iµ µ λ λ

µ λ

µµ λλ σ

σ σ σ

′ ′ ′ ′ ′Ω = = + +

= ⊗ + ⊗ + ⊗ (4.9)

şeklindedir. Burada, N TZ Iµ ι= ⊗ ve N TZ Iλ ι= ⊗ şeklinde tanımlanmaktadır. Zµ , bir ve

sıfırlardan oluşan iµ ’nin tahmini için regresyonda içerilen birim gölge değişkenlerin

matrisidir. Zλ ise, yine bir ve sıfırlardan oluşan ve zaman gölge değişkenlerini içeren bir

matristir. Aşağıdaki eşitlikler,

4 4

1 1 ve r r

i i i ii i

Q Qλ λ= =

Ω = Ω =∑ ∑ (4.10)

yardımıyla β’nın Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Tahmincisi aşağıdaki gibi

yazılabilmektedir;

10 / 14

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

121 2 2 3 3

21 2 2 3 3

12 2 2 22 3 2 3

ˆGEKK u

u

XX XX XX XY XY XY

X Q X X Q X X Q X

X Q Y X Q Y X Q X

W B C W B C

β σ λ λ

σ λ λ

φ φ φ φ

−

−

′ ′ ′ = + + ′ ′ ′ × + +

= + + + +

(4.11)

burada,

2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4, , veu u u uT N T Nµ λ µ λλ σ λ σ σ λ σ σ λ σ σ σ= = + = + = + +

ve,

1 2 3 4, , ve N T N T N T N TQ E E Q E J Q J E Q J J= ⊗ = ⊗ = ⊗ = ⊗

eşitlikleri vardır. Ayrıca,

1 2 3, ,XX XX XXW X Q X B X Q X C X Q X′ ′ ′= = =

ve,

2 2 2 22 2 3 3veu uφ σ λ φ σ λ= =

dir.

4.2.2.2. En Çok Olabilirlik Yöntemi

Kalıntının normal dağılması varsayımıyla log-olabilirlik fonksiyonu,

11 1log sabit log | | ( ) ( )2 2

L Y Z Y Zγ γ−′= − Ω − − Ω −

şeklinde ifade edilebilmektedir. En Çok Olabilirlik Tahmincisi, aşağıdaki normal

denklemlerin eşanlı olarak çözülmesi ile elde edilebilmektedir:

11 / 14

( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 22

1 22

1 22

0

1 1 02 21 1 02 21 1 02 2

u

N T N T

N T N T

log L Z y Z Z

log L tr u u

log L tr I J u I J u

log L tr J I u J I u

µ

λ

γγ

σ

σ

σ

− −

− −

− −

− −

∂ ′ ′= Ω − Ω =∂

∂ ′= − Ω + Ω =∂

∂ ′= − Ω ⊗ + Ω ⊗ =∂

∂ ′= − Ω ⊗ + Ω ⊗ =∂

Bu eşitliklerin eşanlı olarak çözülmesi oldukça zordur, bu nedenle çeşitli araştırmacılar

tarafından önerilen (örneğin Amemiya (1971), Breusch (1987)) alternatif yöntemler vardır.


Tesadüfi etkiler varsayımıyla iki yönlü turizm gelirleri modelini En Çok Olabilirlik Yöntemi

ile tahmin etmek için aşağıdaki komut kullanılabilmektedir;

. xtmixed TG GT TH D1 IN YS || _all: R.id || _all: R.t, mle

İki Yönlü Tesadüfi Etkiler Modeli (En Çok Olabilirlik)

12 / 14

Tesadüfi etkiler varsayımıyla İki Yönlü turizm gelirleri modelini Kısıtlı En Çok Olabilirlik

Yöntemi tahmin etmek için aşağıdaki komut kullanılabilir;

. xtmixed TG GT TH D1 IN YS || _all: R.id || _all: R.t

İki Yönlü Tesadüfi Etkiler Modeli (Kısıtlı En Çok Olabilirlik)

13 / 14

ÇALIŞMA SORULARI

1. İki yönlü panel veri modelleri için iktisadi bir örnek veriniz.

2. Hangi şartlar altında iki yönlü model sabit etkiler varsayımı ile tahmin edilebilir?

3. Hangi şartlar altında iki yönlü model tesadüfi etkiler varsayımı ile tahmin edilebilir?

4. İki yönlü model gölge değişkenli en küçük kareler yöntemi ile sağlıklı olarak tahmin

edilmesi birim boyutunun küçük olması yeterlidir. Doğru Yanlış

5. İki yönlü modelin grup içi tahminci ile tahmininde sabit parametre modelden düşmektedir.

Doğru Yanlış

14 / 14

KAYNAKÇA






11. HAFTA DERS NOTU

2 / 22

İÇİNDEKİLER

PANEL VERİ MODELLERİNİN TAHMİN YÖNTEMLERİ ARASINDA TERCİHLER

5.1. TAHMİNCİLERİN KARŞILAŞTIRILMASI VE ÖNSEL TERCİHLER 5.1.1. Sabit Etkiler İçin Grup İçi Tahminci ve Gölge Değişkenli En Küçük Kareler Tahmincisi 5.1.2. Sabit Etkiler İçin Grup İçi Tahminci ve Birinci Farklar Tahmincisi 5.1.3. Tesadüfi Etkiler İçin Esnek Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Tahmincisi ve Havuzlanmış En Küçük Kareler Tahmincisi 5.1.4. Tesadüfi Etkiler Tahmincisi ve Sabit Etkiler Tahmincisi

5.2. TAHMİNCİLER ARASINDA KARAR VERMEK İÇİN KULLANILAN TESTLER

5.2.1. Klasik Modelin Testi 5.2.1.1. F Testi

5.2.1.1.1. Bilgisayar Uygulaması 5.2.1.2. Olabilirlik Oranı Testi

5.2.1.2.1. Bilgisayar Uygulamaları 5.2.1.3. Breusch-Pagan Lagrange Çarpanı ve Düzeltilmiş Lagrange Çarpanı Testleri

5.2.1.3.1. Bilgisayar Uygulamaları 5.2.2. Sabit Etkiler Tahmincisi İle Tesadüfi Etkiler Tahmincisi Arasında Tercih Yapmak İçin Kullanılan Testler

5.2.2.1. Hausman Testi 5.2.2.1.1. Bilgisayar Uygulaması 5.2.2.1.2. Hausman Testinin Özellikleri

5.3. BÖLÜM UYGULAMALARI

3 / 22

ÖZET (TÜRKÇE)

ÖZET: Bu hafta panel veri modellerinde testler konusuna başlanmaktadır. Bu bağlamda;

Klasik Model, Sabit Etkili Model ve Tesadüfi Etkili Modeller arasında tercih yapmak için

kullanılan testler ve önsel tercihler ele alınmaktadır.

4 / 22

5. PANEL VERİ MODELLERİNİN TAHMİN YÖNTEMLERİ ARASINDA

TERCİHLER

Şimdiye kadar olan derslerde, panel veri analizinde yapılan varsayımlara göre, farklı

özelliklere sahip ve birbirlerine karşı çeşitli avantaj ve dezavantajları olan tahmin yöntemleri

incelendi. Hiç şüphesiz, kullanılacak model için ne tür varsayım yapılacağı ve bu varsayıma

göre hangi tahmin yönteminin seçileceği en önemli problemlerdendir. Bu bölümde, tahmin

yöntemleri arasında önsel tercihler ve testler ele alınmaktadır.

5.1. TAHMİNCİLERİN KARŞILAŞTIRILMASI VE ÖNSEL TERCİHLER

Ekonometride kullanılan tahmin yöntemlerinin ve özelliklerinin iyi bilinmesi, hangi

varsayımların kullanılıp hangi tahmincinin seçileceği konusunda önsel bilgi vermekte ve bu

bilgiler genellikle yanıltıcı olmamaktadır.

5.1.1. Sabit Etkiler İçin Grup İçi Tahminci ve Gölge Değişkenli En Küçük Kareler

Tahmincisi

Panel veri modeli için sabit etkiler varsayımı yapılıyorsa, en çok kullanılan iki yöntem Grup

İçi Tahminci ve Gölge Değişkenli En Küçük Kareler Tahmincileridir. Bu iki tahmin yöntemi

arasında benzerlikler ve farklar aşağıdaki gibidir:

- Gölge Değişkenli En Küçük Kareler Tahmincisi ile Grup İçi Tahminci arasındaki

en önemli benzerlik aynı sonucu vermeleridir. Fakat N ve/veya T büyükse, Gölge Değişkenli

En Küçük Kareler Yöntemi ile tahmin yapılması zordur ve serbestlik derecesi kaybı çok

olmaktadır. Bu durumda, grup içi tahmincinin seçilmesi daha avantajlı olmaktadır.

- Gölge Değişkenli En Küçük Kareler Tahmincisi ile Grup İçi Tahminci arasındaki

en önemli fark ise; grup içi tahmincinin N sonsuza giderken tutarlı olması, fakat Gölge

Değişkenli En Küçük Kareler Yönteminde N sonsuza giderken her bir ilave yatay kesit birim

için yeni bir µi ilave etmek gerekliğinin olması sebebiyle, µi’nin tahmincisinin sonlu T ve N

sonsuza giderken sapmasız, fakat tutarsız olmasıdır. N’in büyüklüğüne göre, bu iki tahmin

yöntemi arasında seçim yapılabilmektedir.

5 / 22

5.1.2. Sabit Etkiler İçin Grup İçi Tahminci ve Birinci Farklar Tahmincisi

Grup içi tahmin yöntemi gibi birim ve zaman etkilerini modelden elimine eden bir başka

yöntem de birinci farklar yöntemidir. Bu iki tahmin yöntemi arasında benzerlikler, farklar ve

önsel tercihler aşağıdaki gibidir:

− T=2 için, birinci farklar tahmincisi ve grup içi tahminci birbirine eşittir. Bu

durumda, birinci farklar yönteminin uygulanması daha basit olduğu için tercih

edilebilmektedir. Tüm hesaplamalar , sadece tek bir yatay kesit birim için direkt olarak

yapılabilmektedir.

− T > 2 için, hangisinin etkin olduğu artık hataların (uit) yapısına bağlıdır:

uit, otokorelasyonlu değilse (SE 3), grup içi tahminci daha etkindir.

uit, rassal yürüyüş süreci izliyorsa, birinci farklar tahmincisi daha etkindir.

Dolayısıyla Birinci Farklar, pozitif serisel otokorelasyon varsa daha güvenilirdir.

− Grup içi tahminci ile birinci farklar tahmincisi arasındaki farklar içsellik problemi

hakkında sinyal verebilmektedir; eğer iki tahminci farklı olasılık limitlerine sahipse, katı

dışsallık yoktur.

5.1.3. Tesadüfi Etkiler İçin Esnek Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Tahmincisi ve

Havuzlanmış En Küçük Kareler Tahmincisi

Panel veri modeli için tesadüfi etkiler varsayımı yapılıyorsa, Havuzlanmış En Küçük Kareler

ve Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Tahmincileri arasında benzerlikler, farklar ve önsel

tercihler aşağıdaki gibidir:

− Hata teriminde birim ve/veya zaman etkileri varsa Havuzlanmış En Küçük Kareler

Tahmincisi, Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Tahmincisinden daha az etkindir. Birimlerin

içindeki otokorelasyon nedeniyle standart hatalar düzeltilmedikçe, Havuzlanmış En Küçük

Kareler Yönteminden elde edilen sonuçlara dayalı yorumlar yanlış olmaktadır.

− Havuzlanmış En Küçük Kareler Yönteminin uygulanması daha basittir ve katı

dışsallığa bağlı olmamanın avantajına sahiptir.

6 / 22

5.1.4. Tesadüfi Etkiler Tahmincisi ve Sabit Etkiler Tahmincisi

Tesadüfi etkiler ve sabit etkiler tahmincileri arasında önsel tercih yapılırken,

− µi’nin tahmin edilen bir parametre mi (sabit), bir dağılımdan elde edilen stokastik

bir değişken mi (tesadüfi) olduğuna bakılmalıdır.

Yatay kesit boyut örneğin ülkeler ya da şehirlerden oluşuyorsa; tesadüfi çekimden

gelmediği için, µi’yi tahmin edilen sabit bir parametre olarak düşünmek doğaldır.

Panelin ana kütleden tesadüfi olarak çekildiği düşünülüyorsa (örneğin yatay kesit

boyut birim ya da firmalardan oluşuyorsa); µi’yi rassal bir hata bileşeni olarak düşünmek

doğaldır.

− Sabit etkiler ya da tesadüfi etkiler modelleri arasında seçim, modelin tahmin

edilmesindeki amaca bağlı olarak da yapılabilmektedir. Modelin tahmininden belli bir birim

için çıkarsama yapılmak isteniliyorsa, sabit etkiler modeli daha uygun olmaktadır. Eğer veri

seti, geniş bir ana kütlenin gözlemlerinden oluşuyorsa ve ana kütlenin tümü için sonuç

çıkarılmak isteniliyorsa; tesadüfi etkiler modelinin kullanılması daha avantajlı olmaktadır.

− Bağımsız değişkenlerin bazıları ile, µi arasında korelasyon olup olmadığına

bakılmalıdır. Eğer korelasyon varsa, sabit etkiler tahmincisi (ve birinci farklar tahmincisi)

tutarlıdır. Korelasyon yoksa hem sabit etkiler hem de tesadüfi etkiler tahmincileri tutarlıdır,

fakat tesadüfi etkiler tahmincisi daha etkindir. Bu bilgi, iki model arasında tercih yapmak için

kullanılan Hausman testine ışık tutmaktadır.

− Zaman değişmezi değişkenleri, sabit etkiler (ya da Birinci Farklar) modeli

kullanılarak tahmin edilememektedir. Bu değişkenler modele dahil edilmek isteniliyorsa,

tesadüfi etkiler modelini tercih etmek gerekmektedir.

5.2. TAHMİNCİLER ARASINDA KARAR VERMEK İÇİN KULLANILAN TESTLER

Genel olarak, bütün gözlemlerin homojen olduğu yani birim ve/veya zaman etkilerinin

olmadığı düşünülüyorsa, Klasik Modelin; birim ve/veya zaman etkilerinin olduğu

düşünülüyorsa sabit ya da tesadüfi etkiler modellerinin kullanılmasının daha mantıklı olduğu

söylenebilmektedir. Birçok araştırmacı sabit etkiler modelini tahmin etmeyi, tesadüfi etkiler

modelini tahmin etmekten daha doğru bulmaktadır. Bu tercih, sabit etkiler modelinin

7 / 22

varsayımı olan “birim etkilerin modeldeki açıklayıcı değişkenlerle korelasyonsuz olması

mümkün değildir” düşüncesinden kaynaklanmaktadır.

Klasik model, birinci farklar modeli, sabit etkiler modeli ve tesadüfi etkiler modelinden

hangisinin kullanılacağı kararı yukarıda bahsedildiği şekilde önsel olarak yapılabildiği gibi,

bu tespit bir takım testler sonucunda da yapılabilmektedir ve test sonuçlarına göre karar

verilmesi daha güvenilir olmaktadır. Bu testlerin içinde önemli görülenler burada

incelenecektir. Ayrıca bu bölümde, tek yönlü modelin mi iki yönlü modelin mi kullanılması

gerektiği sorusuna da cevap bulunacaktır.

5.2.1. Klasik Modelin Testi

Panel veri modellerinde, Klasik Modelin bir başka ifade ile birim ve/veya zaman etkilerinin

olmadığı aşağıdaki testlerle saptanabilmektedir.

5.2.1.1. F Testi

Bu test, Klasik Modelin geçerliliğini test etmek için kullanılmaktadır. Bu testte genel

anlamda, verinin birimlere göre farklılık gösterip göstermediği test edilmektedir, veri

birimlere göre farklılık göstermiyorsa Klasik Model uygundur. Bu amaçla, iki tür model

kullanılmaktadır: kısıtlı model ve kısıtsız model. Kısıtsız modelde, değişkenlere ait verinin

birimlere göre değer aldığı; kısıtlı modelde ise, birim faklılıklarının önemli olmadığı

varsayımı yapılmaktadır.

Kısıtsız model;

Yi = Xiβi + ui i=1,……,N (5.1)

şeklinde ve kısıtlı model;

Y = Xβ + u (5.2)

olarak gösterilmektedir. Sınanacak hipotez ise;

H0: βi= β

8 / 22

şeklinde gösterilebilmektedir. H0 hipotezi reddedilemezse; βi=β’dır, bu durumda verinin

havuzlanmışlığı kabul edilmektedir. Model Klasik Model ile ifade edilebilmektedir ve

Havuzlanmış En Küçük Kareler Yöntemi ile çözüm yapılmaktadır.

