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Inferência Estatística
Intervalo de ConfiançaTeste de Hipótese
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Inferência Estatística
Consiste em um conjunto de procedimentos para o estabelecimento de conclusões e tomada de decisões sobre a população, baseados nas informações amostrais
A inferência estatística é o processo pelo qual informações a cerca da população são obtidas a partir de dados de uma determinada amostra.
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Inferência Estatística
Esta técnica é dividida em:
• Estimação de parâmetros e
• Teste de Hipóteses.
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Conceitos
ParâmetroÉ uma medida numérica que descreve alguma característica de uma população.
EstatísticaÉ uma função das observações amostrais, que não depende de parâmetros desconhecidos.
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Conceitos
EstimaçãoEstudo de métodos para obter medidas representativas da população calculadas a partir da amostra.
Estimador É a função da amostra que corresponde a um parâmetro populacional.
EstimativaÉ o valor do estimador, calculado a partir de uma amostra.
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População: Média = µ
Variância = σ²
Proporção = π
Amostra: Média = estimador de µ
Variância = S² estimador de σ²
Proporção = p estimador de π
X
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Tipos de estimação de ParâmetrosUm parâmetro pode ser estimado de duas formas: por ponto ou por intervalo
Estimativa PontualÉ o valor que o estimador assume para uma determinada amostra.
Estimativa Intervalar
É o intervalo definido pela estimativa pontual mais/menos o erro máximo da estimativa.
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Distribuição Amostral
A distribuição que descreve o padrão de variação dos valores de uma estatística, para diferentes amostras extraídas da população de interesse, é denominada distribuição amostral.
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Amostra Aleatória
As observações x1, x2, ..., xn constituem uma amostra aleatória de tamanho n da população, se cada observação resulta de seleções independentes dos elementos da população e se cada xi tem a mesma distribuição da população da qual foi extraída.
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Distribuição da Média Amostral
A distribuição da média amostral , de uma amostra aleatória de tamanho n extraída de uma população que tem média μ e desvio padrão σ, tem as seguintes características:
Média =
Variância =
Desvio Padrão =
X
xXE
n
XVAR x
22
n
XDP x
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Distribuição da Média Amostral
A distribuição da média amostral , de uma amostra aleatória de tamanho n extraída de uma POPULAÇÃO NORMAL que tem média μ e desvio padrão σ, é NORMAL com média μ e desvio padrão .
X
n
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Teorema Central do Limite
A distribuição da média amostral , de uma amostra aleatória de tamanho n extraída de uma população NÃO NORMAL, com média μ e desvio padrão σ, é APROXIMADAMENTE NORMAL com média μ e desvio padrão .
Este resultado significa que:
é aproximadamente N(0, 1).
n
X
n
XZ
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Estimativas de Médias
Quando calculamos a média de uma amostra, na realidade estamos determinando a estimativa da média populacional.
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σ é o desvio padrão
n.e Z
2
Erro Máximo da Estimativa
Representa a diferença (erro) máxima que será permitida entre a estimativa pontual ( ) e o valor verdadeiro do parâmetro que está sendo estudado (μ).
1 -
n
SZ 2
.
2 2
X
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Erro Cometido na Estimação de μ por , segundo Montgomery, D.C. & Runger, G.C. (1994).
*
XErro
nZXI
2
nZXS 2
X
X
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Intervalo de Confiança
Dado a limitação da estimação pontual, que reside no desconhecimento da magnitude do erro que se está cometendo, surge a idéia da construção de um intervalo que contenha, com um nível de confiança conhecido, o valor verdadeiro do parâmetro. Este intervalo é baseado na distribuição amostral do estimador pontual.
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Intervalo de Confiança
n X(µ, σ²)
População
X
x 96,1 x 96,1xX 96,11
xX 96,12
xkX 96,1
1X
2X
kX
µ
n
n
amostra
amostra
amostra
95% dos intervalosContêm µ
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Relação entre o Coeficiente de Confiança e o Comprimento do Intervalo de Confiança para a Média Populacional μ, segundo Neter; J., Wasserman, W. & Whitmore, G. A (1993).
Comprimento do Intervalo de Confiança
Coeficiente de Confiança
99,9%
95%
90%
80%
70%
60%
50%
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eX
Intervalo de Confiança para Média (µ)Para Variância pop. (σ² ) conhecida
nzX
nzX
..
