Çember - ahmetelmas.files.wordpress.com · - 106 - düzlemde verilen bir noktadan, verilen...
TRANSCRIPT
- 106 -
Düzlemde verilen bir noktadan, verilen
uzaklıkta bulunan bütün noktaların
kümesine çember denir.
Verilen nokta merkez,
verilen uzaklık yarıçaptır.
Ç={P : rOP , O, r st, }
O merkezli çemberin verilen bir
P noktasına en yakın noktası A,
en uzak noktası B dir.
ÖRNEK:
ABCD kare. A ve B merkezli çemberler
B,D ve A,C noktalarından geçiyor.
Kesim noktaları olan P nin AB den
uzaklığı kaç cm.dir?
ÇÖZÜM:
|AP|=|PB|=|AB|=8
APB eşkenar üçgen.
h= 342
38
2
3
a
ÖRNEK:
Y.G: BDE , DEA , AEC ikizkenar üçgen.
Y:22o
ÖRNEK:
Y.G: OEC , DOE ikizkenar üçgen.
Y:16o
ÇEMBER
- 107 -
( PDAO )
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
|OB|=|OC|=|OP|=5
OCD dik üçgeninde Pisigor teo.
|DO|2=102+52 |DO|=5 5
|DP|=5 5 -5
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
|AP|=13 , |AT|=13-x , |PT|=6-x
ATP dik üçgeninde.
132=(13-x)2+(6-x)2
x1=1 , x2=18
DOĞRU VE ÇEMBER:
Doğru ile çemberin ortak noktası yoktur.
!!! Teğet, yarıçapa değme noktasında
diktir.
|AH|=|HB|
Merkezden kirişe inilen dikme,
kirişi ve bu kirişin yaylarını ortalar.
Merkezden eşit uzaklıktaki kirişler
eş, eş kirişlerin yayları da eştir.
Paralel iki kiriş arasındaki yaylar
eştir.
Doğrusal olmayan üç noktadan bir
ve yalnız bir çember geçer.
- 108 -
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
AHB dik üçgeninde:
152=92+|AH|2 , |AH|=12
OBH dik üçgeninde:
r2=92+(12-r)2 , r=75/8
|PA|=|AC| , |PC|=|PD| , |CD|=2.|AB|
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
|DK|2=25, |DK|=5, |OD|=|OC|=x
OKL dik üçgeninde. R2=(5+x)2+52
ODE dik üçgeninde. R2=x2+(2x)2
x2+10x+50=5x2 , 2x2-5x-25=0 ,
x=5 , 4x2=100
ÖRNEK:
Y.G: PQ//AB , |PQ|=2.|AB| Y:48
ÖRNEK:
Yarı çapı 10 birim olan çemberin,
16 birim uzunluğundaki kirişlerinin orta
noktalarının geometrik yeri nedir?
ÇÖZÜM:
Orta noktaların merkezden uzaklıkları:
102=d2+82 , d=6
Y: O merkez, r=6
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
ABC dik üçgeninde. 52=32+|BC|2, |BC|=4
OECABC (AA) , 5
4
3
rr , r=
2
3
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
COD eşkenar üçgen. |OE|= 322
34
- 109 -
ÇEMBERDE AÇILAR:
MERKEZ AÇI:
Gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
ÖRNEK:
!!! Yarıçap uzunluğundaki kirişi gören
merkez açı kaç derecedir?
AOB eşkenar üçgen. mO =60o
UYARI: Yarıçap uzunluğundaki yayı
gören merkez açı 1 RADYAN dır.
ÇEVRE (ÇEMBER) AÇI:
Gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
Çapı göre çevre açı dik açıdır.
Verilen bir doğru parçasını dik açı
altında gören noktaların geometrik yeri;
O doğru parçasını çap kabul eden
çemberdir.
Dik üçgende hipotenüsün orta noktası
çevrel çember merkezidir.
Hipotenüse ait kenar ortay,
hipotenüsün yarısına eşittir.
TEĞET-KİRİŞ AÇI:
Gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
İÇ AÇI:
Gördüğü yayların ölçülerinin toplamının
yarısıdır.
DIŞ AÇI: Gördüğü yayların ölçülerinin
farkının yarısıdır.
- 110 -
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
mBC =2.35=70o
25=2
70mAD , mAD =120o
mBD=180o-1200=600 x=30o
ÖRNEK:
Diğer yaylarların ölçüleri 112o dir.
oo
zy 562
112 ,
ooo
t 842
56112
oooo
x 282
112)56112(
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
mCBA =70o , mADC =140o
mCB =40o mCDB =20o olur ki,
DCB ikizkenardır. |DC|=|CB|=12
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
mBCF =mAEB
(gördükleri yayların ölçülerinden)
BCFCEB (AA) , x
x 9
4 , x=6
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
BCDF dörtgeninde;
mB =320+x , mD =400+x
mB +mD =180o , 320+x+400+x=1800
x=54o
Y.G: AEPBCP ve ACPBDP (AA)
- 111 -
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
Büyük çemberde; mBAD =mACB
Küçük çemberde; mCAB =mADB
(Aynı yayı gören teğet-kiriş ve çevre
açılar.)
BADBCA (AA)
x
x 4
9
x=6
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
AOB ikizkenar dik üçgen.
|AO|=|OB|=r= 22
İKİ ÇEMBER:
İç içedir. Kesişmezler.
İçten teğettirler.
Farklı iki noktada kesişirler.
Dıştan teğettirler.
Biri birinin dışındadır. Kesişmezler.
- 112 -
Teğet çemberlerin merkezleri ile
değme noktaları doğrusaldır.
Kesişen iki çemberin merkezler
doğrusu, ortak kirişi dik olarak ortalar.
Kesişen iki çemberin ortak
noktasındaki teğetleri dik ise çemberler
dik kesişiyor denir.
Dik kesişen çemberlerde; 2
2
2
1
2 rrd dir.
ÖRNEK:
UYARI: BD//CE dir.
ÇÖZÜM:
mABD =62o , mBAD =38o =mDBE
x+38o=80o , x = 42o
21
111
RRx
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
O, C, T doğrusal. |OC|=R-r , |OH|=r
B, K, C doğrusal. |BC|=R+r , |HB|=R-r
|OC|2-|OH|2=|CH|2=|BC|2-|BH|2
(R-r)2-r2=(R+r)2-(R-r)2 , R2=6Rr ,
R=6r
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
|BC|=4=3+2-|DE| , |DE|=1
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
|CO|=|BO|=r-x , (r-x)2=x2+2
2
r
x=8
3r
- 113 -
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
B merkezli çemberin yarıçapı: x
C merkezli çemberin yarıçapı: y
|AB|=12-x
|BC|=x+y
|AC|=12-y
Ç(ABC)=24
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
|EP|=|EK|=r=1 , |FT|=|FS|=R
AF açıortay.
AEP, AFT 30, 60, 90 diküçgeni
|AE|=2 , |AF|=3+R=2R , R=3
|AF|=6=h
|BC|=4 3
Ç(ABC)=12 3
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
HKAD
(merkezler doğrusu, ortak kiriş)
HMD, HLD ve DLK, DNK
dik üçgenlerinde Pisagor;
|KN|2-|HM|2=|LK|2-|LH|2
82-42=x2-1
x=1
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
COD diküçgeninde;
|CO|=2-x
|CD|=1+x
(1+x)2=(2-x)2+1
x= 2/3
- 114 -
TEĞET:
Çembere dışındaki bir noktadan
çizilen teğet parçaları eştir.
Teğetlerin oluşturduğu açının
açıortayı, bu noktayı merkeze birleştiren
ışın olup, değme kirişini dik olarak
ortalar.
221
2 rrdCDAB
221
2 rrdHKEF
2
1
2
1
2
1
r
r
PO
PO
QO
QO
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
r2=|AC|.|BD| , r2=9.4 , r=6
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
ABC dik üçgeninde
|AB|=2r , |AC|=12-2r , |BC|=9-2r
(2r)2=(12-2r)2+(9-2r)2
4r2-84r+225=0
x=2
6621
|KA|=|KP|=|KB| , APB dik üçgen.
