estatística profa. dra. maria ivanilde s. araújo e-mail: [email protected] estatística...
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Estatística
Profa. Dra. Maria Ivanilde S. Araújoe-mail: [email protected]
Estatística Aplicada à Educação Física - UFAM
Tipos de Variáveis
Contínua
Discreta vaQuantitati
Ordinal
Nominal aQualitativ
Variável
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Tipos de Variáveis
• Variável é a característica de interesse que é medida em cada elemento da amostra ou população.
• As variáveis podem ser classificadas como qualitativas ou quantitativas
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Tipos de Variáveis
• Variáveis qualitativas (ou categóricas): Apresentam como possíveis resultados uma qualidade (ou atributo) do indivíduo pesquisado.
• Estas variáveis ainda podem ser classificadas como qualitativa nominal ou qualitativa ordinal.
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Tipos de Variáveis
• Variáveis qualitativas nominal: Quando não existe nenhuma ordenação nos possíveis resultados.
Exemplo: Gênero
• Variáveis qualitativas ordinal: Quando existe uma ordem nos seus resultados
Exemplo: Grau de instrução
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Tipos de Variáveis
• Variáveis quantitativas: Apresentam como possíveis resultados números resultantes de uma contagem ou mensuração
• Estas variáveis ainda podem ser classificadas como quantitativas discretas ou quantitativas contínuas.
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Tipos de Variáveis
• Variáveis quantitativas discretas: cujos resultados formam um conjunto finito ou enumerável de números e que frequentemente resultam numa contagem.
Exemplo: Número de filhos
• Variáveis quantitativa contínua: cujos resultados pertencem a um intervalo de números reais.
Exemplo: Peso e AlturaEstatística Aplicada à Educação Física - UFAM
Organização e apresentação dos dados
• Quando se estuda uma variável, o maior interesse do pesquisador é conhecer o comportamento dessa variável.
• Para isso, analisa-se a ocorrência de suas possíveis realizações.
• Os dados podem ser organizados e apresentados através de tabelas e gráficos.
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Distribuição de Frequências
• Uma maneira de sintetizar os dados é através da distribuição de frequência.
• Esta consiste na construção de uma tabela a partir dos dados brutos
• Onde se leva em conta a frequência com que cada observação ocorre.
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Distribuição de Frequências
• Frequência absoluta (): É o número de vezes que o elemento aparece na amostra, ou o número de elementos pertencentes a uma classe.
• Frequência absoluta acumulada (): É a soma da frequência absoluta da classe com a frequência absoluta das classes anteriores.
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Distribuição de Frequências
• Frequência relativa (): indica a proporção de cada classe, onde:
é o número total de observações• Frequência relativa acumulada (): É o valor da
frequência acumulada dividido pelo número total de observações:
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Tabelas
• O objetivo da tabela é apresentar os dados agrupados de forma que seu manuseio, visualização e compreensão sejam simplificados.
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Tabelas• Elementos de uma tabela
Título
Cabeçalho
Corpo
Rodapé
O titulo deve responder as seguintes questões:O que? (Assunto a ser representado(Fato));Onde? (O lugar onde ocorreu o fenômeno (Local));Quando? (época em que se verificou o fenômeno (tempo)).
Corpo: conjunto de linhas e colunas que contém informações sobre a variável em estudo;
Cabeçalho: parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas;
Rodapé: reservado para as observações pertinentes, bem como a identificação da fonte dos dados.
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Tabelas
Título Distribuição dos pacientes segundo as escalas de ABVD e AIVDCabeçalho Variáveis f f (%)
Atividades Básica da Vida DiáriaIndependência (6 ou mais) 49 79,03%
Dependência Parcial (4 - 5) 9 14,52% CorpoColuna Dependência Importante (2 ou menos) 4 6,45%Indicadora
Atividades Instrumentais da Vida Diária
Independência (7 - 9) 26 41,94% CélulaDependência Parcial (4 - 6) 17 27,42%
Dependência importante (0 - 3) 19 30,65%
Rodapé: f: Freqüência; f(%): Freqüência Relativa
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Tabelas
• As tabelas podem ser, dependendo do tipo de dados:
(a) Simples;
(b) Dupla Entrada;
(c) Distribuição de Frequência.