22
Podemos afirmar com (1 – α )100% de confiança que o intervalo de , contém a média populacional que estamos procurando estimar;
O grau de confiança mais utilizado é 95% e o valor correspondente Zα/2 é 1,96;
O intervalo de confiança é definido pelo grau de confiança e pela variabilidade.
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Intervalo de Confiança para Média (µ)Para Variância pop. (σ² ) conhecida
Exemplo: Para uma amostra de 50 observações de uma população normal com média desconhecida e desvio padrão σ = 6, seja 20,5 a média amostral . Construir um intervalo de 95% de confiança para a média populacional.
X
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Intervalo de Confiança para Média (µ)Para Variância pop. (σ² ) conhecida
= 20,5; n = 50; σ = 6
O resultado obtido [18,84; 22,16] é um intervalo de confiança de 95% de confiança para a média populacional μ, calculado com base na amostra observada.
16,22;84,1850
696,15,20;
50
696,15,20
X
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Intervalo de Confiança para Média (µ)Para Variância pop. (σ² ) desconhecida
Se x1, x2, ..., xn é uma amostra aleatória de uma população normal com média μ e desvio padrão σ, então a distribuição de
é denominada distribuição t de Student com n – 1 graus de liberdade
nS
Xt
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Intervalo de Confiança para Média (µ)Para Variância pop. (σ² ) desconhecida
n
StX
n
StX nn ..
2;12;1
( n ≤ 30) Neste caso precisa-se calcular a
estimativa S (desvio padrão amostral) a partir dos dados;
O coeficiente t segue a distribuição "t" de Student, no caso com (n – 1) graus de liberdade.
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Intervalo de Confiança para Média (µ)Para Variância pop. (σ² ) desconhecida
Colete uma amostra de tamanho n ≤ 30 da população de interesse;
Calcule os valores de e S;Escolha o valor do coeficiente de confiança 1 – α ;
Determine os valores de tα/2; n – 1 a partir da tabela da distribuição t de Student;
Calcule os limites do intervalo de confiança.
X
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Intervalo de Confiança para Média (µ)Para Variância pop. (σ² ) desconhecida
Exemplo: Uma amostra de tamanho 9, extraída de uma população normal acusa = 1,0 e S = 0,264. Construir intervalos de 98% e 95% de confiança para média populacional.
X
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Intervalo de Confiança para Média (µ)Para Variância pop. (σ² ) desconhecida
Para 1 – α = 98% α = 0,02; α/2 = 0,01 graus de liberdade = 9 – 1 = 8.
Intervalo:
[1 2,896(0,264/3)] [0,745; 1,255]
nStX 8;01,0
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Intervalo de Confiança para Média (µ)Para Variância pop. (σ² ) desconhecida
Para 1 – α = 95% α = 0,05; α/2 = 0,025 graus de liberdade = 9 – 1 = 8.
Intervalo:
[1 2,306(0,264/3)] [0,797; 1,203].Note que, aumentando o nível de confiança, o tamanho do intervalo também aumenta.
nStX 8;025,0
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Tamanho da Amostra para Estimar a Média
Para se ter 100(1 – α )% de confiança de que o erro de estimação seja inferior a um valor predeterminado e, o tamanho da amostra necessário é:
X
22
e
Zn
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Etapas para determinação do tamanho da amostra necessária para estimação da média populacional μ
Especificar o coeficiente de confiança 1 – α;
Obter uma estimativa preliminar do desvio padrão σ;
Especificar o erro máximo e permitido na estimação;
Obter o valor de Zα/2 da distribuição normal;
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24686,245)5,0(
16)96,1(2
2
nn
Exemplo: Suponha que desejamos estimar uma média populacional com erro amostral 0,5 e probabilidade de confiança 0,95. Como 2 (variância populacional) não é conhecida, foi retirada uma amostra de 10 observações da população para nos dar uma ideia sobre valor de 2, obteve-se S2 = 16. Determine o tamanho da amostra necessário para atender estas especificações.
Tamanho da Amostra para Estimar a Média
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Estimativa de Proporções
Suponha que há interesse na proporção de elementos da população que possuem alguma característica de interesse (p).
Se o tamanho da amostra (n) for suficientemente grande, é possível fazer mensurações para: Intervalo de Confiança; Teste de Hipótese.
