CAPITULO 11EL EXPERIMENTO DE RUTHERFORD

11-1 EL MODELO NUCLEAR DEL ÁTOMO

Para 1398 Sir J. J. Thomson había descubierto el electrón y entonces propuso un modelo físico del átomo conocido como "pudín de ciruela". El átomo, como él lo describía, era un pudín de ciruela positivo en el cual estaban incrustadas pasas de electrones negativos, distribuidos de tal forma que hicieran neutral el conjunto.

En 1911 el profesor Ernest Rutherford (1871-1937), quien había sido discípulo de Thomson, y dos de sus estudiantes, Hans Geiger y Ernest Manden, efectuaron cierto número de experimentos sobre la dispersión de partículas a por una delgada hoja de oro. Como resultado de estos famosos experimentos, se descartó la idea del modelo "pudín de ciruela" a favor del modelo aceptado ahora generalmente. En este modelo, se dice que el átomo consiste de un núcleo muy pequeño (dimensiones del orden de 10"' 4m), en el cual se concentran toda la carga positiva y la mayor parte de la masa, y de una nube de electrones cargados negativamente que rodea al núcleo. Ya que las dimensiones del átomo son del orden de 10"10 m, la mayor parte del espacio dentro del átomo está vacío; y para átomos neutrales, la carga de los electrones alrededor del núcleo es igual a la carga positiva del núcleo.

Repasemos el experimento de Rutherford, para efectuar un estudio detallado del átomo. Rutherford propuso que una delgada hoja de oro (Z = 79) fuese bombardeada con partículas de alta velocidad procedentes de una fuente de Po-214.

Un estudio de os ángulos de dispersión o deflexión de las partículas que pasan a través de la hoja, debería dar detalles de le-3 átomos blancos que actuaban como dispersores. Una partícula es simplemente un núcleo de helio y consiste de dos protones y dos neutrones. En aquel tiempo no se conocía la existencia del neutrón, pero Rutherford y Thomas Royds habían determinado previamente (en 1909) que la carga de la partícula en 2e

Rutherford efectuó un estudio teórico del ángulo θ de dispersión de los modelos propuestos por el y por Thomson, y luego se llevó a cabo una comparación con los resultados experimentales. La figura 11-1 compara los modelos de Rutherford y Thomson y muestra el campo eléctrico esperado asociado con cada uno de ellos. Una partícula que penetre un átomo como el del modelo de Thomson [figuras 1l-l(a) y ll-l(c)] sólo experimentará pequeñas deflexiones, ya que el campo eléctrico dentro de tal átomo sería débil, especialmente cuando se compara con el del modelo de Rutherford. En el modelo de Rutherford, el campo eléctrico para la misma distancia al núcleo a mucho más fuerte, porque toda la carga positivo del átomo, + Ze, está concentrada en el pequeño volumen del núcleo, y por k> tanto el ángulo 6 de dispersión será mucho mayor que para el modelo de Thomson [figuras 1 l-l(b) y 11-1 (d)].

Figura 11-1la deflexión esperada de la partícula a es pequeña porque el campo eléctrico dentro

del átomo es pequeño, (b) La carga positiva está concentrada en un pequeño volumen del núcleo, y la deflexión de la partícula a es mayor, (c) El campo eléctrico aumenta

linealmente hasta una superficie donde es un máximo. Para r > R, disminuye de acuerdo con E= k(Ze¡r2). (d) El campo eléctrico disminuye con la distancia al núcleo de acuerdo con E = k (Ze/r2). En r = R, es el mismo que pira el modelo de Thomson,

pero para r < R, se vuelve mayor.

11-2 MONTAJE EXPERIMENTAL

Geiger había efectuado muchas veces el experimento de enviar un haz de partículas a través de Wa delgada hoja de metal anotando la dispersión de las partículas. Sin embargo, fue casi como una idea tardía que Rutherford y Geiger sugirieron a Marsden que estudiara las dispersiones para ángulos mayores, aun hasta 90°. Cuando se encontró que las partículas a eran dispersadas hacia atrás, Rutherford exclamó: "Es tan sorprendente como si un artillero disparara a un hoja de papel y por una u otra razón el proyectil regresara".

La figura 11-2 muestra el experimento de dispersión de partículas a de Rutherford. El polonio 214 es una fuente monoenergética de partículas de 7.68 Mev. La delgada

hoja de oro (f = 6 X 10-7 m) permite que la mayor parte de las partículas pasen a través de ella sin experimentar ninguna desviación. Sin embargo, algunas son dispersadas a través de varios ángulos 6 para producir centelleos que pueden ser observados y contados medio de un microscopio amplificador. El experimento consiste en contar el número de partículas por unidad de tiempo que son desviadas con ángulos de dispersión entre 0 y 0 + A0 y comparar estos resultados con los valores esperados de los modelos de Rutherford y Thomson. El ángulo promedio de deflexión predicho por ambos modelos era alrededor de Io, pero la gran diferencia entre los dos modelos radicaba en la deflexión predicha para ángulos de dispersión muy grandes/Por ejemplo, de acuerdo con el modelo de Thomson sólo una de cada 103500 partículas a experimentará una deflexión de 0 > 90°, pero los resultados experimentales mostraron que una de cada 8000 partículas fue desviada a través de 0 > 90a. Esta cifra concordaba estrechamente con el modelo de Rutherford, y atrajo la aceptación del modelo nuclear del átomo propuesto por Rutherford.

