em503 aula powerdot

Paulo B. Correia Unicamp 1

EM503 Metodos numericos

Design otimo

Paulo de Barros CorreiaDE FEM Unicamp

2 semestre de 2014

Aula 1: Introducao

Aula 1: Introducao

vOtimizacao

vRealidade e modelo

vModelos basicos

vAtividades deengenharia

vModelos de otimizacao

vAbordagem tradicional

vAbordagem porotimizacao: sntese

vProblema deotimizacao: PNL

v Lata de conserva

v Lata de conserva

v Lata de conserva

vProgramacaonao-linear: PNL

vProgramacao linear:PL

v Logstica

v Logstica

vDistancias

vCustos: $0,15/(kmtora)

vTransporte

vTanque termicoesferico



Aula 2: Pacotescomputacionais

Aula 3: Exemplos de


Otimizacao

Aula 1: Introducao

vOtimizacao

vRealidade e modelo

vModelos basicos






v Lata de conserva

v Lata de conserva

v Lata de conserva



v Logstica

v Logstica

vDistancias


vTransporte





Aula 3: Exemplos de


l Nocao informal

melhoramento

l Conceito formalmaxx{f(x) : x S}

Realidade e modelo

Aula 1: Introducao

vOtimizacao

vRealidade e modelo

vModelos basicos






v Lata de conserva

v Lata de conserva

v Lata de conserva



v Logstica

v Logstica

vDistancias


vTransporte





Aula 3: Exemplos de


ProblemaReal

// ProgramaMatematico

Pacotes

SolucaoReal

Solucao

Otimaoo

Modelos basicos

Aula 1: Introducao

vOtimizacao

vRealidade e modelo

vModelos basicos






v Lata de conserva

v Lata de conserva

v Lata de conserva



v Logstica

v Logstica

vDistancias


vTransporte





Aula 3: Exemplos de


l PL: programacao linear

F Lindo: www.lindo.com

F Gams: www.gams.com

F Excel: solver

l PNL: programacao nao-linear

F Lingo: www.lindo.com

F Gams: www.gams.com

F Excel: solver

l PD: programacao dinamica

F Modelos especficos

Atividades de engenharia

Aula 1: Introducao

vOtimizacao

vRealidade e modelo

vModelos basicos






v Lata de conserva

v Lata de conserva

v Lata de conserva



v Logstica

v Logstica

vDistancias


vTransporte





Aula 3: Exemplos de


l Analise

l Projeto (design) otimizacaol Fabricacao

l Venda/compra

l Pesquisa/desenvolvimento

Modelos de otimizacao

Aula 1: Introducao

vOtimizacao

vRealidade e modelo

vModelos basicos






v Lata de conserva

v Lata de conserva

v Lata de conserva



v Logstica

v Logstica

vDistancias


vTransporte





Aula 3: Exemplos de


l Conceitos basicos

l Pacotes computacionais

l Programacao linear: PL

l Programacao nao-linear: PNL

F Modelos sem restricoes

F Modelos com restricoes

Abordagem tradicional

Aula 1: Introducao

vOtimizacao

vRealidade e modelo

vModelos basicos






v Lata de conserva

v Lata de conserva

v Lata de conserva



v Logstica

v Logstica

vDistancias


vTransporte





Aula 3: Exemplos de


Dados

Projeto inicial

Analise do sistema

Projeto ajustadooo

Avaliacao do desempenho

Projeto OK ?

S N

// Alteracoes

OO

Projeto final

Abordagem por otimizacao: sntese

Aula 1: Introducao

vOtimizacao

vRealidade e modelo

vModelos basicos






v Lata de conserva

v Lata de conserva

v Lata de conserva



v Logstica

v Logstica

vDistancias


vTransporte





Aula 3: Exemplos de


Variaveis, criterio, restricoes

Dados

Projeto inicial(otimizado)

Analise do sistema

Projeto otimizadooo

Avaliacao das restricoes

Convergencia OK ?

S N

// Alteracoes

OO

Projeto final

Problema de otimizacao: PNL

Aula 1: Introducao

vOtimizacao

vRealidade e modelo

vModelos basicos






v Lata de conserva

v Lata de conserva

v Lata de conserva



v Logstica

v Logstica

vDistancias


vTransporte





Aula 3: Exemplos de


Max f(x) (funcao objetivo)s.a g(x) 0 (restricoes funcionais)

x X (restricoes implcitas)

