analiza vpliva prostorske diskretizacijeanaliza vpliva prostorske diskretizacije metode konČnih...

87
ANALIZA VPLIVA PROSTORSKE DISKRETIZACIJE METODE KONČNIH ELEMENTOV NA NATANČNOST NUMERIČNIH REZULTATOV Magistrsko delo Študent: Jure ŠANTL Študijski program 2. stopnje: Strojništvo Smer: Računalniško inženirsko modeliranje Mentor: red. prof. Zoran REN Somentor: asist. dr. Matej BOROVINŠEK Maribor, november 2015

Upload: others

Post on 24-Oct-2020

4 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • ANALIZA VPLIVA PROSTORSKE DISKRETIZACIJE

    METODE KONČNIH ELEMENTOV NA NATANČNOST

    NUMERIČNIH REZULTATOV

    Magistrsko delo

    Študent: Jure ŠANTL

    Študijski program 2. stopnje:

    Strojništvo

    Smer: Računalniško inženirsko modeliranje

    Mentor: red. prof. Zoran REN

    Somentor: asist. dr. Matej BOROVINŠEK

    Maribor, november 2015

  • - I -

  • - II -

    ZAHVALA

    Zahvaljujem se mentorju red. prof. Zoranu Renu in

    somentorju asist. dr. Mateju Borovinšku za pomoč in

    vodenje pri opravljanju magistrskega dela. Zahvaljujem

    se tudi Valeriji za vso vzpodbudo in pomoč.

    Posebna zahvala velja družini, ki me je podpirala skozi

    celoten študij.

  • - III -

    KAZALO

    1 UVOD ................................................................................................................................ 1

    2 OSNOVE KONČNIH ELEMENTOV ............................................................................... 4

    2.1 Tip končnega elementa in interpolacijska funkcija ..................................................... 4

    2.2 Integracijska shema ..................................................................................................... 5

    2.3 Geometrijska oblika končnih elementov ................................................................... 12

    2.4 Velikost končnih elementov ...................................................................................... 20

    2.5 Ugotavljanje natančnosti numeričnih rezultatov ....................................................... 20

    2.6 Konvergenčna metoda ............................................................................................... 20

    3 OCENJEVANJE NAPAKE DISKRETIZACIJE S POMOČJO RICHARDSONOVE

    EKSTRAPOLACIJE ................................................................................................................ 22

    3.1 Osnove Richardsonove ekstrapolacije ....................................................................... 22

    3.2 Prostorska diskretizacija ............................................................................................ 24

    3.3 Red konvergence mreže ............................................................................................. 26

    3.4 Ocena napake diskretizacije ...................................................................................... 29

    3.5 Predpostavke .............................................................................................................. 30

    3.6 Uporaba Richardsonove ekstrapolacije na vrednostih odziva sistema ...................... 32

    3.7 Lokalna uporaba Richardsonove ekstrapolacije ........................................................ 32

    3.8 Prednosti in slabosti ................................................................................................... 34

    3.9 Zanesljivost ocene diskretizacije ............................................................................... 34

    3.10 Roachejev indeks konvergence mreže (GCI)......................................................... 35

    3.11 Variante .................................................................................................................. 39

    4 IZDELAVA DODATKA V PROGRAMSKEM OKOLJU ABAQUS ........................... 43

    4.1 Osnovni koraki .......................................................................................................... 44

    4.2 Pridobitev podatkov o treh simulacijah ..................................................................... 46

  • - IV -

    4.3 Interpolacija vrednosti na skupno mrežo in izvedba Richardsonove ekstrapolacije z

    uporabo algoritma Matlab .................................................................................................... 50

    4.4 Interpolacija vrednosti na skupno mrežo z uporabo algoritma Abaqus .................... 51

    4.5 Izvedba Richardsonove ekstrapolacije ...................................................................... 53

    4.6 Primerjava algoritmov Abaqus in Matlab ................................................................. 55

    5 ZGLED: ANALITIČNI IN NUMERIČNI IZRAČUN NOSILCA .................................. 57

    5.1 Analitični izračun napetosti v nosilcu ....................................................................... 57

    5.2 Numerični izračun napetosti v nosilcu ...................................................................... 58

    5.3 Izvedba Richardsonove ekstrapolacije na nosilcu ..................................................... 59

    6 ZAKLJUČEK ................................................................................................................... 70

    7 MOŽNOSTI ZA NADALJNJE DELO ............................................................................ 72

    8 VIRI .................................................................................................................................. 74

  • - V -

    ANALIZA VPLIVA PROSTORSKE DISKRETIZACIJE METODE

    KONČNIH ELEMENTOV NA NATANČNOST NUMERIČNIH

    REZULTATOV

    Ključne besede: Metoda končnih elementov, prostorska diskretizacija, kvaliteta mreže,

    natančnost rezultatov, Abaqus, Richardsonova ekstrapolacija

    UDK klasifikacija: 519.6:004.94(043.2)

    POVZETEK

    Računalniške simulacije izvajamo tako, da model diskretiziramo (razdelimo na elemente). Na

    ta način iščemo približno rešitev zadanega problema. Kvaliteta končnih elementov bistveno

    vpliva na natančnost rešitev. Opisal sem, kako geometrijski tip, integracijska shema,

    geometrijska oblika ter velikost končnih elementov vplivajo na natančnost numeričnih

    rezultatov. Opisal sem probleme, ki se pojavljajo pri izbiri polne oziroma reducirane

    integracije. Primernost oblike končnih elementov najpogosteje vrednotimo na podlagi razmerja

    med stranicami elementa, velikostjo notranjih kotov in Jacobijeve determinante. Raziskal sem

    metode za ocenjevanje napake diskretizacije. Ena izmed njih je Richardsonova ekstrapolacija,

    ki sem jo podrobneje raziskal. To je metoda, ki na podlagi treh rešitev na različno gostih mrežah

    oceni ekstrapolirano vrednost spremenljivke (npr. napetosti). Tako pridobimo oceno vrednosti

    spremenljivke, ki bi jo dobili na mreži z neskončno malimi elementi (velikost elementa je 0). Na

    tem temelji indeks konvergence mreže GCI, ki ga uporabimo kot oceno napake diskretizacije.

    Ta oceni, znotraj katerega intervala leži s 95 % verjetnostjo natančna vrednost matematičnega

    modela. Izdelal sem dodatek za programski paket Abaqus, ki temelji na tej metodi. Dodatek za

    vsako vozlišče modela izračuna oceno napake diskretizacije. Dodatek sem tudi preizkusil na

    testnem primeru, ki je dal dobre rezultate.

  • - VI -

    ANALYSIS OF FEM SPATIAL DISCRETISATION INFLUENCE ON

    PRECISION OF NUMERICHAL RESULTS

    Key words: Finite element method, spatial discretization, mesh quality, result precision,

    Abaqus, Richardson extrapolation

    ABSTRACT

    Computer simulations are based on discretization (model is split into elements). This way, we

    obtain aproximated results of examinated problem. The quality of finite elements has a great

    effect on precision of numerical results. I described how the precision of numerical results is

    influenced by element type, integration scheme, geometrical shape and size. I described the

    problems that we face by using full or reduced integration scheme. The quality of the

    geometrical shape of finite elements is usually evaluated based on element aspect ratio, size of

    inner angles and Jacobian determinant. I researched the methods for evaluating discretizaztion

    error. One of them is Richardson extrapolation, which I researched in more detail. This method

    extrapolates observed value (like element stress), using observed values on three different

    meshes. This way, this method esimates the value of observed value for mesh with infinite small

    elements (the size of elements eqals 0). Based on this method, the mesh konvergence index

    (GCI) was introduced. GCI is used as a measure of discretization error. GCI defines an

    interval, which contains an exact solution of mathematical model with the probability of 95 %.

    Based on Richardson extrapolation and GCI index, I developed Abaqus add-on. The add-on

    calculates discretization error for each node of provided model, based on results on three

    different meshes. I tested add-on on test example, where I obtained good results.

  • - VII -

    UPORABLJENI SIMBOLI

    𝛿 - pomik nosilca

    𝑃 - sila na nosilec

    𝐼 - vztrajnostni moment

    𝜎 - napetost, napetostni tenzor

    𝑀 - moment, navor

    𝜁 - koordinatne osi v naravnem koordinatnem sistemu

    E - modul elastičnosti

    J - Jacobijeva matrika

    p - red konvergence

    𝜀 - napaka diskretizacije, razlika med diskretno rešitvijo in rešitvijo matematičnega

    problema

    𝑓 - eksaktna rešitev matematičnega modela

    𝑓ℎ - numerična (diskretna) rešitev

    𝑟 - faktor zgostitve

    𝑁 - število vozlišč, elementov

    �̂� - lokalno gledan red natančnosti, opazovan red natančnosti

    𝑝𝑓 - formalen red natančnosti

    𝐹𝑠 - varnostni faktor

    𝐶𝐹 - korekcijski faktor

  • - VIII -

    UPORABLJENE KRATICE

    1-D - enoodimenzionalni

    2-D - dvodimenzionalni

    3-D - tridimenzionalni

    CPU - računalniški procesor

    LT - linearni tetraedrski element

    QT - paraboličen tetraedrski element

    LH - linearni heksaederski element

    QH - paraboličen heksaederski element

    C3D8 - linearni 3-D elementi z 8 vozlišči, oznaka programskega paketa Abaqus

    C3D8R - linearni 3-D elementi z 8 vozlišči in reducirano integracijsko shemo, oznaka

    programskega paketa Abaqus

    CHEXA - oznaka za heksaederski element v programskem paketu Nastran

    SOLID45 - oznaka za heksaederski element v programskem paketu ANSYS

    GCI - indeks konvergence mreže, merilo za napako diskretizacije

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 1 -

    1 UVOD

    Pri inženirskih problemih običajno obravnavamo sisteme s strojnimi deli z najrazličnejšimi

    geometrijami, odziv le-teh pa opisujejo diferencialne enačbe. Metoda končnih elementov

    temelji na diskretizaciji računskega območja: območje poljubne geometrije razdelimo na

    manjša podobmočja (končne elemente), znotraj katerih lahko numerično rešimo diferencialne

    enačbe. Podobmočja so običajno liki (pri 2-D problemih), oziroma telesa (pri 3-D problemih).

    Pri 3-D problemih so to po navadi tetraedri ali heksaedri. Izbira vrste končnih elementov,

    njihova oblika in velikost, običajno pomembno vplivajo na natančnost rezultatov simulacije.

    Prvi korak pri generiranju mreže končnih elementov je izbira vrste končnega elementa.

    Na podlagi geometrije se najprej odločimo, ali bomo uporabljali 3D elemente ali pa lahko

    model poenostavimo z uporabo 2D mreže. Glede na zahtevnost geometrije izberemo

    geometrijsko obliko elementov, s katerimi bomo geometrijo zamrežili (npr. pravokotniki ali

    trikotniki pri 2D mrežah, heksaedri ali tetraedri pri 3D mrežah). Elementom določimo tudi tip

    integracijske sheme (polna integracija, reducirana integracija) ter stopnjo interpolacijskih

    funkcij elementov (linearna, kvadratna). Izbira vrste končnega elementa lahko pomembno

    vpliva na pravilnost numeričnih rezultatov.

    Geometrijska oblika končnih elementov ima pomemben vpliv na rezultate numerične

    simulacije. Zaželeno je, da so elementi pravilnih geometrijskih oblik (enakostraničen trikotnik,

    kvadrat, kocka). V praksi se pogosto pojavljajo zapletene geometrije, na katerih želimo izdelati

    mrežo. Pri takih primerih moramo po navadi uporabiti tudi elemente, ki imajo nepravilno

    obliko. Bolj kot je oblika elementov nepravilna, slabše rezultate dobimo na podlagi takšnih

    elementov. Velikokrat programski paketi pred izvedbo simulacije preverijo kvaliteto mreže ter

    nas na elemente slabše kvalitete opozorijo. V ekstremnih primerih, ko so elementi tako slabe

    kvalitete, da s pomočjo njih ne moremo priti do uporabnih rezultatov, programski paketi javijo

    napako. Za ugotavljanje kvalitete mreže lahko uporabimo različne kriterije. Najpogostejši so

    razmerja med stranicami, notranji koti ter uporaba Jacobijeve determinante.