Figura 11-2Diagrama esquemático de partículas a dispersadas por los átomos dentro de una

delgada hoja de oro.

11-3 PARÁMETRO DE IMPACTO Y ÁNGULO DE DISPERSIÓN

Las figuras 1 l-3(a) y 1 l-3(b) muestran una partícula a dispersada por un núcleo. El parámetro de impacto b en cada figura es la distancia mínima que la partícula a se aproximaría al núcleo si no existieran fuerzas entre ellos. La repulsión electrostática de Coulomb entre la partícula a y el núcleo de oro localizado en M harán que la partícula a siga la trayectoria ACB. La fuerza repulsiva de Coulomb, sigue una ley de cuadrado inverso, y la trayectoria debe ser la hipérbola ACB con el núcleo N en el foco de la hipérbola. Para una colisión de frente, es evidente que el parámetro de impacto b = 0. El eje de la hipérbola será Nz, y Nx yNy son direcciones asimptóticas, que pasan a través de N paralelamente a la dirección de viaje cuando la partícula a se encuentra muy lejos del núcleo ante y después de la interacción.

El parámetro de impacto b no debe confundir» con la distancia D de máximo acercamiento. Para determinar la distancia de máximo acercamiento considere una partícula a una gran distancia del núcleo pero aproximándose a una colisión de frente te con una energía cinética Ka. En el punto P de o figura 1 l-3(a), la fuerza repulsiva del núcleo detiene momentáneamente a la panícula que se aproxima, y toda su energía cinética se transforma en energía potencial. Así que podemos escribir

Y la distancia de máximo acercamiento es

Figura 11-3El parámetro de impacto b es la distancia por la cual la partícula a erraría el núcleo si no hubiera fuerzas implicadas. El ángulo θ de dispersión depende del parámetro de

impacto, (b) Dispersión de partículas a por un núcleo de carga +Ze. Las coordenadas polares que localizan a la partícula a en Al son r y 9

Si la colisión no es "de frente", la distancia de máximo acercamiento será NC como se ve en la figura 1 l-3(b). Nótese también de la figura 11-3(b) que aproximadamente,

Para una colisión de frente, b = 0 y de la ecuación (11-3) . Ø = 180º, que es un resultado esperado.

Al derivar la relación entre b y Ø, supondremos lo siguiente:

La partícula y el núcleo son cargas puntuales

La dispersión se debida a las fuerzas electrostáticas repulsivas de Coulomb entre la partícula y la carga positiva (Ze) del núcleo

El núcleo de oro (masa = 197 u a m) es lo suficientemente masivo comparado con la partícula (masa a 4 u a m) como para que pueda ignorarse su retroceso. 4. Las partículas a no penetran b región nuclear y las intensas fuerzas nucleares de interacción no atan impura das.

Si P1 y P2 en la figura 1 l-3(b) son los momentos lineales de la partícula cuando está lejos del núcleo antes y después de la interacción, respectivamente, podemos escribir

P1 2 = P2 2 2m 2m

y entonces p, = p,. La partícula a se mueve bajo la acción de una fuerza central F -

(1/4 ire0) (2Z e1/^) dirigida a k> largo del radio vector. Por lo tanto, el momento angular

se conserva ya que de acuerdo con las leyes de Newton r X F = dL/dt = 0, ya que r y F

se alinean en la misma dirección. Por lo tanto, L = ¿>p, = 6'p2 y b = b' También, de la

segunda ley de Newton,

De la ecuación (11-4), los momentos lineales p, y PJ tienen igual magnitud, pero Δp = 0 ya que P1 y P2 tienen diferentes direcciones.

y el vector Δp está dirigido a lo largo del eje N, como se puede ver comparando las figuras 1 l-3(b) y 11-4.

Ya que el impulso total F está dirigido a lo largo del eje Nz, una ecuación escalar

que combina las ecuaciones (11-5) y (11-6) es

Donde dθ/dt = co es la velocidad angular de Partícula a. De nuevo, de la conservación del mentó angular

mv, b = mv

Donde v0 = wr r es la componente transversal de velocidad, y entonces

vb = wr2

Cuando F y w de las ecuaciones (11-1) y (11-11) se sustituyen en la ecuación (11-8), obtenemos

Usando el hecho de que Ka = mt, / 2, obtener» de esta ecuación

Que nos da la relación entre el parámetro de impacto b y el ángulo de dispersión 0.

La figura 11-5 muestra de manera más realista cómo son dispersadas la partícula por los núcleos en una hoja de oro. La mayor parte de las partículas

Figura 11 - 5Partículas a dispersadas por los núcleos en una hoja de oro.

Partículas pasar, sin desviarse; sólo aquellas que pasan cerca de un núcleo son desviadas.

El ángulo o; dispersión depende de b; y, como se ve por la ecuación (11-11) y la figura ll-3(a), mientras más pequeño sea 6, mayor será 0 ti ángulo de dispersión. La ecuación (11-11) también se puede poner en términos de la distancia D de máximo acercamiento a partir de la ecuación (11-2),

11-4 FORMULA DE DISPERSIÓN DE RUTHERFORD

No hay forma de comprobar la ecuación (11-12) contra los resultados experimentales, porque es imposible medir directamente el parámetro de impacto b. En un experimento real, lo que se mide es el número de partículas dN con ángulos de dispersión entre Ø y Ø + dØ o dentro del ángulo sólido dΩ = dS/r2. La figura 11-6 muestra que dS = 2πr2 sen Ø d Ø es el área de la pantalla sobre la que chocan las partículas a. Por lo tanto, el ángulo sólido en el cual quedan encerradas estas dN partículas es dΩ = 2πrsen Ø d Ø.

