EL HAMILTONIANO

CAPITULO 15

LA ECUACIN DE SCHRDINGER II

15-1 EL HAMILTONIANO

A manera de recapitulacin, recordemos que llegamos a una forma de la ecuacin de Schrodinger, ecuacin (14-16), que no contena explcitamente una dependencia del tiempo.

Donde ( = ( (x) es la funcin de onda, V = V(x) es la energa potencial, y E es la energa total. La ecuacin es aplicable solamente a campos conservativos, o sea, aquellos en que la energa total.

constante

Es una constante del movimiento. Cuando la energa cintica se expresa en trminos del momento p, y no en funcin de la velocidad v, la ecuacin (15-2) se puede escribir.

constante

En la mecnica clsica la funcin H(p.x) es llamada el Hamiltoniano del sistema. Ya que en la ecuacin (15-1) slo aparecen funciones de la posicin, es llamada forma de estado estacionario o independiente del tiempo de la ecuacin de onda de Schrodinger. Trae a la mente la visin de una onda estacionaria de alguna especie. Si, para un caso particular, esta ecuacin tienen una solucin ( = ( (x), podemos sospechar que la onda es reflejada adelante y hacia atrs, de alguna forma, para producir una onda estacionaria. La partcula (que, despus de todo, es descrita por la funcin) debe estar rebotando elsticamente entre dos paredes.

Es posible, desde luego, tener un sistema de ondas estacionarias en que la amplitud decaiga con el tiempo. En tales casos es mejor usar la ecuacin general (14-7)

Pero con la funcin de onda se parada como en la ecuacin (14-13)

Si la partcula se mueve en un campo conservativo de fuerzas, entonces la funcin del potencial V = V(x) es independiente del tiempo, la energa total H = (p2/2m) + V 0 E es una constante, que puede tomarse arbitrariamente como cero. La frecuencia y longitud de onda de la onda asociada estn dadas por las ecuaciones v = E/h y ( = h/p.

15-2 OPERADORES

Las formas de la ecuacin de onda que hemos descrito hasta ahora pueden ser transformadas convenientemente a la forma de operadores. Un operador, en general es una expresin que acta sobre una funcin dentro de cierto dominio para producir nuevos valores que ocupen un rango dado. Por ejemplo, el nmero 2, actuando como multiplicador, transforma todo valor en el dominio de una funcin en dos veces ese valor en el rango. Entonces resulta correcto decir que 2 es un operador aritmtico. El operador diferencial d/dx aplicado a una funcin f(x) en el sentido usual transforma todo valor de f(x) en el valor de su derivada (d/dx) f(x) = f`(x). Ahora, inspeccionando la ecuacin independiente del tiempo (15-1) vemos que podemos escribir en la forma.

La expresin completa dentro del parntesis del miembro del lado izquierdo se puede definir como un operador.

Llamado el operador Hamiltoniano debido a su similitud con la funcin Hamiltoniana de la mecnica clsica (vers ecuacin (15-3). Entonces la ecuacin independiente del tiempo (15-6) se escribe.

La funcin ( no se puede cancelar de esta ecuacin, ya que H no es un multiplicador escalar simple, mientras que E es el valor de una energa. La ecuacin (15-8) se debe interpretar en la forma: (operador H) actuando sobre la funcin ( = (energa total) multiplicando la funcin (.

En el caso tridimensional, la ecuacin (15-1) puede escribirse en la forma.

Donde ( = ((x, y, z), V = (x, y, z), y el operador Hamiltoniano tridimensional es

Comparemos ahora las ecuaciones (15-3) (15-6). Son las mismas siempre y cuando ambos lados de la ecuacin (15-3) sean interpretados como operadores, operando cada uno sobre la funcin de onda ( -y si el momento p, como a parece en la ecuacin (15-3), se define como el operador.

EMBED Equation.3 En vista del operador tridimensional ms general (H, dado en la ecuacin (15-10), debemos usar un operador de derivada parcial para representar una componente particular del momento p, y escribir.

Las otras dos componentes del operador del momento son:

y

Regresando por ahora a la ecuacin de Schroding (15-4), unidimensional, dependiente del tiempo, podemos, por medio de simples manipulaciones algebraicas, escribir.

Pero (H = -h2/2m((2/(2x)+V es el operador Hamiltoniano, por lo tanto es una forma ms abreviada la ecuacin de Schodinger dependiente del tiempo se puede escribir.

La comparacin de las ecuaciones (15-8) y (15-15) sugiere que ahora podemos definir un operador de energa en la forma.

As que en forma de operador, la ecuacin de Schodinger dependiente del tiempo se puede escribir como

Muy semejante a la forma independiente del tiempo, ecuacin (15-8)

De nuevo, la funcin ( (x, t) no puede cancelarse en la ecuacin (15-17), ya que el significado de la ecuacin es

(operador (H) actuando sobre la funcin ( = operador (E actuando sobre la funcin (.

Donde ni (H ni E son multiplicadores escalares simples.

Si la ecuacin general (15-15) describe una partcula libre que no experimenta fuerzas en ninguna parte, entonces la energa total E puede tener cualquier valor. Esto da por resultado un mnimo infinito de soluciones posibles ( (x, y, z, t) de la ecuacin de onda. Una situacin fsica independiente del tiempo puede ser representada por una partcula libre contenida en algn recipiente finito de paredes rgidas; entonces debemos usar la ecuacin (15-8) (H ( = E(, donde ((x, y, z) es una funcin que depende solamente de la posicin. En este caso, slo se permiten ciertos valores particulares ( (x, y, z) de la ecuacin de onda.

Estas son simbolizadas por sistemas de ondas estacionarias, en las que cada longitud de onda y frecuencia corresponden a una diferente solucin (t.

Las soluciones permitidas (t son llamadas funciones propias o caractersticas, y las energas correspondientes son llamadas energas propias o caractersticas.

15-2(a) VALORES PROMEDIO O ESPERADOS

Se ha dicho que la ecuacin de Schrodinger es, en la mecnica cuntica, lo que la segunda ley de Newton en la mecnica clsica. Una de las diferencias entre las dos mecnicas, es que en la clsica s podemos conocer con exactitud y simultneamente la posicin y el momento de una partcula, mientras que en la cuntica el principio de incertidumbre lmite nuestro conocimiento de cantidades como stas a las que hemos llamado variables conjugadas.

La mecnica cuntica slo nos permite conocer la funcin ( * (, la posicin y el momento ms probables de una partcula en un cierto instante, o bien, cules son los valores ms probables de cualesquier par de variables conjugadas en un instante dado. Esto nos obliga a buscar los valores ms probables de las cantidades dinmicas observables con las que tratamos usualmente, valores que coinciden con los que en matemticas conocemos como valores promedio o esperados. Tambin es posible encontrar los valores esperados de los operadores correspondientes a algunas cantidades dinmicas.

Si hacemos esto y luego sustituimos estos valores, en lugar de las cantidades correspondientes en las ecuaciones de la mecnica clsica, estamos efectuando una transmisin de la mecnica clsica a la cuntica y empleando tcitamente el teorema de Ehrenfest, el cual nos permite hacer esto, sirviendo como eslabn entre las dos mecnicas, y constituyendo as, una aplicacin ms del principio de correspondencia.

La frmula clave para obtener los valores esperados de cualquier cantidad dinmica o de su operador correspondiente es.

Donde A es una cantidad u operador arbitrario, y dv cambia a dx en caso de tratarse de una densidad por unidad de longitud. El orden de los trmicos en el integrando debe ser el que aparece en la ecuacin, si se est tratando de obtener el valor esperado de un operador diferencial, aunque puede alterarse si la cantidad cuyo promedio se busca no tiene operadores diferenciales. El producto ( * ( acta como una funcin de distribucin o factor de peso siempre y cuando ( est normaliza. O sea, si se cumple la ecuacin.

Por ejemplo, el valor esperado de la posicin de una partcula descrita por la funcin de onda ( (x, t), en una dimensin, es.

Si el momento de esta partcula es px, su valor esperado ser, usando la ecuacin (15-12)

Si adems esta partcula est describiendo un movimiento armnico simple, el valor esperado de su energa potencial V(x, t) puede escribirse.

Ya que V(x,t) es una cantidad algebraica

EJEMPLO 15-1: Calcule el valor esperado de la energa cintica de una partcula que se encuentra dentro de una caja de longitud L, cuya funcin de onda es:

SOLUCION: Sabemos que la energa cintica se puede expresar en la forma.

Ya que aqu interviene p2x necesitamos buscar su operador correspondiente. De la ecuacin (15-12)

(Px =

Por lo tanto:

Es el operador correspondiente a p2x. El valor esperado de la energa cintica, de acuerdo con la ecuacin (15-1)a se puede poner en la forma.

Sustituyendo los valores de (* y (, obtenemos

Por lo tanto

.

Ya que depende de n, y n solo puede tomar los valores 1, 2, 3, Concluimos que la energa cintica est cuantetizada en valores discretos.

EJEMPLO 15-2: Derive con respecto al tiempo el valor esperado del momento, y use la ecuacin de Schrodinger para encontrar la ecuacin cuntica correspondiente a la segunda ley de Newton.

SOLUCION: Derivando la ecuacin (15-3a)

De la ecuacin (1-7) obtenemos

El conjugado completo de esta ecuacin es

Sustituyendo en la ecuacin (15-5) obtenemos

Es sencillo comprobar que esta ecuacin puede tomar la forma.

Pero, segn nuestro requisito nmero 5

Por lo tanto, la cantidad entre parntesis se desvanece, y de acuerdo con nuestra definicin (15-1a) la integral del lado derecho es igual al valor esperado de la derivada espacial de la energa potencial, y sta es igual al valor esperado de la fuerza, as que

que es una de las formas del teorema de Ehrenfest.

15-3 EL POZO POTENCIAL

Como una aplicacin sencilla de la ecuacin de Schrodinger de estado estacionario, consideremos el caso de una partcula atrapada en un pozo de potencial infinitamente profundo. Imagine que este pozo tiene un potencial cero a lo largo de un intervalo finito del eje x y un potencial infinito en todo el resto del eje (ver figura 15-1)- Podemos visualizar esta situacin como describiendo una partcula que se mueve a lo largo del eje x dentro de una caja con paredes infinitamente duras y perfectamente rgidas en las cuales la partcula rebota elsticamente.

En trminos de las condiciones fronterizas impuestas por el problema, la funcin del potencial es

V = 0 para0< x < L

V =(para x(0

V = (para x(L

Figura 15-1

Una partcula de masa m est restringida a moverse en una direccin en un pozo de potencial. La partcula efecta choques perfectamente elsticos contra las paredes del potencial infinito.

