estatística descritiva profa denise duarte. medidas de posição 2 máximo (max):máximo (max): a...
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Estatística Descritiva
Profa Denise Duarte
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Medidas de PosiçãoMedidas de Posição
2
•Máximo (max):Máximo (max): a maior observação•Mínimo (min):Mínimo (min): a menor observação•Moda (mo):Moda (mo): é o valor (ou atributo) que ocorre com maior freqüência.
DadosDados: : 4, 5, 4, 6, 5, 8, 4
mo = 4max = 8 min = 4
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3
n
x
nxxxxx
n
ii
n
1321 ...
•MédiaMédia::
DadosDados:: 2, 5, 3, 7, 8
55
87352 x
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4
• MMediana:ediana:A mediana é o valor da variável que ocupa a posição central de um conjunto de n dados ordenados.
2
Posição da mediana: n+1
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5
Exemplos:Exemplos:Dados: Dados: 2, 6, 3, 7, 8
Dados ordenados: 2 3 6 7 8 n n == 55 (ímpar)(ímpar)
Posição da Mediana 5+1 = 3
2
Md = (4 + 6) / 2 = 5
Dados: Dados: 4, 8, 2, 1, 9, 6 nn == 66 (par) (par)Dados ordenados: 1 2 4 6 8 9
Md
6+1 = 3,52
Md=6
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O percentil de ordem p 100 (0 < p < 1), em um conjunto de dados de tamanho n, é o valor da variável que ocupa a posição
p (n + 1) do conjunto de dados ordenados.
6
PercentisPercentis::
percentil 50 = mediana ou segundo quartil (Md)percentil 25 = primeiro quartil (Q1)percentil 75 = terceiro quartil (Q3)percentil 10 = primeiro decil
Casos Casos pparticularesarticulares::
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7
Md = 3,05
Q1 = 2,05
Q3 = 4,9
Md = 5,3 Q1 = 1,7 Q3 = 12,9
Dados:Dados: 1,9 2,0 2,1 2,5 3,0 3,1 3,3 3,7 6,1 7,7
nn=10=10
Posição de Md: 0,5(n+1)= 0,511= 5,5
Dados:Dados: 0,9 1,0 1,7 2,9 3,1 5,3 5,5 12,2 12,9 14,0 33,6
nn=11=11
Posição de Q1: 0,25 (11) = 2,75Posição de Q3: 0,75 (11) = 8,25
Md = (3 + 3,1)/2 = 3,05 Q1=( 2+2,1)/2=2,05 Q3=(3,7+6,1)/2=4,9
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Medidas de Dispersão
Medidas de dispersão, ou medidas devariabilidade, são uma indicação de como os dados estão espalhados em torno do centro.As principais medidas de dispersão são:1. A amplitude2. Interquartis3. Desvio médio4. Variância5. Desvio-padrão6. Coeficiente de variação
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9
Grupo 1: Grupo 1: 3,4,5,6,73,4,5,6,7
Grupo 2: 1, 3, 5, Grupo 2: 1, 3, 5, 7, 97, 9
Grupo 3: Grupo 3: 5,5,5,5,55,5,5,5,5
Exemplo Exemplo 22:: Considere as notas de um teste de 3 grupos de alunos
GG 11
* * * * *
GG 22
* * * * *
GG 33
*****
0 105
e md1= md2= md3 = 5Temos: x1 = x2 = x3 = 5
_ _ _ _ _ _
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10
Medidas de DispersãoMedidas de DispersãoFinalidade:Finalidade: encontrar um valor que resuma a variabilidade de um conjunto de dados
•Amplitude (Amplitude (AA):):
Para os grupos anteriores, temos:Grupo 1, A = 4Grupo 2, A = 8Grupo 3, A = 0
A = máx - min
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1. Amplitude É a diferença entre a maior e a menor medidadentro de um conjunto de dados. É uma medida rude da dispersão, pois leva em conta apenas o menor e o maior dos dados: geralmente a estatística amplitude subestima o parâmetro amplitude. Portanto, a estatística amplitude é uma estimativa pobre do parâmetro amplitude.
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3. Desvio médio:Pega-se a diferença entre todos os dados emrelação a média e soma-os em módulo, dividindo em seguida pelo número de dados.
–
X i X
M édio Desvion
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2. Interquartis A distância “interquartil” é a diferença entre oprimeiro e o terceiro quartil. Também é muito utilizado a “amplitude oudesvio semi-quartil”, que seria o interquartil
dividido por 2. Lembre-se que num intervalo igual aointerquartil em torno da mediana estão 50% dos dados.