- 115 -
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
ABC 30, 60, 90 dik üçgeni
|AC|= 36 =|ED|=|PK|
EP yayının uzunluğu=
23
3.2
DK yayının uzunluğu= 123
2.9.2
İpin uzunluğu=
2. 3121412236
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
A(OADC) = A(OAC)+A(ADC)
= 2
18(3-r)+
2
18.3 = 24-4r
A(OADC) = 2.A(ODC) = 2.2
1r.5
24-4r = 5r , r = 8/3
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
O1BCO2 dik yamuğunda; 22
1
OP
OP ,
|OP|=5/3
AOP dik üçgeninde; 32=2
3
5
+|AP|2 ,
|AP|=3
142
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
PO1A ve PO2B 30, 60, 90 dik üçgeni.
|O1A|=6 , |PO1|=12 ,
|O2B|=18 , |PO2|=36
|O1O2| = |PO2|-|PO1| = 36-12 = 24
- 116 -
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
|AQ|=|AP|=4, |BT|=|BQ|=3,
|CR|=|CT|=16
|DS|=|DR|=6 , |ES|=|EP|=5 , 2u=68
A(ABCDE) = u.r = 34.20 = 680 br2
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
|BD|=u-b, |CD|=u-c , |BD|=2
512
2
29
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
ADO dik üçgeninde;
|OD|=r , |AD|= 96 r
ABC dik üçgeninde; |CD|=|CB|=9
ADOABC (AA) ; 969
3
9
r
rr
2796 rr , r=9/2
KUVVET
2.. TETDTCTBTAp değerine
noktanın çembere göre kuvveti denir.
KUVVET EKSENİ:
İki çembere göre aynı kuvvette olan
noktaların geometrik yeri merkezler
doğrusuna dik bir doğrudur.
21
2
2
2
1
2 OO
rrIH
Kesişen iki çemberin kuvvet ekseni,
çemberlerin ortak noktalarından geçen
doğrudur.
- 117 -
Teğet çemberlerin kuvvet ekseni,
ortak teğettir.
Üç çembere göre aynı kuvvette
olan noktaya kuvvet merkezi denir.
Üçgenin kenarlarını çap kabul eden
üç çemberin kuvvet merkezi, üçgenin
yüksekliklerinin kesim noktasıdır.
ACABDCBDADAEAD ...
2
ÇÖZÜM:
ABDAEC (AA) ;
AE
AB
AC
AD
|AD|.|AE|=|AB|.|AC|
|AD|.|AE|=|AD|(|AD|+|DE|)
=|AD|2+|AD|.|DE|
|AD|.|DE|=|BD|.|DC|
ÖRNEK:
ABCD kare. Çemberin yarıçapı?
ÇÖZÜM:
|DT|2=|DC|.|DE| ;
122=6.(6+|CE|) , |CE|=18
BCE dik üçgeninde;
4r2=62+182 , r= 103
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
62=z(z+7+5+4) , z2+16y-36=0 , z=2
8.y=4(5+7) , y=6
8.6=(4+x).5 , x=28/5
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
[DE] , ABC üçgeninde orta taban.
|DE|=1+4
1.4= 2)2
(x
, x=4
- 118 -
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
|KA|.|KB|=|KC|.|KD|
4.12=6.|KD| , |KD|=8
UYARI: |KA|2+|KB|2+|KC|2+|KD|2 = 4r2
42+122+62+82= 4r2 , r2=260 , r= 65
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
OEB dik üçgeninde;
|OE|=4 , |EB|=3
AOB dik üçgeninde; |OE|2=|AE|.|EB|
42=|AE|.3 , |AE|=16/3
|AO|2=|AE|.|AB| ,
|AO|2=9
25.163
3
16
3
16
, |AO|=
3
20
|AC|=|A0|-|OC|=3
84
3
20
ÖRNEK:
UYARI: |AB|2+|CD|2=8.r2-4.|OP|2
|AB|2+|CD|2 = 8.62-4.42 = 288-64 = 224
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
|PA|=|PA’| ; |PA|.|PA’|=|BP|.|PC|
|PA|2=6.9 ; |PA|= 63
ÖRNEK:
A, C, D doğrusal.
BCAD . ACBAED (AA)
AD
AB
AE
AC ; |AC|.|AD| = 2.18 = 36
|AC|.|AD|=|AT|2 ; |AT|=6
UYARI: |AT|2=|AE|.|AB|
- 119 -
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
|OR|.|OA|=|OS|.|OQ|
4.|OA|=3.3 ; |OA|=9/4
|AR|=|OR|-|OA| ; |AR|=4
7
4
94
|RB|.|RS|=|RA|.|RP|
|RB|.5= 8.4
7 |RB|=
5
14
UYARI: |PQ|2+|PS|2=|PA|.|PR|
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
OD BC , AC BC
ODB dik üçgeninde ;
|BD|= 24 |AC|=4 ,
ACD dik üçgeninde ; |AD|= 34
|DA|.|DE|=|DB|.|DC|
34 .|DE|= 24.24 |DE|=3
38
ÖRNEK:
xOy sabit bir açı.
C noktası [Oy ışını üzerinde hareket
eden bir nokta.
ACB açısının ölçüsü en büyük iken
|OC| kaçtır?
ÇÖZÜM:
[AB] çaplı çember ile [Oy nin ortak
noktaları aranan noktalardır.
OCD dik üçgeninde; |OC|= 3
ÖRNEK:
UYARI: |AB|2=2.|EC|2+2.|ED|2
ÇÖZÜM:
CPE ve EKD ikizkenar dik üçgen.
|CE|= 22
62=2. 222 +2.|ED|2 , |ED|= 10
|DK|= 5
- 120 -
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
APDE ve BKDE çizelim.
APC dik üçgeninde; |AC|2=x2+(7-a)2
BKC dik üçgeninde; |BC|2=x2+(3-a)2
|AC|2+|BC|2=2x2+58-20a+2a2
x2=a(10-a)
x2+a2=10x olduğundan
|AC|2+|BC|2=58
UYARI: |AC|2+|BC|2=2(R2+|OC|2)
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
DECDFA (AA) ;
DF
DE
AD
DC
|DC|.|DF|=|AD|.|DE|
|DC|(|FC|-|DC|)=(|AE|-|DE|)|DE|
|DC|.|FC|-|DC|2=|AE|.|DE|-|DE|2
|DC|.|FC|=|AE|.|DE|+|DC|2-|DE|2
|DC|.|FC|=|AE|.|DE|+|CE|2
=|AE|.|DE|+|AE|.|EB|
=|AE|(|DE|+|EB|)=|AE|.|DB|
- 121 -
KİRİŞLER DÖRTGENİ:
Köşeleri aynı çember üzerinde olan
dörtgene kirişler dörtgeni denir.
Karşılıklı açıları bütünlerdir.
Kare, dikdörtgen, ikizkenar yamuk
birer kirişler dörtgenidir.
BATLAMYUS TEOREMİ:
e.f=a.c+b.d
cdab
bcad
f
e
a.c=b.d ise Harmonik dörtgen adını alır.
))()()(( ducubuauABCDA
ÖRNEK:
|AN|=|NP| ise mANB=?
Y.G: ONAP çiz.
ONCB kirişler dörtgeni. mCOB=45o
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
mPCT =2.p +mA+2t=mBCD
mA +mBCD =180o
2.p+mA +2t=1800-mA
2(p+mA +t)=1800
p+mA +t = x , 2x=1800 , x=900
ABC eşkenar üçgeninin çevrel çemberi
üzerindeki herhangi bir P noktası için:
PCPAPB dir.
Y.G: PABC kirişler dörtgeninde;
|PA|.a+|PC|.a=|PB|.a ,
|PA|+|PC|=|PB|
- 122 -
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
mAIC =135o , ADCI kirişler dörtgeni.
x=mIAC =20o
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
PEA üçgeninde; p+110=mEAB
CPF üçgeninde; p+mPCF =x
ABCD kirişler dörtgeninde;
mDAB +mDCB =180 , x=700
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
ACDB kirişler dörtgeninde; mBDC = 120
mCDT =60=mATE , x=50
UYARI: AB//EF dir.
ÖRNEK:
|AB|=|AC| iken Ç(ABDE)=?