Lata de conserva

Aula 1: Introducao

vOtimizacao

vRealidade e modelo

vModelos basicos






v Lata de conserva

v Lata de conserva

v Lata de conserva



v Logstica

v Logstica

vDistancias


vTransporte





Aula 3: Exemplos de


l Criterio

F Minimizar a area total

l Restricoes

F Diametro

n Maior ou igual a 3,5 cm

n Menor ou igual a 8 cm

F Altura

n Maior ou igual a 8 cm

n Menor ou igual a 18 cm

F Capacidade

n Maior do que 400 cm3

Lata de conserva

Aula 1: Introducao

vOtimizacao

vRealidade e modelo

vModelos basicos






v Lata de conserva

v Lata de conserva

v Lata de conserva



v Logstica

v Logstica

vDistancias


vTransporte





Aula 3: Exemplos de


Variaveis de decisao

l Diametro D

l Altura H

Criterio

l Area mnima

Restricoes

l Diametro D

l Altura H

l Volume V

Lata de conserva

Aula 1: Introducao

vOtimizacao

vRealidade e modelo

vModelos basicos






v Lata de conserva

v Lata de conserva

v Lata de conserva



v Logstica

v Logstica

vDistancias


vTransporte





Aula 3: Exemplos de


Funcao objetivo

Min piDH +pi

2D2

Restricoes funcionais

V =pi

4D2H 400

Restricoes implcitas

3, 5 D 8, 08, 0 H 18, 0

Programacao nao-linear: PNL

Aula 1: Introducao

vOtimizacao

vRealidade e modelo

vModelos basicos






v Lata de conserva

v Lata de conserva

v Lata de conserva



v Logstica

v Logstica

vDistancias


vTransporte





Aula 3: Exemplos de


Min piDH + pi2D2

s.a pi4D2H 400

3, 5 D 8, 08, 0 H 18, 0

Programacao linear: PL

Aula 1: Introducao

vOtimizacao

vRealidade e modelo

vModelos basicos






v Lata de conserva

v Lata de conserva

v Lata de conserva



v Logstica

v Logstica

vDistancias


vTransporte





Aula 3: Exemplos de


Max cx

s.a Ax bx X

Logstica

Aula 1: Introducao

vOtimizacao

vRealidade e modelo

vModelos basicos






v Lata de conserva

v Lata de conserva

v Lata de conserva



v Logstica

v Logstica

vDistancias


vTransporte





Aula 3: Exemplos de


Processamento diario de madeira

l Existem 2 florestas com capacidades limitadas

l Existem 2 centros de processamentos com capacidadeslimitadas

l O custo de transporte e conhecido

l A demanda diaria e conhecida

Logstica

Aula 1: Introducao

vOtimizacao

vRealidade e modelo

vModelos basicos






v Lata de conserva

v Lata de conserva

v Lata de conserva



v Logstica

v Logstica

vDistancias


vTransporte





Aula 3: Exemplos de


Rede de transporte

200 a1 +3 GFED@ABCF1 //

&&MMMM

MMMM

MMMM

MMGFED@ABCC1 +3 b1 240

200 a2 +3 GFED@ABCF2 //

88qqqqqqqqqqqqqq GFED@ABCC2 +3 b2 300Demanda diaria

D = 300

Distancias

Aula 1: Introducao

vOtimizacao

vRealidade e modelo

vModelos basicos






v Lata de conserva

v Lata de conserva

v Lata de conserva



v Logstica

v Logstica

vDistancias


vTransporte





Aula 3: Exemplos de


Km F1 F2 CapacidadeC1 24,0 20,5 240C2 17,2 18,0 300

Capacidade 200 200

Custos: $0,15/(km tora)

Aula 1: Introducao

vOtimizacao

vRealidade e modelo

vModelos basicos






v Lata de conserva

v Lata de conserva

v Lata de conserva



v Logstica

v Logstica

vDistancias


vTransporte





Aula 3: Exemplos de


$ F1 F2 CapacidadeC1 3,600 3,075 240C2 2,580 2,700 300

Capacidade 200 200

Transporte

Aula 1: Introducao

vOtimizacao

vRealidade e modelo

vModelos basicos






v Lata de conserva

v Lata de conserva

v Lata de conserva



v Logstica

v Logstica

vDistancias


vTransporte





Aula 3: Exemplos de


Min 3.6x11 + 3.075x12 + 2.58x21 + 2.7x22s.a x11 + x12 200

x21 + x22 200x11 + x21 240x12 + x22 300

x11 + x12 + x21 + x22 300x11 0, x12 0, x21 0, x22 0

Tanque termico esferico

Aula 1: Introducao

vOtimizacao

vRealidade e modelo

vModelos basicos






v Lata de conserva

v Lata de conserva

v Lata de conserva



v Logstica

v Logstica

vDistancias


vTransporte





Aula 3: Exemplos de


Dados conhecidos

l Raio do tanque: r

l Diferenca de temperatura: T

l Resistividade termica do isolante: c1

l Custo do isolante: C2

l Custo do equipamento: C3

l Custo operacional: 6, 14457C4 (VP)


Aula 1: Introducao

vOtimizacao

vRealidade e modelo

vModelos basicos






v Lata de conserva

v Lata de conserva

v Lata de conserva



v Logstica

v Logstica

vDistancias


vTransporte





Aula 3: Exemplos de


rt

Area: A = 4pir2

Isolamento: t


Aula 1: Introducao

vOtimizacao

vRealidade e modelo

vModelos basicos






v Lata de conserva

v Lata de conserva

v Lata de conserva



v Logstica

v Logstica

vDistancias


vTransporte





Aula 3: Exemplos de


Formulacao

Min C2At+ C3G+ 6, 14457C4Gs.a A = 4pir2

G = 365 24 TAc1tt 0

Aula 2: Pacotes computacionais

Aula 1: Introducao


vModelo LINGO

v Lata: modelo LINGO

v Lata: solucao LINGO

v Logstica: modeloLINGO

v Logstica: solucaoLINGO

vModelo LINDO

v Logstica: modeloLINDO

v Logstica: solucaoLINDO

Aula 3: Exemplos deformulacao

Aula 4: Conceitos deotimizacao

Aula 5: Condicoes deotimalidade

Aula 6: Programacaolinear

Aula 7: Simplex 2 fases

Aula 8: Exemplo deprogramacao linear

Aula 9: Programacaonao-linear irrestrita


Aula 11: Programacaonao-linear restrita


Modelo LINGO

Aula 1: Introducao


vModelo LINGO





vModelo LINDO













! Incio do modelo;

MODEL:

! Estrutura de dados;

SETS:

ENDSETS

! Inicializacao de parametros;

DATA:

ENDDATA

! Formulacao do problema

END

Lata: modelo LINGO

Aula 1: Introducao


vModelo LINGO





vModelo LINDO













MODEL:

DATA:

H_MIN = 8 ;

H_MAX = 18 ;

D_MIN = 3.5 ;

D_MAX = 8 ;

CAP_MIN = 400 ;

PI = 3.141593 ;

ENDDATA

! Objetivo;

[OBJ] MIN = (PI * D * H) + (0.5 * PI * D2) ;

