errori di misura - alessandra scattarregia · come per gli errori di lettura, anche per gli errori...

© 2010 RCS Libri S.p.A. - Tramontana - Salvatore Passannanti - Carmelo Sbriziolo, Chimica interattiva

La misura di una grandezza fisica, per quantoaccurata, non può mai dare come risultatoun unico valore. Essa è sempre accompagna-

ta da un’imprecisione, più o meno grande, a cui sidà il nome di errore di misura. Per tale motivo il ri-sultato di una misura non può mai essere espresso

da un solo numero ma piuttosto da un intervallo divalori compreso tra un valor minimo ed uno massi-mo. Quanto più piccolo risulta tale intervallo, tan-to minore è l’errore commesso e tanto più precisala misura della grandezza fisica presa in esame.

La scelta dello strumentoPer dare una definizione operativa di una grandezza fisica, oltre a sceglierel’unità e il metodo di misura, è di fondamentale importanza la scelta dellostrumento.

È sempre necessario, infatti, che uno strumento di mi-sura sia adeguato al tipo di misurazione che si vuole ef-fettuare.

Ammettiamo, per esempio, di volere pesare un libro;per eseguire questa misura certamente non sarebbe a-deguato il bilancino dell’orefice, che può pesare al mas-simo oggetti di non oltre 50 g; è più opportuno, invece,usare la bilancia di casa, che può arrivare fino a 5 kg.Analogamente, se vogliamo misurare 700 mL di acqua,anziché usare un cilindro graduato da 10 o da 100 mLne useremo uno da 1 L (1000 mL).Pertanto, una delle caratteristiche di uno strumento dimisura è la portata.

Si definisce portata il valore massimo della grandezza che uno strumento è in grado di misurare.

Ammettiamo ora di volere controllare se il peso di un anello d’oro appena acqui-stato corrisponde a quello dichiarato dal negoziante, per esempio 7,35 g.Se proviamo a pesarlo sulla bilancia di casa, in grado di apprezzare solo i 5 g,noteremo che l’indice si ferma tra la tacca dei 5 e quella dei 10 g; se proviamocon la bilancia del droghiere, in grado di apprezzare anche il grammo, notere-mo che l’indice si ferma tra la tacca dei 7 e quella degli 8 g; se infine pesiamol’anello sul bilancino dell’orefice, in grado di apprezzare anche il centesimo digrammo (0,01 g), allora potremo leggere il valore 7,35, che, a differenza dei va-lori dati dalle precedenti bilance, è un valore attendibile. Quindi uno strumento, ol-tre che dalla portata, è caratterizzato anche dalla sensibilità.

Si definisce sensibilità il valore più piccolo della grandezza che uno strumento è in grado di apprezzare.

1 Recipienti graduati di diverse portate.

2 Errori di misura

1


22 Errori di misura

Incertezza delle misure

Errori di lettura

Pertanto possiamo dire che la bilancia di casaha una portata di 5000 g e una sensibilità di 5g, quella del droghiere ha una portata di 3000g e una sensibilità di 1 g, mentre il bilancinodell’orefice ha una portata di 50 g e una sensi-bilità di 0,01 g.Da quanto detto finora possiamo concludereche prima di eseguire una misurazione è op-portuno che lo strumento scelto abbia la porta-ta e la sensibilità più adeguate al tipo di misurache si deve effettuare. Bisogna tener presente,però, che quanto maggiore è la portata di unostrumento, tanto minore sarà la sua sensibilitàe viceversa.

2 Questa bilancia ha unasensibilità adeguata a ciò che deve pesare.

Per quanto possa essere accurata, la misura di una grandezza è sempre accom-pagnata da una imprecisione più o meno grande, a cui si dà il nome di incer-tezza o errore assoluto di misura. Nelle attività sperimentali l’accuratezzadi una misura è particolarmente importante, in quanto è necessario che i datiscientifici raccolti siano attendibili e quindi universalmente accettati.Nessuna misura, però, per quanto preciso sia lo strumento e accurato il procedi-mento adottato, può fornire il valore esatto di una grandezza. Ogni misura, in-fatti, è sempre condizionata da un certo grado di incertezza.Essa dipende:

dall’accuratezza, che ci indica quanto grande è la corrispondenza tra il valo-re reale della grandezza misurata e quello rilevato dallo strumento;dalla precisione, che ci indica la riproducibilità dei valori ottenuti da unamisurazione. Si dice che una misura è precisa quando ripetute esecuzioni dellastessa danno valori concordanti;dall’abilità dell’operatore, dal quale possono dipendere errori dovuti alla suacapacità di sapere utilizzare gli strumenti e dalla sua sensibilità personale.

