espaço linear subespaço expansªo linear conjunto geradornmartins/elr18191s.pdf · espaço linear...

Espaço linear

Subespaço

Combinação linear

Expansão linear

Conjunto gerador

L(S) C(A) L(A) N (A)

U \ V U + V U � V

Conjunto linearmente independente

Base

Coordenadas

Dimensão

dim (U + V ) = dimU + dimV � dim (U \ V )

Espaços lineares (ou Espaços vectoriais)

De�nição. V ( 6= ;) é um espaço linear (real) se paraquaisquer u; v; w 2 V; para quaisquer �; � 2 R

(a) u+ v 2 V

(b) �u 2 V

(c)

u+ v = v + u:

(d)

u+ (v + w) = (u+ v) + w

(e) Existe um elemento de V designado por 0 tal que

u+ 0 = u

(f) Existe u0 2 V tal que

u+ u0 = 0

A u0 chama-se o simétrico de u e denota-se por �u.

(g)

� (�u) = (��)u

(h)

� (u+ v) = �u+ �v

(i)

(�+ �)u = �u+ �u

(j)

1u = u

Aos elementos de V chamaremos vectores.

Exemplos de espaços lineares (�nitamente gerados)

(i)

Rn = f(x1; :::; xn) : x1; :::; xn 2 Rg

(u1; :::; un) + (v1; :::; vn) = (u1 + v1; :::; un + vn)

�(u1; :::; un) = (�u1; :::; �un) (� 2 R)

(ii)

Mm�n (R) A+B �A (� 2 R)

(iii)

Pn = fa0 + a1t+ :::+ antn : a0; a1; :::; an 2 Rg

(a0 + a1t+ � � �+ antn) + (b0 + b1t+ � � �+ bntn)= a0 + b0 + (a1 + b1) t+ � � �+ (an + bn) tn

� (a0 + a1t+ � � �+ antn) = �a0+(�a1) t+� � �+(�an) tn

Exercício 8 da �cha 3

Seja V um espaço linear real e 0 o seu vector nulo.Mostre que:

(i) Se u+ v = u+ w, então v = w:

(ii) Mostre que o vector nulo 0 2 V é único.

(iii) �0 = 0 para todo o escalar � 2 R:

(iv) 0u = 0 para todo o vector u 2 V:

(v) �(�u) = u para todo o u 2 V:

(vi) Mostre que o simétrico �u de um qualquer vectoru de V é único.

(vii) (� 1)u = �u para todo o u 2 V:

(viii) Se �u = 0, então � = 0 ou u = 0:

(ix) Se u 6= 0 e �u = �u, então � = �:

Exemplos de espaços lineares

(iv)

P = fa0 + a1t+ :::+ asts : a0; a1; :::; as 2 R e s 2 N0g

(v)

ff : D � R! Rg

f; g : D � R! R f + g �f (� 2 R)

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(�f)(x) = �f(x)

Observação. Conjuntos que não são espaços lineares

(i) n(x; y) 2 R2 : x � 0 e y � 0

o

(ii)

V = fa0 + a1t+ :::+ antn : a0; a1; :::; an 2 R e an 6= 0g

tn;�tn + t 2 V mas tn + (�tn + t) = t =2 V

(iii)

U = ff : R! R tais que f(1) = 2g

f1; f2 2 U f1 + f2 =2 U

(f1 + f2) (1) = f1(1) + f2(1) = 2 + 2 = 4 6= 2

De�nição.

V espaço linear. U diz-se subespaço de V se U � V ese U , com as operações de V , fôr um espaço linear.

Teorema.

; 6= U � V; V espaço linear real. U é um subespaço deV se e só se:

(i) para quaisquer u; v 2 U , u+ v 2 U

(ii) para quaisquer � 2 R e u 2 U , �u 2 U

Exemplos de subespaços

(i) de R: f0g e R

(ii) de R3: f(0; 0; 0)g, R3, todas as rectas que passampela origem, todos os planos que passam pela origem.