! Capacidade ;

0.25 * PI * D2 * H >= CAP_MIN;

! Altura;

H >= H_MIN;

H = D_MIN;

D

Lata: solucao LINGO

Aula 1: Introducao


vModelo LINGO





vModelo LINDO













Optimal solution found at step: 6

Objective value: 300.5305

Variable Value Reduced Cost

H_MIN 8.000000 0.0000000E+00

H_MAX 18.00000 0.0000000E+00

D_MIN 3.500000 0.0000000E+00

D_MAX 8.000000 0.0000000E+00

CAP_MIN 400.0000 0.0000000E+00

PI 3.141600 0.0000000E+00

D 7.978836 0.0000000E+00

H 8.000000 0.0000000E+00

Row Slack or Surplus Dual Price

OBJ 300.5305 1.000000

2 0.3059313E-07 -0.5006631

3 0.0000000E+00 -0.3315666E-01

4 10.00000 0.0000000E+00

5 4.478836 0.0000000E+00

6 0.2116372E-01 0.0000000E+00

Logstica: modelo LINGO

Aula 1: Introducao


vModelo LINGO





vModelo LINDO













MODEL:

SETS:

FLORESTA / F1, F2 / : CAP_F;

CENTRO / C1, C2 / : CAP_C;

ROTAS( FLORESTA, CENTRO) : DISTANCIA, VOLUME;

ENDSETS

DATA:

CAP_F = 200, 200 ;

CAP_C = 240, 300 ;

DISTANCIA = 24.0, 20.5, 17.2, 18.0;

CUSTO = 0.15;

DEMANDA = 300;

ENDDATA

! Objetivo;

[OBJ] MIN = @SUM( ROTAS: CUSTO * DISTANCIA * VOLUME);

! Floresta;

@FOR( FLORESTA( I): @SUM( CENTRO( J): VOLUME( I, J))

Logstica: solucao LINGO

Aula 1: Introducao


vModelo LINGO





vModelo LINDO













Objective value: 823.5000

Variable Value Reduced Cost

CUSTO 0.1500000 0.0000000E+00

DEMANDA 300.0000 0.0000000E+00

CAP_F( F1) 200.0000 0.0000000E+00

CAP_F( F2) 200.0000 0.0000000E+00

CAP_C( C1) 240.0000 0.0000000E+00

CAP_C( C2) 300.0000 0.0000000E+00

DISTANCIA( F1, C1) 24.00000 0.0000000E+00

DISTANCIA( F1, C2) 20.50000 0.0000000E+00

DISTANCIA( F2, C1) 17.20000 0.0000000E+00

DISTANCIA( F2, C2) 18.00000 0.0000000E+00

VOLUME( F1, C1) 0.0000000E+00 0.5250000

VOLUME( F1, C2) 100.0000 0.0000000E+00

VOLUME( F2, C1) 200.0000 0.0000000E+00

VOLUME( F2, C2) 0.0000000E+00 0.1200000

Row Slack or Surplus Dual Price

OBJ 823.5000 1.000000

2 100.0000 0.0000000E+00

3 0.0000000E+00 0.4950000

4 40.00000 0.0000000E+00

5 200.0000 0.0000000E+00

6 0.0000000E+00 -3.075000

Modelo LINDO

Aula 1: Introducao


vModelo LINGO





vModelo LINDO













! Incio do modelo: funcao objetivo

MIN

! Incio das restricoes

ST

! Final das restricoes

END

! Final do modelo

Logstica: modelo LINDO

Aula 1: Introducao


vModelo LINGO





vModelo LINDO













Min 3.6 x11 + 3.075 x12 + 2.58 x21 + 2.7 x22

st

x11 + x12

Logstica: solucao LINDO

Aula 1: Introducao


vModelo LINGO





vModelo LINDO













LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 823.5000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X11 0.000000 0.525000

X12 100.000000 0.000000

X21 200.000000 0.000000

X22 0.000000 0.120000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 100.000000 0.000000

3) 0.000000 0.495000

4) 40.000000 0.000000

5) 100.000000 0.000000

6) 0.000000 -3.075000

NO. ITERATIONS= 2

Aula 3: Exemplos de formulacao

Aula 1: Introducao



vApoio com 2 barras

vApoio com 2 barras

vApoio com 2 barras:tubo


vColuna tubolar

vColuna tubolar

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vCanal de agua

vCanal de agua

vPneu

vPneu

vCompressor: 3estagios

vTrocador de calor







Apoio com 2 barras

Aula 1: Introducao



vApoio com 2 barras

vApoio com 2 barras



vColuna tubolar

vColuna tubolar

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vCanal de agua

vCanal de agua

vPneu

vPneu


vTrocador de calor







h

s/2s/2

W

l

Apoio com 2 barras

Aula 1: Introducao



vApoio com 2 barras

vApoio com 2 barras



vColuna tubolar

vColuna tubolar

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vCanal de agua

vCanal de agua

vPneu

vPneu


vTrocador de calor







Apoio com 2 barras: tubo

Aula 1: Introducao



vApoio com 2 barras

vApoio com 2 barras



vColuna tubolar

vColuna tubolar

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vCanal de agua

vCanal de agua

vPneu

vPneu


vTrocador de calor







l x1 altura h

l x2 afastamento s

l x3 diametro externo da barra 1

l x4 diametro interno da barra 1

l x5 diametro externo da barra 2

l x6 diametro interno da barra 2

Apoio com 2 barras: tubo

Aula 1: Introducao



vApoio com 2 barras

vApoio com 2 barras



vColuna tubolar

vColuna tubolar

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vCanal de agua

vCanal de agua

vPneu

vPneu


vTrocador de calor







AreaA1 =

pi

4(x23 x24); A2 =

pi

4(x25 x26)