Da queste considerazioni si può dedurre che, in generale, quando si effettua unamisura con un opportuno strumento si possono commettere due tipi di errori: glierrori accidentali o casuali e gli errori sistematici.Gli errori accidentali a loro volta si suddividono in errori di lettura o di sensibilitàdello strumento e in errori statistici.Di ciascuna classe di questi errori verrà data una semplice descrizione.

L’errore di lettura o di sensibilità dello strumento è legato a una ben precisacaratteristica costruttiva degli strumenti di misura chiamata soglia di sensibilità.

Per soglia di sensibilità si intende la più piccola differenza della grandezza fisica che lo strumento è in grado di misurare.

Un esempio concreto ci può aiutare a precisare meglio il significato dell’errore dilettura e il modo utilizzato per rappresentarlo.

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3


32 Errori di misura

Supponete di voler misurare la lunghezza l di una matita con un righello la cuisoglia di sensibilità sia pari a 1 cm. Dopo aver posto una estremità della matitain corrispondenza dello zero dello strumento, così come mostrato nella figura 3,

potete osservare che l’altra estre-mità è compresa fra la tacca corri-spondente a 11 cm e quella corri-spondente a 12 cm. Il risultato del-la misura è quindi l’intervallo com-preso tra lmin = 11 cm e lmax = 12cm, la cui ampiezza coincide conla distanza fra due tacche consecu-tive dello strumento, cioè con lasua soglia di sensibilità.

Per convenzione il risultato della misura si esprime mediante due numeri checontengono l’informazione necessaria per risalire all’intervallo di misura. Il pri-mo di questi numeri viene detto valore misurato e coincide con il valore medio de-gli estremi dell’intervallo di misura; il secondo è l’errore assoluto e si calcola facen-do la semidifferenza fra gli estremi dell’intervallo di misura e coincide quindicon la metà della soglia di sensibilità.

Nel caso della misura della lunghezza della matita il valore misurato

è pari a 11,5 cm, mentre l’errore

sarà uguale a 0,5 cm. Il risultato della misurazione, pertanto, è espresso utiliz-zando la notazione seguente:

l = lm

± El = (11,5 ± 0,5) cm

dove il simbolo ± sta a indicare che la lunghezza l è compresa tra (11,5 – 0,5) =11 cm e (11,5 + 0,5) = 12 cm.

È bene precisare che nel caso in cui si usino strumenti con buona risoluzione sipreferisce considerare un intervallo di misura pari al doppio della soglia di sensi-bilità dello strumento; in questo caso l’errore coincide con la misura corrispon-dente alla distanza tra due tacche consecutive.

Se misuriamo invece la lunghezza dellamatita utilizzando un righello millime-trato, come mostrato nella figura 4, il ri-sultato della misura va espresso come:

l = (11,6 ± 0,1) cm

lmax – lminEl= (–––––––––––––––)2

lmin + lmaxlm

= (–––––––––––––––)2

soglia di sensibilità == ampiezza intervallo di misura

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

3 Righello con soglia di sensibilità di 1 cm.

2 · soglia di sensibilità == ampiezza intervallo di misura

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

4 Righello con soglia di sensibilità di 0,1 cm.


42 Errori di misura

L’intervallo di misura della massa di un corpoè compreso tra 1,4 kg e 1,6 kg. Esprimiamo ilrisultato della misura.

• Il valore misurato è: = 1,5 kg

• L’errore è: Em = = 0,1 kg

• La misura della massa del corpo va quindiscritta nel seguente modo:

m = (1,5 ± 0,1) kg

Applicaa. Esprimi il risultato di una misura di volume il cui

intervallo di misura è compreso tra 1,6 e 1,7 L.

b. L’intervallo di misura della lunghezza di untavolo è compreso tra 1,85 e 1,87 m. Esprimi ilrisultato della misura.