(iii) de Mn�n (R): as matrizes (reais) triangulares su-periores (n� n)

(iv) de ff : I � R! Rg:

ff : I � R! R tal que f é contínua em Ig

De�nição. Seja A 2Mm�n (R). Chama-se núcleo deA a:

N (A) = fu 2 Rn : Au = 0g :

Teorema. Seja A 2Mm�n (R). Então

N (A) é um subespaço de Rn:

Teorema. Seja A 2Mn�n(R). Então

A é invertível, N (A) = f0g :

Teorema. Seja A 2 Mm�n(R) e seja A0 uma matrizem escada obtida de A. Então

N (A) = N (A0).

Seja V um espaço linear.

De�nição de combinação linear �nita de vectores

Um vector u 2 V diz-se combinação linear �nita deu1; :::; uk 2 V se existirem escalares �1; :::; �k tais que

u = �1u1 + :::+ �kuk =kXi=1

�iui

De�nição de expansão linear de um conjunto �nito Scom S � V e S 6= ;.

Seja k 2 N. Chama-se expansão linear de S = fu1; :::; ukgao conjunto

L(S) = f�1u1 + :::+ �kuk : �1; :::; �k 2 Rg

Convenção: L(?) = f0g

Teorema. Seja S � V; V espaço linear. Então L(S) éo menor subespaço de V que contém S.

Observação. Seja S � V; S 6= ;; V espaço linear.Então são equivalentes as seguintes a�rmações.

(i) L(S) é o subespaço gerado por S

(ii) S gera L(S)

(iii) S é um conjunto gerador de L(S)

Exemplos

(i)R2 = f(x; y) 2 R2 : x; y 2 Rg = L (f(1; 0); (0; 1)g)

(ii) L (f(1; 2)g) � R2

(iii) L (f(1;�1; 1); (1; 2; 2)g) � R3

(iv) L (f(1;�4; 0); (0; 3; 1)g) � R3

Exemplos

(v)M2�2 (R) =("

a bc d

#: a; b; c; d 2 R

)=

= L

("1 00 0

#;

"0 10 0

#;

"0 01 0

#;

"0 00 1

#)!("

1 00 0

#;

"0 10 0

#;

"0 01 0

#;

"0 00 1

#)gera M2�2 (R)

(vi) L ("

�1 00 1

#;

"0 11 0

#)!�M2�2 (R)

(vii)Pn = fa0 + a1t+ :::+ antn : a0; a1; :::; an 2 Rg =

= L�f1; t; t2; :::; tng

�(viii) L

�n1;�t+ t2

o�� P2

(ix)P = fa0 + a1t+ :::+ asts : a0; a1; :::; as 2 R e s 2 N0g =

= L�f1; t; t2; :::g

�

Teorema. Sejam S � T � V; S 6= ;; V espaço linear.Então

L(S) = V ) L(T ) = V

Teorema. Sejam ; 6= S1; S2 � V; V espaço linear.Então

S1 � L(S2) e S2 � L(S1) , L(S1) = L(S2)

S1 � L(S2) e S2 � L(S1) , L(S1) = L(S2)

Exemplo

L (f(1;�4; 0); (0; 3; 1)g) = L (f(1;�1; 1); (1; 2; 2)g)

(1;�4; 0) = �(1; 2; 2) + 2(1;�1; 1)(0; 3; 1) = (1; 2; 2)� (1;�1; 1)264 1 0�4 30 1

375 =264 1 12 �12 1

375 " �1 12 �1

#

(1;�1; 1) = (1;�4; 0) + (0; 3; 1)(1; 2; 2) = (1;�4; 0) + 2(0; 3; 1)264 1 0�4 30 1

375 " 1 12 1

#=

264 1 12 �12 1

375"1 12 1

#=

"�1 12 �1

#�1

De�nição. Seja A 2Mm�n (R) :

(i) Chama-se espaço das linhas de A (L(A) ) ao sube-spaço de Rn gerado pelas linhas de A.

(ii) Chama-se espaço das colunas deA (C(A)) ao sube-spaço de Rm gerado pelas colunas de A

Observação. Atendendo a ter-se

u1

264 a11...

am1

375+:::+un264 a1n

...amn

375 =264 a11 � � � a1n

... � � � ...am1 � � � amn

375264 u1...un

375pode escrever-se

C(A) = fb 2 Rm : Au = b para algum u 2 Rng .

Teorema. Seja A 2Mm�n(R). Tem-se

(i) C(A) é um subespaço de Rm

(ii) L(A) e N (A) são subespaços de Rn.