Massa

M = l(A1 +A2) = (x21 + 0, 5x

22)pi

4(x23 x24 + x25 x26)

Tensao

1 =F1A1

; 2 =F2A2

Coluna tubolar

Aula 1: Introducao



vApoio com 2 barras

vApoio com 2 barras



vColuna tubolar

vColuna tubolar

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vCanal de agua

vCanal de agua

vPneu

vPneu


vTrocador de calor







t

2RRo

Ri

P

l

Ro Ri

Coluna tubolar

Aula 1: Introducao



vApoio com 2 barras

vApoio com 2 barras



vColuna tubolar

vColuna tubolar

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vCanal de agua

vCanal de agua

vPneu

vPneu


vTrocador de calor







l Carga crtica

Pcr =pi2EI

4l2

A = 2piRt

I = piR3t

l CriterioMinimizar massa

l E Modulo de Young

l I Momento de inercia

Despacho de carga

Aula 1: Introducao



vApoio com 2 barras

vApoio com 2 barras



vColuna tubolar

vColuna tubolar

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vCanal de agua

vCanal de agua

vPneu

vPneu


vTrocador de calor







G1 G2 L

Despacho de carga

Aula 1: Introducao



vApoio com 2 barras

vApoio com 2 barras



vColuna tubolar

vColuna tubolar

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vCanal de agua

vCanal de agua

vPneu

vPneu


vTrocador de calor







C1

C2P1

P2

C1 = 1 P1 + P 21

C2 = 1 + 0, 6P2 + P22

Despacho de carga

Aula 1: Introducao



vApoio com 2 barras

vApoio com 2 barras



vColuna tubolar

vColuna tubolar

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vCanal de agua

vCanal de agua

vPneu

vPneu


vTrocador de calor







l RestricaoP1 + P2 L

l CriterioMinimizar custo

Canal de agua

Aula 1: Introducao



vApoio com 2 barras

vApoio com 2 barras



vColuna tubolar

vColuna tubolar

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vCanal de agua

vCanal de agua

vPneu

vPneu


vTrocador de calor







1 m

2 m

H2 A3

H1

A1

A2/2A2/2

w

Canal de agua

Aula 1: Introducao



vApoio com 2 barras

vApoio com 2 barras



vColuna tubolar

vColuna tubolar

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vCanal de agua

vCanal de agua

vPneu

vPneu


vTrocador de calor







l RestricoesA1 +A3 = 150m

2

A1 = A2

l CriterioMinimizar movimento de terra

Pneu

Aula 1: Introducao



vApoio com 2 barras

vApoio com 2 barras



vColuna tubolar

vColuna tubolar

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vCanal de agua

vCanal de agua

vPneu

vPneu


vTrocador de calor







Um pneu de 100 Kg e fabricado usando Borracha (B), Oleo (O) eCarvao (C) como insumos. Ele deve conter no mnimo 25 Kg e nomaximo 60 Kg de Borracha, e no mnimo 50 Kg de Carvao. Asseguintes especificacoes de Dureza (D), Elasticidade (E) e Tensao(T ), expressas em unidades convenientes, devem ser atendidas:

25 D 3516 E12 T

Para os insumos dados em Kg, as seguintes expressoes foramobtidas experimentalmente

T = 12, 5 0, 1O 0, 001O2E = 17 + 0, 35B 0, 04O 0, 002B2D = 34 + 0, 1B + 0, 06O 0, 3C + 0, 001BO + 0, 005O2 + 0, 001C2

Pneu

Aula 1: Introducao



vApoio com 2 barras

vApoio com 2 barras



vColuna tubolar

vColuna tubolar

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vCanal de agua

vCanal de agua

vPneu

vPneu


vTrocador de calor







Os custos dos insumos sao dados pela tabela

Insumo $/Kg

B 4O 1C 7

l Criterio: minimizar custo

Compressor: 3 estagios

Aula 1: Introducao



vApoio com 2 barras

vApoio com 2 barras



vColuna tubolar

vColuna tubolar

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vCanal de agua

vCanal de agua

vPneu

vPneu


vTrocador de calor







A energia usada em um compressor de gas com tres estagios edada por

E = K

{p1pE

+

p2p1

+

pSp2 3

}

As pressoes de entrada (pE = 64) e de sada (pS = 1000) saoconhecidas.