1,6 – 1,42

1,6 + 1,42

Errori statisticiGli errori statistici sono originati da un gran numero di cause indipendenti, ingenerale non prevedibili e non controllabili dall’operatore, che influenzano il ri-sultato della singola misura alcune volte per eccesso, altre per difetto.Siamo in presenza di errori statistici o casuali tutte le volte che, ripetendola misura di una grandezza fisica con uno strumento molto sensibile, otteniamorisultati che differiscono tra loro. Un modo molto semplice per evidenziare que-sto tipo di errori è quello di effettuare più volte la misurazione e confrontare ivalori rilevati.

Se, per esempio, dopo aver effettuato più volte la misurazione della lunghezza diun tavolo utilizzando un righello con soglia di sensibilità pari a 0,1 cm si sono ot-tenuti i valori riportati in tabella 1, si può notare che essi differiscono, in genera-le, per quantità che sono maggiori dell’errore di lettura dello strumento.

La causa di questi errori è da indivi-duare nell’impossibilità di ripetere leoperazioni di misura sempre allostesso modo: riportando più volte ilrighello per l’intera lunghezza deltavolo può accadere che esso nonvenga disposto con una orientazioneperfettamente parallela al bordo deltavolo, o che lo zero venga posizio-nato un po’ più avanti o un po’ piùindietro rispetto alla misurazioneprecedente o, infine, che leggiamo ilvalore della misurazione ponendol’occhio in direzioni non sempreperfettamente coincidenti (errore diparallasse).

Come per gli errori di lettura, anche per gli errori accidentali di tipo statisticol’intervallo di misura è compreso fra il valore minimo e il valore massimo dellemisure ottenute. Nel caso in esame, quindi, l’intervallo è compreso fra lmin =133,4 cm e lmax = 133,8 cm.

Come abbiamo visto, gli errori statistici sono dovuti a molteplici cause indipen-denti fra loro il cui effetto complessivo è quello di produrre una serie di misure chesi distribuiscono in modo simmetrico intorno al valore “vero” delle grandezze.

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letturaesatta

letturaerrata

5 Posizione errata (errore diparallasse) e posizione correttaper il rilevamento di una misura.

Misura Lunghezzan° (cm)

1 Valori ottenuti dallamisurazione del tavolo

1 133,42 133,63 133,84 133,65 133,56 133,7

segui l’esempio

4


52 Errori di misura

Osserviamo, infine, che se avessimo misurato la lunghezza del tavolo con un ri-ghello avente una soglia di sensibilità pari a 1 cm, con tutta probabilità, ripeten-do le misure, avremmo ottenuto sempre lo stesso valore. In questo caso, infatti,l’errore di lettura dello strumento, pari a 0,5 cm, risulta maggiore dell’errore sta-tistico, pari a 0,2 cm, che pertanto non riesce a emergere e a influenzare il risul-tato della misura.

Ripetute misure di massa hanno dato i valoririportati in tabella:

Valuta l’errore statistico e individua il risultatodella misura.

• Applicando la regola della media aritmeticapossiamo calcolare il valore medio:

Valore medio =

= 153,6g

• Pertanto l’errore sarà dato dallasemidifferenza dell’intervallo di misura:

Em = = = 0,2 g

• Il risultato della misura della massa sarà:

m = (153,6 ± 0,2) g

ApplicaCalcola l’errore statistico ed esprimi il valore della mi-sura utilizzando i dati rilevati ripetendo più volte la mi-sura del volume di un liquido e riportati in tabella:

153,8 g – 153,4 g————————

2mmax – mmin—————

2

153,4+153,6+153,8+153,6+153,5+153,7

6

1 153,4 g

2 153,6 g

3 153,8 g

4 153,6 g

5 153,5 g

6 153,7 g

1 10,1 mL

2 10,4 mL

3 10,4 mL

4 10,3 mL

Questo valore viene individuato effettuando la media aritmetica delle misure ot-tenute nelle singole prove.

Nel caso in cui la misura di una grandezza presenti errori statistici,assumeremo come valore misurato la media aritmetica delle singole misure.

