estruturas de betão 2 - exercicios [fctunl]
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ESTRUTURAS DE BETO ARMADO II
ENUNCIADOS DOS EXERCCIOS DAS AULAS PRTICAS
Ano Lectivo 2008/2009
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Estruturas de Beto Armado II Ano Lectivo 2008/2009 2
PROBLEMA 1.1
Considere o pavimento representado na figura e constitudo por dois painis de laje
aligeirada de vigotas. O pavimento ser executado em blocos C22x16 e ter uma
espessura total de 0.20m.
5.00 5.00
10.00
Seco transversal
0.04
0.16
0.220.34
Escolha as vigotas a utilizar e efectue todas as verificaes necessrias para garantir
a segurana do pavimento.
Considere as seguintes aces:
peso prprio do pavimento; sobrecarga de utilizao de 6.0 kN/m (1=0.6; 2=0.4); revestimento de 1.0 kN/m.
PROBLEMA 1.2
A laje de cobertura (terrao acessvel) representada na figura apresenta uma
espessura de 0.15 m e encontra-se submetida s seguintes aces:
peso prprio revestimento interior: 0.3 kN/m2 impermeabilizao da cobertura: 1.0 kN/m2 sobrecarga de utilizao: 2.0 kN/m2
Dimensione as armaduras da laje, considerando um beto C20/25 e ao A400NR.
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Estruturas de Beto Armado II Ano Lectivo 2008/2009 3
4.00
0.30
0.30
10.00 0.300.30
Desenhe a distribuio de armaduras em planta escala 1/50, e em corte transversal
escala 1/20.
PROBLEMA 1.3
Verifique a segurana aos estados limite ltimos da escada representada na figura. A
A'
1.53
0.20
0.17
0.30
1.40 2.70 1.40
Corte A-A'
1.400.20
Considere as seguintes aces:
peso prprio revestimento: 1.5 kN/m2 sobrecarga de utilizao: 3.0 kN/m2
Adopte para materiais beto C20/25 e ao A400NR.
Desenhe a distribuio de armaduras em corte longitudinal e transversal.
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Estruturas de Beto Armado II Ano Lectivo 2008/2009 4
PROBLEMA 1.4
Considere o painel de laje representado na figura, submetido s seguintes aces:
peso prprio revestimento de tacos de madeira: 0.5kN/m tecto falso: 0.2kN/m paredes divisrias: 1.5kN/m sobrecarga de utilizao: 6.0kN/m
5.00
6.50
5.00
6.50
Dimensione as armaduras da laje, adoptando para materiais o beto C20/25 e ao
A400NR, das seguintes formas:
a) pelo mtodo das bandas.
b) recorrendo a tabelas, para clculo dos esforos elsticos.
c) compare os resultados obtidos nas alneas anteriores.
d) pormenorize as armaduras de acordo com os resultados obtidos na alnea b)..
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Estruturas de Beto Armado II Ano Lectivo 2008/2009 5
PROBLEMA 1.5
Dimensione, pelo mtodo das bandas, o painel de laje representado na figura,
pertencente a um piso de habitao. Pormenorize as armaduras.
Considere as seguintes aces:
peso prprio revestimento: 1.0kN/m sobrecarga de utilizao: 2.0kN/m
4.00
5.00 5.00
Adopte para materiais beto C20/25 e ao A400NR.
PROBLEMA 1.6
A laje representada na figura pertence a um piso de um edifcio de habitao.
Dimensione e pormenorize a laje, tendo em considerao as seguintes aces:
peso prprio revestimento: 1.5kN/m paredes divisrias: 2.0kN/m sobrecarga no interior: 2.0kN/m sobrecarga na varanda: 5.0kN/m
Adopte para materiais C20/25 e A500NR.
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Estruturas de Beto Armado II Ano Lectivo 2008/2009 6
5.00 3.00 4.00
1.50
5.00
5.00
1.50
2.00
PROBLEMA 1.7 Efectue a pormenorizao da laje representada na figura, utilizando para o efeito as
armaduras principais indicadas no quadro abaixo e que foram calculadas pelo mtodo
das bandas. Defina as restantes armaduras que julgar necessrias, justificando a sua
funo (hlaje = 0.15m). Considere um beto C25/30 e ao A400NR.
5.00
5.00
3.00
(4)
4.00
(6)(5)
1.00
(3)
(2) (1)
(1) (2) (3) (4) (5) (6) 8//0.10 8//0.125 10//0.15 8//0.25+6//0.25 8//0.10 6//0.125
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Estruturas de Beto Armado II Ano Lectivo 2008/2009 7
PROBLEMA 1.8
Considere a laje representada na figura, bem como as armaduras que se encontram
indicadas e que constituem a sua armadura principal.