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Intervalo de Confiança para p
n
)p̂1(p̂p̂p
n
)p̂1(p̂p̂ zz
22
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Intervalo de Confiança para p
Colete uma amostra de tamanho n da população de interesse;
Determine o valor de y;Onde y = nº de elementos na amostra que possuem a característica de interesse;
Calcule ;Escolha o valor do coeficiente de confiança 1 – α ;Determine os valores de Zα/2 a partir da distribuição
normal; Calcule os limites do intervalo de confiança.
n
yp̂
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Intervalo de Confiança para p
Exemplo: Entrevistam em uma cidade 1.500 pessoas em idade de trabalho, e constata-se que 145 estão desempregadas.
1) Estimar a taxa de desempregado com base nos dados,
2) Estabelecer um intervalo de 95% de confiança para a taxa populacional.
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Intervalo de Confiança para p
1)
2) α = 0,05; α/2 = 0,025; Z0,025 = 1,96.
= [0,097 0,0149] = [0,082; 0,112]
= [8,2%; 11,2%].Assim um intervalo de confiança a 95% para p (proporção de pessoas desempregadas na população) é dado por (0,082; 0,112).
%7,9097,01500
145p̂
1500)097,01(097,096,1097,0
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2
2
2
e
p1pn Z )(
Tamanho da Amostra para Estimar p
n
p1pe z 2
)(
Par que seja possível ter 100(1 – α)% de confiança que o erro de estimação é inferior a um valor predeterminado e, o tamanho da amostra necessário é:
onde erro máximo da estimativa é dado a partir de,
pp ˆ
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Etapas para determinação do tamanho da amostra necessária para estimação da proporção p
• Especificar o coeficiente de confiança 1 – α;
• Obter uma estimativa preliminar da proporção p;
• Especificar o erro máximo e permitido na estimação;
• Obter o valor de Zα/2 da tabela normal
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Estimativa preliminar da proporção p
Dados históricos sobre a população de interesse;
Resultados obtidos em estudos similares ao que está sendo realizado;
Extração de uma amostra-piloto;
Utilizar p = 0,5 (atitude conservadora), valor que corresponde a um máximo para n.
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Intervalo de Confiança no MinitabVariância pop. (σ²) conhecida
Digite sua amostra em uma coluna, clique em Stat / Basic Statistic / 1_Sample Z...
Escolha “Confidence Interval”. Em “Level” digite o coeficiente de confiança. Em “Sigma” digite o valor do desvio padrão populacional. Se desejar gráficos clique em “Graphs...”, clique em OK.
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Intervalo de Confiança no MinitabVariância pop. (σ²) desconhecida
Digite sua amostra em uma coluna, clique em Stat / Basic Statistic / 1_Sample t...
Escolha “Confidence Interval”. Em “Level” digite o coeficiente de confiança. Se desejar gráficos clique em “Graphs...”, clique em OK.
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Teste de hipótese
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Teste de hipóteses
Idéia básica: procurar condições que garantam que os resultados de experimentos possam ser generalizados além da situação experimental
O teste de hipóteses consiste na comparação de duas hipóteses, chamadas Hipótese nula e Hipótese alternativa.
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Teste de hipóteses
A comparação de duas hipóteses é feita baseada
em evidências experimentais (amostras), sujeitas a
erros amostrais e/ou erros não-amostrais.
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Teste de hipóteses
• Hipótese Nula (): É a hipótese a ser testada.
No problema de comparação de dois tratamentos é usual fixar como hipótese de interesse a inexistência de diferença entre os dois tratamentos comparados.
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Teste de hipóteses
• Hipótese Alternativa (): A hipótese nula deve ser comparada com uma hipótese alternativa.
Para cada situação existem hipóteses alternativas adequadas.
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Teste de Hipóteses
• Exemplo:
Fischl et al. (1987) publicaram o primeiro relato de um ensaio clínico que comprovou a eficácia de zidovudina (AZT) para prolongar a vida de pacientes com AIDS. Os dados centrais do trabalho estão na Tabela a seguir.
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Teste de Hipóteses
GrupoSituação
TotalVivo Morto
AZT 144 1 145
Placebo 121 16 137
Total 265 17 282
Tabela: Número de sobreviventes tratados com AZT ou placebo
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Teste de Hipóteses
A análise dos dados da tabela consiste basicamente na comparação de duas proporções. A proporção dos que estavam vivos depois de 24 semanas de tratamento foi de 144/145 = 0,993 entre os pacientes que receberam o AZT, enquanto que para o grupo placebo foi de 121/137 = 0,883.
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Teste de Hipóteses
Será que o AZT de fato uma droga efetiva para prolongar a vida de pessoas com AIDS?