En la forma en que se ha planteado el problema, hay certidumbre de que la partcula est dentro de la caja, y no existe ninguna posibilidad de que se encuentre afuera. Esto fija las condiciones sobre la funcin de onda

No se sabe con exactitud donde se halla la partcula en cualquier momento dentro de la caja, as que no se usarn datos dependientes del tiempo. Recordando la ecuacin de Schrodinger (15-1) independiente del tiempo, y haciendo V = O de acuerdo con las condiciones (15-18) obtenemos

que se puede escribir en la forma

donde

La ecuacin (15-20) describe la situacin de la partcula dentro de la caja. Esta ecuacin tiene la solucin

que representa la superposicin de dos ondas en la caja, cada una viajando en una direccin diferente a lo largo del eje x. Esta es justamente la condicin necesaria para que haya ondas estacionarias si se toma junto con las condiciones fronterizas apropiadas (paredes reflectoras). Es til verificar que la ecuacin (15-22) es una solucin de la ecuacin (15-20) de Schrodinger.

Las condiciones fronterizas dadas por la ecuacin (15-19), se pueden usar ahora para evaluar las constantes A y B de la ecuacin (15-22). Para ((x) = O en x = O, la ecuacin toma la forma

0 = A+B

Y

A = - B

Entonces

O por la ecuacin de Euler,

La segunda condicin fronteriza, ((x) = 0 para x = L, da

, ya que A ( 0

( L = n(

Y

para n = 1, 2, 3,

Entonces, la energa dada por la ecuacin (15-21) toma la siguiente forma, para cada valor de n

n= 1, 2, 3

La partcula slo puede tener aquellos valores de la energa dados por la ecuacin (15-23). Expresamos esto diciendo que la energa est cuantizada en valores o niveles discretos y que la partcula puede estar en cualquiera de los estados discretos disponibles a ella. Desde luego, slo puede tomar un valor a la vez en cualquier tiempo dado. Para tomar otro valor de la energa, debe recibir o perder algo de su energa. En cualquier caso la cantidad recibida o perdida debe ser justamente la suficiente para colocar a la partcula en otro de los estados posibles.

Note tambin que la partcula no puede tener una energa igual a cero. El valor mnimo posible dado por la ecuacin (15-23) se obtiene cuando n = 1, 0

Y los otros valores de la energa son 4E1, 9E1 16 E1, correspondientes a n= 2,3,4,,, Sin embargo, para que este valor mnimo E1 sea apreciablemente diferente de cero, el producto mL2 debe ser pequeo y del orden de h2. Ya que h = 6.625 x 10-34 J-seg, la magnitud del denominador debe ser muy pequea. El valor E1 dado por la ecuacin (15-24) es ligado energa del punto cero. En otras palabras la partcula no puede tener una energa igual a cero. Esta conclusin contradice a la mecnica clsica porque es un resultado del principio de incertidumbre. Es posible ver claramente la razn: ya que la partcula est limitada por un potencial infinito, su posicin es conocida dentro de una incertidumbre (x ( L; por lo tanto, de acuerdo con el principio de Heisenberg, la incertidumbre en su momento deber ser (p ( h/L. De acuerdo con este principio la energa nunca puede ser cero, porque esto implicara que (p = 0.

El momento lineal conjugado de cualquiera de los valores permitidos En se obtiene escribiendo.

n = 1,2,3

Y as el momento tambin est cuantizado en valores discretos permitidos. Se ve, de nuevo, que las dimensiones de la caja deben ser muy pequeas. El estudiante debe verificar que las dimensiones del lado derecho de la ecuacin (15-23) son las de energa, y las del lado derecho de la ecuacin (15-25) son las del momento lineal.

La expresin para la funcin de onda ( es

As que

Y la densidad de probabilidad es

Usando la condicin de normalizacin dada por la ecuacin (14-5), que nos expresa la certidumbre de que la partcula est en alguna parte dentro de la caja, escribimos.

La integracin da

Ya que esto debe ser igual a 1, la evaluacin de la constante da A = , y entonces las funciones caractersticas normalizadas son:

As para el caso de nuestra partcula en un pozo de potencial infinitamente profundo (en una caja con paredes perfectamente rgidas y reflectoras), la probabilidad de encontrarla dentro del pequeo intervalo dado por x1 = a y x2 = b, donde el intervalo yace completamente dentro de la caja, es

Los resultados del problema de la partcula en una caja se resumen en la tabla 15-1

La figura 15-2 muestra algunas grficas de la densidad de probabilidad (la probabilidad por unidad de longitud), para n = 1,2,3, para la funcin caracterstica con n = 1, la probabilidad de encontrar ala partcula en x = L/2 es mayor que para cualquier otra posicin. Note, sin embargo, que para la funcin caracterstica con n = 2, la probabilidad de encontrar a la partcula en x = L/2 es cero. Para la energa E2, es imposible para la partcula estar en x = L/2.

EJEMPLO 15-3N: El siguiente programa de computadora, escrito en lenguaje BASIC, est diseado.

nFuncin caractersticas,

Densidad de probabilidad

Valor caracterstico, En

1

2

3

4

n

Figura 15-2

Densidades de probabilidad para las tres primeras funciones de onda de una partcula en una caja rgida.

Para evaluar por la regla de Simpson * la integral aproximada por

Este programa se usar para evaluar la integral de la ecuacin (15-28), la funcin f(x) se identifica en el programa como FNF(X). Las entradas incunclyen la anchura del pozo (que en realidad est normalizada de forma que cualquier valor sirve), el nmero cuntico asociado con la energa de la partcula y los lmites de integracin. En la declaracin 30, bajo A y B estn las fracciones de la anchura total del pozo. Por ejemplo, para, para integrar desde XA = 0.49L a 0.51L, A y B entran como la probabilidad de encontrar la partcula dentro de los lmites y la probabilidad de encontrar la partcula dentro de los lmites y la probabilidad por unidad de longitud para varios numeros cunticos.

El programa BASIC se da en la pgina siguiente:

TABLA 15-2

Nmero de cuntico

NProbabilidad por

unidad de longitud

1

2

3

4

25

26

99

1001.9993

0.0026

1.9941

0.0105

1.9836

1.6366

0.3891

0.9899

1.0000

La tabla 15-2 muestra las probabilidades por unidad de longitud para el intervalo que va de xA = 0.49 L a xB = 0.51L, como funciones de los nmeros cunticos. Compare estos valores con la figura 15-2

15-4 SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

En esta seccin abordaremos la solucin de varias ecuaciones diferenciales que normalmente constituyen una fuente de problemas para el estudiante medio, el cual rara vez se molesta en verificar la solucin paso a paso. La primera de stas es la ecuacin (15-20) que ya hemos establecido anteriormente.

Donde

Suponemos una solucin de la forma

Diferenciando obtenemos

y

Donde las primeras indican diferenciacin con respecto a x. Sustituyendo en (15-29) obtenemos

De donde

Segn el mtodo usual la ecuacin (15-31) ser una solucin de la ecuacin (15-29) si ( es una solucin de la ecuacin cuadrtica.

Esta ecuacin es conocida como ecuacin caracterstica o auxiliar de (15-29). Sus races son

Sustituyendo estas dos races en la ecuacin (15-31) obtenemos las funciones

y

Que son soluciones de la ecuacin (15-29). La solucin general ser

Que coincide con la que antes llamamos ecuacin (15-22). Resulta til poner esta ecuacin en otras formas que se utilizan frecuentemente. Para ella notamos que las races de la ecuacin dadas por (15-33) son complejas y que por lo tanto podemos suponer que son de la forma general.

y

Ahora podemos poner ( en la forma

Que es otra de las formas ms comunes de la solucin general. Aqu.

y

Otra ecuacin diferencial que aparece muy a menudo, y que veremos en el prximo captulo en relacin con el efecto tnel, es la siguiente:

Procediendo como al principio de esta seccin, encontramos que para este caso nuestra ecuacin auxiliar.

De donde

De aqu que nuestra solucin general tome ahora la forma.

Sentimos que la molestia de encontrar estas soluciones vale la pena, pues en esta forma el estudiante entra con mucha mayor confianza a los captulos posteriores.

15-5 LA PARTICULA DE UNA CAJA TRIDIMENSIONAL

En esta seccin estableceremos la ecuacin de Schorodinger para una partcula atrapada en una caja tridimensional de lados a, b, y c, y estudiaremos la degeneracin de los niveles de energa. Ya que nuestra partcula esta imposibilitada para salir de la caja, las condiciones fronterizas de la energa potencial son:

Esto nos da las condiciones de la funcin de onda.

Para

Adems

Resulta lgico utilizar en este caso la ecuacin (15-29) en la forma

Donde

Intentaremos resolver esta ecuacin usando el mtodo de separacin de variables, as que supondremos una solucin de la forma.

Tomando las derivadas de la ecuacin (15-43) indicadas por la ecuacin (15-41)

Donde las primas indican la derivada de la funcin respectiva con respecto a su argumento que est entre parntesis, es decir.

Etc. Sustituyendo las ecuaciones (15-44) en la ecuacin (15-41) y multiplicando por

Obtenemos

Segn la base del mtodo de separacin de variables, cada una de las fracciones de la ecuacin anterior es funcin de solamente una variable y la suma de los tres es igual al negativo de la constante de separacin. Podemos darle a esta constante la forma que ms nos convenga; en este caso nos conviene que sea

Esto nos permite igualar separadamente cada fraccin de la ecuacin (15-45) al negativo de su constante correspondiente en la misma direccin; en esta forma obtenemos las siguientes ecuaciones

Cada una de estas ecuaciones puede ser resuelta por el mtodo empleado en la seccin 15-3. Por ejemplo la solucin de la primera es

La aplicacin de las condiciones fronterizas correspondientes a la direccin x nos da

Con esto, nuestra ecuacin anterior toma la forma

De igual modo obtenemos la solucin de las otras dos ecuaciones y si las sustituimos en la ecuacin (15-43) obtenemos

Donde K = C1 C2 C3, esta ecuacin constituye la solucin general de la ecuacin (15-41), que andbamos buscando. Adems, debido a la forma que tiene y a que est implcitamente constituida por soluciones de la forma dada por la ecuacin (15-22), la cual nos representa la superposicin de dos ondas viajando en direcciones opuestas a lo largo del mismo eje, y ya que en esta ecuacin la variables espaciales estn separadas del tiempo, la que nos da por resultado una amplitud variable en el interior de la caja, pero fija para cada punto, esta ecuacin nos representa la amplitud de las ondas estacionarias tridimensionales del interior de la caja.

