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Equazione risolvente delle piastre sottili

Al fine di determinare l’equazione della superficie elastica, cioè l’unica incognita del problema, dato che

tutte le altre grandezze sono scritte in funzione di essa, è necessario imporre l’equilibrio globale di un concio

infinitesimo di piastra, riferendosi alle azioni generalizzate.

Figura 1: Azioni generalizzate sul concio infinitesimo di piastra

Scrivendo l’equilibrio alla rotazione intorno all’asse x:

∂myy

∂ydy dx − (ty +

∂ty

∂ydy) dx dy +

∂mxy

∂xdx dy = 0 (1)

da cui, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore:

ty =∂mxy

∂x+

∂myy

∂y (2)

E analogamente, rispetto all’asse y:

tx =∂mxx

∂x+

∂mxy

∂y (3)

Scrivendo poi, l’equilibrio alla traslazione verticale si ottiene:

∂ty

∂ydy dx +

∂tx

∂xdy dx = −Pzdx dy (4)

∂ty

∂y+

∂tx

∂x= −Pz (5)

Le tre equazioni di equilibrio contengono 5 incognite.

Derivando l’equazione (2) in y, l’equazione (3) in x, sommando e sostituendo nell’equazione (4) si ottiene:

mxxyy + myyyy + mxxxx + mxxyy = −Pz (6)

∂mxx2

∂x2+ 2

∂mxy2

∂x ∂y+

∂myy2

∂y2= −Pz

(7)

Sostituendo nell’equazione (6) l’espressione dei momenti in funzione della superficie elastica, si ottiene:

−B[wxxxx + υwyyxx + wyyyy + υwxxyy + (1 − 𝜐)2𝑤𝑥𝑥𝑦𝑦] = −Pz (8)

Da cui:

wxxxx + 2wxxyy + wyyyy =Pz

B (9)

∂w4

∂x4+ 2

∂w4

∂x2 ∂y2+

∂w4

∂y4=

Pz

B

(10)

che può essere scritta nella forma:

∇2∇2w(x; y) =Pz(x; y)

B Equazione di Germain-Lagrange (11)

∇2 è chiamato operatore laplaciano.

L’equazione (11) è detta equazione della superficie elastica delle piastre sottili. E’ un’equazione

differenziale alle derivate quarte in due variabili.

La soluzione è quindi determinata a meno di 8 costanti di integrazione, che a loro volta possono essere

determinate imponendo 8 condizioni al contorno: due per ogni bordo della piastra.

Determinazione degli sforzi taglianti

Come premesso (nell’ipotesi di segmenti rettilinei) gli scorrimenti angolari 𝛾𝑥𝑧 e 𝛾𝑦𝑧 sono nulli. Ciò non

comporta però l’annullamento degli sforzi tangenziali corrispondenti 𝜏𝑥𝑧 e 𝜏𝑦𝑧, i quali possono essere

staticamente determinati ricorrendo alle equazioni di equilibrio.

Si giunge quindi ad un’apparente contraddizione, poiché non risulta verificata legge di Hooke:

0 = γxz =τxz

G≠ 0 (12)

0 = γyz =τyz

G≠ 0 (13)

Questa stessa contraddizione è presente nelle travi studiate con la teoria di De Saint Venant e può essere

superata ricorrendo ad un compromesso ingegneristico. Infatti, in realtà, l’ingobbamento esiste, ma ha un

effetto trascurabile che non modifica in modo significativo la distribuzione lineare degli sforzi 𝜎𝑥 e 𝜎𝑦. Di

conseguenza l’ipotesi di segmenti rettilinei, che è un ipotesi che governa la congruenza, è ben approssimata

poiché i carichi non sono elevati e il taglio risulta essere modesto. Al contrario non sono trascurabili gli sforzi

tangenziali verticali che risultano dalle equazioni di equilibrio trascurando le forze di massa. L’equilibrio

sarebbe violato in assenza di tali sforzi.