- 2(0, )NTu N Iσ varsayımı altında, Y=Xβ+u’deki β için uygun tahmin yöntemi

Havuzlanmış En Küçük Karelerdir. β aşağıdaki gibi tahmin edilebilmektedir;

1ˆ ( )EKK X X X Yβ −′ ′= (5.3)

ve model genel olarak aşağıdaki gibidir:

ˆEKKY X eβ= + (5.4)

Bu modele kısıtsız model denilirse,kısıtsız modelin kalıntıları,

( ) ( ) ( )1( ) 0NTe I X X X X Y MY M X u Mu MXβ−′ ′= − = = + = =

şeklinde elde edilmektedir.

- Yi=Xiβi+ui’deki β tahmincisi her birim için modelin ayrı ayrı En Küçük Kareler

Yöntemi kullanılarak tahmin edilmesi ile elde edilmektedir. β aşağıdaki eşitlik

yazılabilmektedir;

1,

ˆ ( )i EKK i i i iX X X Yβ −′ ′= (5.5)

Bu modele kısıtlı model denilirse,

,ˆ

i i i EKK iY X eβ= + (5.6)

kısıtlı modelin kalıntıları,

( ) ( ) ( )1( ) 0i T i i i i i i i i i i i i i i ie I X X X X Y M Y M X u M u M Xβ−′ ′= − = = + = =

şeklinde elde edilmektedir.

9 / 22

1

2* * * * 1 *

0 . . 00 . . 0

( ) . . .. . .0 0 . .

NT

N

MM

M I X X X X

M

−

′ ′ = − =

* * * * * * * * 1 *ˆ ( )Y X e e M Y M u X X X Yβ −′ ′= + = = =

olmak üzere MM*=M eşitliği vardır, çünkü;

1 * * * 1 * 1 * * * * * 1 * * *

1

( ) ( ) ( ) ( )( )

X X X X X X X X X X X I X X X X X X X IX X X X

− − − −

−

′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′= =

′ ′=

dir. Bu bilgiler kullanılarak,

( )* * * * * *vee e e e u M M u e e u M u′ ′′ ′ ′− = − =

eşitlikleri elde edilmektedir. Burada e e′ : “Kısıtlı Kalıntı Kareler Toplamı (RRSS)” ve * *e e′ :

“Kısıtsız Kalıntı Kareler Toplamı (URSS)”dir. Bu quadratik formlar serbestlik derecelerine

bölünüp ve birbirine oranlanırsa aşağıdaki test istatistiği elde edilmektedir:

( ) ( ) ( )( )( )

* * *

* * *

e e e e sd M sd MF

e e sd M

′′ − −=

′

ya da,

( ) ( )( ) ( )

1 1 2 2

1 1 2 2

... 1... 1

N N

N N

e e e e e e e e NF

e e e e e e N T K′ ′ ′ ′− − − − −

=′ ′ ′+ + + − −

ya da,

( ) ( )( )

11

RRSS URSS NF

URSS N T K− −

=− −

(5.7)

10 / 22

H0 hipotezini test etmek için, [(N-1),N(T-1)-K] serbestlik dereceli F dağılımından

yararlanılmaktadır ( ); 1, 1N N T KF F α − − − . Açıkça görülebileceği gibi bu test, Chow testinden

(1960) uyarlanmıştır. H0 hipotezi reddedilirse, parametrelerin birimlere göre değiştiği bir

başka ifade ile Klasik Modelin uygun olmadığı anlaşılacaktır.

ANOVA F test ismiyle anılan bu test, Moulton ve Randolph (1989) tarafından önerilmiştir.

Temel hipotez birim etkiler modelde gölge değişkenler tarafından ifade edildiğinden,

H0: µ1 = µ2 = ……= µN-1 = 0

şeklini almaktadır. Sabit parametrenin birimlere göre değişmediği durumda Kısıtlı Model

Havuzlanmış En Küçük Kareler Yöntemi ile tahmin edilmekte ve sabit parametrenin birimlere

göre değer aldığı durumda Kısıtsız Model sabit etkiler varsayımıyla tahmin edilmektedir

(Gölge Değişkenli En Küçük Kareler Tahmincisi ya da N büyükse grup içi tahminci). Daha

sonra test istatistiği (5.7) eşitliğinde tanımlandığı gibi hesaplanmakta ve test edilmektedir.

Burada dikkat edilecek bir nokta, serbestlik derecesi hesabına sabit parametre ve gölge

değişkenlerin katılmayacağıdır.


F testinde daha önce de bahsedildiği gibi tüm birim etkilerin sıfıra eşit olduğu hipotezi (H0:

µi=0) sınanmaktadır. Bu testin yapılabilmesi için Stata’da ayrı bir komut kullanmaya gerek

yoktur, sabit etkiler modelini tahmin etmek yeterlidir. Komut,

. xtreg TG GT TH D1 IN YS, fe

11 / 22

Birim Etkinin Varlığını Sınamak İçin F Testi

5.2.1.2. Olabilirlik Oranı Testi

Bu test, klasik modeli tesadüfi etkiler modeline karşı test etmek için kullanılmaktadır. H0

hipotezi, Klasik Model doğrudur şeklinde kurulmaktadır. Olabilirlik oranı (LR) test istatistiği

hesaplanırken, tesadüfi etkiler modeli ve Klasik Model En Çok Olabilirlik Yöntemi ile tahmin

edilmekte ve her ikisinden elde edilen log-olabilirlik değerleri kullanılmaktadır. Test istatistiği

aşağıdaki gibidir:

[ ])l(kısıtsız-l(kısıtlı)2=LR (5.8)

Bu eşitlikteki l(kısıtlı) Kısıtlı Modele yani Klasik Modele ait olabilirlik fonksiyonunu,

l(kısıtsız) ise Kısıtsız Modele yani tesadüfi etkiler modeline ait olabilirlik fonksiyonunu ifade

etmektedir. LR test istatistiği, q (kısıtlama sayısı) serbestlik dereceli 2χ dağılımına

uymaktadır. H0 hipotezi reddedilirse, birim, zaman ya da hem birim hem de zaman etkilerinin

olduğuna bir başka ifade ile Klasik Modelin uygun olmadığına karar verilmektedir.

12 / 22


Olabilirlik Oranı (LR) testinde, birim etkilerin standart hatalarının sıfıra eşit olduğu, bir başka

ifade ile Klasik Modelin uygun olduğu temel hipotez, (H0: 0µσ = ) sınanmaktadır.

I.YOL:

Bu testin yapılabilmesi için ayrı bir komut kullanmaya gerek yoktur, tesadüfi etkiler

varsayımıyla En Çok Olabilirlik Modelini tahmin etmek yeterlidir. Komut aşağıdaki gibidir:

. xtreg TG GT TH D1 IN YS, mle

Birim Etkinin Varlığını Sınamak İçin Olabilirlik Oranı Testi

II.YOL:

Tesadüfi birim etkiler varsayımıyla En Çok Olabilirlik Modelini tahmin etmek için aşağıdaki

komut da kullanılabilmektedir:

. xtmixed TG GT TH D1 IN YS || _all: R.id, mle nolog

13 / 22

Çıktı 5.2 (2). Birim Etkinin Varlığını Sınamak İçin Olabilirlik Oranı Testi

Olabilirlik Oranı (LR) testinde, zaman etkilerinin standart hatalarının sıfıra eşit olduğu, bir

başka ifade ile Klasik Modelin uygun olduğu temel hipotezi (H0: 0λσ = ) sınanmaktadır.

Tesadüfi zaman etkileri varsayımıyla En Çok Olabilirlik Modelini tahmin etmek için

aşağıdaki komut kullanılabilmektedir:

. xtmixed TG GT TH D1 IN YS || _all: R.t, mle nolog

14 / 22

Zaman Etkisinin Varlığını Sınamak İçin Olabilirlik Oranı Testi

Olabilirlik Oranı (LR) testinde, birim ve zaman etkilerinin standart hatalarının sıfıra eşit

olduğu, bir başka ifade ile İki Yönlü Modelin uygun olmadığı temel hipotezi (H0:

0µ λσ σ= = ) sınanmaktadır. Bu test birleşik bir testtir, H0 hipotezinin reddi için birim ya da

zaman etkilerinin birisinin sıfırdan farklı olması yeterlidir. Bu nedenle bu test sonucunda H0

hipotezi reddedilirse, tek tek birim ve zaman etkilerinin varlığı da sınanmalıdır.

Tesadüfi birim ve zaman etkileri varsayımıyla En Çok Olabilirlik Modelini tahmin etmek için

aşağıdaki komut kullanılabilmektedir:

. xtmixed TG GT TH D1 IN YS || _all: R.id || _all: R.t, mle nolog

15 / 22

Birim ve Zaman Etkilerinin Varlığını (İki Yönlü Modelin Geçerliliğinin) Sınamak İçin Olabilirlik Oranı Testi

5.2.1.3. Breusch-Pagan Lagrange Çarpanı Testi

Breusch-Pagan (1980), bireysel heterojenliğin varlığını bir başka ifade ile Havuzlanmış En

Küçük Kareler Modelinin uygun olup olmadığını tesadüfi etkiler modeline karşı sınamak için,

Havuzlanmış En Küçük Kareler Modelinin kalıntılarına dayanan, Lagrange Çarpanı (LM)

testini geliştirmişlerdir. Bu testte, tesadüfi birim etkilerin varyansının sıfır olduğu hipotezi

(H0: 02 =µσ ) sınanmaktadır. Breusch-Pagan LM test istatistiği aşağıdaki gibidir;

22

1 1

2

1 1

12( 1)

n T

iti t

n T

iti t

uNTLMT u

= =

= =

= − −

∑ ∑

∑∑ (5.9)

burada u, Havuzlanmış En Küçük Kareler Modelinin Tahmininden elde edilen kalıntılardır.

Bu test istatistiği, 1 serbestlik dereceli 2χ dağılımına uymaktadır. LM test istatistiğinin, 2χ

tablosu ile karşılaştırılması sonucu; H0 hipotezi reddedilemezse, birim etkilerin varlığı kabul

16 / 22

edilmemekte ve Klasik Modelin uygun olduğu söylenebilmektedir. Tersi durumda yani H0

hipotezi reddedilirse, Klasik Modelin uygun olmadığı sonucuna varılmaktadır.

Baltagi ve Li (1990), Breusch-Pagan testini dengesiz panel için genişletmiştir. Ayrıca, bu

testin birim ve zaman etkilerinin sıfır olduğu hipotezini (H0: 2 2 0µ λσ σ= = ) araştıran versiyonu

da vardır.


LM testi daha önce de bahsedildiği gibi, birim etkilerin varyanslarının sıfıra eşit olduğu

hipotezini (H0: 2 0µσ = ) sınamaktadır. Bu testin yapılabilmesi için ayrı bir komut kullanmaya

gerek yoktur, öncelikle tesadüfi etkiler modeli tahmin edilmektedir:

. xtreg TG GT TH D1 IN YS, re

daha sonra,

. xttest0

komutu kullanılarak teste ait sonuçlar alınabilmektedir.

Tesadüfi Etkiler Modelinde Birim Etkinin Varlığını Sınamak İçin Breusch-Pagan Lagrange Çarpanı Testi

17 / 22

5.2.3. Sabit Etkiler Tahmincisi İle Tesadüfi Etkiler Tahmincisi Arasında Tercih

Yapmak İçin Kullanılan Testler

Yapılan testler sonucunda birim ve/veya zaman etkilerinin olduğu anlaşılmışsa, bu etkilerin

sabit mi tesadüfi mi olduğuna karar verilmesi gerekmektedir. Aşağıda, bu amaçla kullanılan

testler ele alınmaktadır.

5.2.3.1. Hausman Testi

Tanımlama hatasını sınamak için geliştirilen Hausman (1978) spesifikasyon testi, çeşitli

alanlarda kullanılabilmektedir. Panel veri modellerinde de, tahminciler arasında seçim

yapmak için kullanılmaktadır.

Sabit ve tesadüfi etkiler modelleri arasındaki en önemli farklardan birisi, daha önce de

belirtildiği gibi, birim etkilerin bağımsız değişkenlerle korelasyonlu olup olmadığıdır. Eğer

aralarında korelasyon yoksa, tesadüfi etkiler modeli geçerlidir (etkindir). Bu bilgi kullanılarak

sabit etkiler modeli için grup içi tahminci ve tesadüfi etkiler modeli için Esnek

Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Tahmincisi arasında seçim yapılabilmektedir.

- Temel hipotez; “açıklayıcı değişkenler ve birim etki arasında korelasyon yoktur”

şeklindedir. Bu durumda, her iki tahminci de tutarlı olduğundan, sabit ve tesadüfi etkiler

tahmincileri arasındaki farkın çok küçük olacağı beklenmektedir. Tesadüfi etkiler tahmincisi

daha etkin olduğundan, kullanımı uygun olacaktır.

- Temel hipotezin alternatif hipotezine göre; “açıklayıcı değişkenler ile birim etki

korelasyonludur”. Bu durumda, tesadüfi etkiler tahmincisi sapmalıdır ve farkın büyük olacağı

beklenmektedir. Sabit etkiler modeli tutarlı olduğundan, tercih edilmelidir.

Hausman testi, tesadüfi etkiler tahmincisinin geçerli olduğu biçimindeki temel hipotezi, k

serbestlik dereceli 2χ dağılımına uyan istatistik yardımıyla test etmektedir. Hausman test

istatistiği hesaplanırken, Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Tahmincisi ve Grup İçi

Tahmincinin varyans kovaryans matrislerinin arasındaki farktan yararlanılarak, H istatistiği

hesaplanmaktadır. Hausman testi bu farkın (H), sıfıra eşitliğini test etmektedir. Parametreler

arasındaki fark sistematik değilse, tesadüfi etkiler modeli uygundur. Parametreler arasındaki

fark sistematik ise, bir başka ifade ile Grup İçi Tahmincinin ve Esnek Genelleştirilmiş En

18 / 22

Küçük Kareler Tahmincisinin varyans kovaryans matrisleri arasındaki fark büyükse, sabit

etkiler modeli geçerlidir. Test istatistiği aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır;

( ) ( ) ( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Âvar AvarSE TE SE TE SE TEH β β β β β β−′ = − − − (5.13)

bu eşitlikte TE alt indisi, tesadüfi etkiler modelinin tahmincilerini; SE alt indisi ise, sabit

etkiler modelinin tahmincilerini göstermekte ve ayrıca ( ) ( )ˆ Âvar ve AvarSE TEβ β ise

sırasıyla, sabit ve tesadüfi etkiler modellerinin tahmininden elde edilen asimptotik varyans

kovaryans matrislerini ifade etmektedir. Asimptotik varyans kovaryans matrisleri ve

aralarındaki fark aşağıdaki gibidir;

( ) ( )

( ) ( )

12

12

Âvar

Âvar

FE u i i

TE u i i

E x x N

E x x N

β σ

β σ

−

−

′=

′=

- ve x -it i i it ix X X X Xθ= =

( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ]( )

1

1

i i i i i T T i i T T i

i T i

i i

E x x E x x E X I P X E X I P X

E X P X

E X X

θ

θ

θ

′ ′ ′ ′− = − − − ′= −

′= −

H istatistiği, ˆ ˆ ve SE TEβ β ’deki parametre sayısına eşit serbestlik derecesi ile asimptotik χ2

dağılmaktadır.


Tesadüfi etkiler modelini sabit etkiler modeline karşı sınamak için kullanılan ve “parametreler

arasındaki fark sistematik değildir”, bir başka ifade ile “tesadüfi etkiler modeli uygundur”

şeklindeki H0 hipotezini test eden, Hausman testinin yapılabilmesi için Stata’da öncelikle

sabit ve tesadüfi etkiler modelleri ayrı ayrı tahmin edilmeli ve sonuçlar hafızaya

kaydedilmelidir.

Stata’da Hausman testinin aşamaları aşağıdaki gibidir:

1. H0 hipotezi ve alternatif hipotez altında tutarlı olan tahminci (burada sabit etkiler

tahmincisi) elde edilir.

19 / 22

2. Birinci aşamada elde edilen tahmin sonuçları, “estimates store” komutu

kullanılarak kaydedilir.

3. H0 hipotezi altında etkin ve tutarlı, fakat alternatif hipotez altında tutarsız olan

tahminci (burada tesadüfi etkiler tahmincisi) elde edilir.

4. Üçüncü aşamada elde edilen tahmin sonuçları, “estimates store” komutu

kullanılarak kaydedilir.

5. Hausman testi yapılır.

. xtreg TG GT TH IN YS, fe (1)

. estimates store fe (2)

. xtreg TG GT TH IN YS, re (3)

. estimates store re (4)

. hausman fe re (5)

Hausman Testi

5.2.3.1.2. Hausman Testinin Özellikleri

Hausman testinin özellikleri aşağıdaki gibidir:

− Hausman testi yapılırken iki varsayım veri kabul edilmektedir; birincisi TE 1a,

ikincisi TE 3 varsayımlarıdır. Hausman testinin, TE 1 varsayımının geçerli, fakat TE 3

varsayımının geçersiz olduğu durumda gücü yoktur. TE 3 varsayımın yokluğu, Hausman

20 / 22

testinin standart olmayan limit dağılımına sahip olmasına ve test sonucunun güvenilir

olmamasına neden olmaktadır.