Todas las partículas a que se aproximan al núcleo con un parámetro de impacto < b serán dispersadas a través de un ángulo > Ø. El área alrededor de cada núcleo en la figura ll-7(a) con un radio igual al parámetro de impacto b es llamada sección transversal integral. Esta área es

a = nb2

La figura ll-7(b) muestra una porción agrandada de una hoja de oro con un área

superficial A y un espesor t tan delgado (t = 6.0 X l0-7 m) que las secciones transversales individuales a de los diferentes núcleos no se superponen. Cuando un número Na de partículas a se dirige perpendicular-mente hacia A, aquellas que interactúan con núcleos diferentes (todos con la misma sección

Figura 11-6Área de la pantalla golpeada por aquellas partículas a con ángulos de dispersión entre

£ y 0y0+ d0. Las partículas se encuentran dentro del ángulo sólido dπ = ds/r2 = 2π. sen 0d0 d visto desde el punto 0 en la hoja de oro.

Transversal experimentarán una "dispersión única". Si n es el número de núcleos por unidad de volumen, la hoja de oro contendrá (At) núcleos, y por lo tanto el área de blanco T presentada por estos núcleos con el fin de tener ángulos de dispersión mayores que ó y parámetros de impacto menores que b seráT = na(At)

Ya que A es el área de blanco total, la fracción de partículas a que sufren dispersiones mayores que las dadas por é será

F= Área blanco ofrecida por los núcleos en la hoja Área blando total

= n(At) A

Esta razón también es dada por / = N/NQ, donde N es el número de partículas que experimentan la dispersión y N0 es el número total dirigido contra el blanco. La combinación de las ecuaciones (11-12) y (11-15) da ahora

Esta ecuación aún no es una fórmula práctica que pueda ser verificada experimentalmente. Para calcular el número de partículas por ángulo sólido unitario, d = 2n sen ó dé, diferenciara

La ecuación (ll-I6) con respecto a o y dividía

Por díl para obtener

df = dN = - nnt D 2 cot (0/2) csc2(0/2) d N0d. 8sen 0d0

El signo menos implica que df y dé tienen si nos opuestos. Tomando sólo el valor absoluto 4df/d y, ya que sen 0 = 2 sen (0/2) COSÍ0/2), tenemos

Ya que d=S/r2, podemos escribir

y finalmente,

Que es el número de partículas a por unidad de área que golpea la pantalla dentro de

un anillo de área Smr2= La ecuación (11-18) cono-oda corno fórmula de dispersión de Rutherford, fue verificada experimentalmente, y por esto debe acreditarse a Rutherford, como el descubridor del núcleo. La verificación experimental de la fórmula de dispersión de Rutherford muestra que si 106 de bs partículas incidentes tienen ángulos de dispersos > 10°, entonces sólo cerca de 230 son desviadas i través de un ángulo 0 > 90°.

El número de núcleos por unidad de volumen puede calcularse de

Done; p i -kg/m3) es la densidad del material de la hoja. .es el número de Avogadro =

6.02 X 102 átomos /kg-mol, y .V/(kg/kg-mol) es el peso atómico. En su verificación experimental, Geiger y Mariden usaron diferentes materiales, que variaban desde el carbón hasta el oro.

EJEMPLO 11-1(a) La energía cinética de las partículas a en el experimento de Geiger-Marsden era Ka — 7.68 Mev. Calcule la distancia D de máximo acercamiento a un núcleo de oro (Z = 79).

A la distancia de máximo acercamiento, la Ka de la partícula a se trasforma en la energía del sistema. Por lo tanto a partir de la ecuación (11 -2)

El radio del núcleo de oro debe tener una magnitud del orden de 10"l4m ó menor, lo que viene siendo cerca de 10* veces mejor que el radio del átomo. Continuando con el experimento de Geiger-Manden y considerando que el material de la hoja es oro, calcule el parámetro de impacto necesario para producir ángulos é > 90°.

Cuando se usan el valor de D anterior y ó = 90°, la ecuación (11-12) da

Que da

¿Cuál es la sección transversal correspondiente en este caso?De la ecuación (11-13), la sección transversal es

La sección transversal se mide a menudo en términos de una unidad llamada bam,

donde 1 bam = 1 X 10-2.8m2. Por lo tanto, en este cálculo a = 6.87 barns.

¿Qué fracción de partículas a es desviada un ángulo de 90° o mayor si el espesor de

la hoja es = 6.00X10-7m?

Para el oro Kg/Kg-mol), a partir de la ecuación (11-19) el número de núcleos por unidad de volumen es

ó, sustituyendo los valores calculados,

lo que significa que aproximadamente sólo dos de cada 100.000 panículas a experimentan desviaciones > 90°. La conclusión es que una hoja de oro de este espesor es relativamente transparente a las partículas a.