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Teste de Hipóteses
As hipóteses a serem testadas neste exemplo são: Hipótese nula:
Ou seja, a proporção de pacientes com AIDS que tiveram sobrevida é igual para os grupos controle e tratamento
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Teste de Hipóteses
Onde e são respectivamente as probabilidades de se observar a resposta de interesse entre os pacientes de grupo controle e os do grupo tratamento.
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Teste de Hipóteses
Podemos ter como hipótese alternativa que a proporção de pacientes no grupo tratamento seja superior à do grupo controle.
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Teste de Hipóteses
Podemos ter como hipótese alternativa que a proporção de pacientes no grupo tratamento seja inferior à do grupo controle.
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Teste de Hipóteses
Ou ainda, a hipótese alternativa que a proporção de pacientes no grupo tratamento seja diferente à do grupo controle.
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Critérios de decisão
• Decididas as hipóteses a serem testadas, o próximo passo é construir um critério baseado no qual a hipótese será julgada.
• O critério de decisão é baseado na estatística de teste.
• De uma forma bem genérica e intuitiva podemos dizer que a estatística do teste mede a discrepância entre o que foi observado na amostra e o que seria esperado se a hipótese nula fosse verdadeira.
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Critérios de decisão
• Uma grande distância medida pela distribuição de probabilidade é indicação de que não é verdadeira, devendo portanto ser rejeitada.
• Rejeita-se a hipótese nula se o valor da estatística do teste é “grande”. Esse valor deve portanto ser comparado a alguma distribuição de probabilidade que depende de cada caso, como veremos mais a diante.
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Erros na conclusão do teste de hipóteses
Por causa das flutuações amostrais, ao comparar duas hipóteses e tomar uma decisão, pode-se tomar a decisão errada.
Dois tipos de erro: Erro Tipo I (α): Rejeitar a hipótese nula quando na realidade ela é verdadeira. Erro Tipo II (): Não rejeitar a hipótese nula quando na realidade ela é falsa.
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Erros na conclusão do teste de hipóteses
Realidade (na população)
H0 é verdadeira
H0 é falsa
Conclusão do Teste
(ação baseada na amostra)
Aceitar H0 correto βErro Tipo II
Rejeitar H0 αErro Tipo I
correto
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p-valor
É a probabilidade de se observar um resultado tão ou mais extremo que o da amostra, supondo que a hipótese nula seja verdadeira:
p = P(Z ≥ z | H0)
Note que o valor p é calculado com base na amostra, enquanto que é o maior valor p que leva à rejeição da hipótese nula.
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Teste de Hipóteses Bicaudal
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Teste de Hipóteses monocaudal
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Passos para a Construção de um Teste de Hipóteses
Passo 1. Fixe qual a hipótese H0 a ser testada e qual a hipótese alternativa H1;
Passo 2. Use a teoria estatística e as informações disponíveis para decidir qual estatística (estimador) será usada para testar a hipótese H0. Obter as propriedades dessa estatística (distribuição, média, desvio padrão)
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Passos para a Construção de um Teste de Hipóteses
Passo 3. Fixe a probabilidade α de cometer o erro tipo I e use este valor para construir a região crítica (regra de decisão);
Passo 4. Use as observações da amostra para calcular o valor da estatística de teste;
Passo 5. Se o valor da estatística calculado com os dados da amostra não pertencer à região crítica, não rejeite H0 ; caso contrário, rejeite H0.
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Teste de Hipótese para Média em Populações Normais
Para as Hipóteses (2 é conhecido):
vs (a) H1: > 0 (0 é o valor especificado)
H0: = 0 vs (b) H1: < 0
vs (c) H1: 0
Estatística de Teste:
n
XZ
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Regra de Decisão:
a)Rejeitamos H0 se
b)Rejeitamos H0 se
c)Rejeitamos H0 se ou
nzX
)(0
nzX
)(0
nzX
)2/(0 n
zX )2/(0
Teste de Hipótese para Média em Populações Normais
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Teste de Hipótese para Média em Populações Normais
5,37X
Exemplo: Considere que desejamos testar as hipóteses abaixo com respeito a uma média populacional . H0 : = 40
HA : ≠ 40Supondo que a população seja normalmente distribuída com variância 2 = 9 e que para uma amostra de tamanho 25 obteve-se uma média igual a 37,5. Realize um teste, ao nível de 10% de significância para essas hipóteses.
),(~ 2 nNX
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984,4025
364,140 seou
016,3925
364,140 se Rejeito 0
X
XH
Teste bicaudal;Decisão: Rejeito H0 Usando o valor p = 0,00001 rejeitamos H0;Conclusão: Ao nível de significância de 0,10 rejeitamos a hipótese de que a média é igual a 40, ou seja, aceitamos a hipótese alternativa.