∂σx

∂x+

∂τxy

∂y+

∂τxz

∂z= 0 (14)

∂σy

∂y+

∂τxy

∂x+

∂τyz

∂z= 0

(15)

Sostituendo nelle equazioni di equilibrio le equazioni che legano gli sforzi alla funzione w, si ottiene:

∂τxz

∂z=

zE

1 − ν2[wxxx + νwyyx + (1 − ν)wxyy] =

zE

1 − ν2(∇2w)x (16)

∂τyz

∂z=

zE

1 − ν2(∇2w)y

(17)

Integrando lungo lo spessore, come mostrato in Figura 2:

Figura 2

Si ottiene il valore dello sforzo tangenziale alla generica quota z:

τxz = ∫ ∂τxz

∂z

z

−s2

dz = ∫ zE

1 − ν2

z

−s2

(∇2w)xdz =E

1 − ν2 (∇2w)x (

z2

2−

s2

8) (18)

τyz = ∫∂τyz

∂z

z

−s2

dz =zE

1 − ν2 (∇2w)y (

z2

2−

s2

8)

(19)

Si osservi che l’espressione:

∫ 1 zz

−s2

dz (20)

Figura 3

rappresenta il momento statico di una striscia di piastra di larghezza unitaria rispetto all’asse dato

dall’intersezione della superficie neutra con la sezione considerata.

Gli sforzi tangenziali, dovuti all’azione tagliante sulla piastra e legati all’ingobbamento della sezione, hanno

una distribuzione parabolica e sono massimi lungo la superficie neutra, come mostrato in Figura 4.

Figura 4: Distribuzione degli sforzi tangenziali dovuti all’azione tagliante sulla piastra

Le azioni taglianti risultanti possono essere scritte come:

tx = ∫ τxz

s2

−s2

dz =E

1 − ν2 (∇2w)x ∫ (

z2

2−

s2

8)

s2

−s2

dz = −Es3

12(1 − ν2)(∇2w)x (21)

ty = ∫ τyz

s2

−s2

dz = −Es3

12(1 − ν2)(∇2w)y (22)

Figura 5: Azioni taglianti

τxz

tz

=τyz

ty

= (z2

2−

s2

8)

12

s3= (

S(z)

J b)

b=1

(23)

Nel caso della trave di De Saint Venant come in Figura 6:

Figura 6

Si ha:

J =s3

12 momento di inerzia (24)

S(z) = (z2

2−

s2

8)

(25)

Da ui

τxz =txS(z)

J (26)

τyz =tyS(z)

J

(27)

Figura 7: Momenti agenti nella piastra

Soluzione di Navier dell’equazione delle piastre mediante sviluppi in serie doppia di Fourier

Sono stati sviluppati diversi metodi per la risoluzione dell’equazione differenziale delle piastre: metodo

delle differenze finite, metodo degli elementi finiti, sviluppi in serie di Fourier semplice (Levy, 1899) e

doppia (Navier, 1820), nonché sviluppi in serie di funzioni polinomiali.

A seguire verrà illustrata la soluzione per sviluppi in serie doppia proposta da Navier, valida per piastre

quattro volte appoggiate e soggette all’azione di un carico distribuito P(x,y), come mostrato in Figura 1:

Figura 1: Piastra quattro volte appoggiata soggetta a carico distribuito

Nella soluzione proposta da Navier, il carico distribuito P(x,y), e l’espressione della superficie elastica sono

scritti mediante sviluppi in serie doppia di seni nelle due variabili spaziali indipendenti x e y:

(1)

(2)

Il ricorso agli sviluppi in serie di seni consente il soddisfacimento delle condizioni al contorno, infatti ai

bordi (per x=0 ovvero x=a, oppure y=0 ovvero y=b) risulta:

(3)

(4)

quindi .

È noto che i momenti sono proporzionali alla curvatura e, poiché la derivata seconda di una funzione

sinusoidale è ancora una funzione sinusoidale, anche i momenti risultano nulli ai bordi.

Sommando in maniera opportuna le diverse armoniche, la relazione (2) è in grado di approssimare qualsiasi

tipo di carico distribuito. Maggiore sarà il numero di armoniche considerato, con i corretti pesi Pnm, migliore

sarà l’approssimazione del carico reale agente sulla struttura.

Con i valori interi di n e m molto alti, si può approssimare un carico uniformemente distribuito, visto che i

picchi delle funzioni seno si spostano vicino ai bordi.