Los valores permitidos de la energa estn dados por:

Ya que V = 0 en el interior de la caja.

As como obtuvimos la ecuacin (15-25) para el caso de una dimensin se pueden obtener otras dos ecuaciones semejantes para el caso tridimensional.

El conjunto de stas sera.

Si elevamos estas cantidades al cuadrado y las sustituimos en la ecuacin (15-49) obtenemos

Expresin que nos da los valores caractersticos de la energa o niveles de energa de la partcula atrapada en la caja. Estos eigenvalores de la energa (como tambin se les llama) corresponden, cada uno, a una eigenfuncin o funcin caracterstica dada cada una para un valor particular de n, por la ecuacin (15-48). Entre las varias posibilidades de variacin que nos ofrece esta ecuacin, el caso ms importante ocurre cuando buscamos los niveles de energa de una caja cbica, es decir, cuando todos sus lados son iguales, a = b = c = L. Entonces tenemos

Donde n2 = n2x + n2y + n2z. Recordemos que nuestros nmeros cunticos pueden variar cada uno independientemente de los otros en la forma.

de aqu se origina la posibilidad de que n y por lo tanto En tengan el mismo valor para varias combinaciones de los nmeros cunticos nx, ny, nz(no entre si, ya que En depende de n2, sta dos, que aunque tengan la misma energa estarn caracterizados por distintas combinaciones de los nmeros cunticos nz, ny, nz. Pero ya que la funcin de onda no depende de n2, sta s ser diferente para cada combinacin de estos nmeros, dndose as la posibilidad de que cada nivel de energa est descrito por varias distintas funciones de onda. Cuando ocurre este tipo de situacin, es decir, cuando varios estados con la misma energa difieren en otros aspectos, por ejemplo en su funcin de onda, estos estados se llaman degenerados, entendindose la degeneracin con respecto a la energa.

El orden de degeneracin se designa comnmente por la letra g, y es igual al nmero de distintas combinaciones de nmeros cunticos que dan el mismo valor para la energa, o en otras palabras es igual tambin al nmero de distintas funciones de onda que describen estados con la misma energa. Ya que la variacin de cualquier de los nmeros cunticos es independiente de la variacin de los otros dos, las funciones de onda resultantes para cada combinacin son independientes entre si. Por lo anterior se deduce que cada nivel de energa puede constar de varios estados cunticos distintos entre s, descritos cada uno por su funcin de onda particular. A tales niveles de energa (los que constan de varios estados) se les llama degenerados y sus estados correspondientes son los estados degenerados.

Tomemos como ejemplo el nivel caracterizado por los nmeros cunticos nx = 1, ny, =1, nz = 2, nmeros que pueden combinar.e en tres formas diferentes que designaremos por medio de la notacin (1, 1, 2), (1,2, 1), (2,1, 1). Estas tres formas corresponden a tres distintos estados, todos con la misma energa, ya que

n2 = n2x + n2y + n2z = 6

siempre, pero cada uno con su funcin de onda particular y distinta de las otras, estas seran, usando la ecuacin (15-48) con a = b = c = L.

Para este caso el orden de degeneracin es g = 3, o sea, que el nivel es triplemente degenerado.

Es instructivo encontrar la diferencia de energa entre dos niveles consecutivos cualesquiera de la partcula en una caja cbica. Usando la ecuacin (15-52) tenemos

y

de aqu vemos que si estamos tratando con una caja muy pequea, es decir, si L (, E((, y la separacin entre los niveles es muy grande, el espectro de energas en este caso es discreto. Pero si L ( (, (E ( O, y entonces el espectro de energas tiende a ser continuo.

De la ecuacin (15-42) tenemos

Igualando esta ecuacin con la (15-52) obtenemos

De donde

Si cambiamos estas ecuaciones con las dadas por (15-50), con a = b = c = L, vemos que

tambin de las ecuaciones (15-50)

de donde vemos que a cada nmero cuntico le corresponde un momento, y la variacin de cu;l. quiera de estos nmeros provoca un cambio en la variacin de su momento asociado, que a su vez causa un cambio en el momento total.

La forma de la ecuacin del momento

nos recuerda la forma de La ecuacin de una esfera de radio igual a p, slo que en lugar de las coordenadas espaciales x, y, y z, tenemos ahora coordenadas de momento px, py y pz, respectivamente, se conoce como espacio del momento (ver figura (15-4) cada punto en este espacio estar localizado por un conjunto de tres coordenadas (px, py, pz), las cuales representarn un estado posible de la partcula; cualquier punto de este espacio es accesible a la partcula.

Ya que cualesquiera dos estados consecutivos dos estados consecutivos corresponden a valores de n que difieren slo en una unidad, la separacin entre dos puntos consecutivos de este espacio es, a partir de la ecuacin (15-57).

Con frmulas semejantes para las direcciones.

Por esta razn se dice que cada punto en el espacio de momento yace en el centro de un cubo, cuyo volumen est dado por

Todas estas disgresiones nos permitirn calcular ms adelante, en el captulo 35, nmero posible de estados electrnicos disponibles a una partcula en este espacio del momento.

PROBLEMAS

h = 1.054 x 10-34 J-seg.

15-1 Para el problema del pozo de potencial en la seccin 15-3, suponga que la partcula es un electrn confinado dentro de una dimensin de L = 20 A. Determine para esta partcula (a) la ms pequea energa posible E1 que puede tomar en electrn volts, (b) la diferencia en energa entre la energa ms pequea E1, y la siguiente energa ms elevada E2, (E = E2 E1, y (c) la longitud de onda de un fotn con energa (E.

15-2 Para un electrn confinado dentro de una dimensin de L = 2.0 A, calcule (a) el valor ms pequeo del momento angular, y (b) el porcentaje de incertidumbre en el momento de un electrn dentro de la caja.

15-3 Si la partcula en el pozo de potencial es un gramo de arena, con una masa de 1.0 X 10 Kg. confinada dentro de una dimensin de L = 1.0 mm., determine (a), la energa ms pequea E1 en electrn volts, y (b) la diferenciar de energa entre E1 y la siguiente energa ms elevada E2 ((E = E2 E1), Compare este valor con el del problema 15.1.

15-4 Encuentre un valor aproximado de n para (a) un electrn que se mueve a una velocidad de 7.3 X 106 m/seg. dentro de una caja de longitud L= 5.0 A, (b) una molcula de oxgeno (m = 5.3 X 10-26kg) que se mueve a la velocidad de 460 m/seg. dentro de una caja de 10.000 A de longitud, y (c) una partcula de 1.0 X 10-6 kg. de masa que se mueve a la velocidad de 0.0010 m/seg. dentro de una caja de 1.0mm. de longitud.

15-5 Use el l programa BASIC del ejemplo 15-1 para evaluar la probabilidad y la probabilidad por unidad de longitud de encontrar una partcula de energa E3 en intervalos de 0.10L desde X = O a X = L. Compare ahora los resultados de la probabilidad y de la probabilidad por unidad de longitud para los intervalos XA = 0.30L a XB = 0.36L y d XA = 0.499L a XB = 0.501. Por qu es mayor en el ltimo caso la probabilidad por unidad de longitud?

(a) Para un pozo de potencial infinito, use la ecuacin (15-27) para determinar la probabilidad de encontrar un electrn, en las situaciones dadas abajo.

NUMERO CUANTICO, NINTERVALO

1

1

2

20 ( L

L (L

0(L

L ( L

(b) Encuentre la probabilidad por unidad de longitud correspondiente los puntos medios de los intervalos para los nmeros cunticos dados.

15-6 Calcule el valor esperado del momento de una partcula que se halla dentro de una caja de longitud L, si su funcin de onda es

CAPITULO 16

ALGUNAS APLICACIONES DE LA ECUACIN DE SCHRODINGER

16-1 EL OSCILADOR ARMONICO CLASICO

La mecnica clsica es un caso especial de la ms general mecnica cuntica. Un ejemplo simple pero sorprendente del contraste entre las dos "mecnicas" es provisto por el tratamiento del movimiento del oscilador armnico. El problema del oscilador armnico idealizado es uno de los pocos casos que pueden ser tratados por completo con la ecuacin de Schrodinger, y suministra un valioso primer mtodo de aproximacin para problemas ms complejos, como el tratamiento de la energa de vibracin de las molculas. (Hablando estrictamente, el nico problema que puede ser tratado con exactitud por la mecnica cuntica es el problema de la partcula libre).

Como una breve revisin del tratamiento clsico de un oscilador simple, considere la partcula de masa m de la figura 16-1- Esta ejecutar un movimiento armnico simple cuando al ser desplazada la distancia x de 0 acte sobre ella una fuerza restauradora.

****

F = kx

donde k es una constante y F es la magnitud de un vector siempre dirigido hacia el punto fijo 0.

Cuando aplicamos la segunda ley de Newton esta ecuacin torna la forma

Que tambin se puede escribir como

La integracin da

El primer trmino es la energa cintica de la partcula.

Y el segundo es la energa potencial

De forma que la energa mecnica total del sistema es una constante.

K + V = E = constante

Para cualquier valor finito, la partcula oscilar entre dos puntos, digamos A en x = L y Aen x = - L. Ya que E puede tener cualquier valor dependiendo de x y v, el espectro de los valores permitidos para E es continuo.

Si definimos

Entonces la ecuacin (16-2) se puede escribir como

Esta es similar en la forma a la ecuacion de onda (15-14) y, como esa expresin, tiene una solucin

Los valores de las constantes A y B se pueden determinar a partir de los valores iniciales de la posicin y la velocidad. La relacin de Euler nos permite escribir la solucin como

Esta es una ecuacin de movimiento, que nos da la posicin de la partcula como una funcin del tiempo. La velocidad de la partcula en cualquier instante es.

