el}oad as k ovet}o f oli ak a matematika m ern ok oknek ii ... mernokoknek/matematika... · el}oad...
TRANSCRIPT
![Page 1: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/1.jpg)
Eloadas koveto foliak a Matematikamernokoknek II. cımu targyhoz
Burai Pal
Fourier transzformacio
A tananyag elkeszıteset az EFOP-3.4.3-16-2016-00021 szamu projekt tamogatta. A projekt
az Europai Unio tamogatasaval, az Europai Szocialis Alap tarsfinanszırozasaval valosult meg.
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 2: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/2.jpg)
Fourier transzformacio, heurisztika
Tekintsuk egy 2L szerint periodikus fuggveny Fourier sorat:
f (x) =a0
2+∞∑n=1
(an cos
(nπLx)
+ bn sin(nπ
Lx))
Ha itt L→∞ akkor az ωn = nπL harmonikusok (korfrekvenciak) egyre
surusodnek, azaz ∆ω = ωn+1 − ωn = πL → 0 ha n→∞.
Azegyutthatokra korabban kapott formulakat es acos(x) cos(y) + sin(x) sin(y) = cos(x − y) azonossagot felhasznalvakapjuk, hogy
f (x) =1
2L
L∫−L
f (t)dt +1
π
∞∑n=1
π
L
L∫−L
f (t) cos(nπ
L(t − x)
)dt.
Az elso tag nullahoz tart L→∞ eseten, a szumma pedig az
ω 7→ 1π
L∫−L
f (t) cos (ω(t − x)) dt fuggveny integralkozelıto osszege ωn
osztopontokkal es ∆ω lepeskozzel.
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 3: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/3.jpg)
Fourier transzformacio, heurisztika
Tekintsuk egy 2L szerint periodikus fuggveny Fourier sorat:
f (x) =a0
2+∞∑n=1
(an cos
(nπLx)
+ bn sin(nπ
Lx))
Ha itt L→∞ akkor az ωn = nπL harmonikusok (korfrekvenciak) egyre
surusodnek, azaz ∆ω = ωn+1 − ωn = πL → 0 ha n→∞. Az
egyutthatokra korabban kapott formulakat es acos(x) cos(y) + sin(x) sin(y) = cos(x − y) azonossagot felhasznalvakapjuk, hogy
f (x) =1
2L
L∫−L
f (t)dt +1
π
∞∑n=1
π
L
L∫−L
f (t) cos(nπ
L(t − x)
)dt.
Az elso tag nullahoz tart L→∞ eseten, a szumma pedig az
ω 7→ 1π
L∫−L
f (t) cos (ω(t − x)) dt fuggveny integralkozelıto osszege ωn
osztopontokkal es ∆ω lepeskozzel.
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 4: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/4.jpg)
Fourier transzformacio, heurisztika
Tekintsuk egy 2L szerint periodikus fuggveny Fourier sorat:
f (x) =a0
2+∞∑n=1
(an cos
(nπLx)
+ bn sin(nπ
Lx))
Ha itt L→∞ akkor az ωn = nπL harmonikusok (korfrekvenciak) egyre
surusodnek, azaz ∆ω = ωn+1 − ωn = πL → 0 ha n→∞. Az
egyutthatokra korabban kapott formulakat es acos(x) cos(y) + sin(x) sin(y) = cos(x − y) azonossagot felhasznalvakapjuk, hogy
f (x) =1
2L
L∫−L
f (t)dt +1
π
∞∑n=1
π
L
L∫−L
f (t) cos(nπ
L(t − x)
)dt.
Az elso tag nullahoz tart L→∞ eseten, a szumma pedig az
ω 7→ 1π
L∫−L
f (t) cos (ω(t − x)) dt fuggveny integralkozelıto osszege ωn
osztopontokkal es ∆ω lepeskozzel.
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 5: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/5.jpg)
Fourier transzformacio, heurisztika
Az integralkozelıto osszeg helyere az integralt ırva kapjuk, hogy
f (x) =1
π
∞∫0
∞∫−∞
f (t) cos (ω(t − x)) dt
dω.
Alkalmazzuk ujra az elobbi trigonometrikus azonossagot a kovetkezohozjutunk:
f (x) =
∫ ∞0
(aω cos(ωx) + bω sin(ωx))dω, (Fourier integral)
ahol
aω =1
π
∞∫−∞
f (t) cos(ωt)dt, bω =1
π
∞∫−∞
f (t) sin(ωt)dt.