l Criterio: mnimizar o consumo de energiapE

pS

p1p2

Trocador de calor

Aula 1: Introducao



vApoio com 2 barras

vApoio com 2 barras



vColuna tubolar

vColuna tubolar

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vDespacho de carga

vCanal de agua

vCanal de agua

vPneu

vPneu


vTrocador de calor







l Raio mnimo dos tubos internos: 5cm

l Area maxima total dos tubos internos: 2.000cm3

Casco externo

Tubos internos

l Maximizar a area de troca

Aula 4: Conceitos de otimizacao

Aula 1: Introducao




vProblema deotimizacao

v Otimo global: mnimo

v Otimo local: mnimo

v Otimos: global e local

vTeorema deWeirstrass

vTeorema deWeirstrass: exemplos

vGradiente

vMatriz Hessiana

vExemplo A

vExemplo B

vExemplo B

vSerie de Taylor

vAutovalor e autovetor

vFormas quadraticas

vFormas quadraticas

vMnimo irrestrito

vExemplo

vExemplo

vExemplo

vExemplo



Problema de otimizacao

Aula 1: Introducao










vGradiente

vMatriz Hessiana

vExemplo A

vExemplo B

vExemplo B

vSerie de Taylor


vFormas quadraticas

vFormas quadraticas

vMnimo irrestrito

vExemplo

vExemplo

vExemplo

vExemplo



l Problema irrestritominx{f(x)}

l Problema restrito

minx{f(x) : x S}

Otimo global: mnimo

Aula 1: Introducao










vGradiente

vMatriz Hessiana

vExemplo A

vExemplo B

vExemplo B

vSerie de Taylor


vFormas quadraticas

vFormas quadraticas

vMnimo irrestrito

vExemplo

vExemplo

vExemplo

vExemplo



O ponto x e um mnimo global de f(x) em S se

f(x) f(x) : x S

Otimo local: mnimo

Aula 1: Introducao










vGradiente

vMatriz Hessiana

vExemplo A

vExemplo B

vExemplo B

vSerie de Taylor


vFormas quadraticas

vFormas quadraticas

vMnimo irrestrito

vExemplo

vExemplo

vExemplo

vExemplo



O ponto x e um mnimo local de f(x) na vizinhanca N se

f(x) f(x) : x N

N = {x : x S com ||x x|| < }

Otimos: global e local

Aula 1: Introducao










vGradiente

vMatriz Hessiana

vExemplo A

vExemplo B

vExemplo B

vSerie de Taylor


vFormas quadraticas

vFormas quadraticas

vMnimo irrestrito

vExemplo

vExemplo

vExemplo

vExemplo



OOf(x)

//x

Teorema de Weirstrass

Aula 1: Introducao










vGradiente

vMatriz Hessiana

vExemplo A

vExemplo B

vExemplo B

vSerie de Taylor


vFormas quadraticas

vFormas quadraticas

vMnimo irrestrito

vExemplo

vExemplo

vExemplo

vExemplo



l Se f(x) e contnua no conjunto S, compacto (fechado elimitado) e nao-vazio

l Entao f(x) tem um otimo global em S

Teorema de Weirstrass: exemplos

Aula 1: Introducao










vGradiente

vMatriz Hessiana

vExemplo A

vExemplo B

vExemplo B

vSerie de Taylor


vFormas quadraticas

vFormas quadraticas

vMnimo irrestrito

vExemplo

vExemplo

vExemplo

vExemplo



O Teorema de Weirstrass pode ser aplicado nestes dois casos?

l f(x) = 1/x , e S = {x : 0 < x 1}l f(x) = 1/x , e S = {x : 0 x 1}A recproca do Teorema nao e verdade.

Gradiente

Aula 1: Introducao










vGradiente

vMatriz Hessiana

vExemplo A

vExemplo B

vExemplo B

vSerie de Taylor


vFormas quadraticas

vFormas quadraticas

vMnimo irrestrito

vExemplo

vExemplo

vExemplo

vExemplo



T f(x) =

f(x)x1

f(x)x2...

f(x)xn

Matriz Hessiana

Aula 1: Introducao










vGradiente

vMatriz Hessiana

vExemplo A

vExemplo B

vExemplo B

vSerie de Taylor


vFormas quadraticas

vFormas quadraticas

vMnimo irrestrito

vExemplo

vExemplo

vExemplo

vExemplo



H =

2f(x)x21

2f(x)x1x2

2f(x)x1xn2f(x)x2x1

2f(x)x22

2f(x)x2xn...

.... . .

...2f(x)xnx1

2f(x)xnx2

. . . 2f(x)x2n

Exemplo A

Aula 1: Introducao










vGradiente

vMatriz Hessiana

vExemplo A

vExemplo B

vExemplo B

vSerie de Taylor


vFormas quadraticas

vFormas quadraticas

vMnimo irrestrito

vExemplo

vExemplo

vExemplo

vExemplo



f(x) = (x1 1)2 + (x2 1)2

T f(x) = 2(x1 1)

2(x2 1)

H =

2 0

0 2

Exemplo B

Aula 1: Introducao










vGradiente

vMatriz Hessiana

vExemplo A

vExemplo B

vExemplo B

vSerie de Taylor


vFormas quadraticas

vFormas quadraticas

vMnimo irrestrito

vExemplo

vExemplo

vExemplo

vExemplo



f(x) = x31 + x32 + 2x

21 + 3x

22 x1x2 + 2x1 + 4x2

Exemplo B

Aula 1: Introducao










vGradiente

vMatriz Hessiana

vExemplo A

vExemplo B

vExemplo B

vSerie de Taylor


vFormas quadraticas

vFormas quadraticas

vMnimo irrestrito

vExemplo

vExemplo

vExemplo

vExemplo



f(x) = x31 + x32 + 2x

21 + 3x

22 x1x2 + 2x1 + 4x2

T f(x) =[

3x21 + 4x1 x2 + 23x22 + 6x2 x1 + 4

]

H =

[6x1 + 4 11 6x2 + 6

]

Serie de Taylor

Aula 1: Introducao










vGradiente

vMatriz Hessiana

vExemplo A

vExemplo B

vExemplo B

vSerie de Taylor


vFormas quadraticas

vFormas quadraticas

vMnimo irrestrito

vExemplo

vExemplo

vExemplo

vExemplo



Expansao da funcao f(x) em torno do ponto x

f(x) = f(x) +f(x x) + 12(x x)TH(x x) +R

Autovalor e autovetor

Aula 1: Introducao










vGradiente

vMatriz Hessiana

vExemplo A

vExemplo B

vExemplo B

vSerie de Taylor


vFormas quadraticas

vFormas quadraticas

vMnimo irrestrito

vExemplo

vExemplo

vExemplo

vExemplo



l Qualquer vetor nao-nulo x que satisfaz

Ax = x

e um autovetor da matrix Ann

l O autovalor correspondente e dado pela solucao da equacaocaracterstica

|A I| = 0

Formas quadraticas

Aula 1: Introducao










vGradiente

vMatriz Hessiana

vExemplo A

vExemplo B

vExemplo B

vSerie de Taylor


vFormas quadraticas

vFormas quadraticas

vMnimo irrestrito

vExemplo

vExemplo

vExemplo

vExemplo



F (x) =1

2(x)TA(x)