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Tabelas
• Tabelas simples
Gênero frequência Porcentagem
Feminino 58 80,56
Masculino 14 19,44
Total 72 100,00
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Tabelas
• Tabelas de dupla entrada
Município Ano
Total 2004 2005 2006 2007
Apuí 132 62 37 27 258
Boca do Acre 35 19 51 20 125
Canutama 39 25 59 53 176
Humaitá 23 15 5 4 47
Lábrea 96 115 153 136 500
Manicoré 42 35 29 12 118
Novo Aripuanã 29 31 11 15 86
Total 396 302 345 267 1310
Nº de Alertas de Desmatamento no Sul do Amazonas (2004 - 2007)
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Tabelas
• Tabela de distribuição de frequênciaConsidere o seguinte conjunto de dados: 21, 21, 21, 22, 22, 23, 23, 24, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 28, 30. Construa uma distribuição com todas as frequências. Solução:
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Tabelas
X fi fac fr far
21 3 3 3/17 3/17
22 2 5 2/17 5/17
23 2 7 2/17 7/17
24 1 8 1/17 8/17
25 4 12 4/17 12/17
26 3 15 3/17 15/17
28 1 16 1/17 16/17
30 1 17 1/17 17/17 17 1
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Tabelas
• Para a construção de tabelas de frequências para variáveis contínuas necessita que os dados sejam agrupados em intervalos de classes.
• Para a construção das classes algumas definições são necessárias:
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Tabelas
• Amplitude Total ou “Range” (R): É a
diferença entre o maior e o menor valor
observado.
Ex.: R = 30 - 21 = 9.
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Tabelas
• Intervalos de Classe: Conjunto de
observações apresentadas na forma
contínua, sem superposição de intervalos, de
tal modo que cada valor do conjunto de
observação possa ser alocado em um, e
apenas um, dos intervalos.
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TabelasO número k de intervalos para cada conjunto de observações com n valores pode ser calculado como:
k = 1 + 3,322(log10 n) (fórmula de Sturges)Ex.: para um conjunto com 50 observações obtemos log10(50) ≈ 1,699;
k = 1 + 3,322 x 1,699 ≈ 6,6 ≈ 7 intervalos
O tamanho w de cada intervalo é obtido pela divisão do valor da diferença entre o maior e o menor valor, R, pelo número de intervalos k: w = R/k
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Tabelas
• Etapas para a construção de tabelas de frequência para dados agrupados:
1) Encontrar o menor e o maior valor (mínimo e máximo) do conjunto de dados.
2) Calcular o número de classes que englobem todos os dados sem haver superposição dos intervalos.
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Tabelas
3) Contar o número de elementos que pertencem a cada classe.
4) Determinar a frequência relativa de cada classe.
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Tabelas
Exemplo:O conjunto de dados abaixo representa as idades de pacientes. Construa intervalos de classes para o mesmo.19 19 20 21 23 23 23 23 24 24 25 25 26 26 26 27 27 27 29 29 29 29 30 31 31 31 33 33 33 34 37 37 37 37 40 40 40 40 43 43 44 44 47 48 48 48 51 52 52 53
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Tabelas
Solução:se utilizar a fórmula de SturgesR = 53 – 19 = 34 e n = 50Então:K = 1 + 3,322 x 1,699 ≈ 7 intervalosW = 34/7 ≈ 5 idades em cada
Intervalo de classe Freqüência
19 |------- 24 8
24 |------- 29 10
29 |------- 34 11
34 |------- 39 5
39 |------- 44 6
44 |------- 49 6
49 |------- 54 4
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Tabelas
Ou construir intervalos empiricamente:
Intervalo de classe Freqüência
10 |------- 20 2
20 |------- 30 20
30 |------- 40 12
40 |------- 50 12
50 |------- 60 4
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Tabelas
• Os extremos dos intervalos são conhecidos como limites de classes.
• Procedendo-se desse modo, ao resumir os dados referentes a uma variável contínua perde-se informações.
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Gráficos
• Os gráficos são representações pictóricas dos dados.
• Tem por finalidade dar uma ideia, a mais imediata possível, dos resultados obtidos, permitindo chegar se a conclusões sobre a ‑evolução do fenômeno ou sobre como se relacionam os valores da série.
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Gráficos
• A escolha do gráfico mais apropriado ficará a critério do analista.
• Contudo, os elementos simplicidade, clareza e veracidade devem ser considerados quando da elaboração de um gráfico.
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Gráficos
• Gráficos para variáveis qualitativas
Dentre os gráficos para representar variáveis qualitativas temos o gráfico de barras e de composição em setores (gráfico de pizza).
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Gráficos
• Gráfico de barras: consiste em construir retângulos ou barras, em que uma das dimensões é proporcional à magnitude a ser representada ().
Estas barras são dispostas paralelamente umas às outras, horizontal ou verticalmente.