Applicando questa regola alla misura della lunghezza del tavolo otteniamo:

133,4 + 133,6 + 133,8 + 133,6 + 133,5 + 133,7lm= (–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––) = 133,6 cm

6

L’errore viene calcolato in modo analogo a quanto fatto per l’errore di lettura.Esso è pertanto uguale alla semidifferenza dell’intervallo di misura.Nel nostro caso avremo:

lmax – lmin 133,8 – 133,4E

l= (–––––––––––––––) = (––––––––––––––––––) = 0,2 cm

2 2

Pertanto il risultato della misura sarà:

l = lm

± El = (133,6 ± 0,2) cm

segui l’esempio


62 Errori di misura

Errori sistematici

Errore relativo ed errore percentuale

Gli errori sistematici, al contrario di quelli accidentali, influenzano la misurasolo in un senso, o sempre per eccesso o sempre per difetto. Il risultato di tale er-rore, pertanto, è quello di spostare tutto l’intervallo di misura positivamente onegativamente. Se, per esempio, per un difetto di fabbricazione, una riga risultaleggermente più corta del regolo campione, le misure di lunghezza effettuatecon tale strumento saranno più grandi del valore effettivo.

Un tipico errore sistematico è l’errore di taratura: esso è dovuto auna cattiva regolazione dello strumento adoperato. Possiamo com-mettere un errore di taratura quando, prima di pesare un oggetto

con una bilancia da cucina, dimentichiamo di verificare chel’indice dello strumento si trovi sullo zero. Se così non fosse,infatti, i valori misurati risulterebbero sempre maggiori o sem-

pre minori di quelli effettivi.Gli errori sistematici possono essere eliminati solo se vengonoriconosciuti. A volte è sufficiente una semplice regolazionedello strumento, in altri casi, invece, è necessario modificaredel tutto l’apparato sperimentale.

0

2

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ZUCCHERO1 kg

6 1 kg di zucchero pesato suquesta bilancia da cucina daràun valore di circa 100 gsuperiore a quello reale.

Gli errori di cui abbiamo parlato fin qui vengono chiamati errori assoluti in quan-to la loro entità non dipende dal valore della grandezza fisica a cui si riferisconoe per questo motivo non danno alcuna indicazione sulla precisione con cui è sta-ta eseguita la misura.Per valutare la precisione della misura, infatti, è necessario confrontare l’erroreassoluto con il valore misurato della grandezza fisica. Se, per esempio, misuran-do la lunghezza di un ponte e quella di una penna commettiamo in entrambi icasi un errore di 1 cm, è evidente che la prima misura è molto più precisa dellaseconda.

Pertanto, si definisce errore relativo Er il rapporto tra l’errore assoluto EG

che si commette nella misura di una grandezza fisica G e il suo valore misurato Gm.

Esso consente di stimare la precisione di una misura e si esprime così:

EG

Er = ––––

Gm

Quanto minore è l’errore relativo, tanto più precisa risulta la misura.

L’errore percentuale, invece, è un modo più comodo e più immediato per e-sprimere la precisione di una misura.Esso rappresenta l’errore assoluto espresso come percentuale del valore misurato.Per ottenere l’errore percentuale è sufficiente moltiplicare per 100 l’errore relativo:

E% = Er· 100

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6


72 Errori di misura

Misurando la lunghezza di un’asta di ferro si èottenuta la misura l = (12,0 ± 0,2) m.Calcoliamo l’errore percentuale commesso nel-la misura.

• Applicando la formula dell’errorepercentuale otteniamo:

E% = Er · 100 = = · 100 =

= 0,017 · 100 = 1,7 %

• Pertanto possiamo affermare che la preci-sione della misura è all’incirca del 2%.

ApplicaMisurando la massa di un libro si ottiene la misuram = (1,3 ± 0,3) kg. Calcola l’errore percentualecommesso nella misura.