Para x, a matriz A e dital Negativa definida se xTAx < 0

l Negativa semi-definida se xTAx 0l Positiva definida se xTAx > 0

l Positiva semi-definida se xTAx 0

Formas quadraticas

Aula 1: Introducao










vGradiente

vMatriz Hessiana

vExemplo A

vExemplo B

vExemplo B

vSerie de Taylor


vFormas quadraticas

vFormas quadraticas

vMnimo irrestrito

vExemplo

vExemplo

vExemplo

vExemplo



A matriz A e

l Negativa definida se seus autovalores forem estritamentenegativos, i < 0

l Negativa semi-definida se seus autovalores negativos, i 0l Positiva definida se seus autovalores forem estritamente

positivos, i > 0

l Positiva semi-definida se seus autovalores forem estritamentepositivos, i 0

Mnimo irrestrito

Aula 1: Introducao










vGradiente

vMatriz Hessiana

vExemplo A

vExemplo B

vExemplo B

vSerie de Taylor


vFormas quadraticas

vFormas quadraticas

vMnimo irrestrito

vExemplo

vExemplo

vExemplo

vExemplo



l Condicao necessaria de primeira ordem

f(x) = 0

l Condicao necessaria de segunda ordem

xTHx 0

Exemplo

Aula 1: Introducao










vGradiente

vMatriz Hessiana

vExemplo A

vExemplo B

vExemplo B

vSerie de Taylor


vFormas quadraticas

vFormas quadraticas

vMnimo irrestrito

vExemplo

vExemplo

vExemplo

vExemplo



Minimizar a seguinte funcao

f(x) = x21 + 2x1x2 + 2x22 2x1 + x2 + 8

Exemplo

Aula 1: Introducao










vGradiente

vMatriz Hessiana

vExemplo A

vExemplo B

vExemplo B

vSerie de Taylor


vFormas quadraticas

vFormas quadraticas

vMnimo irrestrito

vExemplo

vExemplo

vExemplo

vExemplo



Condicao necessaria de primeira ordem

f(x) [

2x1 + 2x2 22x1 + 4x2 + 1

]=

[00

]

x =[

52 32

]

Exemplo

Aula 1: Introducao










vGradiente

vMatriz Hessiana

vExemplo A

vExemplo B

vExemplo B

vSerie de Taylor


vFormas quadraticas

vFormas quadraticas

vMnimo irrestrito

vExemplo

vExemplo

vExemplo

vExemplo



Condicao suficiente de segunda ordem

l Hessiana

H =

[2 22 4

]

l Autovalores

|H I| = 2 22 4

= 0

Exemplo

Aula 1: Introducao










vGradiente

vMatriz Hessiana

vExemplo A

vExemplo B

vExemplo B

vSerie de Taylor


vFormas quadraticas

vFormas quadraticas

vMnimo irrestrito

vExemplo

vExemplo

vExemplo

vExemplo



Condicao suficiente de segunda ordem

l Autovalores

(2 )(4 ) 4 = 0

2 6+ 4 = 0

= [35, 3 +

5] > 0

l EntaoxTHx > 0, x

Aula 5: Condicoes de otimalidade

Aula 1: Introducao





vProblema restrito:simples

vExemplo: solucaointerior

vExemplo: solucao nolimite superior

vExemplo: solucao nolimite inferior

vConjunto convexo

vFuncao convexa

vFuncao convexa:exemplo

vProblema convexo deotimizacao

vProblema restrito

vExemplo

vCondicao necessaria

v Lagrangiano:igualdade

vCondicao necessaria:igualdade

vExemplo: tanque

vExemplo: tanque

v Lagrangiano:desigualdade


Problema restrito: simples

Aula 1: Introducao









vConjunto convexo

vFuncao convexa



vProblema restrito

vExemplo




vExemplo: tanque

vExemplo: tanque



O problema restrito de otimizacao pode ser expresso como:

Min f(x)s.a x

Exemplo: solucao interior

Aula 1: Introducao









vConjunto convexo

vFuncao convexa



vProblema restrito

vExemplo




vExemplo: tanque

vExemplo: tanque



x

f(x)

< x < edf(x)

dx= 0

Exemplo: solucao no limite superior

Aula 1: Introducao









vConjunto convexo

vFuncao convexa



vProblema restrito

vExemplo




vExemplo: tanque

vExemplo: tanque



x

f(x)

x = edf(x)

dx< 0

Exemplo: solucao no limite inferior

Aula 1: Introducao









vConjunto convexo

vFuncao convexa



vProblema restrito

vExemplo




vExemplo: tanque

vExemplo: tanque



x

f(x)

x = edf(x)

dx> 0

Conjunto convexo

Aula 1: Introducao









vConjunto convexo

vFuncao convexa



vProblema restrito

vExemplo




vExemplo: tanque

vExemplo: tanque



P1P2

P1P2

P1P2

P1 P2

l O conjunto S e convexo se:

P1, P2 S, P = [P1 + (1 )P2] S, [0, 1]

Funcao convexa

Aula 1: Introducao









vConjunto convexo

vFuncao convexa



vProblema restrito

vExemplo




vExemplo: tanque

vExemplo: tanque



6

-x

f(x)

x1 x2

f(x1)

f(x2)

l A funcao f(x) e convexa se:

f(x1) + (1 )f(x2) f(x1 + (1 )x2) : [0, 1]

Funcao convexa: exemplo

Aula 1: Introducao









vConjunto convexo

vFuncao convexa



vProblema restrito

vExemplo




vExemplo: tanque

vExemplo: tanque



f(x) = x21 + x22 1

f(x) =[

2x12x2

]

H =

[2 00 2

] {2, 2} > 0

Como H e positiva definida, entao f(x) e estritamente convexa.

