RAK: P-II/1/40

eksaktno reševanje:

reševanje diferencialnih enačb

aproksimativno reševanje:

metoda končnih razlik (MKR) – finite difference method (FDM)

metoda končnih elementov (MKE) – finite element method (FEM)

metoda robnih elementov (MRE) – boundary element method (BEM)

metoda končnih volumnov (MKV) – finite volume method (FVM)

NUMERIČNI MODEL

RAK: P-II/2/40

Analizirajmo obojestransko vpet osnoobremenjen konstrukcijski

element dolžine in nekonstantnega prečnega prereza .

Obremenitev le-tega izhaja iz stacionarne temperature konstrukcije ,

ki je višja od temperature montaže .

1 2( A , A )

k mT T T 0

k

1 2L , L

1L2L

1E A konst2E A konst

1 2L=L + L

kT

mT

1 2

x

primer eksaktnega reševanja:

Numerični model Osnove modeliranja

RAK: P-II/3/40

2

1

20

d u

dx

1. podinterval : 1 1[0 ,L ]x

2. Podinterval : 1 1 2[L ,L +L ]x

eksaktna funkcijska rešitev:

2

2

20

d u

dx

(1) (1)

1 0 1( ) C Cu x x

Za izračun treh neznanih konstant ( ) potrebujemo tri enačbe, ki

jih dobimo z upoštevanjem robnih pogojev in pogojev konsistentnosti

prehoda, medtem ko sta vodilni enačbi problema z izbrano polinomsko

funkcijsko odvisnostjo že eksaktno izpolnjeni.

(1) (1) (1)

0 1 1C , C ,

(1)

2 1 1 1( ) ( ) ( L )u x u x x

Osnove modeliranja

k mT T T 0

k

1 2L , L

1L2L

1E A konst2E A konst

1 2

x

RAK: P-II/4/40

1. podinterval : 1[0,L ]x

1(0) 0u

1. robni pogoj:

(1)

0C 0 1. enačba

(1) (1)

1 0 1( ) C Cu x x

Osnove modeliranja

k mT T T 0

k

1 2L , L

1L2L

1E A konst2E A konst

1 2

x

RAK: P-II/5/40

2. Podinterval : 2 1 2[L , L +L ]x

2. robni pogoj:

2 1 2 2 1 2(L +L ) k (L +L )N u

1 2

22 2 1 2

L +L

E A T k (L +L ) 0x

duu

dx

2. enačba (1) (1)

1 2 1 2 1 2 2 2C (E A k (L +L )) (E A k L ) = E A T

(1)

2 1 1 1( ) ( ) ( L )u x u x x

Osnove modeliranja

k mT T T 0

k

1 2L , L

1L2L

1E A konst2E A konst

1 2

x

RAK: P-II/6/40

1. pogoj konsistentnosti prehoda je že

izpolnjen z izbrano aproksimacijsko funkcijo:

1 1 2 1(L ) (L )u u

1. podinterval : 2. Podinterval :

(1) (1)

1 0 1( ) C Cu x x (1)

2 1 1 1( ) ( ) ( L )u x u x x

1[0,L ]x 2 1 2[L ,L +L ]x

Osnove modeliranja

k mT T T 0

k

1 2L , L

1L2L

1E A konst2E A konst

1 2

x

RAK: P-II/7/40

(1) (1)

1 0 1( ) C Cu x x (1)

2 1 1 1( ) ( ) ( L )u x u x x

1 1

1 21 2 1 2

L L

E A E A E A T E A Tx x

du du

dx dx

3. enačba

1 1 2 1(L ) (L ) 0N N

1. podinterval : 2. Podinterval : 1[0,L ]x 2 1 2[L ,L +L ]x

(1) (1)

1 1 2 2 1 1 2C (A A ) A A T A T

Osnove modeliranja

k mT T T 0

k

1 2L , L

1L2L

1E A konst2E A konst

1 2

x

RAK: P-II/8/40

Upoštevajoč robne pogoje in pogoje konsistentnosti prehoda dobimo sistem

dveh linearnih enačb:

2. enačba:

3. enačba:

ki ga je smiselno zaradi nadaljnjega numeričnega reševanja

zapisati v matrični obliki:

(1)2 1 2 2 2 1

(1)1 2 2 1 11

(E A k (L +L )) (E A k L ) 0C

(A A ) A A T A T

(1) (1)

1 2 1 2 1 2 2C (E A k (L +L )) (E A k L ) = 0

(1) (1)

1 1 2 2 1 1 2C (A A ) A A T A T

Osnove modeliranja

RAK: P-II/9/40

Grafični prikaz eksaktne rešitve za obravnavani

primer, upoštevajoč številčne vrednosti :

1

2

2

1

2

2

0

L 0.3m

L 0.6 m

A 80 mm

A 30 mm

E 2e5MPa

=12e-6 m/(m K)

k 10kN/mm

T 30 C

Osnove modeliranja

k mT T T 0

k

1 2L , L

1L2L

1E A konst2E A konst

1 2

x

RAK: P-II/10/40

Grafični prikaz eksaktne rešitve:

Premik v smeri osi x

Notranja osna sila

duN E A T

dx

Osnove modeliranja

RAK: P-II/11/40

Konstantna napetost po prerezu

Konstantna deformacija po prerezu

xx

duE T

dx

xx

du

dx

Grafični prikaz eksaktne rešitve: Osnove modeliranja

RAK: P-II/12/40

aproksimativno reševanje:

ko eksaktno rešitev diferencialne enačbe ni mogoče določiti

aproksimativno reševanje prevede reševanje diferencialne

enačbe v reševanje sistema linearnih enačb

pri izbiri aproksimativne metode upoštevamo značilnosti

fizikalnega modela

pri izbiri aproksimativne metode upoštevamo prednosti in

slabosti posamezne numerične metode

Osnove modeliranja

RAK: P-II/13/40

aproksimativno reševanje:

metoda končnih razlik (MKR):

• osnovna ideja te metode je v tem, da aproksimiramo odvode

funkcijskih vrednosti, ki nastopajo v diferencialni enačbi in

robnih pogojih

• aproksimacija odvodov je zasnovana na razvoju funkcije v

Taylorjevo vrsto

Osnove modeliranja

Numerični model

značilnosti aproksimativnega reševanja z MKR:

prednosti:

- enostavna uporaba

slabosti:

- zahtevna priprava mreže točk, še posebno v 3D prostoru

RAK: P-II/14/40

1 2 32 3

0 0 00 0 1 2 3

( ) ( ) ( )( ) ( ) ...

1! 2! 3!

d f x d f x d f xh h hf x h f x

dx dx dx

razvoj funkcije v neskončno Taylorjevo vrsto:

primer aproksimativnega izračuna prvega in drugega odvoda funkcije

0x hx 0

)(xf0f

1f

x

Osnove modeliranja

RAK: P-II/15/40

1 22

0 00 0 1 2

( ) ( )( ) ( )

1! 2!

d f x d f xh hf x h f x

dx dx

aproksimacija vrednosti funkcije:

0x hx 0

)(xf0f

1f

0

2

0012

fh

fhff

x

Osnove modeliranja

RAK: P-II/16/40

aproksimacija prvega in drugega odvoda funkcije:

0

2

0012

fh

fhff

0x hx 0hx 0

)(xf0f

1f1f

0

2

0012

fh

fhff

h

fff

2

110

2

1010

2

h

ffff

x

Osnove modeliranja

RAK: P-II/17/40

k mT T T 0

k

1 2L , L

1L2L

1E A konst2E A konst

1 2

x

V obravnavanem primeru območje obsega dva podintervala. Pri

aproksimativnem reševanju problemov z MKR najprej diskretiziramo

posamezni podinterval na določeno število odsekov, katerih dolžine

naj bodo za posamezni podinterval enake:

0 1 3 2 4 5 6 7

11

Lh

3 2

2

Lh

4

1h 2h

primer aproksimativnega reševanja z MKR

Numerični model Osnove modeliranja

RAK: P-II/18/40

0 1 3 2 4 5 6 7

11

Lh

3 2

2

Lh

4

Neznank tako diskretiziranega problema je 8 funkcijskih vrednosti osnovne

spremenljivke v 8 točkah intervala . Sistem linearnih

enačb, iz katerega lahko izračunamo neznanke, mora obsegati enačbe, ki se

nanašajo na robne pogoje. Ker imamo v obravnavanem primeru območje

razdeljeno na dva podintervala, moramo upoštevati tudi enačbe, ki popisujejo

pogoje konsistentnosti prehoda na prehodu med podintervaloma.