A korabbiakhoz hasonloan paros fuggveny eseten bω = 0 paratlanfuggveny eseten pedig aω = 0.
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 6: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/6.jpg)
Fourier transzformacio, heurisztika
Az integralkozelıto osszeg helyere az integralt ırva kapjuk, hogy
f (x) =1
π
∞∫0
∞∫−∞
f (t) cos (ω(t − x)) dt
dω.
Alkalmazzuk ujra az elobbi trigonometrikus azonossagot a kovetkezohozjutunk:
f (x) =
∫ ∞0
(aω cos(ωx) + bω sin(ωx))dω, (Fourier integral)
ahol
aω =1
π
∞∫−∞
f (t) cos(ωt)dt, bω =1
π
∞∫−∞
f (t) sin(ωt)dt.
A korabbiakhoz hasonloan paros fuggveny eseten bω = 0 paratlanfuggveny eseten pedig aω = 0.
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 7: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/7.jpg)
Fourier transzformacio
Mivel cos(ω(t − x)) paros fuggveny a [0,∞] intervallum helyett [−∞,∞]intervallumon integralva, az eredmenyt 2-vel osztva kapjuk
f (x) =1
2π
∞∫−∞
∞∫−∞
f (t) cos (ω(t − x)) dt
dω.
Tovabba, a sin(ω(t − x)) fuggveny paratlan
0 =1
2π
∞∫−∞
∞∫−∞
f (t) sin (ω(t − x)) dt
dω.
Az elsobol kivonva a masodik iszereset, felhasznalva Euler tetelet kapjuka Fourier integralformula komplex alakjat:
f (x) =1
2π
∞∫−∞
e iωx
∞∫−∞
e−iωt f (t)dt
dω.
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 8: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/8.jpg)
Fourier transzformacio
Mivel cos(ω(t − x)) paros fuggveny a [0,∞] intervallum helyett [−∞,∞]intervallumon integralva, az eredmenyt 2-vel osztva kapjuk
f (x) =1
2π
∞∫−∞
∞∫−∞
f (t) cos (ω(t − x)) dt
dω.
Tovabba, a sin(ω(t − x)) fuggveny paratlan
0 =1
2π
∞∫−∞
∞∫−∞
f (t) sin (ω(t − x)) dt
dω.
Az elsobol kivonva a masodik iszereset, felhasznalva Euler tetelet kapjuka Fourier integralformula komplex alakjat:
f (x) =1
2π
∞∫−∞
e iωx
∞∫−∞
e−iωt f (t)dt
dω.
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 9: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/9.jpg)
Fourier transzformacio
Mivel cos(ω(t − x)) paros fuggveny a [0,∞] intervallum helyett [−∞,∞]intervallumon integralva, az eredmenyt 2-vel osztva kapjuk
f (x) =1
2π
∞∫−∞
∞∫−∞
f (t) cos (ω(t − x)) dt
dω.
Tovabba, a sin(ω(t − x)) fuggveny paratlan
0 =1
2π
∞∫−∞
∞∫−∞
f (t) sin (ω(t − x)) dt
dω.
Az elsobol kivonva a masodik iszereset, felhasznalva Euler tetelet kapjuka Fourier integralformula komplex alakjat:
f (x) =1
2π
∞∫−∞
e iωx
∞∫−∞
e−iωt f (t)dt
dω.
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 10: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/10.jpg)
Fourier transzformacio
DefinıcioAz f fuggveny abszolut integralhato, ha
∞∫−∞
|f (t)|dt <∞.
Ha f abszolut integralhato, akkor az
F[f ](ω) = F (ω) :=
∞∫−∞
f (t)e−iωtdt
fuggvenyt f Fourier transzformaltjanak nevezzuk. Tovabba, az
F−1[F ](t) :=1
2π
∞∫−∞
F (ω)e iωtdω
fuggvenyt az F fuggveny inverz Fourier transzformaltjanak nevezzuk.
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 11: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/11.jpg)
Fourier transzformacio
DefinıcioAz f fuggveny abszolut integralhato, ha
∞∫−∞
|f (t)|dt <∞.
Ha f abszolut integralhato, akkor az
F[f ](ω) = F (ω) :=
∞∫−∞
f (t)e−iωtdt
fuggvenyt f Fourier transzformaltjanak nevezzuk.