Problema convexo de otimizacao

Aula 1: Introducao









vConjunto convexo

vFuncao convexa



vProblema restrito

vExemplo




vExemplo: tanque

vExemplo: tanque



l Minimizacao

F Funcao objetivo convexa

F Conjunto factvel convexo

l Maximizacao

F Funcao objetivo concava

F Conjunto factvel convexo

Problema restrito

Aula 1: Introducao









vConjunto convexo

vFuncao convexa



vProblema restrito

vExemplo




vExemplo: tanque

vExemplo: tanque



O problema restrito de otimizacao pode ser expresso como:

Min f(x)s.a h(x) = 0

g(x) 0

Exemplo

Aula 1: Introducao









vConjunto convexo

vFuncao convexa



vProblema restrito

vExemplo




vExemplo: tanque

vExemplo: tanque



Min (x1 1, 5)2 + (x2 1, 5)2s.a x1 + x2 2 0

x1 0x2 0

Condicao necessaria

Aula 1: Introducao









vConjunto convexo

vFuncao convexa



vProblema restrito

vExemplo




vExemplo: tanque

vExemplo: tanque



l Restricoes de igualdade

hi(x) = 0, i = 1, ..., p

l Restricoes de desigualdade

gj(x) 0, j = 1, ..., q

Lagrangiano: igualdade

Aula 1: Introducao









vConjunto convexo

vFuncao convexa



vProblema restrito

vExemplo




vExemplo: tanque

vExemplo: tanque



ProblemaMin f(x)s.a h(x) = 0

LagragianoL(x,v) = f(x) + vh(x)

onde v1,...,p sao os multiplicadores de Lagrange

Condicao necessaria: igualdade

Aula 1: Introducao









vConjunto convexo

vFuncao convexa



vProblema restrito

vExemplo




vExemplo: tanque

vExemplo: tanque



LagrangianoL(x,v) = f(x) + vh(x)


L(x,v) = 0

Exemplo: tanque

Aula 1: Introducao









vConjunto convexo

vFuncao convexa



vProblema restrito

vExemplo




vExemplo: tanque

vExemplo: tanque



Problema

Min R2 +Rls.a piR2l V = 0, (V conhecido)

LagrangianoL = R2 +Rl + v(piR2l V )

Exemplo: tanque

Aula 1: Introducao









vConjunto convexo

vFuncao convexa



vProblema restrito

vExemplo




vExemplo: tanque

vExemplo: tanque



LR = 2R+ l + 2pivRl = 0

Ll = R+ pivR

2 = 0

Lv = piR

2l V = 0Solucao:

R =(V

2pi

)1/3; l =

(4V

pi

)1/3; v =

1piR

Lagrangiano: desigualdade

Aula 1: Introducao









vConjunto convexo

vFuncao convexa



vProblema restrito

vExemplo




vExemplo: tanque

vExemplo: tanque



ProblemaMin f(x)s.a g(x) 0

Condicao necessaria: desigualdade

Aula 1: Introducao









vConjunto convexo

vFuncao convexa



vProblema restrito

vExemplo




vExemplo: tanque

vExemplo: tanque




f(x) + ug(x) = 0ug(x) = 0

u 0

Desigualdade igualdade

Aula 1: Introducao









vConjunto convexo

vFuncao convexa



vProblema restrito

vExemplo




vExemplo: tanque

vExemplo: tanque



Problema equivalente

Min f(x)s.a g(x) + s2 = 0

LagragianoL(x,v, s) = f(x) + u[g(x) + s2]

Desigualdade igualdade

Aula 1: Introducao









vConjunto convexo

vFuncao convexa



vProblema restrito

vExemplo




vExemplo: tanque

vExemplo: tanque




L(x, s,u) = 0

Exemplo

Aula 1: Introducao









vConjunto convexo

vFuncao convexa



vProblema restrito

vExemplo




vExemplo: tanque

vExemplo: tanque



ProblemaMin (x1 1, 5)2 + (x2 1, 5)2s.a x1 + x2 2 0.

l Lagrangiano acrescentando s2

L = (x1 1, 5)2 + (x2 1, 5)2 + u(x1 + x2 2 + s2)

Exemplo: com s2

Aula 1: Introducao









vConjunto convexo

vFuncao convexa



vProblema restrito

vExemplo




vExemplo: tanque

vExemplo: tanque



Lx1

= 2(x1 1, 5) + u = 0Lx2

= 2(x2 1, 5) + u = 0Lu = x1 + x2 2 + s2 = 0Ls = 2us = 0

l Solucao 1: factvel

x1 = x2 = 1, u

= 1, s = 0

l Solucao 2: infactvel

x1 = x2 = 1, 5, u

= 0, s2 = 1

Exemplo: sem s2

Aula 1: Introducao









vConjunto convexo

vFuncao convexa



vProblema restrito

vExemplo




vExemplo: tanque

vExemplo: tanque



Lx1

= 2(x1 1, 5) + u = 0Lx2

= 2(x2 1, 5) + u = 0

ug(x) = u(x1 + x2 2) = 0

u 0

l Solucao 1: factvel

x1 = x2 = 1, u

= 1

l Solucao 2: infactvel

x1 = x2 = 1, 5, u

= 0

Ponto regular

Aula 1: Introducao









vConjunto convexo

vFuncao convexa



vProblema restrito

vExemplo




vExemplo: tanque

vExemplo: tanque



O ponto x e regular se

{g1(x), ...,gp(x)} (LI)

g(x) (LI)