ÇÖZÜM:
ABC ikizkenar. mABC =mACB
mEDB =2.mACB , mDEC =mECD
EDC ikizkenar.
|CD|=|DE|=|EA|=4
|CD|.|CB|=|CE|.|CA|
|CE|(|CE|+4)=4.15=60 , |CE|=6
|CA|=|AB|=10
Ç(ABDE)=10+11+4+4=29
ABCD bir kare.
|PA|2+|PA|.|PC|=|PD|2+|PD|.|PB|
Y.G:
PADC ve PBAD kirişler dörtgenlerinde
Batlamyus teo. uygulanırsa eşitlik
doğrulanır.
- 123 -
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
|AD|=|DC|=|CB| olmalıdır.
Bu durumda;
AOD, DOC, COB eşkenar üçgen olur.
A(ABCD)=4
3.3
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
AOD , DOC , COB birer
eşkenar üçgendir.
|AD|=|BC|=3
Ç(ABCD)=15
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
ABPE kirişler dörtgeninde
Batlamyus teo.
|BP|.|AE|+|EP|.|AB|=|AP|.|EB|
UYARI: |AP|=|AB| dir.
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
PDCPAD (AA) ; PD
PC
PA
PD
AD
DC
PBCPAB (AA) ; PB
PC
PA
PB
AB
BC
|PD|=|PB| olduğundan ; AB
BC
AD
DC
olur ki ,
|DC|.|AB|=|BC|.|AD| bulunur.
3.x=9.4 , x=12
UYARI: Karşılıklı iki köşesindeki
teğetleri diğer köşegeni üzerinde
kesişen kirişler dörtgenine
Harmonik dörtgen denir.
|AB|.|CD|=|AD|.|BC| dir.
- 124 -
TEĞETLER DÖRTGENİ:
Kenarları bir çembere teğet olan
dörtgene teğetler dörtgeni denir.
Karşılıklı kenar uzunluklarının
toplamları eşittir.
( |AB|+|CD|=|BC|+|AD| )
Kare, eşkenar dörtgen, deltoit
birer teğetler dörtgenidir.
A(ABCD)=u.r
Hem kirişler, hem de teğetler
dörtgeni olan dörtgende
A(ABCD)= abcd
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
ABCD kirişler dörtgeni olduğundan ;
mB +mD =180o
ABCD teğetler dörtgeni olduğundan ;
[BO ve [DO açı ortaydır.
mABO +mADO =90o
ABOD dörtgeninde ;
x=mABO +70+mADO =160o
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
EF ortak teğetini çizdiğimizde ;
|EF|=2r ve
AEFD , EBCF kirişler dörtgeni ;
|AE|+|FD|=2r+10 , |EB|+|FC|=2r+10
|AE|+|FD|+|EB|+|FC|=4r+20 ,
4r+20=32 , r=3
UYARI: |EF|=|AB|-|BC| dir.
ÖRNEK:
Kenarları 10 ve 15 cm. olan
paralelkenarın uzun kenarlarına dik olan
bir doğru, paralelkenarı öyle iki yamuğa
bölüyor ki, bu yamuklardan her ikisine de
iç teğet çember çizilebilmektedir. Bu
durumda paralelkenarın alanı kaç cm2
dir?
ÇÖZÜM:
Her iki yamukta kirişler dörtgeni
olacağından |EF|=15-10=5=2.r=h
A(ABCD)=a.h=15.5=75
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
A(ABCD)=u.r , |AB|+|CD|=|AD|+|BC|=9
u=9 , 9.r=20 , r=20/9
- 125 -
ÇEVRE VE ALAN:
ÇEVRE = 2πR
ALAN = πR2
mAOB =
derece cinsinden verilirse :
AB yayının uzunluğu =
.360
.2 r
AOB diliminin alanı =
.360
. 2r
raydan cinsinden verilirse :
AB yayının uzunluğu = .r = l
AOB diliminin alanı = lr.2
1
ÖRNEK:
AOB daire diliminin çevresi 7 cm. ,
alanı 3 cm2 ise dairenin yarıçapı kaç
cm.dir?
ÇÖZÜM:
72 rl ve 3.2
1lr , 6. lr
rl 27 , 6)27( rr
2r2-7r+6=0
r1=2 veya r2=1,5
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
COP ; 30,60,90 üçgeni. mCOD =120o
COD diliminin alanı=3
16.
A(COD)= 34 Y: 343
16
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
Dairelerin yarıçapları ; r , 2r , 3r
Taralı alan = .(2r)2 - .r2= 3 .r2
Büyük dairenin alanı = (3r)2= 9 .r2
- 126 -
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
|OA|=|AC|=x , |BF|=r dersek ;
|AB|=x+r , |OB|=2x-r
(x+r)2-(x-r)2=(2x-r)2-r2
x=2r olur . Y:16
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
Karenin köşegen uzunluğu = 2
kenar uzunluğu= 2
Yarım dairelerin alanları toplamı =
Büyük dairenin alanı =
Taralı alanlar=
=(yarım daireler+kare)-büyük daire
= 22
ÖRNEK:
OCDE Dikdörtgen.
ÇÖZÜM:
|OE|=x , |OC|=y dersek ;
x+y=13 , x2+y2=102 ,
(x+y)2=x2+2xy+y2=169 ,
xy=69/2
T=254
69
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
AHBCHA (AA)
benzerlik oranı = 3/4
Alanlar oranı=(benzerlik oranı)2 = 9/16
- 127 -
ÖRNEK:
S noktasında dıştan teğet A ve B
merkezli çemberlerin yarıçapları 3
br.dir.
A ve B den diğer çemberlere çizilen
teğetler CD dış ortak teğeti P ve Q da,
birbirlerini T de kesmektedir.
Buna göre; A(PTQ) kaç br2 dir?
ÇÖZÜM:
AEB ve BFA üçgenleri
|AB|=6 , |AE|=|BF|=3 olduğundan
300-600-900 dik üçgenleridir.
ATB ve PTQ üçgenleri taban açıları
300 olan ikizkenar üçgenlerdir.
|AB|=6 , |ST|= 3
PTQ üçgeninin yüksekliği : 33
|PQ|= 636 bulunur.
A(PTQ)= 18312)33)(636(2
1
br2.
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
A , B ve C noktalarının çembere gore
kuvvetleri yazıldığında ;
|AD|.|AE|=|AP|.|AH|
|BF|.|BG|=|BE|.|BD|
|CH|.|CP|=|CG|.|CF|
|AB|=|BC|=|AC|=K dersek
|AD|(K-|BE|)=|AP|(K-|HC|)
|BF|(K-|GC|)=|BE|(K-|AD|)
|CH|(K-|AP|)=|CG|(K-|BF|)
|AD|.K-|AD|.|BE|=|AP|.K-|AP|.|HC|
|BF|.K-|BF|.|GC|=|BE|.K-|BE|.|AD|
|CH|.K-|CH|.|AP|=|CG|.K-|CG|.|BF|
eşitlikleri taraf tarafa toplandığında ;
|AD|+|BF|+|CH|=|AP|+|CG|+|BE|
bulunur.
8+4+9=x+6+3 , 21=x+9 , x=12 dir.
- 128 -
O başlangıç noktasında dik kesişen iki
sayı ekseninin oluşturduğu sisteme
koordinat sistemi denir.
Düzlemde her noktaya bir gerçel sayı
ikilisi, her gerçel sayı ikilisine de
düzlemde bir nokta karşı gelir.
Bir noktanın y-ekseninden uzaklığına,
noktanın apsis’i denir. x ile gösterilir.
x-ekseninden uzaklığına, noktanın
ordinat’ı denir. y ile gösterilir.
(x,y) ikilisine noktanın koordinatı denir.
A(x,y) noktasının:
Ox eksenine göre simetriği: A1(x,-y)
Oy eksenine göre simetriği: A2(-x,y)
O noktasına göre simetriği: A3(-x,-y)
y=x doğrusuna göre simetriği:
A4(y,x)
y=-x doğrusuna göre simetriği:
A5(-y,-x)
ÖRNEK:
2x+3y+12=0 doğrusunun;
Ox eksenine göre simetriği:
2x-3y+12=0
Oy eksenine göre simetriği:
-2x+3y+12=0
O noktasına göre simetriği:
-2x-3y+12=0
y=x doğrusuna göre simetriği:
2y+3x+12=0
y=-x doğrusuna göre simetriği:
-2y-3x+12=0
ÖRNEK:
x ekseni üzerinde bulunan, A(1,2) ve
B(4,3) noktalarından uzaklıkları toplamı
en az olan C noktasının apsisi kaçtır?