    Na rezultat simulacije bistveno vpliva tudi velikost končnih elementov. Manjši kot so

    elementi, bolj natančno je opisana geometrija strojnega dela ter potek spremenljivk znotraj

    računskega območja. Idealno bi bilo, če bi lahko območje razdelili s pomočjo izredno majhnih

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 2 -

    končnih elementov. Vendar smo omejeni z zmogljivostjo računalnika: število končnih

    elementov je omejeno s kapaciteto pomnilnika RAM (ob prevelikem številu končnih elementov

    bo se simulacija sicer izvajala, vendar se bo čas izvedbe simulacije občutno podaljšal), hitrost

    simulacije pa je odvisna od hitrosti procesorja ter števila jeder v procesorju. Uporabimo lahko

    le določeno število končnih elementov, zato se moramo zavedati, da simulacija ni povsem

    natančna. Inženir na podlagi svojega znanja in izkušenj oceni kvaliteto rezultatov simulacije.

    Za ocenjevanje napake lahko uporabimo tudi različne metode, kot je na primer konvergenčna

    metoda. Na podlagi konvergenčne metode temelji tudi Richardsonova ekstrapolacija, s

    pomočjo katere lahko tudi ocenimo napako numeričnih rezultatov.

    V magistrski nalogi bom najprej predstavil vrste končnih elementov ter raziskal, s

    katerimi elementi pridemo do boljših numeričnih rezultatov. Raziskal bom, kako izbira tipa

    končnega elementa, stopnje interpolacijskih funkcij in integracijske sheme vpliva na natančnost

    numeričnih rezultatov. Predstavil bom probleme, s katerimi se srečujemo pri izbiri integracijske

    funkcije (strižna blokada, učinek peščene ure). Predstavil bom tudi kriterije, na podlagi katerih

    lahko ocenimo kakovost geometrijske oblike končnih elementov.

    Predstavil bom konvergenčno metodo, s pomočjo katere lahko vrednotimo vpliv velikosti

    končnih elementov na natančnost rezultatov simulacije. Posebno pozornost bom posvetil

    Richardsonovi ekstrapolaciji, ki temelji na konvergenčni metodi. Z Richardsonovo

    ekstrapolacijo lahko na podlagi treh različno gostih mrež ocenimo eksaktno rešitev

    matematičnega modela (rešitev, ko bi bila velikost končnega elementa enaka 0). Na podlagi te

    vrednosti pa lahko ocenimo numerično negotovost rezultatov na fini mreži z uporabo indeksa

    GCI. Predstavil bom samo metodo, njene izpeljanke ter pogoje, pod katerimi metodo lahko

    uporabimo.

    Cilj moje magistrske naloge je izdelati programsko kodo znotraj programskega paketa

    Abaqus (s pomočjo programskega jezika »Python«), ki bo v vsaki točki modela izračunala

    numerično negotovost modela ter jo prikazala v programskem okolju Abaqus. Program bo

    samodejno izvedel številne naloge, kot so pridobitev rezultatov simulacij, interpolacija

    rezultatov na skupno mrežo, izvedba Richardsonove ekstrapolacije ter prikaz rezultatov na

    zaslonu.

    V magistrsko nalogo bom vključil tudi preprost primer, na katerem bom uporabil svoj

    program znotraj programskega paketa Abaqus. Za podan primer bom izvedel simulacije na

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 3 -

    različno gostih mrežah. Na podlagi različnih simulacij bom izvedel Richardsonovo

    ekstrapolacijo, s pomočjo katere bom izračunal numerično negotovost rezultatov. Rezultate ter

    numerično negotovost bom primerjal z analitično rešitvijo problema, na podlagi tega pa bom

    lahko ocenil, če v tem primeru Richardsonova ekstrapolacija primerno oceni numerično

    negotovost.

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 4 -

    2 OSNOVE KONČNIH ELEMENTOV

    Pri metodi končnih elementov domeno (območje) diskretiziramo – razdelimo na manjša

    podobmočja oziroma končne elemente. Glede na število dimenzij problema ločimo tri tipe

    končnih elementov: 1-D (palični, nosilni), 2-D (površinski) in 3-D (volumski).

    Slika 2.1: Različni tipi končnih elementov

    Poleg števila dimenzij pri končnih elementih lahko izberemo tudi geometrijski tip

    končnega elementa (npr. tetraeder, heksaeder), velikost, tip interpolacijske funkcije (npr.

    linearna, kvadratna) ter integracijsko shemo (npr. polna, reducirana). Vsaka od naštetih izbir

    lahko bistveno vpliva na natančnost rezultatov. Prav tako na rezultate pomembno vpliva tudi

    geometrijska oblika končnih elementov – bolj kot so elementi pravilnih oblik, boljše rezultate

    dajejo.

    2.1 Tip končnega elementa in interpolacijska funkcija

    Splošno sprejeto dejstvo je, da so štirikotni elementi boljši od trikotnih (v 2-D), oziroma da so

    heksaederski elementi boljši od tetraederskih (v 3-D). Kot primer vir [9] navaja: »Z razlogom,

    da bi dosegli boljšo natančnost in učinkovitost, imajo prednost štirikotni elementi v dvo-

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 5 -

    dimenzionalnih mrežah ter heksaederski elementi v tri-dimenzionalnih mrežah. Ta prednost je

    jasna v strukturnih analizah, zdi se pa, da drži tudi za druge inženirske discipline.«

    Na tem področju je bilo narejenih kar nekaj študij. Cifuentes in Kalbag [13] sta

    ugotovila, da so rezultati, pridobljeni s kvadratnimi tetraedrskimi (QT1) elementi ter z

    linearnimi heksaederski (LH2) elementi, enako natančni ter za izračun porabijo enako računsko

    moč (CPU čas). Bussler in Ramesh [11] sklepata, da so ob uporabi elementov istega reda,

    heksaederski elementi natančnejši od tetraedrskih. Weingarten [28] ugotavlja, da so kvadratni

    tetraedrski elementi (QH3) v primerjavi s kvadratnimi heksaederski elementi enako natančni ter

    porabijo enak računski čas. Benzley ter ostali [8] so zaključili, da so za izračun lastnih vrednosti

    primernejši linearni heksaedrski napram linearnim tetraedrskim (LT4) elementom. Prav tako so

    ugotovili, da so LT elementi pri upogibni obremenitvi neuporabni, saj je napaka, ki jo

    povzročijo med 10 % in 70 %. LH in QH elementi ter QT elementi so pri upogibni obremenitvi

    sprejemljivo natančni (napaka pod 5 %). Pri torzijski obremenitvi so ugotovili, da so LT

    elementi nesprejemljivi (napaka med 20 in 80 %), slabe rezultate pa dajejo tudi LH elementi

    (napaka med 5 in 40 %). QH elementi dajejo dobre rezultate (napaka pod 8 %, pri gostih mrežah

    pod 1 %). Pri elasto-plastičnih izračunih so LT elementi neuporabni (saj se v obravnavanem

    primeru sploh niso plastično deformirali), QT elementi pa dajejo slabše rezultate kot LH in QH.

    2.2 Integracijska shema

    Da pridobimo željene rezultate simulacije, programsko orodje izvaja številne računske

    operacije. Ena izmed njih je integracija po volumnu končnega elementa, rezultat tega pa je

    odziv materiala v integracijski točki končnega elementa. Pri nekaterih končnih elementih lahko

    izberemo polno integracijo (»full integration«) ali reducirano integracijo (»reduced

    integration«). Izbira integracijske sheme ima lahko bistven vpliv na natančnost rezultatov, kar

    1 QH - quadratic hexahedron (kvadratni heksaeder) 2 LH - linear hexahedron (linearni heksaeder) 3 QT - quadratic tetrahedron (kvadratni tetraeder) 4 LT - linear tetrahedron (linearni tetraeder)

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 6 -

    je v Abaqusovi dokumentaciji [7] prikazano tui na primeru ravnega nosilca, obremenjenega z

    upogibno obremenitvijo.

    Polna integracijska shema

    Izraz polna integracija se navezuje na število integracijskih (npr. Gaussovih) točk, ki so

    potrebne za integracijo polinomskih členov takrat, ko ima element geometrijsko pravilno

    obliko. Pri heksaederskih ter štirikotnih elementih to pomeni, da so robovi ravni ter se stikajo

    pod pravim kotom. Če imajo še dodatna vozlišča na robovih, so le-ta na sredini roba. Če so

    elementi nepravilnih oblik, tudi integracijske točke niso enakomerno razporejene znotraj

    elementa. Razdalje med nekaterimi integracijskimi točkami so lahko daljše, zato je potek

    spremenljivke med točkami slabše opisan. Linearni elementi s polno integracijsko shemo imajo

    v vsaki prostorski dimenziji dve integracijski točki. Tridimenzionalni elementi imajo torej 2 x

    2 x 2 integracijskih točk v elementu. Kvadratni elementi s polno integracijsko shemo imajo v

    vsaki smeri tri integracijske točke. Dvodimenzionalni linearni in kvadratni element sta

    prikazana na sliki 2.2.

    Slika 2.2: Linearni in kvadratni element ter položaj integracijskih točk pri polni integraciji

    V Abaqusovi dokumentaciji [7] je bilo ugotovljeno, da linearni elementi z polno

    integracijsko shemo, obremenjeni z upogibno obremenitvijo, podcenijo pomik. Ugotovljena

    razlika je tako velika, da so ti elementi v tem primeru neuporabni. Z zgoščanjem mreže se

    rezultati sicer nekoliko izboljšajo, vendar na najgostejši mreži, ki so jo za ta primer uporabili,

    še vedno predvidijo vrednost, ki je le 56 % teoretične vrednosti pomika. Pri linearnih elementih

    s polno integracijo ni pomembno, koliko elementov uporabimo po debelini nosilca. Premajhen

    pomik je povzročen zaradi strižne blokade (»shear locking«), ki predstavlja problem

    prostorskih linearnih elementov s polno integracijo.

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 7 -

    Enako ugotavlja tudi Qiuli Sun [30], ki je primerjal programske pakete Abaqus, ANSYS

    in Nastran. Na nosilcu (z grobo mrežo: 4 elementi v višino, 10 v dolžino in 1 v širino) je izvedel

    simulacije upogibne obremenitve in simulacijo lastnih frekvenc, vendar je uporabil anizotropni

    material. Za tak primer ni mogel uporabiti klasične teorije nosilcev, zato je prišel do natančnih

    vrednosti pomikov in lastnih frekvenc s pomočjo konvergenčne študije. Prišel je do rezultatov,

    ki so prikazani v tabeli 2.1.

    Tabela 2.1: Normalizirani rezultati linearnih heksaederskih elementov pri uporabi polne

    integracijske sheme

    Programski paket Nastran ABAQUS ANSYS

    Tip elementa CHEXA (8 vozlišč) C3D8 SOLID45 (8 vozlišč)

    Pomik konice nosilca 0,6774 0,6933 0,6772

    Prva lastna frekvenca 1,429 1,075 1,435

    Ugotavlja, da so pri upogibni obremenitvi elementi s polno integracijsko shemo preveč togi v

    vseh treh programskih paketih. Simulacije je izvedel tudi na različno gostih mrežah. Rezultati

    na gostejših mrežah so sicer boljši, vendar se počasi bližajo pravilni rešitvi. Simulacije je

    izvedel tudi s pomočjo paraboličnih elementov (z 20 vozlišči), kjer je ugotovil, da so že na zelo

    grobih mrežah rešitve zelo blizu konvergirani rešitvi.

    Kot je bilo prikazano, strižna blokada povzroči, da so pri upogibu elementi preveč togi.

    Material, ki je obremenjen s čisto upogibno obremenitvijo, se bo deformiral, kot je prikazano

    na sliki 2.3. Horizontalne linije se ukrivijo, vertikalne pa ostanejo ravne. Kot med njimi ostane

    90°.