− Sabit etkiler modellerinde zaman değişmezi değişkenlerinin yer alamaması

sebebiyle, test sadece hem birimlere hem de zamana (iki boyuta) göre değer alan

değişkenlerin parametreleri üzerine kurulu olmaktadır.

− İki boyuta göre değerlenen tüm değişkenlerin testte yer alması gerekli değildir.

Test istatistiği, farkın anlamlı olup olmadığına karar vermeyi mümkün hale getirecek şekilde

dizayn edilmelidir.

− Bazen Tesadüfi Etkiler ile sabit etkiler tahmincileri arasındaki fark küçük olmasına

rağmen, temel hipotez reddedilmekte ya da tersine Tesadüfi Etkiler ile sabit etkiler

tahmincileri arasındaki fark büyük olmasına rağmen, büyük standart hatalar yüzünden

Hausman test istatistiği H0 hipotezini reddedememektedir. Bu durum, 2. tip hata yapmaya

sebep olabilmekte ve yanlış olmasına rağmen tesadüfi etkiler modeli

reddedilemeyebilmektedir.

− Hausman testi sadece zaman etkilerinin olduğu ya da hem birim hem de zaman

etkilerinin bir arada olduğu İki Yönlü Model için de kullanılabilmektedir.

− Hausman testi, diğer tahminciler arasında da seçim yapmak için

kullanılabilmektedir. Örneğin,

( ) ( ) ( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Âvar AvarGEKK GAT GEKK GAT GEKK GATH β β β β β β−′ = − − − (5.14)

( ) ( ) ( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Âvar AvarGEKK EKK GEKK EKK GEKK EKKH β β β β β β−′ = − − − (5.15)

( ) ( ) ( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Âvar AvarSE GAT SE GAT SE GATH β β β β β β−′ = − − − (5.16)

21 / 22

ÇALIŞMA SORULARI

1. F testi kullanarak birim etkinin varlığını test ederken temel hipotezin red edilememesi

sabitetkiler modelinin geçerli olduğu anlamına gelmektedir. Doğru Yanlış

2. Uygun modele karar verme aşamalarını anlatınız.

3. Hausman testi hangi durumlarda yanlış sonuç verebilmektedir?

4. Hausman testinde zaman değişmezi değişkenlere ne olmaktadır?

5. LM ve LR testlerini karşılaştırınız.

22 / 22

KAYNAKÇA






12. HAFTA DERS NOTU

2 / 20

İÇİNDEKİLER

6. PANEL VERİ MODELLERİNDE TEMEL VARSAYIMLARIN TESTLERİ

6.1. KLASİK MODELDE HETEROSKEDASİTE, OTOKORELASYON VE BİRİMLER ARASI KORELASYON

6.1.1. Klasik Modelde Heteroskedasitenin Testi 6.1.1.1. Breusch-Pagan / Cook-Weiesberg Testi

6.1.1.1.1. Bilgisayar Uygulaması 6.1.1.2. White Testi

6.1.1.2.1. Bilgisayar Uygulaması 6.1.2. Klasik Modelde Otokorelasyonun Testi

6.1.2.1. Durbin-Watson Testi 6.1.2.1.1. Bilgisayar Uygulaması

6.1.2.2. Durbin’in Alternatif Testi 6.1.2.2.1. Bilgisayar Uygulaması

6.1.2.3. Breusch-Godfrey Testi 6.1.2.3.1. Bilgisayar Uygulaması

6.1.2.4. Wooldridge’in Testi 6.1.2.4.1. Bilgisayar Uygulaması

7. HETEROSKEDASİTE, OTOKORELASYON VE BİRİMLER ARASI KORELASYONUN VARLIĞINDA KLASİK MODELDE DİRENÇLİ TAHMİNCİLER VE YÖNTEMLER 7.1. HUBER, EİCKER VE WHİTE TAHMİNCİSİ 7.1.1. Bilgisayar Uygulaması

7.2. ARELLANO, FROOT VE ROGERS TAHMİNCİSİ 7.2.1. Bilgisayar Uygulaması

7.3. DRİSCOLL VE KRAAY TAHMİNCİSİ 7.3.1. Bilgisayar Uygulaması

3 / 20

ÖZET (TÜRKÇE)

Bu derste öncelikle klasik model, sabit ve tesadüfi etkiler modellerinde temel varsayımlardan

olan otokorelasyon, heteroskedasite ve birimler arası korelasyonun varlıkları test edilecektir.

Daha sonra ise, varsayımdan sapmaların varlığında klasik model için düzeltme yollları ele

alınacaktır.

4 / 20

6. PANEL VERİ MODELLERİNDE TEMEL VARSAYIMLARIN

TESTLERİ

Panel veri modellerinde hata teriminin birim içerisinde ve birimlere göre eşit varyanslı

(homoskedastik) olduğu varsayılmaktadır. Ayrıca hata teriminin dönemsel ve uzamsal

korelasyonsuz olduğu, bir başka ifade ile sırasıyla otokorelasyonsuz ve birimler arası

korelasyonsuz olduğu varsayımları da yapılmaktadır. Bu varsayımlar gerçekleştiğinde

kalıntının varyans kovaryans matrisi birim matris olmaktadır ve aşağıdaki gibi ifade

edilebilmektedir:

( ) 2 2

1 0 0 0 0 0 ... 0 0 00 1 0 0 0 0 ... 0 0 00 0 1 0 0 0 ... 0 0 00 0 0 1 0 0 ... 0 0 00 0 0 0 1 0 ... 0 0 0

( ) I0 0 0 0 0 1 ... 0 0 0

0 0 0 0 0 0 ... 1 0 00 0 0 0 0 0 ... 0 1 00 0 0 0 0 0 ... 0 0 1

it it u T uVar u E u u σ σ

′= = =

(6.1)

Burada basitleştirmek amacıyla, her bir birimde üçer gözlem olduğu varsayılmıştır ve birimler

ince çizgilerle ayrılmıştır. I ile ifade edilen matris 1. birimin varyans kovaryans matrisidir. Bu

matrisin köşegenleri varyansı, köşegen dışı elemanları ise kovaryansı vermektedir. Bilindiği

gibi köşegenler sabitse homoskedasiteden ve köşegen dışı elemanlar sıfırsa

otokorelasyonsuzluktan bahsedilmektedir. Bir başka ifade ile, birim içerisinde de

otokorelasyon olduğu durumda birimlerin köşegen dışı elemanları (kovaryansları) sıfırdan

farklı ve birim içerinde köşegen elemanlar (birim içi varyanslar) birbirinden farklı olacaktır.

Görüldüğü gibi, 1. birim için varyans birim içerisinde sabit ve otokorelasyon yoktur. (6.1)

numaralı genel matrisin köşegen matrisleri diğer birimlerin varyans kovaryans matrislerini

vermektedir ve diğer birimlerde de durum aynıdır; heteroskedasite ve otokorelasyon yoktur,

köşegen matrisler birbirine eşittir. Köşegen dışındaki matrisler birimlerin hata terimlerinin

birbirleri ile ilişkilerini göstermektedir. Örneğin I, II ile ifade edilen 1. birimin hata teriminin

2. birimin hata terimi ile ilişkisi incelendiğinde tüm korelasyonların sıfır olduğu

I I, II

5 / 20

görülmektedir; birimler arası korelasyon yoktur. Diğer birimler için de durum aynıdır.

Dolayısıyla birim içerisindeki durum, birim içi homoskedastik ve otokorelasyonsuz hata

yapısını; birimler arasındaki durumlar da birimler arasında korelasyonsuzluğu ve birimlere

göre homoskedastik hata yapısını göstermektedir. Fakat tahmin edilebileceği gibi, bu

varsayımlar panel veri ile kurulacak modeller için kısıtlayıcı varsayımlardır.

Panel verilerle çalışıldığında, birim içi heteroskedasite çok önemli bir problem olmamakla

birlikte, otokorelasyon çoğunlukla her bir dönemdeki hataların, zaman değişmezi dışlanmış

faktörler (birim etki gibi) içermesi nedeniyle meydana gelmektedir. Panel veri modellerinde,

birim içi heteroskedasite ve otokorelasyon dışında, birimlere göre heteroskedasite ve

eşzamanlı otokorelasyonla da karşılaşılabilmektedir. Çünkü panel veri modellerinde, birimler

yer aldığı için birimler arası farklılıklar söz konusu olmakta, bu durumda regresyon

parametreleri birimlere göre değerlenmekte ve böylece her bir birim için farklı varyans

(heteroskedasite) söz konusu olmaktadır. Birimler arasında eşzamanlı korelasyonlar olması da

olasıdır. Birimlere göre heteroskedasite ve birimler arasında eşzamanlı otokorelasyon olduğu,

birim içinde homoskedastik ve otokorelasyonsuz olduğu ve her bir birimde üç gözlem olduğu

varsayımıyla kalıntı varyansı aşağıdaki gibidir:

21 12 1

21 12 1

21 12 1

212 2 2

212 2 2

212 2 2

21 2

21 2

21 2

0 0 0 0 ... 0 00 0 0 0 ... 0 00 0 0 0 ... 0 0

0 0 0 0 ... 0 00 0 0 0 ... 0 0

( )0 0 0 0 ... 0 0

0 0 0 0 ... 0 00 0 0 0 ... 0 00 0 0 0 ... 0 0

N

N

N

N

N

N

N N N

N N N

N N N

Var u

σ σ σσ σ σ

σ σ σσ σ σ

σ σ σσ σ σ

σ σ σσ σ σ

σ σ σ

= Ω =

(6.2)

(6.2) numaralı matriste görüldüğü gibi her bir birim için varyans değişkendir, birimlere göre

heteroskedasite vardır. Örneğin birinci birimin hata terimi varyansı 21σ iken, 2. birimin

varyansı 22σ ’dir. Ayrıca, birim içinde otokorelasyon olmamasına rağmen birimler arasında

eşzamanlı korelasyon vardır.

6 / 20

Bu problemleri göz ardı ederek tahminler yapmak, tahmininde kalıntı varyansı kullanılan

tahmincilerin standart hatalarının sapmalı olmasına sebep olacağı için etkinliğini

engellemektedir. Böylece, t istatistikleri ve güven aralıkları da gerçekliliğini kaybetmektedir.

Bu nedenle öncelikle bu varsayımdan sapmaların varlıkları test edilmeli ve daha sonra ise

varlıkları halinde uygun yöntemlerle tahminler yapılmalıdır.

Panel veri modellerinde, zaman serilerinde olduğu gibi birim içerisinde otokorelasyon sıklıkla

görülebileceği gibi heteroskedasiteye pek rastlanılmamaktadır; heteroskedasite daha çok yatay

kesit verilerle çalışılırken karşılaşılabilen bir durumdur. Bu nedenden dolayı panel verilerde

heteroskedasite denilince, genelde birimlere göre heteroskedasite anlaşılmaktadır, birim içi

göz ardı edilmektedir, türetilen testler de bu şekildedir. Bu sebeple bu bölümde klasik model,

sabit etkiler modeli ve tesadüfi etkiler modelleri, birim içi otokorelasyon, birimlere göre

heteroskedasite ve birimler arası korelasyon varsayımdan sapmalarının testlerine ve

düzeltmelerine yer verilecektir.

6.1. KLASİK MODELDE HETEROSKEDASİTE, OTOKORELASYON VE

BİRİMLER ARASI KORELASYON

Panel veri modellerinde birim boyutunun varlığı nedeniyle heteroskedasite sıklıkla

görülebilmektedir, bu durumda HEKK 3b varsayımı geçerli değildir. Ayrıca hata teriminde

birim etkiler varsa ve model Havuzlanmış En Küçük Kareler Yöntemi ile tahmin ediliyorsa

HEKK 3b varsayımı yine geçerli değildir, çünkü birim etki (µi) her birim için hata teriminde

otokorelasyona neden olmaktadır.

Bu derste Klasik Modelde heteroskedasite, otokorelasyon ve birimler arası korelasyon testleri

ele alınmaktadır.

6.1.1. Klasik Modelde Heteroskedasitenin Testi

6.1.1.1. Breusch-Pagan / Cook-Weiesberg Testi

Klasik modelde heteroskedasitenin Breusch-Pagan (1979) / Cook-Weisberg (1983) testi ile

sınanabilmesi için, öncelikle modelin Havuzlanmış En Küçük Kareler Yöntemi ile

7 / 20

tahmininden kalıntılar elde edilmektedir. Daha sonra aşağıdaki regresyon denklemi tahmin

edilmektedir;

20ˆit it itu hδ δ ε= + + (6.3)

burada hit, Xit’nin tümünü, bir alt kümesini ya da bağımlı değişkenin tahmini değerini

içerebilmektedir. Temel hipotez:

H0: heteroskedasite yoktur 0( : 0)H δ =

şeklinde kurulmaktadır. Bu hipotez, 2itu ’nin Xit’nin fonksiyonları ile korelasyonsuz olduğunu

söylemektedir. hit’nin birleşik anlamlılığı F testi ile sınanmaktadır. Alternatif olarak, tahmin

edilen (6.3) regresyonunun hesaplanan belirginlik katsayısından (R2) hareketle, NR2 istatistiği

elde edilmektedir. 2χ dağılan bu istatistik kullanılarak da, H0 hipotezi test edilebilmektedir.


Stata’da Breusch-Pagan/Cook-Weisberg testinin yapılabilmesi için, öncelikle regresyon

tahmin edilmelidir. Havuzlanmış En Küçük Kareler regresyonu,


komutu kullanılarak elde edildikten sonra,

. estat hettest

komutuyla χ2 test istatistiği,

. estat hettest, fstat

komutu ile normal dağılım varsayımının yapılmadığı durumda F test istatistiği ve,

. estat hettest, rhs

komutu ile yardımcı regresyonun bağımsız değişkenleri ana modelin bağımlı değişkenin

tahmini değerleri yerine bağımsız değişkenleri kullanılarak elde edilen χ2 test istatistiğini

vermektedir.

8 / 20

Klasik Modelde Heteroskedasitenin Breusch-Pagan / Cook-Weisberg Testi İle Sınanması

6.1.1.2. White Testi

White (1980), kalıntı karelerinin bağımlı, bağımsız değişkenlerin, karelerinin ve çapraz

çarpımlarının bağımsız değişkenler olarak alarak heteroskedasiteyi test etmektedir. Test

istatistiği, H0 hipotezi homoskedasite olan ve χ2 dağılan bir istatistiktir. Heteroskedasite için

Breusch-Pagan testinin özel bir durumudur, tek farklı bağımsız değişkenler listesi

değişmektedir.


Stata’da White testinin yapılabilmesi için, öncelikle regresyon tahmin edilmelidir.

Havuzlanmış En Küçük Kareler regresyonu,


komutu kullanılarak elde edildikten sonra,

. whitetst

9 / 20

ya da daha detaylı çıktıya ulaşılmak isteniliyorsa,

. estat imtest, white

komutlarıyla heteroskedasite için White testi sonuçları alınabilmektedir.

Klasik Modelde Heteroskedasitenin White Testi İle Sınanması

6.1.2. Klasik Modelde Otokorelasyonun Testi

Panel veri modellerindeki otokorelasyonun daha çok birim etki nedeniyle meydana

geldiğinden bahsedilmişti, eğer modelde birim etki yoksa birleşik hatadaki otokorelasyon

azalacak, fakat artık hatadaki otokorelasyon etkilenmeyecektir. Bu nedenle, artık hata

öğesindeki otokorelasyonun da test edilmesi önemlidir.

6.1.2.1. Durbin-Watson Testi

Durbin-Watson testi bilindiği gibi, zaman serisi verileri ile çalışıldığında otokorelasyonun

varlığını sınamak için kullanılan en temel testlerden birisidir. Klasik modelde veri setinin

panel yapısı göz ardı edilerek tahmin yapıldığından, bu test kullanılabilmektedir. Testin

detaylarına girilmeyecektir, detaylara tüm temel ekonometri kitaplarından ulaşılabilmektedir.


Stata’da Durbin-Watson test istatistiğinin hesaplanabilmesi için, öncelikle Havuzlanmış En

Küçük Kareler Yöntemi ile regresyon,

10 / 20


tahmin edilmelidir. Daha sonra,

. estat dwatson

komutuyla Durbin-Watson test sonuçları elde edilebilmektedir.

Klasik Modelde Otokorelasyonun Durbin-Watson Testi İle Sınanması

6.1.2.2. Durbin’in Alternatif Testi

Durbin-Watson testi bağımsız değişkenlerin katı dışsal olduğu varsayımı altında kullanılan bir

testtir. Bu varsayım olmadığında kullanılabilecek bir test Durbin’in Alternatif testidir. Testin

detaylarına girilmeyecektir, detaylara tüm temel ekonometri kitaplarından ulaşılabilmektedir.