0,2 m———12,0 m

EG—Gm

Cifre significativeQuando si esprime il valore di una misura sperimentale occorre sempre tenerconto della sensibilità dello strumento adoperato.Il valore espresso, quindi, dovrà riportare tante cifre quante sono quelle leggibilisulla scala dello strumento.Queste cifre vengono chiamate cifre significative in quanto danno significato allamisura.Se, per esempio, misurando la massa di un oggetto con una bilancia in grado diapprezzare 0,01 g leggiamo il valore 44,25 g diremo che il nostro valore è e-spresso da 4 cifre significative. Usando invece una bilancia con sensibilità1 g leggeremo il valore 44 g, che porta soltanto 2 cifre significative.Possiamo pertanto affermare che:

una misura è tanto più precisa quanto maggiore è il numero di cifresignificative che la esprime, il quale dipende dalla sensibilità dello strumento utilizzato.

Quanto detto comporta un ulteriore chiarimento. Se, per esempio, misurando lalunghezza di una penna con un righello di sensibilità 1 mm rileviamo il valorenetto 11 cm (in quanto l’estremità iniziale coincide esattamente con lo zero equella finale esattamente con la tacca 11 del righello) dobbiamo esprimere il ri-sultato nella forma l = 11,0 cm. In questo modo si mette in evidenza che lo stru-mento usato ha la sensibilità di 1 mm e che nel nostro caso il numero di millime-tri letti è, appunto, 0.Pertanto anche lo 0, dopo la virgola, deve essere considerato una cifra significati-va come le altre.

In una misura di lunghezza calcolando il valo-re medio e l’errore assoluto si ottengono ri-spettivamente lm = 24,532 cm e El = 0,18 cm.Esprimiamo la misura con il corretto numero dicifre significative.

• Per esprimere l’errore con una sola cifrasignificativa, l’errore assoluto El vaarrotondato a 0,2 cm.

• Il valore medio lm va quindi approssimato a 24,5 cm.

Il risultato della misura sarà pertanto:

l = (24,5 ± 0,2) cm

ApplicaIn una misura di massa è stato calcolato un valoremedio uguale a 42,531 e l’errore assoluto è ugualea 0,21 g. Esprimi la massa con il corretto numerodi cifre significative.

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segui l’esempio

segui l’esempio


82 Errori di misura

Alcune regole pratiche potranno risultare utili per determinare il corretto nume-ro di cifre significative che esprimono una misura:

sono cifre significative tutte le cifre diverse da 0;sono cifre significative gli zeri che seguono una cifra diversa da 0;non sono cifre significative gli zeri a sinistra della prima cifra diversa da 0.

Consultando la tabella 2 potrai esercitarti a stabilire il corretto numero di cifresignificative corrispondente a ciascun valore riportato a titolo di esempio.

Le cifre significative nei calcoliSaper scrivere in modo corretto le cifre significative è molto importante soprat-tutto quando si ha a che fare con misure indirette: esse sono il risultato di opera-zioni matematiche, perciò occorre imparare a determinare l’opportuno numerodi cifre significative che devono comparire nei calcoli.

Somma e sottrazioneCome prima cosa è opportuno ricordare che si possono effettuare somme e sot-trazioni solo tra valori espressi nelle stesse unità di misura e che il risultato finalesarà espresso in quella stessa unità di misura.La regola da applicare è la seguente:

il risultato deve contenere lo stesso numero di cifre significative pari a quelle presentate dal termine meno accurato presente nel calcolo.

Per esempio, se vogliamo sommare le misure di massa 345 g + 27,3 g = 372,3 gil risultato deve essere approssimato al numero di cifre significative del terminemeno accurato, che in questo caso è 345.Le cifre significative sono 3, quindi il risultato viene espresso con tre cifre: 372.

Moltiplicazione e divisioneQuando si effettuano moltiplicazioni e divisioni tra numeri decimali, accadespesso che il risultato ottenuto sia espresso da un numero di cifre significative piùelevato di quelle di partenza.Se moltiplichiamo, per esempio, 3,21 · 2,43 otteniamo come risultato il numero7,8003, il che matematicamente è corretto.Tuttavia, quando si ha a che fare con delle misure può sembrare che il risultatofinale sia molto più preciso delle misure di partenza, dal momento che nel nu-mero compaiono un numero maggiore di cifre significative dopo la virgola.Pertanto, anche nel caso della moltiplicazione e della divisione occorrerà appros-simare il risultato delle operazioni perché esso abbia un significato scientifico.La regola da applicare è la seguente:

il risultato deve contenere tante cifre significative quante sono quelledella misura meno accurata, quella cioè che riporta il minornumero di cifre significative.

