f2-120, vjezbe 2

Fizika 2

Auditorne vjebe 2 Prigueno titranje. Njihala.

Ivica Sori

([email protected])

Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje

Studij raunarstva

Raunarstvo, Fizika 2, Vjebe 2 2

Ponavljanje Prigueno titranje

Prigueno titranje: uz pretpostavku da je sila trenja proporcionalna brzini (Ftr = -bv), gdje je b konstanta trenja, jednadba gibanja za prigueno titranje je:

gdje je faktor priguenja, a 02=k/m vlastita frekvencija nepriguenog

oscilatora.

Rjeenje jednadbe gibanja je:

uz

Kao karakteristike priguenih titrajnih sistema definiraju se logaritamski dekrement titranja i faktor kvalitete (dobrote) Q:

0d

d2

d

d0

d

d

d

d 202

2

2

2

xt

x

t

xx

m

k

t

x

m

b

t

x

)sin()( 0 tAetx t

22

0

/, QT


Primjer 1

Uteg mase 0,1 kg titra na opruzi konstante 1,6 N/m. Sila otpora proporcionalna je brzini i iznosi 0,2v. a) Napiite jednadbu gibanja i njezino ope rjeenje. b) Rijeite tu jednadbu, tj. odredite s(t) uz poetne uvjete t=0 s, x = 0,1 m, v = 0 m/s. Nacrtajte s(t).

Rezultati:

318,115sin103,0)())sin()(

4;1

0d

d2

d

d)

11

0

1

0

1

02

2

1

tsemtxb

tAetx

ss

xt

x

t

xa

ts

t


Primjer 2

U sistemu na slici masa tijela iznosi m = 0,25 kg, a konstanta opruge k = 25 N/m. Odredite: a) krunu frekvenciju sistema 0 kad tijelo nije uronjeno u tekuinu; b) vrijednost faktora b za koju e gibanje biti kritiki prigueno ako je sila otpora tekuine F = - b v; Ako je b = 0,5 N s m-1 izraunajte:

c) krunu frekvenciju sistema kad je tijelo uronjeno u tekuinu;

d) logaritamski dekrement i faktor dobrote sistema.

Rezultat: a) 0 = 10 s-1; b) b = 5 kg s-1; c) = 9,95 s

-1; d) q = 0,63, d = 5.


Primjer 3

Uteg mase m=0,5 kg objeen o oprugu konstante elastinosti k = 32 N/m prigueno titra. Odredite period titranja sustava, ako se za vrijeme unutar kojeg uteg napravi dva puna titraja, amplituda titranja smanji 20 puta.

Rezultat: T = 0,807 s


Primjer 4

Matematiko njihalo sastoji se od kuglice radijusa r = 5 mm objeene na nit duljine l = 1 m. Ispitajte kako viskoznost zraka utie na period i amplitudu njihanja. Za koje se vrijema amplituda smanji za 10 %. Viskoznost zraka iznosi = 1,7810-5 kg m-1 s-1, a gustoa aluminija je = 2650 kg m-3.

Rezultat: t = 2,9 minuta


Ponavljanje energija titranja

Pri titranju materijalne toke kinetika energija stalno prelazi u potencijalnu, i obratno, i pri tom vrijede sljedee relacije:

Ukupna energija je:

2 2 2 2

k 0

2 2 2

p 0

1 mE mv A cos ( t )

2 2

1 kE kx A sin ( t )

2 2

2

2

1kAEEE pk


Primjer 1

Odredite masu tijela koje izvodi harmonijsko titranje amplitude A=0,2 m, frekvencije f=4 Hz, ako je ukupna energija tijela 7,710-2 J. U poetnom trenutku tijelo se nalazi u poloaju maksimalnog pomaka. Kroz koliko e vremena od poetka titranja potencijalna energija tijela biti jednaka kinetikoj?

Rezultat: m = 6,01 g, t = 31,25 ms


Primjer 2

Na glatkoj horizontalnoj povrini lei tijelo mase M = 0,35 kg privreno na oprugu konstante elastinosti k = 5104 N/m, kao na slici. Metak mase m = 0,05 kg i brzine v = 600 m/s pogaa tijelo u smjeru osi opruge i zabija se u njega. Odredite amplitudu i period titranja koje nastaje poslije sudara. Zanemarite masu opruge i trenje izmeu tijela i opruge.

Rezultat: A = 0,21 m, T = 0,0178 s

kMm

v


Ponavljanje - njihala

Kruto tijelo koje se moe okretati oko horizonstalne osi koja ne prolazi kroz njegovo teite zove se fiziko njihalo.

Ako se takvo tijelo izvue iz poloaja ravnotee za kut i prepusti samo sebi, ono se njie pod utjecajem momenta teine.

Za mali kut titranje je harmoniko s periodom T gdje je I moment tromosti s obzirom na os, a d udaljenost osi rotacije od teita tijela.

Sitno tijelo mase m objeeno o nit stalne duljine l, a zanemarive teine zove se matematiko njihalo.