    Slika 2.3: Deformacija materiala, obremenjenega z upogibnim momentom M [7]

    Stranice linearnega elementa se ne morejo ukriviti. Če material modeliramo z linearnim

    elementom, pride do deformacije, ki je prikazana na sliki 2.4. Za boljšo predstavitev so na sliki

    tudi črtkane črte, ki gredo skozi integracijske točke. Kot je razvidno, se je zgornja stranica

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 8 -

    podaljšala, kar pomeni, da je napetost v prvi smeri 𝜎11 natezna. Podobno je razvidno, da se je

    spodnja stranica skrčila in je torej napetost 𝜎11 tlačna. Dolžina vertikalnih črtkanih črt se ni

    spremenila (ob predpostavki, da so deformacije majhne), zato je 𝜎22 enaka nič. Vse to sovpada

    s stanjem v materialni točki. Spremenil pa se je kot med vertikalnimi in horizontalnimi

    črtkanimi črtami v integracijskih točkah, ki ni več 90°. Iz tega je razvidno, da je strižna

    obremenitev 𝜎12 v teh točkah različna od nič, kar pri čisti upogibni obremenitvi ne drži. Do tega

    pride, ker se robovi elementa ne morejo ukriviti. Tako se zdi, da deformacijska energija

    povzroča strižne deformacije namesto upogibnih, skupni pomiki pa so manjši, torej je element

    bolj tog. Zaradi strižne blokade lahko pride do napačnih pomikov, napetosti in lastnih frekvenc

    [30].

    Slika 2.4: Deformacija linearnega elementa s polno integracijo, ki je obremenjen z upogibnim

    momentom M [7]

    Strižna blokada nastopa le pri linearnih elementih s polno integracijo, ki so podvrženi

    upogibni obremenitvi. Ti elementi dajejo dobre rezultate za druge tipe obremenitev. Strižna

    blokada ni problem kvadratnih elementov, saj se robovi teh elementov lahko ukrivijo. Vendar

    tudi v kvadratnih elementih lahko nastopa strižna blokada, če so le-ti nepravilnih oblik ali če je

    element obremenjen z gradientno upogibno napetostjo. Oba primera se v praksi lahko pojavita.

    Elemente s polno integracijo zato lahko uporabljamo le, kadar smo prepričani, da bodo

    obremenitve povzročile minimalno upogibno obremenitev v modelu. Če nismo prepričani v

    obremenitve modela, je priporočljivo uporabiti drugačen tip elementov. Vendar so elementi s

    polno integracijo lahko zelo uporabni na mestih, kjer nastopajo lokalne koncentracije napetosti.

    Reducirana integracijska shema

    Reducirano integracijo lahko uporabimo le pri štirikotnih in heksaederskih elementih.

    Reducirana integracija uporablja za eno manjšo število integracijskih točk v vsaki smeri napram

    polni integraciji. Linearni elementi z reducirano integracijo imajo samo eno integracijsko točko

    v središču elementa, kvadratni pa dve v vsaki smeri, kot prikazuje slika 2.5.

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 9 -

    Linearni element z reducirano integracijo

    Kvadratni element z reducirano integracijo

    Slika 2.5: Integracijske točke dvo-dimenzionalnih elementov z reducirano integracijo [7]

    Abaqusova dokumentacija [7] podaja rezultate, pridobljene z uporabo enakih

    elementov, kot pri polni integraciji, le da je bila tokrat uporabljena reducirana integracijska

    shema.

    Linearni elementi z reducirano integracijo so premalo togi, saj pri njih prihaja do

    numeričnega problema, ki se imenuje učinek peščene ure (»hourglassing«). Na sliki 2.6 je

    prikazan linearni element z reducirano integracijo, ki je obremenjen s čisto upogibno

    obremenitvijo.

    Slika 2.6: Deformacija linearnega elementa z reducirano integracijo, ki je obremenjen z

    upogibnim momentom M

    Na sliki vidimo, da se dolžinsko ni spremenila nobena črtkana črta, kot med njima pa je

    prav tako ostal nespremenjen. To pomeni, da so vse komponente napetosti v integracijski točki

    elementa enake nič. Takšno stanje deformacije se imenuje brezenergijsko stanje, saj takšna

    deformacija elementa ne proizvede deformacijske energije. Element se v tem načinu ne more

    upirati deformaciji, saj v tem stanju nima togosti. V grobih mrežah se lahko to brezenergijsko

    stanje širi po mreži in povzroči slabe rezultate. Elementi se lahko v takšno stanje deformirajo,

    ne da bi spremenili ravnotežno stanje modela. Običajno dajejo takšni elementi zelo raznolika

    polja pomikov, vendar pravilna polja napetosti in deformacij [14]. Z zmanjšanjem števila

    integracijskih točk povečamo število možnih deformacij peščene ure. Heksaedrski element z

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 10 -

    eno integracijsko točko ima en tenzor deformacij s šestimi različnimi komponentami. Ta

    element ima 8 vozlišč, skupno 24 prostostnih stopenj. Tak tip elementa ima 18 nedoločenih

    tipov deformacij, od tega je 6 tipov togega pomika telesa. Ostane torej 12 tipov deformacije v

    obliki peščene ure. Slika 2.7 prikazuje učinek peščene ure pri uporabi elementov z reducirano

    integracijsko shemo.

    Slika 2.7: Deformacije nosilca pri upogibni obremenitvi, z uporabo elementov z reducirano

    integracijsko shemo [34]

    Programski paketi pri izračunih z elementi prvega reda ter z reducirano integracijo zato

    uporabljajo umetno »togost peščene ure« (»hourglass stiffness«), s čimer omejijo širjenje

    takšnega stanja. Ta togost je bolj učinkovita, če uporabimo večje število elementov v modelu.

    Linearni elementi z reducirano integracijo tako lahko dajo sprejemljive rezultate, če uporabimo

    dovolj fino mrežo. Linearni elementi z reducirano integracijsko shemo so prav tako občutljivi,

    če so nepravilnih oblik, zato moramo v takšnih primerih uporabiti čim bolj fino mrežo.

    Qiuli Sun [30] je prišel do sklepa, da imata programska paketa Abaqus in ANSYS

    težave, če uporabljamo grobo mrežo linearnih elementov z reducirano integracijsko shemo

    (razvidno v tabeli 2.2). Ugotovil je, da ko mrežo zgoščamo, dobimo dobre rezultate (pri mreži

    6 x 20 x 6 je napaka manj kot 2 %). Programski paket Nastran pa daje že zelo natančne rezultate

    pri grobi mreži, kar je najbrž rezultat uporabe »mehurčkastih funkcij« (»bubble functions«), ki

    so sicer računsko nekoliko bolj potratne.

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 11 -

    Tabela 2.2: normalizirani rezultati linearnih heksaedrskih elementov pri uporabi reducirane

    integracijske sheme

    Programski paket Nastran ABAQUS ANSYS

    Tip elementa CHEXA (8 vozlišč) C3D8R SOLID45 (8 vozlišč)

    Pomik konice

    nosilca

    0,990 1,063 1,064

    Prva lastna

    frekvenca

    0,9965 0,04225 0,03027

    Tudi pri kvadratnih elementih z reducirano integracijo se pojavi učinek peščene ure. Pri

    heksaedrskem elementu z 20 vozlišči in reducirano integracijo imamo: (3 prostostne stopnje) x

    (20 vozlišč) – (8 integracijskih točk) x (6 komponent deformacij) – (6 pomikov togega telesa)

    = 6 možnih deformacij tipa peščene ure. Vendar se zaradi ukrivljenih stranic takšen tip

    deformacije ne more širiti po mreži. Če je mreža dovolj gosta, ta učinek redko predstavlja

    težavo. Če uporabljamo kvadratne elemente z mrežo dimenzij 1 x 6, problem ne konvergira

    zaradi učinka peščene ure. V tem primeru moramo uporabiti 2 elementa po širini nosilca. Če

    imamo gostejšo mrežo, pridemo do rezultatov tudi, če imamo le en element po širini nosilca

    (težave z učinkom peščene ure pri dovolj gosti mreži izginejo). Do podobnih zaključkov je

    prišel tudi Qiuli Sun [30], ki je prav tako ugotovil, da dajejo kvadratni elementi z reducirano

    integracijsko shemo programskih paketov Abaqus in ANSYS zelo dobre rezultate, če po širini

    nosilca uporabimo vsaj dve plasti elementov. Programski paket Nastran daje dobre rezultate že

    s samo eno plastjo elementov po širini. Tudi kadar so kvadratni elementi podvrženi zapletenim

    napetostnim stanjem, niso občutljivi na blokade. Ti elementi so zato v splošnem najboljša

    izbira, razen v simulacijah, kjer nastopajo veliki pomiki in deformacije ter v nekaterih tipih

    kontaktnih analiz.

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 12 -

    2.3 Geometrijska oblika končnih elementov

    Ena glavnih težav pri generiranju nove mreže je kvaliteta njenih elementov. Elementi so

    kvalitetnejši, če so čim bolj podobni pravilnim geometrijskim elementom (enakostranični

    trikotnik, kvadrat, kocka). Pri takšnih elementih so razdalje med vozlišči in integracijskimi

    točkami enakomerne, zato boljše opišejo potek funkcij znotraj elementov. V praksi so elementi

    običajno nepravilnih geometrijskih oblik (popačeni), zato je pomembno, da znamo oceniti, kdaj

    posamezni elementi ne bodo dali dobrih rezultatov ali zaradi njih sploh ne bomo prišli do rešitve

    (zaradi problemov s konvergenco).

    Liu [19] navaja sledeče kriterije za merjenje popačenosti elementov:

    popačenje zaradi razmerja med stranicami;

    popačenje zaradi notranjih kotov (ko se le-ti približujejo 0 ali 180 stopinj);

    popačenje zaradi ukrivljenosti: kadar se ravni robovi elementa ukrivijo, da se bolje

    prilagodijo geometriji;

    volumetrično popačenje: pojavi se pri konkavnih elementih;

    popačen položaj sredinskega vozlišča, ki se pojavlja pri elementih višjih redov.

    Razmerje med stranicami je eden izmed kriterijev, ki se pogosto uporablja. Kriterij

    razmerja med stranicami primerja najkrajšo in najdaljšo stranico. Bližje je razmerje vrednosti

    ena, boljši je element. V splošnem velja, da če je razmerje med stranicami večje kot 3, moramo

    takšne elemente obravnavati pazljivo. Če razmerje preseže vrednost 10, so takšni elementi

    lahko že zelo slabi [20].

    Liu [19] navaja dva pojava, povezana s popačenjem elementov zaradi notranjih kotov:

    »skew« in »taper«. Pojava sta prikazana na sliki 2.8. Liu navaja, da bodo elementi ustrezne

    kvalitete, če bodo notranji koti štirikotnika med 60 in 120 stopinjami, pri pojavu »taper« pa naj

    bo razmerje med daljšo in krajšo stranico trapeza manjše kot 5.

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 13 -

    Slika 2.8: Pojava "skew" in "taper"

    Slika 2.9: Popačenje zaradi ukrivljenosti

    Slika 2.9 prikazuje popačenje zaradi ukrivljenosti. Do njega pride, kadar se ravni robovi

    elementa ukrivijo, da se bolje prilagodijo geometriji. Za ukrivljene robove veljajo enaki kriteriji

    kot za ravne robove, torej notranji koti naj ne bi bili večji od 120 stopinj.

    Na sliki 2.12 so prikazani nesprejemljivi štirikotni elementi, pri katerih pride do

    volumetričnega popačenja. Do tega pride, če imajo elementi konkavno obliko. Takšno

    popačenje lahko ugotavljamo na podlagi Jacobijeve matrike [10]. Pri metodi končnih

    elementov iščemo aproksimativne rešitve parcialnih diferencialnih enačb, ki opisujejo fizikalni

    fenomen, ki ga preučujemo. Da lahko pridemo do rešitev teh enačb, moramo definirati naravni

    koordinatni sistem (ζ1, ζ2, ζ3), znotraj katerega so definirane referenčne točke elementa

    (vozlišča, integracijske točke), element pa ima v tem koordinatnem sistemu popolno obliko (v

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 14 -

    prostoru je to kocka). Na sliki 2.10 je prikazana preslikava F med naravnim koordinatnim

    sistemom (ζ1, ζ2, ζ3) in koordinatnim sistemom modela (x1, x2, x3). Jacobijevo matriko J za

    preslikavo F zapišemo kot:

    𝐽(𝜁) = 𝜕𝐹

    𝜕𝜁 (𝜁)

    (2.1)

    Da lahko izvedemo simulacijo, mora biti determinanta Jacobijeve matrike |J(ζ)| (to

    determinanto krajše imenujemo tudi Jakobij) v vseh vozliščih in integracijskih točkah

    elementov pozitivna. Če je negativna, potem preslikava F ni bijektivna, takšna mreža pa je

    neprimerna za simulacijo.