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14
DadosDados: 1,9 2,0 2,1 2,5 3,0 3,1 3,3 3,7 6,1 7,7
Q1 = 2,05 e Q3= 4,9
Q3 - Q1 = 4,9 - 2,05 = 2,85
•Intervalo-InterquartilIntervalo-Interquartil:: É a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil, ou seja, QQ3 - 3 - QQ11..
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5. Desvio-padrão:– É a raiz quadrada da variância.
– Para dados considerados normais, podemos dizer que70%– 95%– 99%
dosdosdos
dadosdadosdados
então dentro do intervalo .X sX 2
sestão no intervaloestão no intervalo X 3
s
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16
n
i
inn
xxn
xxxxxxsVariância1
2222
212
11)()(...)()(
VariânciaPadrãoDesvio s
•Variância:Variância:
•Desvio padrão:Desvio padrão:
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G3: s2 = 0 s = 0
Cálculo para os grupos:
4GG11: s2 =(3-5)2+(4-5)2+ (5-5)2+ (6-5)2+ (7-5)2
GG22: s2 = 10 s = 3,16
s = 1,58 s2 = 10/4= 2,5
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Fórmula alternativa:Fórmula alternativa:
Em G1: Xi2 = 9 + 16 + 25 + 36 +49
= 135
1)(
n
1i
n
XnXS
i22
2
4 S2 = 135 - 5(5)2 = 2,5
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- é uma medida de dispersão relativa- elimina o efeito da magnitude dos dados- exprime a variabilidade em relação à média %100
xsCV
• Coeficiente de Variação Coeficiente de Variação ((CVCV))
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Altura 1,143m 0,063m 5,5%Peso 50 kg 6kg 12%
Média DesvioPadrão
Coef. de Variação
ConclusãoConclusão: Os alunos são, aproximadamente, duas vezes mais dispersos quanto ao peso do que quanto à altura.
Altura e peso de alunosExemplo Exemplo 3:3:
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ConclusãoConclusão: Em relação às médias, as alturas dos adolescentes e dos recém-nascidos apresentam variabilidade quase iguais.
Desviopadrão
Coef. devariaçãoMédia
Recém-nascidos 50 6 12%Adolescentes 160 16 10%
Altura (em cm) de uma amostra de recém-nascidos e de uma amostra de adolescentes
Exemplo Exemplo 4:4:
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Estatística Descritiva –Diferentes tipos de gráficos
Para a estatística descritiva, podemos citaros seguintes gráficos para a apresentaçãodos dados de maneira resumida e elegante:– Dados contínuos: Histograma, Boxplot, Gráficos de dispersão, Gráficos delinha
– Dados discretos: Gráfico de barras, gráfico de pizzas
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Estatística Descritiva –Diferentes tipos de gráficos
Histograma– Para dados contínuos.– Sugestão do no. de caixas: n
Freq
uênc
ia
Histograma (100 dados)40
30
20
10
0-4 -2 0 2 4
Dados
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Estatística Descritiva –Diferentes tipos de gráficos
Boxplot:– Para dados contínuos.– Apresenta os pontos “outliers”
Dad
os
Boxplot5,0
2,5
0,560,0 0,00
-0,70
-2,5
-5,0
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Box plotBox plot
Limite inferior: .Limite superior: .
Variações: menor valor, maior valor
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Estatística Descritiva –Diferentes tipos de gráficos
Gráfico deDispersão– Estudar o comportamento de uma variável em função de outra (portanto, temos que ter 2 variáveis).
500,0
400,0
300,0
200,0
100,0
0,0 20,0 40,0
Idade
60,0 80,0
Tem
po d
e ca
min
hada
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Estatística Descritiva –Diferentes tipos de gráficos
Gráfico deLinha
7,50
7,00
6,50
6,00
EVA T1 EVA T2 EVA T3
Méd
ia
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Gráficode linha com barra de erro8,0
7,5
7,0
6,5
6,0
5,5
5,0
EVA T1 EVA T2 EVA T3
95%
CI
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Estatística Descritiva –Diferentes tipos de gráficos
Gráfico de barras– Para apresentar a freqüência de dados qualitativos
Prop
orçã
o (%
)
Distribuição por Sexo70
60
50
40
30
20
10
0Masculino Feminino
SexoMasculino = 92 indiv.; Feminino = 43 indiv.
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Gráfico de Pizza:– Também para apresentação de freqüências de dados qualitativos.
Distribuição por Sexo (%)
C ategoriaMasculino
31,8 F eminino
68, 2