xsinx

0xx

lim

b

a

dxxf )(

¿En qué intervalos la función crece (decrece.)?

x

y

A

B

C

D

E

F

G

H

xsinx

0xx

lim

b

a

dxxf )(DEFINICIÓN: Una función f es creciente en un intervalo I, si f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2 en I

Es decreciente en I si f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2 en I

Nota:Una función que es creciente o decreciente en I se llama monótona en I.

MONOTONIA DE UNA FUNCIÓN

xsinx

0xx

lim

b

a

dxxf )(

5x12x4x3)x(F 234

xsinx

0xx

lim

b

a

dxxf )(Si f es continua en [a; b] y es diferenciable en (a; b):

a)si f’(x) > 0 x en (a; b), entonces f es creciente en [a; b]

b)si f’(x) < 0 x en (a; b), entonces f es decreciente en [a; b].

PRUEBA DE LAS FUNCIONES MONÓTONAS:

xsinx

0xx

lim

b

a

dxxf )(

• COMPORTAMIENTO GRÁFICO DE LAS FUNCIONES

1x

x3)x(f

2

xsinx

0xx

lim

b

a

dxxf )(

Criterio de la Primera Derivada para Extremos Locales

Si c es un punto crítico de f y f es derivable alrededor de c entonces:

• Si f ’ cambia de positivo a negativo en c, entonces f tiene un valor máximo local en c.

• Si f ’ cambia de negativo a positivo en c, entonces f tiene un valor mínimo local en c.

• Si f ’ no cambia de signo en c, entonces f no tiene un valor extremo local en c.

xsinx

0xx

lim

b

a

dxxf )(

Ejemplos

xsinx

0xx

lim

b

a

dxxf )(

Ejemplos

xsinx

0xx

lim

b

a

dxxf )(

Ejemplos

xsinx

0xx

lim

b

a

dxxf )(

COMENTARIOS

•Es importante notar que en los puntos de extremos locales la derivada puede ser cero, no existir o ser infinita.

xsinx

0xx

lim

b

a

dxxf )(

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA PUNTOS ESTACIONARIOS

TEOREMA:• Sea f una función derivable dos

veces en (a-r,a+r) tal que a es un punto estacionario de f, f’(a)=0, entonces:

• Si f”(a)<0, en a hay un máximo local.

• Si f”(a)>0, en a hay un mínimo local.• Si f”(a)=0 el criterio no decide.

xsinx

0xx

lim

b

a

dxxf )(

EJEMPLO

• Determine los puntos de máximo y mínimo local de la función f cuya regla de correspondencia es :

2xa) f ( x) e ( x x) 1 3/b) f ( x) x

xsinx

0xx

lim

b

a

dxxf )(

NOTAS IMPORTANTES

• Es importante notar que este criterio sólo puede emplearse una vez que hemos confirmado que estamos en presencia de un punto estacionario.

• Note que cuando f ”(x) es nula en el punto estacionario, entonces puede ocurrir cualquier cosa.

xsinx

0xx

lim

b

a

dxxf )(

CONCAVIDAD

• Sea f una función derivable en el intervalo (a,b).

• i) La función f se dice que es cóncava hacia arriba (convexa) si la curva y = f(x) se encuentra por encima de cualquier tangente a ella en el intervalo (a,b).

• ii) La función f se dice cóncava hacia abajo (cóncava) si la curva y = f(x) se encuentra por debajo de cualquier tangente a ella en el intervalo (a,b).

xsinx

0xx

lim

b

a

dxxf )(

INTERVALOS DE CONCAVIDAD

• Sea y = f(x) dos veces diferenciable en un intervalo I.

• A) Si y” > 0 en I, la gráfica de f en I es cóncava hacia arriba.

• B) Si y” < 0 en I, la gráfica de f en I es cóncava hacia abajo.

xsinx

0xx

lim

b

a

dxxf )(

Indicar los intervalos de concavidad

x

y

A

B

C

D

E

F

G

H

xsinx

0xx

lim

b

a

dxxf )(

EJEMPLOS

• Determine los intervalos de concavidad de las siguientes funciones:

4 3 212 48 50

21

y x x x

y ln( x )

xsinx

0xx

lim

b

a

dxxf )(

PUNTOS DE INFLEXION

• Sea f una función continua en un intervalo I, y x=a un punto de su interior de modo que f tiene derivada finita o infinita en dicho punto.

• El punto (a,f(a)) de la gráfica y=f(x) se llama punto de inflexión si al pasar por dicho punto el sentido de la concavidad cambia.

xsinx

0xx

lim

b

a

dxxf )(

EJEMPLOS

• Determine los puntos de inflexión de la gráfica de las funciones definidas como:

0x,x

0x,x)x(h

0x,senx

0x,x)x(g

x)x(f

3

2

2

3/1

xsinx

0xx

lim

b

a

dxxf )(

GRÁFICAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES

Graficar las siguientes funciones:

1x

1xy)a

2

3/2x3xy)b

1x

1

ey)c

x1x

1y)d

xsinx

0xx

lim

b

a

dxxf )(

EJERCICIOS ADICIONALES

xsensenx2y)e 2

02x

f ) y senx, x

2g) y x(ln x)2

2 5x

h) yx