(iii) C(A) = L(AT )

(iv) L(A) \N (A) = f0g.


L(A) = L(A0)

Observação. Seja A 2 Mm�n(R) e seja A0 uma ma-triz em escada obtida de A. Em geral tem-se

C(A) 6= C(A0)

Exemplos

A =

"00

#B =

264 1 �3 10 0 70 0 0

375C(A) = f(0; 0)g L(A) = f0g

C(B) = L (f(1; 0; 0) ; (1; 7; 0)g)

L(B) = L (f(1;�3; 1) ; (0; 0; 7)g)

C =

264 �1 22 �4�2 4

375 �264 �1 20 00 0

375 D =

"2 00 �1

#

C(C) = L (f(�1; 2;�2)g)

L(C) = L (f(�1; 2)g)

C(D) = L(D) = L (f(2; 0) ; (0;�1)g) = R2

Observação.

Em Rn, L(S) é escrita na forma N (A) através da igual-dade carA = car

hA j B

i.

Exemplo. V = L (f(1; 1;�1); (1; 2; 1)g).

Seja (x; y; z) 2 V . Então existem s; t 2 R tais que

(x; y; z) = s(1; 1;�1) + t(1; 2; 1)ou seja, é possível o sistema correspondente à matriz au-mentada 264 1 1 j x

1 2 j y�1 1 j z

375 .

Como (Gauss)

264 1 1 j x1 2 j y�1 1 j z

375 �:::

264 1 1 j x0 1 j y � x0 0 j 3x� 2y + z

375e

carA = carhA j B

ientão

V = f(x; y; z) 2 R3 : 3x�2y+z = 0g = N�h3 �2 1

i�:

Observação.

Em Rn, N (A) é escrito na forma L(S) através da res-olução do sistema linear homogéneo correspondente.

Exemplos

(i) N�h�2 1

i�=

= f(x; y) 2 R2 : �2x+ y = 0g = L (f(1; 2)g) � R2

(ii) N�h1 1 �2

i�=

= f(x; y; z) 2 R3 : x+y�2z = 0g = L (f(�1; 1; 0); (2; 0; 1)g)

(iii) N�h4 1 �3

i�=

= f(x; y; z) 2 R3 : 4x+y�3z = 0g = L (f(1;�4; 0); (0; 3; 1)g)

Exemplos

(iv)

A =

"00

#N (A) = R

(v)

B =

264 1 �3 10 0 70 0 0

375 N (B) = L (f(3; 1; 0)g)

(vi)

C =

264 �1 22 �4�2 4

375 �264 �1 20 00 0

375 N (C) = L (f(2; 1)g)

(vii)

D =

"2 00 �1

#N (D) = f(0; 0)g

Teorema. U é um subespaço de Rn se e só se existiruma matriz A tal que

U = N (A) .

Exemplo.

U = f(x; y; z) 2 R3 : x+y�2z = 0g = N�h1 1 �2

i�

Observação.

EmMm�n(R), L(S) é escrita na forma "N (A)" atravésda igualdade carA = car

hA j B

i.

Exemplo. V = L

("1 11 2

#;

"1 �1�1 0

#)!.

Seja

"a bc d

#2 V . Então existem s; t 2 R tais que

"a bc d

#= s

"1 11 2

#+ t

"1 �1�1 0

#ou seja, é possível o sistema correspondente à matriz au-mentada 26664

1 1 j a1 �1 j b1 �1 j c2 0 j d

37775 .

Como (Gauss)266641 1 j a1 �1 j b1 �1 j c2 0 j d

37775 �:::266641 1 j a0 �2 j �a+ b0 0 j �b+ c0 0 j �a� b+ d

37775e

carA = carhA j B

ientão

V =

("a bc d

#2M2�2(R) : �b+ c = 0 e � a� b+ d = 0

)=

=

("a bc d

#2M2�2(R) : (a; b; c; d) 2 N

"0 �1 1 0�1 �1 0 1

#!):

Observação.

EmMn�m(R), "N (A)" é escrito na forma L(S) atravésda resolução do sistema linear homogéneo correspondente.