Per esempio, moltiplichiamo i numeri 1,1330 e 5,1260000 con una calcolatrice;otterremo come risultato il numero 5,80775800000.

Se questi fattori, però, esprimono delle misure, occorre scrivere il risultato sol-tanto con 5 cifre significative, perché 5 sono le cifre significative della misura me-no accurata.

Pertanto il risultato della moltiplicazione sarà 5,8077, mentre le rimanenti cifrenon hanno significato. Si può applicare la stessa regola anche per la divisione.

Numeri Cifren° significative

2 Cifre significative

0,00708 30,0708 30,708 37,08 37,080 4

70,8 37080,0 5


92 Errori di misura

Errori nelle misure indiretteCome abbiamo visto, una misura indiretta si ottiene eseguendo dei calcoli me-diante operazioni matematiche. La densità, per esempio, è una grandezza deri-vata la cui misura si ottiene dal rapporto d = m/V.Poiché i valori di m e V sono ottenuti da misure sperimentali, e come tali sonosoggetti a errori, è necessario valutare in che modo la misura indiretta ne vieneinfluenzata. In altre parole, è opportuno stabilire in che modo gli errori si propa-gano nei calcoli e quindi individuare le regole da applicare per tutte le varie ope-razioni matematiche. Per semplicità di trattazione ci limiteremo al caso in cui legrandezze misurate direttamente siano due e le indicheremo con x e y.

Somma e differenza di grandezzeNel caso in cui la grandezza G rappresenti la somma o la differenza delle gran-dezze x e y, l’errore assoluto associato al valore di G, cioè E

G, sarà uguale alla

somma o alla differenza dell’errore assoluto di x e di y:

EG

= Ex

+ Ey

Prodotto e rapporto di due grandezzeNel caso in cui la grandezza G sia espressa dal prodotto o dal rapporto di duegrandezze x e y, l’errore relativo associato in entrambi i casi è uguale alla sommadegli errori relativi su x e y:

ErG

= Erx

+ Ery

Calcoliamo il valore della massa totale m di u-na certa quantità di riso ottenuta dall’unione didue porzioni le cui masse sono rispettivamen-te m1 = 4,0 ± 0,1 kg e m2 = 3,1 ± 0,1 kg:

• Il valore m della massa è dato dalla sommam = m1 + m2 = 4,0 kg + 3,1 kg = 7,1 kg

• L’errore assoluto sarà dato invece dallasomma dei due errori assoluti:

Em = Em1 + Em2 = 0,1 kg + 0,1 kg = 0,2 kg

• La misura di m sarà, pertanto:m = 7,1 ± 0,2 kg

ApplicaCalcola il volume totale V della quantità di acquaottenuta mescolando insieme due volumi di acquale cui misure sono rispettivamente V1 = 1,7 L ± 0,1e V2 = 3,2 ± 0,1 L. Esprimi il risultato evidenzian-do l’errore assoluto.

Calcoliamo la densità di un corpo di massam = (2,1 ± 0,1) kg e volume V = 1,8 ± 0,2 dm3.

• d = = = 1,2 kg/dm3

• L’errore relativo sul valore d è la sommadegli errori relativi sui valori di m e di V:

Erd = Erm + ErV = + = 0,16

• L’errore assoluto Ed su d può essere

ricavato dalla formula: Erd =

• Pertanto, risolvendo la formula inversa si ha:Ed = Erd · d = 0,16 · 1,2 kg/dm3 = 0,072 kg/dm3

• Poiché la precisione delle misure dirette èespressa soltanto da due cifre significative,anche questo errore deve essere espressoda due cifre significative; pertanto, ilvalore 0,072 kg/dm3 dovrà essereapprossimato a 0,1 kg/dm3;

• La misura di d è dunque:d = (1,2 ± 0,1) kg/dm3

ApplicaLe misure di una stanza a forma rettangolare sonorispettivamente l1 = 3,3 ± 0,1 m e l2 = 3,0 ± 0,2 m.Calcola la misura della superficie della stanza.

