estadistica

ESTADSTICA

SEMANA 7

ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 7 2

NDICE TEORA DE PROBABILIDADES ........................................................................................................ 3 APRENDIZAJES ESPERADOS ........................................................................................................... 3 INTRODUCCIN ............................................................................................................................. 3 CONCEPTOS BSICOS Y DEFINICIN DE PROBABILIDADES ........................................................... 4

PROBABILIDADES ................................................................................................................... 5 AXIOMTICA DE CONJUNTOS ............................................................................................... 5 PROPIEDADES BSICAS DE LA FUNCIN PROBABILIDAD ...................................................... 6 ESPACIO EQUIPROBABLE ....................................................................................................... 7

COMENTARIO FINAL .................................................................................................................... 14 REFERENCIAS ............................................................................................................................... 15

ESTADSTICA

SEMANA 7


TEORA DE PROBABILIDADES

APRENDIZAJES ESPERADOS Durante esta semana se presentarn las diferentes aplicaciones que puede tener un anlisis de

probabilidades, adems esto se complementar con ejemplos didcticos fciles de entender y

replicar.

INTRODUCCIN

Durante las ltimas semanas hemos podido comprobar que se puede resumir la informacin

correspondiente a los datos de un estudio usando grficos, tablas de frecuencias, medidas

descriptivas. Estos anlisis llevan a conocer el comportamiento de la informacin muestral, por lo

tanto, es sumamente importante cuantificar la cantidad de elementos del espacio muestral, ya

que con esta informacin se obtiene el porcentaje de casos que representa la condicin

seleccionada para el estudio.

Ejemplo: Un profesor debe decidir si modifica o no el nivel de un curso, basndose en las calificaciones obtenidas por dos de cuatro de los alumnos del curso. Si las calificaciones de los

cuatro alumnos fueron 2,5; 3,5; 4,5; 5,5 y suponiendo que el profesor ocupar el promedio de dos

de estos para decidir.

Las preguntas que surgen son:

Cuntas muestras son posibles?

A qu conclusin puede llegar el profesor si decide con los resultados de dos de estos cuatro

alumnos?

La respuesta a la primera interrogante es por el momento 6 posibilidades, que son las siguientes:


Supngase que un alumno, critica al profesor, diciendo: su decisin favorecer a los alumnos de

mejor rendimiento, entonces: cul ser su respuesta?

Mirando las posibles decisiones del profesor, est claro que cada una de estas (bsico, medio o

avanzado) tiene dos de seis posibilidades y, por lo tanto, la crtica del alumno no se fundamenta.

A este nmero 2 de 6 se le define como la probabilidad de que el profesor decida por un curso

de nivel avanzado.

De otra forma: Si a p se le define como esta probabilidad, entonces: p es 2/6 o p es 1/3.

La parte de la estadstica que toma estas decisiones o que cuantifica los posibles errores que se

pueden cometer, sin conocer el valor poblacional, es llamada inferencia estadstica y para

abordarla es imprescindible poseer conocimientos de Teora de Probabilidades.

Por otro lado, al observar los errores, se plantea la siguiente interrogante: Cul es la probabilidad

de que el profesor cometa un error al decir que lo encontrado en la muestra es lo que pasa en la

poblacin?

Mirando los errores absolutos, se tiene cuatro casos en los cuales estos se presentan, es decir, 4

de 6. La probabilidad de que el profesor cometa error es de 4/6 o 2/3. En resumen, si es el

promedio muestral y es el promedio poblacional, la inferencia estadstica, ocupando

probabilidades, busca cuantificar:

CONCEPTOS BSICOS Y DEFINICIN DE PROBABILIDADES El concepto de probabilidades se enmarca frente a un problema o experimento, es as como en el

caso del profesor, el experimento consiste en seleccionar a dos alumnos entre cuatro. Se define el

conjunto de resultados posibles como el espacio muestral del experimento y se denota a travs

de la letra omega, (Pagano, 2011).

Ejemplos:

Experimento 1: Lanzar una moneda = (cara, sello).

Experimento 2: Lanzar un dado = (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Experimento 3: Seleccionar a dos alumnos entre cuatro = {(1,2); (1,3); (1,4); (2,3); (2,4); (3,4)}


Se define como evento o suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral . A continuacin

se tienen algunos eventos o sucesos (A, B, C), entre otros.

Experimento 4: Lanzar una moneda A = (Obtener cara)

Experimento 5: Lanzar un dado B = (Obtener nmero par)

Experimento 6: Seleccionar a dos alumnos entre cuatro C = {Obtener (2,4) o (3,4)}

Nuevamente la pregunta que surge es: cuntos subconjuntos o eventos o sucesos son posibles?