Izvedemo li tijelo iz poloaja ravnotee u stranu za kut i prepustimo ga samom sebi, ono se njie.

Za mali kut titranje je harmoniko s periodom

Reducirana duljina fizikog njihala lr je duljina matematikog njihala koje ima isti period kao (pripadno) fiziko njihalo

g

lT 2

mgd

IT 2

md

Ilr


Primjer 1

Matematiko njihalo mase m = 0,1 kg i duljine l = 1 m titra harmonijski. Ako se kut izmeu niti njihala i vertikale moe prikazati zakonom =0,25sin(t), odredite iznos sile napetosti u niti u trenutku t = 0 i t = T/8 t = T/4 i t = T/2.

Rezultati: F(0) = 1,042 N, F(T/8) = 0,996 N, F(T/4) = 0,951 N, F(T/2) = 1,042 N


Primjer 2

Kugla polumjera R = 0,05 m objeena o konac duljine l = 0,1 m njie se s malim kutem otklona. Odredite pogreku koju inimo u izraunu titrajnog vremena ako sistem smatramo matematikim njihalom duljine 0,15 m.

Rezultati: 2,15 %


Primjer 3

Od homogene eline ice napravljena su tri okvira: a) jednakostranini trokut stranice a; b) prsten polumjera r; c) kvadrat stranice b.

Okviri su objeeni tako da se mogu njihati oko horizontalne osi okomite na ravninu okvira. Odredite dimenzije okvira za koje e titrajno vrijeme za svaki okvir biti jednako periodu titranja matematikog njihala duljine 1 m.

Rezultati:

2 2 1 6a ) a m ; b ) r m ; c ) b m

3 2 7


Primjer 4

Koliki je period fizikog njihala u obliku homogenog tapa duine L = 1 m, ako se njie oko osi koja prolazi a) jednim njegovim krajem, b) kroz toku udaljenu za d = L/6 od sredine tapa, c) kroz toku udaljenu za d = L/4 od sredine tapa? d) kroz toku udaljenu za d = L/3 od sredine tapa? e) Kada je period minimalan, a kada maksimalan? Rezultati: a) T = 1,637 s, b) T = 1, 637 s,

c) T = 1,532 s, d) T = 1,532 s d) d = 0 T = , d = T = Tmin= 1,524 s 6/3L


Primjer 5 (domai rad)

Ravni tap duljine l i mase m njie se kao fiziko njihalo oko svojega kraja. Po tapu se moe pomicati uteg mase . Na kojoj je udaljenosti r od osi njihanja potrebno uvrstiti uteg da to fiziko njihalo ima najkrai period.

Rezultat:

1

3

41

2 m

mlr


Zadaci za vjebu (1)

V. Hen-Bartoli i dr.: Rijeeni zadaci iz valova i optike, Poglavlje 1

1. Ako se njihalica ure produi za stoti dio svoje duljine, kolika e biti pogreka ure u toku jednog dana? Raun provesti smatrajui njihalicu matematikim njihalom.

Rezultat: ura kasni 7,182 minute

2. Koliki je period titranja matematikog njihala duljine l u dizalu koje se sputa akceleracijom a = g, a koliki ako se dizalo tom istom akceleracijom podie.

Rezultati: T = , T =

3. Kugla polumjera R = 0,05 m objeena je o konac duljine l = 0,1 m. Odredite pogreku koju inimo ako sistem smatramo matematikim njihalom duljine 0,15 m.

Rezultat: 2,15%

)2/(2 gl


Zadaci za vjebu (2)

4. Na kojoj udaljenosti x od centra mase tankog homogenog tapa duljine L = 1,2 m mora biti objesite, da bi tap titrao maksimalnom frekvencijom? Odredite iznos te frekvencije.

Rezultat: f = 0,599 Hz

5. tap duljine L = 1 m objeen je o jedan kraj. Naite period titranja i duljinu ekvivalentnog matematikog njihala. Naite period titranja tapa oko osi koja je od donjeg kraja tapa udaljena za duljinu ekvivalentnog matematikog njihala.

Rezultati: T1 = 1,64 s, Lr = 2L/3, T2 = 1,64 s

6. Fizikalno njihalo u obliku homogenog tapa duljine L objeeno je u dizalu. Gdje treba postaviti os titranja da bi period titranja tapa u dizalu koje se podie akceleracijom a = g/2 bio isti kao period titranja tapa kad dizalo miruje, a os je na kraju tapa?

Rezultati: 0,408L od gornjeg kraja tapa 7. Homogeni kruni disk radijusa R moe titrati u vertikalnoj ravnini oko

horizontalne osi koja je okomita na ravninu diska i prolazi obodom diska. Na kojoj se udaljenosti od osi rotacije, a na vertikalnom promjeru diska moe zalijepiti tokasta masa, a da se titrajno vrijeme diska ne promijeni?

Rezultat: 3R/2

f2-120, vjezbe 2

Documents