    Slika 2.10: Preslikava elementa iz referenčnega koordinatnega sistema v koordinatni sistem

    modela [10]

    Na sliki 2.11 je prikazana transformacija konkavnega elementa. Pri takem elementu bodo

    območja izven elementa v fizičnih koordinatah po transformaciji ležala znotraj elementa v

    naravnih koordinatah (območje označeno na sliki 2.11). Jakobij in vrednost volumskega

    integrala na tem območju elementa v naravnih koordinatah bosta negativna, zato so takšni

    elementi nesprejemljivi. Na sliki 2.12 so prikazani elementi, ki so nesprejemljivi zaradi

    volumetričnega popačenja.

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 15 -

    Slika 2.11: Transformacija iz fizičnega koordinatnega sistema v naravni koordinatni sistem. Pri

    volumetrično popačenem elementu se zgodi, da leži zunanji prostor (označen na sliki) fizičnega

    prostora znotraj elementa v naravnem koordinatnem sistemu [10]

    Slika 2.12: Nesprejemljivi štirikotni elementi zaradi konkavne oblike: element desno zgoraj je

    sprejemljive oblike, ostali elementi so nesprejemljivi [10]

    Jakobij pa je lahko tudi merilo za kvaliteto elementov. Isaiah [17] je v spletnem članku objavil

    sliko 2.13, ki nazorno prikazuje povezavo med popačenjem elementa ter Jakobijem. Isaiah

    navaja, da so elementi sprejemljivi, če je Jacobij večji od 0,5.

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 16 -

    Tabela 2.3: Vrednosti Jacobijev na spodnji sliki

    Barva heksaedra Oblika, dimenzije Jacobij

    Oranžna Enotska kocka 1

    Modra z = 0,9 za eno vozlišče 0,942

    Vijolična z in y sta 0,9 za eno točko 0,883

    Roza z in y sta 0,5 za eno točko 0,398

    Zelena z in y sta -0,1 za eno točko -0,409

    Siva z in y sta 0,1 za eno točko -0,130

    Rdeča z = 3 za 4 vozlišča 1

    Svetlo modra x, y in z so 0,5 za eno vozlišče 0,072

    Slika 2.13: Primeri Jacobijev - vrednosti so prikazane v zgornji tabeli [17]

    Zadnji kriterij popačenja, ki ga navaja Liu [19], je popačenje položaja sredinskega

    vozlišča pri elementih višjih redov. Elementi višjih redov imajo na robovih dodatna vozlišča.

    Parabolični element ima eno dodatno vozlišče, le-to pa bi moralo ležati čim bolj na sredini roba.

    Na sliki 2.14 je prikazan element, kjer dve izmed sredinskih vozlišč ne ležita na sredini roba.

    Vir navaja, da so elementi sprejemljivi, če je središčno vozlišče od središča roba oddaljena za

    manj kot četrtino dolžine roba.

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 17 -

    Slika 2.14: Popačenje položaja središčnega vozlišča [17]

    Na področju popačenosti elementov so bile opravljene najrazličnejše študije.

    Raziskovalci so na različnih primerih preverili, kako nepravilna oblika končnih elementov

    vpliva na natančnost rezultatov. Pogost test, ki ga srečamo v literaturi, je test ravnega nosilca.

    Pri tem testu uporabimo raven nosilec, na katerem naredimo različno kvalitetne mreže. Severo

    [29] je opravil tak test na treh različnih mrežah, kot prikazuje slika 2.15. Izdelal je pravokotno,

    trapezno ter paralelogramsko mrežo. Test je izvedel za 4 obremenitvene primere: nateg, strig

    znotraj ravnine, strig izven ravnine in torzijo. Test je izvedel z uporabo 4 različnih tipov

    elementa (2-D in 3-D elementi, z uporabo linearnih in kvadratnih interpolacijskih funkcij).

    Uporabljena je bila reducirana integracijska shema.

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 18 -

    Slika 2.15: Test ravnega nosilca: a) pravokotna mreža, b) trapezna mreža, c) paralelogramska

    mreža [29]

    Severo ugotavlja, da daje pravokotna mreža relativno dobre rezultate, kljub temu da je precej

    groba. Pri trapezni mreži, so rezultati pri strižni obremenitvi linearnih elementov neuporabni

    (zelo velika napaka). Napaka pri višjerednih (paraboličnih) elementih je občutno manjša. Do

    podobnih zaključkov je prišel tudi za paralelogramsko mrežo, kjer je napaka pri strižni

    obremenitvi nekoliko manjša, vendar še vedno zelo velika.

    Na področju notranjih kotov končnih elementov so bile opravljene različne študije. Lo

    [20, 21] je predlagal uporabo faktorja 𝛼, ki je definiran z enačbo 2.2. Enačba velja za trikotnike

    z oglišči A, B in C. Večji kot je 𝛼, boljši je trikotnik. Koeficient 2√3 je normalizacijski faktor,

    zaradi katerega ima koeficient 𝛼 pri popolnem (enakostraničnem) trikotniku vrednost ena. Če

    je vrednost 𝛼 enaka nič, potem so oglišča trikotnika kolinearna.

    𝛼 = 2√3 |𝐶𝐴 × 𝐶𝐵|

    |𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐴|2

    (2.2)

    Lo [20] je prav tako definiral kooeficient 𝛽 za štirikotne elemente. Kako je definiran pa

    prikazuje enačba 2.3. Večja kot je vrednost kooeficienta 𝛽, boljši je štirikotnik. Koeficient

    lahko zasede vrednosti med nič in ena, če ima vrednost ena, potem je štirikotnik kvadrat, če pa

    predstavlja vrednost 0, pa ne predstavlja štirikotnika, temveč le trikotnik.

    𝛽 = 𝛼3 𝛼4𝛼1 𝛼2

    , 𝛼1 ≥ 𝛼2 ≥ 𝛼3 ≥ 𝛼4 , 𝛼𝑖 = {𝛼𝐴𝐵𝐶 , 𝛼𝐴𝐶𝐷, 𝛼𝐴𝐵𝐷, 𝛼𝐵𝐶𝐷} (2.3)

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 19 -

    Zhu z ostalimi [31] ugotavlja, da je štirikotni element zadovoljiv, če so vsi notranji koti

    znotraj območja 90°±45°. Če so koti izven območja 90° ± 60°, potem so nezadovoljivi. Lo in

    Lee [2] sta ugotovila, da je ta pogoj prestrog, zato sta predlagala, da so notranji koti štirikotnikov

    znotraj območja 90° ± 52.5°.

    Hamalawi [16] je predstavil faktorja |𝑓𝑄⃑⃑ ⃑| in |𝑓𝑄⃑⃑ ⃑|, ki temeljita na deviacijskih kotih od

    popolnih likov – 60° za trikotnike ter 90° za pravokotnike. Faktor je definiral kot prikazujejo

    enačbe 2.4–2.7. V enačbah predstavlja indeks Q enačbo za štirikotnike, T pa za trikotnike.

    Faktorja imata najmanjšo vrednost 0 pri popolnih likih (enakostranični trikotnik, kvadrat). Če

    ima faktor |𝑓𝑄⃑⃑ ⃑| vrednost |𝑓𝑄⃑⃑ ⃑| ≤𝜋

    2, je v sprejemljivem območju (90° ± 45°). Pri faktorju |𝑓𝑇⃑⃑ ⃑|

    velja, da je trikotnik v območju 60° ± 30°, če ima vrednost |𝑓𝑇⃑⃑ ⃑| ≤𝜋

    √12. Hamalawi trdi, da je

    lahko metoda izračuna koeficienta 𝛽, ki jo je predlagal Lo, nezanesljiva. Kot primer je podal

    štirikotnik z notranjimi koti 10°, 10°, 170° in 170°, na podlagi katerih lahko izračunamo faktor

    𝛽 = 0,969 in |𝑓𝑄⃑⃑ ⃑| = 2,793. Štirikotnik je slabe kvalitete kljub zelo visokemu koeficientu 𝛽,

    koeficient |𝑓𝑄⃑⃑ ⃑| pa je pokazal, da je štirikotnik slabe kvalitete. Hamalawi faktor lahko uporabimo

    tudi za tridimenzionalna telesa tako, da izračunamo faktor za posamezne ravnine končnega

    elementa.

    𝛿𝜃𝑄 = |𝜋

    2− 𝜃𝑖|

    (2.4)

    𝛿𝜃𝑇 = |𝜋

    3− 𝜃𝑖|

    (2.5)

    𝑓𝑄⃑⃑ ⃑ = 𝛿𝜃1�̂�1 + 𝛿𝜃2�̂�2 + 𝛿𝜃3�̂�3 + 𝛿𝜃4�̂�4, |𝑓𝑄⃑⃑ ⃑| = √∑(𝛿𝜃1)24

    𝑖=1

    (2.6)

    𝑓𝑇⃑⃑ ⃑ = 𝛿𝜃1�̂�1 + 𝛿𝜃2�̂�2 + 𝛿𝜃3�̂�3, |𝑓𝑇⃑⃑ ⃑| = √∑(𝛿𝜃1)23

    𝑖=1

    (2.7)

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 20 -

    2.4 Velikost končnih elementov

    Kot je bilo v tem poglavju že ugotovljeno, je velikost končnih elementov pomembna za

    natančnost numeričnih rezultatov. V praksi se zelo pogosto uporabljajo linearni heksaedrski

    elementi, ki dajejo dobre rezultate le, če je mreža končnih elementov dovolj zgoščena. V

    splošnem ni pravila, kakšna velikost končnih elementov bo dala dovolj dobre rezultate, zato

    velikokrat izberemo velikost končnih elementov na podlagi svojih izkušenj ali pa opravimo

    simulacije na različno gostih mrežah ter na podlagi tega ocenimo, kdaj je mreža dovolj gosta.

    2.5 Ugotavljanje natančnosti numeričnih rezultatov

    Napaka diskretizacije je prisotna v vseh diskretnih metodah. Ta napaka je posledica izbire

    velikosti končnih elementov. Rezultati numeričnih simulacij vsebujejo napako diskretizacije

    tudi takrat, kadar se rezultati ujemajo z eksperimentom. Rezultati simulacije in eksperimenta se

    lahko ujemajo le po naključju, ker v simulaciji nastopa kakšna neznana napaka, ki izniči napako

    diskretizacije. Za inženirja je pomembno, da zna takšno napako oceniti.

    V splošnem lahko razdelimo metode za ocenjevanje napake diskretizacije na tiste, ki ocenijo

    napako diskretizacije pred izvedbo simulacije (»priori« metode) ter metode, ki ocenijo napako

    diskretizacije na podlagi rezultatov simulacij (»posteriori« metode). V okviru magistrske

    naloge se bom osredotočil izključno na slednje.

    2.6 Konvergenčna metoda

    Najbolj preprosta metoda je konvergenčna metoda. Pri tej metodi spremljamo rezultate

    simulacij na različno gostih mrežah. Rezultate predstavimo v grafu. Razlika med rezultati se z

    zgoščanjem mreže običajno manjša: rešitev konvergira k neki vrednosti. Ko se rezultati med

    dvema zaporednima simulacijam bistveno ne spreminjajo več (npr. manj kot 5 %), ocenimo, da

    je napaka diskretizacije dovolj majhna. Na ta način ne moremo oceniti dejanske napake

    diskretizacije. Na sliki 2.16 je predstavljeno asimptotično območje rešitev. Rešitve so prikazane

    za različne rede konvergence (p), ki določajo, kako hitro se rešitve bližajo asimptotični rešitvi.