La respuesta se desprende del siguiente teorema:

Respuestas experimentos 4,5 y 6:

PROBABILIDADES

Una funcin P ser una funcin de probabilidades, si esta cumple con los siguientes tres axiomas

(Pagano, 2011).

AXIOMTICA DE CONJUNTOS La axiomtica de un conjunto sirve para mostrar herramientas que permitan establecer relaciones

entre resultados de un experimento. Los smbolos utilizados en esta axiomtica, sean A, B, C

eventos de , son los siguientes (Pagano, 2011).


i. Probabilidad de que A ocurra

ii. Probabilidad de que A NO ocurra

iii. Probabilidad de que A y B ocurran

iv. Probabilidad de que A o B ocurran

v. Probabilidad de que todos ocurran

vi. Probabilidad de que al menos uno ocurra

vii. Probabilidad de que solo C ocurra

viii. Probabilidad de que NO ocurra ninguno

PROPIEDADES BSICAS DE LA FUNCIN PROBABILIDAD

Ejemplo 1: Supngase que en el mantenimiento de un extenso archivo de expedientes mdicos

para efectos de seguro, la probabilidad de que un error de procesamiento ocurra es de 0,10; la

probabilidad de un error de archivo es de 0,09; la probabilidad de un error de recuperacin es de

0,12; la probabilidad de un error de procesamiento as como de archivo es de 0,02; la probabilidad

de un error de procesamiento as como de recuperacin es de 0,03; la probabilidad de un error de

archivo, as como de recuperacin es de 0,03; y la probabilidad de un error de procesamiento,

archivo y recuperacin es de 0,01.

Pregunta: Cul es la probabilidad de que se cometa al menos uno de estos errores?

Se define lo siguiente: P = Error de Procesamiento; A = Error de Archivo; R = Error de

Recuperacin.

Por lo tanto, se tiene:


Graficando (diagrama de Venn):

Solucin:

La forma de solucionar el problema es a partir de:

Luego ocupar:

Y finalmente:

ESPACIO EQUIPROBABLE Se dir que (, P) es un espacio equiprobable, si la funcin de probabilidades P definida en el

espacio , asigna igual probabilidad a todos los resultados del experimento como, por ejemplo, el

espacio muestral del lanzamiento de un dado, tiene asignada una probabilidad de 1/6 a cada uno

de sus eventos y se cumple que la probabilidad de cualquier evento est dada por:

De esta forma, por ahora solo hay que contar el nmero de elementos que tiene un conjunto, es

decir, saber determinar, las posibles maneras que pueden ocurrir en un experimento y cualquier


subconjunto de l. La teora que estudia este problema, es llamada Teora de Conteo (Pagano,

2011).

Ejemplos relacionados con situaciones en las cuales a y b son mutuamente excluyentes. a) De acuerdo a la definicin bsica de probabilidad:

A = sacar un as o un trbol, (total de cartas naipe ingls: 52).

Eventos favorables de A:

A ,A ,A ,A ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,J ,Q ,K b) Por la regla de adicin donde A = extraer un as y B = Extraer un trbol:

Eventos favorables de A:

A ,A ,A ,A Eventos favorables de B:

A ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 , J , Q , K Eventos favorables de A y B:

A

Ejercicios: 1. Una empresa de auditora internacional reconoce que el 70% de las empresas auditadas en

Chile tiene errores en sus activos financieros, el 60% tiene errores en sus pasivos financieros y

el 40% tiene errores en sus activos y en sus pasivos financieros.

Pregunta 1: Si se quiere obtener el porcentaje de empresas sin errores en sus activos, en sus

pasivos o en ambos, qu ejercicio se debe hacer?

Desarrollo:


A = tener errores en los activos financieros. B = tener errores en los pasivos financieros. Por lo tanto, , y

El suceso no tener errores en los activos financieros es , entonces

lo que equivale a un 30%.

El suceso no tener errores en los pasivos financieros es , entonces

lo que equivale a un 40%.

El suceso no tener errores en ambos equivale a no tener errores en los activos financieros y no

tener errores en los pasivos financieros es , si se utilizan las leyes de Morgan:

= 1 P(A B) = 1 [P(A) + P(B) P(A B)] = 1 (0,7 + 0,6 0,4) = 1 0,9 =

0,1 lo que significa un 10% de las empresas no tiene errores en los activos financieros y no

tiene errores en los pasivos financieros.

Pregunta 2: Si utiliza una muestra de 500 empresas, cuntas empresas se espera que no tengan

errores ni en sus activos ni en sus pasivos financieros?

Segn lo anterior se espera que un 10% de las empresas no tengan errores ni en sus activos ni en

sus pasivos financieros. Si tiene una muestra de 500 empresas se puede esperar que

de ellas no tengan errores ni en sus activos ni en sus pasivos financieros.