Considerando que a laje tem uma espessura de 0.13 m, que constituda por um
beto C20/25 e que as armaduras so em A400, determine a mxima sobrecarga que
pode actuar na laje, por forma a que esteja verificada a segurana ao estado limite
ltimo de flexo.
Considere que a restante carga permanente de 2.0 kN/m2.
7.00 4.001.001.80
8//0.104.00
7.00
6//0.20
Planta superior
Planta inferior
6//0.20
4.006//0.20
4.000.801.40
10/
/0.1
25
8//0
.15
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Estruturas de Beto Armado II Ano Lectivo 2008/2009 8
PROBLEMA 1.9
Considerando que a laje representada tem uma espessura de 0.15 m, que
constituda por um beto C20/25 e que as armaduras so em A400, determine a
mxima sobrecarga que pode actuar, por forma a que esteja verificada a segurana
ao estado limite ltimo de flexo.
8//0.255.00
1.30
5.00
6//0.15 10//0.1255.00
1.00
4.00
6//0.20
1.00
1.30
6//0
.15
6//0.20
6//0.15
10/
/0.1
25
4.00
1.30
6//0
.15
1.30
Planta superior
6//0.15
6//0
.15
6//0
.15
0.80
1.00
6//0.20
8//0
.25
6//0.15
1.00
4.00
1.00
6//0
.20
6//0
.20
1.00
5.00
Planta inferior
6//0
.25
8//0
.25
6//0.25
4.00
0.80
6//0
.20
8//0.25
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Estruturas de Beto Armado II Ano Lectivo 2008/2009 9
PROBLEMA 1.10 Considerando os dois modelos de clculo apresentados, determine os esforos da escada
representada na figura, submetida s seguintes aces:
peso prprio revestimento: 1.5 kN/m2 sobrecarga de utilizao: 3.0 kN/m2
1.201.20 2.70
1.51
1.20
0.40
1.20
0.165
0.15
0.30
Modelo a)
p+R/b
b
R
Modelo b)
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Estruturas de Beto Armado II Ano Lectivo 2008/2009 10
PROBLEMA 1.11
A laje fungiforme representada na figura constitui um piso de um edifcio de habitao.
0.50
0.70
0.40
0.40
0.40
0.40
0.40
5.00
5.00
1.00
6.00 7.00
Considere as seguintes aces:
Peso prprio; Revestimento: 1.5kN/m; Paredes divisrias: 2.0 kN/m2 Sobrecarga de utilizao: 2.0kN/m (g=q=1.5, 1=0.3, 2=0.2)
Adopte para materiais beto C25/30 e ao A500NR.
1) Estime uma espessura para a laje tendo em conta as recomendaes do EC2 para
controlo da deformao.
2) Determine os esforos de flexo pelo mtodo dos prticos equivalentes.
3) Os esforos na laje foram determinados com o auxlio de um programa de clculo
automtico utilizando o Mtodo dos Elementos Finitos e o Mtodo da Analogia de
grelha. Foi considerada uma espessura de 0.25m.
Analise e comente os resultados obtidos, nomeadamente os seguintes aspectos:
a) anlise qualitativa dos resultados;
b) equilbrio dos esforos internos com as cargas aplicadas;
c) comparao dos resultados obtidos pelos trs mtodos;
d) verifique se as flechas mximas garantem a segurana em relao ao estado
limite de deformao.
4) Dimensione as armaduras de flexo com base nos esforos obtidos pelo MEF e pormenorize-as em planta e em cortes transversais.
5) Verifique a segurana ao punoamento no pilar interior e num pilar de bordo.
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Estruturas de Beto Armado II Ano Lectivo 2008/2009 11
PROBLEMA 1.12
Considere a laje representada na figura seguinte, cuja espessura de 0.22 m.
1.00
6.00
6.00
0.40
0.40
0.40
0.40
1.00
A B
C D
Considere as seguintes aces:
Peso prprio; Restante carga permanente: 3.5 kN/m2 Sobrecarga de utilizao: 3.0kN/m (g=q=1.5)
Adopte para materiais beto C20/25 e ao A500NR.
e) Dimensione as armaduras de flexo no 1/4 de laje junto ao pilar A (armadura superior
e inferior nas duas direces), utilizando o mtodo dos Prticos Equivalentes.
f) Verifique a segurana ao punoamento no pilar A considerando os seguintes
esforos de dimensionamento: Vsd = 300 kN; Msd = 150 kN.m
g) Pormenorize as armaduras necessrias (flexo e eventualmente punoamento) no
1/4 de laje junto ao pilar A.