Stata’da Durbin’in Alternatif test istatistiğinin hesaplanabilmesi için, öncelikle Havuzlanmış

En Küçük Kareler Yöntemi ile regresyon,



. estat durbinalt

komutuyla Durbin’in Alternatif testi sonuçları elde edilebilmektedir.

Klasik Modelde Otokorelasyonun Durbinin Alternatif Testi İle Sınanması

11 / 20

6.1.2.4. Breusch-Godfrey Testi

Breusch-Godfrey testi bağımsız değişkenlerin katı dışsal olduğu varsayımının ihlalinde

yüksek mertebeden otokorelasyonu sınamak için kullanılabilen bir testtir. Testin detaylarına

girilmeyecektir, detaylara tüm temel ekonometri kitaplarından ulaşılabilmektedir.


Stata’da Breusch-Godfrey test istatistiğinin hesaplanabilmesi için, öncelikle Havuzlanmış En

Küçük Kareler Yöntemi ile regresyon,



. estat bgodfrey

komutuyla Breusch-Godfrey testi sonuçları elde edilebilmektedir.

Klasik Modelde Otokorelasyonun Breusch-Godfrey Testi İle Sınanması

6.1.2.5. Wooldridge’in Testi

Wooldridge (2002), panel veri modellerinde otokorelasyonu sınamak için H0 hipotezi “birinci

mertebeden otokorelasyon yoktur” şeklinde olan bir otokorelasyon testi önermiştir. Drukker

(2003), yaptığı benzetim sonuçlarıyla bu testin küçük örneklerde de güçlü olduğunu

ispatlamıştır.

Wooldridge’in testinde, birinci farklar modelinden elde edilen kalıntılar kullanılmaktadır.

Bilindiği gibi birinci fark almak birim etkilerle birlikte, sabit parametreyi ve zaman değişmezi

12 / 20

değişkenleri de modelden düşürmektedir. Genel bir panel veri modelinin birinci farkları

aşağıdaki gibi yazılabilmektedir:

(Yit − Yit−1) = (Xit − Xit−1)β + (uit − uit−1)

ΔYit = ΔXitβ +Δuit Δuit = eit (6.6)

Öncelikle (6.6) numaralı birinci farklar modeli tahmin edilmekte ve buradan kalıntılar (eit)

elde edilmektedir. Daha sonra, (6.6) regresyonunun tahmininden elde edilen kalıntıların ite ,

gecikmeli değerleri ile regresyonu alınmaktadır. Wooldridge, uit birinci mertebeden

otokorelasyonlu değilse, corr(eiteit−1) = -0.5 olduğunu ispatlamıştır. Bu bilgi ve kalıntı

regresyonu kullanılarak ve gecikmeli kalıntıların parametrelerinin -0.5’den farklılığı F ya da

daha dirençli olan Wald test kullanılarak test edilmektedir. Eğer katsayı 0.5’den farklı ise, uit

birinci mertebeden otokorelasyonludur.


Stata’da testin uygulanabilmesi için regresyon kurulması ön şartı yoktur, bağımlı ve bağımsız

değişkenler komuttan sonra sırasıyla yazılmaktadır:

. xtserial depvar [varlist] [if exp] [in range] [, output]

örneğimizde,

. xtserial TG GT TH D1 IN YS, output

komutu kullanılarak test sonuçları elde edilebilmektedir.

13 / 20

Panel Veri Modelinde Otokorelasyonun Wooldridge’in Testi İle Sınanması

7. HETEROSKEDASİTE, OTOKORELASYON VE BİRİMLER ARASI

KORELASYONUN VARLIĞINDA KLASİK MODELDE DİRENÇLİ

TAHMİNCİLER VE YÖNTEMLER

7.1. HUBER, EİCKER VE WHİTE TAHMİNCİSİ

Dirençli standart hatalar için ilk çalışmalar Huber (1967), Eicker (1967) ve White (1980)

tarafından yapılmıştır. Kalıntıların bağımsız dağılımlı olması durumunda, Ω matrisinin

bilindiği ve diagonal olduğu fakat diagonal elemanların birbirlerine eşit olmadığı varsayımı

altında, bir başka ifade ile sadece heteroskedasite olduğu durumda varyansların tahmini için

aşağıdaki tahminciyi önermişlerdir:

( ) ( ) ( )1 1ˆVar β X X X VX X X− −′ ′ ′=

( ) ( ) ( ) ( )1 12ˆ ˆVar iβ X X X diag u X X X− −′ ′ ′= (7.3)

Burada anlaşılacağı üzere, ( )2 2u iˆ ˆV diag uσ= Ω = ’dir. Bu, “Heteroskedastik Dirençli Varyans

Tahmincisi”dir, “Huber Tahmincisi”, “White Tahmincisi” ya da “Eicker Tahmincisi” olarak

14 / 20

da bilinmektedir. MacKinnon ve White (1985) ve Hinkley (1977), bu tahminciye serbestlik

derecesi düzeltmesi yaparak küçük örneklerde de kullanılabilecek hale getirmişlerdir:

( ) ( ) ( )1 12

1

ˆ ˆVarN

i i ii

Nβ X X u x x X XN k

− −

=

′ ′ ′= − ∑

( ) ( ) ( )1 12i

N X X X diag u X X XN k

− −′ ′ ′=−

(7.4)

Yine aynı araştırmacılar tarafından önerilen başka bir yaklaşımda, küçük örnek düzeltmesi

( )N N k− yerine ( )1 1 ih− (hi=Hii tahmin matrisinin diagonal elemanlarıdır) ile

yapılmaktadır. Long ve Ervin (2000), küçük örnek özelliklerini iyileştirmek ve sapan

gözlemlere daha az ağırlık vermek için ( )( )21 1 ih− düzeltmesini, Cribari-Neto (2004) ise,

yine özelikle sapan değerlerin varlığında küçük örnek özelliklerini iyileştirmek için,

( )( )1 1 i

ih δ− düzeltmesini önermiştir (burada 4i imin ,h hδ = ’dir).

Tahmin edilen parametrelerin varyans kovaryans matrisi için önerilen bu tahminciler,

homoskedastik standart hatalar üretmektedir.

7.1.1. Bilgisayar Uygulamaları

Heteroskedastik dirençli standart hatalarla, Havuzlanmış En Küçük Kareler regresyonunu elde

edebilmek için,

. reg TG GT TH D1 IN YS, robust


15 / 20

Havuzlanmış En Küçük Kareler (Dirençli Standart Hatalar)

7.2. ARELLANO, FROOT VE ROGERS TAHMİNCİSİ

Huber, Eicker ve White tahmincilerinden sonra çalışmalar Arellano (1987), Froot (1989) ve

Rogers (1993) tarafından geliştirilmiş ve kalıntıların bağımsız dağılımlı olması varsayımının

esnekleştiği durumda da tahminler yapılmıştır. Kalıntıların küme (panel veri modellerinde

birim) içerisinde korelasyonlu ve kümeler arasında korelasyonsuz olduğu durumda dirençli

standart hatalar üretilmiştir. Parametrelerin varyans tahmincisi,

( ) ( ) ( )1 1

1

1ˆ ˆ ˆVar1

N

i i i ii

N Mβ X X X u u X X XN k M

− −

=

− ′ ′ ′ ′= − − ∑ (7.5)

şeklinde ifade edilmektedir. Burada M, küme sayısı, Nj kümelerdeki birim sayısı, ˆiu j.

kümedeki i. kalıntıdır.


Klasik Modelde, kümelenmiş standart hataları elde edebilmek için,

. reg TG GT TH D1 IN YS, cluster(id)


16 / 20

Havuzlanmış En Küçük Kareler (Dirençli Standart Hatalar)

7.3. DRİSCOLL VE KRAAY TAHMİNCİSİ

Zaman boyutu T’nin büyük olduğu düşünüldüğünde, Driscoll ve Kraay (1998) standart

parametrik olmayan zaman serisi kovaryans matris tahmincilerinin uzamsal ve dönemsel

korelasyonun tüm genel formları için dirençli olabilecek şekilde geliştirilebileceğini

göstermiştir. Driscoll ve Kraay’ın metodolojisi, yatay kesit ortalamaları serisi için Newey-

West türü düzeltme yapmaktadır. Bu şekilde düzeltilmiş standart hata tahminleri, yatay kesit

boyut N’den bağımsız olarak (N→∞ bile) kovaryans matris tahmincilerinin tutarlılığını

garantilemektedir. Böylece Driscoll ve Kraay’ın yaklaşımı, özellikle mikro ekonometrik

panellerde karşılaşılan yatay kesit boyutun büyüklüğü durumunda zayıf olan sadece büyük T

olduğu durumda tutarlı kovaryans matris tahmincileri üreten Parks-Kmenta ya da PCSE

yaklaşımlarına alternatif olarak türetilmiştir. Bu tahminci, büyük T ve N durumunda bile

heteroskedasite varlığında tutarlı, uzamsal ve dönemsel korelasyonun genel formlarında

dirençli standart hatalar üretmektedir.

Aşağıdaki panel veri modelinde,

Yit = βXit + uit

hata teriminin heteroskedastik, otokorelasyonlu ve birimler arası korelasyonlu olduğu

varsayımları altında, parametreler Havuzlanmış En Küçük Kareler yöntemi ile tutarlı tahmin

edilebilmektedir:

17 / 20

( ) 1ˆ X X X Yβ −′ ′=

Parametre tahminlerinin Driscoll ve Kraay standart hataları ise, asimptotik (dirençli)

kovaryans matrisinin diagonal elemanlarının karekökleri yardımıyla elde edilmektedir,

( ) ( ) ( )1 1ˆ ˆTV X X S X Xβ − −′ ′= (7.19)

burada ˆTS , aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır:

( )( )

01

ˆ ˆ ˆ ˆ,m T

T j jj

S w j m=

′= Ω + Ω +Ω ∑ (7.20)

m(T),otokorelasyon için gecikme uzunluğunu ifade etmektedir. ( ) ( ), ( ) 1 ( ) 1w j m T j m T= − +

olarak ifade edilen Bartlett ağırlıkları, ˆTS ’nin pozitif tanımlı olmasını sağlamakta ve örnek

oto kovaryans fonksiyonunda yüksek mertebeden gecikmelerin düşük ağırlıklar almasına

imkan sağlamaktadır. (K+1)×(K+1) boyutlu ˆjΩ matrisi ise, aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır;

( ) ( )1

ˆ ˆˆT

j t t jt j

h hβ β−= +

′Ω = ∑ (7.21)

burada, ( ) ( )( )

1

ˆ ˆN t

t iti

h hβ β=

= ∑ eşitliği vardır. Her bir birim için t moment koşullarının karesi

( )îth β , farklı T’lere sahip N’ler için hesaplamaktadır. Bu küçük düzeltme ile Driscoll ve

Kraay kovaryans matris tahmincisi, dengesiz panel veri modellerinde de kullanılabilmektedir.

Havuzlanmış En Küçük Kareler tahmininde birimler için ortogonallik koşulları ( )îth β ,

doğrusal regresyonun (K+1)×1 boyutlu moment koşullarıdır. Örneğin,

( ) ( )ˆ ˆît it it it it ith X u X Y Xβ β′= = −

şeklinde gösterilebilmektedir. (7.20) ve (7.21) eşitlikleri yardımıyla hesaplanan Driscoll ve

Kraay’ın kovaryans matris tahmincisi, ( )îth β ’nin yatay kesit ortalamalarının zaman serileri

için uygulanan Newey-West’in heteroskedasite ve otokorelasyon varlığında dirençli

18 / 20

kovaryans matris tahmincisine eşittir. Yatay kesit ortalamalarına dayanan bu yaklaşımla,

standart hata tahminleri, birimlerin yatay kesit boyutu N’e bağlı olmaksızın tutarlıdır. Driscoll

ve Kraay, N’in sonsuza gittiği durumda bile tutarlılığın sağlandığını göstermiştir. Ayrıca,

tahmin edilen kovaryans matrisinden elde edilen standart hatalar, uzamsal ve dönemsel

korelasyonun çok genel formları için de dirençlidir.


Havuzlanmış En Küçük Kareler’de heteroskedasite, otokorelasyon ve birimler arası (olası)

korelasyona karşı dirençli Driscoll-Kraay standart hataları elde edebilmek için,

. xtscc TG GT TH D1 IN YS


Havuzlanmış En Küçük Kareler (Driscoll-Kraay Standart Hatalar)

19 / 20

ÇALIŞMA SORULARI

1. Parametrelerin sapmasızlık özelliğini ozmayan etkinlik özelliğini etkileyen varsayımdan

sapmaları tartışınız.

2. Panel veri modelleri ile çalışılırken daha çok ne tür heteroskedasite görülmektedir?

3. Birimler arasında korelasyonun olabileceği duruma örnek veriniz.

4. Birinci fark modelinde ardışık kalıntılar arasındaki korelasyonun -0.5’e eşit olduğunu

ispatlayınız.

5. Klasik modeldeki heteroskedasite ve otokorelasyon testleri ve varlıklarında düzeltme

yöntemleri, sadece kesit ya da zaman serisi verileriyle çalışırken kullandığınız testlere ve

düzeltme yöntemlerine benzemekte midir?

20 / 20

KAYNAKÇA






13. HAFTA DERS NOTU

2 / 21

İÇİNDEKİLER

6.2. SABİT ETKİLER MODELİNDE HETEROSKEDASİTE, OTOKORELASYON VE BİRİMLER ARASI KORELASYON

6.2.1. Sabit Etkiler Modelinde Birimlere Göre Heteroskedasite 6.2.1.1. Birimlere Göre Heteroskedasitenin Değiştirilmiş Wald Testi

6.2.1.1.1. Değiştirilmiş Wald Testinin Özellikleri 6.2.1.1.2. Bilgisayar Uygulaması

6.2.2. Sabit Etkiler Modelinde Otokorelasyon 6.2.2.1. Baltagi-Wu’nun Yerel En İyi Değişmez Testi 6.2.2.2. Bhargava, Franzini ve Narendranathan’ın Durbin-Watson Testi 6.2.2.3. Bilgisayar Uygulaması

6.2.3. Sabit Etkiler Modelinde Birimler Arası Korelasyonun Testi 6.2.3.1. Breusch-Pagan Lagrange Çarpanı Testi

6.2.3.1.1. Bilgisayar Uygulaması 6.2.3.2. Pesaran’ın Testi

6.2.3.2.1. Bilgisayar Uygulaması 6.2.3.3. Friedman’ın Testi

6.2.3.3.1. Bilgisayar Uygulaması 6.2.3.4. Frees’in Testi

6.2.3.4.1. Bilgisayar Uygulaması 7. HETEROSKEDASİTE, OTOKORELASYON VE BİRİMLER ARASI

KORELASYONUN VARLIĞINDA SABİT ETKİLER MODELİNDE DİRENÇLİ TAHMİNCİLER VE YÖNTEMLER

7.1. HUBER, EİCKER VE WHİTE TAHMİNCİSİ 7.1.1. Bilgisayar Uygulaması


7.3. DRİSCOLL VE KRAAY TAHMİNCİSİ 7.3.1. Bilgisayar Uygulaması

7.4. AR(1) KALINTILI DOĞRUSAL REGRESYON MODELİ 7.4.1. Bilgisayar Uygulaması

3 / 21

ÖZET (TÜRKÇE)

Bu derste, sabit etkiler modelinde otokorelasyon, heteroskedasite ve birimler arası korelasyon

durumunda düzeltme yolları ele alınacaktır.

4 / 21

6.2. SABİT ETKİLER MODELİNDE HETEROSKEDASİTE,

OTOKORELASYON VE BİRİMLER ARASI KORELASYON

Sabit etkiler modelinde SE 3 varsayımı, iki nedenden dolayı bozulabilmektedir;

1. Koşullu ve koşulsuz varyans matrisleri, bazen birbirine eşit olmamaktadır

( ) ( )( )| ,i i i i i iE u u x E u uµ′ ′≠ .

2. Koşullu ve koşulsuz varyans matrisleri birbirine eşit olsalar bile, bazen koşulsuz

varyans matrisi sabit olmamaktadır ( )( )2i i u TE u u Iσ′ ≠ .

Bu durumda heteroskedasite ve otokorelasyon görülebilmektedir. Bazen birimler arası

korelasyon ile de karşılaşılabilmektedir. Her üç sorun da etkinliği engellemektedir. Bu derste,

sabit etkiler modelinde heteroskedasite, otokorelasyon ve birimler arası korelasyon testleri ele

alınmaktadır.

6.2.1. Sabit Etkiler Modelinde Birimlere Göre Heteroskedasite

Bilindiği gibi, ekonometrik analizlerde heteroskedasite problemi zaman serisi verilerinden

daha çok yatay kesit verilerle çalışma yapılırken karşılaşılan bir durumdur. Uygulamada daha

çok, yatay kesit birimler içinde hata süreci homoskedastik iken varyansının birimlere göre

değişebildiği durumla karşılaşılmaktadır. Bu durum “birimlere göre heteroskedasite” olarak

bilinmektedir.