Dejemos que la partcula se encuentre en x = L en el tiempo t = 0 y que en este instante tenga una velocidad v = 0. Con estas condiciones iniciales, las ecuaciones (16-10) y (16-11) dan C= L y D =0

La forma final de estas dos ecuaciones es

x(t) = L cos (t

t(t) = - L ( sen (t

y la energa total es

La velocidad mxima se da cuando la partcula cruza el origen x = 0 y es vmax = (L. En el origen la energa potencial es cero, y la energa total es

Sin, embargo, cuando la partcula se encuentra en A o en A', la velocidad es v = 0, y por lo tanto, la energa cintica tambin es nula, as que la energa total se debe slo a la energa potencial; de donde

16-2 EL OSCILADOR ARMONICO MECANO-CUANTICO

El tratamiento del mismo sistema con los mtodos de la mecnica ondulatoria implica la solucin de la ecuacin de Schr6dinger al ser aplicada al sistema. Por lo tanto, debemos plantear la ecuacin que describa el mismo oscilador armnico que tratamos clsicamente Sin embargo, debemos damos cuenta de que la funcin de onda no est localizada en ningn punto del eje x y, por lo tanto, no se puede definir una posicin cierta para la partcula en cualquier instante dado. El producto ( * ( de la densidad de probabilidad de encontrar la partcula en cualquier pequeo intervalo dx a lo largo del eje x. De aqu que, no se pueda usar, para plantear el problema, una ecuacin de fuerzas que sean funciones de la posicin corno se hizo para el oscilador clsico usando la ecuacin (16-1). De hecho, el concepto de fuerza pierde su relevancia en la mecnica cuntica; sin embargo, los conceptos de energa y momento siguen prevaleciendo. Por !as mismas razones, no debemos esperar encontrar resultados que den la posicin de la partcula como funcin del tiempo, como los da para el oscilador clsico la ecuacin (16-12), ni para la velocidad como funcin del tiempo como los da la ecuacin (16.13).

Sin embargo, la energa del sistema s puede ser considerada, ya que esta cantidad aparece en trminos de la energa potencial como una funcin de x en ambos tratamientos. En el caso clsico, la energa potencial dada por la ecuacin (16-5) resulta de la aplicacin de las leyes de Newton a la ecuacin de la fuerza. Sin embargo, en el tratamiento mecano-cuntico, la funcin de la energa potencial.

(16-17)

Es una condicin inicial y primaria impuesta sobre el sistema mecnico. Entonces, esta condicin establece el problema al definir a V(x).

Recordemos que, en el caso clsico, la ecuacin (16-16) fija un desplazamiento mximo L=(xmax) para la partcula e iguala la energa total a la energa potencial de la partcula en este desplazamiento mximo. Esto no puede usarse para definir xmx en trminos de la energa total y as, a menos que se impongan nuevas condiciones sobre V(x), debe extenderse en su forma definida por la ecuacin (16-17) tanto a x=- como a x = + . Sin embargo, no servir tener una funcin de onda que permanece finita en el infinito, porque no podra ser normalizada para dar la probabilidad de encontrar la partcula en regiones finita del espacio. Por lo anterior, imponemos a la funcin de onda la condicin de que desvanecerse a distancias infinitas del origen.

Nuestra visin ya no es ahora la de una partcula ligada a un punto por una fuerza elstica proporcional al desplazamiento. Ahora pensamos en un sistema de ondas contenido en una especie de botella o pozo de energa potencial, cuya forma est dada por la ecuacin (16-17). Podemos discutir las probabilidades de encontrar a la partcula en varias regiones en/y alrededor del pozo, y preguntamos sobre su energa en toda las circunstancias posibles cuando se encuentra en el pozo. Como para cualquier sistema de ondas que se encuentre limitado por todos lados por algn medio, no es sorprendente encontrar que ste tambin toma la forma de ondas estacionarias dentro del pozo.

As, el problema es encontrar soluciones n que sean funciones caractersticas que representen los varios sistemas posibles de ondas estacionarias, y encontrar las energas correspondientes En que sean los valores caractersticos. El procedimiento bosquejado aqu se puede extender a cualquier nmero de dimensiones.

Cuando la forma de nuestro pozo de potencias es la energa potencial asociada con el oscilador armnico clsico, , la ecuacin de Schrodinger toma la forma

(16-18)

Es interesante notar que esta ecuacin de onda y el problema de su solucin era bien conocidos de los matemticos antes de que los fsicos lo aplicaran a sistemas fsicos reales. Para encontrar su solucin, pondremos primero esta ecuacin en la forma

(16-19)

Que tambin puede escribirse como

Con el fin de simplificar los clculos posteriores es conveniente introducir las cantidades.

y

(16-20)

De forma que

As, nuestra ecuacin toma la forma

(16-21)

Ahora hacemos un cambio de variable introduciendo

Que es una cantidad sin dimensiones ya que se mide en m-2 como el estudiante puede verificarse. Utilizando la regla de la cadena.

Sustituyendo en 16-21N encontramos

(16-22)

Normalmente, esta ecuacin se resolvera presuponiendo una solucin en forma de serie de potencias, pero la funcin de onda est restringida por el requisito nmero 5 a tender a cero cuando x, o en este caso . Esto nos sugiere el empleo del mtodo conocido como expansin asinttica de una funcin, segn lo cual buscaremos la forma de para grandes valores, tanto positivos como negativos de . Ya que depende E, para cualquier energa finita es despreciable en comparacin de , nuestra ecuacin se reduce a

(16-24)

Esta es de la misma forma que la ecuacin (15-37) del captulo anterior y por lo tanto es satisfecha por una ecuacin de la forma.

(16-25)

Derivando con respecto de obtenemos

Sustituyendo en la ecuacin (16-24) y despreciando el segundo trmino entre parntesis encontramos

De donde

Por lo tanto nuestra solucin toma la forma

(16-26)

Pero de nuevo el requisito nmero 5 vuelve a encontrar para modificar esta ecuacin; de acuerdo con este requisito la segunda exponencial es inadmisible pues tiende al infinito cuando , por loa tanto la desechamos y solo nos resta

Ya que A es una constante arbitraria, no fijada an por las condiciones de normalizacin, podemos por conveniencia hacerla igual a 1, Con esto nuestra expansin asinttica para la funcin de onda es

(16-27)

Esta ecuacin nos da el comportamiento asinttico de , es decir, para grandes valores de , pero tambin nos interesa definir para pequeos valores de positivos y negativos. Para esto asociamos a nuestra solucin asinttica con una nueva funcin, que deber tener el comportamiento adecuado en las regiones cercanas y regular el comportamiento de en las regiones lejanas. As se prueba tentativamente como solucin general la funcin

(16-28)

Para abreviar la discusin siguiente en lugar de H () escribiremos simplemente H. derivando la ecuacin (16-28) con respecto de dos veces encontramos

Y

Sustituyendo ahora la funcin y su derivados en la ecuacin (16-22) llegamos a

Cancelando el factor exponencial comn y simplificando obtenemos finalmente

(16-29)

Esta es la famosa ecuacin diferencial de Hermite. El mtodo usual para resolver esta ecuacin consiste en suponer una solucin en forma de serie de potencias, aqu usaremos.

(16-30)

Buscaremos ahora las derivadas que implica la ecuacin (16-29)

Tambin

Adems

Sustituyendo estas tres ecuaciones en la ecuacin (16-29)

Para que H () sea una solucin de la ecuacin (16-29) la ecuacin anterior debe desvanecerse para cualquier valor de y esto requiere que el coeficiente total de cada potencia de sea igual a cero, locuaz nos permite derivar la siguiente relacin de recurrencia.

(16-31)

Esta frmula nos permite calcular los coeficientes c2, c3, c4, c5 en trminos de los coeficientes c y c1 que son arbitrarios y deben ser determinados a partir de las condiciones iniciales. Por lo tanto nuestra serie (16-30) consistir en realidad de dos series, una de potencias pares (si el mnimo subndice m es par) y otra de potencias non (si el mnimo subndice m es non). Esto esta de acuerdo con la teora de las ecuaciones diferenciales, segn la cual una ecuacin diferencial de segundo orden debe tener una solucin que contenga dos constantes, en este caso co y c1, que deben determinarse de las condiciones fronterizas.

Sabemos que si una serie tiene una suma finita es convergente y divergente si no la tiene. La convergencia de nuestra serie (16-30) es determinada por los coeficientes dados por la ecuacin (16-31) y si estos son positivos la serie divergir para grandes valores de . Los coeficientes de la ecuacin son positivos si

O bien, si

Para que esto no ocurra, es decir, para que la serie no se vuelva divergente es necesario que la terminemos a una cierta potencia mxima dada por

(16-32)

De aqu

(16-33)

De aqu los valores permitidos o caractersticos de la energa total quedan dados por

(16-34

Donde =2 r v y n = 0,1, 2 ,3 Este espectro de valores de la energa es discreto, y distinto en este caso del espectro continuo permitido por la mecnica clsica. La diferencia entre los niveles de energa de este espectro es hv.

En qu sentido entonces, puede la mecnica clsica considerarse como un caso particular de la mecnica cuntica? La respuesta se encuentra al considerar la aplicacin particular. Supongamos por ejemplo, que estamos manipulando un artilugio mecnico tal como un cmbalo, o un diapasn, o la columna de aire de un tubo de rgano. La frecuencia puede encontrarse entonces en alguna parte de la regin que va de 1000 a 10.000 Hz, y la energa del sistema vibrante puede ser de varios julio. La separacin entre los niveles permitidos de la energa sigue siendo hv, y ya que h es alrededor de 6.63 x 10-3 4 J seg. La separacin entre niveles estar en el rango de 10-3 0 J. Comparada con la energa total implicada, la separacin entre los niveles de energa es tan pequea que puede tomarse efectivamente como cero, de manera que el espectro de valores permitidos parece ser continuo.

Sin embargo, para las dimensiones atmicas y nucleares, las frecuencias pueden exceder fcilmente a 1012 Hz , y la energa del sistema puede ser 10-24 J o menor. En estos casos, la separacin entre niveles (hv = 6.63 x 10-3 4 x 10 1 2 = 6.63 x 10-2 2 J se vuelve muy pronunciada y el espectro de los niveles permitidos de energa es notablemente discreto. Debe recordarse que tales espectros discretos de energa se obtienen solamente cuando el sistema mecano-cuntico est limitado de alguna forma. Una partcula libre aquella que no se halla en ningn campo de fuerza y est bajo la influencia de funciones de energa potencial constantes, puede tomar cualquier valor de la energa y por esto tienen un espectro de energa verdaderamente continuo.

Otro resultado sorprendente del oscilador mecano-cuntico es que no pueden tener una energa igual a cero. La ecuacin (16-33) no permite que E tome a cero como su menor valor. Esto fija la energa del punto cero igual a hv. Una situacin similar se discuti en el captulo 15: ver la explicacin que se da en conexin con al ecuacin (15-23).