Tovabba, az
F−1[F ](t) :=1
2π
∞∫−∞
F (ω)e iωtdω
fuggvenyt az F fuggveny inverz Fourier transzformaltjanak nevezzuk.
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 12: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/12.jpg)
Fourier transzformacio
DefinıcioAz f fuggveny abszolut integralhato, ha
∞∫−∞
|f (t)|dt <∞.
Ha f abszolut integralhato, akkor az
F[f ](ω) = F (ω) :=
∞∫−∞
f (t)e−iωtdt
fuggvenyt f Fourier transzformaltjanak nevezzuk. Tovabba, az
F−1[F ](t) :=1
2π
∞∫−∞
F (ω)e iωtdω
fuggvenyt az F fuggveny inverz Fourier transzformaltjanak nevezzuk.
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 13: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/13.jpg)
Fourier transzformacio, Peldak
Legyen
f (x) =
1 ha |x | ≤ 1
2 ,
0 egyebkent,ekkor F[f ](ω) =
2
ωsin
ω
2.
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
-0.5
0.5
1
1.5
-20 -10 10 20
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 14: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/14.jpg)
Fourier transzformacio, Peldak
Legyen f (x) = e−γ|x|, ahol γ > 0 adott. Ekkor
F[fγ ](ω) = Fγ(ω) =2γ
γ2 + ω2.
A γ = 1 esetben a fuggveny illetve Fourier transzformaltjanak grafikonja.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
ex
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2/(1+x2)
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 15: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/15.jpg)
Fourier transzformacio, Peldak
Hatarozzuk meg az ga(x) = e−ax2
Gauss-fuggveny Fouriertranszformaltjat.
F[ga](ω) = Ga(ω) =
√π
ae−
ω2
4a
0.5
1
g1
g1/2
g1/4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5G
1
G1/2
G1/4
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 16: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/16.jpg)
Tetel, Fourier transzformacio tulajdonsagaiLegyen f es g abszolut integralhato. Jelolje Fourier transzformaltjukat F es G .Ekkor
tetszoleges a, b konstansok eseten
F[af (x) + bg(x)](ω) = aF (ω) + bG(ω);
tetszoleges a 6= 0 konstans eseten
F[f(xa
)](ω) = |a|F (aω);
tetszoleges rogzıtett x0 eseten
F[f (x − x0)](ω) = e−iωx0F (ω);
tetszoleges n termeszetes szam eseten
F[xnf (x)](ω) = inF (n)(ω), es F[f (n)(x)](ω) = (iω)nF (ω).
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 17: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/17.jpg)
Tetel, Fourier transzformacio tulajdonsagaiLegyen f es g abszolut integralhato. Jelolje Fourier transzformaltjukat F es G .Ekkor
tetszoleges a, b konstansok eseten
F[af (x) + bg(x)](ω) = aF (ω) + bG(ω);
tetszoleges a 6= 0 konstans eseten
F[f(xa
)](ω) = |a|F (aω);
tetszoleges rogzıtett x0 eseten
F[f (x − x0)](ω) = e−iωx0F (ω);
tetszoleges n termeszetes szam eseten
F[xnf (x)](ω) = inF (n)(ω), es F[f (n)(x)](ω) = (iω)nF (ω).
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 18: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/18.jpg)
Tetel, Fourier transzformacio tulajdonsagaiLegyen f es g abszolut integralhato. Jelolje Fourier transzformaltjukat F es G .Ekkor
tetszoleges a, b konstansok eseten
F[af (x) + bg(x)](ω) = aF (ω) + bG(ω);
tetszoleges a 6= 0 konstans eseten
F[f(xa
)](ω) = |a|F (aω);
tetszoleges rogzıtett x0 eseten
F[f (x − x0)](ω) = e−iωx0F (ω);
tetszoleges n termeszetes szam eseten
F[xnf (x)](ω) = inF (n)(ω), es F[f (n)(x)](ω) = (iω)nF (ω).
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 19: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/19.jpg)
Tetel, Fourier transzformacio tulajdonsagaiLegyen f es g abszolut integralhato. Jelolje Fourier transzformaltjukat F es G .Ekkor
tetszoleges a, b konstansok eseten
F[af (x) + bg(x)](ω) = aF (ω) + bG(ω);
tetszoleges a 6= 0 konstans eseten
F[f(xa
)](ω) = |a|F (aω);
tetszoleges rogzıtett x0 eseten
F[f (x − x0)](ω) = e−iωx0F (ω);
tetszoleges n termeszetes szam eseten
F[xnf (x)](ω) = inF (n)(ω), es F[f (n)(x)](ω) = (iω)nF (ω).