ÇÖZÜM:
ADCBEC (A.A) EC
DC
BE
AD
x
x
4
1
3
2 , 8-2x=3x-3 , 5x=11 ,
x=11/5
Toplamın en küçük değeri:
|AC|+|CB|=|A’C|+|CB|=|A’B|
|A’B|2=32+42=52 |A’B|=5
ANALİTİK GEOMETRİ
- 129 -
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
A nın, x eksenine göre simetriği A1,
B nin, y eksenine göre simetriği B1 olsun.
A1PTB1 yolu aranan yoldur.
|A1B1|=15 birim.
A(x1,y1) ve B(x2,y2) noktaları arasındaki
uzaklık:
221
2
21 yyxxAB
ÖRNEK:
A(1,2) ve B(-3,4) noktalarından eşit
uzaklıkta bulunan P(x,y) noktalarının
geometrik yerinin denklemi?
ÇÖZÜM:
|PA|=|PB| 2222 )4()3()2()1( yxyx
x2-2x+1+y2-4y+4 = x2+6x+9+y2-8y+16
2x-y+5 = 0
!!! Geometrik yer denklemi olarak bulunan
doğru denklemi, [AB] doğru parçasının
orta dikme doğrusunun denklemidir.
A(x1,y1) ve B(x2,y2) olmak üzere
[AB] yi verilen k oranında bölen nokta
C(xo,yo) olsun.
k
kxxxo
1
21 , k
kyyyo
1
21 dir.
(k < 0 ise C[AB] dir.)
C(xo,yo) , [AB] nin orta noktası ise:
2
21 xxxo
,
2
21 yyyo
A(x,y) noktasının P(a,b) noktasına
göre simetriği: A’(2a-x, 2b-y)
ÖRNEK:
A(3,4) noktasının, B(6,2) noktasına göre
simetriği?
ÇÖZÜM:
A nın, B ye göre simetriği C ise;
B noktası, [AC] nin orta noktasıdır.
6=2
3 x , x=9 ve 2=
2
4 y , y=0
C(9,0)
- 130 -
A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) olmak
üzere ABC üçgeninin kenar ortaylarının
kesim noktası G(xo,yo) ise:
3
321 xxxxo
,
3
321 yyyyo
ÖRNEK:
A(0,0) ; B(-1,5) ; C(4,1) olmak üzere, ABC
üçgeninin kenar ortaylarının kesim
noktası?
ÇÖZÜM:
13
4)1(0
3
321
xxx
xo
23
150
3
321
yyy
yo
G(1,2)
Paralelkenarda karşılıklı köşelerin
apsisleri toplamı ve karşılıklı köşelerin
ordinatları toplamı eşittir.
x1+x3=x2+x4 ve y1+y3=y2+y4
ÖRNEK:
(-1,-2) ; (0,1) ; (-3,2) ; (m,n) noktaları bir
paralel kenarın köşeleri ise m+n=?
ÇÖZÜM:
x1+x3=x2+x4 -1+(-3)=0+m m=-4
y1+y3=y2+y4 -2+2=1+n n=-1
m+n=-5
UYARI:
Dikdörtgen,Kare ve Eşkenar dörtgen için
de kural geçerlidir.
DOĞRU DENKLEMİ:
Bir doğrunun Ox ekseni ile pozitif yönde
yaptığı açıya eğim açısı,
eğim açısının tanjantına doğrunun eğimi
denir.
A(x1,y1) ve B(x2,y2) noktalarından
geçen doğrunun eğimi:
21
21
xx
yym
A(x1,y1) noktasından geçen ve eğimi
m olan doğru denklemi:
y-y1 = m(x-x1)
A(x1,y1) ve B(x2,y2) noktalarından
geçen doğru denklemi:
21
1
21
1
xx
xx
yy
yy
0
1
1
1
22
11
yx
yx
yx
x eksenini p de, y eksenini k da kesen
doğru denklemi:
1k
y
p
x
- 131 -
x = a y eksenine paralel doğrudur.
(x=0 doğrusu, Ox ekseni.)
A(x,y) noktasının x = a ya göre simetriği
A’(2a-x, y) dir.
y = b x eksenine paralel doğrudur.
(y=0 doğrusu, Oy ekseni.)
A(x,y) noktasının y=b ye göre simetriği
A’’(x, 2b-y) dir.
ÖRNEK:
A(-2,3) noktasının; x=1 ve y=-1
doğrularına göre simetrikleri?
ÇÖZÜM:
(4,3) ; (-2,-5)
y = mx merkezden geçen,
eğimi m olan doğrudur.
y=x I. Açı ortay doğrusu.
y=-x II. Açı ortay doğrusu.
ÖRNEK:
3x-4y-12=0 doğrusunun, y=x ve y=-x
doğrularına göre simetrikleri:
ÇÖZÜM:
3y-4x-12=0 ve -3y+4x-12=0 dır.
ax+by=0 merkezden geçen,
eğimi m=b
a olan doğrudur.
y=mx+n açık doğru denklemi.
Eğimi m dir.
ax+by+c=0 kapalı doğru denklemi.
Eğimi m=b
a dir.
Paralel iki doğrunun eğimleri eşittir.
121 // mdd 2m
Dik iki doğrunun eğimleri çarpımı
-1 dir.
121 mdd . 12 m
ax+by+c=0 ve a1x+b1y+c1=0
doğruları için:
11 b
b
a
akesişirler.
111 c
c
b
b
a
aparaleldirler.
111 c
c
b
b
a
açakışıktırlar.
y=mx+n eşitliğinde:
m değişir, n sabit kalırsa
doğrular (0,n) noktasından geçerler.
m sabit kalır, n değişirse
doğrular paraleldir.
ax+by+c=0 ve a1x+b1y+c1=0
doğrularının kesim noktasından geçen
bütün doğruların denklemi:
(doğru demeti)
ax+by+c+k(a1x+b1y+c1)=0 dır.
- 132 -
ÖRNEK:
Denklemleri 2x+3y-8=0 ve
7x+2y+16=0 olan doğruların kesim
noktasından ve koordinat başlangıcından
geçen doğrunun denklemi?
ÇÖZÜM:
7x+2y+16+k(2x+3y-8)=0 doğrularından
O(0,0) noktasından geçen için :
16+k(-8)=0 ve k=2 dir.
7x+2y+16+2(2x+3y-8)=0
11x+8y=0 olur.
A(x1,y1) noktasının
ax+by+c=0 doğrusuna uzaklığı:
22
11
ba
cbyaxd
ax+by+c=0 doğrusunun
orijinden uzaklığı:
22 ba
cd
Paralel iki doğru olan
ax+by+c=0 ve ax+by+c1=0
doğruları arasındaki uzaklık:
22
1
ba
ccd
ax+by+c=0 ve a1x+b1y+c1=0
doğrularının oluşturduğu açıların
açıortaylarının denklemi:
2
1
2
1
111
22 ba
cybxa
ba
cbyax
Eğimleri m1 ve m2 olan iki doğru
arasındaki açı Θ ise:
21
21
1tan
mm
mm
A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) olmak
üzere:
1
1
1
)(.2
33
22
11
yx
yx
yx
ABCA dir.
Üç noktanın doğrusal olması için:
A(ABC)=0 olmalıdır.
ALIŞTIRMALAR:
x>3 , y<2 , x< 0 ,
0< x<2 , -1< y<3
x2 ve y4 , x2 ve y 1
x2+y2=1 , x2+y2 < 1 , x2+y2 > 1
|x|2 ve |y|4 , |3x-5| y
|x|+|y|=2 , x.y=0 , |x|+x=|y|+y
koşulunu sağlayan (x,y) noktalarını
analitik düzlemde gösteriniz.
- 133 -
ÖRNEK:
Köşegenlerinin kesim noktası (0,1/2) olan
ve bir kenarı x ekseni üzerinde bulunan
karenin köşegen uzunluğu kaç birimdir?