2. En una muestra de mil personas hay 300 que saben ingls, 100 que saben alemn y 50 ambos

idiomas. Con esta informacin necesitamos saber si los sucesos son independientes o no.

Sea A = saber ingls y B= saber alemn. Desarrollo:

Llamemos A = {saber ingls} y B = {saber alemn}.

Entonces y

Por lo tanto,

Para que los sucesos A y B sean independientes se ha de cumplir que:


P(A B) = P(A) x P(B).

Pero P(A) x P(B) = 0,3 x 0,1 = 0,03 0,05 = P(A B).

Se puede concluir que A y B no son independientes.

3. En un equipo de ftbol, un entrenador tiene las estadsticas de penales lanzados por todos los

jugadores durante la ltima temporada, el mejor lanzador de penales, convierte cuatro de cada

cinco que lanza. Para los prximos tres penales se consideran los siguientes sucesos:

A = {mete solo uno de ellos}, B = {mete dos de los tres} y C = {mete el primero}. Encontrando la probabilidad de los sucesos:

a. A B b. A C c. B C

Desarrollo:

Se define el evento M = {meter un penal}

Entonces y

El suceso A es equivalente a meter el primero y no meter el segundo y no meter el tercero, o bien

no meter el primero y meter el segundo y no meter el tercero, o bien no meter el primero y no

meter el segundo y meter el tercero, que simblicamente se puede escribir as:

Para identificar el orden de los diferentes penales se utiliz un conjunto de subndices; se observa

tambin que cada uno de los sucesos encerrados entre parntesis son incompatibles dos a dos, es

decir, no es posible que ocurra simultneamente meter el primer penal y no los dos siguientes y

no meter los dos primeros y meter el tercero, por ejemplo. Esta ltima observacin lleva a:

Se sabe que si A, B y C son sucesos cualesquiera incompatibles dos a dos, entonces:

Entonces

Para terminar esta parte, el hecho de meter o no un penal no influye para nada en lo que ocurra

en el lanzamiento del siguiente, es decir, meter o no meter el primer penal es independiente de


meter o no meter el segundo y de meter o no meter el tercero. Teniendo en cuenta esto se puede

escribir (1) as:

Como se sabe si A, B y C son sucesos independientes dos a dos, entonces

Con todos los clculos anteriores se ha demostrado que

Ahora se calcular la probabilidad de B, para esto se usar un razonamiento similar al anterior:

El resultado de:

Ahora falta encontrar el resultado para P(C): Meter el primer penal (con el penal segundo y

tercero puede ocurrir cualquier cosa) se puede escribir simblicamente as:

El resultado de:


Ahora se cuenta con cada una de las probabilidades para poder contestar las preguntas planteadas:

a)

Los sucesos A y B son incompatibles.

b)

c)

Observaciones: Para calcular la probabilidad de es necesario calcular P(A) y P(B), pues son

dos sucesos incompatibles y, por tanto, la suma de las probabilidades de los mismos. Sin embargo,

P(C) no hubiera hecho falta, ya que se piden las probabilidades de y de , cuyo clculo

no requiere como se ha visto de P(C) y se hallan de forma similar a como se puede hallar P(A) o

P(B). Obsrvese, adems que A y C no son independientes y, por tanto, no es lcito utilizar la

frmula . Lo mismo se puede decir de B y C.

Otra forma de resolver el problema es a travs de un rbol de decisin, lo que podra resultar mucho ms simple.

a)


b)

c)

Despus de realizar los clculos respectivos se pueden comprobar los resultados.


COMENTARIO FINAL Durante esta semana se aprendieron los conceptos bsicos de la Teora de Probabilidades, por lo

tanto, ya estn en condiciones de resolver problemas de forma grfica aplicando los diagramas de

Venn, otra forma de responder es aplicando el mtodo rboles de decisin, en ambos casos se

deben realizar los clculos correspondientes para obtener el resultado.


REFERENCIAS

Anderson David R., Sweeney Dennis J., Williams Thomas A. (2008). Estadstica para administracin y economa (10 edicin). Cencage Learning

Canavos, George. (1988). Introduccin y estadstica descriptiva. Probabilidad y estadstica. Mxico: McGraw-Hill/Interamericana S. A.

Pagano, Robert R. (2011). Estadstica para las ciencias del comportamiento (9 edicin). Cencage Learning.

PARA REFERENCIAR ESTE DOCUMENTO, CONSIDERE: IACC (2012). Estadstica. Semana 7.

http://www.google.cl/search?hl=es&tbo=p&tbm=bks&q=inauthor:%22David+R.+Anderson%22http://www.google.cl/search?hl=es&tbo=p&tbm=bks&q=inauthor:%22Dennis+J.+Sweeney%22http://www.google.cl/search?hl=es&tbo=p&tbm=bks&q=inauthor:%22Thomas+A.+Williams%22

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