estymacja parametrów niejednorodnego procesu poissona w

Introduction

The ML method

The alternatives to . . .

Applications to a . . .

Simulation study

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 28

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Estymacja parametrów niejednorodnegoprocesu Poissona w modelach

niezawodności oprogramowania

Alicja Jokiel-Rokita i Ryszard Magiera

Instytut Matematyki i InformatykiPolitechnika Wrocławska

http://www.im.pwr.wroc.pl

Introduction

The ML method



Simulation study

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 28

Go Back

Full Screen

Close

Quit

1. Wprowadzenie

Niech {N(t) : t ≥ 0} będzie niejednorodnym procesem Poissonao intensywności λ(t;ϑ) i skumulowanej intensywności

Λ(t;ϑ) =

∫ t

0

λ(u;ϑ)du = Eϑ(N(t)).

Zgodnie z klasyfikacją podaną w pracy Kuo i Yanga (1996), niejed-norodne procesy Poissona można podzielić na dwie grupy:

• procesy NHPP-I, dla których

limt→∞

Λ(t) <∞, (1)

• procesy NHPP-II, dla których warunek (1) nie jest spełniony.

W prezentacji przedstawimy problemy estymacji nieznanego para-metru ϑ procesu NHPP-I.


Introduction

The ML method



Simulation study

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 28

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Langberg i Singpurwalla w pracy z 1985 roku, pokazali, żekażdy proces NHPP-I można wyrazić jako poissonowską miesza-ninę modeli ogólnych statystyk pozycyjnych (GOS models) i jegoskumulowaną intensywność Λ(t;ϑ) przedstawić w następującej pos-taci

Λ(t;α, β) = αF (t; β), (2)

gdzie (α, β) = ϑ, α > 0 i F (·; β) jest dystrybuantą pewnegorozkładu. Będziemy zakładać, że funkcja F jest różniczkowalnawzględem t.

Funkcja intensywności rozpatrywanego procesu NHPP-I jest postaci

λ(t;α, β) = αf(t; β), (3)

gdzie f(·; β) jest pochodną funkcji F (·; β) względem t.


Introduction

The ML method



Simulation study

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 28

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Procesy NHPP-I są często wykorzystywane w modelowaniu nie-zawodności oprogramowania, gdzie parametr α jest związany z niez-naną liczbą błędów, którą chcemy oszacować (zobacz Yamada, Os-aki, 1985 i Soyer, 2011).

Większość znanych i wykorzystywanych w praktyce modeli nieza-wodności oprogramowania jest szczególnym przypadkiem modeluNHPP-I. Na przykład

• model Goela-Okumoto (1979), w którymF (t; β) = 1− exp(−t/β), β > 0,

• model logistyczny (Logistic Growth Curve Model), w którymF (t; β) = 1

1+k exp(−bt) , β = (k, b), b > 0, k > 0,

• model Yamady (Delayed S-Shaped Model), w którym F (t; β) =1− (1 + t/β) exp(−t/β), β > 0,

• model Duane’a, w którym F (t; β) = 1 − ( bb+t)

c, β = (b, c),b > 0, c > 0

(zobacz Huang i in., 2003).


Introduction

The ML method



Simulation study

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 28

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Estymatory nieznanych parametrów modelu często wyznaczasię korzystając z metody największej wiarogodności (ML).

Postać estymatorówML w rozpatrywanymmodelu podaje następu-jący fakt.

Fakt 1 Estymatory αML i βML parametrów α i β modelu NHPP-I określonego wzorem (2), uzyskane metodą ML, są następującejpostaci:

αML =N(T )

F (T ; βML), (4)

βML maksymalizuje

L(β) := N(T ) log

[N(T )

F (T ; β)

]+

N(T )∑i=1

log f(ti; β) (5)

ze względu na β.


Introduction

The ML method



Simulation study

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 28

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Własności asymptotyczne estymatorów ML parametrów pro-cesów punktowych były szeroko studiowane w pracy Basawy i in.(1976) oraz w pracy Basawy i Prakasy Rao (1980). W wielu przy-padkach estymatory ML są zgodne i asymptotycznie normalne.