PROBLEMAS

¿Cuál es la velocidad de una partícula a con una energía cinética de 7.68 MeV?

(a) Si la distancia de máximo acercamiento de una panícula a dirigida contra un núcleo de oro es de 3.00 X 10"'3 m, calcule la energía cinética en MeV de la partícula a. (b) ¿Cuál es la energía potencial del sistema a la distancia de máximo acercamiento?

Use los datos del problema 11-2 y (a) determine el parámetro de impacto necesario para producir un ángulo de dispersión 0 > 60°; (b) calcule la sección trasversal correspondiente en bams, y (c) encuentre la fracción de partículas a que serán

dispersadas a través de un ángulo > 60 por una hoja de oro de espesor 3.00 X 10-7m.

(a) Para partículas a de 7.68 MeV dirigidas contra una hoja de oro de 3.00 X 10-7 m de espesor, encuentre la fracción de partículas a cuyos ángulos de dispersión están entre 0! = 10° y (¡>-, = 12°.(b) Si el número total de partículas a dirigidas contra la hoja de oro es 1.00 X 106, ¿cuántas serán dispersadas entre los ángulos de 10° y 12°? [Sugerencia: Para los datos anotados en (a), calcule n y D y luego use la ecuación (11-16)].

Para una hoja dada, encuentre la razón de partículas dispersadas entre 60° y 90° con respecto a aquellas dispersadas por 90º más. Suponga que la energía cinética de la partícula es la misma en ambos casos.

Usando los datos del problema 11-10, grafique la energía potencial de Coulomb contra r, la distancia de la partícula a que se acerca al núcleo de oro, desde la superficie del núcleo hasta el infinito (a) cuando se aproxima una partícula a, y (b) cuando se trata de un protón.

La anchura de la barrera de energía potencial de un núcleo para una partícula cargada que se le aproxima está dada por D —R, donde D es la distancia de máximo

acercamiento y R = (1.3 X 10-15 m) A1/3 . (a) En el caso del núcleo de oro, calcule la anchura de la carrera de potencial para una partícula a que se acerca con una energía de 7.63 MeV cuando aún está lejos del núcleo, (b) ¿Cuál será la energía cinética en

MeV de la partícula a cuando su distancia al centro del núcleo es 3.20 X 10-14m? (Suponga una colisión de frente).

Una panícula a de 8.00 MeV es dispersada a un ángulo de 45° por un núcleo de oro. (a) Calcule el parámetro de impacto b. (b) Si la hoja de oro tiene un espesor de 0.400u, ¿qué fracción de partículas a es dispersada a un ángulo mayor de 45°? (c) ¿Qué fracción es dispersada a un ángulo menor de 45°?

8CAPITULO 12πe0 r

EL MODELO DE BOHR I

12-1 EL MODELO PLANETARIO

De acuerdo con el modelo de Rutherford, el átomo consiste de un núcleo muy pequeño pero masivo (dimensiones del orden de 10"'4 m) que lleva una carga + Z¿. Alrededor de esta región central están localizados los electrones Z del átomo neutro. El diámetro de un átomo es alrededor de 10"'° m, o sea 10,000 veces mayor que el del Núcleo. Consideramos que este modelo es dinámico. Si se supone un modelo estático, todos los electrones que rodean al núcleo se verían atraídos hacia éste debido a la fuerza de Coulomb entre el núcleo y los electrones, y el átomo pronto sufriríi un colapso. En el modelo planetario dinámico el núcleo está esencialmente en reposo, con los electrones girando alrededor en órbitas circulares y elípticas. Consideremos la estructura atómica más simple.

El modelo planetario del átomo de hidrógeno. Un electrón de masa m giraalrededor del núcleo con movimiento circular uniforme. La fuerza motora es la atracción electrostática F de Coulomb entre el núcleo (protón) y el electrón.

El átomo de hidrógeno, con este modelo en mente. La figura 12-1 muestra la situación mis simple con un protón (de carga +e) en el centro y un electrón (de masa m y carga — e) girando alrededor del núcleo con movimiento circular uniforme. En esta primera aproximación el movimiento del protón, con una masa 1836 veces mayor que la del electrón, se despreciará.8La fuerza motora F es provista por la atracción electrostática entre el protón y el electrón. Esta es una fuerza central cuya magnitud está dada por

π

Donde r es el radio de la trayectoria circular del electrón. De acuerdo con la segunda ley de Newton,

e

Donde ar=r2 es la aceleración centrípeta (figura 12-2). De la ecuación (12-2), la

energía cinética el electrón se puede obtener de

0 r

Suponiendo un punto de vista clásico. La energía potencial del sistema es

El signo menos indica que el sistema es de atracción y no de repulsión, ya que el electrón es traído el núcleo positivo. La energía total de este sistema es

Donde el signo menos indica que se trata de un sistema cerrado.

La energía de enlace de un electrón se des como la mínima energía requerida para remover electrón completamente del átomo o, en otras palabras, para ionizar el átomo. Con trabajos experimentales se ha encontrado que la energía de en del átomo de hidrógeno es 13.6 eV. Cuando este calor se sustituye por E en la ecuación (12-5), se puede encontra

r el radio r:

Este valor de r, se llama radio de Bohr y concuerda con los valores obtenidos con otras técnicas experimentales. La velocidad lineal c está relacionada a la ciencia de revolución del electrón en su órbita

En el modelo planetario del átomo, el electrón describiría una espiral decreciente alrededor del núcleo basta que ocurriera el colapso.