ÇÖZÜM:
Köşegenlerin kesim noktasının
x ekseninden uzaklığı karenin kenarının
yarısıdır.
y=1/2 olduğundan a=1 dir.
e= 2 a= 2
ÖRNEK:
A(-1,4), B(2,1), C(-2,-3) için
ΔABCde mB=?
ÇÖZÜM:
mAB= 121
14
, mBC= 1
)2(2
)3(1
(mAB)(mBC)=(-1)(1)=-1 olduğundan
AB BC dir.
ÖRNEK:
m,nZ olmak üzere, O merkezli ,
5/2 birim yarıçaplı çemberin içinde kaç
tane (m,n) noktası vardır?
ÇÖZÜM:
|OP| < 5/2
2/5)0()0( 22 yx
x2+y2< 25/4 eşitsizliğini doğrulayan
21 tane tamsayı ikilisi vardır.
ÖRNEK:
Analitik düzlemde Ox ekseninden,
Oy ekseninden ve (3,6) noktasından eşit
uzaklıkta bulunan noktalar?
ÇÖZÜM:
P(x,y) noktası eksenlerden eşit uzaklıkta
olduğundan; x=y=a diyelim.
|PA|=a olacağından;
aaa 22 )6()3(
a2-6a+9+a2-12a+36=a2
a2-18a+45=0 (a-3)(a-15)=0
a1=3 a2=15 Y:(3,3),(15,15)
ÖRNEK:
x2+y2=1 çemberi üzerindeki hangi
noktalar (1,3) ve (-2,2) noktalarından
eşit uzaklıktadır?
ÇÖZÜM:
P(x,y) noktası (1,3) ve (-2,2)
noktalarından eşit uzaklıkta olduğundan; 2222 )2()2()3()1( yxyx
y=1-3x bulunur.
x2+y2=1 eşitliği ile ortak çözümü;
x2+(1-3x)2=1 5x2-3x=0
x1=0 x2=3/5
y1=1 y2=-4/5 Y:(0,1),(3/5,-4/5)
ÖRNEK:
(2,3) ve (1,1) noktalarından geçen doğru
y eksenini (0,b) de kesiyorsa b=?
ÇÖZÜM:
12
2
13
3
xy , y=2x-1
b=2.0-1 , b=-1
- 134 -
ÖRNEK:
2x+5y-20=0 doğrusu ile koordinat
eksenlerinin oluşturduğu üçgensel
bölgenin alanı kaç br2 dir?
ÇÖZÜM:
x=0 için y=4 ve y=0 için x=10 olduğundan
eksenleri kestiği noktalar (0,4) ve (10,0)
dır.
Oluşan dik üçgenin alanı: 202
4.10 br2.
ÖRNEK:
y=3x+1 doğrusu üzerinde bulunan,
(0,0) ve (-3,4) noktalarından eşit
uzaklıkta olan nokta?
ÇÖZÜM:
y=3x+1 doğrusu üzerindeki nokta,
P(x,3x+1) 2222 )413()3()013()0( xxxx
18x-17=0 x=17/18 y=23/6
Y:(17/18, 23/6)
ÖRNEK:
A(0,0), B(9,0) olacak şekilde verilen
ΔABC için a=10, b=17, c=9 olduğu
biliniyor.
Buna göre I. Bölgedeki C noktası?
ÇÖZÜM:
|AC|=17 , 1722 yx ,
x2+y2=289
|BC|=10 , 10)9( 22 yx ,
x2-18x+81+y2=100
18x=270 , x=15 , y= 8
Y:(15,8)
ÖRNEK:
5x-y=1 doğrusuna dik olan öyle bir doğru
bulunuz ki, bu doğru ile eksenlerin
oluşturduğu üçgensel bölgenin alanı 5 br2
olsun?
ÇÖZÜM:
AOBDOC (A.A) A(AOB)=1/10
2
5
15
10
1
OC
|OC|= 2
5x-y=0 , m1=5
m1.m2=-1 m2=5
1
y5
12 x Y: 2
5
1xy
ÖRNEK:
mR+ için 13x+11y=700 ve y=mx-1
doğrularının koordinatları tamsayı olan
bir noktada kesişmeleri için m=?
ÇÖZÜM:
13x+11y=700 ve
y=mx-1 denklem sisteminden;
13x+11(mx-1)=700 , x=1311
711
m
m=6
- 135 -
ÖRNEK:
y=x ve y=7x doğrularının oluşturduğu
açılardan birinin oçı ortayının eğimi
kaçtır?
ÇÖZÜM:
25
7
2
yxyx
x+2y=0 m1=-1/2
2x-y=0 m2=2
ÖRNEK:
1 |x|+|y|2 koşulunu sağlayan
(x,y) noktalarının oluşturduğu alan kaç
br2 dir?
ÇÖZÜM:
21 yx , 21 yx
21 yx , 21 yx
Taralı alan = 62
2.2
2
4.4 birim kare.
ÖRNEK:
Köşeleri (2,0),(0,4),(4,6) olan üçgenin
çevrel çemberinin merkezi?
ÇÖZÜM:
|OA|=|OB|=|OC| 222222 )6()4()4()2( yxyxyx
x=3 ve y=3
ÖRNEK:
|AB|=l olan [AB] nin uç noktaları
eksenler üzerinde kayarken P orta
noktasının geometrik yeri?
ÇÖZÜM:
AOB dik üçgeninde; hipotenüse ait
kenar ortayın uzunluğu,hipotenüsün
yarısı olacağından
|OP|=l/2 dir. O dan l/2 birim uzaklıkta
bulunan noktalar, O merkezli ve l/2 birim
yarıçaplı çember üzerindedir.
Y:O merkezli. l/2 yarıçaplı çember
ÖRNEK:
A(2,3) noktasından geçen, eğimi 2/5 olan
doğrunun denklemi nedir?
ÇÖZÜM:
y-y1=m(x-x1) , y-3=5
2(x-2)
2x-5y+11=0
ÖRNEK:
3x+4y=1000 doğrusu O dan kaç br.
uzaklıktadır?
ÇÖZÜM:
2005
1000
43
1000
2222
ba
cd
- 136 -
ÖRNEK:
Denklemi 2x-5y+11=0 olan doğru ve
koordinat eksenlerinin oluşturduğu
üçgensel bölgenin alanı kaç birim
karedir?
ÇÖZÜM:
x=0 ve y=0 doğruları ile verilen
doğrunun kesim noktaları;
(0, 11/5) ve (-11/2, 0) dır.
Oluşan üçgensel bölgenin alanı:
20
121)
2
11.
5
11(
2
1 birim kare.
ÖRNEK:
A(5,1) noktasının, x+y-2=0 doğrusu
üzerindeki dik izdüşümü ?
ÇÖZÜM:
x+y-2=0 , m1=-1
m1.m2=-1 , m2=1
(5,1) den geçen, eğimi m2=1 olan doğru
denklemi
y-1=1.(x-5) , x-y-4=0 dır.
Verilen doğru ile kesim noktası
A1(3, -1) aranan noktadır.
UYARI: A noktasının x+y-2=0 doğrusuna
göre simetriği; A nın, izdüşümü olan A1 ‘e
göre simetriğidir. A2(1,-3)
ÖRNEK:
x+y-4=0 doğrusunun x=-1 doğrusuna
göre simetriğinin denklemini yazınız.
ÇÖZÜM:
(x,y) noktasının x=-1 doğrusuna göre
simetriği (2.(-1)-x , y)=(-2-x , y)
olduğundan x+y-4=0 doğrusunun x=-1
doğrusuna göre simetriği
(-2-x)+y-4=0 x-y+6=0 dır.
ÖRNEK:
a) BC doğrusu üzerinde bulunan ve
|AP|2+|AQ|2 toplamının en küçük
olmasını sağlayan A noktası?
ÇÖZÜM:
P ve Q noktalarının d doğrusu üzerindeki
dik izdüşümlerini bulalım:
d: x+y=4
P den , d ‘ye çizilen dikme: y=x+7
Q dan , d !ye çizilen dikme: y=x-5
P1(-3/2 , 11/2) Q1(9/2 , -1/2)
[P1Q1] in orta noktası A dır.