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Gráficos
10
76
2
5
Nº de casos
Distribuição de melanomas por localização anatômica
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Gráfico
• Gráfico de composição em setores: Destina-se a representar a composição, usualmente em porcentagem, de partes de um todo.
Consiste num círculo de raio arbitrário, representando o todo, dividido e setores, que corresponde as partes de maneira proporcional.
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Gráficos
Ensino fundamen-
tal33%
Ensino médio
50%
Ensino su-perior17%
Grau de intrução
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Gráficos
• Gráfico para variáveis quantitativas: Os tipos de gráficos geralmente são utilizados nesse caso: Gráfico de dispersão, Histograma, polígono de frequência e gráfico de linhas.
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Gráficos
• Gráfico de dispersão: Os valores são representados por pontos ao longo da reta.
Exemplo: Taxa de glicemia dos idosos que procuram atendimento no Centro de Atenção Integrada da Melhor Idade – CAIMI.
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Gráficos
0 50 100 150 200 2500
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Glicemia
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Gráficos
• Histograma: É um gráfico de barras contíguas, com bases proporcionais aos intervalos das classes e a área de cada retângulo proporcional à respectiva frequência.Exemplo: Idade dos idosos que procuram atendimento no Centro de Atenção Integrada da Melhor Idade – CAIMI.
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Gráficos
Histograda da Idade
Idade
Fre
qu
ên
cia
60 65 70 75 80 85 90
02
06
0
81
49
27
12 7 3
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Gráficos
• Polígono de frequência: É um gráfico em linha, onde as frequências são marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe. Para conseguir um polígono, ligamos os extremos da linha obtida aos pontos médios da classe anterior à primeira e da posterior à última, da distribuição.
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Gráficos
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Gráficos
• Gráfico de linhas: É indicado para dados coletados ao longo do tempo, ou de medidas repetidas.
• Através desse gráfico é possível constatar algum tipo de tendência e identificar alguns eventos inusitados, como por exemplo, o surto de uma determinada doença.
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Gráficos
0 1 a 9 10 a 49 50 a 99 100 a 199 200 ou mais02468
101214161820
Mortes por leucemia
Radiação
Número de mortos por leucemia expostos a diferentes dosagens de radiação
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Medidas de tendência central
• Muitas vezes queremos resumir mais ainda os resultados de uma variável do que a própria tabela ou gráfico.
• Apresentando u ou alguns valores que sejam representativos da série toda.
• Usualmente emprega-se uma das seguintes medidas de posição (ou localização) central:
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Medidas de tendência central
• Média• Mediana • Moda
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Média (): É a soma das observações dividida pela quantidade das mesmas.
n
1ii
n4321 Xn
1
n
x...xxxxX
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Medidas de tendência central
Exemplo: Calcule a média da variável X: 3, 5, 8, 12, 7, 12, 15, 18, 20, 20.
1210
120
10
2020181512712853X
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Medidas de Tendência Central
Se os dados estiverem num intervalo de classe, neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média, por meio da fórmula:
onde xi é o ponto médio da classe.
i
ii
f
fXX
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Medidas de tendência central
Suponhamos termos feito uma coleta de dados relativos às estaturas de 40 pacientes de um estudo, resultando a seguinte tabela de valores.
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i Estaturas (cm) fi xi xifi
1 150 |---- 154 4 152 608
2 154 |---- 158 9 156 1404
3 158 |---- 162 11 160 1760
4 162 |---- 166 8 164 1312
5 166 |---- 170 5 168 840
6 170 |---- 174 3 172 516
Σ = 40 Σ = 6440Fonte: dados hipotéticos
Como, neste caso,Σ xifi = 6440, Σ fi = 40
temos: cm161X16140
6440X
Medidas de tendência central
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Medidas de tendência central
Mediana (Md): É a realização que ocupa a posição central da série de observações quando estão ordenadas.
50% dos valores estão abaixo e 50% acima da mediana.
parnse,2
xx
ímparnse,x
Md(X)1
2
n
2
n
2
1n
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Exemplo: Determinar a mediana do conjunto X: 2, 20,
12, 23, 20, 8, 12.
Ordenando os termos: 2, 8, 12, 12, 20, 20 ,23.
A mediana será o número 12, pois ele divide o conjunto
em duas partes iguais. Portanto, Md = 12.
Medidas de tendência central
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Exemplo: Determinar a mediana da série X: 7, 21, 13,
15, 10, 8, 9, 13.
Ordenando os termos: 7, 8, 9, 10, 13, 13, 15, 21.