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 21 -

    Poglejmo primer reda konvergence p = 0,5. Razlike med zaporednimi rešitvami se

    počasi manjšajo, zato vsaka nadaljnja simulacija bistveno izboljša rezultat. Vendar število

    elementov, potrebnih za nadaljnje simulacije, hitro naraste, zato se moramo zadovoljiti z oceno

    napake na določeni mreži. Kot kriterij izberimo razliko med dvema zaporednima simulacijama

    5 %. Ta razlika je dosežena približno takrat, ko se vrednost dvigne iz 78 na 82 % asimptotične

    vrednosti. Opazimo, da je dejanska napaka v tem primeru okoli 18 %, kar je bistveno več kot

    izbran kriterij razlike med dvema zaporednima rešitvama (5 %).

    Podrobneje analizirajmo tudi primer reda konvergence p = 2. Opazimo, da se rešitve

    hitreje približujejo asimptotični rešitvi. Razlike med zaporednimi rešitvami se hitro manjšajo,

    zato vsaka nadaljnja simulacija doprinese k natančnosti rezultatov občutno manj kot predhodne.

    Ponovno izberemo kot kriterij razliko med dvema zaporednima rešitvama: 5 %. Ta razlika je

    dosežena približno takrat, ko se vrednost dvigne iz 88 na 92 % asimptotične vrednosti. Dejanska

    napaka torej znaša okoli 8 %, kar je bistveno manj kot pri redu konvergence p = 0,5, vendar je

    še zmeraj več kot izbran kriterij razlike med dvema zaporednima rešitvama (5 %). Zavedati se

    moramo, da je dejanska napaka na fini mreži lahko precej višja, kot izbran kriterij razlike med

    dvema zaporednima rešitvama.

    Slika 2.16: Asimptotično območje: rešitve se bližajo asimptoti z različnim redom konvergence p

    60

    65

    70

    75

    80

    85

    90

    95

    100

    105

    f/f e

    ksa

    kt[%

    ]

    log N

    Asimptotično območje

    p = 0,5 p = 0,75 p = 1 p = 2 Asimptotična rešitev

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 22 -

    3 OCENJEVANJE NAPAKE DISKRETIZACIJE S POMOČJO

    RICHARDSONOVE EKSTRAPOLACIJE

    Richardsonova ekstrapolacija je metoda, s pomočjo katere lahko na podlagi diskretnih vrednosti

    nižjega reda ocenimo vrednost višjega reda (vrednost, ko je velikost končnega elementa 0).

    Tudi ta metoda je konvergenčna metoda. Tradicionalne metode, ki temeljijo na ocenjevanju

    napake s pomočjo Richardsonove ekstrapolacije, običajno temeljijo na spreminjanju velikosti

    elementov mreže za faktor 2. Novejše metode zmanjšujejo takšne omejitve. Raziskovalec

    Roache je razvil metodo, v kateri ocenjuje napako diskretizacije s pomočjo indeksa

    konvergence mreže (GCI1). Indeks konvergence mreže podaja procentualno napako. S pomočjo

    njega lahko določimo meje, znotraj katerih pričakujemo, da bo konvergirana rešitev ležala. Za

    napovedovanje napake diskretizacije z uporabo GCI potrebujemo rezultate simulacije za vsaj

    dve mreži, vendar metoda daje boljše rezultate ob uporabi treh mrež.

    3.1 Osnove Richardsonove ekstrapolacije

    Če imamo na voljo vsaj rezultate na dveh različnih mrežah in če poznamo stopnjo konvergence,

    potem lahko na podlagi tega ocenimo natančno rešitev matematičnega problema. Na podlagi

    tega lahko ali popravimo rezultate, pridobljene na fini mreži, ali pa podamo oceno napake

    diskretizacije. Richardsonova ekstrapolacija je bila prvotno uporabljena le za lokalne vrednosti

    odvisnih spremenljivk na domeni, uporabna pa je tudi na kateri koli vrednosti odziva sistema.

    Pri tem moramo upoštevati dodaten pogoj — dodatne numerične aproksimacije (odvajanje,

    integriranje …), s pomočjo katerih pridobimo vrednost odziva sistema, morajo biti vsaj istega

    reda natančnosti kot diskretne rešitve, iz katerih so izračunane.

    Napako diskretizacije lahko definiramo na podlagi lokalne ali globalne rešitve f na mreži

    z velikostjo elementov h:

    1 GCI – Grid Convergence Index

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 23 -

    𝜀ℎ = 𝑓ℎ − 𝑓 (3.1)

    Pri tem je 𝑓ℎ eksaktna rešitev diskretnih enačb, 𝑓 pa eksaktna rešitev matematičnega modela.

    Numerično rešitev 𝑓ℎ lahko razvijemo v Taylorjevo vrsto:

    𝑓ℎ = 𝑓 +𝜕𝑓

    𝜕ℎ∙ ℎ +

    𝜕2𝑓

    𝜕ℎ2∙ℎ2

    2+

    𝜕3𝑓

    𝜕ℎ3∙ℎ3

    6+ ⋯

    (3.2)

    Razvijemo pa jo lahko tudi v potenčno vrsto:

    𝑓ℎ = 𝑓 + 𝑔1 ∙ ℎ + 𝑔2 ∙ ℎ2 + 𝑔3 ∙ ℎ

    3 + ⋯ (3.3)

    Na podlagi enačb 3.1 in 3.3 lahko zapišemo odvisnost napake diskretizacije 𝜀ℎ od velikosti

    končnega elementa h:

    𝜀ℎ = 𝑓ℎ − 𝑓 = 𝑔1 ∙ ℎ + 𝑔2 ∙ ℎ2 + 𝑔3 ∙ ℎ

    3 + ⋯ (3.4)

    Pri tem so koeficienti g lahko odvodi eksaktne rešitve matematičnega modela v odvisnosti od

    velikosti končnega elementa h ali neodvisnih spremenljivk, ki vplivajo na napako diskretizacije.

    V splošnem uporabljamo numerične metode, ki imajo red natančnosti višji kot prvi red. Metode

    tako že same izničijo napako nižjega reda. Če na primer izberemo numerično shemo drugega

    reda, potem lahko splošno napako diskretizacije zapišemo kot:

    𝜀ℎ = 𝑓ℎ − 𝑓 = 𝑔2 ∙ ℎ2 + 𝑔3 ∙ ℎ

    3 + 𝑔4 ∙ ℎ4 + ⋯ (3.5)

    Na enačbi 3.5 temelji Richardsonova ekstrapolacija.

    Richardsonovo ekstrapolacijo lahko v splošnem zapišemo za red natančnosti sheme p.

    Pri tem potrebujemo dve mreži, ki sta sistematično zgoščeni za poljuben faktor. Zapišimo

    enačbo za napako diskretizacije za red sheme p:

    𝜀ℎ = 𝑓ℎ − 𝑓 = 𝑔𝑝 ∙ ℎ𝑝 + 𝑔𝑝+1 ∙ ℎ

    𝑝+1 + 𝑔𝑝+2 ∙ ℎ𝑝+2 + ⋯ (3.6)

    Faktor zgostitve zapišemo kot:

    𝑟 =ℎ𝑔𝑟𝑜𝑏𝑎

    ℎ𝑓𝑖𝑛𝑎

    (3.7)

    Velikost grobih končnih elementov lahko tako zapišemo kot ℎ𝑔𝑟𝑜𝑏𝑎 = 𝑟 ∙ ℎ𝑓𝑖𝑛𝑎. Za h izberemo

    ℎ𝑓𝑖𝑛𝑎 ter zapišemo enačbi za grobo in fino mrežo:

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 24 -

    𝑓ℎ = 𝑓 + 𝑔𝑝 ∙ ℎ𝑝 + 𝑔𝑝+1 ∙ ℎ

    𝑝+1 + 𝑂(ℎ𝑝+2) (3.8)

    𝑓𝑟ℎ = 𝑓 + 𝑔𝑝 ∙ (𝑟 ∙ ℎ)𝑝 + 𝑔𝑝+1 ∙ (𝑟 ∙ ℎ)

    𝑝+1 + 𝑂(ℎ𝑝+2) (3.9)

    Na podlagi teh enačb lahko zapišemo enačbo za 𝑓:

    𝑓 = 𝑓ℎ +𝑓ℎ − 𝑓𝑟ℎ𝑟𝑝 − 1

    + 𝑔𝑝+1𝑟𝑝(𝑟 − 1)

    𝑟𝑝 − 1+ 𝑂(ℎ𝑝+2)

    (3.10)

    Če upoštevamo le člene reda ℎ𝑝+1 in višje in z uporabo eksaktne rešitve 𝑓 dobimo:

    𝑓̅ = 𝑓 − 𝑔𝑝+1𝑟𝑝(𝑟 − 1)

    𝑟𝑝 − 1+ 𝑂(ℎ𝑝+2)

    (3.11)

    Če enačbo 3.11 vstavimo v enačbo 3.10, dobimo splošno oceno Richardsonove ekstrapolacije

    𝑓:̅

    𝑓̅ = 𝑓ℎ +𝑓ℎ − 𝑓𝑟ℎ𝑟𝑝 − 1

    (3.12)

    Kot je razvidno iz enačbe 3.11, je ocena eksaktne rešitve v splošnem reda (p+1) natančnosti

    glede na matematični model.

    3.2 Prostorska diskretizacija

    Na podlagi študije prostorske konvergence želimo določiti napako, povzročeno zaradi

    prostorske diskretizacije. Za to potrebujemo različno goste mreže.

    Najlažji način generiranja različno gostih mrež je pričetek z najbolj fino mrežo, ki si jo

    lahko privoščimo (glede na računalniške zmogljivosti, časa, ki ga imamo na voljo). Nadaljnje

    mreže dobimo tako, da odstranimo vsako drugo mrežno črto v vsaki koordinatni smeri. To lahko

    ponovimo večkrat in s tem pridobimo več grobih mrež. Enačba, ki opisuje število mrežnih točk

    fine mreže v vsaki smeri:

    𝑁 = 2𝑛 ∙ 𝑚 + 1 (3.13)

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 25 -

    Pri tem N predstavlja število točk v vsaki koordinatni smeri, n predstavlja naravno število ter

    pomeni kolikokrat bomo začetno mrežo redčili. Vrednost m predstavlja naravno število, ki je

    lahko različno za posamezne koordinatne smeri.

    Če želimo tri mreže (fino, srednjo ter grobo), potem sledeča enačba opisuje število

    mrežnih točk v posamezni smeri:

    𝑁 = 22 ∙ 𝑚 + 1 = 4 ∙ 𝑚 + 1 (3.14)

    Gosta mreža z najmanj mrežnimi točkami (m=1) ima torej v vsaki smeri 5 mrežnih točk, srednje

    gosta mreža jih ima 3, groba pa 2.

    Pri generiranju mrež ni zmeraj potrebno uporabiti celih števil za redčenje mreže.

    Velikokrat to sploh ni mogoče, saj bi na tak način ustvarili neprimerne mreže za podano

    geometrijo. Pri takšni generaciji mreže moramo poskrbeti, da so nove mreže čim bolj

    enakomerno redčene. Zaželeno je, da se elementi zmanjšajo v vseh smereh približno enako.

    Prav tako morajo biti mreže čim bolj enakomerno redčene: pri generiranju treh mrež naj bo

    razlika med fino in srednjo mrežo ter med srednjo in grobo mrežo približno enaka. Razmerje

    zgostitve mreže naj bo vsaj 𝑟 ≥ 1,1. Na ta način lahko ločimo napako diskretizacije od drugih

    virov napak (npr. napake pri konvergenci iterativnih metod, napake zaokroževanja …).

    V realnih primerih redko zgoščamo mrežo enakomerno po modelu. Gostejšo mrežo

    uporabimo na kritičnih območjih, kot so na primer območja z visokimi napetostnimi gradienti.

    V takšnih primerih je vrednotenje rezultatov s pomočjo Richardsonove ekstrapolacije precej

    težje, saj je velikost elementov v modelu različna. Za lokalno študijo vpliva velikosti končnih

    elementov na natančnost numeričnih rezultatov simulacije lahko uporabimo podmodel (ang.