Nuestra relacin de recurrencia dada por la ecuacin (16-31) puede utilizarse para calcular los polinomios de Hermite a que se reduce nuestra serie (16-30) cuando la cortamos utilizando la condicin dada por la ecuacin (16-32). Para este fin, es decir, para calcularlos, introducimos en la ecuacin (16-31) y hacemos m = (m - 2) conservando la misma letra como ndice a pesar del cambio, lo cual es de uso comn en el manejo de series; as tenemos.

Despejando a cm-2

(16-35)

Aqu debe cumplirse para estar de acuerdo con la ecuacin (16-32). En este caso cm viene siendo el coeficiente de la potencia ms alta del polinomio y ya que la constante de normalizacin de la funcin de onda an no se ha determinado, la experiencia acumulada en matemticas nos muestra que resulta conveniente expresarlo en la forma

(16-36)

Sustituyendo esta ecuacin en la (16-35) y prosiguiendo en forma iterativa para el resto de los coeficientes obtenemos

(16-37)

Sustituyendo todas estas ecuaciones en la ecuacin de nuestra serie original (16-30) llegamos a

A este polinomio hay que agregarle si n es impar y co si n es par. Si dejamos que n tome los valores n= 0, 1 , 2, 3, . Etc, obtenemos los polinomios de Hermite.

Donde

La tabla 16-1, da una lista de los valores caractersticos En de la energa y de las funciones caractersticas correspondientes para diferentes valores de n

La probabilidad por unidad de longitud de encontrar la partcula en una regin cualquiera del eje x est dada por

EMBED Equation.3 o, en notacin ms usual, . Los valores de esta densidad de probabilidad para unos pocos valores de las energas permitidas se grafican en la figura (16-2) junto con la funcin de la energa potencial V(x), que fija el pozo de potencial para el oscilador. Los puntos A y A', B y B', etc., representan aquellos puntos en que la energa potencial es igual a la energa total permitida para ese valor del nmero cuntico n. Un oscilador clsico segn la ecuacin (16-16) no ser encontrado fuera de estos puntos. En el caso meno-cuntico, la densidad de probabilidad tiene valores finitos ms all de estos lmites, y as existe una probabilidad, pequea pero finita, de encontrar la partcula en regiones exteriores al pozo de potencial.

Ejemplo 16-1: Calclese el valor esperado de la energa cintica del oscilador armnico cuntico para el estado n = 0

Solucin: Utilizando las funciones caractersticas normalizadas, que aparecen en la tabla (16-1) para facilitar los clculos, ya que son independientes del tiempo, tenemos

Tabla 16-1 Valores y funciones caractersticas del oscilador armnico

nVALORES

CARACTERISTICOS

DE LA ENERGIA, EnFUNCIONES CARACTERISTICAS

NORMALIZADAS

EMBED Equation.3

0

1

2

.

.

.

n

Donde

Ya que

La energa cintica est dada por

De la ecuacin (15-1a)

Cambiamos ahora de variable recordando que

Adems

y

La sustitucin de todas estas cantidades nos da

As que, cambiando los lmites de integracin

Estas integrales son bastantes conocidas y se pueden encontrar en las tablas ya citadas, de modo que

Pero de la tabla 16-1

La sustitucin da

Donde hemos hecho uso de la ecuacin (16-34). Se sugiere que el estudiante encuentre el valor esperado de la energa potencial.

16-3 EL EFECTO TUNEL

En la figura 16-2 se ilustr que la funcin de onda penetra una corta distancia dentro del pozo de potencial en cada caso dando una probabilidad finita de encontrar la partcula ms all de los lmites clsicos impuestos por la pared. La funcin de densidad de probabilidad dentro del pozo de potencial puede ser considerada como el resultado de un sistema de ondas estacionarias en la funcin correspondientes a cada nivel permitido de energa.

Ya que una onda estacionaria es el resultado de dos trenes de ondas que viajan en direcciones opuestas entre fronteras reflectoras, podemos considerar que la funcin de onda en cualquiera de las paredes consiste de una onda incidente y otra reflejada. En este caso, la onda penetra un poco dentro de la pared, y as la reflexin tiene lugar a esta profundidad finita, as como en la superficie de la pared misma.

Suponga, ahora, que la pared en la regin de la funcin de onda penetrante es muy delgada; en otras palabras, la funcin de la energa potencial se dobla y tiende a cero rpidamente justo despus de los puntos A B C, como lo hace la lnea punteada en el punto B de la figura 16-2. Entonces la funcin de onda puede tener una amplitud finita en este punto. Qu le pasa un poco ms all?

Esta situacin puede tratarse en forma simplificada usando una delgada pared de potencial, una barrera de potencial. Supongamos que sta consiste de una pequea regin sobre el eje x limitada por agudos saltos de potencial: uno desde cero hasta un valor finito V y el otro desde V hasta cero otra vez. En la figura 16-3, esta situacin se representa colocando el primer salto en x = 0, el origen, y el segundo en x = A. Esto divide el eje en tres regiones.

Regin I, x < 0, donde la energa potencial es 0

Regin II, 0 < x < t, donde la energa potencial es = V, y

Regin III, x > 0, donde la energa potencial es = 0

Dejemos ahora que el tren de ondas incida sobre la barrera desde la izquierda. La barrera se ha construido de tal forma que es delgada, comparada con la profundidad de penetracin de la onda dentro de ella, y por lo tanto debe haber una onda de amplitud finita en la regin III a la derecha.

Hemos desarrollado esta situacin a partir del caso de uno de los niveles de energa indicados para el oscilador armnico de la figura 16-2. Note que all la energa total del nivel (digamos E1) es menor que la altura de la barrera, que hicimos doblar en x con un valor un poco mayor que en el punto B como lo indica la lnea punteada all. La energa potencial en el mximo de la barrera es mayor que la energa total de la partcula en ese nivel, sin embargo, decimos que la funcin de onda tiene una amplitud finita ms all de la barrera.

Esto implica que la probabilidad de encontrar la partcula fuera de la barrera es finita, aun cuando su energa total es menor que la altura de la barrera. Nos vemos forzados a dibujar una amplitud finita para la funcin de onda en la 3. Regin como se ve en la figura 16-3. Asignando la notacin a las respectivas funciones de onda en las regiones I, II y III, como se indica en la figura, las correspondientes ecuaciones de Schrodinger son

Regin I

, ya que V1 = 0

Regin II

(16-38)

ya que VII = V

Regin III

ya que VIII = 0

Rearreglando estas ecuaciones y definiendo las cantidades

y

Las ecuaciones toman la forma

Regin I

Regin II

(16-39)

Regin III

Las soluciones de estas ecuaciones son

Regin I

Regin II

(16-40)

Regin III

Donde las constantes A, B, etc., son las amplitudes de las componentes correspondientes de cada onda. Se pueden identificar como sigue:

A es la amplitud de la onda que incide desde la izquierda sobre la barrera.

B es la amplitud de la onda reflejada en la regin I

F es la amplitud de la onda que penetra la barrera en la regin II

G es la amplitud de la onda reflejada (por la superficie en A) en la regin II

C es la amplitud de la onda transmitida a la regin III, y

D es la amplitud de una (no existente) onda reflejada en la regin III.

Debe notarse que hemos dibujado la funcin de onda a travs de las tres regiones de la figura 16-3, de manera que es continua y de valor nico en todos los puntos del eje x. Estas condiciones que imponemos son razonables, y hacen posible resolver explcitamente para las varias amplitudes en trminos de la energa de la partcula, la altura de la barrera y su espesor.

Ya que la densidad de probabilidad asociada con una funcin de onda es proporcional al cuadrado de la amplitud de esa funcin, podemos definir el coeficiente de transmisin de la barrera como

EMBED Equation.3 Y un coeficiente de reflexin para la superficie de la barrera en x = 0 en la forma

EMBED Equation.3 Si la barrera es alta comparada con la energa total de la partcula o ancha comparada con la longitud de onda de la funcin de onda, entonces el coeficiente de transmisin toma la forma

(16-43)

EMBED Equation.3 Donde t es el espesor fsico de la barrera.

Hemos alcanzado la notable conclusin de que si una partcula con energa E sobre una delgada barrera de energa de una altura mayor que E, hay una probabilidad finita de que una partcula penetre la barrera. Este fenmeno, llamado efecto tnel es un resultado de la mecnica cuntica que no est permitido en el tratamiento clsico.

Entre los primeros xitos de la teora cuntica en la fsica nuclear est la aplicacin del efecto tnel del decaimiento radiactivo efectuada por Gamow en 1928 y por Condon y Gurney en 1929.

Los nucleones en el ncleo de, digamos, el uranio, consisten de neutrones y protones. Estas partculas forman grupos de corta vida, consistentes de dos protones con dos neutrones (partculas ) dentro del ncleo. Se puede calcular sobre la base del efecto tnel que una de tales partculas , al incidir desde el interior sobre la barrera de fuerzas nucleares que mantiene unido al ncleo, tiene alrededor de una oportunidad en 103 8 de penetrar la barrera y escapar del ncleo. Este escape constituye lo que llamamos decaimiento radioactivo .

El ncleo tiene un dimetro de aproximadamente 10-1 4 m, y la partcula se mueve dentro de l con una velocidad de 107 m/seg de manera que efecta cerca de 102 1 colisiones/seg. Dentro de la barrera. As hay

O sea que se necesitan cerca de 3 x 109 aos para que una partcula tenga una probabilidad de escapar. Adems, esto nos permite comprender la larga vida media radiactiva del uranio, que es alrededor de un billn de aos.

La altura de la barrera nuclear del polonio es algo menor que la del uranio, y una partcula tiene una oportunidad en 101 7 de escapar del ncleo por el proceso de colisin. Tomando la razn de colisiones como 102 1 /seg. el tiempo probable de escape de este istopo del polonio para una partcula es del orden 10-4seg. El efecto tnel mecano-cuntico en el decaimiento exhibe diferencias extremas en los primeros tiempos de vida radiactivos (variando de millones de aos a milsegundos) por variaciones muy pequeas en la altura de la barrera de potencial.

EJEMPLO 16-2: el problema de la barrera de potencial es una buena aproximacin al problema de un electrn atrapado dentro pero cerca de la superficie de un metal. Calcule la probabilidad de transmisin, es decir, que un electrn de 1.0 e V penetre una barrera de potencial de 4.0 e V cuando la anchura de la barrera es de 2.0 A.