6.2.1.1. Birimlere Göre Heteroskedasitenin Değiştirilmiş Wald Testi

Birimlere göre heteroskedasitenin, Değiştirilmiş Wald testi (Greene, 2000) ile sınanması için

temel hipotez;

H0: 2 2iσ σ= (varyanslar, birimlere göre homoskedastiktir)

şeklinde kurulmaktadır. Değiştirilmiş Wald istatistiği,

( )22 2

1

ˆNi

i i

WV

σ σ

=

−=∑ (6.7)

5 / 21

şeklinde tanımlabilmektedir. Burada 2ˆiσ , i. yatay kesit birimin kalıntı varyansının

tahmincisidir ve aşağıdaki gibi elde edilmektedir;

2 21

1ˆ iTi itt

i

vT

σ=

= ∑

Ayrıca,

( ) ( )22 2

1

1ˆ

iTi

i it iti

TV v

Tσ

=

−= −∑

eşitliği vardır. W test istatistiği, N serbestlik derecesi ile χ2 dağılımına uymaktadır.

6.2.1.1.1. Değiştirilmiş Wald Testinin Özellikleri

Değiştirilmiş Wald testinin özellikleri aşağıda özetlenmektedir:

− Ekonometrik analizlerde, bilindiği gibi standart LM, LR ve Wald testleri, sadece

hataların normal dağıldığı varsayımı altında kullanılabilmektedir, oysaki Değiştirilmiş Wald

testi, normal dağılım varsayımının ihlalinde de kullanılabilmektedir.

− Birim boyutunun fazla, zaman boyutunun az olduğu durumlarda testin gücü

azalmaktadır.


Sabit etkiler modelinde, kalıntılardaki birimlere göre heteroskedasitenin varlığının

Değiştirilmiş Wald testi ile sınanması isteniliyorsa, öncelikle aşağıdaki komut yardımıyla

sabit etkiler modeli tahmin edilmelidir:

. xtreg TG GT TH IN YS, fe

Daha sonra,

. xttes3

komutu kullanılarak test sonuçları alınabilmektedir.

6 / 21

Sabit Etkiler Modelinde Birimlere Göre Heteroskedasitenin Değiştirilmiş Wald Testi İle Sınanması

6.2.2. Sabit Etkiler Modelinde Otokorelasyon

Sabit etkiler modelini grup içi tahmin yöntemi ile tahmin ederken zamana göre birim

ortalamalarından fark alınması (zaman kısaltılmışı modeli kullanılması) nedeniyle, uit’lerin

yerine üit’ler tahmin edilebilmektedir. Sabit etkiler modelinin grup içi tahminci ile tahmini

anlatıldığında, uit’lerin korelasyonsuz olduğu durumda bile, üit’lerin negatif otokorelasyonlu

olduğu ispat edilmişti;

( ) ( )Corr 1 1it isu u T= − −

bu eşitlikten hareketle, aşağıdaki çıkarsamalar yapılabilmektedir:

T=2 ise, korelasyon bellidir: tam negatif korelasyon vardır ( 1 2i iu u= − ).

T ≥ 3 ise, üit’deki otokorelasyonun varlığını sınamak için üç yol önerilmektedir;

1) Önce, herhangi 2 dönem seçilmekte (örneğin s ve s-1), sabit etkiler modelinden

kalıntılar elde edilmekte ve daha sonra aşağıdaki regresyon tahmin edilmektedir;

1ˆ ˆ

iS iS iSu uδ ρ η−= + + (6.8)

burada ρ bilindiği gibi ana kütle otokorelasyon katsayısıdır ve ( )1corr iS iSu u − ’i vermektedir.

H0: ( )1 1Tρ = − −

şeklinde kurulan hipotezi sınamak için; ρ’nun ( )1 1T− − ’e eşitliği, t testi kullanılarak test

edilebilmektedir. SE 1-SE 3 varsayımları altında, t istatistiği asimptotik normal dağılmaktadır.

2) Daha dirençli bir test yapılmak isteniliyorsa, daha fazla dönem kullanılmaktadır.

Önce sabit etkiler modelinin tahmininden kalıntılar elde edilmekte ve sonra aşağıdaki

regresyon tahmin edilmektedir;

7 / 21

1ˆ ˆ

it it itu uδ ρ η−= + + (6.9)

Burada dikkat edilecek nokta itη ’nin otokorelasyonlu olması sebebiyle, regresyonun

tahmininde dirençli standart hataların kullanılmasıdır.

3) Birinci farklar modeli tahmin edilip kalıntılar (Δuit) elde edilmekte ve bu

kalıntılardaki otokorelasyon test edilmektedir;

Δuit otokorelasyonsuz ise, uit’nin rassal yürüyüşe yakın olduğu söylenebilmektedir

(tam pozitif otokorelasyon gibi).

Δuit’de tam negatif otokorelasyon varsa, uit’deki otokorelasyon çok önemli bir

problem değildir, beklenilen durumdur.

Bu basit uygulamaların yanında türetilen bazı testler de vardır.

6.2.2.1. Baltagi-Wu’nun Yerel En İyi Değişmez Testi

Baltagi-Wu’nun (1999) Yerel En İyi Değişmez (LBI) testinde,

H0: ρ=0

şeklindeki temel hipotez,

Ha1: ρ>0 ya da Ha2: ρ<0

alternatiflerine karşı test edilmektedir. Panel veri modeli,

Yit = Xitβ + vit vit = uit + µi

şeklinde iken; sabit etkiler modeli düşünüldüğünde, bu eşitlik matris notasyonu ile aşağıdaki

gibi yazılabilmektedir,

Y = Xβ + diag(iNι )µ + u (6.10)

burada iNι : N boyutunun her bir birim için birim vektörü ifade etmektedir.

1it it itu uρ ε−= +

8 / 21

olmak üzere,

( ) ( ) ( ) ( )2 2i uu

E uu diag Uε ερ σ σ ρ′= = = Ω∑

eşitliği yazılabilmektedir. Boyut N’in ortogonal matrisi iNO olmak üzere,

( ),i iN N i iO N Bι=

dir, burada Bi,

10, vei i i ii N i i N i i N NB B B I B B I Jι −′ ′ ′= = = −

özelliklerini sağlayan Ni(Ni-1) boyutlu bir matristir. iNJ , boyut N’in her bir birim için birim

matrisi olmak üzere,

i iN N iJ J N=

eşitliği vardır. (6.10) numaralı model, diag( iB′ ) ile çarpılırsa,

( ) ( ) ( )i i idiag B Y diag B X diag B uβ′ ′ ′= +

elde edilmektedir. Birim etki, 0ii NBι′ = olması nedeniyle, modelden düşmüştür. Bu

dönüştürülmüş model, kısaca aşağıdaki gibi yazılabilmektedir;

Y X uβ= + (6.11)

burada,

( ) ( ) ( ), vei i iY diag B Y X diag B X u diag B u′ ′ ′= = =

eşitlikleri vardır. Yapılan işlemler grup içi dönüşümü, (6.11) modeli ise grup içi tahminciyi

ifade etmektedir.

LBI testi için d istatistiği,

9 / 21

0z A zdz z′

=′

(6.12)

şeklindedir. Burada,

( ) ( )1

0

00

u uAρρ

ρ ρρ ρ

−

==

∂Ω ∂Ω = = − ∂ ∂

ve Xz P Y= ’dir.

6.2.2.2. Bhargava, Franzini ve Narendranathan’ın Durbin-Watson Testi

Bhargava, Franzini ve Narendranathan (1982), AR(1) modeli kullanarak Durbin-Watson test

istatistiği önermiştir. Hipotezler,

H0: ρ=0 (otokorelasyon yoktur)

ve alternatif hipotez,

Ha: |ρ|<1

şeklinde kurulmaktadır. d istatistiği aşağıdaki gibi elde edilebilmektedir;

( ), , 1

,

2

, , , , 11 1

2,

1 1

1i

i j i j

i

i j

nN

i t i t i j i ji j

nN

i ti j

z z I t td

z

− −= =

= =

− − = =∑∑

∑∑

(6.13)

burada,

( )( )i iz diag B B Y X β′= −

eşitliği vardır. β , (6.11) modelinin Havuzlanmış En Küçük Kareler Yöntemi ile tahmininden

elde edilmektedir ve ( ), , 1 1i j i jI t t −− = ise, parantez içindeki önerme doğru ise 1, aksi halde 0

değerini alan bir işaret fonksiyonudur.

10 / 21


Sabit etkiler modelinde otokorelasyonun varlığını sınamak amacıyla, Bhargava, Franzini ve

Narendranathan tarafından önerilen Durbin-Watson testi ve Baltagi-Wu tarafından önerilen

Yerel En İyi Değişmez test istatistiklerinin elde edilebilmesi için, öncelikle modeller AR(1)

kalıntı kullanılarak sabit etkiler varsayımı ile tahmin edilmektedir:

. xtregar TG GT TH D1 IN YS, fe lbi

komutuyla hem AR(1) kalıntılı regresyonlar tahmin edilebilmekte, hem de bahsi geçen test

istatistikleri hesaplanabilmektedir. “lbi” kodu yazılırsa test sonuçları alınabilmektedir,

yazılmazsa sadece regresyon çıktısı görülebilmektedir. Testlerin her ikisinde de,

otokorelasyon katsayısının sıfıra eşit olduğu (ρ=0) H0 hipotezi, test edilmektedir.

Sabit Etkiler Modelinde Otokorelasyonun Bhargava, Franzini ve Narendranathan’ın Durbin-Watson ve Baltagi-Wu’nun Yerel En İyi Değişmez Testleri

İle Sınanması

6.2.3. Sabit Etkiler Modelinde Birimler Arası Korelasyonun Testi

Panel veri modellerinde genel varsayımlardan bir tanesi, hata terimlerinin birimlere göre

bağımsız olduğudur, fakat yatay kesit birimler boyunca hataların eşzamanlı korelasyona sahip

olması genellikle görülebilmektedir. Bu durum da, otokorelasyon ve heteroskedasite olduğu

gibi korelasyon matrisinin birim matris olmasını engellemektedir. Bu nedenle birimler arası

11 / 21

korelasyonsuzluk varsayımı test edilmelidir. Birimler arası korelasyonun varlığını sınamak

amacıyla, literatürde çeşitli testler önerilmektedir.


Bu testte, tüm yatay kesit birimlerin kalıntılarına ait korelasyon matrisinin birim matris

olduğu hipotezi, bir başka ifade ile birimler arası korelasyonsuzluk temel hipotezi

sınanmaktadır. Lagrange Çarpanı (LM) test istatistiği,

12

1 1

ˆN N

LM iji j i

Tλ ρ−

= = +

= ∑ ∑ (6.14)

şeklinde hesaplanmaktadır. Burada 2ˆijρ : i,j. kalıntının (i. ve j. birimlerin kalıntıları arasındaki)

korelasyon katsayısıdır ve,

( ) ( )1

1 2 1 22 2

1 1

ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ

Tit jtt

ij ji T Tit jtt t

v v

v vρ ρ =

= =

= = ∑∑ ∑

formülüyle hesaplanmaktadır. LM test istatistiği, d (d=N(N-1)/2) serbestlik derecesi ile χ2

dağılmaktadır.


Sabit etkiler modelinde birimler arası korelasyonun varlığını test etmek için Breusch-Pagan

Lagrange Çarpanı testi kullanılmak isteniliyorsa, öncelikle sabit etkiler modeli;


komutuyla tahmin edilmektedir. Daha sonra,

. xttest2

komutu kullanılarak, teste ait sonuçlar alınabilmektedir. Stata’da bu testi kullanabilmek için

öncelikle “xttest 2” komutu, “xttest1” komutunda olduğu gibi “install” edilmelidir.

12 / 21

Sabit Etkiler Modelinde Birimler Arası Korelasyonun Breusch-Pagan Lagrange Çarpanı (LM) Test İle Sınanması

6.2.3.2. Pesaran’ın Testi

Pesaran (2004), T’nin küçük ve N’in büyük olduğu durumda birimler arası korelasyonun

varlığını test etmek için, Breusch-Pagan Lagrange Çarpanı testine alternatif olarak aşağıdaki

test istatistiğini önermiştir. Pesaran’ın CD testi için istatistik;

( )1

1 1

2 ˆ1

N N

iji j i

TCDN N

ρ−

= = +

= −

∑ ∑ (6.15)

burada, 2ˆijρ : i,j. kalıntı korelasyon katsayısıdır ve Breusch-Pagan Lagrange Çarpanı testinde

olduğu gibi hesaplanmaktadır. Test istatistiği, d (=N(N-1)/2) serbestlik derecesi ile χ2

dağılmaktadır.

13 / 21

Birimler arası korelasyonun olmadığı temel hipotezi altında, N→∞ ve T yeterli büyüklükte

iken (0,1)dCD N→ ’dir. Monte Carlo Benzetimleri, N>T olduğu zaman standart Breusch-

Pagan LM testinin performansının kötü; Pesaran’ın CD testinin iyi olduğunu göstermiştir.

Dengesiz panel için ise, Pesaran aşağıdaki test istatistiğini önermiştir;

( )1

1 1

2 ˆ1

N N

ij iji j i

CD TN N

ρ−

= = +

= −

∑ ∑ (6.16)

burada, Tij: i ve j birimleri arasında zaman serisi gözlemlerinin sayısıdır.


Sabit etkiler modelinde birimler arası korelasyonun varlığını sınamak için Pesaran’ın testi

kullanılmak isteniliyorsa, öncelikle aşağıdaki komutla sabit etkiler modeli tahmin edilmelidir;


daha sonra,

. xtcsd, pesaran

komutu kullanılarak, teste ait sonuçlar alınabilmektedir.

Sabit Etkiler Modelinde Birimler Arası Korelasyonun Pesaran’ın Testi İle Sınanması

Çıktıda birimler arası korelasyonsuzluğun, Pesaran’ın testi ile sınanması için test istatistiği ve

olasılık değeri görülmektedir. Sonuçlara göre, H0 hipotezi reddedilmekte ve dolayısıyla,

birimler arasında korelasyon olduğu anlaşılmaktadır.

14 / 21

6.2.3.3. Friedman’ın Testi

Friedman (1937), birimler arası korelasyonu test etmek amacıyla, Spearman’ın rank

korelasyon katsayısı kullanılarak hesaplanan ve parametrik olmayan bir test önermiştir.

Friedman’ın test istatistiği,

( ) ( )( )1 1 1AV EFR T N R = − − + (6.17)

şeklinde hesaplanmaktadır ve FR istatistiği (T-1) serbestlik derecesi ile asimptotik 2χ

dağılmaktadır. Burada AV ER , ortalama Spearman korelasyonu katsayısıdır ve,

( )1

1 1

2 ˆ1

N N

AV E iji j i

R rN N

−

= = +

=− ∑ ∑

formülüyle hesaplanmaktadır. Burada ijr , Spearman’ın rank korelasyon katsayısıdır ve

aşağıdaki gibi elde edilmektedir;

( )( ) ( )( )( )( )

, ,12

,1

1 2 1 2

1 2

Ti t j tt

ij ji Ti tt

T Tr r

T

ρ ρ

ρ=

=

− + − += =

− +

∑∑

AV ER ’nın büyük değerleri, sıfır olmayan birimler arası korelasyonları göstermektedir.


Sabit etkiler modelinde birimler arası korelasyonun varlığını test etmek için Friedman’ın testi

kullanılmak isteniliyorsa, öncelikle sabit etkiler modeli tahmin edilmektedir:


Daha sonra,

. xtcsd, friedman


15 / 21

Çıktı 6.11. Sabit Etkiler Modelinde Birimler Arası Korelasyonun Friedman’ın Testi İle Sınanması

6.2.3.4. Frees’in Testi

Frees (1995, 2004), rank korelasyon katsayılarının karelerinin toplamına dayanan bir test

önermiştir. Frees’in istatistiği,

( )( )12 1AV EFRE N R T −= − − (6.18)

şeklindedir. Burada, 2AV ER aşağıdaki gibi elde edilmektedir;

( ) ( )

21 1

2 2 2

1 1 1 1

2 2ˆ ˆ1 1

N N N N

AV E ij iji j i i j i

R r rN N N N

− −

= = + = = +

= ≅ − −

∑ ∑ ∑∑

2 1/ N( N )− ile [ ]22 1/ N( N )− arasındaki fark küçük olduğundan yerine 2 1/ N( N )− ’nin

kullanılması yeterlidir. ijr (rank korelasyon katsayısı), Friedman’ın testinde tanımlanmıştı.