Manjkajoče enačbe dobimo na osnovi izpolnitve vodilne območne enačbe

problema.

1 2[0,L +L ]iu (i 0,1,..,7)

ENAČBE na osnovi robnih pogojev:

(0) 0u

1. robni pogoj:

0u 0

2. robni pogoj:

2 1 2 2 1 2(L +L ) k (L +L )N u

1 2

22 7

L L

E A T k ux

du

dx

1

2 7 7E A ( u T) k uD

x

1. enačba

Osnove modeliranja

RAK: P-II/19/40

1 A 67

2

u uu

2 hD

V robnem pogoju števila 2) se nahaja diferenčni operator , ki za zapis s

centralnimi razlikami v točki 7 potrebuje še dodatno točko A :

1D

Z dodatno točko A se je povečalo število neznanih vrednosti za ena in

posledično potrebno število enačb. Robni pogoj števila 2) lahko sedaj

zapišemo v diskretni obliki kot:

ku

A 6 A 6 72 7

2 2 2

u u u u k uE A T k u + T

2h 2h E A

0 1 3 2 4 5 6 7

11

Lh

3 2

2

Lh

4

A

2hx

2. enačba

Osnove modeliranja

RAK: P-II/20/40

ENAČBE na osnovi pogojev

prehoda med podintervaloma:

1. pogoj konsistentnosti prehoda:

1 1 2 1(L ) (L )u u

je že izpolnjen s tem, da je na meji med podintervaloma ena sama

neznana diskretna vrednost, v obravnavanem primeru . 3u

2. pogoj konsistentnosti prehoda:

1 1 2 1(L ) (L ) 0N N

1 1

1 21 2 1 2

L L

E A E A E A T E A Tx x

du du

dx dx

0 1 3 2 4 5 6 7

11

Lh

3 2

2

Lh

4

A

2hx

Osnove modeliranja

RAK: P-II/21/40

1 2

3 31 2 1 2

( ) ( )

u uA A T ( A A )

u x u x

d d

dx dx

0 1 3 2 4 5 6 7 A

x

11

Lh

3 2

2

Lh

4

1 2

1 2

1 1

1 3 2 3 1 2( ) ( )

A u A u T ( A A )u x u x

D D

V diskretni obliki zapisan 2. pogoj:

pri čemer je potrebno upoštevati, da lahko v diskretnem zapisu diferenčnega

operatorja upoštevamo samo diskretne vrednosti v posameznem podintervalu,

kar pa pri uporabi centralne diferenčne sheme brez dodatnih točk B in C ni možno:

1D

0 1 2

x

3

1h

B 3 4 5 6 7 A 2 1

2h

C

Osnove modeliranja

RAK: P-II/22/40

Diferenčni operator v točki 3 tako zapišemo v diskretni obliki za vsak

podinterval posebej na sledeči način:

1

1 B 23

( )1

u uu

2 hu xD

1D

2

1 4 C3

( )2

u uu

2 hu xD

4 CB 21 2 1 2

1 2

u uu uA A T ( A A )

2 h 2h

ter tako dobimo diskretni zapis 2. pogoja konsistentnosti prehoda:

3. enačba

0 1 3 2 4 5 6 7 A

x

11

Lh

3 2

2

Lh

4

1 2

0 1 2

x

3

1h

B 3 4 5 6 7 A 2 1

2h

C

Osnove modeliranja

RAK: P-II/23/40

Upoštevajoč 3 dodatne točke, ter neznane diskretne vrednosti v njih ,

imamo tako sedaj 11 neznanih diskretnih vrednosti, ter 3 enačbe, ki izhajajo iz

robnih pogojev in pogojev konsistentnosti prehoda. Preostalih 8 enačb dobimo na

osnovi izpolnitve vodilne diferencialne enačbe problema v točkah podintervala,

v katerih niso potrebne dodatne točke pri diskretnem zapisu diferenčnega

operatorja .

iu (i A,B,C)

2D

22k

k k+1 k k 12

u0 u 0 u 2u u 0

dD

dx 4.-11. enačba

0 1 3 2 4 5 6 7 A

x

11

Lh

3 2

2

Lh

4

1 2

0 1 2

x

3

1h

B 3 4 5 6 7 A 2 1

2h

C

Osnove modeliranja

RAK: P-II/24/40

0 1 2 3 B 3 4 5 6 7 A 2 1 C

2 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1 k 12h E A 2h

A A A A

2h 2h 2h 2h

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 -

0 0 - 0 - 0 0 0 0

1 -2 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 -2 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 -2 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 -2 0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 -2 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 -2 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 -2 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 -2 1

1. r.p.