SOLUCION: De la ecuacin (16-43), el coeficiente de transmisin es:

As, solo alrededor de ocho electrones de 1.0 e V de cada cien, penetran la barrera,

16-4 POTENCIALES PERIODICOS Y EL MODELO DE KRONG PENNEY

La elevada conductividad de los metales es una consecuencia de la gran cantidad de electrones libres que contienen. Sin embargo, a pesar de su gran movilidad, solo unos pocos tienen energas suficientes para vencer la energa que en el captulo 7 llamamos funcin de trabajo, tambin conocida como trabajo de extraccin. En otras palabras, hay una especie de barrera que les impide, en la mayor parte de los casos, abandonar el metal. Al encontrarse rodeados por todos lados por esta barrera, podemos suponer que se encuentran efectivamente dentro de un pozo de potencial. Pero en su interior, es decir, en el interior del metal, este pozo no es tan simple como el que vimos en el captulo 15. Para darnos una idea de cmo es este pozo o sea, de la forma que tiene el potencial en el interior del metal, notemos, en primer lugar que, en general, la estructura de la mayor parte de los slidos, y en especial de los metales, es de forma cristalina y que los tomos de un cristal estn arreglados en forma peridica, geomtrica y regular.

De esta manera, la casi infinita cadena de tomos de un metal da lugar a un potencial de forma peridica dentro del cual se mueven los electrones que llamamos libres, aunque no lo sean del todo.

Para convencernos de que este potencial interior es realmente peridico recordemos la forma de la energa potencial de un electrn en la cercana de un protn. Esta se puede apreciar en la figura (16-4). La forma particular se debe a que la energa potencial es proporcional a l/r.

Energa potencial de Coulomb de un electrn en la cercana de un protn.

Esta energa potencial es de signo negativo y est dada por la frmula (12-4)

(16-44)

El signo menos nos indica que el electrn se encuentra ligado al protn por una fuerza atractiva, formando con este lo que antes llamamos un sistema cerrado. En otras palabras, el electrn se encuentra atrapado dentro de lo que podramos llamar un pozo de energa potencial, producido por la atraccin electrosttica entre las dos partculas.

Los metales alcalinos se caracterizan por tener un solo electrn en la ltima capa exterior adyacente a las capas internas, las que s cuentan con su dotacin completa de electrones. Los electrones de las capas interiores actan como una especie de pantalla, escudando al electrn exterior del campo electrosttico nuclear en proporcin directa al nmero de electrones que llenan las capas internas, de tal forma, que para el electrn exterior el ncleo tiene una sola carga efectiva de signo positivo, siendo contrarrestadas las dems por los otros electrones. Esto nos permite simplificar la situacin, suponiendo que tenemos un solo electrn en la cercana de un protn. Por lo tanto, la energa potencial del electrn en el campo del protn ser semejante a la que ya vimos antes.

La estructura cristalina de un metal compuesto de este tipo de tomos, ordenados uno tras otro, producir un potencial peridico de la forma representada en la figura (16-5), en la cual vemos un corte transversal de un potencial que en realidad es tridimensional, pero que por simplificar los clculos se ha reducido a una sola dimensin. Cuando, como aqu lo hacemos, tomamos en cuenta la periodicidad que este potencial impone al movimiento del electrn, aparece un cierto nmero de caractersticas que nos permite explicar varios fenmenos que ocurren en el interior del metal, por ejemplo, a que se debe que algunos slidos sean buenos conductores, otros aislantes y otros semiconductores.

Sin embargo, nuestro modelo de energa potencial de la figura (16-5) no es adecuado para trabajar, pues los clculos se vuelven muy complicados, lo cual nos obliga a utilizar un modelo aproximado que se asemeje lo ms posible a nuestro caso real.

Este se muestra en la figura (16-6) y se conoce como modelo unidimensional de Kroning Penney.

La periodicidad del potencial afecta nuestras funciones de onda de tal forma que, adems de constar del factor normal que corresponde a la amplitud constante, asumen otro factor que modula la amplitud de la onda de acuerdo con el perodo del potencial. De aqu que las funciones de onda se puedan escribir como

(16-45)

Donde las u(x) deben cumplir con la condicin

u(x) = u (x-1)

(16-46)

donde , es el perodo del potencial. De aqu que

(16-47)

Las ecuaciones (16-45) y (16-46) constituyen la expresin matemtica del teorema de Bloch y las funciones u(x) se conocen como funciones de Bloch. El teorema de Bloch establece que la amplitud modulante u(x) de la funcin de onda se repite con perodo l. Para probarlo, partiremos de la ecuacin (16-45), segn esta

De donde

De aqu que

(16-48)

Si multiplicamos ambos miembros por obtenemos

(16-49)

Pero lo cual nos prueba su carcter peridico. Ahora que ya tenemos las herramientas necesarias para atacar nuestro problema, tomaremos tres regiones.

Regin I

0< x < a

VI = 0

Regin II

a< x < a + b

VII = 0

Regin III

a + b < x < 1 + aVIII = 0

Asignando la notacin a las respectivas funciones de onda en las regiones I, II y III de la figura 16-6, las correspondientes ecuaciones de Schrodinger son

Regin I

Regin II

(16-50)

Regin III

Si hacemos

y

(16-51)

Nuestras ecuaciones se transforma en

0 < x < a

(16-52a)

a < x < a + b

(16-52b)

a + b < x < 1 + a (16-52c)

De la ecuacin (16-45) tenemos para la regin I

Tomando derivadas

Y

Sustituyendo en la primera de las ecuaciones 16-50 y procediendo en forma similar para las otras dos, llegamos a

(16-53)

Estas ecuaciones pueden ser resueltas por el mtodo llamado de los operadores diferenciales. La aplicacin de este mtodo nos da

(16-54)

La ltima de las ecuaciones (16-54) debe su forma a dos razones: la., a la necesidad de eliminar dos nuevas constantes que apareceran inevitablemente si la escribiramos en su forma normal, y 2a., a que en el estudio del teorema de Bloch, en la ecuacin (16-46) vimos que

u ( x ) = u ( x l )

En otras palabras, nuestra funcin de onda en la tercera regin es de la forma

Esto se debe tambin a que los valores de x en la tercera regin corresponden a x l de los valores de x en la primera regin, debido a que cualquier punto de la regin III est adelantado en e con respecto al punto correspondiente de la regin I.

Las discontinuidades del potencial imponen ciertas condiciones fronterizas que deben satisfacer las ecuaciones 16-54, estas son

En x = a, y

Aplicando estas condiciones a las ecuaciones 16-54, obtenemos

(16-55)

Este sistema de cuatro ecuaciones simultneas, lineales y homogneas tiene una solucin no trivial solamente si la matriz de los coeficientes es singular, o sea, si su determinante es igual a cero. De aqu que debamos tener, despus de simplificar los trminos del determinante.

1

111

= 0

(16-56)

La expansin de este determinante resulta sumamente laboriosa, y la larga serie de desarrollos a que da lugar hacen prohibitivo que se pongan por escrito, pero no implica ms que el uso de los mtodos usuales de expansin, y el uso de la ecuacin de Euler. Si hacemos todo esto llegamos a la ecuacin

(16-57)

Esta es la ecuacin que nos permitir conocer las caractersticas de los niveles de energa del conjunto de tomos que dan lugar al potencial peridico que estamos estudiando. Nuestra definicin de implica que si E < VO, es decir si la energa del electrn es menor que la altura de la barrera, entonces se convierte en una cantidad imaginaria.

Para evitar la aparicin de este tipo de cantidades en la ecuacin (16-57) es necesario hacer = la sustitucin de esta relacin en la ecuacin (16-57 nos da

Usando las relaciones llegamos a

(16-58)

Para examinar las caractersticas de las zonas permitidas de la energa, recordemos que los mximos valores que puede tomar el coseno de un ngulo son +1 y -1. entonces las zonas permitidas de la energa deben yacer entre

(16-59)

Esta ecuacin an resulta muy complicada para interpretarla, de manera que, para simplificar un poco, tomaremos de nuevo la ecuacin 16-58, y la estudiaremos a la luz del caso lmite que ocurre cuando la barrera de potencial tiene al infinito, Vo y su anchura tiende a cero . En este caso

y

Entonces nuestra ecuacin toma la forma

(16-60)

Ya que

y

Y

Donde se conoce como opacidad de la barrera de potencial. Sustituyendo estas cantidades, y haciendo , la ecuacin 16-60 se transforma en

(16-61)

La grfica del miembro derecho de esta ecuacin se muestra en la figura (16-17).

Es obvio que ahora tambin debe cumplirse

(16-62)

Si cuando , la opacidad A de la barrera de potencial permanece finita, ya que el producto V0 b permanece finito. Una opacidad finita significa que el electrn tiene una buena probabilidad de atravesar la barrera que lo circunda, y pasar a otro nivel de energa cercano, semejante al que se encontraba. Esto es posible debido a que los tomos del cristal se hallan muy prximos los unos a los otros, de modo que todos y cada uno de los electrones comparten entre s, aunque no simultneamente, los niveles semejantes de todos y cada uno de los otros tomos que forman el material.

Cada uno de estos niveles, de igual energa, estn tan prximos entre s, que dan lugar efectivamente a la formacin de bandas permitidas de energa, las

Cuales se indican por medio de lneas oscuras en la figura (16-7), y que estn separadas unas de otras, o sea, unos niveles de otros, por medio de bandas prohibidas, las cuales no son otra cosa que la unin de las barreras semejantes entre s. Si hacemos , se puede observar por la figura, que cada valor de n marca el fin de una banda permitida y el principio de una prohibida y que a medida que aumenta n, es decir, a medida que aumenta la energa, las bandas prohibidas se hacen cada vez ms estrechas, mientras que las bandas permitidas se ensanchan, de manera que para grandes energas el espectro es prcticamente continuo.

En cambio, si la opacidad tiende al infinito, la situacin equivale a la de un conjunto de tomos aislados, o bien, a la de los electrones correspondientes separados por barrera impenetrables, o, lo que es lo mismo, atrapados dentro de pozos infinitos de potencial.

Pero si , entonces para evitar una indeterminacin debemos tener senx = 0, de manera que nuestra ecuacin 16-61 se reduce a

Cos k1 = cos x

ka = a = n

De donde

De aqu

n = 1,2,3..

Frmula que nos da, como ya sabemos, un espectro discreto de niveles de energa para cada tomo.

Cuando E > V0 , las zonas permitidas de la energa estn dadas por la ecuacin.

(16-63)

Cualquier potencial de tipo peridico da lugar a la formacin de bandas permitidas y prohibidas de energa semejantes en sus aspectos cualitativos a los de la figura 16-7, razn por la cual podemos tomar las caractersticas de esta figura como ampliamente generales.