Frees’in test istatistiği, Q dağılımına uymaktadır. Q dağılımı için kritik değerler,

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 21, 1 2, 3 21 3 2T T TQ a T T b T T Tχ χ− −= − − + − −

formülüyle hesaplanmaktadır. Burada ( )2 21, 1 2, 3 2veT T Tχ χ− − , sırasıyla (T-1) ve [T(T-3)/2]

serbestlik dereceleri ile 2χ dağılan bağımsız tesadüfi değişkenlerdir. Ayrıca,

( ) ( ) ( ) ( )( )24 2 5 1 1a T T T T= + − +

ve,

( ) ( ) ( )( )( )2 5 6 5 1 1b T T T T T= + − +

16 / 21

eşitlikleri vardır. ( ) 12 1AV E qR T Q N−> − + ise temel hipotez reddedilmektedir. Burada, qQ , Q

dağılımının q. kartilidir. Dolayısıyla Q dağılımı, iki 2χ dağılan tesadüfi değişkenin (ağırlıklı)

toplamıdır ve değeri T’nin büyüklüğüne bağlıdır.


Sabit etkiler modelinde birimler arası korelasyonun varlığını sınamak için Frees’in testi

kullanılmak isteniliyorsa, öncelikle sabit etkiler modeli tahmin edilmektedir;


daha sonra,

. xtcsd, frees


Çıktı 6.12. Sabit Etkiler Modelinde Birimler Arası Korelasyonun Frees’in Testi

İle Sınanması


KORELASYONUN VARLIĞINDA SABİT ERKİLER MODELİNDE DİRENÇLİ

TAHMİNCİLER VE YÖNTEMLER



Sabit etkiler modelinde, heteroskedasiteye karşı dirençli standart hataları elde edebilmek için,

. xtreg TG GT TH D1 IN YS, fe robust


17 / 21

Sabit Etkiler Tahmincisi (Dirençli Standart Hatalar)



Sabit etkiler modelinde, kümelenmiş standart hataları elde edebilmek için,

. xtreg TG GT TH D1 IN YS, fe cluster(id)


Sabit Etkiler Tahmincisi (Dirençli Standart Hatalar)

18 / 21

7.3. DRİSCOLL VE KRAAY TAHMİNCİSİ


Havuzlanmış En Küçük Kareler’de heteroskedasite, otokorelasyon ve birimler arası (olası)

korelasyona karşı dirençli Driscoll-Kraay standart hataları elde edebilmek için,

. xtscc TG GT TH D1 IN YS


Havuzlanmış En Küçük Kareler (Driscoll-Kraay Standart Hatalar)

7.4. AR(1) KALINTILI DOĞRUSAL REGRESYON MODELİ

Kalıntının birinci mertebeden otoregresif AR(1) olduğu durumda kurulan regresyonun

tahminini vermektedir. Aşağıdaki panel veri modeli ele alındığında,

Yit = Xitβ + µi + uit

burada uit, AR(1) süreci izlemektedir;

uit = ρuit-1 + zit

|ρ| < 1’dir ve z it, sıfır ortalama ve 2zσ varyansla özdeş ve bağımsız dağılımlıdır. Model bu

bilgiyi göz önüne alarak tahmin yapmaktadır.

19 / 21


Turizm gelirleri modelini sabit etkiler varsayımı ile AR(1) korelasyon yapısını dikkate alarak

tahmin yapabilmek için,

. xtregar TG GT TH D1 IN YS, fe


AR(1) kalıntılarını kullanarak tahmin yapmak için bir seçenek “xtregar” komutunu

kullanmaktır. “xtregar”, sadece kalıntının birinci mertebeden otoregresif süreç izlediği

durumlar için geliştirilmiştir. Hem sabit etkiler, hem de tesadüfi etkiler modelleri için

kullanılabilmektedir.

Sabit Etkiler Tahmincisi (AR(1) Korelasyon)

20 / 21

ÇALIŞMA SORULARI

1. Sabit etkiler modelinde birimler arası korelasyon sıklıkla görülmektedir, sizce neden

olabilir?

2. Sabit etkiler modelinde hata teriminin negatif korelasyonlu olduğunu ispatlayınız.

3. Sabit etkiler modelinde heteroskedasitenin görülebilme nedenlerini tartışınız.

4. Örnek bir sabit etkiler modelinde heteroskedasite ve otokorelasyonun test edilmiş ve her

ikisinin de var olduğu sonucuna ulaşılmış olsun, fakat birimler arası korelasyon test

edilememektedir. Ne yaparsınız?

5. Driscoll Kraay standart hatalar, birim içindeki heteroskedasiteye karşı da dirençli midir?

Tartışınız.

21 / 21

KAYNAKÇA






14. HAFTA DERS NOTU

2 / 15

İÇİNDEKİLER

6.3. TESADÜFİ ETKİLER MODELİNDE HETEROSKEDASİTE, OTOKORELASYON VE BİRİMLERARASI KORELASYON

6.3.1. Tesadüfi Etkiler Modelinde Heteroskedasite 6.3.1.1. Breusch-Pagan Lagrange Çarpanı Testi 6.3.1.2. Levene, Brown ve Forsythe’nin Testleri

6.3.1.2.1. Bilgisayar Uygulaması 6.3.2. Tesadüfi Etkiler Modelinde Otokorelasyon

6.3.2.1. Bhargava, Franzini ve Narendranathan’ın Durbin-Watson ve Baltagi-Wu’nun Yerel En İyi Değişmez Testleri

6.3.2.1.1. Bilgisayar Uygulaması 6.3.2.2. Lagrange Çarpanı ve Düzeltilmiş Lagrange Çarpanı Testleri

6.3.2.2.1. Bilgisayar Uygulaması 6.3.3. Tesadüfi Etkiler Modelinde Birimler Arası Korelasyon9

6.3.3.1. Pesaran’ın Testi 6.3.3.1.1. Bilgisayar Uygulaması

6.3.3.2. Friedman’ın Testi 6.3.3.2.1. Bilgisayar Uygulaması

6.3.3.3. Frees’in Testi 6.3.3.3.1. Bilgisayar Uygulaması

7. HETEROSKEDASİTE, OTOKORELASYON VE BİRİMLER ARASI KORELASYONUN VARLIĞINDA TESADÜFİ ETKİLER MODELİNDE DİRENÇLİ TAHMİNCİLER VE YÖNTEMLER

7.1. HUBER, EİCKER VE WHİTE TAHMİNCİSİ 7.1.1. Bilgisayar Uygulaması


7.3. AR(1) KALINTILI DOĞRUSAL REGRESYON MODELİ 7.3.1. Bilgisayar Uygulaması

3 / 15

ÖZET (TÜRKÇE)

Bu derste, tesadüfi etkiler modelinde otokorelasyon, heteroskedasite ve birimler arası

korelasyon durumunda düzeltme yolları ele alınacaktır.

4 / 15

6.3. TESADÜFİ ETKİLER MODELİNDE HETEROSKEDASİTE,

OTOKORELASYON VE BİRİMLERARASI KORELASYON

Tesadüfi etkiler modelinde TE 3 varsayımı, iki nedenden dolayı bozulabilmektedir;

1. ( )|i i iE Xν ν ′ , sabit olmayabilmektedir ( ) ( )( )|i i i i iE v X E v vν ′ ′≠ . Bu durum,

Genelleştirilmiş En Küçük Kareler Analizinde sıklıkla karşılaşılan bir durumdur.

2. Artık hata öğesi (uit), zamana göre değişen bir varyansa sahip ya da

otokorelasyonlu olabilmektedir.

Bu durumda heteroskedasite ve otokorelasyonla karşılaşılabilmektedir. Bazen birimler arası

korelasyon da görülebilmektedir. Bu derste, tesadüfi etkiler modelinde heteroskedasite,

otokorelasyon ve birimler arası korelasyon testleri ele alınmaktadır.

6.3.1. Tesadüfi Etkiler Modelinde Heteroskedasite

Tesadüfi etkiler modelinde, heteroskedasitenin varlığını sınamak için en çok kullanılan testler

Breusch-Pagan Lagrange Çarpanı (LM) ile Düzeltilmiş Wald testleridir. Bu bölümde, bu

testler ele alınmaktadır.


Breusch-Pagan panel veri modellerinde heteroskedasitenin saptanması için, bir Lagrange

Çarpanı (LM) testi önermişlerdir. Bu testte, genel panel veri modelinden hareket edilmekte ve

ilk aşamada zamana göre ortalamalar alınmaktadır. Daha sonra, zamana göre birim

ortalamalar regresyonu, standart hataya ( iσ ) bölünerek,

iii

ii

XY ωβσσ

+′=11 (6.19)

elde edilmektedir. Burada,

ii

iii

i uXσ

µσ

ω 11+′=

5 / 15

dir ve (6.19) modeli heteroskedastik varyanslı bir modeldir:

NiXXT

Var iii

i ,.......,111)( 2 =∆′+=σ

ω

Temel hipotez,

H0: model homoskedastik bir varyansa sahiptir (H0:Δ=0)

şeklinde kurulmaktadır. Homoskedastik varyans durumunda )( iVar ω ,

NiT

Var i ,,.........11)( ==ω

haline gelmektedir. Bu test istatistiği, [K(K+1)/2] serbestlik derecesi ile χ2 dağılımına

uymaktadır. H0 hipotezi reddedilirse, modelde heteroskedasite olduğuna karar verilmektedir.

6.3.1.2. Levene, Brown ve Forsythe’nin Testleri

Varyansların eşitliğini sınamak için türetilen geleneksel F testleri Gauss dağılımını esas

almaktadır. Levene (1960), normal dağılım varsayımının gerçekleşmediği durumda da

dirençli bir heteroskedasite testi önermiştir. Brown ve Forsythe (1974), Levene’nin test

istatistiğindeki ortalama yerine aykırı gözlemlere karşı da dirençli bir yapı sağlayan kırpılmış

ortalamaya dayalı alternatif yerel tahminciler önermişlerdir. Levene’nin testi için istatistik,

( ) ( )

( ) ( )

2

0 2

1

1i ii

ij ii j i

n Z Z gW

Z Z n

− −=

− −

∑∑ ∑ ∑

şeklinde hesaplanmaktadır. Burada, Xij i. gruptaki X’in j. gözlemi olmak üzere,

ij ij iZ | X X |= − ’dir. ni: gözlem sayısı ve gi: birim sayısıdır. Brown ve Forsythe (1974)

tarafından önerilen iki test istatistiğinin ilkinde (W50) iX yerine Xij’nin i. birim medyanı;

ikincisinde (W10) iX yerine Xij’nin i. birim %10 kırpılmış ortalaması yer almaktadır. W0’ın

kritik değerleri g-1 ve ( )1iin −∑ serbestlik derecesi ile Snedecor F tablosundan elde

edilmektedir.

6 / 15


Tesadüfi etkiler modelinde heteroskedasitenin varlığını test etmek için Levene, Brown ve

Forsythe’nin testleri kullanılmak isteniliyorsa, öncelikle tesadüfi etkiler modeli tahmin

edilmektedir;

. xtreg TG GT TH IN YS, re

daha sonra,

. predict eps, e

komutu ile kalıntılar kaydedilmektedir ve,

. robvar eps, by(id)


Tesadüfi Etkiler Modelinde Heteroskedasitenin Levene, Brown ve Forsythe’nin Testi İle Sınanması

7 / 15

6.3.2. Tesadüfi Etkiler Modelinde Otokorelasyon

TE 3 varsayımlarından birisi olan hata terimlerinde otokorelasyon olmaması varsayımı,

özellikle iktisadi çalışmalarda çok kısıtlayıcı bir varsayımdır. Çünkü tesadüfi etkiler

modelinin hata öğelerinde (vit= it iu µ+ ), zamana göre korelasyon oldukça sık görülmektedir.

Örneğin tüketim ya da yatırım modellerinde, şoklar en az bir kaç dönemi etkilemekte, bu da

hata terimleri arasında korelasyona neden olmaktadır. Hata terimindeki otokorelasyon

katsayısı daha önce bahsedildiği gibi,

( )2

2 2corr( , )it isu

v v µ

µ

σσ σ

=+

(6.20)

şeklinde ifade edilebilmektedir. Otokorelasyon ihmal edilerek tahmin yapılırsa, parametreler

tutarlı fakat etkin olmamakta ve bu durumda standart hatalar sapmalı olmaktadır. Bu nedenle,

tesadüfi etkiler modelinde de otokorelasyon test edilmeli ve varlığı halinde ona uygun tahmin

yöntemi belirlenmelidir.

6.3.2.1. Bhargava, Franzini ve Narendranathan’ın Durbin-Watson ve Baltagi-Wu’nun

Yerel En İyi Değişmez Testleri

Bu testlerin teorisi, sabit etkiler modelinde otokorelasyon başlığında anlatıldığı için burada

tekrarlanmayacaktır.


Otokorelasyonun tespiti için Bhargava, Franzini ve Narendranathan tarafından önerilen DW

testi ve Baltagi-Wu tarafından önerilen LBI test istatistiklerinin elde edilebilmesi için,

öncelikle modeller AR(1) kalıntı kullanılarak tesadüfi etkiler varsayımıyla tahmin

edilmektedir. Tesadüfi etkiler modelinde,

. xtregar TG GT TH D1 IN YS, re lbi

komutuyla hem AR(1) kalıntılı regresyonlar tahmin edilebilmekte, hem de bahsi geçen test

istatistikleri hesaplanabilmektedir. Her iki testte de, otokorelasyon katsayısının sıfıra eşit

olduğu H0 hipotezi test edilmektedir.

8 / 15

Tesadüfi Etkiler Modelinde Otokorelasyonun Bhargava, Franzini ve Narendranathan’ın Durbin-Watson ve Baltagi-Wu’nun Yerel En İyi Değişmez Testleri İle Sınanması

6.3.2.2. Lagrange Çarpanı ve Düzeltilmiş Lagrange Çarpanı Testleri

Bu testlerin teorisi, önceki bölümlerde anlatıldığı için burada tekrarlanmayacaktır.


Tesadüfi etkiler modelinde otokorelasyon katsayısının sıfıra eşitliğini, LM ve ALM testleri ile

sınamak için öncelikle model Tesadüfi Etkiler varsayımıyla tahmin edilmelidir;

. xtreg TG GT TH D1 IN YS, re

daha sonra ise,

. xttest1, unadjusted


9 / 15

Tesadüfi Etkiler Modelinde Otokorelasyonun LM ve ALM Testleri İle Sınanması

Çıktıda önce kurulan modeller,

TG[id,t] = Xb + u[id] + v[id,t] it i itTG X uβ µ= + +

v[id,t] = lambda v[id,(t-1)] + e[id,t] 1it it itu u eρ −= +

daha sonra tahmin sonuçları görülmektedir.

6.3.3. Tesadüfi Etkiler Modelinde Birimler Arası Korelasyon

Sabit etkiler modelinde olduğu gibi, tesadüfi etkiler modelinde de birimler arası korelasyonla

sıklıkla karşılaşılmaktadır. Bu nedenle birimler arası korelasyonun varlığı test edilmelidir.

6.3.3.1. Pesaran’ın Testi

Bu test, sabit etkiler modelinde birimler arası korelasyon testleri başlığında detaylı olarak

anlatıldığından burada tekrarlanmayacaktır.

10 / 15


Tesadüfi etkiler modelinde birimler arası korelasyonun varlığını Pesaran testi ile sınamak için,

öncelikle Tesadüfi Etkiler modeli tahmin edilmektedir:


Daha sonra,

. xtcsd, pesaran

komutu ile Pesaran testine ait sonuçlar alınabilmektedir.

Tesadüfi Etkiler Modelinde Birimler Arası Korelasyonun Pesaran’ın Testi İle Sınanması

6.3.3.2. Friedman’ın Testi

Bu test, sabit etkiler modelinde birimler arası korelasyon testleri başlığı altında detaylı olarak

anlatıldığından burada tekrarlanmayacaktır.


2.2.3. Bilgisayar Uygulamaları alt başlığında tanımlanan turizm gelirleri modelini kullanarak,

tesadüfi etkiler modelinde birimler arası korelasyonun varlığını Friedman’ın testi ile sınamak

isteyelim.

Tesadüfi etkiler modelinde birimler arası korelasyonun varlığını Friedman testi ile test etmek

için, öncelikle Tesadüfi Etkiler modeli tahmin edilmektedir:


Daha sonra,

. xtcsd, friedman

11 / 15

komutları kullanılarak, teste ait sonuçlar alınabilmektedir.

Tesadüfi Etkiler Modelinde Birimler Arası Korelasyonun Friedman’ın Testi İle Sınanması

6.3.3.3. Frees’in Testi

Bu test, sabit etkiler modelinde birimler arası korelasyon testleri başlığında detaylı olarak

anlatıldığından, burada tekrarlanmayacaktır.