Exemplo

("a bc d

#2M2�2(R) : (a; b; c; d) 2 N

"1 0 0 10 1 �1 0

#!)=

=

("a bc d

#2M2�2(R) : a+ d = 0 e b� c = 0

)=

= L

("�1 00 1

#;

"0 11 0

#)!�M2�2 (R)

Teorema. U é um subespaço deMm�n (R) se e só seexistir uma matriz A tal que

U =n�aij�2Mm�n (R) : (a11; :::; amn) 2 N (A)

o.

Exemplo.

U =

(A =

"a bc d

#2M2�2(R) : trA = 0 e A = AT

)=

=

("a bc d

#2M2�2(R) : a+ d = 0 e b� c = 0

)=

=

("a bc d

#2M2�2(R) : (a; b; c; d) 2 N

"1 0 0 10 1 �1 0

#!)

Observação.

Em Pn, L(S) é escrita na forma "N (A)" através daigualdade carA = car

hA j B

i.

Exemplo. V = L�n1� t; 1 + t2

o�.

Seja a0+ a1t+ a2t2 2 V . Então existem �; � 2 R taisque

a0 + a1t+ a2t2 = � (1� t) + �

�1 + t2

�ou seja, é possível o sistema correspondente à matriz au-mentada 264 1 1 j a0

�1 0 j a10 1 j a2

375 .Como (Gauss)264 1 1 j a0

�1 0 j a10 1 j a2

375 �:::

264 1 1 j a00 1 j a0 + a10 0 j �a0 � a1 + a2

375

e

carA = carhA j B

ientão

V =na0 + a1t+ a2t

2 2 P2 : �a0 � a1 + a2 = 0o=

=na0 + a1t+ a2t

2 2 P2 : (a0; a1; a2) 2 N�h�1 �1 1

i�o.

Observação.

Em Pn, "N (A)" é escrito na forma L(S) através daresolução do sistema linear homogéneo correspondente.

Exemplo

na0 + a1t+ a2t

2 2 P2 : (a0; a1; a2) 2 N�h0 1 1

i�o=

=na0 + a1t+ a2t

2 2 P2 : a1 + a2 = 0o= L

�n1;�t+ t2

o�� P2

Teorema. U é um subespaço de Pn se e só se existiruma matriz A tal que

U = fa0 + a1t+ :::+ antn : (a0; a1; :::; an) 2 N (A)g .

Exemplo.

U =np(t) = a0 + a1t+ a2t

2 2 P2 : p(�1) = p(0)o=

=na0 + a1t+ a2t

2 2 P2 : �a1 + a2 = 0o=

=na0 + a1t+ a2t

2 2 P2 : (a0; a1; a2) 2 N�h0 �1 1

i�o

De�nição. U \ V = fw : w 2 U e w 2 V g.

Teorema. Sejam U e V subespaços de um espaço linearW . Então U \ V é subespaço de W .

Observação. Sejam U1;...,Uk subespaços de um espaçolinear W . Então U1\...\Uk é subespaço de W .

Exemplo

U = f(x; y; z) 2 R3 : x+y�2z = 0g = N�h1 1 �2

i�

V = f(x; y; z) 2 R3 : x�2y = 0g = N�h1 �2 0

i�

U \ V =f(x; y; z) 2 R3 : x+ y� 2z=0 e x� 2y=0g=

=N "

1 1 �21 �2 0

#!=N

"1 1 �20 �3 3

#!=L (f(1; 1; 1)g)

Observação. Em geral, o conjunto U [ V não é umsubespaço.

Exemplo

U = L(f(1; 0)g) e V = L(f(0; 1)g)

U [ V = f(x; y) 2 R2 : xy = 0g

não é um espaço linear :

(1; 0)| {z }2U

+ (0; 1)| {z }2V

= (1; 1) =2 U [ V

Teorema. Se U e V são subespaços de um espaço linearW então U [ V é subespaço de W se e só se U � V

ou V � U:

De�nição. Soma de conjuntos:

U + V = fu+ v : u 2 U e v 2 V g.

Teorema. Sejam U e V subespaços de um espaço linearW . Então

(i) U+V = fu+v : u 2 U e v 2 V g é um subespaçode W

(ii) U+V é o menor subespaço deW que contém U[V

Observação. Sejam U1;...,Uk subespaços de um espaçolinear W . Então U1+...+Uk é subespaço de W .