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 20: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/20.jpg)
Fourier transzformacio tulajdonsagai
DefinıcioLegyen f , g : R→ R adottak, ekkor az
(f ∗ g)(x) =
∞∫−∞
f (t)g(x − t)dt
fuggvenyt f es g konvoluciojanak nevezzuk. (Feltesszuk, hogy a fentiintegral letezik.)
TetelFelteve, hogy a megfelelo integralok leteznek, ket fuggvenykonvoluciojanak a Fourier transzformaltja a Fourier transzformaltakszorzata, azaz,
F[(f ∗ g)(x)](ω) = F[f (x)](ω) · F[g(x)](ω).
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 21: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/21.jpg)
Fourier transzformacio tulajdonsagai
DefinıcioLegyen f , g : R→ R adottak, ekkor az
(f ∗ g)(x) =
∞∫−∞
f (t)g(x − t)dt
fuggvenyt f es g konvoluciojanak nevezzuk. (Feltesszuk, hogy a fentiintegral letezik.)
TetelFelteve, hogy a megfelelo integralok leteznek, ket fuggvenykonvoluciojanak a Fourier transzformaltja a Fourier transzformaltakszorzata, azaz,
F[(f ∗ g)(x)](ω) = F[f (x)](ω) · F[g(x)](ω).
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 22: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/22.jpg)
Fourier transzformacio, Feladatok
1 Definialjuk a kovetkezo transzformaciokat, eltolas, modulacio,dilatacio:
(τhf )(x) = f (x+h), (νΩf )(x) = e iΩx f (x), (δaf )(x) = f (ax).
Irjuk fel az elobbi transzformaciok Fourier transzformaltjat csakF[f ]-et felhasznalva!
2 Irjuk fel az elobbi transzformaciok inverz Fourier transzformaltjatcsak F−1[F ]-et felhasznalva!
3 Az F[f ] = F fuggveny segıtsegevel fejezzuk ki a kovetkezofuggvenyek Fourier transzformaltjat!
f (2t − 3), f (2(x − 3)), (x2f (3x))′′, x3f ′′(x − 3).
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 23: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/23.jpg)
Fourier transzformacio, Feladatok
1 Definialjuk a kovetkezo transzformaciokat, eltolas, modulacio,dilatacio:
(τhf )(x) = f (x+h), (νΩf )(x) = e iΩx f (x), (δaf )(x) = f (ax).
Irjuk fel az elobbi transzformaciok Fourier transzformaltjat csakF[f ]-et felhasznalva!
2 Irjuk fel az elobbi transzformaciok inverz Fourier transzformaltjatcsak F−1[F ]-et felhasznalva!
3 Az F[f ] = F fuggveny segıtsegevel fejezzuk ki a kovetkezofuggvenyek Fourier transzformaltjat!
f (2t − 3), f (2(x − 3)), (x2f (3x))′′, x3f ′′(x − 3).
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 24: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/24.jpg)
Fourier transzformacio, Feladatok
1 Definialjuk a kovetkezo transzformaciokat, eltolas, modulacio,dilatacio:
(τhf )(x) = f (x+h), (νΩf )(x) = e iΩx f (x), (δaf )(x) = f (ax).
Irjuk fel az elobbi transzformaciok Fourier transzformaltjat csakF[f ]-et felhasznalva!
2 Irjuk fel az elobbi transzformaciok inverz Fourier transzformaltjatcsak F−1[F ]-et felhasznalva!
3 Az F[f ] = F fuggveny segıtsegevel fejezzuk ki a kovetkezofuggvenyek Fourier transzformaltjat!
f (2t − 3), f (2(x − 3)), (x2f (3x))′′, x3f ′′(x − 3).
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 25: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/25.jpg)
Diszkret Fourier transzformacio
Definıcio
Legyen T > 0 es N ∈ N adott, fn = f (tn), tn := nT , n = 0, . . . ,N − 1egy vektor, ekkor az
Fk = F (ωk) =N−1∑n=0
fne−iωk tn , ωk =
2πk
NT, k = 0, 1, . . . ,N − 1
vektort az fn vektor diszkret Fourier transzformaltjanak nevezzuk.Roviden: DFT.