A mediana será:
5,112
1310
Md
Medidas de tendência central
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Com Intervalos de Classe
Se os dados estiverem agrupados em classe:
Determinamos as frequências acumuladas.
Calculamos
Marcamos a classe onde está a frequência
acumulada = classe mediana.
2f i
2f i
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Medidas de tendência centralem seguida, empregamos a fórmula:
na qual:• l* é o limite inferior da classe mediana;• F(ant) a freqüência acumulada da classe anterior
à classe mediana;• f* a freqüência simples da classe mediana;• h* é a amplitude da classe mediana.
*
*i
*
f
h.)ant(F2flMd
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i Estaturas (cm) fi fac
1 150 |---- 154 4 4
2 154 |---- 158 9 13
3 158 |---- 162 11 24
4 162 |---- 166 8 32
5 166 |---- 170 5 37
6 170 |---- 174 3 40
Σ = 40Fonte: dados hipotéticos
Temos: = 40 / 2 = 20
Tomemos à tabela da estatura dos alunos completando-a com a coluna correspondente à freqüência acumulada:
Classe Mediana
2f iEstatística Aplicada à Educação Física - UFAM
Medidas de tendência central
a mediana será dada por:
Logo: Md = 160,5 cm
54,16054,2158
11
1281584x
11
1320158Md
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Moda (Mo): Observação mais "provável" da distribuição dos dados (em uma amostra, é o valor que aparece com maior freqüência).
Medidas de tendência central
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Medidas de tendência central
Exemplo (a): Determinar a moda dos conjuntos de
dados: X: 2, 8, 3, 5, 4, 5, 3, 5, 5, 1.
O elemento de maior frequência é 5. Portanto, Mo
= 5. É uma sequência unimodal, pois só temos uma
moda.
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Medidas de tendência central
Exemplo (b): X: 6, 10, 5, 6, 10, 2.
Este conjunto de dados apresenta o elemento 6 e
10 como elementos de maior frequência. Portanto,
Mo = 6 e Mo = 10. Por isso é chamada de bimodal.
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Medidas de tendência central
• Se os dados estiverem em classe:
A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal.
A moda é o valor dominante da classe modal.
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Medidas de tendência central
Fórmula de Czuber
Onde:• l* é o limite inferior da classe modal• h* é a amplitude da classe modal• D1 = f* – f (ant) • D2 = f* – f (post) sendo:• f* a freqüência simples da classe modal• f (ant) a freqüência simples da classe anterior à classe modal• f (post) a freqüência simples da classe posterior à classe modal
*
21
1* hDD
DlMo
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i Estaturas (cm) fi
1 150 |---- 154 4
2 154 |---- 158 9
3 158 |---- 162 11
4 162 |---- 166 8
5 166 |---- 170 5
6 170 |---- 174 3
Σ = 40Fonte: dados hipotéticos
temos:D1 = f* - f (ant) D1 = 11 – 9 D1 = 2D2 = f* - f (post) D2 = 11 – 8 D2 = 3
Tomemos a distribuição relativa à tabela da estatura dos alunos:
Classe Modal
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Medidas de tendência central
e como:
vem:
Logo: Mo = 159,6 cm
6,1596,1158
5
8158
5
4x21584x
32
2158Mo
*
21
1* hDD
DlMo
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Separatrizes
São medidas que estão ligadas à mediana, já que elas se baseiam em sua posição na série. Essas medidas são:Os quartis e os percentis.
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Os Quartis
São os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais.
1º quartil (Q1) é valor que uma quarta parte (25%) dos dados é menor e as três restantes (75%) maiores do que ele;
2º quartil (Q2) coincidente com a mediana;
3º quartil (Q3) é o valor que as três quartas partes (75%) dos dados são menores e a outra restante (25%), maior que ele.
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Com intervalos de Classe
Usa-se a mesma técnica do cálculo da mediana, bastando substituir, na fórmula da
mediana,
sendo k o número de ordem do quartil.Assim, temos:
4
fkpor
2
f ii
*
*i*
3
*
*i*
1
f
h.)ant(F4f3lQ
ef
h.)ant(F4flQ
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i Estaturas (cm) fi fac
1 150 |---- 154 4 4
2 154 |---- 158 9 13
3 158 |---- 162 11 24
4 162 |---- 166 8 32
5 166 |---- 170 5 37
6 170 |---- 174 3 40
Σ = 40Fonte: dados hipotéticos
Tomemos à tabela da estatura dos alunos:
Q3
Q1
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Primeiro quartil Temos:
Q1 = 156,7 cm
66,15666,21549
24154
9
4x)410(154Q
104
40
4
f
1
i
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Terceiro quartil Temos:
Q3 = 165 cm
16531628
24162
8
4x)2430(162Q
304
40x3
4
f3
3
i
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Medidas de Variabilidade
O resumo de um conjunto por uma única medida representativa de posição central esconde toda a informação sobre a variabilidade do conjunto de observações.