Sostituendo le espressioni (1) e (2) nell’equazione di Germain-Lagrange:

(5)

(6)

(7)

Quindi:

(8)

Perché sia valida l’uguaglianza della serie deve valere l’uguaglianza delle singole armoniche aventi i

medesimi valori di n e m:

(9)

(10)

Quindi sostituendo quanto ricavato nell’equazione (1), si ottiene:

(11)

Rimangono da calcolare i valori dei coefficienti che “pesano” le diverse armoniche in modo che il carico

risulti ben approssimato. Tali pesi vengono definiti in funzione del carico agente, dato noto, come indicato

nella seguente espressione:

(12)

Piastra appoggiata su quattro lati soggetta a carico a montagnola (prima armonica)

Nell’ambito dello studio delle piastre è interessante approfondire il caso di una piastra appoggiata su

quattro lati e soggetta ad un carico a montagnola p(x;y) come indicato in Figura 2:

Figura 2: Piastra appoggiata caricata con carico a montagnola

la cui distribuzione spaziale è descritta dalla prima armonica degli sviluppi in serie doppia, quindi per m=1 e

n=1. In tale circostanza, la relazione (2) che descrive lo sviluppo in serie del carico diventa:

(13)

L’espressione corrispondente della superficie elastica, sostituendo l’equazione (13) nella (11) diventa:

(14)

con:

(15)

Tale formulazione soddisfa tutte le condizioni al contorno.

Nota la formulazione della superficie elastica è possibile calcolare le sue derivate per determinare

l’andamento delle azioni interne generalizzate, , , , e , riferite ad una striscia di larghezza

unitaria:

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

Sviluppando l’espressione precedente si ottiene:

(23)

Analogamente:

(24)

Le reazioni lungo i bordi risultano:

(25)

Da cui:

(26)

Anche per la reazione è possibile scrivere:

(27)

Da cui:

(28)

Effettuando i dovuti raccoglimenti nelle equazioni precedenti, si giunge alla formulazione:

(29)

(30)

In corrispondenza degli spigoli si avrà la reazione:

(31)

Tale razione è negativa e nasce per equilibrare il momento torcente che tende a sollevare lo spigolo.

Si osserva, che i momenti flettenti e la superficie elastica seguono l’andamento del carico, come mostrato in

Figura 3, mentre il momento torcente è in quadratura, massimo ai bordi (dove maggiore è la collaborazione

fra le strisce ortogonali) e nullo in mezzeria.

Figura 3: Andamento di momenti flettenti e superficie elastica

L’azione tagliante è massima negli appoggi della striscia di competenza e nulla in mezzeria, inoltre decresce

verso gli appoggi paralleli alla striscia fino ad annullarsi, in corrispondenza di tale zona è massima l’azione

tagliante in direzione ortogonale.

Le reazioni vincolari ai bordi seguono l’andamento mostrato in Figura 4:

Figura 4: Andamento delle reazioni vincolari lungo i bordi

7. TEORIA DELLE PIASTRE

263

7.4.2 Progettazione di piastre in CA

Nel caso di piastre realizzate in acciaio, la verifica viene effettuata con il metodo delle

tensioni ammissibili; nel caso di elementi in calcestruzzo, a causa della bassa resistenza a

trazione, quest’ultima viene affidata alle barre in acciaio (METODO n).

L’armatura verrà disposta nelle due direzioni (non si valutano le direzioni e i momenti

principali combinando , e , poiché altrimenti si disporrebbero le barre secondo

direzioni impraticabili).

7.4.2.1 Esempio di progettazione: piastra appoggiata sui 4 lati

Figura 7-34

Il valore utilizzato per il carico (comprensivo di peso proprio, carichi permanenti e variabili)

rappresenta un valore tipico per i solai e le piastre.

1) Progettazione a trave

Si considera la piastra come una serie di travi di larghezza unitaria dirette in direzione y.

Per tener sotto controllo la freccia in mezzeria si deve imporre che il rapporto luce/altezza

sia:

(7.151)

Da cui, assumendo , si ha:


264

(7.152)

Figura 7-35

Risolvendo:

(7.153)

(7.154)

(7.155)

Si sceglie di inserire i seguenti valori di armatura:

(7.156)

(7.157)

Da cui:

(7.158)

(7.159)

Verifica flessionale:

(7.160)

(7.161)

(7.162)

(7.163)

(7.164)

Verifica a taglio:

(7.165)

(7.166)

Non è quindi necessario inserire armatura a taglio.

Per quel che riguarda la freccia in mezzeria, considerando :


265

(7.167)

(7.168)

2) Progettazione a piastra

Figura 7-36


266

Dalla Tabella 1.7 del libro del Prof. Bareš (Figura 7-36), scegliendo :

(7.169)

Spostamento massimo in mezzeria

(7.170)

Momento massimo lungo x ( ) (7.171)

Momento massimo lungo y ( ) (7.172)

L’altezza della piastra viene scelta ricorrendo ai criteri di deformabilità, imponendo che:

(7.173)

(7.174)

Da cui:

(7.175)

Si sceglie , considerando che in generale è preferibile non scegliere spessori

inferiori a . Con si ha:

(7.176)

(7.177)

(7.178)

Si osserva che visto che . Inoltre

poiché le dimensioni dei

lati sono simili; Se una delle due dimensioni fosse di molto maggiore dell’altra si avrebbe

.