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 26: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/26.jpg)
Diszkret Fourier transzformacio
A numerikus szamıtasok erdekeben elonyosebb matrixos alakba ırni azelobbi egyenleteket.
F0
F1
F2
...FN−1
=
1 1 1 1 · · · 11 W W 2 W 3 · · · W N−1
1 W 2 W 4 W 6 · · · W 2(N−1)
...... · · ·
...1 W N−1 W 2(N−1) W 3(N−1) · · · W (N−1)(N−1)
f0f1f2...
fN−1
,
ahol W = e−i2π
N .
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 27: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/27.jpg)
Diszkret Fourier transzformacio
PeldaTekintsuk a kovetkezo folytonos jelet:
f (t) = 5 + 2 cos(2πt − 90) + 3 cos(4πt).
Vegyunk minden masodpercenkent negy mintat t = 0-tol t = 34 -ig. Ekkor
T = 14 , es
fk = 5 + 2 cos(k π2 − 90) + 3 cos(kπ),
ıgyf0 = 8, f1 = 4, f2 = 8, f3 = 0.
Ekkor W = e−i2π
4 = −i , ezertF0
F1
F2
F3
=
1 1 1 11 −i −1 i1 −1 1 −11 i −1 −i
8480
=
20−4i124i
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 28: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/28.jpg)
Diszkret Fourier transzformacio
PeldaTekintsuk a kovetkezo folytonos jelet:
f (t) = 5 + 2 cos(2πt − 90) + 3 cos(4πt).
Vegyunk minden masodpercenkent negy mintat t = 0-tol t = 34 -ig. Ekkor
T = 14 , es
fk = 5 + 2 cos(k π2 − 90) + 3 cos(kπ),
ıgyf0 = 8, f1 = 4, f2 = 8, f3 = 0.
Ekkor W = e−i2π
4 = −i , ezertF0
F1
F2
F3
=
1 1 1 11 −i −1 i1 −1 1 −11 i −1 −i
8480
=
20−4i124i
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 29: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/29.jpg)
Diszkret Fourier transzformacio
PeldaTekintsuk a kovetkezo folytonos jelet:
f (t) = 5 + 2 cos(2πt − 90) + 3 cos(4πt).
Vegyunk minden masodpercenkent negy mintat t = 0-tol t = 34 -ig. Ekkor
T = 14 , es
fk = 5 + 2 cos(k π2 − 90) + 3 cos(kπ),
ıgyf0 = 8, f1 = 4, f2 = 8, f3 = 0.
Ekkor W = e−i2π
4 = −i , ezertF0
F1
F2
F3
=
1 1 1 11 −i −1 i1 −1 1 −11 i −1 −i
8480
=
20−4i124i
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 30: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/30.jpg)
Inverz diszkret Fourier transzformacio
DefinıcioA korabbi jelolesek felhasznalasaval az
fk =1
N
N−1∑n=0
Fne( i2π
N nk)
vektort az Fn vektor inverz Fourier transzformaltjanak nevezzuk.
Matrixos jelolessel az eredeti matrix 1N szeresenek komplex konjugaltjat
kell venni.
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 31: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/31.jpg)
Inverz diszkret Fourier transzformacio
DefinıcioA korabbi jelolesek felhasznalasaval az
fk =1
N
N−1∑n=0
Fne( i2π
N nk)
vektort az Fn vektor inverz Fourier transzformaltjanak nevezzuk.
Matrixos jelolessel az eredeti matrix 1N szeresenek komplex konjugaltjat
kell venni.
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 32: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/32.jpg)
Gyors Fourier transzformacio
Motivacios pelda
Ha f hossza N, akkor F kiszamıtasahoz N2 szorzasra van szuksegunk.Tegyuk fel, hogy a jel egy egyvonalas A hang, melynek frekvenciaja 440Hz. Gyakorlati tapasztalat azt mutatja, hogy a mintavetelezesfrekvenciajat legalabb ketszer akkorara kell valasztani, mint afeldolgozando jel maximalis frekvenciaja. Tehat N = 880 lesz ebben azesetben. A DFT kiszamıtasahoz 4.4 · 104 db szorzasra van szuksegunk.Ha egyszerre tobb hangszer szolal meg hosszabb ideig, akkor ez aszamıtasi mennyiseg valos idoben meg nagyon gyors szamıtogeppel semkezelheto. Hasonlo peldakat lehet hozni a kepfeldolgozas, adattomorıtes,stb. teruletekrol. Ez teszi szuksegesse a szamıtasi mennyiseg lenyegescsokkenteset.