    »submodel«). Po izvedeni simulaciji modela ugotovimo, da želimo določeno območje modela

    nadaljnje raziskati (npr. zaradi visokih napetostnih gradientov). Uporaba podmodela temelji na

    zmanjšanju celotnega modela na manjše območje, ki nas podrobneje zanima. Takšno območje

    običajno »izrežemo« iz celotnega modela. Na podlagi prvotne simulacije se na mejah

    izrezanega območja določijo novi robni pogoji. Manjše območje lahko zamrežimo s precej

    gostejšo mrežo, saj smo velikost celotnega modela bistveno zmanjšali. Na takšnem modelu

    lahko mrežo tudi enakomerneje zgostimo. Vendar se moremo zavedati, da so robni pogoji

    podmodela rezultat simulacije na bolj grobi mreži.

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 26 -

    3.3 Red konvergence mreže

    Red konvergence mreže je neposredno povezan z napako prostorske diskretizacije. Napako

    definiramo kot razliko med diskretno in eksaktno rešitvijo:

    𝐸 = 𝑓(ℎ) − 𝑓𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡 = 𝐶 ∙ ℎ𝑝 + 𝐻.𝑂. 𝑇 (3.15)

    Pri tem je C konstanta, h predstavlja velikost elementov v mreži, p pa red konvergence mreže

    (oz. red natančnosti). Rešitev drugega reda ima p = 2. H.O.T1 predstavlja napake višjih redov.

    Če zanemarimo napake višjih redov ter enačbo logaritmiramo, dobimo:

    log(𝐸) = log(𝐶) + 𝑝 ∙ log(ℎ) (3.16)

    Red konvergence p lahko dobimo na podlagi naklona krivulje log(E) napram log(h). Če imamo

    na voljo podatke o napaki, potem lahko skozi točke grafa povlečemo aproksimacijsko premico

    (s pomočjo metode najmanjših kvadratov), naklon premice pa predstavlja red konvergence

    mreže p [5] 2.

    Konstantni faktor zgostitve

    Red aproksimacije p pa lahko dobimo na bolj direkten način, na podlagi treh rezultatov

    simulacije in z uporabo konstantnega faktorja zgostitve mreže r. Upoštevamo, da je ℎ1 < ℎ2 <

    ℎ3 in 𝑟 =ℎ3

    ℎ2=

    ℎ2

    ℎ1> 1. Tako lahko zapišemo:

    ℎ1 = ℎ, ℎ2 = 𝑟 ∙ ℎ, ℎ3 = 𝑟2 ∙ ℎ (3.17)

    Z uporabo enačbe za napako diskretizacije (enačba 3.6) lahko zapišemo naslednje tri enačbe:

    𝑓1 = 𝑓 + 𝑔𝑝 ∙ ℎ𝑝 + 𝑔𝑝+1 ∙ ℎ

    𝑝+1 + 𝑂(ℎ𝑝+2) (3.18)

    𝑓2 = 𝑓 + 𝑔𝑝 ∙ (𝑟 ∙ ℎ)𝑝 + 𝑔𝑝+1 ∙ (𝑟 ∙ ℎ)

    𝑝+1 + 𝑂(ℎ𝑝+2) (3.19)

    1 H.O.T – higher – order terms 2 Povzeto po viru

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 27 -

    𝑓3 = 𝑓 + 𝑔𝑝 ∙ (𝑟2 ∙ ℎ)𝑝 + 𝑔𝑝+1 ∙ (𝑟

    2 ∙ ℎ)𝑝+1 + 𝑂(ℎ𝑝+2) (3.20)

    Če zanemarimo člene reda ℎ𝑝+1 in višje, potem lahko zapišemo te tri enačbe za lokalno gledan

    red natančnosti �̂�:

    𝑓1 = 𝑓̅ + 𝑔𝑝 ∙ ℎ𝑝 (3.21)

    𝑓2 = 𝑓̅ + 𝑔𝑝 ∙ (𝑟 ∙ ℎ)𝑝 (3.22)

    𝑓3 = 𝑓̅ + 𝑔𝑝 ∙ (𝑟2 ∙ ℎ)𝑝 (3.23)

    Lokalno gledan red natančnosti �̂� se bo ujemal s formalnim redom natančnosti p, če bodo členi

    višjih redov majhni. Če odštejemo 𝑓2 od 𝑓3 in 𝑓1 od 𝑓2, dobimo:

    𝑓3 − 𝑓2 = 𝑔𝑝 ∙ (𝑟2 ∙ ℎ)𝑝 − 𝑔𝑝 ∙ (𝑟 ∙ ℎ)

    𝑝 = 𝑔𝑝 ∙ 𝑟𝑝 ∙ ℎ𝑝 ∙ (𝑟�̂� − 1) (3.24)

    𝑓2 − 𝑓1 = 𝑔𝑝 ∙ (𝑟 ∙ ℎ)𝑝 − 𝑔𝑝 ∙ ℎ

    𝑝 = 𝑔𝑝 ∙ ℎ𝑝 ∙ (𝑟�̂� − 1) (3.25)

    Če enačbo 3.24 delimo z enačbo 3.25, dobimo:

    𝑓3 − 𝑓2𝑓2 − 𝑓1

    = 𝑟𝑝 (3.26)

    S pomočjo logaritmiranja izrazimo p:

    �̂� =ln (

    𝑓3 − 𝑓2𝑓2 − 𝑓1

    )

    ln(𝑟)

    (3.27)

    Oceno Richardsonove ekstrapolirane vrednosti za eksaktno rešitev 𝑓 ̅ (enačba ) lahko zapišemo

    v odvisnosti od opazovanega reda natančnosti �̂�:

    𝑓̅ = 𝑓ℎ +𝑓ℎ − 𝑓𝑟ℎ𝑟𝑝 − 1

    (3.28)

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 28 -

    Vedeti moramo, da lahko pričakujemo natančno ekstrapolirano vrednost (enačba 3.28)

    le, če se opazovan red natančnosti ujema s formalnim redom natančnosti numerične sheme.

    Prav tako morajo biti vse tri rešitve v asimptotičnem območju. Kako je definirano asimptotično

    območje ter kdaj vrednosti ležijo znotraj asimptotičnega območja bo opisano v naslednjem

    poglavju. Členi višjih redov v enačbah 3.18—3.20 morajo biti majhni. Če v praksi uporabimo

    lokalno opazovan red natančnosti za oceno ekstrapolirane vrednosti, potem mora ležati znotraj

    območja:

    0,5 ≤ �̂� ≤ 𝑝𝑓 (3.29)

    Pri tem je 𝑝𝑓 formalni red natančnosti diskretizacijske sheme. Če je opazovan red natančnosti

    večji od formalnega reda, potem je lahko ocena napaka diskretizacija podcenjena. Če pa se �̂�

    približuje vrednosti 0, potem raste ocena ekstrapolirane vrednosti brez meje.

    Spremenljiv faktor zgostitve

    V primeru, da faktor zgostitve mreže ni konstanten, imamo dva faktorja zgostitve:

    𝑟12 =ℎ2ℎ1

    > 1, 𝑟23 =ℎ3ℎ2

    > 1 (3.30)

    V tem primeru je določitev opazovanega reda natančnosti �̂� bolj zapletena. Rešiti moramo

    naslednjo enačbo:

    𝑓3 − 𝑓2𝑟23𝑝 − 1

    = 𝑟12𝑝 ∙ (

    𝑓2 − 𝑓1𝑟12𝑝 − 1

    ) (3.31)

    To enačbo lahko rešimo iteracijsko:

    �̂�𝑘+1 =ln [(𝑟12

    𝑝𝑘 − 1) (𝑓3 − 𝑓2𝑓2 − 𝑓1

    ) + 𝑟12𝑝𝑘]

    ln (𝑟12 ∙ 𝑟23)

    (3.32)

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 29 -

    Začnemo z začetno predpostavko �̂� = 𝑝𝑓 (formalni red sheme). Ko izračunamo opazovan red

    natančnosti �̂�, lahko na podlagi enačbe 3.28 izračunamo ekstrapolirano vrednost, pri tem pa

    zamenjamo faktor zgostitve 𝑟 = 𝑟12 [28]1.

    3.4 Ocena napake diskretizacije

    Vrednost Richardsonove ekstrapolirane vrednosti kot bolj natančno vrednost od rešitve na fini

    mreži lahko uporabimo le, če smo prepričani, da so vse predpostavke v celoti izpolnjene. Red

    natančnosti (ki ga pridobimo na podlagi treh sistematično zgoščenih mrež) se mora ujemati s

    formalnim redom natančnosti diskretizacijske sheme. Če imamo na voljo samo dve mreži, ne

    moremo zagotoviti, da so rešitve v asimptotičnem območju. Tako lahko uporabimo

    Richardsonovo ekstrapolirano vrednost za oceno napake diskretizacije numerične rešitve na fini

    mreži.

    Če vstavimo izraz za splošno Richardsonovo ekstrapolacijo (enačba 3.12) v enačbo, ki

    definira napako diskretizacije na fini mreži (enačba 3.1), dobimo oceno za napako diskretizacije

    na fini mreži (z velikostjo elementa h):

    𝜀ℎ̅ = 𝑓ℎ − 𝑓̅ = 𝑓ℎ − (𝑓ℎ +𝑓ℎ − 𝑓𝑟ℎ𝑟𝑝 − 1

    ) = −𝑓ℎ − 𝑓𝑟ℎ𝑟𝑝 − 1

    (3.33)

    Enačba nam poda konsistentno oceno za napako diskretizacije. Vendar ni nobenega zagotovila,

    da je ocena zanesljiva za poljubno fino (h) in grobo (𝑟 ∙ ℎ) mrežo. Če imamo na voljo le dve

    mreži, potem ne smemo govoriti o oceni numerične napake, temveč o numerični negotovosti.

    1 Povzeto po viru

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 30 -

    3.5 Predpostavke

    Da lahko zanesljivo ocenimo eksaktno rešitev matematičnega problema, mora biti izpolnjenih

    pet osnovnih pogojev:

    obe rešitvi sta v asimptotičnem območju,

    mreži sta uniformno porazdeljeni po celotnem območju,

    fino mrežo smo dobili na podlagi sistematičnega zgoščanja (ali obratno),

    rezultati so gladki in

    drugi viri numeričnih napak so majhni.

    Asimptotično območje

    Asimptotično območje je definirano tako: pri sistematičnem zgoščanju mreže se napaka

    diskretizacije zmanjšuje s stopnjo formalnega reda natančnosti diskretizacijske sheme.

    Rezultati v splošnem konvergirajo s stopnjo formalnega reda natančnosti v asimptotičnem

    območju. Zavedati se moremo, da morajo biti rešitve v konvergenčnem območju tako za grobo

    kot fino mrežo. Slika 3.1 prikazuje različne možne rešitve. S sivo je označena rešitev, ki leži v

    asimptotičnem območju, saj se vrednosti z zgoščanjem mreže približujejo asimptotični rešitvi.

    Neasimptotična rešitev je označena z rumeno barvo. Te rešitve se ne približujejo asimptotični

    vrednosti, zato za takšen tip rešitev ne moremo uporabiti Richardsonove ekstrapolacije. Mejna

    rešitev je označena z modro barvo. V tem primeru se rešitve bližajo asimptotični rešitvi, vendar

    ne monotono. Posamezne tri zaporedne rešitve ne ležijo v asimptotičnem območju, zato

    moramo biti ob takšnih rešitvah previdni z uporabo Richardsonove ekstrapolacije. Takšne

    primere velikokrat srečamo pri lokalni uporabi Richardsonove ekstrapolacije, kjer se lokalno

    vrednosti ne spreminjajo enakomerno. Pri takšnih primerih je lahko izračunana ekstrapolirana

    vrednost napačna, zato v teh območjih ekstrapolirane vrednosti zagotovo ne smemo uporabiti

    kot rešitev, ki je natančnejša od rešitve na fini mreži. Ob izračunu indeksa GCI ob takih rešitvah

    običajno uporabimo višji varnostni faktor (Fs = 3).