2. r.p.

2. p.k.p.

d.e. T1

d.e. T2

d.e. T3

d.e. T3

d.e. T4

d.e. T5

d.e. T6

d.e. T7

0

1

2 1 2

3

B

C

4

5

6

7

A

u 0

u T

u T (A -A )

u 0

u 0

u 0

u 0

u 0

u 0

u 0

u 0

0u 1u 2u 3u Bu Cu 4u 5u 6u 7u Au

x

Osnove modeliranja

RAK: P-II/25/40

k mT T T 0

k

1 2L , L

1L2L

1E A konst2E A konst

1 2 x

Grafični prikaz primerjave rezultatov, dobljenih po MKR, z eksaktnimi

upoštevajoč številčne vrednosti:

1

2

2

1

2

2

0

L 0.3m

L 0.6 m

A 80 mm

A 30 mm

E 2e5MPa

=12e-6 m/(m K)

k 10kN/mm

T 30 C

Osnove modeliranja

RAK: P-II/26/40

Grafični primerjava izračunanih diskretnih vrednosti in eksaktne rešitve:

Premik v smeri osi x

Iz primerjave rezultatov lahko ugotovimo, da diskretne vrednosti primarne

spremenljivke sovpadajo z eksaktno rešitvijo. Uporabljena aproksimacija

diferenčnih operatorjev in omogoča izračun eksaktnih vrednosti za

primere, ko je funkcijska odvisnost primarne spremenljivke polinom največ

2. stopnje. V obravnavanem primeru je eksaktna funkcijska odvisnost

primarne spremenljivke polinom 1. stopnje.

2D1D

Osnove modeliranja

RAK: P-II/27/40

k k+1 k 1k k k k k

u u uN E A T T

2 h

dE A

dx

Iz poznanih diskretnih vrednosti primarne spremenljivke lahko izračunamo

diskretne vrednosti notranje osne sile v istih točkah obravnavanega območja.

V enačbi za izračun notranje osne sile nastopa diferenčni operator , ki ga

bomo izračunali upoštevajoč centralne razlike:

1D

0 1 2 3 B 3 4 5 6 7 A 2 1 C

x

Upoštevajoč centralne razlike lahko izračunamo notranjo osno silo v vseh

točka obravnavanega območja, razen v točki 0. Za to točko dodamo

dodatno točko D , vrednost v njej pa izračunamo iz vodilne diferencialne

enačbe problema, zapisane za točko 0 :

220

0 1 0 D D 12

u0 u 0 u 2u u 0 u u

dD

dx

D

Osnove modeliranja

RAK: P-II/28/40

D 0 1 2 3 B 4 5 6 7 Au , u ,u ,u ,u , u ,u ,u ,u ,u ,u

0.024,0.000, 0.024, 0.048, 0.072, 0.096, 0.066,0.078,0.084,0.090,0.096,0.102 mm

1 D0 0 0 0 0

u uN E A T 1.920 kN

2 h

eksaktna rešitev:

aproksimativna rešitev:

(0) 1.920 kNN

Osnove modeliranja

RAK: P-II/29/40

aproksimativno reševanje:

metoda končnih elementov (MKE):

• metoda je zasnovana na integralski formulaciji problema

• izhodiščna integralska enačba MKE je šibka oblika

integralske enačbe

• obravnavano območje problema razdelimo na

podobmočja, imenovana končni element (KE)

• v območju KE aproksimiramo neznane veličine

Osnove modeliranja

Numerični model

RAK: P-II/30/40

značilnosti aproksimativnega reševanja z MKE:

prednosti:

- možnost obravnave geometrijsko zahtevnih problemov

- uporabna za reševanje vseh vrst fizikalnih problemov

slabosti:

- računsko intenzivna metoda

Osnove modeliranja

RAK: P-II/31/40

diferencialna enačba problema:

)()( xndx

duxAE

dx

d

osno obremenjeni konstrukcijski element

prevedba diferencialne enačbe v integralsko enačbo:

0)()()(

0)()(

0

L

dxxvxndx

duxAE

dx

d

xndx

duxAE

dx

d

L

F

x u(x)

( )n xAL

y z

Osnove modeliranja

RAK: P-II/32/40

prevedba osnovne integralske enačbe v šibko obliko integralske enačbe:

dxxvxndxxvdx

duxAE

dx

dLL

)()()()(00

s per partes integracijo leve strani osnovne integralske enačbe

dobimo šibko obliko integralske enačbe

0

0

0

( )

( ) (0)( ) ( ) (0) (0) ( ) ( )

( ) ( ) (0) (0) ( ) ( )

L

L

L

du dvE A x dx

dx dx

du L duE A L v L E A v n x v x dx

dx dx

N L v L N v n x v x dx

osnovna integralska enačba

Osnove modeliranja

RAK: P-II/33/40

interpolacija pomika v območju dvo-vozliščnega enodimenzijskega KE ( ) : e0 Lx

e

2e122e

e

1e111

2211

)(1)(0)0()(ˆ

1)(0)(1)0()0(ˆ

)()()(ˆ)(

L

xxLuLu

L

xxLuu

xuxuxuxu

e

2

e

1 1)(ˆL

xu

L

xuxu

x eL

1 2

1u 2uKE

Osnove modeliranja

RAK: P-II/34/40

upoštevanje interpolacije pomika po območju KE

v šibki obliki integralske enačbe:

dxxvxnvNLvN

dxdx

dv

Lu

LuxAE

dxdx

dv

dx

duxAE

Lu

Lu

dx

ud

dx

du

L

L

L

)()()0()(

11)(

)(

11ˆ

e

e

e

0

12

0 e

2

e

1

0

e

2

e

1

Osnove modeliranja

RAK: P-II/35/40

02

2 )(n

dx

xudAE

diferencialna enačba problema:

robni pogoji:

0)0( xu

FLxdx

duAELxN )(

primer aproksimativnega reševanja z MKE:

Osnove modeliranja

)(xfAE

L

F

x u(x)

0nAL

y z

RAK: P-II/36/40

0)0( 1uxu

zapis robnih pogojev:

FNLxN 2)(

Le

F

x u(x)

0n

1

2

dxxvnvNLvN

dxdx

dvuu

L

AE

L

L

)()0()(

)(

e

e

0

012

0

21

e

upoštevanje robnih pogojev v integralski enačbi:

dxxvnvNLvFdxdx

dvu

L

AELL

)()0()(ee

0

01

0

2

e

Osnove modeliranja

RAK: P-II/37/40

za izračun pomika u2 in notranje sile N1 potrebujemo

dve enačbi, ki jih dobimo upoštevajoč Galerkinovo metodo:

dxL

xnNdx

Lu

L

AELL

e0

01

0 e

2

e

11 ee

e

1 1)()(L

xxxv

e

1

Ldx

dv

dxL

xnFdx

Lu

L

AELL

e0

0

0 e

2

e

ee 1

e

2 )()(L

xxxv

e

1

Ldx

dv

1. enačba:

2. enačba:

Osnove modeliranja

RAK: P-II/38/40

izračun integrala v enačbi:

2

1

e01

e

2

0 e

01

0

2

e

2

ee

LnN

L

uAE

dxL

xnNdx

L

uAELL

1. enačba:

2. enačba:

2

e0

e

2

0 e

0

0

2

e

2

ee

LnF

L

uAE

dxL

xnFdx

L

uAELL

Osnove modeliranja

RAK: P-II/39/40

izračun pomika u2 in notranje sile N1 :

e01

e0

e

e0e

1

e0

e

21

e01

e

2

2

2

22

LnFN

Ln

L

LnF

AE

LAE

N

Ln

L

uAEN

LnN

L

uAE

22

e0e2

e0

e

2 LnF

AE

Lu

LnF

L

uAE

Osnove modeliranja

RAK: P-II/40/40

vozliščne vrednosti:

FN

LnFN

LnF

AE

Lu

u

2

e01

e0e2

1

2

0

Le

F

x u(x)

0n

1

2

Osnove modeliranja