Niestety w przypadku rozpatrywanych procesów punktowych niemożemy wykorzystać wyników dotyczących asymptotycznych włas-ności estymatorów ML; liczba skoków nie będzie zbiegać do nies-kończoności, gdy czas obserwacji T będzie zbiegać do nieskoń-czoności, ponieważ procesy te są ograniczone.


Introduction

The ML method



Simulation study

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 28

Go Back

Full Screen

Close

Quit

W szczególnym przypadku procesu NHPP-I o skumulowanejintensywności postaci

Λ(t;α, β) = α[1− exp(−t/β)

k∑j=0

(t/β)j

j!

], α, β > 0, (6)

nazywanego k-stopniowym modelem Erlanga (zobacz Khoshgof-taar, 1988), Zhao i Xie (1996) pokazali, że estymatory MLparametrów α i β nie są ani zgodne, ani asymptotycznie normalne,gdy czas T obserwacji procesu dąży do nieskończoności.

Nayak i in. (2008) udowodnili, że w modelach NHPP-I nie ist-nieje zgodny estymator (żaden, nie tylko estymator ML) funkcjiparametrycznej, powiedzmy ψ(α, β), jeżeli ψ(α, β) nie jest stałąfunkcją α.

To pociąga za sobą, że w rozpatrywanym modelu NHPP-I nie ist-nieje zgodny estymator α.


Introduction

The ML method



Simulation study

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 28

Go Back

Full Screen

Close

Quit

W estymacji metodą ML parametrów α i β modelu NHPP-1określonego wzorem (2) pojawia się również problem z istnieniemestymatorów.

W szczególności z Twierdzenia 2.1 w pracy Zhao i Xie (1996)wynika, że w k-stopniowym modelu Erlanga, określonym wzorem(6), oszacowania ML parametrów modelu nie istnieją z praw-dopodobieństwem

P( 1

N(T )

N(T )∑i=1

ti ≥k + 1

k + 2T),

gdzie N(T ) jest liczbą skoków do chwili T i t1, . . . , tN(T ) sąobserwowanymi momentami skoków.

Prawdopodobieństwo to może być duże, kiedy czas obserwacjijest krótki. Dla przykładu, dla k = 1, α = 200, β = 1, T =0.5, oszacowane prawdopodobieństwo z 2000 symulacji realizacjiprocesu wynosiło w przybliżeniu 0.46, chociaż oczekiwana liczbaskoków rozpatrywanego procesu do czasu T jest duża i wynosi 79.


Introduction

The ML method



Simulation study

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 28

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Estymatory nieznanych parametrów modelu często wyznaczasię wykorzystując metodę najmniejszych kwadratów (OLS).

W pracy Kuhla i in. (1998) (zobacz również Kuhl i Wilson,2000) metodę OLS zastosowano do wyznaczenia estymatorówparametrów NHPP.

Metodę oparto na dopasowaniu skumulowanej intensywnościΛ(t;ϑ) procesu do zaobserwowanej skumulowanej liczby N(t),skoków w przedziale [0, T ].

Za oszacowanie nieznanego parametru ϑ zaproponowano przyjąćwartość, która minimalizuje

N(T )∑i=1

[i− Λ(ti;ϑ)]2. (7)


Introduction

The ML method



Simulation study

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 28

Go Back

Full Screen

Close

Quit

W pracy Kuhla i Wilsona (2000) zaproponowano równieżza oszacowania nieznanych parametrów modelu NHPP-I przyjąćwartość, która minimalizuje ważoną sumę kwadratów (WLS)

N(T )∑i=1

wi[i− Λ(ti;ϑ)]2, (8)

gdziewi =

n

Λ(ti;ϑ)∑N(T )

i=1 (1/Λ(ti;ϑ))

zostały zaproponowane w pracy Massey’a i in. (1996), lubnastępującą sumę kwadratów (RLS)

N(T )∑i=1

[√

Λ(ti;ϑ)−√i− 1/4]2. (9)


Introduction

The ML method



Simulation study

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 28

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Warto zauważyć, że zastosowanie metody najmniejszychkwadratów do estymacji parametrów w rozpatrywanym modelujest kontrowersyjne, ponieważ błędy ε w przyjętym modelu re-gresji N(t) = Λ(t;ϑ) + ε nie są ani niezależne, ani jednakoworozłożone. Nie można zatem zastosować twierdzeń dotyczącychwłasności estymatorów najmniejszych kwadratów do estymatorówparametrów w rozpatrywanym modelu.