PROBLEMAS

16-1 Un pndulo en la primera aproximacin en un oscilador armnico. Determine la energa cuntica del punto cero para un pndulo de 10m de longitud en el campo gravitacional de la tierra.

16-2 Use una tabla de integrales y muestre que la funcin caractersticas de la tabla 16-1 est normalizada.

16-3 Use la tabla 16-1 y encuentre la expresin para la funcin caractersticas V4(x) para el oscilador armnico.

16-4 Cul es la frecuencia de vibracin de un electrn con una energa de punto cero de 15 e V? Cul es el siguiente valor permitido de la energa para este electrn?

16-5 Cuando electrones de 1.0 e V inciden sobre una barrera de potencial de 8.0 e V (tal como la funcin de trabajo de un metal), qu fraccin de electrones penetrar la barrera si sta tiene 5.0 A de ancho?

16-6 Una partcula de energa cintica E incide sobre un pozo de potencial con V > E como se muestra en la figura 16-8

(a) establezca las ecuaciones de Shrodinger para las regiones I y II y encuentre la expresin para la funcin de onda en cada regin.

(b) Use las condiciones fronterizas y la definicin de funcin de onda para determinar las constantes de las funciones de onda [Si 2 = (2m/h2) E y 2 = 2m (V E) / h2, entonces la constante asociada con el ex debe ser cero].

(c) Si A es la amplitud de la funcin de onda incidente y B es la amplitud de la funcin de onda reflejada, muestre que el coeficiente de reflexin es igual a uno, o sea,

Qu significa esto fsicamente?

16-7 Los electrones estn atrapados a 3.0 A dentro de la superficie de una placa de metal: Cul es la probabilidad de que los electrones escapen de la placa si la barrera de potencial es de 8.0 e V y la energa de los electrones es (a) I.0 e V, (b) 4.0 e V, y (c) 7.0 e V?

16-8 La ecuacin 16-43 es vlida solamente cuando la barrera es alta o ancha. La ecuacin exacta para el coeficiente de transmisin es

16-9 Una partcula est atrapada en un ncleo cuyo radio es ro = 1.4 x 10-15m. Cul es la probabilidad de que una partcula escape del ncleo si su energa es (a) 2.0 MeV, o (b) 1.0 MeV?. La barrera de potencial en la superficie del ncleo es 4.0 MeV.

16-10 Para el oscilador armnico clsico, la probabilidad P de encontrar la partcula en una longitud dx es proporcional al tiempo que estuvo en dx, o sea, a dx/v. (a) Muestre que P es proporcional a . (b) Muestre que la constante de proporcionalidad A en la integral.

Es igual a K2m2/. Para el oscilador armnico clsico cuales son los lmites a y b?

CAPITULO 17

DIFERENTES MODELOS DE LA MECNICA

17-1 MODELOS DE LA MECNICA

Hagamos una pausa en este punto, y revisemos los varios modelos bsicos del mundo fsico a los que nos referimos como mecnica. En este captulo haremos un resumen breve dejando las pruebas detalladas y los ejemplos para los respectivos captulos donde cada modelo fue desarrollado. Aqu slo se presentan los resultados principales de cada uno, de manera que podamos compararlos con los diferentes enfoques. Debemos darnos cuenta de que estos modelos no son puntos de vista competitivos, ni concepciones de la naturaleza diferentes y exclusivas que deban ser probadas de forma que algn da slo una sea aceptada y las dems rechazadas. Los modelos que los fsicos han desarrollado son, de hecho, diferentes aproximaciones a la realidad de la naturaleza, aplicables en diferentes circunstancias. An no hay un nmero de aproximaciones suficientes para describir todo cuanto observamos en la naturaleza, ni tampoco una sola teora unificada que pueda usarse para describir cualquier situacin. El progreso de la fsica consiste en encontrar nuevas aproximaciones para cubrir nuevas observaciones y en desarrollar generalizaciones que renan tales aproximaciones dentro de varias teoras. Estas aproximaciones matemticas, junto con los conceptos que las ligan a una parte de la naturaleza, se llaman modelos.

Los modelos que estudiamos en este texto pueden ser llamados (1) el Newtoniano o mecnica clsica, (2) la mecnica especial relativista, y (3) la mecnica cuntica u ondulatoria.

17-2 MECNICA CLSICA

La mecnica clsica o Newtoniana fue, histricamente, el primer sistema de mecnica desarrollado dentro de lo que ahora llamamos fsica. Basada en las observaciones del movimiento de los objetos ordinarios en el mundo cotidiano, la mecnica clsica tuvo xito al desarrollar una descripcin general del movimiento de estos objetos y de sus interacciones. Estos objetos no eran ni muy grandes, como lo son las galaxias, ni muy pequeos, como los tomos. Cuando se hallaban en movimiento no viajaban a velocidades demasiado grandes, sino pequeas comparadas con la de la luz. En general, la mecnica clsica describe con xito el movimiento de estos objetos.

La mecnica clsica, en su forma ms elemental, puede considerarse basada en las tres leyes del movimiento, de Newton:

La ley de la inercia establece que un cuerpo libre se encuentra en reposo o movindose a velocidad constante.

La ley de la fuerza establece que la fuerza F actuante sobre una partcula de masa m es igual a la razn de cambio en el tiempo del movimiento p=mv.

(17-1)

La ley de la accin y la reaccin establece que cuando un cuerpo A ejerce una fuerza FA sobre un cuerpo B, por cualquier medio, B a su vez ejerce una fuerza igual y otra opuesta FB sobre A, de modo que

(17-2)

La ley de la inercia define la condicin de equilibriopara un cuerpo e implica la conservacin del momento. Ambas leyes, sta y la de la accin y reaccin, pueden ser derivadas de la ley de la fuerza, ecuacin (17-1), y as deducimos que la segunda ley es la ms fundamental de la mecnica clsica. De manera alterna puede considerarse la conservacin del momento como la ms bsica*. Considere una agrupacin de n partculas que se mueven libremente no sujetas a fuerzas externas. Dejemos, sin embargo, que haya un nmero arbitrario muy grande de fuerzas actuante entre las partculas, y dejemos que sus masas y velocidades sean m1, m2, ... mn y v1, v2, ... vn. La ley de la conservacin del momento establece que el momento total del grupo est compuesto de la suma vectorial de los momentos de las partculas, y que sta suma permanece constante aunque los momentos de las partculas individuales pueden cambiar. Esto es,

(17-3)

As, si el momento de una de las partculas cambia, el momento de una de las partculas cambia. El momento de al menos otra partcula tambin debe cambiar para preservar constante la suma en la ecuacin (17-3). La interaccin entre estas partculas causante de dicha accin cooperativa es llamada fuerza, y la segunda y la tercera ley de Newton se siguen como una consecuencia lgica. El principio de conservacin en la ecuacin (17-3), tomado con su consecuencia, la ecuacin (17-1), sirve para definir la nocin de fuerza. Sin embargo, el concepto de fuerza pierde mucho de su relevancia, en ambos mundos el microscpico de la mecnica cuntica y el macroscpico de la teora general de la relatividad (que no estudiaremos en este texto)

Para estudiar el movimiento clsico de una partcula, su masa m se toma como una constante y la ecuacin (17-1) se expande como

(17-4)El vector r es el vector de posicin de la partcula con respecto al origen de un sistema de coordenadas inerciales arbitrarios: por ejemplo

(17-5)El sistema no necesita ser cartesiano-puede ser un sistema de coordenadas esfricas o cilndricas o cualquier otro de tres coordenadas espaciales ortogonales.

La ecuacin de movimiento que da la posicin como una funcin del tiempo t se obtiene integrando la ecuacin (17-4), lo que da

(17-6)donde las seis cs constantes de integracin. La evaluacin de estas constantes est basada entonces sobre la suposicin fundamental de que en algn tiempo inicial, cuando t=t0 , tanto la posicin de la partcula,

(17-7)

como su velocidad

(17-8)

se conocen simultneamente y con precisin absoluta. La posibilidad terica de obtener este conocimiento es incuestionable; su adquisicin est basada solamente en nuestra habilidad para realizar la medicin.

Nuestra ecuacin (17-6) de movimiento se ha obtenido, en este caso, con respecto a algn marco particular de referencia con el cual hemos elegido empezar. Si la ecuacin correspondiente de ha de valuar con respecto a otro sistema de coordenadas, podemos empezar de nuevo en la derivacin o usar para obtenerla una transformacin de coordenadas. La transformacin es simplemente un conjunto de relaciones entre las coordenadas del sistema de referencia y aquellas del segundo. En la mecnica clsica , esta es la transformacin Galileana, llamada as en honor a Galileo.

Refirindonos por ejemplo, a la figura 17-1 vemos que si indica un sistema de coordenadas inercial arbitrario y es un segundo sistema inercial que se mueve con respecto a con velocidades constante v, entonces las coordenadas en de un evento que tiene lugar en un punto P estn relacionadas a las coordenadas en del mismo evento E en el mismo punto P por

(17-9)

Figura 17-1

Las coordenadas del evento que ocurre en el punto p estn relacionadas a las coordenadas en del mismo evento a travs de las transformaciones Galileanas, los vectores unitarios i, j y k son los mismos en ambos sistemas, ya que los ejes (x, y, z) en y son paralelos.

Este conjunto de ecuaciones define transformacin Galileana de Ejes Cartesianos. Tienen contrapartidas cuando se aplica a otros sistemas coordenados, tales como las coordenadas esfricas o cilndricas.

La situacin se ha simplificado tomando la velocidad relativa v a lo argo del eje x tanto y como de . Esto tienen el efecto de igualar los valores numricos de las coordenadas y y z en 17-9. La igualdad de y -el valor del tiempo en cualquier instante y en cualquier lugar ledo es movimiento relativo y se toma como una suposicin fundamental.

De la ecuacin(17-9), se encuentra que la correspondiente transformacin Galileana de velocidades es

(17-10)

Donde la velocidad de la partcula en el punto P medida en es

(17-11)Y la velocidad de la misma partcula en el mismo punto P y en el mismo tiempo = medida en es

(17-12)

La composicin clsica o Galileana de velocidades est dada entonces por

(17-13)Y, finalmente, las aceleraciones de las partculas medidads desde los dos sistemas coordenados son

(17-14)

Ya que en la mecnica clsica la masa m es una constante universal, de la ecuacin (17-14) obtenemos

Y las leyes de Newton son invariantes en ambos sistemas y .Por lo tanto, tambin el sistema es inercial.