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Estruturas de Beto Armado II Ano Lectivo 2008/2009 12
PROBLEMA 1.13 Considerando que a laje representada constituda por um beto C30/37 e que as
armaduras so em A400, determine a mxima sobrecarga que pode actuar, por forma
a que esteja verificada a segurana aos estados limites ltimos de flexo e de
punoamento.
12//0.30
10//0.25
16/
/0.1
5
6.00
1.501.50 1.50 1.50
6.00
3.00
1.50 #8//0.15
1.50 #8//0.15
6.00
16//0.10 #8//0.15
8//0
.15
12//0.20
16//0.10#8//0.15
6.00
3.00
12//0.3012//0.30
10//0.2510//0.25
12//0.3012//0.30
6.00
3.00
16/
/0.1
5
1.50
Planta superior
1.50
1.50
Planta inferior
1.50
6.00
12/
/0.1
0
16/
/0.1
5
12/
/0.1
0
1.501.50 3.00
12//0.30
1.201.20
Caractersticas geomtricas: hlaje = 0.20 m, Seco dos pilares: 0.40 0.40 m2
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Estruturas de Beto Armado II Ano Lectivo 2008/2009 13
PROBLEMA 2.1
Dimensione e pormenorize a viga-parede representada na figura, sujeita a uma carga
uniformemente distribuda pEd = 200 kN/m.
R0.40
6.00
R
Ed
e=0.20m
0.407.00
Materiais: Beto C25/30
Ao A500NR
PROBLEMA 2.2 Considere a viga, cuja seco transversal est representada na figura, sujeita a uma
carga concentrada PEd = 1000 kN, correspondente aplicao do pr-esforo.
a) Verifique a segurana em relao resistncia local do beto compresso
considerando uma placa de ancoragem com dimenses de 0.20 0.20 m.
b) Dimensione e pormenorize as armaduras para resistirem s traces desenvolvidas
na zona da ancoragem de pr-esforo.
Adopte para materiais beto C30/37 e ao A500NR.
Alado LateralVista de Topo
0.200.20
0.25
0.40
1.00
P
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Estruturas de Beto Armado II Ano Lectivo 2008/2009 14
PROBLEMA 2.3
Considere a consola curta representada na figura.
0.25
0.20
0.15
0.05
0.30
0.50
0.40
0.60
CorteAlado
FVEd
0.05
0.05
Dimensione e pormenorize as armaduras, e verifique as tenses de compresso no
beto, considerando FVEd=300kN. Adopte para materiais beto C25/30 e ao A500NR.
PROBLEMA 2.4 Considere a sapata isolada representada na figura.
NM
1.800.30
0.50
2.40
0.60
2.40
Para as aces e combinaes de aces indicadas, dimensione e pormenorize as
armaduras. Adopte para materiais beto C25/30 e ao A500NR.
Aces N (kN) M (kNm)
Cargas permanentes (G) -800.0.0 0.0
Sobrecarga (Q) -300.0 0.0
Sismo (E) 40.0 330.0
Combinaes de aces a considerar: g G + q Q (g = 1.35; q = E = 1.5; 2 = 0.2) G + 2 Q + E E
G + 2 Q - E E
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Estruturas de Beto Armado II Ano Lectivo 2008/2009 15
PROBLEMA 2.5 Considere o macio de encabeamento de estacas representado na figura, sujeito s
aces indicadas.
NEd = 1200 kN
0.10
MEd = 280 kNm0.40
0.100.401.000.40
0.600.10
2.00
0.600.400.10
Dimensione e pormenorize as armaduras do macio de encabeamento de estacas.
Adopte para materiais beto C25/30 e ao A500NR
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Estruturas de Beto Armado II Ano Lectivo 2008/2009 16
PROBLEMA 3.1 Considere a viga pr-esforada representada na figura, sujeita a uma carga
uniformemente distribuda.
0.13
2.50 5.00 2.5010.00
Seco transversal
0.35
0.20
0.40
1.00
0.60
Considere as seguintes aces:
Carga permanente: 30.0 kN/m Sobrecarga de utilizao: 30.0 kN/m (1 = 0.5; 2 = 0.3)
Adopte para materiais beto C30/37, ao A500NR e ao de alta resistncia A1600/1860
com seco nominal de 1.4 cm2.