Przyjęcie wag w metodzie określonej wzorem (8) lub zastosowanietzw. transformacji stabilizującej wariancję w metodzie określonejprzez (9) nie rozwiązuje tego problemu.

W pracy Ishii i in. (2012) można znaleźć porównanie “zdolnościpredykcyjnych” powyżej opisanych metod ML, OLS, WLS i RLSna przykładowych zbiorach danych.


Introduction

The ML method



Simulation study

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 28

Go Back

Full Screen

Close

Quit

2. Proponowane metody estymacji w modelachNHPP

Jako alternatywę do istniejących metod estymacji parametrówprocesu NHPP, proponujemy trzy inne metody estymacji.

Metody te oparte są na następującej własności procesu NHPP.

Mianowicie, jeżeli t1, . . . , tN(T ) są momentami kolejnych skokówprocesu N(t), t ≤ T, to zmienne losowe

Wi := Λ(ti;ϑ)− Λ(ti−1;ϑ),

i = 1, . . . , N(T ), są niezależne i mają jednakowy rozkład wykład-niczy o wartości średniej 1.


Introduction

The ML method



Simulation study

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 28

Go Back

Full Screen

Close

Quit

2.1. Metoda LS

Metoda LS estymacji nieznanego parametru ϑ polega na przyjęciuza oszacowanie tego parametru wartości minimalizującej następu-jącą funkcję

S2LS(ϑ) =

N(T )∑i=1

[Λ(ti;ϑ)− Λ(ti−1;ϑ)− 1]2. (10)

Tak więc metoda LS polega na przyjęciu takiej wartości, któraminimalizuje sumę kwadratów odchyleń zmiennych losowych

Wi = Λ(ti;ϑ)− Λ(ti−1;ϑ)

i = 1, . . . , N(T ), od ich znanej wartości oczekiwanej równej 1.


Introduction

The ML method



Simulation study

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 28

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Propozycja 1 Estymatory αLS i βLS parametrów α i β w rozpa-trywanym modelu NHPP-I, uzyskane metodą LS, są następującejpostaci:

αLS =F (tN(T ); βLS)∑N(T )

i=1 [F (ti; βLS)− F (ti−1; βLS)]2, (11)

βLS maksymalizuje

S2LS(β) =

F 2(tN(T ); β)∑N(T )i=1 [F (ti; β)− F (ti−1; β)]2

(12)

ze względu na β.


Introduction

The ML method



Simulation study

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 28

Go Back

Full Screen

Close

Quit

2.2. Metoda CLS

Metoda CLS estymacji parametru ϑ w modelu NHPP polegana przyjęciu za oszacowanie takiej wartości, która minimalizujeS2LS(ϑ), określoną wzorem (10), przy dodatkowym warunku

1

N(T )

N(T )∑i=1

[Λ(ti;ϑ)− Λ(ti−1;ϑ)] = 1. (13)

W metodzie CLS przyjmujemy zatem dodatkowo, że średnia“próbkowa”

W =1

N(T )

N(T )∑i=1

Wi,

jest równa wartości oczekiwanej zmiennych Wi, i = 1, . . . , N(T ),równej 1.


Introduction

The ML method



Simulation study

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 28

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Propozycja 2 Estymatory αCLS i βCLS parametrów α i β modeluNHPP-I, uzyskane metodą CLS, określone są następująco:

αCLS =N(T )

F (tN(T ); βCLS), (14)

βCLS maksymalizuje S2LS(β) określoną wzorem (12).

Uwaga 1 Zauważmy, że oszacowania βCLS parametru β,uzyskane metodą CLS, przyjmują tę samą wartość co oszacowaniaβLS parametru β, uzyskane metodą LS.

Uwaga 2 Metody LS i CLS opisane powyżej oparte są na mini-malizacji sumy kwadratów błędów, które są niezależnymi zmien-nymi losowymi o jednakowym rozkładzie, w przeciwieństwie dometod OLS, WLS i RLS rozpatrywanych w pracach Kuhla i in.(1998), Kuhla i Wilsona (2000) i Ishii i in. (2012).