(7.179)

(7.180)

Avendo assunto un copriferro lordo pari a 3 cm. Da cui:

(7.181)

(7.182)

(7.183)

Il risparmio di armatura rispetto al caso del dimensionamento a trave è dovuto alla rigidezza

superiore legata alla bidimensionalità dell’elemento a piastra.


267

Verifiche a flessione:

- Direzione x:

(7.184)

(7.185)

(7.186)

(7.187)

(7.188)

- Direzione y:

(7.189)

(7.190)

(7.191)

(7.192)

(7.193)

Le formulazioni analitiche del libro del Bareš non consentono di calcolare la lunghezza dei

ferri. È prassi prolungare circa la metà dei ferri sino agli appoggi e posizionare i restanti per

una lunghezza di circa il delle luci. Tali considerazioni sono coerenti con ciò che è

osservabile dall’analisi agli elementi finiti.


268

Figura 7-37: Spostamenti verticali ws. (ws,max =6.94 mm)

Figura 7-38: Mxs unitari (Mxx,max =12300 Nm/m)


269

Figura 7-39: Myy unitari (Mxx,max =16800 Nm/m)

Figura 7-40: Reazioni Vincolari ai bordi e lungo i lati appoggiati


270

Figura 7-41: Mxx lungo la retta y=b/2

Figura 7-42: Myy lungo la retta x=a/2

Dai grafici riportati in Figura 7-41 e in Figura 7-42 si può evincere come la regola pratica

(50% dei ferri fino ai lati, 50% per l’80% della luce) sia ragionevole.


271

Figura 7-43: Disposizione ferri

Verifica a taglio:

Come visto nel caso della progettazione a trave, generalmente anche nel caso di elementi a

piastra non è necessario disporre staffe per il taglio. Bisogna però porre attenzione alla

reazione sullo spigolo che essendo diretta verso l’alto tende a sollevare la piastra: può in tal

caso essere opportuno disporre dell’armatura a raggiera al lembo superiore.

Le reazioni di bordo sono calcolabili mediante le seguenti relazioni:

(7.194)

Figura 7-44


272

Anche per le reazioni a taglio si fa riferimento ai valori forniti dal Bareš (Tabella 1.1), tuttavia

calcolati per (i valori corrispondenti a non sono disponibili sul testo ma sono

simili). Si ha:

(7.195)

(7.196)

Da cui:

(7.197)

(7.198)

Come previsto non è quindi necessario disporre staffe.

7.4.2.2 Risoluzione analitica

Il calcolo analitico dell’equazione della superficie elastica per la piastra rettangolare in CA,

appoggiata su 4 lati e soggetta ad un carico uniformemente distribuito è di seguito espresso

mediante uno sviluppo in serie di Fourier.

La Figura 7-45 mostra i risultati di alcuni dei termini dello sviluppo, in funzione dei seguenti

dati in input:

E: modulo elastico del calcestruzzo espresso in kg/cm2

s: spessore della piastra espresso in m

ν: coefficiente di Poisson del calcestruzzo

a,b: dimensioni in pianta della piastra espresse in m

p: carico uniformemente distribuito agente sulla piastra, espresso in kg/m2

Lim f: freccia massima consentita espressa come frazione della luce maggiore

Pnm

[kg/m2]

Wmax

[mm]

Navier

Wmax [mm]

Galerkin Wxx Wyy

Mxx

[Kg m]