Tesadüfi etkiler modelinde birimler arası korelasyonun varlığını Frees’in testi ile sınamak

için, öncelikle Tesadüfi Etkiler modeli tahmin edilmektedir;


daha sonra,

. xtcsd, frees


Tesadüfi Etkiler Modelinde Birimler Arası Korelasyonun Frees’in Testi İle Sınanması

12 / 15


KORELASYONUN VARLIĞINDA DİRENÇLİ TAHMİNCİLER VE

YÖNTEMLER


7.1.1. Bilgisayar Uygulaması Tesadüfi Etkiler Modelinde, heteroskedasiteye karşı dirençli standart hataları elde edebilmek

için,

. xtreg TG GT TH D1 IN YS, re robust


Tesadüfi Etkiler Tahmincisi (Dirençli Standart Hatalar)


7.2.1. Bilgisayar Uygulamaları Tesadüfi Etkiler Modelinde, kümelenmiş standart hataları elde edebilmek için,

. xtreg TG GT TH D1 IN YS, re cluster(id)


13 / 15

Tesadüfi Etkiler Tahmincisi (Dirençli Standart Hatalar)

7.3. AR(1) KALINTILI DOĞRUSAL REGRESYON MODELİ

7.3.1. Bilgisayar Uygulamaları Tesadüfi etkiler varsayımı ile AR(1) korelasyon yapısını dikkate alarak tahmin yapabilmek

için,

. xtregar TG GT TH D1 IN YS, re


Tesadüfi Etkiler Tahmincisi (AR(1) Korelasyon)

14 / 15

ÇALIŞMA SORULARI

1. Tesadüfi etkiler modelinde birimler arası korelasyon görülür mü? Tartışınız.

2. Tesadüfi etkiler modelinde otokorelasyon katsayısı ne ifade etmektedir?

3. Tesadüfi etkiler modelinde heteroskedasite ile genellikle neden karşılaşılmaktadır?

4. Tesadüfi etkiler modelinde sizce neden Driscoll Kray standart hatalar hesaplanmamaktadır?

5. AR(1) regresyon modeli tahmin edilince modelde hem heteroskedasite hem de

otokorelasyon düzeltilmektedir. Doğru Yanlış

15 / 15

KAYNAKÇA






ulkeler t id GT YS TH IN TG D1Austria 1993 1 9.812.304 6.478.509 9.017.726 4.094.345 9.513.182 0Austria 1994 1 9.792.221 6.477.003 9.148.996 470.048 9.484.329 0Austria 1995 1 9.751.094 6.471.001 9.363.662 5.010.635 9.588.297 0Austria 1996 1 9.746.249 6.461.781 9.376.786 6.309.918 9.546.098 0Austria 1997 1 9.719.985 6.451.418 922.582 6.633.318 9.310.185 0Austria 1998 1 9.761.463 6.449.538 9.168.685 7.114.769 9.330.432 0Austria 1999 1 9.768.068 6.475.063 9.125.872 7.517.521 9.308.827 0Austria 2000 1 9.797.127 6.465.554 9.043.459 7.901.007 921.014 0Austria 2001 1 9.808.078 6.465.756 9.100.079 8.055.158 9.239.025 0Austria 2002 1 9.831.508 6.443.702 9.154.828 8.113.726 9.318.028 0Austria 2003 1 9.856.291 6.447.448 9.372.204 8.224.163 9.535.462 0Austria 2004 1 9.871.635 6.456.927 9.328.301 8.268.732 9.636.001 0Austria 2005 1 9.880.229 6.454.837 9.403.962 8.327.194 9.693.598 0Belgium 1993 2 8.528.529 4.912.949 8.754.318 2.995.732 8.307.459 0Belgium 1994 2 8.567.506 4.981.687 8.993.924 4.248.495 8.622.634 0Belgium 1995 2 8.616.676 5.041.553 9.128.588 460.517 8.651.549 0Belgium 1996 2 8.667.336 5.057.964 9.055.089 5.703.783 8.495.561 0Belgium 1997 2 8.700.015 5.068.779 8.973.985 6.214.608 8.418.257 0Belgium 1998 2 8.723.882 5.049.087 9.025.335 6.684.612 8.438.799 0Belgium 1999 2 8.754.161 5.045.166 9.187.277 7.244.227 8.775.241 0Belgium 2000 2 8.764.522 5.066.385 9.151.546 8.006.368 8.793.612 0Belgium 2001 2 8.763.741 506.689 9.188.299 8.070.906 8.839.711 0Belgium 2002 2 8.804.325 5.084.567 9.227.787 8.131.531 884.376 0Belgium 2003 2 8.798.304 5.097.974 9.405.825 8.294.049 9.007.367 0Belgium 2004 2 8.796.641 5.133.502 9.538.492 834.284 9.123.801 0Belgium 2005 2 8.804.852 5.150.397 9.564.512 8.381.607 9.156.958 0Cyprus 1993 3 759.287 4.211.979 4.890.349 -.9162908 7.241.366 1Cyprus 1994 3 7.703.459 4.248.781 5.170.484 -.2231435 7.438.384 1Cyprus 1995 3 7.720.018 4.291.555 5.680.172 1.098.612 7.486.053 1Cyprus 1996 3 7.643.962 4.425.325 5.572.154 1.609.438 741.998 1Cyprus 1997 3 7.693.481 4.422.328 5.627.621 3.496.508 7.401.842 1Cyprus 1998 3 7.765.145 4.444.532 5.620.401 4.219.508 7.436.028 1Cyprus 1999 3 7.854.769 4.432.838 5.666.427 4.477.337 7.537.962 1Cyprus 2000 3 7.976.595 4.436.515 6.023.448 4.787.492 7.570.959 1Cyprus 2001 3 7.951.911 4.475.403 6.059.123 5.010.635 7.597.396 1Cyprus 2002 3 7.822.044 4.501.031 6.246.107 5.347.107 756.372 1Cyprus 2003 3 7.789.868 4.512.397 6.448.889 5.521.461 7.608.871 1Cyprus 2004 3 7.815.207 4.524.394 6.692.084 5.697.093 7.713.785 1Cyprus 2005 3 7.776.422 4.536.035 6.810.969 5.872.089 7.750.714 1Denmark 1993 4 8.114.235 4.575.329 8.075.272 3.401.197 8.023.552 0Denmark 1994 4 8.125.285 4.597.944 8.183.956 4.248.495 8.062.748 0Denmark 1995 4 8.136.404 4.595.019 8.361.709 5.298.317 8.208.491 0Denmark 1996 4 8.150.456 4.602.767 8.328.934 5.703.783 8.138.857 0Denmark 1997 4 816.338 4.589.447 8.327.726 639.693 8.066.208 0Denmark 1998 4 8.136.114 4.603.168 8.403.353 7.090.077 8.074.338 0Denmark 1999 4 8.113.379 4.613.337 849.372 7.393.878 8.149.024 0Denmark 2000 4 8.144.679 462.605 84.487 7.644.919 820.822 0Denmark 2001 4 8.185.907 4.635.311 8.488.999 7.740.664 82.948 0Denmark 2002 4 8.116.715 4.655.768 8.672.144 7.921.535 8.474.494 0

Denmark 2003 4 8.125.039 4.664.194 8.803.724 8.017.637 8.569.976 0Denmark 2004 4 8.087.333 4.692.357 8.892.749 8.092.239 8.639.765 0Denmark 2005 4 8.073.893 4.708.899 8.953.857 8.150.552 8.728.363 0France 1993 5 1.101.147 7.071.939 9.460.009 5.828.946 1.006.748 1France 1994 5 1.102.373 7.034.212 9.530.465 6.253.829 1.011.367 1France 1995 5 1.100.265 7.084.511 9.700.637 6.856.462 1.022.292 1France 1996 5 110.414 7.103.906 9.783.916 7.315.884 1.025.263 1France 1997 5 1.110.633 7.091.551 9.715.712 7.818.028 1.024.028 1France 1998 5 1.115.781 7.068.079 9.786.448 8.217.169 1.030.665 1France 1999 5 1.120.023 7.062.329 9.832.582 8.588.583 1.035.797 1France 2000 5 1.125.403 707.187 9.792.892 9.043.104 1.034.113 1France 2001 5 1.122.793 7.090.893 9.804.164 9.658.418 1.032.098 1France 2002 5 1.125.172 7.096.092 9.879.092 9.837.134 1.038.706 1France 2003 5 1.122.588 7.095.529 1.006.032 9.994.242 1.050.827 1France 2004 5 1.122.686 711.542 1.025.836 1.012.663 1.061.364 1France 2005 5 112.393 7.126.352 1.032.637 102.567 1.063.195 1Germany 1993 6 1.042.782 721.208 1.061.835 5.926.926 9.607.505 0Germany 1994 6 1.043.126 725.605 1.071.839 6.620.073 9.606.967 0Germany 1995 6 1.051.124 7.307.102 1.086.272 7.313.221 9.799.682 0Germany 1996 6 1.055.613 7.331.342 1.087.688 7.824.046 9.781.659 0Germany 1997 6 1.062.245 7.356.184 1.077.729 8.612.503 9.722.924 0Germany 1998 6 1.065.905 737.203 1.078.922 8.999.619 9.727.108 0Germany 1999 6 1.073.546 7.398.591 1.093.094 9.746.834 9.808.957 0Germany 2000 6 1.080.483 7.408.058 1.087.472 101.186 9.831.508 0Germany 2001 6 1.079.276 7.414.392 1.085.534 1.016.585 9.799.848 0Germany 2002 6 107.559 7.421.249 1.087.161 1.023.996 986.672 0Germany 2003 6 1.081.709 7.421.865 1.107.642 1.040.426 1.004.867 0Germany 2004 6 109.542 7.419.333 1.116.498 104.688 1.022.561 0Germany 2005 6 1.101.054 7.420.986 1.127.123 1.053.585 1.031.763 0Greece 1993 7 9.149.847 6.187.114 6.910.751 2.995.732 8.112.228 1Greece 1994 7 9.279.213 6.231.485 7.029.973 3.688.879 8.270.013 1Greece 1995 7 9.223.257 628.378 7.186.901 4.382.027 8.327.484 1Greece 1996 7 9.130.539 6.307.716 7.098.376 5.010.635 8.222.285 1Greece 1997 7 9.217.415 6.329.846 7.190.676 5.298.317 8.546.947 1Greece 1998 7 9.297.985 6.357.634 7.470.794 5.857.933 8.730.368 1Greece 1999 7 9.406.236 6.371.561 8.291.296 6.620.073 9.080.573 1Greece 2000 7 9.479.986 6.386.862 8.424.639 6.907.755 9.129.022 1Greece 2001 7 9.550.947 6.410.339 8.337.349 6.818.924 9.122.055 1Greece 2002 7 9.559.587 6.440.803 7.798.112 730.317 9.201.199 1Greece 2003 7 9.544.667 6.469.095 7.796.058 7.448.916 9.284.148 1Greece 2004 7 9.580.022 6.504.692 7.962.764 7.578.146 9.450.538 1Greece 2005 7 9.605.541 6.534.167 7.994.187 7.666.283 9.502.336 1Iceland 1993 8 5.056.246 2.065.596 5.598.422 194.591 4.867.535 0Iceland 1994 8 5.187.386 2.093.098 5.509.388 2.890.372 4.890.349 0Iceland 1995 8 5.247.024 2.175.887 5.641.907 3.401.197 5.117.994 0Iceland 1996 8 5.303.305 2.323.368 57.301 3.688.879 5.170.484 0Iceland 1997 8 5.308.268 2.371.178 5.780.744 4.317.488 5.153.292 0Iceland 1998 8 5.446.737 2.487.404 5.981.414 460.517 5.332.719 0Iceland 1999 8 5.572.154 2.526.528 6.073.044 5.010.635 5.398.163 0Iceland 2000 8 5.713.733 2.523.326 6.154.858 5.123.964 542.495 0

Iceland 2001 8 5.717.028 2.536.075 5.918.894 5.147.494 5.446.737 0Iceland 2002 8 5.659.378 2.639.771 5.913.503 5.231.109 5.545.177 0Iceland 2003 8 5.763.465 2.704.711 625.575 5.273 5.765.191 0Iceland 2004 8 5.887.797 2.740.195 654.103 5.418.808 5.913.503 0Iceland 2005 8 5.934.047 3.810.654 6.612.552 5.485.004 6.018.058 0Italy 1993 9 1.081.798 7.452.982 9.549.951 4.248.495 100.003 1Italy 1994 9 1.085.542 7.452.594 9.399.472 470.048 100.753 1Italy 1995 9 1.092.784 7.460.507 9.427.063 5.703.783 1.023.002 1Italy 1996 9 1.095.518 7.475.708 9.668.081 6.371.612 1.030.952 1Italy 1997 9 1.096.818 747.992 9.719.024 717.012 1.029.937 1Italy 1998 9 1.097.678 7.485.705 9.778.661 7.863.267 1.030.448 1Italy 1999 9 109.941 7.499.578 9.735.838 9.011.889 102.527 1Italy 2000 9 1.104.615 7.525.155 966.046 9.487.972 1.022.169 1Italy 2001 9 1.100.936 7.545.009 9.602.044 9.655.026 1.015.898 1Italy 2002 9 1.105.976 7.565.042 9.736.488 9.893.437 1.019.888 1Italy 2003 9 1.105.129 7.585.535 9.932.512 1.003.802 1.034.968 1Italy 2004 9 1.097.644 7.600.768 9.926.227 1.027.056 1.047.385 1Italy 2005 9 1.096.006 761.967 9.997.954 1.038.883 1.054.031 1Netherland 1993 11 8.658.172 4.890.574 9.102.087 5.703.783 8.453.188 0Netherland 1994 11 872.875 4.927.689 9.304.104 6.214.608 8.632.663 0Netherland 1995 11 8.790.877 4.959.482 9.346.182 6.907.755 8.659.039 0Netherland 1996 11 879.179 4.962.845 9.338.734 7.313.221 8.741.296 0Netherland 1997 11 8.967.122 4.969.813 9.335.916 7.696.213 8.755.737 0Netherland 1998 11 9.139.059 5.129.899 9.400.878 8.160.519 8.832.004 0Netherland 1999 11 919.766 5.135.798 9.398.479 8.732.305 8.853.094 0Netherland 2000 11 921.064 5.153.292 9.408.453 8.853.665 8.881.419 0Netherland 2001 11 9.159.047 5.159.055 9.392.161 8.974.618 8.811.056 0Netherland 2002 11 9.168.998 5.178.633 9.470.857 9.011.889 8.950.274 0Netherland 2003 11 9.124.891 5.193.845 9.587.612 9.047.821 9.132.271 0Netherland 2004 11 9.174.298 5.246.181 9.753.594 921.034 9.251.194 0Netherland 2005 11 9.185.871 5.269.506 9.794.662 9.290.368 9.327.965 0Norway 1993 12 7.846.199 4.813.322 8.120.886 4.787.492 7.569.928 0Norway 1994 12 7.948.032 4.861.362 8.219.326 5.192.957 7.709.308 0Norway 1995 12 7.965.546 4.876.875 8.347.827 5.634.789 7.777.374 0Norway 1996 12 7.917.901 4.894.251 8.419.801 6.684.612 7.784.057 0Norway 1997 12 7.901.748 4.909.783 838.206 6.802.395 7.704.361 0Norway 1998 12 8.088.255 4.921.367 8.461.469 6.907.755 7.709.757 0Norway 1999 12 8.078.068 4.924.714 846.569 7.003.066 7.755.767 0Norway 2000 12 8.040.447 4.945.777 8.424.639 7.090.077 7.625.595 0Norway 2001 12 803.041 4.968.423 8.380.916 7.184.629 7.579.679 0Norway 2002 12 80.427 496.724 8.541.105 7.243.513 7.686.621 0Norway 2003 12 8.092.239 4.968.423 8.795.582 7.367.077 7.826.443 0Norway 2004 12 8.188.967 4.949.469 9.033.961 7.491.087 7.983.099 0Norway 2005 12 8.226.918 495.046 9.113.912 7.560.778 8.075.598 0Portugal 1993 13 9.932.027 5.292.601 7.545.918 3.806.663 8.309.431 0Portugal 1994 13 9.987.782 5.310.443 7.437.206 4.276.666 8.250.098 0Portugal 1995 13 1.004.607 5.318.365 7.669.028 5.010.635 83.754 0Portugal 1996 13 1.005.415 5.338.547 7.733.246 5.703.783 8.358.197 0Portugal 1997 13 1.009.592 5.353.374 7.678.326 6.214.608 8.437.934 0Portugal 1998 13 101.872 5.373.286 7.748.891 6.907.755 8.575.839 0