Introduction

The ML method



Simulation study

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 28

Go Back

Full Screen

Close

Quit

2.3. Metoda momentów

Stąd, że zmienne losowe

Wi = Λ(ti;ϑ)− Λ(ti−1;ϑ),

i = 1, . . . , N(T ), mają jednakowy rozkład wykładniczy o znanymparametrze 1, nieznany parametr ϑ modelu NHPP możemy esty-mować również metodą momentów (M).

Na przykład, jeżeli ϑ ∈ R2, biorąc pod uwagę dwa pierwsze mo-menty zmiennych Wi, i = 1, . . . , N(T ), mamy Λ

(tN(T );ϑ

)= N(T ),∑N(T )

i=1 [Λ(ti;ϑ)− Λ(ti−1;ϑ)]2 = 2N(T ).(15)

Metoda momentów polega na przyjęciu za oszacowanie ϑMparametru ϑ dowolnego rozwiązania układu równań (15).


Introduction

The ML method



Simulation study

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 28

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Propozycja 3 Estymatory αM i βM parametrów α i β modeluNHPP-I, uzyskane metodą momentów, są następującej postaci:

αM =N(T )

F (tN(T ); βM), (16)

βM jest rozwiązaniem równania

2F 2(tN(T ); β

)∑N(T )i=1 [F (ti; β)− F (ti−1; β)]2

= N(T ).


Introduction

The ML method



Simulation study

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 28

Go Back

Full Screen

Close

Quit

3. Przykład

Rozpatrzmy model Goela-Okumoto, czyli szczególny przypadekmodelu NHPP-I określonego wzorem (2), w którym

F (t; β) = 1− exp(−t/β). (17)

Propozycja 4 Estymatory αML i βML parametrów α i β w mod-elu Goela-Okumoto, uzyskane metodą ML, są następującej postaci:

αML =N(T )

1− exp(−T/βML), (18)

βML maksymalizuje

L(β) := N(T ) log

[N(T )

β[1− exp(−T/β)]

]−

N(T )∑i=1

ti/β. (19)

ze względu na β.


Introduction

The ML method



Simulation study

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 28

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Propozycja 5 Estymatory parametrów α i β w modelu Goela-Okumoto, uzyskane metodą LS i metodą CLS są następującejpostaci

αLS =1− exp

(− tN(T )

β

)∑N(T )

i=1

[exp

(− ti−1

β

)− exp

(− ti

β

)]2 ,

αCLS =N(T )

1− exp(− tN(T )

β

) ,β = βLS = βCLS maksymalizuje funkcję

S2LS(β) =

[1− exp(− tN(T )

β

)]2∑N(T )

i=1

[exp

(− ti−1

β

)− exp

(− ti

β

)]2ze względu na β.


Introduction

The ML method



Simulation study

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 28

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Propozycja 6 Estymatory parametrów α i β w modelu Goela-Okumoto, uzyskane metodą M, są następującej postaci

αM =N(T )

1− exp(−tN(T )/βM),

βM jest rozwiązaniem równania∑N(T )i=1

[exp

(− ti−1

β

)− exp

(− ti

β

)]2[1− exp

(− tN(T )

β

)]2

=2

N(T )

ze względu na β.


Introduction

The ML method



Simulation study

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 28

Go Back

Full Screen

Close

Quit

4. Wyniki symulacji

Dla każdej z dziesięciu par parametrów α i β modelu Goela-Okumoto symulowaliśmy 1000 realizacji procesu do czasu T = 1,sprawdzaliśmy czy dla danej realizacji istnieje oszacowanie ML,LS/CLS oraz M parametrów i jeżeli istniało wyznaczaliśmy jeze wzorów podanych odpowiednio w Propozycji 4, 5 oraz 6. Dlakażdej oszacowanej wartości parametru obliczaliśmy kwadratbłędu.

W przeprowadzeniu symulacji korzystaliśmy z programunapisanego w pakiecie Mathematica 8.0.