Remplazando este valor en la ecuación (12-3), tenemos de la cual obtenemos

Para el número de revoluciones por segundo efectuadas por un electrón en una órbita. Usando el | valor de r ya encontrado y los valores conocidos de e y m para el electrón obtenemos / = 7 X 1015 seg"1. Valor que también concuerda ron k» obtenidos por otros métodos.

Sin embargo, a pesar de estos logros iniciales, los físicos encontraron que este modelo planetario tenía que ser abandonado ya que, de acuerdo con la electrodinámica clásica,

Una carga acelerada debe radiar energía electromagnética continuamente yla frecuencia de la radiación emitida debe ser igual a la frecuencia de revolución.

Por lo tanto, de acuerdo con este modelo, la energía total del átomo deber;'» disminuir (hacerse más negativa), mientras que la frecuencia de rotación [ecuación (12-7)] debe aumentar continuamente. Un simple cálculo muestra que sólo se requieren 10"* seg para que el átomo sufra un colapso. De acuerdo con este modelo, el espectro óptico del hidrógeno (así como los espectros de otros elementos) ti continúo, y todos los átomos deben desplomarse en corto tiempo. Ambas conclusiones, desde luego, contradicen a la evidencia experimenta Los átomos se han mostrado renuentes a desaparecer; aún más, los espectros ópticos de los gases muestran sólo frecuencias discretas ("líneas") y no una distribución continua de frecuencia. El modelo planetario pronto fue abandonado.

Esquema de un espectrógrafo de prisma. Luz procedente de un tubo de descarga con hidrógeno a baja presión es refractada a través de un prisma para producir un espectro de líneas.

12-2 ESPECTROS ATÓMICOS 8πe

La luz de una descarga eléctrica a través de un tubo que contiene un gas monoatómico a baja presión, exhibe una serie de líneas características "cuando se analiza por medio de un espectrómetro de prisma como el de la jigura12-3. Estas líneas, características del gas usado en el tubo, son llamadas el espectro de líneas del gas. Al espectro visible del hidrógeno mostrado en la figura 12-3 se le llama serie de Balmer en honor a J. J. Balmer quien lo descubrió en 1885. Si se usa gas de nitrógeno en el tubo de descarga, el espectro es un arreglo regular de líneas espaciadas muy estrechamente, conocidos como espectro de bandas. El espectro de bandas es característico de la molécula Ñ2 y es evidentemente de un origen diferente al de los espectros lineales. La luz blanca de una fuente incandescente tal como un foco de luz da un espectro continuo y contiene un continuo de longitudes de onda. Cuando (a luz de un espectro continuo se hace pasar a través de un gas monoatómico tal como el hidrógeno, se produce un espectro de absorción. Un espectrógrafo muestra entonces líneas obscuras contra un fondo blanco. Las posiciones de estas líná obscura corresponden a las longitudes de onda las blancas líneas espectrales del hidrógeno. El espectroscopista sueco J. R. Rydbq (1854-1919) encontró una fórmula empírica, 0

De la podían calcularse las longitudes de oía de la serie de Balmer. La constante de Rydbergj tiene W» valor de R = 1.0973731 X 10"^ A"1 p2, n = 3, X = 6563 A, que se identifica con la línea H roja; para n = 4, X = 4681 A, la línea HB azul; y para valores crecientes de n, las longitudes de onda se juntan caja vez más, y las intensidades se vuelven cada vez mas débiles hasta que se alcana el límite de la serie en n =°° , X = 3645 A. Además de la serie de Balmer, la tabla 12-1 muestra otra series encontradas en las regiones ultravioleta e inflararrojo

12-3 EL MODELO DE BOHR-POSTULADOSr

Néils Bohr recibió su doctorado en 1911 en Copenhazue, y el mismo año viajó a Inglaterra para estudiar bajo dirección tanto de J. J. Thomson como de Ernest Rutherford. A partir de la descripción a que hacía Rutherford del átomo, era evidente ara Bohr que; átomo tenia que consistir de un núcleo pesado alrededor del cual, y a cierta distancia, girarían los electrones. Entonces Bohr propuso ii notable conjunto de postulados como base para D nuevo modelo del átomo. León Cooper lo ex-Ktsa bien cuando declara: "Había una cierta premunen al sostener lo que era contrario a la elec-trodinámica de Maxwell y a la mecánica de Newton. Pero Benr era joven.

El modelo atómico de Bohr, aunque haya a sido remplazado; por los mas poderosos modelos: atómicos de Heisenberg, Schródinger, Dirac y otros, sigue siendo una forma pictórica satisfactoria para introducir. El concepto de estados estacionarios. El modelo de Bohr dio la primera explica-ión satisfactoria de la estructura atómica, y fue mejorado duraste los siguientes diez años por Sonmerfeld, Wilson, y otros. Debido a la dificultad que encontraren para hacerlo compatible con los nuevos descubrimientos experimentales en espectroscopia, fue remplazado entre 1924 y 1926 por I modelo memos cuántico.

Para corregir las fallas del modelo planetario del tomo, Bohr bisó su modelo del átomo de hidrófilo en los siguientes postulados:

El electrón gira alrededor del protón en el átomo de hidrógeno con movimiento circular uniforme, debido a la fuerza de Coulomb y de acuerdo con las leyes de Newton.