Ed—d

0,2——1,8

0,1——2,1

2,1 kg———1,8 dm3

m—V

8

segui l’esempio

segui l’esempio


102 Errori di misura

PROVA A ESERCITARTI1 La scelta dello strumento

1 Qual è il criterio di scelta di uno strumento dimisura?.........................................................................................................

2 Completa inserendo le parole mancanti.

a. La portata di uno strumento indica il valore............................ della grandezza che uno strumentoè in grado di ........................................

b. La sensibilità è il valore più .......................................

della grandezza che uno strumento è in grado di........................................

c. Quanto ............................................... è la portata di unostrumento, tanto .................................................. è la suasensibilità.

d. Un cilindro con una scala graduata da 1 a 10 mLha una portata di .................................................. e unasensibilità di ...................................................

2 Incertezze delle misure

3 Da che cosa dipende l’incertezza di una misura?.........................................................................................................

4 Quali sono i tipi di errori che si possono com-mettere durante una misura?.........................................................................................................

5 In che tipo di errori rientrano gli errori di letturae quelli statistici?.........................................................................................................

6 Completa inserendo le parole mancanti.a. L’accuratezza di una misura indica quanto grande

è la ...................................................................... tra il valore.................................................. della grandezza misuratae quello .................................................. dallo strumento.

b. Si dice che una misura è ..................................................

quando ripetute misurazioni della stessa dannovalori ...................................................

c. La precisione indica la ..................................................

dei valori ottenuti da una ................................................

3 Errori di lettura

7 Che cosa si intende per soglia di sensibilità diuno strumento?

8 Da che cosa dipende l’errore di lettura?

9 Come si esprime il risultato della misura nel casodi errori di lettura?.........................................................................................................


a. Si definisce soglia di sensibilità la più piccola........................................... della grandezza fisica che u-no strumento è in grado di .............................................

b. Il valore di una misura coincide con il valore............................................ degli ............................................

dell’intervallo di misura.

c. L’errore si calcola facendo la ............................................fra gli estremi dell’............................................ di misurae coincide con la ............................................ della so-glia di sensibilità.

4 Errori statistici

11 Da che cosa sono originati gli errori statistici?.........................................................................................................

12 A che cosa è dovuto l’errore di parallasse?.........................................................................................................


a. Quando una misura presenta errori statistici siassume come valore misurato la ...................................

aritmetica delle singole .............................................

b. Quando l’errore di lettura risulta ...................................

dell’errore statistico, quest’ultimo non ......................

il risultato della misura.

14 Misurando ripetutamente la massa di un libro sisono trovati i seguenti valori: 1,26 kg, 1,23 kg,1,26 kg, 1,24 kg, 1,27 kg e 1,24 kg. Calcola:

a. il valore medio della massa del libro;b. l’errore assoluto;c. il risultato della misura evidenziando l’errore statistico.

15 Usando una riga centimetrata per misurare lalunghezza di una scrivania si è trovato il valoredi 173 cm. Prova a scrivere il valore ottenutomettendo in evidenza l’errore statistico.

16 Misurando il tempo impiegato da un corpo a rag-giungere il suolo da una certa altezza con un cro-nometro al ventesimo di secondo si è ottenuto ilvalore di 5,05 s. Prova a scrivere il risultato dellamisura mettendo in evidenza l’errore statistico.


112 Errori di misura PROVA A ESERCITARTI

5 Errori sistematici

17 Qual è la differenza tra errori sistematici ed erro-ri accidentali?.........................................................................................................

18 Come si può correggere l’errore di taratura?.........................................................................................................


a. Gli errori sistematici influenzano la misura sem-pre per ............................................ o sempre per.............................................

b. L’errore di taratura è dovuto a una cattiva ............

................................ dello strumento adoperato.

6 Errore relativo ed errore percentuale

20 Che cosa intendi per errore relativo?.........................................................................................................

21 Perché si utilizza l’errore percentuale?.........................................................................................................


a. L’errore relativo esprime il rapporto tra l’errore.......................................................... che si commette nel-la misura di una grandezza fisica e il suo valore............................................

b. L’errore percentuale rappresenta l’errore espressocome ................................................ del valore misurato.

c. Per ottenere l’errore percentuale basta ...................

............................ per 100 l’errore .........................................