Tabela 1 zawiera wyniki dotyczące odsetka przypadków, dlaktórych nie istniało oszacowanie ML (oznaczenie ML’), LS/CLS(oznaczenie S’), M (oznaczenie MM’) oraz takich, dla których nieistniało oszacowanie ML, ale istniało oszacowanie uzyskane jednąz zaproponowanych metod (oznaczane ML’S dla metody LS/CLSlub ML’MM dla metody M). W tabeli 1 zawarte są równieżzaobserwowane średnie liczby skoków w czasie T = 1 dla każdejpary parametrów.


Introduction

The ML method



Simulation study

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 28

Go Back

Full Screen

Close

Quit

W tabeli 2 podaliśmy wartości średnie uzyskanych oszacowań.Należy zwrócić uwagę, że dla różnych metod estymacji wartościte zostały policzone na podstawie różnej liczby realizacji, stąd żeoszacowania parametrów nie zawsze istniały.

W tabeli 3 zawarte są pierwiastki błędów średniokwadratowychuzyskanych oszacowań.

Wniosek Jeżeli istnieje oszacowanie ML nieznanych parametrówmodelu Goela-Okumoto, to jest przeciętnie lepsze od oszacowa-nia LS, CLS czy M, biorąc pod uwagę obciążenie i średni błądkwadratowy. Jeżeli oszacowanie ML nie istnieje, to mając pewnąwiedzę a priori o wielkości parametrów modelu powinniśmy zaoszacowania tych parametrów przyjąć te uzyskane metodą M,jeżeli wartości tych parametrów są małe lub uzyskane metodą CLS,w przeciwnym wypadku.


Introduction

The ML method



Simulation study

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 28

Go Back

Full Screen

Close

Quit

T = 1No. α β MJN ML’S MLS’ ML’ S’ MM’ ML’MM

1 10 0.4 9 1.40 10.50 3.70 12.80 56.80 2.502 20 0.6 16 1.30 8.90 3.30 10.90 57.70 2.103 30 0.8 21 2.30 10.10 5.70 13.50 50.90 3.704 40 1 25 2.90 11.90 8.80 17.80 51.30 5.505 50 1.5 24 7.60 14.10 20.70 27.20 44.90 13.006 60 2 23 8.70 10.70 26.80 28.80 44.20 16.107 70 2.5 23 8.10 13.30 32.90 38.10 42.00 21.308 80 3 22 10.00 11.60 37.20 38.80 40.10 22.509 90 4 19 9.30 14.70 37.80 43.20 41.20 22.40

10 100 5 18 11.60 13.50 44.20 46.10 41.10 27.40

Table 1: The overall simulation results.

T = 1

No. α β αML βML αLS αCLS β(C)LS αMM βMM

1 10 0.4 11.6767 0.5653 10.8380 17.0258 0.7974 10.6497 0.36162 20 0.6 24.0861 0.8584 16.8820 28.7725 0.9708 18.7150 0.41383 30 0.8 37.9952 1.1634 25.8471 45.2245 1.3638 27.3413 0.57134 40 1 51.7686 1.4423 31.5665 56.8473 1.5326 34.0893 0.65875 50 1.5 60.9237 1.9272 35.8818 63.7699 1.8768 36.6725 0.79886 60 2 59.1493 1.9267 36.2627 63.8860 2.0057 32.7541 0.71737 70 2.5 64.0627 2.1719 36.0978 63.3520 2.0131 35.3830 0.83558 80 3 64.4236 2.2546 38.1805 67.5781 2.2529 35.3866 0.86519 90 4 55.6566 2.2299 31.5419 54.6248 2.0039 29.6354 0.7877

10 100 5 55.7872 2.4535 29.0114 49.5811 1.9641 30.8646 0.9833

Table 2: The ML, LS, CLS and MM estimates of α and β.


