Strutture snelle

<< 1

Travi, piastre, membrane

t/Li<< 1

K,1000

1,

100

1

L

t,1

L

t =<<

1

Elementi di trave alla Eulero-Bernoulli

Spostamento

xa

xa

xaa)x(v

3

4

2

321

+

++=lll

Leone Corradi dell’Acqua, vol 2, cap 11, p. 295

Rotazione

Curvatura)

xa6a2(

1)x(''v)x(

xa3

xa2a

1)x('v)x(

432

2

432

+−=−=χ

+

+==ϕ

ll

lll

2

Elemento di trave alla Eulero Bernoulli

( ) ( ) i

Ndof

11uxNxv i∑=

=

Imponendo le condizioni al contorno

a1

)0(u,a)0(vu 2211 =ϕ===l

Si ricava

)a3a2a(1

)(u,aaaa)(vu 432443213 ++=ϕ=+++==l

ll

l

4321443213

2211

uu2uu2a,uu3u2u3a

ua,ua

llll

l

+−+=−+−−===

3

Elemento di trave di Eulero Bernoulli

)]xx

()x

2x

3()xx

2x

()x

2x

31[()x(N3

3

2

2

3

3

2

2

3

3

2

2

3

3

2

2

lll

llllll

ll+−−+−+−=

)]x

62()x

126()x

64()x

126[(1

N)x(B2

ll

lll

ll−−−−−=∇=

Sono le deformate di una trave incastrata in cui si rilascia 1

grado di vincolo per volta

Anche chiamato elemento finito Hermitiano4

Elemento di trave di Timoshenko

SP Timoshenko

In questo caso, la rotazione non coincide con la derivata dello spostamento v

Si interpolano indipendentemente sia lo spostamento v che la rotazione ϕϕϕϕ

Da cui si ottengono la curvatura flessionale e lo scorrimento medio γγγγ

+=ϕ+=lll

xbb

1)x(,

xaa)x(v 2121

−−=γ−=χlll

xbba

1)x(,b

1)x( 21222

5

Imponendo le condizioni al contorno

Si ottiene

Elemento di trave di Timoshenko

)bb(1

)(u,aa)(vu

b1

)0(u,a)0(vu

214213

1211

+=ϕ=+==

=ϕ===

lll

l

)uu(bub,uua,ua 4222131211 +−==+−== ll

Da cui

=

4

3

2

1

)()(

)(

u

u

u

u

xNx

xv

ϕ

=

γχ

4

3

2

1

u

u

u

u

)x(B)x(

)x(Ed inoltre

dove

−+−−−

=

−−

=x1x1

10101)x(B

x0x0

0x0x1)x(N

lll

l

l

6

Elemento di trave di Timoshenko: locking

Moti rigidi e deformazioni costanti devono essere rappresentati

indipendentemente da altri contributi.

L’elemento di trave lineare di Timoshenko non rispetta questa condizione.

Infatti dall’approssimazione polinomiale

+=ϕ+=lll

xbb

1)x(,

xaa)x(v 2121

Si ottiene per le deformazioni

La curvatura flessionale costante e’ solo apparentemente presente,

in quanto risulta proporzionale allo stesso coefficiente da cui dipende

la variazione lineare dello scorrimento medio. In travi snelle, lo scorrimento

e’ molto piccolo e cio’ impedisce all’elemento di deformarsi anche

flessionalmente. Si parla di locking

221222

xb)ba(

1)x(,b

1)x(

lll−−=γ−=χ

7

Locking

Cfr Leone Corradi dell’Acqua

vol II cap 12, p 373

Il locking è un eccesso di rigidezza dovuto a vincoli cinematici che il modello

cinematico associato all’approssimazione agli elementi finiti comporta

u

=

γχ

4

3

2

1

u

u

u

u

)x(B)x(

)x(

Dove la matrice di compatibilità è

−+−−−

=x1x1

10101)x(B

ll

8

Si osservi che l’energia potenziale totale è (Bathe, pag 403)

Ovvero a meno dei carichi esterni e dividendo per EI

Energia di deformazione totale

Energia flessionale Energia tagliante Lavoro carichi esterni

dx)mqw(dxdx

dw

2

GAkdx)x(

dx

d

2

EIL

0

2L

0

L

0

2

ϕ+−

ϕ−+

ϕ=Π ∫∫∫

dxdx

dw

EI

GAkdx)x(

dx

d~2L

0

L

0

2

∫∫

ϕ−+

ϕ=Π

Da cui

Dove αααα tende all’infinito quando h tende a 0

Al continuo, prima della approssimazione agli elementi finiti, l’energia

elastica legata allo scorrimento (dw/dx-φ)))) tende a zero quando la

deformabilità a taglio aumenta

L’ approssimazione agli elementi finiti deve riprodurre questa situazione

9

EI

GAkdx

dx

dwdx)x(

dx

d~2L

0

L

0

2

=α

ϕ−α+

ϕ=Π ∫∫

Esempio locking

10

Esempio locking

Da cui si ottiene il valore della freccia in estrem ita’