Portugal 1999 13 1.020.415 5.379.114 7.723.562 7.313.221 8.568.076 0Portugal 2000 13 1.024.046 5.406.992 7.708.859 7.426.549 856.465 0Portugal 2001 13 1.024.527 543.228 7.656.337 7.528.332 8.607.034 0Portugal 2002 13 1.021.079 5.411.869 7.661.527 7.726.213 8.659.039 0Portugal 2003 13 102.231 5.475.459 7.786.967 7.891.331 879.179 0Portugal 2004 13 1.023.096 5.473.908 792.371 7.989.899 895.648 0Portugal 2005 13 1.023.929 5.491.126 7.960.411 8.068.184 9.004.505 0Spain 1993 14 1.052.589 6.916.953 8.462.737 3.912.023 9.890.453 1Spain 1994 14 1.067.434 7.032.051 832.579 470.048 9.974.179 1Spain 1995 14 1.056.625 6.979.164 8.403.129 5.010.635 1.014.203 1Spain 1996 14 1.061.007 6.991.664 850.086 6.265.301 1.019.204 1Spain 1997 14 1.058.537 7.005.263 8.404.472 7.012.115 1.019.058 1Spain 1998 14 1.067.812 7.022.172 8.517.393 7.457.609 1.030.357 1Spain 1999 14 1.075.313 7.156.185 8.616.676 7.948.032 103.889 1Spain 2000 14 1.077.681 7.182.124 8.625.509 8.609.955 1.035.628 1Spain 2001 14 1.082.164 7.195.518 8.692.825 8.907.613 1.039.486 1Spain 2002 14 1.086.527 7.240.922 8.804.175 8.969.033 1.042.771 1Spain 2003 14 1.083.671 7.280.642 9.022.202 9.189.014 1.063.993 1Spain 2004 14 1.086.723 7.320.917 9.312.716 957.032 1.074.078 1Spain 2005 14 1.088.024 7.355.699 9.437.088 9.699.544 1.083.955 1Sweden 1993 15 864.009 5.347.393 8.408.048 5.010.635 7.885.705 0Sweden 1994 15 8.751.894 5.398.615 8.488.793 5.703.783 7.941.651 0Sweden 1995 15 8.906.213 5.404.927 8.634.265 6.109.248 8.149.602 0Sweden 1996 15 8.881.828 5.311.678 8.771.525 6.684.612 8.204.398 0Sweden 1997 15 8.871.313 5.207.298 8.838.986 7.649.693 8.224.163 0Sweden 1998 15 8.879.979 521.792 8.951.958 7.993.282 8.340.218 0Sweden 1999 15 8.891.155 5.220.194 8.930.229 8.206.857 8.267.192 0Sweden 2000 15 8.902.556 5.238.142 8.993.179 8.305.978 8.309.923 0Sweden 2001 15 8.914.088 5.272.179 8.842.316 8.433.811 835.538 0Sweden 2002 15 8.917.043 5.197.392 8.895.766 8.541.885 8.457.443 0Sweden 2003 15 893.945 5.219.112 9.023.529 8.640.295 8.576.217 0Sweden 2004 15 8.951.548 5.246.972 9.204.926 8.824.677 8.708.805 0Sweden 2005 15 8.963.819 5.258.588 9.265.561 886.767 8.788.866 0Switzerland 1993 16 8.885.164 5.580.258 8.691.818 5.010.635 8.936.035 0Switzerland 1994 16 8.903.543 5.579.088 8.759.355 5.247.024 9.023.769 0Switzerland 1995 16 8.845.922 5.579.654 8.901.911 5.521.461 9.144.734 0Switzerland 1996 16 881.433 5.570.137 8.931.949 5.774.551 9.085.457 0Switzerland 1997 16 8.859.221 5.566.358 8.847.935 6.306.275 8.976.515 0Switzerland 1998 16 8.879.751 5.561.796 8.824.384 6.844.815 8.983.816 0Switzerland 1999 16 8.875.566 5.562.948 8.812.546 7.295.056 8.957.897 0Switzerland 2000 16 8.964.568 5.559.604 8.753.845 7.647.786 893.274 0Switzerland 2001 16 891.664 5.561.143 8.737.934 7.937.375 8.923.325 0Switzerland 2002 16 8.834.337 5.556.828 8.805.975 8.006.368 8.972.717 0Switzerland 2003 16 8.784.163 5.555.785 8.917.713 8.131.531 9.123.584 0Switzerland 2004 16 8.763.535 5.553.967 9.080.118 8.160.519 9.249.465 0Switzerland 2005 16 8.723.467 5.552.572 9.136.134 8.208.032 9.300.182 0Turkey 1993 17 8.779.712 5.432.149 6.839.477 1.609.438 8.283.747 1Turkey 1994 17 8.805.525 5.555.205 6.763.885 3.401.197 8.371.243 1Turkey 1995 17 8.952.476 561.342 681.564 3.912.023 8.508.556 1Turkey 1996 17 9.061.144 5.689.481 7.142.828 4.787.492 8.693.161 1

Turkey 1997 17 9.178.746 5.730.424 7.447.751 5.703.783 8.998.137 1Turkey 1998 17 918.533 5.733.374 7.469.654 6.109.248 8.963.032 1Turkey 1999 17 8.920.923 5.755.521 7.293.698 7.313.221 8.556.991 1Turkey 2000 17 9.252.346 5.806.129 7.446.002 7.824.046 8.940.629 1Turkey 2001 17 9.360.397 5.904.299 746.049 8.160.519 9.217.018 1Turkey 2002 17 949.213 597.564 7.539.559 836.637 9.384.377 1Turkey 2003 17 9.548.882 6.035.912 7.655.864 8.699.514 9.488.199 1Turkey 2004 17 9.770.927 6.060.501 78.336 9.232.101 967.332 1Turkey 2005 17 9.839.801 6.124.443 7.880.956 9.513.821 9.753.048 1United King 1993 18 9.896.614 6.782.713 9.876.989 5.703.783 9.564.161 0United King 1994 18 994.242 6.788.082 9.998.707 639.693 9.614.872 0United King 1995 18 1.006.633 6.779.524 1.009.691 7.003.066 9.828.441 0United King 1996 18 1.013.313 6.947.629 1.013.892 7.783.224 9.861.259 0United King 1997 18 1.014.702 697.799 1.022.955 8.368.693 9.905.436 0United King 1998 18 10.156 6.986.354 103.818 8.987.197 9.951.229 0United King 1999 18 1.014.227 7.003.057 1.048.097 9.433.484 9.914.576 0United King 2000 18 1.013.496 7.013.016 1.055.221 9.667.766 9.988.242 0United King 2001 18 1.003.605 7.029.973 1.054.352 9.893.437 9.845.011 0United King 2002 18 1.009.328 7.080.027 1.063.931 1.012.663 9.930.568 0United King 2003 18 1.011.517 6.967.909 1.077.589 1.044.581 1.002.871 0United King 2004 18 1.023.117 7.109.062 1.094.072 1.053.476 1.024.665 0United King 2005 18 1.025.826 7.137.159 1.101.978 1.062.365 1.031.956 0Croatia 1993 21 9.670.609 5.314.978 5.926.926 1.585.145 7.170.888 1Croatia 1994 21 9.822.331 5.319.687 5.986.452 260.417 7.496.098 1Croatia 1995 21 9.686.575 5.324.131 6.042.633 318.387 7.208.601 1Croatia 1996 21 9.856.658 5.303.155 6.234.411 3.654.805 7.607.878 1Croatia 1997 21 1.007.154 5.293.958 6.272.877 4.361.186 7.833.204 1Croatia 1998 21 1.014.639 5.296.165 639.693 50.123 7.913.155 1Croatia 1999 21 1.028.244 5.266.414 6.621.406 5.294.209 7.821.242 1Croatia 2000 21 1.052.476 5.295.664 6.342.122 5.694.338 7.922.261 1Croatia 2001 21 1.059.985 5.203.897 640.688 6.224.103 8.112.228 1Croatia 2002 21 1.063.912 5.236.176 6.660.575 6.663.005 824.591 1Croatia 2003 21 1.066.562 5.265.484 6.510.258 6.922.437 8.760.453 1Croatia 2004 21 1.071.384 5.293.456 6.732.211 7.173.092 8.849.801 1Croatia 2005 21 1.076.127 5.323.303 6.790.806 733.197 892.644 1Czech Repu 1993 22 1.118.075 445.609 62.672 4.094.345 73.518 0Czech Repu 1994 22 1.152.426 4.540.845 736.834 4.867.535 7.709.757 0Czech Repu 1995 22 1.149.333 4.876.342 7.398.174 5.010.635 7.963.808 0Czech Repu 1996 22 1.160.281 5.226.875 7.990.577 5.298.317 8.312.626 0Czech Repu 1997 22 1.158.881 5.388.067 7.774.856 5.703.783 820.166 0Czech Repu 1998 22 1.154.096 5.431.405 7.546.446 5.991.465 8.261.269 0Czech Repu 1999 22 1.152.121 5.433.329 731.055 655.108 8.056.427 0Czech Repu 2000 22 1.155.451 5.465.864 7.151.485 6.907.755 7.997.327 0Czech Repu 2001 22 1.154.316 5.427.546 7.234.177 7.313.221 7.651.596 0Czech Repu 2002 22 1.148.869 5.613.384 7.375.882 7.863.267 7.994.295 0Czech Repu 2003 22 1.146.147 5.417.388 7.567.346 8.039.157 7.850.103 0Czech Repu 2004 22 1.147.103 5.446.996 7.731.492 8.536.996 8.338.784 0Czech Repu 2005 22 1.145.043 5.451.639 780.472 8.722.767 8.481.224 0Estonia 1993 23 7.377.759 2.012.233 3.218.876 1.609.438 3.912.023 0Estonia 1994 23 7.549.609 2.045.109 3.871.201 2.833.213 4.521.789 0

Estonia 1995 23 7.654.443 2.140.066 4.510.859 3.688.879 5.866.468 0Estonia 1996 23 7.801.391 221.047 4.584.968 3.912.023 6.152.733 0Estonia 1997 23 7.870.166 2.270.062 4.770.685 4.382.027 6.142.037 0Estonia 1998 23 7.975.564 2.477.378 4.890.349 5.010.635 6.280.396 0Estonia 1999 23 8.064.951 262.684 5.379.897 5.298.317 6.327.937 0Estonia 2000 23 8.104.704 2.923.162 531.812 5.971.262 6.224.558 0Estonia 2001 23 8.080.237 3.012.589 5.257.495 6.063.785 6.228.511 0Estonia 2002 23 8.087.333 3.128.951 5.442.418 6.095.825 6.318.968 0Estonia 2003 23 8.124.743 3.313.822 5.765.191 639.693 6.505.784 0Estonia 2004 23 8.140.033 3.493.473 5.991.465 6.507.277 6.777.647 0Estonia 2005 23 8.149.111 3.585.739 6.149.237 6.576.456 6.880.158 0Hungary 1993 24 106.115 4.688.224 6.608.001 2.995.732 7.074.117 0Hungary 1994 24 1.059.253 4.738.389 6.829.794 3.912.023 726.403 0Hungary 1995 24 1.057.745 4.780.047 6.975.414 4.248.495 7.451.822 0Hungary 1996 24 1.059.245 4.849.292 6.863.803 460.517 7.716.906 0Hungary 1997 24 1.052.712 4.893.052 6.829.794 5.298.317 8.143.227 0Hungary 1998 24 10.423 4.915.665 701.661 5.991.465 8.164.511 0Hungary 1999 24 1.026.824 4.973.971 7.084.227 639.693 8.133.588 0Hungary 2000 24 1.034.631 4.966.823 7.409.136 6.572.282 8.224.967 0Hungary 2001 24 1.033.137 4.998.765 7.499.977 7.299.798 8.331.827 0Hungary 2002 24 1.036.533 50.411 7.665.285 7.377.759 8.223.627 0Hungary 2003 24 1.035.491 5.066.575 7.860.956 7.783.224 8.309.184 0Hungary 2004 24 1.043.217 5.062.405 7.954.372 7.901.007 8.302.514 0Hungary 2005 24 1.045.434 5.086.423 8.040.424 8.083.171 8.325.473 0Poland 1993 27 1.101.783 4.494.797 5.198.497 3.912.023 839.841 0Poland 1994 27 1.121.523 4.475.517 5.755.742 5.010.635 8.724.207 0Poland 1995 27 1.131.745 4.535.927 8.612.503 5.521.461 8.794.825 0Poland 1996 27 1.137.865 4.609.461 8.738.735 6.214.608 9.041.211 0Poland 1997 27 1.138.301 4.712.409 8.656.955 6.684.612 9.068.662 0Poland 1998 27 113.918 4.792.397 8.396.154 7.365.813 8.980.424 0Poland 1999 27 1.139.772 4.789.906 8.188.689 7.649.693 8.716.044 0Poland 2000 27 1.134.468 4.789.823 8.105.609 7.937.375 8.644.178 0Poland 2001 27 1.102.567 4.772.463 8.159.089 8.242.756 8.443.762 0Poland 2002 27 1.083.437 4.848.587 8.071.531 9.091.557 8.369.621 0Poland 2003 27 108.615 4.900.225 7.937.732 9.101.641 8.311.152 0Poland 2004 27 1.103.357 5.107.822 8.253.488 910.498 8.671.287 0Poland 2005 27 1.106.069 5.190.677 8.306.356 9.232.797 8.701.734 0Romania 1993 28 8.663.197 5.146.389 5.273 0 5.283.204 0Romania 1994 28 8.682.368 5.334.505 6.107.023 1.791.759 6.025.866 0Romania 1995 28 8.602.453 5.326.273 6.546.785 2.833.213 6.380.123 0Romania 1996 28 8.557.375 5.355.123 650.129 3.912.023 6.270.988 0Romania 1997 28 8.546.752 5.318.708 6.663.133 460.517 6.265.301 0Romania 1998 28 8.483.016 5.320.568 6.111.467 6.214.608 5.560.682 0Romania 1999 28 8.560.827 5.312.565 5.978.886 639.693 5.537.334 0Romania 2000 28 8.568.646 5.294.962 6.052.089 6.684.612 5.883.322 0Romania 2001 28 8.504.513 5.294.911 6.107.023 6.907.755 5.891.644 0Romania 2002 28 8.475.121 5.284.827 5.981.414 7.696.213 581.413 0Romania 2003 28 862.945 5.306.484 61.717 8.294.049 6.107.023 0Romania 2004 28 8.794.673 5.336.624 6.289.716 8.411.833 622.059 0Romania 2005 28 8.826.119 5.347.155 6.355.813 8.501.234 6.314.616 0

Slovakia 1993 30 8.572.817 3.820.127 5.568.345 194.591 5.966.147 0Slovakia 1994 30 9.208.138 3.925.531 5.648.974 2.833.213 6.342.122 0Slovakia 1995 30 9.436.041 3.987.501 5.799.093 3.332.205 6.429.719 0Slovakia 1996 30 9.646.981 406.783 6.180.017 373.767 6.511.745 0Slovakia 1997 30 9.595.738 3.868.071 6.084.499 4.143.135 6.302.619 0Slovakia 1998 30 9.651.301 4.259.152 6.163.315 4.976.734 6.192.362 0Slovakia 1999 30 950.718 4.282.897 5.826 5.676.754 6.133.398 0Slovakia 2000 30 9.410.583 4.290.596 569.036 6.228.511 6.070.738 0Slovakia 2001 30 9.381.349 4.408.669 5.666.427 651.323 6.463.029 0Slovakia 2002 30 9.361.429 447.221 609.131 6.760.415 660.123 0Slovakia 2003 30 9.347.926 4.508.329 6.350.886 7.226.936 676.273 0Slovakia 2004 30 9.442.245 449.981 6.613.384 7.730.175 6.803.505 0Slovakia 2005 30 9.451.444 4.553.245 6.751.429 7.889.781 6.889.897 0Slovenia 1993 31 6.436.151 3.547.604 5.720.312 2.079.442 6.598.509 1Slovenia 1994 31 6.617.403 3.570.659 5.910.797 3.044.523 6.865.891 1Slovenia 1995 31 659.578 3.522.825 6.261.492 4.043.051 6.986.567 1Slovenia 1996 31 6.723.833 3.584.352 6.400.258 460.517 7.122.867 1Slovenia 1997 31 6.881.411 3.517.795 6.249.975 5.010.635 7.079.185 1Slovenia 1998 31 6.884.487 3.519.573 6.324.359 5.298.317 6.992.096 1Slovenia 1999 31 6.785.588 3.474.138 6.289.716 5.521.461 6.860.664 1Slovenia 2000 31 6.993.933 3.511.545 623.637 5.703.783 6.867.974 1Slovenia 2001 31 7.105.786 3.417.399 6.269.096 639.693 6.908.755 1Slovenia 2002 31 7.171.657 3.424.914 6.410.175 6.620.073 6.990.256 1Slovenia 2003 31 7.224.753 3.465.736 6.622.736 6.684.612 7.201.916 1Slovenia 2004 31 7.312.553 3.485.845 6.769.642 6.856.462 7.393.263 1Slovenia 2005 31 7.372.256 3.498.929 6.853.722 6.939.903 7.475.878 1

fakÜlte / yÜksekokul: İktİsat fakÜltesİ

Documents