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Problema de muitos corpos
Eric C. AndradeUniversidade de São Paulo @ São Carlos
IFSC 10/06/2016
https://sites.google.com/site/castroeandrade/
O que é?● Comportamento coletivo de muitas partículas;● Dinâmica das partículas pode ser clássica (Newton/Einstein) ou quântica (Schrödinger/Dirac);
● Estado fundamental (órbitas): qual é o estado de menor energia?;
● Excitações e estabilidade do estado fundamental;● Resultados analíticos escassos:
– experimento– modelos (criatividade) – cálculo numérico!
Lema pessoalMais é diferente
“O comportamento coletivo de um sistema de muitas partículas não pode ser entendido por uma extrapolação direta do comportamento de seus constituintes”
Física → Química → Biologia … → → Psicologia →Ciências Sociais
Hierarquia A → B não implica em “B é apenas A aplicado”
P.W. Anderson, Science 177, 393 (1972)
Lema pessoal
Mais é diferente, um resumo
Afirmação: As pessoas ricas são diferentes de nós.
Resposta: Sim, elas têm mais dinheiro…
P.W. Anderson, Science 177, 393 (1972)
Problema de 1 corpo
● Uma partícula num potencial externo
1 mínimo 2 mínimos degenerados
Mínimo?
Partícula parada em Vmin
Oscilações ao redor de Vmin
Problema de 1 corpoAlgoritmo geral de solução: independente de V, condições iniciais, dinâmica …
➢ Encontre o mínimo do potencial externo: Vmin
➢ Se E = Vmin: sem movimento (estado fundamental)➢ Se E > Vmin: pequenas oscilações ao redor do mínimo (excitações) devido à energia cinética
Problema de 2 corpos
● Duas partículas interagentes?Terra e Sol
● Como MS >> MT,
Considere o sol parado
Digressão: forças centrais
● Forças centrais não produzem torque →momento angular conservado órbitas →
planares
Problema de 3 corpos
Sol, Terra e Lua
● Dois problemas de um corpo acoplados. Não há solução geral. ● Complicação extra. Potencial de longo alcance: ● Sabemos que a órbita é estável, contudo. Modelos, aproximações e cálculo numérico.
Problema de um corpo: Terra (Lua) no campo do Sol
Acoplamento do movimento Terra-Lua
Problema de N corpos
● Há esperança de alguma solução?● Certamente, há muitas tentativas…
60's 70's 80's 2015
… …
Exemplo: magnetismo
● Consideramos apenas o grau de liberdade do spin do elétron
● Energia cinética dos elétrons nula K=0● Estado fundamental dado por Vmin
● Interação spin-spin de curto alcance● Magnetismo em sólidos
Métodos
● Cálculos numéricos efetuados via FORTRAN (compilador Intel)
● Programação científica essencial em física teórica
– FORTRAN, Mathematica, C, C++, Python, …● Bom entendimento de cálculo numérico
Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing
Métodos
● Gráficos e figuras via Mathematica.
– Vantagens: Efetua cálculos numéricos e analíticos. Produz figuras de alta qualidade;
– Desvantagens: Proprietário (a USP fornece licença a todos nós);
● Aprendizagem sua ou de equivalente obrigatória a todos estudantes de física;
– xmgrace, matplolib, gnuplot, MATLAB, origin, …
Redes cristalinas
● Arranjo periódico dos átomos● Os spins vivem nos vértices dessas redes. Redes 2D por simplicidade
Quadrada
Kagomé
Favo de mel
Triangular
Rede quadrada
● Cada sítio possui quatro primeiros vizinhos: z=4● Caracterizada por seu comprimento L● Número de sítios N=LXL
● Rótulo do sítio:
i=(m1+1) + m2*L● Fácil de programar!
L
L
(0,0) (1,0)(2,0)
(0,1) (1,1) (2,1)
(3,0)
(3,1)
i=1 i=2 i=3 i=4
a=1a=1
L
L
Rede triangular
● Cada sítio possui seis primeiros vizinhos: z=6● Caracterizada por seu comprimento L● Número de sítios N=LXL
● Rótulo do sítio:
i=(m1+1) + m2*L● Computador: rede “quadrada”
(0,0) (1,0) (2,0) (3,0)i=1 i=2 i=3 i=4
(0,1) (1,1) (2,1) (3,1)
Modelo de spins: Ising
● Modelo de Ising (Lenz 1920, Ising 1925, Onsager 1944)● Interação entre as componentes z dos spin eletrônico● Modelo definido em uma rede. Acoplamento J entre primeiros vizinhos <ij>
● J < 0 Ferromagnetismo; J > 0 Antiferromagnetismo
ou
ou
Modelo de spins: Ising
● Qual é o estado fundamental?● Minimização da energia● Vínculo:● Campo local em i
L
L
J
JJ
J
Algoritmo de minimização
● Comece com um estado aleatório– jogue uma moeda para cada sítio
● Tente inverter o spin de um sítio: – Se E < 0 aceite. Se E > 0 rejeite
● Passe para o sítio vizinho. Repita até convergir: – |Snew- Sold| < tol– Nsteps > Nmax
→
Algoritmo de minimização
● Passo mais custoso é o cálculo de E● Interações são de curto alcance
● Só depende do campo local em i!