A(3/2 , 5/2)
b) a daki A noktasından geçen ve PQ
doğrusuna paralel olan d doğrusuyla x=4
doğrusunun kesim noktasının ordinatı?
ÇÖZÜM:
mPQ=-1/2 , )2
3(
2
1
2
5 xy
x=4 , y=5/4
c) b deki kesim noktası D olsun.
d doğrusu ile y ekseninin kesim noktası
E ise A(OCDE)=?
ÇÖZÜM:
x=0 için y=13/4
E(0 , 13/4) D( 4 , 5/4)
A(OCDE)= 92
4).4
5
4
13(
br2
- 137 -
ÖRNEK:
2y+x+3=0 ve 3y+ax+2=0 doğruları
dik kesiştiğine göre a kaçtır?
ÇÖZÜM:
m1=2
1 , m2=
3
a ve
132
1
a a=-6
ÖRNEK:
4x+ay-4a=0 doğrusu,
2x-y+4=0 doğrusuna diktir.
Bu iki doğru ve x ekseninin oluşturduğu
üçgensel bölgenin alanı kaç birim
karedir?
ÇÖZÜM:
m1=-a
4 , m2=2 ve
(-a
4).2=-1 a=8
Doğruların eksenleri kestiği noktalar:
(-2,0) , (8,0) ve (0,4) olduğundan,
taban=10 birim, yükseklik=4 birimdir.
Alan = 202
4.10 br2
ÖRNEK:
3x-4y+32=0 ve 6x-8y-16=0
doğrularını kenar kabul eden
dikdörtgenin alanı 56 br2 ise
çevresi kaç birimdir?
ÇÖZÜM:
3x-4y+32=0 ve 3x-4y-8=0 paralel
doğruları arasındaki uzaklık:
843
)8(32
22
d br.
8.b=56 , b=7
Ç=2(7+8)=30 br.
ÖRNEK:
x+y=1 , x+y=2 doğruları ve
eksenlerle sınırlı bölgenin alanı kaç
birimkaredir?
ÇÖZÜM:
Taralı alan= 2
3)1.1(
2
1)2.2(
2
1 br2
ÖRNEK:
y=-4 ; x=0 ve 3x+4y+k=0 doğruları ile
sınırlı üçgensel bölgenin alanı 24 br2 ise
k nın alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
ÇÖZÜM:
y=-4 ve 3x+4y+k=0 doğruları ;
(3
16 k , -4)
x=0 ve 3x+4y+k=0 doğruları ;
(0 , 4
k ) noktalarında kesişirler.
Oluşan dik üçgenin dik kenar uzunlukları:
3
16 k ve
4
16 k birim,
244
16.
3
16
2
1
kk
(16-k)2=576
16-k=24 , k=-8 ve
16-k=-24 , k=40
- 138 -
1. ÖRNEK:
Verilenlere göre ACDB yolunun en küçük
değeri kaç birimdir?
ÇÖZÜM:
Aranan en kısa yol :
A nın y eksenine simetriği olan A’ ile,
B nin x eksenine göre simetriği olan B’
yü birleştiren A’CDB’ yoludur.
UYARI:
B nin O ya göre simetriği olan P yi ,
A ile birleştiren ACP yolu A’CDB’ ile
aynıdır.
|A’B’|= 170))2(5()83( 22
2. ÖRNEK:
Analitik düzlemde O başlangıç
noktasından uzaklığı 5 birim ve
koordinatları tamsayı olan kaç tane
nokta vardır?
ÇÖZÜM:
O merkezli , 5 br. yarıçaplı çember
üzerindeki koordinatları tamsayı olan
noktalar aranıyor.
x2 + y2 = 25 koşunu sağlayan (x,y)
tamsayı ikilileri isteniyor.
(5,0),(4,3),(3,4),(0,5),(-3,4),(-4,3),(-
5,0),(-4,-3),
(-3,-4),(0,-5),(-3,-4),(-4,-3) olmak
üzere
12 tane nokta vardır.
- 139 -
3. ÖRNEK:
|AC|=|CB| , CDAB
Verilenlere göre ; x’in tamsayı olmasını
sağlayan kaç tane p tamsayısı vardır?
ÇÖZÜM:
CD , [AB] nin orta dikmesi olduğundan
|AD|=|BD| dir.
2222 )06()()04()0( xpx
02022 xpp denkleminde x’in
hangi tamsayı değerleri için p tamsayı
olduğu araştırılacak.
202804 22 xx
202 x ifadesini tamsayı yapan x’in
6 değerleri için p tamsayı olur.
P’nin 2 ve 10 değerleri için
x değerleri de tamsayıdır.
4. ÖRNEK:
Analitik düzlemde ;
1 yx ve 1 yx eğrileri ile
sınırlı düzlemsel bölgenin alanı kaç br2
dir?
ÇÖZÜM:
111 yxyx
x-y=1 ve x-y=-1 doğruları arasındaki
noktalar.
11 yxyx ve 1 yx
x+y=1 ve x+y=-1 doğruları arasındaki
noktalar.
Köşeleri (1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1) olan
karesel bölgenin alanı 2 br2 dir.
- 140 -
5. ÖRNEK:
y=|x-1| ve y=3-|x| eğrileri ile sınırlı
bölgenin alanı kaç birim karedir?
ÇÖZÜM:
Kenar uzunlukları 2 ve 22 br. olan
bir dikdörtgen oluşur.
ALAN = 2 . 22 = 4 br2.
6. ÖRNEK:
A(0,0) ve B(3,4) noktalarından eşit
uzaklıkta bulunan P(x,y) noktalarının
geometrik yerinin denklemini yazınız?
ÇÖZÜM:
|AP|=|BP|
2222 )4()3()0()0( yxyx
16896 2222 yyxxyx
16896 2222 yyxxyx
02586 yx
7. ÖRNEK:
3y-x=2 ve 2y-5x=1 doğrularının kesim
noktasından geçen ,
y-2x=7 doğrusuna dik olan doğrunun
denklemini yazınız?
ÇÖZÜM:
3y-x=2 ve 2y-5x=1 doğrularının
kesim noktasından geçen tüm doğruların
denklemi:
3y-x-2+k(2y-5x-1)=0
(3+2k)y-(1+5k)x-2-k=0 biçimindedir.
y-2x=7 doğrusunun eğimi m=2 ,
dik doğrunun eğimi m1=2
1 olduğundan
2
1
23
51
k
k olmalıdır.
k=12
5
0)12
5(2))
12
5(51())
12
5(23( xy
26y+13x-19=0 aranan doğrunun
denklemidir.
- 141 -
KONU TARAMA TESTİ
1. Bir kenarı x-ekseni üzerinde olan,
köşegenleri (0,1/2) noktasında kesişen
karenin alanı kaç birim karedir?
A) 1/4 B) 1/2 C) 1 D) 2 E) 4
2. A(-1,3) ve B(2,-4) noktaları için
|AB|=?
A) 58 B) 55 C) 5 2 D) 7 E) 6
3. A(0,2), B(-2,0), C(2,-1), D(-2,1),
E(0,-2) noktalarından hangisi
4. bölgededir?
A) A B) B C) C D) D E) E
4.
A) 21/2 B) 5 C) 3 D) 5/2 E) 2
5. A(0,0) ve B(3,4) noktalarından
eşit uzaklıkta bulunan noktaların
geometrik yerinin denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 6x-8y=25 B) 6x+8y=25
C) 3x-4y=5 D) 3x+4y=5
E) 3x+4y=25
6.
Taralı bölge aşağıdaki eşitsizliklerden
hangisi ile verilmiştir?
A) x 1 ve y2 B) |x| 1 ve |y|2
C) |x| 1 ve |y|2 D) |x| 1 ve |y|2
E) |x| 1 ve |y|2
7. A(1,-1) ve B(4,2) noktalarından
geçen doğrunun eğimi kaçtır?
A) 1/2 B) 1/3 C) 1 D) 2 E) 3
8. A(-1,5) noktasından geçen ve
eğimi -2 olan doğrunun denklemi
hangisidir?
A) y=-2x+3 B) y=2x-3 C) y=-2x-3
D) y=2x+3 E) y=3
2x+1
9. Eğimi 9 olan ve y-eksenini -7 de
kesen doğrunun denklemi hangisidir?