Exemplo

U = L (f(�1; 1; 2)g), V = L (f(1; 0; 1)g)

U + V =

=L (f(�1; 1; 2)g)+L (f(1; 0; 1)g)=L (f(�1; 1; 2); (1; 0; 1)g)

Observação. Sejam U1 e U2 subespaços de Rn.

(i) Se U1 = L (S1) e U2 = L (S2) então

U1 + U2 = L (S1 [ S2) :

(ii) Se U1 = N (A) e U2 = N (B) então

U1 \ U2 = N AB

!:

Observação. Sejam U1 e U2 subespaços deMm�n (R).


U1 + U2 = L (S1 [ S2) :

(ii) Se

U1 =nA =

�aij�2Mm�n (R) : (a11; :::; amn) 2 N (B)

oe

U2 =nA =

�aij�2Mm�n (R) : (a11; :::; amn) 2 N (C)

oentão

U1\U2 =(�aij�2Mm�n (R) : (a11; :::; amn) 2 N

BC

!):

Observação. Sejam U1 e U2 subespaços de Pn.


U1 + U2 = L (S1 [ S2) :

(ii) Se

U1 = fa0 + a1t+ :::+ antn : (a0; a1; :::; an) 2 N (A)g e

U2 = fa0 + a1t+ :::+ antn : (a0; a1; :::; an) 2 N (B)g

então

U1\U2 =(a0 + a1t+ :::+ ant

n : (a0; a1; :::; an) 2 N AB

!):

De�nição. W é a soma directa dos espaços U e V eescreve-se

W = U � V

se e

W = U + V e U \ V = f0g:

Teorema. Tem-se

W = U � V

se e só se cada w 2W pode ser escrito de modo único

w = u+ v

com u 2 U e v 2 V .

De�nição. W é a soma directa dos espaços V1; :::; Vke escreve-se

W = V1 � :::� Vkse

W = V1 + :::+ Vk e Vr \kXi=1i6=r

Vi = f0g,

para todo o r = 1; :::; k:

Teorema. Tem-se

W = V1 � :::� Vk

se e só se cada w 2W pode ser escrito de modo único

v = w1 + :::+ wk

com wi 2Wi, para todo o i = 1; :::; k.

Exemplos. (i) Seja U o subespaço de Mn�n(R) dasmatrizes triangulares superiores e seja V o subespaçodeMn�n(R) das matrizes triangulares inferiores. En-tão

U + V =Mn�n(R)

U \ V = subespaço das matrizes diagonais

(ii) L(f(1; 0)g)� L(f(0; 1)g) = R2

L(f(1; 1)g)� L(f(1; 2)g) = R2

(iii) L(f(1; 1; 1); (1; 2; 2)g)� L(f(1; 1; 2)g) = R3

(iv) L(f(1; 2; 2); (1; 1; 2)g)+L(f(2; 1; 1); (2; 2; 1)g) =R3

L(f(1; 2; 2); (1; 1; 2)g) \ L(f(2; 1; 1); (2; 2; 1)g)= L(f(�1; 0; 1)g)

De�nição. Sejam V um espaço linear e S = fv1; :::; vkg �V .

(i) S diz-se linearmente dependente se e só se algumdos vectores de S se escrever como combinação lineardos restantes

(ii) S diz-se linearmente independente se e só se nen-hum dos vectores de S se puder escrever como combi-nação linear dos restantes, isto é, se e só a única soluçãodo sistema homogéneo

�1v1 + :::+ �kvk = 0

fôr �1 = ::: = �k = 0.

Observação.

Sejam V = Rn, S � V e A a matriz cujas colunas sãoos vectores de S. Então S é linearmente independentese e só se N (A) = f0g

Teorema.

Sejam S1 e S2 conjuntos �nitos tais que

S1 � S2:

(i) Se S1 é linearmente dependente então S2 é linear-mente dependente.

(ii) Se S2 é linearmente independente então S1 é linear-mente independente.

Observação.

Sejam S1 e S2 conjuntos �nitos tais que

S1 � S2:

(i) Se S1 é linearmente independente então nada se con-clui.

(ii) Se S2 é linearmente dependente então nada se con-clui.

Observação.

(i) Qualquer conjunto que contenha o vector nulo é lin-earmente dependente.

(ii) f0g é linearmente dependente.

(iii) ; é linearmente independente.

