lezione 4_le piastre-soluzioni

Corso diProgetto di Strutture

POTENZA, a.a. 2012 – 2013

Dott. Marco VONADiSGG, Università di Basilicata

[email protected] http://www.unibas.it/utenti/vona/

Soluzioni per il problema

delle piastre

LA PIASTRA INDEFINITA APPOGGIATA SU DUE LATI

x

yUna piastra si consideraindefinitamente appoggiata se hauna dimensione longitudinaley ,nella direzione parallela agli appoggi,tanto maggiore della direzionetrasversale x da poter essereconsideratadi lunghezzaindefinita

L

x

Soggetta ad un carico esternoortogonale al piano della piastra èevidente che la deformata saràcontenuta soltanto nel piano (x, z)ovvero sarà una deformazione ditipo cilindrico ed indipendente day

consideratadi lunghezzaindefinita


Possiamo considerare l’analogia conla una trave appoggiata

In tal caso la deformata dipendesoltanto dalla coordinatalongitudinalex (come per le travi)L

x

p0

( )33400 2

24xLLxx

EJ

pw +−=

12

3hJ =

Per una trave appoggiata agli estremi, di altezzah e larghezzaunitaria, e soggetta ad un carico uniformemente ripartitop0 ladeformata è data da:


Analogia Trave – Piastra

La deformata cilindricacorrispondeal caricop0 uniforme con:

• Mx Pari al momento di una trave appoggiata e caricata conp0

• My Pari aνMx

• La deformazione è uguale a quella della trave appoggiatamoltiplicata per (1 – ν )2

Tali risultati si spieganoconsiderando ilcomportamento di unastriscia isolata, dilarghezza unitaria, di unapiastra generica

y

L = 1

1+εy

1-εyσσσσx

( )20 1 ν−= ww


La deformazione trasversale dovuta all’effetto Poisson ha valore:

Nella piastra indefinita, invece, la deformazione trasversale è nulla

Ex

xy

σνενε −=⋅−=

0=ε ( ) 01 =−= νσσε L = 1

0=yε ( ) 01 =−= xxy E

νσσε

Le tensioni e sollecitazioni valgono quindi

xy σνσ ⋅=xy MM ⋅=ν

Infine la deformazione vale:

( ) xyxx EEσννσσε

211 −=−=

y


x

yPer l’analogia con la trave risultaevidente che considerando delle singolestrisce di larghezza unitaria ciascuna diqueste potrà essere trattata come latrave appena descritta. La deformatacilindrica (funzione solo dix) vale:

L

x

( )3340 224

)( xLLxxD

pxw +−=

Si ricava inoltre:

( )LxxD

p

x

w −=∂∂ 20

2

2

20

2

2

2

=∂∂

∂=∂∂

xy

w

y

w


−=20

LxpQx

0=yQ

Le sollecitazioni taglianti valgono:

0pp =x

y

( )Lxxp

Mx 22

20 −=

xy MM ⋅=ν

0=xyM

I momenti flettenti

L

x

Da quanto finora visto risulta evidente che la risoluzione delproblema delle piastre consiste nella determinazione della

deformataw nota la quale è possibile tramite leequazioni diequilibrio e di collegamentodeterminare tutte le caratteristichedella sollecitazione

METODI DI RISOLUZIONE DELLE PIASTRE

Equazionidi equilibrioNoti abbassamentiw Equazionidi equilibrioe collegamento

Noti abbassamentiw

Sollecitazioni

La risoluzione del problema in coordinate rettangolari equivalealla risoluzione dell’equazione di Lagrangeportando in conto lecondizioni al contorno

I metodi di risoluzione del problema delle piastre sono moltissimia seconda dei vari casi particolari a cui ci si riferisce

Tra i più comuni e che di seguito sono trattati ricordiamo

METODI DI RISOLUZIONE DELLE PIASTRE: ESEMPI

Metodo di risoluzione di NAVIER per la piastrarettangolare appoggiatarettangolare appoggiata

Metodo di risoluzione alleDIFFERENZE FINITE

Metodo di risoluzione agliELEMENTI FINITE

La soluzione di Navier per la piastra di forma rettangolareappoggiata sul contorno deriva dalla teoria di Kirchhoff

LA SOLUZIONE DI NAVIER

È necessario innanzi tutto ricordare losviluppo in serie di Fourier dei seni

( ) ∑∞

=

⋅=1

sinn

n a

xnaxf

πax ≤≤0

Data una generica funzionef(x) della variabilex definita in unintervallo 0 – asi definisce sviluppo di Fourier in serie di senidella funzione f(x) in un intervallo 0 – a convergente in ognipunto dell’intervallo ad f(x) la seguente espressione:


Sviluppo in serie di Fourier dei seni

I coefficienti a1 , a2 , …., an si chiamano coefficienti di Fourierdella funzionef(x) nell’intervallo0 – a

Per determinare i coefficienti di Fourier di un data funzione siprocede nel seguente modo

( ) ∑∞

=

⋅=1

sinsinsinn

n a

xr

a

xna

a

xrxf

πππMoltiplicando entrambi i membri per ( )axrπsin

Essendor un qualsiasi intero positivo

Integrando in x tra 0 ed a


( ) ∑ ∫∫∞

=

⋅=1 00

sinsinsinn

a

n

a

dxa

xr

a

xnadx

a

xrxf

πππ

Com’è noto per un sistema di funzioni ORTOGONALI si ha:

=∫a

dxa

xr

a

xn

0

sinsinππ

nra

nr

=⇒

≠⇒

2

0

( )2

sin0

aadx

a

xrxf r

a

=∫π ( ) dx

a

xnxf

aa

a

n ∫=0

sin2 π

Per cui la sommatoria si riduce al solo terminen = r

Consideriamo la somma parziale:


∑=

⋅=q

nnq a

xraS

1

sinπ

Ovvero la serie di Fourier interrotta al suo termineq-esimo

Si può dimostrare cheSq approssima la media dif(x)nell’intervallo 0 – a . L’approssimazione migliora con l’aumentodel numero di termini (q) considerati

In sostanza per

L’errore tende ad annullarsi

∞→q

Consideriamo la somma parziale:


∑=

⋅=q

nnq a

xraS

1

sinπ

Sotto ipotesi generalmente verificate lo sviluppo in serie di seniconverge allaf(x) in ogni punto eccettuati eventualmente gliestremi

Per una funzione simmetrica sono nulli tutti i termini di Fourier diordine PARI mentre per una funzione antisimmetrica sono nulli iterminidi ordineDISPARI


terminidi ordineDISPARI

Sviluppo in doppia serie di seni per una funzione didue variabili

( ) ∑∑∞

=

∞

=

⋅=1 1

sinsin,m n

mn b

yn

a

xmayxf

ππ

( )∫ ∫=

=

=

=

=ax

x

by

y

mn dxdyb

yn

a

xmyxf

aba

0 0

sinsin,4 ππ


ya

b

Considerando una piastra rettangolare

xPer quanto visto in relazione allo sviluppo in serie di Fourier sipuò affermare che lo sviluppo in doppia serie di seni si annulla sulcontorno insieme con le sue derivate seconde, ovvero:

2

2

2

2;

yx ∂∂

∂∂


Consideriamo una piastra rettangolare appoggiata caricatasinusoidalmente. Supponiamo che sia sinusoidale anche ladeformata ovvero che risponda ad una legge del tipo:

b

yn

a

xmaw mn

ππsinsin=

Applicandoquantovisto in precedenzasullo sviluppoin seriedi

Sul contorno lecondizioni sono:

0=w 0;02

2

2

2

=∂∂=

∂∂

y

w

x

w

Applicando l’operatore di Laplace alla legge della deformata

wb

n

a

m

b

yn

a

xma

b

n

a

mw mn

+−=

+−=

2

2

2

22

2

2

2

22 sinsin ππππ

Applicandoquantovisto in precedenzasullo sviluppoin seriediFourier si ha:


b

yn

a

xma

b

n

a

mw mn

πππ sinsin2

2

2

2

242

+=∆

Quindi:

Sostituendo nell’equazione di Lagrange e risolvendo rispetto alcaricoesternosi ha:

b

yn

a

xmbb mnz

ππsinsin=

D

bw z=∆2 2

2

2

2

24

+

=

b

n

a

mD

ba mn

mn

π

caricoesternosi ha:

Inversamente dato un carico esterno si può determinare ladeformataw e risulta


( ) ∑∑∞ ∞

⋅= sinsin, mnz b

yn

a

xmbyxb

ππ

Consideriamo una piastra rettangolare appoggiata comunquecaricata

Basta sviluppare il carico esterno in serie di seni (Fourier)ponendo:

Noti quindi i coefficientibmn si può determinare la deformata

( ) ∑∑= =

⋅=1 1

sinsin,m n

mnz babyxb

( ) ∑∑∞

=

∞

=

⋅=1 1

sinsin,m n

mn b

yn

a

xmayxw

ππ

Il carico e quindi la deformata vengono decomposti in ondesinusoidali


Questo procedimento che consiste nel decomporre il carico e ladeformata in onde sinusoidali prende il nome di

Soluzione di NAVIER

È importante ricordare che l’utilizzo di tale procedimento discomposizione i serie di seni per la risoluzione del problema dellapiastradipendonodal verificarsidelleseguenticondizioni:piastradipendonodal verificarsidelleseguenticondizioni:

• La funzione incognita sia finita in tutto il suo campo didefinizione

• Si annulli insieme alle sue derivate sul contorno deldominio rettangolare

• Nell’equazione compaiano solo derivata di ordine paririspetto alla variabili


Applicazione e gradi di approssimazione del metodo diSoluzione di NAVIER

Nelle applicazioni pratiche non è possibile considerare gli infintitermini delle doppie serie relative ai carichi e alla deformata

Si pone quindi:

( ) ∑∑= =

⋅=q

m

q

nmnz b

yn

a

xmbyxb

1 1

sinsin,ππ

( ) ∑∑= =

⋅=q

m

q

nmn b

yn

a

xmayxw

1 1

sinsin,ππ

Si prendono in considerazione soltanto i primiq2 termini della serie


ESEMPIO: Piastra rettangolare caricata uniformemente

Dall’espressione: ( )∫ ∫=

=

=

=

=ax

x

by

y

mn dxdyb

yn

a

xmyxf

aba

0 0

sinsin,4 ππ

Si ottiene:zmn b

mnb

16= Pern edm disparimn

2

2

2

2

;y

w

x

w

∂∂

∂∂

Si possono quindi ricavare i coefficienti di Fourier per

( ) 2max 100410.0 abM z ⋅⋅+⋅= ν

Considerando solo il I termine si ottiene :

D

abw z

4

max 00416.0 ⋅⋅=


ESEMPIO: Piastra rettangolare caricata uniformemente

( ) 2max 100368.0 abM z ⋅⋅+⋅= ν

I valori esatti sono invece:

D

abw z

4

max 00406.0 ⋅⋅=

L’errore percentualechesi compiesulla deformataè pari a 2.5%.L’errore percentualechesi compiesulla deformataè pari a 2.5%.La convergenza è praticamente immediata

Per il momentoM l’errore è pari a circa il 10%.La convergenzaè più lenta

Per ottenere più rapidità di convergenza ci sono ulterioriprocedimenti variabili in funzione degli specifici casi a cui ci siriferisce

METODO SEMPLIFICATO DI GRASHOF

Il metodo semplificato di Grashof per la soluzione delproblema della piastra rettangolare appoggiata sul contorno

y

bz

x

Si immagina che la piastra sia costituita da strisce affiancate nelledue direzionix e y. Le strisce nella direzione x portano la quotaparte del carico esterno bz,x quelle in direzione y la quota parte delcarico esterno bz,y con:

yzxzz bbb ,, +=


La congruenza è imposta in corrispondenza del centro dellapiastra. Si intuisce che le due strisce centrali, nelle direzioniortogonali x e y, hanno lo stesso abbassamento

4lp

Poiché gli abbassamenti sono proporzionali al carico ed alledimensioni della piastra secondo l’espressione:

4xxlp4yylp

Per la striscia parallela ax

Per la striscia parallela ay

Deve risultare:44yyxx lplp =

Da cui:44

4

yx

yx ll

lpp

+= 44

4

yx

xy ll

lpp

+=


I corrispondenti momenti valgono

44

2222

8

1

8

1

yx

yxyxxx ll

llpllpM

+==

44

2222

8

1

8

1

yx

yxxyyy ll

llpllpM

+==

È da notare che nella direzione del lato minore si ottiene laÈ da notare che nella direzione del lato minore si ottiene lasollecitazione maggiore:

2

2

x

y

y

x

l

l

M

M =

Come d’altronde si può intuire considerando che, a parità diabbassamento in mezzeria, la striscia più corta deve avere unacurvatura maggiore quindi un momento maggiore


Ne consegue che per piastre di forma allungata la collaborazionetra le strisce di lunghezza maggiore diventa irrilevante

y

bz

2

2

y

x

x

y

M

M

l

l

x

0625.04

111.03

25.02

11yx Ml


Nella realtà al funzionamento a graticcio considerato dal metododi Grashof si sovrappone l’interazione torsionale tra strisceparallele

SP1P

Q1Q ϕϕϕϕS

Consideriamo due strisce adiacenti individuate rispettivamente daipunti PSP1 e QTQ1. Le rotazioni delle strisce in S (ϕS) ed in T (ϕT)considerate indipendenti sono diverse il che implica che le strisceortogonali sono soggette a torsione.

T

ϕϕϕϕT


Il metodo di Grashof condurrebbe invece ai seguenti risultati

T

SP1P

Q1Q

ϕϕϕϕT

ϕϕϕϕS

bϕϕϕϕT

2z

yx

bpp ==

%6000651.02384

5 44

max +=∆⇒⋅⋅=⋅=D

ab

D

abw z

z

%700625.028

1 22max +=∆⇒⋅⋅=⋅= aba

bM z

z

lezione 4_le piastre-soluzioni

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