Para o traado de cabos de pr-esforo trapezoidal representado na figura:
a) Pr-dimensione o pr-esforo, condicionando as tenses de compresso e de
traco a limites que no ponham em causa o comportamento em servio da
estrutura.
b) Para o pr-esforo determinado, indique as cargas equivalentes ao pr-esforo e
determine os respectivos diagramas de esforos.
c) Calcule a flecha a meio vo, considerando a aco do pr-esforo e a combinao
de aces quase-permanente.
d) Verifique a descompresso na viga.
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Estruturas de Beto Armado II Ano Lectivo 2008/2009 17
PROBLEMA 3.2 Considere a viga pr-esforada representada na figura, sujeita a uma carga
uniformemente distribuda.
9.6 7.4 3.0 2.0 2.0
20.0 4.0
e1 = 0.077
Parbola ParbolaParbolaA B
Par. Recta
e2 = 0.447
C
e3e4 = 0.293
D
e5 e6 = 0
E F
Seco Transversal:
0.45
1.50
0.800.20
0.60
0.20
1.00
Caractersticas geomtricas:
A = 0.730 m2
yG = 0.577 m
I = 0.0789 m4
Considere as seguintes aces:
Carga permanente: 48.0 kN/m Sobrecarga de utilizao: 20.0 kN/m (1 = 0.5; 2 = 0.3)
Adopte para materiais beto C30/37, ao A500NR e ao de alta resistncia A1600/1860.
a) Determine as equaes que definem o traado do cabo.
b) Represente as foras equivalentes ao efeito do pr-esforo para uma fora
genrica Pm.
c) Considerando dois cabos compostos por 12 cordes de 0.6 cada, com as
ancoragens activas na seco F, determine o valor do pr-esforo inicial Pm0 e do
pr-esforo final Pm na seco B.
d) Dimensione a armadura ordinria necessria para garantir a segurana ao estado
limite de resistncia flexo na seco B.
e) Dimensione as armaduras transversais e verifique a segurana ao esforo
transverso direita da seco D.
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Estruturas de Beto Armado II Ano Lectivo 2008/2009 18
PROBLEMA 3.3 Considere a viga pr-esforada representada na figura, bem como o diagrama de
momentos flectores devido aco do pr-esforo.
2.00
e = 0.352 m
7.00
e = 0.10 m
5.00
g, q
14.00
e = 0.188 m
2.00
14.00
1.00
7.00
0.482
0.40
5.00
0.20
0.60
Aces: g = 40 kN/m Materiais: Beto C30/37
q = 12 kN/m (1 = 0.4; 2 = 0.2) Ao A400NR (g = 1.35; q = 1.5) A1600/1860
Caractersticas geomtricas da seco transversal da viga: A = 0.44 m2; I = 0.02 m4.
(-)
(+)
0.354P
0.293P
(-)
5.00
0.1P
a) Calcule e represente as cargas equivalentes ao efeito do pr-esforo para o
traado de cabos indicado (constitudo por troos parablicos), considerando uma
fora de pr-esforo genrica P.
b) Estime o valor da fora de pr-esforo til necessria para garantir a
descompresso da viga, para a combinao quase-permanente de aces. Indique
o nmero de cabos e cordes que adoptaria, justificando todos os pressupostos.
c) Calcule as perdas por atrito ao longo da viga considerando que o tensionamento
efectuado em ambas as extremidades (adopte =0.20 e k = 0.004 m-1). d) Verifique a segurana ao estado limite ltimo de flexo da viga.