23 Date le seguenti misure di lunghezza:l1 = (16,24 ± 0,05) ml2 = (58 ± 2) mtrova per ciascuna l’errore relativo e percentualee indica quale delle due misure è più precisa.

24 Se un’asta è lunga (156 ± 3) cm, da quale errorerelativo e percentuale è affetta la misura?

25 Misurando ripetutamente il volume di un liquidosi sono trovate le seguenti misure: 1,908 L,1,890 L, 1,920 L, 1,901 L, 1,901 L.

a. Calcola il valore medio delle misure.b. Scrivi il risultato associando alla media dei volu-

mi l’errore assoluto.

26 Misure ripetute della lunghezza di un corridoiohanno dato i seguenti risultati: 7,00 m, 6,93 m,6,98 m, 6,90 m e 6,94 m. Calcola:

a. il valore medio delle misure;b. l’errore assoluto;c. il risultato delle misure associando l’errore assoluto.

7 Cifre significative

27 Che cosa sono le cifre significative?.........................................................................................................

28 Da che cosa dipende il numero delle cifre signifi-cative di una misura?.........................................................................................................

29 Quali sono le regole per determinare il correttonumero di cifre significative di una misura?.........................................................................................................


a. Una misura è tanto più precisa quanto .....................

..................................... è il numero di cifre significati-ve che la esprime.

b. Nella somma e nella sottrazione tra valori e-spressi nelle stesse unità di misura il risultatodeve contenere lo ................................................ nume-ro di cifre significative pari a quelle presentatedal termine meno ................................................ presen-te nel calcolo.

c. Nella moltiplicazione e divisione tra dati numeri-ci di misure nelle stesse unità il risultato devecontenere un numero di cifre significative ...........

.................................... a quelle della misura meno

.................................................

31 Determina per ciascuna delle seguenti misure ilnumero delle cifre significative.

a. 0,341 kg d. 0,0243 mb. 62,202 s e. 2,5640 Lc. 30,00 kg

32 Esprimi le seguenti misure con tre cifre significative.a. 1,5437 kgb. 0,280 sc. 10,031 kmd. 0,000320 L


122 Errori di misura

33 Esegui le addizioni e le sottrazioni tra le seguen-ti misure.

a. 0,00680 km + 0,054 km = ................................................

b. 201 cm + 7,3 cm = ...............................................................

c. 25,0 g + 401,9 g = ...............................................................

d. 75,4 mg + 0,092 mg = ........................................................

e. 107,6 cm – 103 cm = ..........................................................

f. 231,6 mg – 45,28 mg = .....................................................

34 Esegui le moltiplicazioni e le divisioni tra le se-guenti misure.

a. 23,10 kg/9,9 m3 = ................................................................

b. 12 g/6,107 g = .......................................................................

c. 76,8 cm · 0,10 cm = ...........................................................

d. 26,1 m/15,0 s = .....................................................................

e. 1,0 km · 12 km = ..................................................................

f. 12 g · 6,102 g = ...................................................................

35 Le misure relative ai lati di una stanza di formarettangolare sono 5,75 m e 3,1 m. Calcola il pe-rimetro e la superficie della stanza esprimendolicon il corretto numero di cifre significative.

36 La misurazione dei lati del ripiano di un tavoloha dato come risultati l1 = (2,0 ± 0,1) m e l2 = (0,9 ± 0,1) m. Calcola la misura del perime-tro e della superficie e i rispettivi errori assoluti.

8 Errori nelle misure indirette

37 Come si calcola l’errore assoluto associato a unamisura indiretta risultante dalla somma o dalladifferenza?

38 Come si calcola l’errore relativo associato a unamisura indiretta risultante dal prodotto o dalrapporto di due grandezze?

39 Per calcolare il volume di un corpo solido diforma irregolare, il solido è stato immerso in uncilindro graduato contenente acqua e sono statimisurati il volume iniziale e quello finale dopol’immersione. Dati il volume iniziale dell’acquadi 43,5 dm3 ± 0,1 dm3 e quello finale di 50,6dm3 ± 0,1 dm3, calcola:

a. il volume del corpo;b. l’errore assoluto sul volume.

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errori di misura - alessandra scattarregia · come per gli errori di lettura, anche per gli errori...

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