(iv) Em R, quaisquer dois vectores são linearmente de-pendentes.

(v) Em R2, dois vectores são linearmente independentesse não forem colineares.

(vi) Em R3, três vectores são linearmente independentesse não forem coplanares.


L(A) = L(A0) e N (A) = N (A0)

Observação. Seja A 2 Mm�n(R) e seja A0 uma ma-triz em escada obtida de A. Em geral tem-se

C(A) 6= C(A0)


(i) as linhas não nulas de A0 são linearmente indepen-dentes

(ii) as colunas de A0 que contêm pivots são linearmenteindependentes e as colunas de A correspondentes tam-bém!

Exemplo. S = f(9; 8; 7); (6; 5; 4); (3; 2; 1)g

A =

264 9 6 38 5 27 4 1

375 �:::

264 9 6 3

0 �13 �230 0 0

375 = A0

S é linearmente dependente

f(9; 8; 7); (6; 5; 4)g é linearmente independente

f(9; 6; 3); (0;�13;�23)g é linearmente independente

f(9; 6; 3); (8; 5; 2); (7; 4; 1)g é linearmente dependente

De�nição. Seja V um espaço linear e seja B � V .Então B diz-se base de V se e só se B gera V , isto é,L(B) = V e B é linearmente independente (LI).

Exemplos.

(i) f1g é a base canónica de R

(ii) f(1; 0); (0; 1)g é a base canónica de R2

(iii) f(1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)g é a base canónica deR3

(iv)( "

1 00 0

#;

"0 10 0

#;

"0 01 0

#;

"0 00 1

# )é a base

canónica deM2�2(R)

(v)n1; t; t2

oé a base canónica de P2

De�nição. Sejam V um espaço linear, B = fv1; :::; vkguma base ordenada de V e u 2 V . As coordenadas deu em B, isto é [u]B ; são os escalares �1; :::; �k tais que

u = �1v1 + :::+ �kvk

e escreve-se [u]B = (�1; :::; �n).

Teorema. Sejam V um espaço linear, B = fv1; :::; vnguma base ordenada de V e u;w 2 V . Então u = w see só se [u]B = [w]B.

Teorema. Sejam V um espaço linear e B = fv1; :::; vng �V . Então B é uma base de V se e só se todo o vectorde V se escrever de modo único como combinação lineardos vectores de B.

Teorema. Qualquer espaço linear V 6= f0g tem pelomenos uma base.

Teorema. Qualquer espaço linear V 6= f0g tem um no

in�nito de bases.

Teorema. Sejam fu1; :::; upg ; fv1; :::; vqg � V com Vespaço linear. Se fu1; :::; upg gera V e fv1; :::; vqg élinearmente independente então p � q.

Teorema. Todas as bases de um espaço linear V 6= f0gtêm o mesmo no de vectores.

De�nição.

A dimensão de um espaço linear V 6= f0g, dimV , é ono de vectores de uma base qualquer de V .

Observação. ; é base de f0g e dimf0g = 0.

De�nição.

Um espaço linear terá dimensão �nita se uma sua basetiver um no �nito de vectores.

Observação.

A dimensão de um espaço linear é o no mínimo de vec-tores constituam um conjunto gerador desse espaço e étambém o no máximo de vectores que constituam umconjunto LI nesse espaço.

Observação. Seja V um espaço linear com dimV = n.Então

(i) Quaisquer m vectores de V , com m > n, são linear-mente dependentes.

(ii) Nenhum conjunto com m vectores de V , em quem < n, pode gerar V .

(iii) Quaisquer n vectores de V linearmente indepen-dentes constituem uma base de V .

(iv) Quaisquer n vectores geradores de V constituemuma base de V .

Exemplos.

(i) f1g é a base canónica de R

dimR = 1

(ii) f(1; 0); (0; 1)g é a base canónica de R2

dimR2 = 2

(iii) f(1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)g é a base canónica deR3

dimR3 = 3

:::

dimRn = n

Exemplos.

a) Seja C o corpo de escalares.

(i) f1g é a base canónica de C, logo dimC = 1

a+ bi = (a+ bi) 1

(ii) f(1; 0) ; (0; 1)g é a base canónica deC2, logo dimC2 =2

(a+ bi; c+ di) = (a+ bi) (1; 0) + (c+ di) (0; 1) .

b) Seja R o corpo de escalares.