Rede quadrada com J < 0
● Configuração aleatória com L=10 (E=-0.04|J|N)
Cara → Coroa →
Gerador de números aleatórios: 0 < r < 1Distribuição uniforme:
Período: 219937 - 1
10
P(r)
r
Rede quadrada com J < 0
● Configuração após uma varredura na rede
Varredura: tente uma inversão em cada um dos N spins da rede.
● Se E < 0 aceite. Se E > 0 rejeite
Usamos o número de varreduras Nvar como nosso número de passos do algoritmos
Rede quadrada com J < 0
● Configuração após duas varreduras na rede
Varredura: tente uma inversão em cada um dos N spins da rede.
● Se E < 0 aceite. Se E > 0 rejeite
Usamos o número de varreduras Nvar como nosso número de passos do algoritmos
Rede quadrada com J < 0
● Configuração após três varreduras na rede
Varredura: tente uma inversão em cada um dos N spins da rede.
● Se E < 0 aceite. Se E > 0 rejeite
Usamos o número de varreduras Nvar como nosso número de passos do algoritmos
Rede quadrada com J < 0
● Configuração após quatro varreduras na rede
O algoritmos convergiu para um dos dois possíveis estados fundamentais com energia E=-0.5N|J|
Rede quadrada com J < 0
● O que está por trás de nosso triunfo?● Física: no estado fundamental, os spins estão alinhados antiparalelamente com o campo local
● Algoritmo equivalente: antialinhe o spin com o campo local
Rede quadrada com J > 0
● Mesma configuração aleatória para L=10
Buscamos agora o estado fundamental para essa situação antiferromagnética
Rede quadrada com J > 0
● Configuração após quatro varreduras na rede
● Novamente: E=-0.5N|J|● Problemas equivalentes J<0 (FM) e J>0 (AFM)
● Rede bipartite: vermelho é vizinho só de azul e vice-versa
Modelo de Ising na rede quadrada
● O procedimento de minimização obteve os estados fundamentais ferromagnético e antiferromagnético: E=-0.5N|J|
J<0 J>0
Rede triangular com J < 0
● Configuração aleatória com L=11 (E=-0.06|J|N)
Cara → Coroa →
Gerador de números aleatórios: 0 < r < 1Distribuição uniforme:
Período: 219937 - 1
10
P(r)
r
Rede triangular com J < 0
● Configuração após cinco varreduras na rede
O algoritmos convergiu para um dos dois possíveis estados fundamentais com energia E=-0.75N|J|
Rede triangular com J > 0Repetimos os passos da rede quadradaa)J < 0 (FM)b)J > 0 (AFM)Para FM igual. AFM? Olhe para um único triângulo…
FrustraçãoConsequências?
➢ Energia➢ Degenerescência
?EAFM=-J/4
EFM=-3J/4Não é bipartite!
Rede triangular com J > 0
● Configuração aleatória com L=11 (E=0.06|J|N)
Novamente, começamos com uma configuração aleatória
Rede triangular com J > 0
● Configuração após algumas varreduras na rede
O algoritmos encontra um dos vários possíveis estados fundamentais com energia E=-0.25N|J|
Rede triangular com J > 0
● Configuração após algumas varreduras na rede
N/3 sítios possuem campo local nulo!Tanto faz se apontam para cima ou para baixo. A energia não muda: E=-0.25N|J|
Rede triangular com J > 0
● Configuração após algumas varreduras na rede
Mínimo “achatado” ou “plano”Degenerescência extensiva (depende do # sítios N):
Antiferromagnetos frustrados
● Frustração domina a física– Geometria (topologia da rede) importa
● Vínculos locais insatisfeitos número muito →
grande estados fundamentais possíveis– Degenerescência extensiva e teorias de gauge
● Estudar o estado fundamental e as excitações de antiferromagnetos frustrados é fronteira de pesquisa em matéria condensada!
Conclusão
● Sistemas de spins fornecem um exemplo “simples” de sistemas de muitos corpos– Modelos e experimentos
● Comportamento coletivo modificado devido à frustração: mais é mesmo diferente!– Muito mais surpresas quando incluímos flutuações térmicas e quânticas
● Muito a ser explorado tanto em experimentos quanto em teoria (analítica e numérica)
Muito obrigado pela atenção
contato: [email protected]
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