Las únicas órbitas permitidas son aquellas en que el momento angular del electrón orbitante es un múltiplo entero de h/2n == h. Los momentos angulares de lis únicas órbitas permitidas están dados por

Donde h es la constante de Planck y h = 1.05 X 10-34J-seg.

Cuando un electrón está en una órbita permitida, el átomo no radia energía. (La teoría electromagnética clásica predice que cualuier carga acelerada radiará energía electromagnética).

Si el electrón salta desde una órbita inicial de energía E¡ a una órbita final de energía EfE, > Ef), se emite un fotón de frecuencia

8

En la figura 12-1. Si un electrón salta de la órbita « = 5 a la órbita i = 4, un fotón de frecuencia v — (£s - £4)/hes emitido. (Esto explica las frecuencias discretas obtenidas en el espectro de emisión). Por otro lado, si un fotón de energía hv = £5- - £4 incide sobre el átomo, puede ser absorbido, y un electrón saltará desde C en la órbita n = 4 hasta D en la órbita n = 5. Este e

12-4 EL MODELO 0E BOHR -ESTADOS DE LA ENERGÍA

El punto de partida del modelo de Bohr (figura 12-5) es el mismo que el del modelo planetario. El primer postulado del modelo de Bohr, la aplicación de la Ley de Coulomb y de la segunda ley de Newton, da la energía total del sistema como apare

E = - 1 e 2

la ecuación (12-9) se produce una notable divergencia con respecto a la física clásica.En la física clásica, el espectro de valores del momento angular L es continuo, o sea, todos los valores de L son posibles; pero la ecuación (12-9)

Significa que los valores del momento angular L deben ahora escogerse de un espectro discreto de valores. Así, el momento angular está cuantizado y los valores "permitidos" h,2h,3h,...y h debe ser considerada como una unidad natural de momento angular. Esta situación es similar a la cuantización de la carga eléctrica en la física clásica.

De acuerdo con el tercer postulado, cuando el átomo está en cualquiera de los estados cuantizados designados por el momento angular en la ecuación 12-9, no radiará energía como era de esperarse en la teoría electromagnética clásica. Estos estados, u órbitas "no-radiantes", son llamados estados estacionaria. El estado de menor energía es aquel definido por n = 1, y es llamado estado base o normal, en el cual el átomo se encuentra la mayor parte del tiempo. Los estados donde n = 2,3,4r.. son los estados excitados, porque entonces el átomo tiene más energía que en el estado base. En el modelo de Bohr, no se explica la aseveración de que, cuando se encuentra en un estado estacionario, el átomo no radia energía electromagnética

Esto se toma simplemente como un postulado, a imposible mostrar experimentalmente que el electrón se mueve en una órbita circular alrededor del núcleo. Sin embargo, estas dificultades se remueven, cuando el átomo de hidrógeno se analiza en términos de la mecánica cuántica ondulatoria. Como ya se declaró antes, el modelo de Bohr tiene sus límites, pero es un buen modelo mecánico pan introducir los estados de la energía y otros conceptos físicos.

Ahora, de la ecuación (12-9),

nh mr

Y de la ecuación (12-3) el enema cinético toma la forma

v =

1 m ﴾nh ﴿ 2 = 2

1 e 2 8πe0 r

o finalmente

(12-11)

que da los radios de las órbitas "no radiantes". Para el estado base, n = l y

(12-12)

que es llamado el radio de Bohr. Este resultado concuerda con el radio del átomo obtenido previamente de la ecuación (12-5) usando el modelo planetario.De la ecuación (12-11)

rn = n2r1 (12-13)

que muestra que los radios de las órbitas de los estados estacionarios también están cuantizados y que están dados por r1, 4r1, 9r1 y así sucesivamente. Estos radios son proporcionales al cuadrado del número entero n llamado número cuántico principal. Ahora, si r en la ecuación (12-5) se remplaza en la ecuación (12-11), obtenemos

(12-14)

donde el signo negativo indica que se trata de un sistema cerrado. Así, una segunda consecuencia es que la energía está cuantizada. Los únicos valores permitidos de la energía son aquellos dados por la ecuación (12-14) donde n toma los valores n =

1,2,3 Usando los valores m = 9.11 x10-3lkg y e = 1.60 x 10-19 C para la masa y la carga del electrón, podemos evaluar la ecuación (12-14) para dar

(12-15)

El estado de menor energía o estado base corresponde a n = 1, y su energía es E1 = - 13.6 ev.

La figura 12-6 es un diagrama de niveles de energía que representa las energías permitidas para el átomo de hidrógeno. Note que todos los estados desde n = 1 hasta n = ∞ son estados ligados, ya que tienen energías negativas. Cuando n aumenta y se aproxima a n = ∞, los estados de energía se aproximan entre sí cada vez más, hasta que la diferencia de energía entre dos estados consecutivos se hace tan pequeña que la distribución da un espectro prácticamente continuo, de acuerdo con el modelo planetario

clásico y con el principio de correspondencia. Por arriba de la línea dada por n = ∞, los estados de energía tienen energías positivas, E > 0, y el espectro de los estados es continuo. El sistema es entonces abierto, lo que significa que el electrón es libre.