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 31 -

    Slika 3.1: Asimptotično območje: prikaz asimptotične, mejne in neasimptotične rešitve

    Enakomerne razdalje znotraj mreže

    Napaka diskretizacije je odvisna od enega parametra: velikosti končnih elementov h. Če ta

    pogoj vzamemo striktno, lahko uporabimo le Kartezijske mreže z razmikom h v vsaki prostorski

    koordinatni smeri. Ta pogoj bi prepovedoval uporabo Richardsonove ekstrapolacije v

    praktičnih inženirskih primerih, zato lahko z dodatnimi metodami uporabimo Richardsonovo

    ekstrapolacijo tudi na drugih mrežah, vključno z nestrukturirano mrežo. Pri shemah, ki imajo

    formalno drugi red natančnosti, se lahko ta red na uniformnih mrežah zmanjša na prvi red

    natančnosti. Napake prvega reda so omejene na majhne dele domene ali pa izginejo, ko mrežo

    gostimo. Zato se lahko zgodi, da potrebujemo zelo fine mreže, da rezultati ležijo v

    asimptotičnem območju.

    Sistematično zgoščanje mreže

    O sistematičnem zgoščanju mreže govorimo, ko zgoščamo mrežo uniformno in konsistentno.

    Uniformno zgoščanje pomeni, da mrežo zgostimo za enak faktor po celotni domeni. Ta pogoj

    prepoveduje uporabo lokalnega zgoščevanja mreže ali adaptacijo mreže. Konsistentno

    zgoščanje mreže pomeni, da mora kvaliteta mreže ostati enaka ali se izboljšati, ko mrežo

    zgoščamo. Primeri parametrov mreže, ki vplivajo na njeno kvaliteto: razmerje stranic,

    nesimetričnost končnega elementa in faktor raztegovanja elementov med sosednjimi elementi.

    0

    20

    40

    60

    80

    100

    120

    10 100 1000 10000 100000 1000000

    f/f e

    ksak

    t[%

    ]

    log N

    Asimptotično območje

    Analitična rešitev Asimptotična rešitev Mejna rešitev Neasimptotična rešitev

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 32 -

    Gladki rezultati

    V enačbi 3.5 nastopajo koeficienti g, ki so v splošnem funkcije odvodov rešitve. Če odvisne

    spremenljivke in njihovi odvodi ne bodo zvezni, Richardsonova ekstrapolacija ne bo delovala.

    Stvar še bolj zaplete dejstvo, da se red natančnosti velikokrat zmanjša na prvi red ali še nižje,

    če so prisotne nezveznosti in singularnosti, ne glede na to, kakšen red natančnosti ima metoda

    za gladke probleme.

    Drugi viri numeričnih napak

    Napaka diskretizacije je definirana kot razlika med eksaktno rešitvijo diskretnih enačb ter

    eksaktno rešitvijo matematičnega problema. Eksaktna rešitev diskretnih enačb ni poznana

    zaradi napake zaokroževanja, napake iteracij ter napak statističnega vzorčenja (če so prisotne).

    V praksi uporabimo numerične rešitve, s katerimi nadomestimo eksaktne rešitve diskretnih

    enačb. Če so drugi viri napak preveliki, potem bodo le-ti negativno vplivali na Richardsonovo

    ekstrapolacijo, saj vsi ekstrapolacijski postopki običajno poudarijo »šume«. Dobro pravilo

    glede tega vidika je, da zagotovimo, da so vsi viri numeričnih napak vsaj 2 reda nižji kot napaka

    diskretizacije na fini mreži.

    3.6 Uporaba Richardsonove ekstrapolacije na vrednostih odziva sistema

    Vrednosti odziva sistema so izpeljane iz osnovnih vrednosti neodvisnih spremenljivk, ki so

    rezultat simulacije. Pri tem običajno uporabimo različne numerične postopke: odvajanje,

    integriranje, povprečenje … Da lahko uporabimo Richardsonovo ekstrapolacijo, morajo biti vsi

    postopki, ki se uporabijo za izračun vrednosti odziva sistema, vsaj enakega reda natančnosti kot

    diskretizacijska shema. V večini primerov se integrirane in povprečene vrednosti boljše

    odzivajo in hitreje konvergirajo, ko mrežo zgoščamo.

    3.7 Lokalna uporaba Richardsonove ekstrapolacije

    Pri lokalni uporabi Richardsonove ekstrapolacije želimo le-to uporabiti v posameznih točkah

    domene. Da lahko to storimo, moramo pridobiti rezultate fine mreže v točkah, ki se nahajajo v

    vozliščih grobe mreže. Če imamo strukturirano mrežo in jo sistematično zgoščamo s faktorjem

    zgostitve, ki je naravno število, potem imamo te vrednosti na voljo. Na ta način lahko pridobimo

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 33 -

    oceno eksaktne rešitve le na mrežnih točkah grobe mreže. Da pridobimo eksaktne rešitve na

    fini mreži, sta Roache in Knupp [23] razvila »dokončano Richardsonovo ekstrapolacijo«. Njun

    pristop vsebuje interpolacijo korekcije mreže iz grobe na fino mrežo. Ta interpolacija naj bo

    izvedena z natančnostjo vsaj tistega reda, ki nastopa pri diskretizacijski shemi. Ko združimo

    korekcijo mreže z diskretno vrednostjo rešitve na fini mreži, lahko pridobimo oceno eksaktne

    rešitve matematičnega modela z enakim redom natančnosti kot pri oceni z Richardsonovo

    ekstrapolacijo na grobi mreži.

    Pri lokalni uporabi Richardsonove ekstrapolacije se velikokrat pojavljajo problemi z

    opazovanim redom natančnosti. Slika 3.2 prikazuje preprost primer, pri katerem ne moremo

    določiti opazovanega reda natančnosti. Na njej je prikazana napaka diskretizacije za 3 različne

    1-D mreže. Če mrežo zgoščamo za faktor dva in če je formalni red sheme prvega reda, potem

    pričakujemo, da se bo napaka diskretizacije zmanjševala za faktor dva vsakič, ko zgostimo

    mrežo. Pogosto se pri praktičnih primerih zgodi, da v nekem območju domene rešitve

    približujejo eksaktni rešitvi od zgoraj, v drugem območju domene pa od spodaj. Tudi če

    zanemarimo druge vire numeričnih napak (npr. zaokroževanje), opazovan red natančnosti v

    točki sečišča ne bo definiran, kljub temu da je napaka diskretizacije v tej točki na vseh treh

    mrežah natančno nič. Ko računamo opazovan red natančnosti v bližini točke sečišča, lahko viri

    drugih numeričnih napak postanejo pomembni. Tak problem lahko rešimo z uporabo globalno

    pridobljenega opazovanega reda natančnosti.

    Slika 3.2: Preprost primer, pri katerem ne moremo določiti reda natančnosti na lokalnem

    območju domene [22]

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 34 -

    3.8 Prednosti in slabosti

    Glavna prednost Richardsonove ekstrapolacije je, da jo lahko uporabimo v post-procesiranju

    za katerokoli diskretizacijsko shemo (končne razlike, končni volumni, končni elementi). Podaja

    oceno celotne napake, tako tisto, ki nastane lokalno, kot tudi tisto, ki je prenesena iz drugih

    območij domene. Uporabimo jo lahko za katerokoli vrednost, vključno z lokalnimi vrednostmi

    ter pridobljenimi vrednostmi odziva sistema (če predpostavljamo, da so bile numerične

    aproksimacije izvedene z dovoljšno natančnostjo).

    Uporaba Richardsonove ekstrapolacije za ocenjevanje napake diskretizacije pa ima tudi

    slabosti. Pomembno je, da imamo številne numerične rešitve v asimptotičnem območju. Zaradi

    tega je lahko oteženo generiranje mreže, ki je že samo po sebi težavno opravilo v praktičnih

    primerih. Izvajanje dodatnih simulacij je lahko tudi zelo drago. Za primer vzemimo začetno

    mrežo z 1 milijonom elementov. Če zgoščamo mrežo s faktorjem zgostitve 2, potrebujemo

    dodatno simulacijo, izvedeno na mreži z 8 milijoni elementov. Uporabimo lahko tudi manjše

    faktorje zgostitve (ki niso naravna števila), vendar se cena simulacije z zgoščanjem mreže

    vedno močno povečuje.

    Teorija Richardsonove ekstrapolacije zahteva gladke rešitve, zato je zanesljivost ocene

    napake za probleme z nezveznostmi in singularnostmi manjša. Ekstrapolacija tudi poudari

    druge vire napak, kot so napaka zaokroževanja in napaka pri konvergenci iteracij.

    Ekstrapolirane vrednosti prav tako ne bodo izpolnjevale osnovne in pomožne enačbe tako

    numeričnih kot eksaktnih rešitvah.

    3.9 Zanesljivost ocene diskretizacije

    Ključna zahteva za zanesljivost (oz. natančnost) ocene napake diskretizacije na osnovi

    Richardsonove ekstrapolacije je, da vse rešitve ležijo v asimptotičnem območju. Da lahko

    ugotovimo, če rešitve ležijo v asimptotičnem območju, potrebujemo vsaj tri diskretne rešitve.

    Priporočeno je, da imamo še rešitev na četrti mreži, da lahko zares potrdimo asimptotično

    območje. Včasih je lahko ugotavljanje, če rešitve ležijo znotraj asimptotičnega območja zelo

    zahtevno, še posebej pri primerih, ki vsebujejo nelinearnosti. Asimptotičnost lahko tudi

    spremljamo na podlagi opazovanega reda natančnosti.

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 35 -

    Opazovan red natančnosti je merilo, na podlagi katerega lahko ocenimo zanesljivost

    ocene napake diskretizacije. Če se opazovan red natančnosti ujema s formalnim redom, potem

    smo lahko dokaj prepričani, da je ocena napake zanesljiva. Da izračunamo opazovan red

    natančnosti, potrebujemo rešitve na treh mrežah, ki smo jih pridobili s sistematičnim

    zgoščanjem. Da je opazovan red natančnosti enak formalnemu, morajo biti izpolnjene vse

    predpostavke za Richardsonovo ekstrapolacijo. Če katerakoli izmed predpostavk ni izpolnjena,

    je lahko vrednost opazovanega reda natančnosti napačna.

    Kadar se opazovan red natančnosti ne ujema z formalnim, potem je ocena napake

    diskretizacije precej manj zanesljiva in jo zato v splošnem moramo imenovati numerična

    negotovost. Razlika med diskretno rešitvijo in eksaktno rešitvijo matematičnega problema še

    vedno predstavlja numerično napako, a ker ne poznamo resnične vrednosti napake, jo moramo

    predstaviti kot negotovost. Negotovost, povzročeno zaradi pomankanja znanja, imenujemo

    epistemološka negotovost in se razlikuje od naključne negotovosti. Epistemološka negotovost

    se lahko zmanjša, če uspemo pridobiti dodatne informacije, v našem primeru dodatne izračune

    na bolj finih mrežah.

    3.10 Roachejev indeks konvergence mreže (GCI)

    V preteklosti so avtorji pogosto predpostavljali, da je ocena napake diskretizacije enaka

    relativni razliki med dvema diskretnima rešitvama, pridobljenima na različnih mrežah:

    𝐸 =𝑓2 − 𝑓1

    𝑓1

    (3.34)

    Pri tem je 𝑓1 rešitev na fini mreži, 𝑓2 pa na grobi. Ta reaktivna razlika je lahko zelo zavajajoča,

    ko ocenjujemo napako. Oceno relativne napake diskretizacije (RDE1) za splošno

    Richardsonovo ekstrapolacijo lahko zapišemo kot:

    1 RDE – Relative discretization error

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 36 -

    𝑅𝐷𝐸1 =𝑓1 − 𝑓̅

    𝑓̅=

    𝑓1 − (𝑓1 +𝑓1 − 𝑓2𝑟𝑝−1

    )

    𝑓1 +𝑓1 − 𝑓2𝑟𝑝−1

    =𝑓2 − 𝑓1

    𝑓1 ∙ 𝑟𝑝 − 𝑓2

    (3.35)

    Za primer vzemimo dve numerični rešitvi. Opazovana vrednost f, ki nas zanima, ima

    vrednost 20 na fini ter 21 na grobi mreži. Relativna razlika med rešitvama znaša 5 %. Pri prvem

    primeru imamo shemo tretjega reda natančnosti in faktor zgostitve r = 2. Iz enačbe 3.35

    izračunamo oceno napake diskretizacije, ki znaša 0,71 %. Pri drugem primeru imamo shemo

    prvega reda natančnosti ter faktor zgostitve mreže r = 1,5. Ocenjena napaka diskretizacije v

    tem primeru znaša 9,1 %. Relativna razlika 5 % pri dveh rešitvah lahko predstavlja zelo različni

    vrednosti relativne napake diskretizacije glede na red natančnosti sheme in faktorja zgostitve

    mreže. Za oceno napake diskretizacije moramo zato upoštevati ta dva parametra. Da bi

    preprečili napačno uporabo relativne razlike dveh diskretnih rešitev za oceno napake je

    Roache[24] razvil indeks konvergence mreže (GCI1).