Pertanto la soluzione ottenuta con l’elemento 2 nod i e’ inaccurata

La freccia predetta dalla teoria elastica della tra ve e’ 334 EhPL /====δδδδ

11

F

f

L1,L2: 1, 2 ef lineari;

Q1: 1 ef quadratico

Esempio locking

12

Locking

Modelli di trave di ordine piu’ elevato del lineare non

eliminano completamente l’eccesso di rigidezza:

La situazione di scorrimento nullo cui si avvicina il caso di

una trave snella non viene riprodotta

13

Tecniche volte a migliorare il comportamento dell’elemento a 2 nodi:

Tecniche per ridurre il locking

-1) Integrazione selettiva ridotta

-2) Teoria discreta di Kirchhoff (non lo consideriam o)

-3) Assumed enhanced strain (non lo consideriamo)

14

L’energia di scorrimento viene integrata non esattamente

ma ricorrendo ad un numero ridotto di punti di

integrazione numerica

Integrazione selettiva ridotta

integrazione numerica

Occorre verificare che l’elemento sia efficace e non

presenti modi deformativi non consistenti

15

INTEGRAZIONE RIDOTTA E SELETTIVA

16

Si assume che lo scorrimento sia cosi’ piccolo che

l’energia associata possa essere trascurata nella EPT .

Tuttavia, occorrono delle equazioni aggiuntive che

legano gli spostamenti nodali e le rotazioni .

Teoria discreta di Kirchhoff

legano gli spostamenti nodali e le rotazioni .

Tali equazioni si ottengono imponendo che lo

scorrimento si annulli in determinati punti del dominio

dell’elemento. Si tratta di una tecnica piu’ efficiente di

quella basata sulla integrazione selettiva ridotta.

17

w+=ε

Elemento trave curvo

Deformazione assiale

Membrane locking

ss,s,

s,

wR

uR

wu

−=χ

+=ε

Deformazione flessionale (curvatura)

18

Elemento trave curvoDeformazione assiale

curvatura

Membrane locking

ss,s,

s,

wR

uR

wu

−=χ

+=ε

Approssimazione di u e w con polinomi, ad esempio:

dove

33

2210

10

bbbbw

aau

ξ+ξ+ξ+=

ξ+=

L

s=ξ19

Elemento trave curvo Deformazione assiale

Deformazione flessionale

(curvatura)

Membrane locking

Sostituendo, si ha:

)53(R5

b)31(

R3

b)

R5

b3

R

b()

R3

b

R

b

L

a(

L

b6)

L

b2

RL

a(

332231201

23

221

ξ−ξ−ξ−−ξ++++=ε

ξ−−=χ

20

Consideriamo un arco sottile avente L/t >>1 ed R/H molto piccolo, esso si comporta come una trave soggetta a flessione inestensibile, e pertanto la deformazione membranale εεεεtende a 0

La condizione di inestensibilità implica

Membrane locking

0w

u →+=εLa condizione di inestensibilità implica0R

wu s, →+=ε

0b

0b

05

b3b

0R3

b

R

b

L

a

3

2

31

201

→→

→+

→++

21

Vincoli cinematici spuri che non possono essere sempre soddisfatti:

Questo provoca membrane locking

implica

Membrane locking

0b,0b,0b 321 →→→ 0w,0w,0w sss,ss,s, →→→

Si dimostra che il termine di energia membranale nell’energia elastica

dopo la discretizzazione, “disturba” il termine di energia flessionale,

causando una azione di irrigidimento

22

dsEA2

1EI

2

1 tte εε+χχ=Π ∫

Incompressible locking

Incompressible locking: per materiali incomprimibili, il coefficiente

di Poisson v tende a 0.5 , e.g. suoli saturi, plastiche, elastomeri,

gomme e materiali che fluiscono, come fluidi incomprimibili o

come in plasticità

Questo implica che il modulo volumetrico tende all’infinito e Questo implica che il modulo volumetrico tende all’infinito e

ciò si ripercuote sulla deformazione volumetrica

Si rileva un irrigidimento dello spostamento mentre il campo

di tensione presenta oscillazioni spurie

23