Es importante recordar que la transformacin es una operacin con varias representaciones, una de ellas dada por el sistema de ecuaciones (17-9).

Consecuencia inmediata de la transformacin Galileana es el principio clsico de la relatividad, el cual establece que las leyes de la mecnica son invariantes en forma para todos los marcos inerciales que se mueven los unos respecto a los otros, con una velocidad relativa constante y pequea comparada con la velocidad de la luz en el vaco.

Figura 17-2

El principio de Hamilton establece que si ACB es la trayectoria real seguida por una partcula viajando entre los puntos Ay B, y ADB es cualquier trayectoria ligeramente diferente que conecta los mismos puntos, integral tienen el mismo valor para ambas trayectorias. O, en otras palabras lo que significa que tiene una valor estacionario, puede ser un mnimo o un mximo.

Se ha descrito a la mecnica clsica como basada en el concepto de fuerzas que actan sobre masas (Leyes de Newton)o, como una alternativa , basada en el principio de conservacin del momento.

Otros puntos de partida se emplean en varias aproximaciones a la mecnica clsica, y desde luego todas deben dar los mismos resultados al aplicarse a cualquier problema dado. Cada uno provee un concepto algo diferente de la naturaleza bsica del universo fsico, y ofrece ventajas particulares en la aplicacin a problemas reales. Una aproximacin muy importante a la mecnica clsica que no trataremos con detalle en este texto, pero usada ampliamente en la dinmica clsica avanzada y adaptable tanto a la mecnica relativista como a la cuntica se basa en el principio de Hamilton. Este principio considera una situacin dinmica en la cual, por ejemplo, (figura 17-2) una partcula viaja entre los puntos A y B en un tiempo bajo la influencia de fuerzas. La energa cintica K y la energa potencial V se definen como funciones de la posicin y del tiempo a lo largo de la trayectoria. El principio de Hamilton establece que las integrales de las diferentes funciones (K-L) sobre el tiempo son las mismas cuando se toman a o largo de cualquier trayectoria real ACB o cualquier trayectoria ligeramente diferente (v,gr.,ADB).

La cantidad L= k-v es llamada la funcin Lagrangiana o el potencial cintico. Se dice que la integral temporal entre dos puntos a lo largo de una trayectoria dinmica tiene un valor estacionario con respecto a la misma integral tomada sobre cualesquiera otras trayectorias permitidas (o diversas). El valor de la integral a lo largo de una trayectoria, en muchos casos de inters. Todas las leyes de la dinmica clsica pueden ser derivadas del principio de Hamilton , y ste provee de un sistema de mecnica basado en energas en lugar de cantidades vectoriales tales como las fuerzas o los momentos. Ya que la energa (en sus muchas formas) para ser la esencia primaria de la cual est formado todo el universo fsico , tal vez una aproximacin Hamiltoniana a la mecnica sea la ms fundamental.

17-3 MECNICA RELATIVISTA

Cuando una situacin dinmica implica cuerpos movindose con velocidades que se acercan a la velocidad de la luz, la aproximacin que debe usarse es llamada mecnica relativista. Si hay grandes aceleraciones involucradas, o masas extremadamente grandes como se encuentran en las estrellas neutrnicas, debemos trabajar en uno de los sistemas de la mecnica relacionados con la teora general de la relatividad. Esta complicacin se encuentra aqu requiriendo que las masas sean tambin de tamao ordinario y que cualesquiera velocidades implicadas, aunque muy grandes, sean constantes o cambien de manera muy uniforme. Estos son los lmites de la teora especial de la relatividad.

Un resultado experimental primario, el experimento de Michelson y Morley, suministr muchos de los motivos para el desarrollo de esta teora. Una suposicin bsica se desprende de la consideracin de este resultado: que la velocidad de un paquete de luz en un vaco (c) es la misma para todos los observadores inerciales (un observador inercial es un observador en reposo a un marco inercial) , an cuando estos puedan estar movindose relativamente entre s con velocidades constantes arbitrarias. Ya que todas las observaciones de los eventos naturales son, en ltimo caso, llevadas a cabo de alguna forma a travs del uso de campos electromagnticos, debe emplearse una transformacin de coordenadas fundamentalmente diferente de la Galileana, dada por la ecuacin (17-9). Ahora debemos usar la transformacin de Lorente. Cuando se aplica a los sistemas representados en la figura 17-14, las ecuaciones de y transformacin de Lorente son:

(17-15)

Donde es el factor de Lorentz

(17-16)

La razn de la velocidad de la luz c a menudo se indica por el smbolo

(17-17)

El estudiante debe mostrar que a medida que se vuelve muy pequea comparada con c la ecuacin (17-15) se reduce a la ecuacin (17-9) de la transformacin Galileana . La transformacin de Lorente o relativista de velocidades correspondientes a la ecuacin (17-15) est dada por

(17-18)

Estas tambin se reducen a sus aproximaciones Galileanas dadas por la ecuacin (17-10) cuando

Una consecuencia de la transformacin de Lorente es que la diferencia entre los valores de dos coordenadas (digamos, una longitud a lo largo del eje x) depende de la velocidad relativa entre ese eje particular y el observador que mide la longitud.

Esto se ve en la primera de las ecuaciones (17-15), donde es un factor comn para cualesquiera dos valores y as multiplica cualquier longitud a lo largo del eje x. se encuentra fcilmente que la ley de transformacin para longitudes espaciales es

(17-19)

Ya que el valor de es siempre mayor que la unidad es siempre menor que , y as hablamos de contraccin de la longitud.Una consecuencia similar se deduce de la ltima de las ecuaciones (17-15). El intervalo temporal entre dos valores de tambin es afectado por la velocidad relativa. La ley de transformacin resultante para intervalos temporales es

(17-20)

Y as decimos que se agrandan o dilatan .

Ahora podemos extender la definicin del principio de relatividad clsica declarando que las leyes naturales son invariables en forma para todos los marcos inerciales que se mueven los unos con respecto a los otros con velocidad constante arbitraria.

La ley de conservacin del momento, dada por la ecuacin (17-3), es vlida as como est formulada tanto en la mecnica relativista como en la clsica. Este hecho lo recomienda como punto de partida en un modelo de la naturaleza. Esta ley, al tomarse en conjunto con la transformacin de Lorente, resulta en una definicin de la masa que tambin depende de la velocidad relativa.

(17-21)

Donde , la masa de reposo, se toma como la masa de medida por un observador en reposo relativo.

En el menor valor posible de m para cualquier objeto.

La fuerza se define en la mecnica relativista igual que en la mecnica clsica

(17-22)

Igual a la segunda ley de Newton, excepto que m es ahora una funcin de r de acuerdo con la ecuacin (17-21)

Ahora la ecuacin (17-22) puede usarse para definir relativsticamente a la energa cintica como

(17-23)

Donde la energa cintica es el trabajo hecho por F sobre el cuerpo para cambiar su velocidad de 0 a v.

En la ecuacin (17-23), hemos supuesto que F acta paralelamente a v, pero el resultado que vamos a obtener tambin es vlido para movimiento curvilneo.

La forma relativista par la energa cintica a partir de esta ecuacin es

(17-24)

Cuando , esta se reduce a la expresin clsica 17-6 PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE

Otra caracterstica del mundo microscpico, relacionada estrechamente con el problema de la dualidad, es el principio de incertidumbre de Heisenberg. Este principio establece que hay pares de variables, referente a un sistema microscpico, que no pueden ser conocidas simultneamente con precisin infinita. Considrese por ejemplo, un electrn. Su posicin x y su momento p se conocen solo con cierta precisin. Si es la incertidumbre en la posicin y la incertidumbre en el momento

(17-42)

Donde ha es ka constante de Planck. Si sucede que la posicin x es perfectamente conocida, entonces se deduce que no sabemos nada sobre la magnitud de p, y viceversa. La misma relacin se mantiene para la energa y el tiempo relativos a cualquier evento o estados dados como una consecuencia de la ecuacin (17-42),

(17-43)

El principio de incertidumbre brota del hecho de que nos vemos forzados a representar a una partcula por un paquete de ondas (ver figura 17-3), en el cual el infinito nmero de ondas monocromticas que forman el paquete tienen una extensin efectiva en la frecuencia de . La partcula en alguna parte dentro de la regin del paquete, y la incertidumbre es

(17-44)

Esta incertidumbre es intrnseca a la propia naturaleza de los sistemas que ms estamos discutiendo, y representa un lmite ltimo a lo que es conocible acerca de ellos. No tiene que ver con cualesquiera dificultades tcnicas encontradas en la construccin real de instrumentos de medicin ms precisos.Figura 17-3La regin de mxima interferencia de un paquete viajero de onds representa una partcula en movimiento

PROBLEMAS

17-1 En un sistema inercial , una masa de 2.0 kg se mueve con una velocidad m/seg y choca de frente con una masa de 3.0kg que se mueve con una velocidad (a) Determine el momento de cada masa medidos por un observador movindose con una velocidad con respecto al sistema .

17-2 Una estacin de radar observa dos naves, una con velocidad y la segunda con una velocidad . Cul es la velocidad de la primera nave medida por la segunda?

17-3 El laureado Nobel Ernest Laurence propuso planes par un ciclotrn con un imn de 4000 toneladas, en el cual los iones pudieran ser acelerados a travs de un potencial de 100 MeV.(a)Cul ser la masa relativista de un protn acelerado a travs de este potencial ? (b) Cul ser la masa relativista del imn, medida por un observador en el protn?

17-4 Determine la longitud de onda de un cuanto de luz, cuya masa efectiva es igual a la masa de reposo de (a) u electrn y (b) un protn.

17-5 Una partcula de masa de reposo que viaja con una velocidad (0.90c)i hace colisin completamente inelstica con otra partcula idntica (a) Determine la velocidad de las masas combinadas a medida que se alejan juntas. (b) Cul es el cambio en la energa cintica?

17-6 Muestre que la funcin

Podra ser una solucin de la ecuacin de Schdinger par aun oscilador armnico de masa m con una constante de resorte k.

17-7 Un lser pulsante de rub con una salida de 2.0GW (gigawats) produce un pulso con una duracin de 10 pseg. Cul es la incertidumbre relativa en la medicin de la energa del lser?

17-8 Cul es la velocidad de un electrn con una masa relativista igual a 1.1 ? Cuntos electrn-volts de energa se requieren para que el electrn alcance esta masa?

17-9 Determine la longitud de onda asociada con un electrn que se desplaza a (a) 0.80c, y (b) 0.90c

pero

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