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RESOLUO DO PROBLEMA 3.3
ALNEA A)
e = 0.188 m
Parbola 1 Parbola 2 Parbola 3
e = 0.352 me = 0.10 m
7.005.00 2.00
1. Clculo das cargas equivalentes uniformemente distribudas
q = 8 f P
L2
Parbola f (m) L (m) q (kN/m)
1 0.252 10.0 0.0202
2 0.420 14.0 0.0171
3 0.120 4.0 0.060
Determinao da coordenada do ponto de inflexo entre as parbolas 2 e 3 0.352 + 0.188
7 + 2 = x 7 x = 0.42 m
2. Clculo das cargas equivalentes nas extremidades do cabo
P tg = 2 f L P = 2 0.252
5 P = 0.1008 P
P e = P 0.10
7.000.10 P
P
5.00
0.1008 P 0.0202 P
2.00
0.0171 P
0.060 P
-
ALNEA B)
1. Determinao dos esforos para a combinao de aces quase-permanente
(i) Diagramas de esforos para uma carga unitria
(+)
5.00
A
B
13.75 p
24.5 p
(-)
(+)
p
14.00 14.00
(ii) Momentos flectores para a combinao de aces quase-permanente
pcqp = cp + 2 sc = 40 + 0.2 12 = 42.4 kN/m Mcqp,A = 13.75 42.4 = 583.0 kNm ; Mcqp,B = 24.5 42.4 = 1038.8 kNm
2. Verificao da descompresso
(i) Caractersticas geomtricas da seco transversal
0.482
0.318
0.80
0.40
1.00
A = 0.44 m2 ; I = 0.020 m2
winf = I
vinf = 0.020 0.482 = 0.0415 m
3
wsup = I
vsup = 0.020 0.318 = 0.063 m
3
-
(ii) Seco A
MA
(+)
+
(-)
(-)
(+)
+
P / A
(-)
MA
P
Mpe
inf = - P A - Mpe winf +
MA winf < 0 -
P 0.44 -
0.293 P 0.0415 +
583 0.0415 < 0 P > 1505.2 kN
(iii) Seco B
MB
(+)
+
(-)
(-)
(+)
+
P / A
(-)
MB
P
Mpe
sup = - P A - Mpe
w + MB w < 0 -
P 0.44 -
0.354 P 0.063 +
1038.8 0.063 < 0 P > 2089.4 kN
P > 2089.4 kN 3. Cabos e cordes a adoptar
Considerando 10% de perdas imediatas e 15% de perdas diferidas,
P0' = - P
0.90 0.85 = 2089.4
0.90 0.85 = 2731.2 kN
Ap = - P0'
0.75 fpk = 2731.2
0.75 1860103 104 = 19.58 cm2
n de cordes = Ap
A1 cordo = 19.58
1.4 = 14 cordes
Adoptam-se 2 cabos com 7 cordes de 0.6 ALNEA C)
1. Clculo das perdas por atrito
P0 (x) = P0 e- ( + kx) (Adopta-se = 0.20 e k = 0.004)
-
7.00
Parbola 2
5.00
Parbola 1
e = 0.10 m e = 0.352 m2.00
Par. 3
e = 0.188 m
Par. 3 Parbola 2 Parbola 1
7.00 5.002.00
1 2 3 4 5 6 7
Clculo da fora de tensionamento
P0 = 14 1.410-4 0.75 1860103 = 2734.2 kN
Clculo dos ngulos de desvio
(i) Parbola 1
1 tan 1 = 2f L = 2 0.252
5 = 0.101
(ii) Parbola 2
2 = 2f L = 2 0.42
7 = 0.120
Seco x (m)
(rad) Paps atrito
(kN)
1 0 0 2734.2
2 5.0 0.101 2668.8
3 12.0 0.221 2591.0
4 14.0 0.341 2525.5
5 12.0 0.221 2591.0
6 5.0 0.101 2668.8
7 0 0 2734.2
-
ALNEA D)
1. Determinao dos esforos de dimensionamento
psd = 1.35 40 + 1.5 12 = 72 kN/m Msd = 13.75 72 = 990.0 kNm 2. Determinao do momento hipersttico devido ao pr-esforo
(i) Diagrama de momentos isostticos (Misost = P e)
0.188P5.00
0.1P (-)
0.352P
(+)
(-)
(ii) Diagrama de momentos hiperstticos (Mhip = Mpe Misost )
0.166P
(+)
5.00
0.059P
3. Clculo das armaduras de flexo
Msd = Msd + Mhip = 990.0 + 0.059 2089.4 = 1113.3 kNm
Fc0.85fcd0.8x
Fs
FpM'sd
LN
ApAs
b
x
-
Fp = Ap fp0,1k 1.15 = 19.610-4 1600 1.15 103 = 2727.0 kN
Fs = As fyd = As 348 103 Fc = 1.0 0.8x 0.85 20 103 = 13600x
(i) Equilbrio de momentos ( MAs = Msd) Fc (0.75 0.4x) Fp 0.08 = Msd 13600x (0.75 0.4x) = 1113.3 + 2727.3 0.08 x = 0.141 m Fc = 13600 0.141 = 1917.6 kN < Fp no necessria armadura ordinria para verificar o estado limite ltimo de flexo.
4. Clculo da armadura mnima de flexo
As,min = 0.26 fctm fyk bt d = 0.26
2.6 400 0.40 0.75 104 = 5.07 cm2