(i) f1; ig é a base canónica de C, logo dimC = 2

a+ bi = a1 + bi

(ii) f(1; 0) ; (i; 0) ; (0; 1) ; (0; i)g é a base canónica deC2, logo dimC2 = 4

(a+ bi; c+ di) = a (1; 0) + b (i; 0) + c (0; 1) + d (0; i)

Exemplos.

(i) Base canónica de

M2�3(R) =("

a b cd e f

#: a; b; c; d; e; f 2 R

):

8>>>>>><>>>>>>:

"1 0 00 0 0

#;

"0 1 00 0 0

#;

"0 0 10 0 0

#;

"0 0 01 0 0

#;

"0 0 00 1 0

#;

"0 0 00 0 1

#9>>>>>>=>>>>>>;

dimM2�3(R) = 6

dimMm�n(R) = mn

(ii) Base canónica dePn = fa0 + :::+ antn : a0; :::; an 2 Rg:n1; t; t2; :::; tn

odimPn = n+ 1

(iii) Base canónica de P:n1; t; t2; :::

o. dimP =1

Teorema. Seja S = fu1; :::; ukg � V com V espaçolinear.

(i) Se S é gerador de V então dimV � k.

(ii) Se S é LI então dimV � k.

Teorema. Seja V um espaço linear com dimV < 1 eseja U um subespaço de V . Então

dimU <1 e dimU � dimV .

Teorema. Seja V um espaço linear com dimV < 1 eseja U um subespaço de V com dimU = dimV . Então

U = V .

Teorema. Todos os subespaços de R:

(i) f0g

(ii) R.

Teorema. Todos os subespaços de R2:

(i) f(0; 0)g

(ii) todas as rectas que contêm a origem

(iii) R2.

Teorema. Todos os subespaços de R3:

(i) f(0; 0; 0)g

(ii) todas as rectas que contêm a origem

(iii) todos os planos que contêm a origem

(iv) R3.

Teorema.

Sejam U e V subespaços de dimensão �nita de um espaçolinear. Então

dim (U + V ) = dimU + dimV � dim (U \ V )

Teorema. Seja A 2 Mm�n(R). Seja A0 uma matrizem escada obtida de A. Então

(i) uma base para L(A) será formada pelas linhas nãonulas de A0

(ii) uma base para C(A) será formada pelas colunas deA que correspondem às posições das colunas de A0 quecontêm os pivots.

Teorema. Seja A 2Mm�n(R). Então

carA = dimL(A).


dimL(A) = dim C(A)

e logo

carA = carAT .


nulA = dimN (A)


Rn = L(A)�N (A).

Exemplo.

A =

264 2 1 1 14 2 3 3�6 �3 1 1

375 �:::

264 2 1 1 10 0 1 10 0 0 0

375 = A0f(2; 1; 1; 1); (0; 0; 1; 1)g é uma base de L(A) � R4

f(2; 4;�6); (1; 3; 1)g é uma base de C(A) � R3

dim C(A) = dimL(A) = carA = 2

L(A) = L (f(2; 1; 1; 1); (0; 0; 1; 1)g)C(A) = L (f(2; 4;�6); (1; 3; 1)g)

N (A) = N (A0) = L (f(1;�2; 0; 0); (0; 0;�1; 1)g)

f(1;�2; 0; 0); (0; 0;�1; 1)g é uma base de N (A) � R4

dimN (A) = nulA = 2


(i) as colunas de A geram Rm , carA = m

(ii) as colunas de A são LI , carA = n

(iii) as colunas de A formam uma base de Rm,

, carA = m = n:

Teorema. Seja A 2Mn�n(R). Então

A é invertível , as colunas de A (ou as linhas de A)formam uma base de Rn, tendo-se C(A) = L(A) = Rn

Teorema. Sejam A 2Mm�n(R) e b 2 Rm. Então

(i)

Au = b é impossível, b =2 C(A), carA < car [A j b]

(ii)

Au = b é poss. e indeter., b 2 C(A) e as colunas de A LD

(iii)

Au = b é poss. e deter., b 2 C(A) e as colunas de A LI

espaço linear subespaço expansªo linear conjunto geradornmartins/elr18191s.pdf · espaço linear...

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