De la ecuación (12-14), se puede ver fácilmente que si el átomo está en su estado base, se necesitan 13.6 e V para liberar al electrón del átomo. Por lo tanto, la energía de enlace (BE) o energía de ionización para el átomo de hidrógeno en su estado base es

Este resultado (confirmado experimentalmente) fue usado en la ecuación (12-5) del modelo planetario del átomo para obtener el radio de Bohr, r1 0.53 A.

En relación con el diagrama de niveles de energía (figura 12-6), son importantes algunas definiciones.

La energía de excitación Ee es la energía que debe ser suministrada al átomo para elevar al electrón desde el estado base hasta un estado excitado.

Por ejemplo, Ee = -3.40 -(-13.6)= 10.2 eV es la energía de excitación para el estado n = 2 (primer estado excitado).

La energía de ionización E1, es la energía que debemos suministrar pan liberar al electrón del átomo cuando el electrón está en el estado base. Evidentemente, en la figura 12-6, E1 = 13.6 eV.

La energía de enlace (BE), también llamada de amarre, para un estado dado, es la energía que debe ser suministrada al átomo para desalojar un electrón cuando el electrón se encuentra en un estado excitado cualquiera. Por ejemplo, la BE para el estado n = 2 es de 3.40 eV. Si el átomo está en el estado base, b BE para ese estado es igual a la energía de ionización (13.6 eV).

Cuando hablamos de la BE sin mencionar el estado, se entiende que la BE y b energía de ionización tienen el mismo valor numérico con respecto a esto hemos dicho que la BE para el átomo de hidrógeno es de 13.6 eV.

12-5 LA CONSTANTE DE RYOBERG Y LAS SERIES ESPECTRALES

Ahora bien, de acuerdo con el cuarto postulado de Bohr, si un electrón salta de un estado inicial "¡(energía E¡) a otro estado de menor energía n f (energía Ef), la frecuencia del fotón emitido es, a partir de b formula de Bohr (ecuación 12-10),

Cuando introducimos las expresiones de la energía dadas por la ecuación (12-14), la frecuencia del fotón emitido toma la forma

(12-16)

o finalmente, la longitud de onda del fotón emitido es

(12-17)

Note que esta ecuación es similar a las dé las series «pedrales dadas en la tabla 12-1. Si n1, se remplaza por n y nf por 1, esta ecuación toma la misma forma que la ecuación empírica para la serie de Lyman; o si nf = 2, toma la forma de b serie de Balmer, y así sucesivamente. Por lo tanto, de esta comparación encontramos que

(12-18)

es el valor teórico de la constante de Rydberg. La ecuación (12-17) se puede escribir ahora como

(12-19)

Si remplazamos los valores numéricos correctos en la ecuación (12-18), el cálculo de la constante de Rydberg R = 1.0974 X 107 m-l está de acuerdo con el valor experimental dado en la sección 12-2.

Una ecuación sumamente práctica para la energía de los fotones liberada en una transición entre los estados estacionarios n1 y nf se puede obtener de las ecuaciones (12-10) y (12-15), cuando se remplazan los valores numéricos de las constantes implicadas:

(12-20)

El diagrama de niveles de energía de b figura 12-6 representa las transiciones posibles de los estados n = 2,3,4,... al estado base n — l(serie de Lyman), la serie de Balmer para transiciones a n = 2 desde n = 3,4,5,... la serie de Paschen para transiciones a n = 3 desde n = 4,5,6,... y así sucesivamente. Las transiciones entre estados con energía negativa dan lugar a los espectros lineales, mientras que las transiciones entre estados con energía positiva E > 0 y estados con E < 0 dan por resultado un espectro continuo.

12-6 EL MODELO DE BOHR Y EL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA

Una hermosa aplicación del principio de correspondencia (recuérdese la sección 4-2) se puede hacer comparando la frecuencia de los fotones emitidos cuando aplicamos el modelo de Bohr al mundo macroscópico (grandes números cuánticos) con la frecuencia de revolución del modelo clásico planetario. De acuerdo con la teoría electromagnética clásica, la última debe ser igual a la frecuencia de las ondas electromagnéticas radiadas.

Según la teoría clásica, la frecuencia orbital [ecuación (12-7)] es

pero los radios de las órbitas estacionarias, de acuerdo con el modelo de Bohr [ecuación (12-11)], están dados por

Remplazando ésta en la expresión para la frecuencia obtenemos

(12-21)

Ahora, según el modelo de Bohr, la frecuencia del fotón emitido en una transición de n1 a nf es

v= me4 ( 1 - 1 ) 64 3 h3 E02 nf2 n12

que puede tomar la forma

PROBLEMAS

12-1 Suponga que el modelo planetario desenlie el movimiento del electrón en el átomo de hidrógeno. Si el radio de la órbita del electrón es de 0.53 A, calcule (a) la frecuencia angular del electrón, (b) su velocidad lineal (c) su energía cinética en electrón volts, (d) la energía potencial del átomo en electrón volts, y (e) su energía total en electrón volts. ¿Cuál es la energía mínima en electrón volü necesaria para ionizar el átomo (energía de enlace)?