A) y=9x+7 B) y=9x-7 C) y=-9x+7
D) y=-9x-7 E) y=7
9x-1
10. A(-2,3) ve B(4,-1) noktalarından
geçen doğrunun denklemi hangisidir?
A) 2x+3y+5=0 B) 2x-3y+5=0
C) 2x-3y-5=0 D) 2x+3y-5=0
E) 3x+2y+5=0
- 142 -
11. x-eksenini -2 de, y-eksenini 5 de
kesen doğrunun denklemi hangisidir?
A) 5x+2y+10=0 B) 5x+2y-10=0
C) 5x-2y+10=0 D) 5x-2y-10=0
E) 2x+5y+10=0
12. 3x-y+2=0 doğrusuna dik olan ve
başlangıç noktasından geçen doğrunun
denklemi hangisidir?
A) x-3y=0 B) x+3y=0 C) 3x-y=0
D) 3x+y=0 E) x+y=0
13. x+y-3=0 ve x-2y+2=0 doğrularının
kesim noktasının apsisi kaçtır?
A) 5/3 B) 4/3 C) 1 D) 2 E) 3
14. x+2y-2=0 ve 2x+ky+3=0
doğrularının paralel olması için k kaç
olmalıdır?
A) -2 B) -1 C) 2 D) 3 E) 4
15. 2x+5y-7=0 ve 15x+ay+4=0
doğrularının dik olması için a ne
olmalıdır?
A) -6 B) -4 C) -2 D) 4 E) 6
16. A(-4,3) ve B(2,-1) noktaları için
[AB] nin orta dikme doğrusunun denklemi
hangisidir?
A)3x+2y+5=0 B)3x+2y-5=0
C)3x-2y+5=0 D) 3x-2y-5=0
E) 2x+3y+5=0
17. A(3,1) noktasının 3x+4y-3=0
doğrusundan uzaklığı kaç birimdir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
18. x+2y-2=0 ve 2x+4y+3=0 doğruları
arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 5
3 B)
52
7 C)
5
4 D) 3 E) 4
19. 2x+5y-20=0 doğrusu ve
koordinat eksenlerinin oluşturduğu
üçgensel bölgenin alanı kaç birim
karedir?
A) 40 B) 30 C) 25 D) 20 E) 15
20. A(1,3), B(5,7), C(4,8), D(a,b)
noktaları bir dikdörtgenin köşeleridir.
a+b=?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
21. A(7,3) noktasından geçen ve x-
ekseni ile pozitif yönde 45o lik açı yapan
doğrunun eksenlerle oluşturduğu
üçgensel bölgenin alanı kaç birim
karedir?
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
22. 3x-4y=2 ve 4x-3y=-1 doğrularının
oluşturduğu açılardan birinin açı
ortayının denklemi hangisidir?
A) 7x+7y=1 B) 7x+7y=-1 C) 7x-7y=1
D) 7x-7y=-1 E) x+y=7
- 143 -
23. (5m+1)x+(m-3)y+2-3m=0
doğrularının geçtiği sabit nokta P(x,y)
ise x+y=?
A) 1 B) 5/4 C) 3/2 D) 7/4 E) 2
24. P(t+1, 2t-1) noktalarının
geometrik yerinin denklemi hangisidir?
A) y=2x+3 B) y=2x-3 C) y=3x+2
D) y=3x-2 E) y=3x
25. y=3x+1 doğrusu üzerinde bulunan,
(0,0) ve (-3,4) noktalarından eşit
uzaklıkta bulunan noktanın koordinatları
toplamı kaçtır?
A) 5 B) 43/9 C) 4 D) 25/8 E) 3
26. A(2,1) ve B(a,2) noktaları
3x-2y+1=0 doğrusunun farklı
taraflarında ise a için aşağıdakilerden
hangisi doğrudur?
A) a< 4 B) a< 3 C) a< 2
D) a< 1 E) a >1
27. A(2,0) noktasından ve x+2=0
doğrusundan eşit uzaklıkta bulunan
P(x,y) noktalarının geometrik yerinin
denklemi hangisidir?
A) y2=2x B) y2=4x C) y2=8x
D) y2=16x E) y=16x
28. A(2,1) noktasının, y=mx+1
doğrularına göre simetriklerinin
geometrik yerinin denklemi hangisidir?
A) x2+(y-1)2=4 B) (x-2)2+y2=9
C) (x-1)2+y2=1 D) (x-1)2+(y-2)2=5
E) x2+(y-2)2=1
29. 2x-3y+2=0 doğrusunun x+y=0
doğrusuna göre simetriğinin denklemi
hangisidir?
A) 2x+3y+2=0 B) 2x-3y-2=0
C)3x-2y+2=0 D)3x+2y+2=0
E)3x+2y-2=0
30. y=x+2 doğrusu üzerinde bulunan
ve A(-2,2) noktasına en yakın noktanın
apsisi kaçtır?
A) -2 B) -1 C) 0
D) 1 E) 2
- 144 -
ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ:
Düzlemde verilen bir noktaya eşit
uzaklıkta bulunan noktaların geometrik
yerine çember denir.
M(a,b) merkez , r yarıçap
rbyaxMP 22
222rbyax
Çember;
Ox eksenine teğet ise r=|b| ,
Oy eksenine teğet ise r=|a| ,
Ox ve Oy eksenlerine teğet ise
r=|a|=|b|
Merkezi O(0,0) olan r yarıçaplı
çember: x2+y2=r2
Genel çember denklemi:
x2+y2+Dx+Ey+F=0
2
Da ,
2
Eb M(a,b) merkez
FEDr 42
1 22 yarıçap
D2+E2-4F > 0 ise gerçel çember
D2+E2-4F =0 ise nokta çember
D2+E2-4F < 0 ise sanal çember
FD
2
2 ise Ox eksenine teğet
F
E
2
2 ise Oy eksenine teğet
F
ED
22
22 ise Ox ve Oy
eksenlerine teğet
F=0 ise orijinden geçer.
(x1,y1) noktasının x2+y2+Dx+Ey+F=0
çemberine göre kuvveti:
p= FEyDxyx 11
2
1
2
1 dir.
Bu noktadan çembere çizilen teğetin
uzunluğu: pt
x2+y2=r2 çemberi ile
y=mx+n doğrusu için:
r2(1+m2)=n2 ise doğru çembere teğettir.
Değme noktası: (n
r
n
mr 22
, )
x2+y2=r2 çemberine üzerindeki
(x1,y1)noktasından çizilen teğetin
denklemi: xx1+yy1=r2
(x-a)2+(y-b)2=r2 çemberine
üzerindeki (x1,y1)noktasından çizilen
teğetin denklemi:
(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r2
x2+y2+Dx+Ey+F=0 çemberine
üzerindeki (x1,y1)noktasından çizilen
teğetin denklemi:
022
1111 FyyE
xxD
yyxx
(x1,y1) noktası çember dışında ise
bulunan denklemler değme kirişinin
denklemidir.
Çemberlerin dik kesişme şartı:
2
2
2
1
2 rrd veya DD’+EE’=2(F+F’)
F(x,y)+kG(x,y)=0 Çember demeti
- 145 -
Düzlemin kesişen iki doğrusuna kesim
noktalarında dik olan doğru, düzlemin o
noktadan geçen her doğrusuna diktir.
(Düzleme diktir.)
d1E , d2E , d d1 , d d2 ise d E
Aynı noktada kesişen üç doğruya
kesim noktasında dik bir doğru varsa,
bu üç doğru düzlemseldir.
Aynı düzleme dik olan iki doğru
birbirine paraleldir.
Paralel iki doğrudan biri düzleme
dik ise, diğeri de diktir.
Dışındaki bir noktadan düzleme ve
düzlem içindeki bir doğruya dikmeler
çizildiğinde dikme ayaklarını birleştiren
doğru, düzlem içindeki doğruya diktir.
(Üç dikme teo.)
PA E , dE , PB d ise AB d dir.
Paralel iki düzlemin üçüncü bir
düzlemle arakesit doğruları paraleldir.
Kesişen iki düzlemin arakesitine
düzlemler içinde çizilen diklerin
oluşturduğu açıya
İki düzlemli açının ölçek açısı denir.
