ESTATÍSTICA – 2º. Semestre de 2011 – profa. Maria Lúcia

Probabilidade condicional

Considere um experimento E e os eventos A e B. A probabilidade de o evento B ocorrer depois da ocorrência de A é chamada probabilidade condicional de B em relação a A, e indica-se por P(B/A).

Exemplo 1. Sendo E o experimento “lançar um dado e observar a face superior” e os eventos

A= sair face maior que 3 ={4,5,6}

B = sair face par={2,4,6}

Temos que P(A)=3/6=1/2 e P(B)=3/6=1/2

Suponha que o dado tenha sido lançado e que tenha ocorrido o evento A. Consequentemente, a face superior no lançamento do dado só pode ter sido um dos valores 4, 5 ou 6. Observe que cada um dos valores tem a mesma chance de ocorrer. Os valores 1, 2 e 3 não podem ter acontecido. Assim, as probabilidades dos valores possíveis ficam:

P(4) =P(5) = P(6)= 1/3

A probabilidade condicional de B em relação a A, P(B/A) é, portanto, igual a P(4)+ P(6)=2/3.

Observe que P(B) = 1/2 e P(B/A) =2/3 .Neste caso, a probabilidade de B ocorrer aumenta de 1/2 para 2/3 se A ocorrer antes de B.

Exemplo 2.

250 alunos cursam o 1o.ano no Departamento de PD de uma faculdade. Destes alunos

150 são homens(H) e 100 são mulheres (M). 110 cursam PD (P) e 140 cursam Análise

de Sistemas (A). A distribuição dos alunos é a seguinte:

Sexo/ Disciplina P A Total

H 70 80 150

M 40 60 100

Total 110 140 250

Um aluno é sorteado ao acaso (vai ganhar uma bolsa). Qual a probabilidade de que

esteja cursando Análise de Sistemas, dado que é homem?

Solução

Considere os eventos :

H – o aluno sorteado é homem

A – o aluno sorteado cursa Análise de Sistemas.

Pelo quadro, vemos que a probabilidade procurada é de 80/150 = 8/15 e

representamos:

P(A/H)=8/15 = 53,3% (probabilidade de que o aluno curse Análise, dado que é

homem.)

Observe que P(A)= 140/250 =14/25=56%

Neste caso, a probabilidade ocorrer o evento A diminui se H ocorrer antes de A.

Para o caso em que a ocorrência de A não modifica a probabilidade de ocorrência de B, dizemos que a probabilidade de ocorrência de B não depende da ocorrência de A. Neste caso, A e B são independentes.

Formalmente, sendo A e B eventos não vazios , A e B são eventos independente se:

P(B/A) = P(B) e P(A/B) = P(A)

Usando a probabilidade condicional podemos obter a fórmula para a probabilidade da intersecção de eventos:

P(A∩B)= P(B/A).P(A)

No caso de A e B independentes, teremos

P(A∩B)= P(B).P(A)

Exercícios

1. Uma rifa composta por 15 números irá definir o ganhador de dois prêmios sorteados um de cada vez. Se uma pessoa adquirir três números, qual a probabilidade de ganhar os dois prêmios?

Solução:

Sendo G1 : ganhar o primeiro prêmio e G2: ganhar o segundo prêmio, temos

P(G1∩G2)=P(G2/G1). P(G1)= 2/14 . 3/15 = 1/7 . 1/5 = 1/35

2. Duas bolas são retiradas, sem reposição, de uma urna que contém duas bolas brancas, três bolas pretas e cinco bolas vermelhas. Determine a probabilidade de que: a) Ambas sejam pretas. Resp: 1/15 b) Ambas sejam vermelhas. Resp: 2/9 c) Ambas sejam da mesma cor. Resp: 14/45 d) Ambas sejam de cores diferentes. Resp: 31/45

3. Resolva o problema anterior considerando retiradas com reposição.

a) Ambas sejam pretas. Resp: 9/100 b) Ambas sejam vermelhas. Resp: 1/4 c) Ambas sejam da mesma cor. Resp: 19/50 d) Ambas sejam de cores diferentes. Resp: 31/50

4. Se P(A) =0,3 e P(B) = 0,5 e P(A∩B) = 0,1, os eventos A e B são independentes? Justifique. Resp: Não, pois....

5. Se P(A U B) = 0,8, P(A) = 0,6 e P(B) =0,5, os eventos A e B são independentes? Justifique. Resp: Sim, pois....

6. No primeiro ano de uma faculdade, 25% dos estudantes são reprovados em Matemática, 15% são reprovados em Estatística e 10% são reprovados em ambas. Um estudante é selecionado ao acaso nesta faculdade. Calcule a probabilidade de que: a) Ele seja reprovado em Matemática, sabendo-se que foi reprovado em

Estatística. Resp: 2/3 b) Ele não foi reprovado em Estatística, sabendo-se que foi reprovado em

Matemática. Resp: 0,6 7. As pesquisas de opinião apontam que 20% da população é constituída por

mulheres que votam no partido X. Sabendo-se que 56% da população são mulheres, qual a probabilidade de que uma mulher selecionada ao acaso na população vote no partido X? Resp:5/14

8. Considere dois eventos independentes A e B, com probabilidades 0,1 e 0,3, respectivamente. Qual a probabilidade de que : a) nenhum dos dois eventos ocorra? Resp: 0,63 b) pelo menos um desses eventos ocorra? Resp: 0,37 c) os dois eventos não ocorram simultaneamente? Resp: 0,97