12-2 Encontrando la razón e la fuerza de atracción gravitacional entre un electrón y un protón y la fuerza de atracción de Coulomb entre las mismas dos partículas, muestre que la fuerza gravitacional puede despreciarse en el estudio del átomo de hidrógeno. (Si solo estuvieran implicadas las fuerzas gravitacionales, ¡el radio de la primera órbita deBohr sería r, = 1 X 10a* millas! )

12-3 En el modelo planetario del átomo, el radio de la órbita es 0.53 A y la velocidad

lineal él aproximadamente 2.2 X 106 m/seg. Encuentre (a) la aceleración centrípeta, (b) la fuera centrípeta, y (c) la fuerza de atracción electrostática entre el electrón y el protón, (i) Compare las fuerzas calculadas en las partes (b) y (c). ¿Cuál es su conclusión?

12-4 (a) Encuentre la longitud de onda en angstroms de las primeras tres líneas de la serie de Líneas del hidrógeno, (b) De la figura 12-6, determine la longitud de onda en angstroms de la línea

12-5 Los esxctroscopistas a menudo identifican los espectros de acuerdo con los números de onda ¿fluidos por v = 1/X (no debe confundirse con la frecuencia v). (a) ¿Cuál es el significado físico del número de onda? (b) Calcule tres números de onda

en centímetros recíprocos (cm-1) para las partes (a) y (b) del problema 12-4.

12-6 Muestre que los niveles de energía del átomo de hidrogeno se pueden describir por En = (- 2nic;n2)R, donde R es la constante de Rydbert

12-7 La luz de un tubo de descarga de hidrógeno usada z>zt un espectroscopio incide normalmente sobre una red de difracción de 15.000 líneas, ría. Si el espectro de primer orden de la serie de Balmer muestra la línea Ha difractada a un ángulo 9 = 23°, calcule (a) la longitud de onda de la línea Ha (línea roja en la serie de Balmer), y (b) la constante de Rydberi en metros recíprocos (m"1).

12-8 En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, las órbitas n — 1,2,3,... Son representadas simbólicamente por las letras K, L, M,... etc. Para los electrones en cada una de las órbitas K, L. y .Vi, calcule (a) los radios, (b) las frecuencias de revolución, (c) las velocidades lineales, (d) los momentos angulares, y (e) la energía total del sistema. (0 Para cada órbita, calcule la razón o/c y decida si el tratamiento clásico está justificado.

12-9 La razón = v,/c, donde c¡ es la velocidad lineal del electrón en la órbita K(n = 1) del átomo de hidrógeno de Bchr. es llamada la constante de la estructura fina, (a) Muestre que = e2/ 4 πo hc.(b) Sustituyendo los valores numéricos, muestre que a = 1/137.

12-10 Un electrón en un átomo de hidrógeno efectúa una transición desde n = 5 hasta n = 1, el estado base, (a) Encuentre la energía y el momento del fotón emitido, (b) Encuentre la velocidad y el momento del electrón en retroceso.

12-11 El tiempo de vida de un estado excitado es alrededor de 10"8 seg. Calcule cuantas revoluciones efectuará un electrón en el estado excitado n = 4 antes de regresar al estado base.

12-12 Calcule hs primeras tres longitudes de onda para la serie de Paschen del hidrógeno. En que región del espectro yacen las líneas ¿t la serie ce Paschen.

12-13 (a) Para un electrón que gira en la Forrera órbita (n = 1) alrededor de un protón, determine la frecuencia ¿e revolución.¿Cuál es el valor en amperes de la corriente equivalente?Calcule la densidad de flujo magnético B (en teslas = Wb/m2) en el centro de esta trayectoria circular. ¿Cómo está alineada la densidad de flujo con respecto al momento angular orbital?

12-14 (a) Indique gráficamente, por medio di un diagrama de niveles de energía, la energía de excitación Et, la energía de enlace BÉ, y la energía de ionización Ej para un estado cualquiera.Pira cualquier n dada, muestre que £; = £,+BE.Encuentre la energía de excitación para n = 4 en el átomo de hidrógeno.Encuentre la BE para el electrón en el mismo estado n = 4, y verifique la parte (b) numéricamente.

12-15 En el átomo de hidrógeno, un electrón experimenta una transición de un estado cuya energía de enlace es 0.54 eV a otro estado, cuya energía de excitación es 10.2 eV. (a) ¿Cuáles son los números cuánticos de estos estados? (b) Calcule la longitud de onda del fotón emitido, (c) ¿A qué serie pertenece esta línea?

12-16 Calcule la energía mínima que debe suministrarse a un átomo de hidrógeno para que pueda emitir la línea Hy de la serie de Balmer. ¿Cuántas líneas espectrales posi-bles puden esperarse si el electrón cae finalmente al estado base?

12-17 Encuentre la longitud de onda de de Broglie de un electrón en la órbita n = 3 del átomo de hidrógeno. En que región del espectro quedará clasificado un fotón de la misma longitud de onda.

12-18 En la colisión inlástica de un electrón de masa m con un átomo estacionario de hidrógeno de masa M, el átomo es excitado a un nivel cuya energía es E sobre el estado base. (3) Pruebe que la energía cinética mínima del electrón debe ser K = [(m +M) /M\E. (b) Encuentre la energía cinética mínima de un electrón que efectúa una co-

lisión inelástica con un átomo de hidrógeno en reposo y eleva al átomo desde el estado base (n = 1) hasta el segundo estado excitado (n = 3). (c) Resuelva el mismo proble-ma, si la partícula incidente es un fotón.