EF=d , d1E , d1 d , d2F , d2 d
iken d1Ad2 açısı ölçek açıdır.
Ölçek açısı 90o olan düzlemler
birbirine diktir denir.
ÖRNEK:
[A(ABC)]2=[A(AOB)]2+[A(AOC)]2+[A(BOC)]2
ÖRNEK:
Bir kübün yüzlerinin belirlediği
düzlemler, uzayı kaç parçaya ayırır?
Paralel iki düzlem, uzayı üç bölgeye ayırır.
Üç çift paralel düzlem,
uzayı 3.3.3=27 bölgeye ayırır.
UZAY GEOMETRİ
- 146 -
PRİZMA:
EĞİK PRİZMA:
Ç’:dik kesit çevresi
K:dik kesit alanı
l :yanal ayrıt
:yanal ayrıtın taban düzlemiyle yaptığı
açı
Y=Ç’. l (yanal alan)
A=Y+2T (alan)
T: taban alanı
V=T.h=K. l =T. l .sin (hacim)
|AA’|= l , DEF dik kesit
DİK PRİZMA:
Y=Ç.h
A=Y+2T
V=T.h
DİKDÖRTGENLER PRİZMASI:
Y=2(a+b)c
A=2(ab+ac+bc)
V=abc
Cisim köşegeni= 222 cba
ÖRNEK:
Dikdörtgenler prizmasının yüzey alanları
64, 80 ve 20 cm2 ise hacmi kaç cm3 tür?
ÇÖZÜM:
a.b=64 , a.c=80 , b.c=20
a2.b2.c2=64.80.20=3202 , a.b.c=320
ÖRNEK:
Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları
3, 5, 7 sayıları ile orantılıdır.
Bu prizmanın tüm alanı 568 cm2 olduğuna
göre hacmi kaç cm3 tür?
ÇÖZÜM:
kcba
753
a=3k , b=5k , c=7k
2(ab+ac+bc) = 2(15k2+21k2+35k2)
= 142k2 = 568 , k=2
abc=6.10.14=840
- 147 -
KÜP:
A = 6a2 ; V = a3
Yüz köşegeni = a 2
Cisim köşegeni = a 3
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
AB’B dik üçgeninde:
|AB|2 = 12+(2
3)2 =
4
13
|AB|=2
13
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
|AB|=|BC|=|CD|=|DA|
|AB|2=52+(2
5)2 =
4
125 , |AB|=
2
55
Ç(ABCD)=4. 554
55
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
|PQ|= 14321 222
|PQ|=|PR|=|QR|
A(PQR)=2
37
4
314
4
32
a
ÖRNEK:
Yatay bir masa üzerinde duran
dikdörtgenler prizması şeklindeki bir
akvaryumun genişliği 25 cm , yüksekliği
20 cm dir. Masa eğildiği zaman içindeki
su 20x25 lik yüzü tamamen örttüğü
anda, tabanın ancak dörtte üçünü
kapatıyor. Buna göre masa yatay
durumda iken suyun yüksekliği kaç cm.
dir?
ÇÖZÜM:
su=4x.25.h
eğildiğinde=(20.3x:2)25
100xh=750x h=7,5 cm.
- 148 -
PİRAMİT:
Y=2
1Ç.h’
A=Y+T
V=3
1T.h
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
|AB| en kısa yol.
ACB dik üçgeninde:
|AB|2=4
71
2
3 2
2
|AB|=2
7
KESİK PİRAMİT:
kh
h
' , 2
2''
kh
h
T
T
,
3
3''
kh
h
V
V
213
.''
3kk
hTTTTT
hVk
DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ:
Yüzler eşkenar üçgen
3
6ah ;
12
23aV
DÜZGÜN SEKİZYÜZLÜ:
Yüzler eşkenar üçgen
2
2aOP ; 32 2aA ;
3
23aV
DÜZGÜN ONİKİYÜZLÜ:
Yüzler düzgün beşgen
DÜZGÜN YİRMİYÜZLÜ:
Yüzler eşkenar üçgen
!!! yüz sayısı+köşe sayısı-ayrıt sayısı=2
- 149 -
SİLİNDİR:
T=πr2 ; Y=2πrh ;
A=2πr(r+h) ; V=πr2h
ÖRNEK:
Yanal alanı 10 cm2, yüksekliği 10 cm.
olan silindirin hacmi kaç cm3 olur?
ÇÖZÜM:
Y= 1010..2..2 rhr , 2
1r
V=2
510.)
2
1.(.. 22
hr
ÖRNEK:
Boyutları a ve b olan bir dik dörtgenin
uzun ve kısa kenarları etrafında
döndürülmesi ile oluşan dönel silindirlerin
yanal alanları ve hacimleri oranı nedir?
ÇÖZÜM:
Y1=2πba Y2=2πab
V1=πb2a V2=πa2b
12
1 Y
Y
a
b
V
V
2
1
KONİ:
Y=πra ; A=πr(r+a) ;
V=3
1πr2h
a2=h2+r2 ; =360a
r
ÖRNEK:
Eşit yükseklikleri olan bir koni ile
silindirin hacimleri de eşittir.
Taban yarıçaplarının oranı kaçtır?
ÇÖZÜM:
Vk= hr ..3
1 2 , Vs= hR .. 2
hRhr ....3
1 22 , 3R
r
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
AB yayının uzunluğu =
23
3.2
Taban çevresi = 2.2 r , r=1
a2=h2+r2 , 32=h2+12 , h= 22
V= 3
2222.1.
3
1..
3
1 22 hr
- 150 -
KESİK KONİ:
kr
r
h
h
''
22
'''
r
r
h
h
T
T=k2
3
33'''
kr
r
h
h
V
V
a2=h2+(r-r’)2
Y=π(r+r’)a
A=π(r+r’)a+π(r2+r’2)
''3
''3
22 TTTTh
rrrrh
Vk
KÜRE:
A=4Πr2 ; V=3
4Πr3
KÜRE KUŞAĞI ve KÜRE KAPAĞI
ALANI:
2πrh
KÜRE PARÇASI HACMİ:
Πh2(r-3
h)
KÜRE TABAKASININ HACMİ:
6
...
2
32
2
2
1
hrr
h
ÖRNEK:
Yarıçapı R olan bir küre, merkezinden
R/2 uzaklıkta bir düzlemle kesiliyor.
Elde edilen kesitin alanı kaç ΠR2 dir.
ÇÖZÜM:
R2=d2+r2 , R2= 2
2
2r
R
r2=4
3 2R A=
4
3.
22 R
r
- 151 -
ÖRNEK:
Yarıçapları 30 cm. ve 40 cm. olan
kürelerin merkezleri arasındaki uzaklık
50 cm. ise bu kürelerin arakesit
çemberlerinin yarıçapı kaç cm. dir?
ÇÖZÜM:
302+402=502 olduğundan
küreler dik kesişiyor.
R12+R2
2=d2 ve R1.R2=d.r dir.
30.40=50.r , r=24
ÖRNEK:
Bir kürenin , birbirine dik iki düzlemle
ara kesit çemberlerinin yarıçapları 18
cm. ve 25 cm. dir. Çemberlerin arakesit
noktaları arasındaki uzaklık 14 cm.
olduğuna göre, küreni yarıçapı kaç
cm.dir?
ÇÖZÜM:
252=72+|OO2|2 , |OO2|=24
R2=242+182 , R=30
PAPPUS-GULDİN TEOREMİ:
l uzunluğundaki bir düzlem eğrisinin
kendisini kesmeyen bir eksen etrafında
dönmesinden oluşan
cismin alanı= 2 lr..
Alanı S olan bir düzlem parçasının kendi
düzlemi içinde bulunan ve kendini
kesmeyen bir eksen etrafında
dönmesinden oluşan
cismin hacmi= Sr..2
ÖRNEK:
4x4x4 birim küpten oluşan küpte kaç
farklı küp vardır?
ÇÖZÜM:
1x1x1 küplerden : 4x4x4=43=64 tane
2x2x2 küplerden : 3x3x3=33=27 tane
3x3x3 küplerden : 2x2x2=23=8 tane
4X4x4 küplerden :1x1x1=13=1 tane
0lmak üzere : 13+23+33+43= 100 tane