Aula 6: Programacao linear

Aula 1: Introducao






vProgramacao linear

vProgramacao linear

vProgramacao linear

vExemplo: producao

vProducao: formulacao

vConceitos

vSolucoes factveis

vSolucoes basicas

vNumero de solucoesbasicas

vSolucao otima

vSolucao

vSolucao basica

vSolucao basica factvel

vFuncao objetivo

vSolucao basica factvelotima

vMetodo simplex: A

vMetodo simplex: B

vMetodo simplex: C


Programacao linear

Aula 1: Introducao






vProgramacao linear

vProgramacao linear

vProgramacao linear

vExemplo: producao


vConceitos

vSolucoes factveis

vSolucoes basicas


vSolucao otima

vSolucao

vSolucao basica


vFuncao objetivo


vMetodo simplex: A

vMetodo simplex: B

vMetodo simplex: C


Max cxs.a Ax = b

x 0

Programacao linear

Aula 1: Introducao






vProgramacao linear

vProgramacao linear

vProgramacao linear

vExemplo: producao


vConceitos

vSolucoes factveis

vSolucoes basicas


vSolucao otima

vSolucao

vSolucao basica


vFuncao objetivo


vMetodo simplex: A

vMetodo simplex: B

vMetodo simplex: C


Max cxs.a A1x b1

A2x b2A3x = b3

x 0

Programacao linear

Aula 1: Introducao






vProgramacao linear

vProgramacao linear

vProgramacao linear

vExemplo: producao


vConceitos

vSolucoes factveis

vSolucoes basicas


vSolucao otima

vSolucao

vSolucao basica


vFuncao objetivo


vMetodo simplex: A

vMetodo simplex: B

vMetodo simplex: C


Max cxs.a A1x + s1 = b1

A2x s2 = b2A3x = b3

x 0s1 0s2 0

Exemplo: producao

Aula 1: Introducao






vProgramacao linear

vProgramacao linear

vProgramacao linear

vExemplo: producao


vConceitos

vSolucoes factveis

vSolucoes basicas


vSolucao otima

vSolucao

vSolucao basica


vFuncao objetivo


vMetodo simplex: A

vMetodo simplex: B

vMetodo simplex: C


Produto 1 Produto 2 Disponibilidade

Recurso 1 1 2 50Recurso 2 1 0 30Recurso 3 0 1 20

Lucro unitario 1 1

Producao: formulacao

Aula 1: Introducao






vProgramacao linear

vProgramacao linear

vProgramacao linear

vExemplo: producao


vConceitos

vSolucoes factveis

vSolucoes basicas


vSolucao otima

vSolucao

vSolucao basica


vFuncao objetivo


vMetodo simplex: A

vMetodo simplex: B

vMetodo simplex: C


Max x1 + x2 = zs.a x1 + 2x2 50

x1 30x2 20

x1, x2 0

Conceitos

Aula 1: Introducao






vProgramacao linear

vProgramacao linear

vProgramacao linear

vExemplo: producao


vConceitos

vSolucoes factveis

vSolucoes basicas


vSolucao otima

vSolucao

vSolucao basica


vFuncao objetivo


vMetodo simplex: A

vMetodo simplex: B

vMetodo simplex: C


l Solucao factvel

l Solucao basica (vertice)

l Solucao otima

Solucoes factveis

Aula 1: Introducao






vProgramacao linear

vProgramacao linear

vProgramacao linear

vExemplo: producao


vConceitos

vSolucoes factveis

vSolucoes basicas


vSolucao otima

vSolucao

vSolucao basica


vFuncao objetivo


vMetodo simplex: A

vMetodo simplex: B

vMetodo simplex: C


//x1

OOx2

OOOO

OOOO

OOOO

OOOO

OOOO

OOOO

OOOO

OOOO

S

Solucoes basicas

Aula 1: Introducao






vProgramacao linear

vProgramacao linear

vProgramacao linear

vExemplo: producao


vConceitos

vSolucoes factveis

vSolucoes basicas


vSolucao otima

vSolucao

vSolucao basica


vFuncao objetivo


vMetodo simplex: A

vMetodo simplex: B

vMetodo simplex: C


//x1

OOx2

OOOO

OOOO

OOOO

OOOO

OOOO

OOOO

OOOO

OOOO

S

Numero de solucoes basicas

Aula 1: Introducao






vProgramacao linear

vProgramacao linear

vProgramacao linear

vExemplo: producao


vConceitos

vSolucoes factveis

vSolucoes basicas


vSolucao otima

vSolucao

vSolucao basica


vFuncao objetivo


vMetodo simplex: A

vMetodo simplex: B

vMetodo simplex: C


Problema com m restricoes e n variaveis

Numero SB =n!

m!(nm)!Para m = 150 e n = 300

300!

150! 150! 1089

Solucao otima

Aula 1: Introducao






vProgramacao linear

vProgramacao linear

vProgramacao linear

vExemplo: producao


vConceitos

vSolucoes factveis

vSolucoes basicas


vSolucao otima

vSolucao

vSolucao basica


vFuncao objetivo


vMetodo simplex: A

vMetodo simplex: B

vMetodo simplex: C


//x1

OOx2

OOOO

OOOO

OOOO

O

??c

??

??

??

??

??

??

??c

S

Solucao

Aula 1: Introducao






vProgramacao linear

vProgramacao linear

vProgramacao linear

vExemplo: producao


vConceitos

vSolucoes factveis

vSolucoes basicas


vSolucao otima

vSolucao

vSolucao basica


vFuncao objetivo


vMetodo simplex: A

vMetodo simplex: B

vMetodo simplex: C


Ax = b

BxB +NxN = b, tal que B1

xB = B1bB1NxN

Solucao basica

Aula 1: Introducao






vProgramacao linear

vProgramacao linear

vProgramacao linear

vExemplo: producao


vConceitos

vSolucoes factveis

vSolucoes basicas


vSolucao otima

vSolucao

vSolucao basica


vFuncao objetivo


vMetodo simplex: A

vMetodo simplex: B

vMetodo simplex: C


xN = 0

xB = B1b

Solucao basica factvel

Aula 1: Introducao






vProgramacao linear

em503 aula powerdot

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