É necessário medidas que sumarizem a variabilidade de um conjunto de observações.
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Medidas de Variabilidade
Amplitude Variância Desvio Padrão Coeficiente de Variação
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Medidas de Variabilidade
Amplitude total: É a diferença entre o maior e o menor valor observado.
AT = X(máx.) – X(mín.)
Com intervalos de classe:É a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe.
AT = L(máx.) – L(mín.)
Exemplo:
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Medidas de Variabilidade
Temos:
AT = 174 – 150 = 24
Logo:
AT = 24 cm
i Estaturas (cm) fi
1 150 |-------- 154 4
2 154 |-------- 158 9
3 158 |-------- 162 11
4 162 |-------- 166 8
5 166 |-------- 170 5
6 170 |-------- 174 3
Σ = 40
Fonte: dados hipotéticos
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Medidas de Variabilidade
Variância: É a soma dos quadrado dos desvios em relação à média. Com ela estabeleceremos uma medida de variabilidade para um conjunto de dados.
Com intervalos de classe
1n
XXXVar
n
1i
2
i
2n
1i ii
n
1i
2ii
n
Xf
n
XfVar(X)
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Medidas de Variabilidade
Exemplo: Calcule a Variância da variável X: 3, 5, 8, 12, 7, 12, 15, 18, 20, 20.
22,38
9
344
110
1220125123S
222
2
1210
120
10
2020181512712853X
Estatística Aplicada à Educação Física - UFAM
Tomemos à tabela da estatura dos pacientes:
i Estaturas (cm) fi xi xifi xi2fi
1 150 |---- 154 4 152 608 92.416
2 154 |---- 158 9 156 1.404 219.024
3 158 |---- 162 11 160 1.760 281.600
4 162 |---- 166 8 164 1.312 215.168
5 166 |---- 170 5 168 840 141.120
6 170 |---- 174 3 172 516 88.752
Σ = 40 Σ = 6440Σ =
1.038.080
2
2
cm961259212595240
6440
40
1038080XVar
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Medidas de Variabilidade
Desvio Padrão: É a raiz quadrada positiva da variância
Com intervalo de classe
XVarXdp
2n
1i ii
n
1i
2ii
n
Xf
n
Xfdp(X)
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Medidas de Variabilidade
Exemplo: Calcule Desvio Padrão da variável X: 3, 5, 8, 12, 7, 12, 15, 18, 20, 20.
22,38
9
344
110
1220125123S
222
2
1210
120
10
2020181512712853X
18,622,38SSS 2
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Tomemos à tabela da estatura dos pacientes:
i Estaturas (cm) fi xi xifi xifi2
1 150 |---- 154 4 152 608 92.416
2 154 |---- 158 9 156 1.404 219.024
3 158 |---- 162 11 160 1.760 281.600
4 162 |---- 166 8 164 1.312 215.168
5 166 |---- 170 5 168 840 141.120
6 170 |---- 174 3 172 516 88.752
Σ = 40 Σ = 6440Σ =
1.038.080
cm57,5259212595240
6440
40
1038080Xdp
2
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Medidas de Variabilidade
Coeficiente de variação: É uma medida relativa de dispersão, útil para a comparação em termos relativos do grau de concentração em torno da média.
100)(
X
XdpCV
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Medidas de Variabilidade
A grande utilidade do coeficiente de variação é permitir a comparação da variabilidade de diferentes conjuntos de dados.Se:
CV < 15% Baixa dispersão – Homogênea, estável, regular.
15% < CV< 30% Média dispersão.
CV > 30% Alta dispersão – Heterogênea.
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Praticando no Minitab
• Estatística Descritiva no Minitab
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• Digite o conjunto de dados em uma coluna;• Clique em Stat / Basic Statistics / Display
Descriptive Statistics...• Selecione a coluna em Variables. Se desejar
gráficos Clique em Graphs.• Marque as opções que aparece no Slide
seguintes e clique em OK.
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• Digite o conjunto de dados em uma coluna• Clique em Graph / Histogram • Selecione a coluna em Graph Variables. Se
desejar intervalos de freqüências Clique em Options...
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