Introduction

The ML method



Simulation study

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 28

Go Back

Full Screen

Close

Quit

T = 1

No. α se(αML) se(αCLS) se(αMM ) β se(βML) se(β(C)LS) se(βMM )1 10 6.6032 26.0084 6.7320 0.4 0.6586 1.5382 0.57202 20 16.8318 29.1698 9.1666 0.6 1.0639 1.4002 0.46143 30 29.2825 44.4069 16.0287 0.8 1.3236 1.7786 0.76124 40 39.6919 53.0328 20.9047 1 1.5331 1.9083 0.91005 50 48.2292 59.7105 32.0571 1.5 1.9462 2.1251 1.27336 60 44.4688 57.1548 33.7681 2 1.8445 2.2399 1.53957 70 51.7138 56.0085 41.7331 2.5 2.0801 2.1681 1.92468 80 51.4944 60.6106 51.9734 3 2.1922 2.4834 2.37919 90 55.7665 60.0946 63.9000 4 2.7500 2.9533 3.3403

10 100 63.7548 67.4554 75.1211 5 3.4221 3.6959 4.2351

Table 3: The measures of variability of the ML, CLS and MM estimates of αand β.


Introduction

The ML method



Simulation study

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 28

Go Back

Full Screen

Close

Quit

References[1] Basawa I. V., Feigin P. D. i Heyde C. C. (1976). Asymptotic properties of

maximum likelihood estimators for stochastic processes. Sankhya, SeriesA, 38(3):259–270.

[2] Basawa I. V. i Prakasa Rao B. L. S. (1980). Statistical Inference forStochastic Processes. London: Academic Press.

[3] Goel A. L. i Okumoto K. (1979). Time-dependent error-detection ratemodel for software reliability and other performance measures. IEEETrans. Reliab., 28:206–211.

[4] Huang, C.-Y., Lyu, M. R. i Kuo, S.-Y. (2003). A unified scheme of somenonhomogeneous poisson process models for software reliability estima-tion. IEEE Transactions on Software Engineering, 29(3):261–269.

[5] Ishii T., Dohi T. i Okamura H. (2012). Software reliability predictionbased on least squares estimation. Quality Technology & QuantitativeManagment, 9(3):243–264.

[7] Jokiel-Rokita A. i Magiera R. (2012). Estimation methods in non-homogeneous Poisson process models for software reliability.

[8] Khoshgoftaar T. M. (1988). Nonhomogeneous Poisson processes for soft-ware reliability growth. In COMSTAT’88, pages 13–14, Copenhagen,Denmark.


Introduction

The ML method



Simulation study

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 28

Go Back

Full Screen

Close

Quit

[9] Kuhl M. E., Damerdji H. i Wilson J. R. (1998). Least squares estimationof nonhomogeneous Poisson processes. In Medeiros D. J., Watson E. F.,Carson J. S. and Manivannan M. S., editors, Proceedings of 1998 WinterSimulation Conference, pages 637–645. IEEE CS Press.

[10] Kuhl M. E. i Wilson J. R. (2000). Least squares estimation of non-homogeneous Poisson processes. Journal of Statistical Computation andSimulation, 67(1):75–108.

[11] Kuo L. i Yang T. Y. (1996). Bayesian computation for nonhomogeneousPoisson processes in software reliability. JASA, 91(434):763–773.

[12] Langberg N. i Singpurwalla N. D. (1985). A unification of some softwarereliability models. SIAM J. Sci. Statist. Comput., 6:781–790.

[13] Massey W. A., Parker G. A. i Whitt W. (1996). Estimating the param-eters of a nonhomogeneous poisson process with linear rate. Telecommu-nication System, 5:361–388.

[14] Nayak T. K., Bose S. i Kundu S. (2008). On inconsistency of estimatorsof parameters of non-homogeneous Poisson process models for softwarereliability. Statistics & Probability Letters, 78:2217–2221.

[15] Soyer R. (2011). Software Reliability. Wiley Interdisciplinary ReviewsComputational Statistics, 3(3):269–281.


Introduction

The ML method



Simulation study

Home Page

Title Page

JJ II

J I

of 28

Go Back

Full Screen

Close

Quit

[18] Yamada S. i Osaki S. (1985). Software reliability growth modelling:models and applications. IEEE Trans. Software Engrg, 11:1431–1437.

[19] Zhao M. i Xie M. (1996). On maximum likelihood estimation for a gen-eral non-homogeneous Poisson process. Scandinavian Journal of Statis-tics, 23(4):597–607.


estymacja parametrów niejednorodnego procesu poissona w

Documents