Myy

[Kg m] n m

1296.91 6.962 6.962 0.00133 0.00191 1391.328 1819.252 1 1

432.30 -0.071 -0.071 -0.00001 -0.00017 -34.302 -152.752 1 3

259.38 0.006 0.006 0.00000 0.00004 6.369 35.976 1 5

185.27 -0.001 -0.001 0.00000 -0.00002 -2.201 -13.437 1 7

432.30 -0.127 -0.127 -0.00022 -0.00003 -191.998 -58.124 3 1

144.10 0.010 0.010 0.00002 0.00002 17.177 22.460 3 3

86.46 -0.001 -0.001 0.00000 -0.00001 -3.229 -8.376 3 5

61.76 0.000 0.000 0.00000 0.00000 1.004 3.685 3 7

259.38 0.012 0.012 0.00006 0.00000 49.143 10.115 5 1

86.46 -0.002 -0.002 -0.00001 0.00000 -8.492 -5.266 5 3

51.88 0.000 0.000 0.00000 0.00000 2.226 2.911 5 5


273

37.05 0.000 0.000 0.00000 0.00000 -0.758 -1.584 5 7

185.27 -0.002 -0.002 -0.00002 0.00000 -18.825 -3.362 7 1

61.76 0.001 0.001 0.00000 0.00000 4.305 1.716 7 3

37.05 0.000 0.000 0.00000 0.00000 -1.465 -1.168 7 5

26.47 0.000 0.000 0.00000 0.00000 0.579 0.758 7 7

Totale 6.79 0.001 0.002 1211 1653

Bareš 6.8

1215 1656

Figura 7-45

Nella prima colonna si calcolano i coefficienti Pnm che pesano le diverse armoniche:

La seconda colonna calcola la freccia in mezzeria w(x;y):

Nella quarta e nella quinta colonna vi sono le derivate seconde dell’equazione della

superficie elastica fatte prima rispetto ad x (wxx) e poi rispetto ad y (wyy):

che vengono utilizzate nella sesta e settima colonna per calcolare i momenti massimi in x

(Mxx) e y (Myy):

Ad ogni riga vengono fatti variare gli indici “n” e “m” da 1 a 7; la riga finale riporta la

somma dei valori determinati utilizzando tutte le 49 armoniche; in tabella sono riportate solo

le 16 che danno un contributo non nullo perché, per le regole di ortogonalità delle serie di

Fourier, è sufficiente che uno dei due interi “n” e “m” sia pari perché il coefficiente Pnm

relativo risulti nullo.


274

L’equazione della superficie elastica nelle diverse coordinate x e y permette il calcolo della

freccia come sommatoria delle 49 armoniche sopra descritte. Tale calcolo viene ripetuto per

ogni coordinata della maglia considerata, per un totale di 2500 punti.

La Figura 7-46 riporta un grafico tridimensionale, fuori scala nell’asse verticale, relativo alla

deformata qualitativa della piastra.

Figura 7-46

L’obiettivo dell’analisi qui presentata è la valutazione della velocità di convergenza delle

serie di Fourier così da determinare quali sono i valori minimi degli interi “n” e “m” per cui

si ottenga un risultato che ben approssimi il carico uniformemente distribuito.

Per fare questo calcoliamo la funzione carico:

in ognuno dei punti della maglia per 6 diverse combinazioni di “n” e “m” (4 singole

armoniche e 2 sommatorie).

In Figura 7-47 è riportato il carico a montagnola equivalente alla prima armonica (n=1, m=1):


275

Figura 7-47

In Figura 7-48, il carico equivalente alla seconda armonica (n=1, m=3):

Figura 7-48

In Figura 7-49, il carico equivalente alla terza armonica (n=3, m=1). Si noti la simmetria con il

precedente:


276

Figura 7-49

La Figura 7-50 presenta il carico equivalente alla quarta armonica (n=3, m=3):

Figura 7-50

In Figura 7-51 viene infine riportata la sommatoria delle funzioni carico delle 4 armoniche

sopra rappresentate:


277

Figura 7-51

In Figura 7-52 invece viene presentata la sommatoria delle funzioni carico delle prime 16

armoniche non nulle, ottenuta facendo variare sia “m” che “n” tra 1 a 7.

Figura 7-52

Dal confronto fra la Figura 7-51 e la Figura 7-52, si può chiaramente osservare come

l’aumento del numero di armoniche considerate aiuti a meglio approssimare il carico

uniformemente distribuito di 800 kg/m2, grazie all’aumento del numero dei picchi e alla

modulazione dell’ampiezza degli stessi.


278

L’andamento dei momenti principali per la piastra oggetto di studio è di seguito

schematicamente riportato. In Figura 7-53 viene presentata la sommatoria delle funzioni

momento Mxx delle prime 16 armoniche non nulle (con “m” e “n” varianti tra 1 e 7):

Figura 7-53

La Figura 7-54 presenta invece l’analoga sommatoria delle funzioni momento Myy:

Figura 7-54

I valori di freccia massima e dei momenti massimi in x e y sono del tutto simile ai valori

riportati nel libro del Prof. Bareš.

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