Teste de Hipótese para Média em Populações Normais
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Teste de Hipóteses no Minitab Digite sua amostra em uma coluna, Clique em Stat /
Basic Statistic / Store Discriptive Statistics . Escolha as opções que você deseja, clique em OK.
Novamente clique em Stat / Basic Statistic / 1_Sample Z.
Escolha “Test Mean” digite a média. Em “Alternative” escolha a opção unicaudal
inferior“less equal”, bicaudal“not equal”e unicaudal superior“greater than”
Em “Sigma” digite desvio padrão da população, clique em OK.
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![Page 82: Estatística Aplica à Educação Físcia Profa. Dra. Maria Ivanilde S. Araújo miaraujo@ufam.edu.br](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1856/html5/thumbnails/82.jpg)
Teste de Hipótese para Média em Populações Normais
Para as Hipóteses (2 é desconhecido):
vs (a) HA: > 0 (0 é um valor especificado)
H0: = 0 vs (b) HA: < 0
vs (c) HA: 0
Estatística de Teste:
n
SX
TSdodesconheci
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Regra de Decisão:
a)Rejeitamos H0 se
b)Rejeitamos H0 se
c)Rejeitamos H0 se ou
n
StX n );1(0
n
StX n );1(0
n
StX n );1(0
n
StX n );1(0
Teste de Hipótese para Média em Populações Normais
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Exemplo: Um fabricante de baterias declarou que a capacidade média de um certo tipo de bateria que sua empresa produz é de pelo menos 140 amperes por hora. Um órgão independente de proteção ao consumidor deseja testar a credibilidade da declaração do fabricante e mede a capacidade de uma amostra aleatória de 20 baterias, de um lote produzido recentemente. Os resultados em amperes/hora, são os seguintes:
137,4 140,0 138,8 139,1 144,4 139,2 141,8 137,3 133,5 138,2
141,1 139,7 136,7 136,3 135,6 138,0 140,9 140,6 136,7 134,1
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H0: = 140 n = 20 = 0,05
HA: < 140 S2= 7,0706 S = 2,66
Decisão: rejeita H0
Conclusão: há evidências que levam a crer que a declaração do fabricante está superestimada e o órgão de proteção ao consumidor deveria dar início a uma ação corretiva contra a firma.
138,47X
138,9720
2,66729,1140 se Rejeito 0 XH
Teste de Hipótese para Média em Populações Normais
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Teste de Hipótese com grandes amostras para uma Proporção populacional
Para as Hipóteses
vs (a) HA: p > p0 (p0 é um valor especificado)
H0: p = p0 vs (b) HA: p < p0
vs (c) HA: p p0
Se n é grande
Estatística de Teste:n
p1p
ppZ
00
00
)(
ˆ
n
p1ppNormalp
)(,ˆ
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Regra de Decisão:
a)Rejeitamos H0 se Z0 z()
b)Rejeitamos H0 se Z0 -z()
c)Rejeitamos H0 se Z0 z(/2) ou Z0 -z(/2)
Teste de Hipótese com grandes amostras para uma Proporção populacional
![Page 88: Estatística Aplica à Educação Físcia Profa. Dra. Maria Ivanilde S. Araújo miaraujo@ufam.edu.br](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1856/html5/thumbnails/88.jpg)
Exemplo: Um fabricante garante que 90% dos equipamentos que fornece a uma fábrica estão de acordo com as especificações exigidas. O exame de uma amostra de 200 peças desse equipamento revelou 25 defeituosas. Teste a afirmativa do fabricante, nos níveis de 5% e 1%.
p = proporção de equipamentos que estão de acordo com as especificações exigidas.
H0: p = 0,9
HA: p < 0,9
= 0,05 e = 0,01 p0 = 0,90 n = 200
880200
251p ,ˆ
Teste de Hipótese com grandes amostras para uma Proporção populacional
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Como a amostra é igual (n = 200), vale a aproximação normal
Rej. H0 (90% dos equip. de acordo c/ especf.) se Z0 -z()Como –0,94 > -1,96 e –0,94 > -2,57
Decisão: Não rejeitamos H0 Conclusão: Aos níveis de significância de 5% e 1% não há evidências de que os equipamentos estejam fora das especificações exigidas.
94,0
2000,9)0,9(1
0,90,880
Z
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