    Definicija

    Roache [24] je predstavil indeks konvergence mreže, ali krajše GCI. Roachejev cilj je zasnovati

    metodo, ki dosega 95 % gotovost (torej predstavlja konservativno oceno negotovosti v 19 od

    20 primerih). Metoda GCI je zasnovana na relativni razliki med dvema diskretnima rešitvama,

    upošteva pa tudi koeficient zgoščanja mreže in red natančnosti. GCI prav tako pretvori oceno

    napake diskretizacije v oceno negotovosti s pomočjo absolutne vrednosti. Roache [25] je GCI

    na fini mreži je definiral kot:

    𝐺𝐶𝐼 =𝐹𝑠

    𝑟𝑝 − 1|𝑓1 − 𝑓2

    𝑓1|

    (3.36)

    𝐹𝑠 v enačbi predstavlja varnostni faktor. Če imamo na voljo le dve diskretni rešitvi, potem

    uporabimo formalni red natančnosti in varnostni faktor 𝐹𝑠 = 3. Če imamo na voljo tri diskretne

    rešitve, lahko izračunamo opazovan red natančnosti. V takšnem primeru imamo možnost

    uporabiti manj konservativen varnostni faktor 𝐹𝑠 = 1,25. Na podlagi GCI dobimo oceno

    relativne negotovosti za rezultate na fini mreži. Na primer, če imamo vrednost GCI 0,15, to

    1 GDI – Grid convergence index

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 37 -

    predstavlja 15 % negotovost rezultatov na fini mreži. Za to oceno moramo zagotoviti

    sistematično zgoščanje mreže.

    Pomembno je, da v oceno GCI vključimo varnostni faktor. GCI temelji na Richardsonovi

    ekstrapolirani vrednosti, ki je že sama ocena eksaktne rešitve matematičnega problema. Ne

    vemo pa, če je ocenjena eksaktna rešitev nad ali pod eksaktno rešitvijo matematičnega modela.

    Na sliki 3.3 sta prikazani dve numerični rešitvi (𝑓1 in 𝑓2) ter ocenjena eksaktna rešitev 𝑓 ̅na

    podlagi Richardsonove ekstrapolacije in eksaktna rešitev 𝑓. V splošnem je enaka možnost, da

    je eksaktna rešitev nad ali pod ocenjeno vrednostjo. Pri varnostnem faktorju 𝐹𝑠 = 1 bo torej le

    50 % verjetnost, da je eksaktna rešitev 𝑓 znotraj območja negotovosti. Večanje varnostnega

    faktorja tako povečuje verjetnost, da bo eksaktna rešitev 𝑓 znotraj območja negotovosti.

    Zanesljivost napake diskretizacije ali ocene negotovosti pa lahko določimo le, če imajo

    diskretne rešitve asimptotično naravo. Če so rešitve precej izven asimptotičnega območja,

    potem bo najbrž tudi ocena napake ali negotovosti slaba. V takšnem primeru ne moremo

    določiti varnostnega faktorja, za katerega bi lahko trdili, da je konservativen.

    Slika 3.3: Varnostni faktor pri GCI [26]

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 38 -

    Uporaba

    Če so rešitve problema zelo blizu 0, potem pogosto nastopajo problemi pri normalizaciji.

    Normalizacijo lahko tako spustimo:

    𝐺𝐶𝐼 =𝐹𝑠

    𝑟𝑝 − 1|𝑓1 − 𝑓2|

    (3.37)

    Tako dobimo oceno negotovosti za fino mrežo v enakih enotah kot je sama rešitev.

    Roache [25] podaja jasne smernice glede izbire varnostnega faktorja:

    Če imamo na voljo le dve rešitvi, uporabimo varnostni faktor 𝐹𝑠 = 3.

    Če imamo na voljo tri rešitve in se opazovan red natančnosti ujema s formalnim redom

    sheme, potem uporabimo 𝐹𝑠 = 1,25.

    V primerih, kadar imamo na voljo le dve rešitvi, moramo oceno GCI obravnavati

    previdno, saj nimamo podatka, če sta rešitvi v asimptotičnem območju. Če so rešitve zelo izven

    asimptotičnega območja, so vsi pristopi za ocenjevanje napake diskretizacije nezanesljivi.

    Kadar imamo na voljo tri rešitve in se opazovan red natančnosti ujema s formalnim redom,

    potem uporabimo 𝐹𝑠 = 1,25, uporabimo pa lahko opazovan ali formalen red natančnosti.

    Problemi nastanejo, ko se opazovani in formalni red natančnosti ne ujemata. V takšnem primeru

    je idealno, če mrežo dodatno zgoščamo, dokler rešitve niso dokazljivo asimptotične.

    Asimptotično območje lahko dosežemo tudi z lokalnim zgoščanjem mreže. Če pa dodatnih

    simulacij ne moremo izvesti, potem Roache [25] podaja primere, kako uporabiti GCI za velik

    spekter problemov.

    Tabela 3.1: Predlagana uporaba GCI, če imamo na voljo tri sistematično zgoščene mreže

    |�̂� − 𝑝𝑓

    𝑝𝑓|

    𝐹𝑠 𝑝

    ≤ 0,1 1,25 𝑝𝑓

    > 0,1 3 min (max (0,5, �̂�) , 𝑝𝑓)

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 39 -

    Ko imamo na voljo tri sistematično zgoščene mreže, potem je v splošni uporabi najbolje

    uporabiti enačbo za nenormalizirano GCI (enačba 3.37). Če se opazovan red natančnosti ujema

    s formalnim znotraj 10 %, potem uporabimo kar formalen red natančnosti in varnostni faktor

    1,25. Kadar se reda natančnosti ne ujemata znotraj 10 %, potem uporabimo varnostni faktor

    𝐹𝑠 = 3. Red natančnosti je omejen med 0,5 in formalnim redom natančnosti. Če je red

    natančnosti veliko večji od formalnega, povzroči, da je ocena negotovosti nerealno majhna, saj

    gre GCI proti nič, ko gre p proti neskončnosti. Ocena negotovosti gre proti neskončnosti, ko je

    red natančnosti blizu nič. Priporočila so prikazana v tabeli 3.1. Ta priporočila so razumna,

    vendar potrebujejo testiranja, da se prepričamo da res zagotavljajo 95 % negotovost na različnih

    problemih.

    3.11 Variante

    V preteklih letih so bile razvite številne variante GCI. Te variante se posvečajo različnim

    načinom izračuna varnostnega faktorja ter reda natančnosti, ki ga uporabimo pri izračunu GCI.

    Metoda najmanjših kvadratov

    Če računamo opazovan red natančnosti lokalno, le-ta pogosto odstopa od formalnega reda

    diskretizacijske sheme. Ta odstopanja so lahko posledica različnih stvari. Rešitve ne ležijo v

    asimptotičnem območju, napaka je lahko prenesena iz drugih območij, nastopajo lahko

    iterativne napake, napake zaokroževanja, napake pri interpolaciji rešitev na skupno mrežo,

    napake zaradi ne-uniformnega zgoščanja mreže … Eca in Hoekstra [15] sta razvila metodo, ki

    odstrani »hrup« iz opazovanega reda natančnosti. To sta storila z uporabo metode najmanjših

    kvadratov z uporabo štirih mrež. Splošno enačbo Richardsonove ekstrapolacije (enačba 3.6)

    lahko zapišemo za k-to mrežo:

    𝑓𝑘 = 𝑓̅ + 𝑔𝑝 ∙ ℎ𝑘𝑝 (3.38)

    V njunem pristopu poskušata minimizirati funkcijo:

    𝑆(𝑓,̅ 𝑔𝑝, �̂�) = √∑ [𝑓𝑘 − (𝑓̅ + 𝑔𝑝 ∙ ℎ𝑘𝑝)]

    2𝑁𝐺

    𝑘=1

    (3.39)

  • Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrska naloga

    - 40 -

    Pri tem k podaja mrežo, NG pa predstavlja število vseh mrež (NG > 3). Da minimiziramo

    funkcijo, morajo biti odvodi po 𝑓,̅ 𝑔𝑝 in �̂� nič. Tako dobimo sledeče enačbe:

    𝑓̅ =∑ 𝑓𝑘

    𝑁𝐺𝑘=1 − 𝑔𝑝 ∙ ∑ ℎ𝑘

    𝑝𝑁𝐺𝑘=1

    𝑁𝐺

    (3.40)

    𝑔𝑝 =𝑁𝐺 ∙ ∑ 𝑓𝑘 ∙ ℎ𝑘

    𝑝𝑁𝐺𝑘=1 − (∑ 𝑓𝑘

    𝑁𝐺𝑘=1 ) ∙ (∑ ℎ𝑘

    𝑝𝑁𝐺𝑘=1 )

    𝑁𝐺 ∙ ∑ 𝑓𝑘 ∙ ℎ𝑘2∙𝑝𝑁𝐺

    𝑘=1 − (∑ 𝑓𝑘𝑁𝐺𝑘=1 ) ∙ (∑ ℎ𝑘

    𝑝𝑁𝐺𝑘=1 )

    (3.41)

    ∑ 𝑓𝑘ℎ𝑘𝑝ln (ℎ𝑘)

    𝑁𝐺

    𝑘=1− 𝑓̅∑ ℎ𝑘

    𝑝 ln(ℎ𝑘)𝑁𝐺

    𝑘=1− 𝑔𝑝 ∑ ℎ𝑘

    2𝑝 ln(ℎ𝑘)𝑁𝐺

    𝑘=1= 0

    (3.42)

    Eca in Hoekstra [15] sta rešila enačbo 3.42 iterativno na podlagi »False position«

    metode ter pridobila �̂�. Glavna slabost te metode je, da potrebujemo rešitve na vsaj štirih

    sistematično zgoščenih mrežah. Prvotno se je njun pristop nanašal na oceno negotovosti za 𝑓,̅

    nadaljnje študije pa so podajale oceno negotovosti za rezultate na fini mreži z uporabo reda

    natančnosti, pridobljenega z uporabo enačbe 3.42 in uporabo GCI metode (enačba 3.37).

    Metoda globalnega povprečenja

    Cadafalch z ostalimi [12] je predlagal, da pridobimo vrednost opazovanega reda natančnosti na

    podlagi povprečja vseh lokalnih vrednosti. Na podlagi povprečne vrednosti opazovanega reda

    natančnosti lokalno izračunamo vrednost GCI. Njihov pristop povzamemo z naslednjimi

    koraki:

    1. Interpolacija treh sistematično zgoščenih mrež na skupno mrežo, ki jo bomo uporabili

    pri post-procesiranju. Za interpolacijo naj se uporabi interpolacijska metoda višjega

    reda.

    2. Razvrstitev vozlišč v dve skupini: monotone, za katere velja (𝑓3 − 𝑓2)(𝑓2 − 𝑓1) > 0 in

    ne monotone, za katere velja (𝑓3 − 𝑓2)(𝑓2 − 𝑓1) < 0. Obravnavala sta tudi tretjo

    možnost, pri kateri je bila vrednost tega produkta manjša od 10−30.

    3. Izračunaj lokalen opazovan red natančnosti za vsa monotona vozlišča.

    4. Izračunaj globalen opazovan red natančnosti na podlagi povprečne vrednosti vseh

    lokalnih opazovanih redov natan