A mult szazad 60-as eveitol kezdve tobb algoritmust fejlesztettek ki agyors Fourier transzformaciora. Ezek mindegyike arra tamaszkodik, hogya DFT kiszamıtasa kozben a szorzasok egy resze folosleges, mert markorabban elvegeztuk az eljaras soran.
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 33: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/33.jpg)
Gyors Fourier transzformacio
Motivacios pelda
Ha f hossza N, akkor F kiszamıtasahoz N2 szorzasra van szuksegunk.Tegyuk fel, hogy a jel egy egyvonalas A hang, melynek frekvenciaja 440Hz. Gyakorlati tapasztalat azt mutatja, hogy a mintavetelezesfrekvenciajat legalabb ketszer akkorara kell valasztani, mint afeldolgozando jel maximalis frekvenciaja. Tehat N = 880 lesz ebben azesetben. A DFT kiszamıtasahoz 4.4 · 104 db szorzasra van szuksegunk.Ha egyszerre tobb hangszer szolal meg hosszabb ideig, akkor ez aszamıtasi mennyiseg valos idoben meg nagyon gyors szamıtogeppel semkezelheto. Hasonlo peldakat lehet hozni a kepfeldolgozas, adattomorıtes,stb. teruletekrol. Ez teszi szuksegesse a szamıtasi mennyiseg lenyegescsokkenteset.
A mult szazad 60-as eveitol kezdve tobb algoritmust fejlesztettek ki agyors Fourier transzformaciora. Ezek mindegyike arra tamaszkodik, hogya DFT kiszamıtasa kozben a szorzasok egy resze folosleges, mert markorabban elvegeztuk az eljaras soran.
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 34: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/34.jpg)
Gyors Fourier transzformacio
Legyen WN = e−i2π
N , ekkor
Fk =N−1∑n=0
fne−i2π
N nk =N−1∑n=0
fnWnkN .
Az eljaras soran W nkN tobbszor ugyanazt az erteket veszi fel. Eloszor is
WN N kulonbozo erteket vehet fel, hiszen periodikus, masreszt, az nkszorzat n es k fuggvenyeben ketfelekeppen fordulhat elo. A tovabbiakbanfeltesszuk, hogy N paros. A szummat ket reszre bontjuk, az elsobenszerepelnek a paros, a masodikban a paratlan indexu tagok, m = n
2 esm = n−1
2 .
Fk =
N2 −1∑m=0
f2mW2mkN +
N2 −1∑m=0
f2m+1W(2m+1)kN =
N2 −1∑m=0
f2mWmkN2
+W kN
N2 −1∑m=0
f2m+1WmkN2,
mivel W 2mkN = e−i
2πN 2mk = e
−i 2πN2
mk= Wmk
N2
. Igy az N hosszusagu vektor
transzformaltja eloallıthato N2 hosszusagu transzformaltak segıtsegevel.
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 35: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/35.jpg)
Gyors Fourier transzformacio
Legyen WN = e−i2π
N , ekkor
Fk =N−1∑n=0
fne−i2π
N nk =N−1∑n=0
fnWnkN .
Az eljaras soran W nkN tobbszor ugyanazt az erteket veszi fel. Eloszor is
WN N kulonbozo erteket vehet fel, hiszen periodikus, masreszt, az nkszorzat n es k fuggvenyeben ketfelekeppen fordulhat elo.
A tovabbiakbanfeltesszuk, hogy N paros. A szummat ket reszre bontjuk, az elsobenszerepelnek a paros, a masodikban a paratlan indexu tagok, m = n
2 esm = n−1
2 .
Fk =
N2 −1∑m=0
f2mW2mkN +
N2 −1∑m=0
f2m+1W(2m+1)kN =
N2 −1∑m=0
f2mWmkN2
+W kN
N2 −1∑m=0
f2m+1WmkN2,
mivel W 2mkN = e−i
2πN 2mk = e
−i 2πN2
mk= Wmk
N2
. Igy az N hosszusagu vektor
transzformaltja eloallıthato N2 hosszusagu transzformaltak segıtsegevel.
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 36: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/36.jpg)
Gyors Fourier transzformacio
Legyen WN = e−i2π
N , ekkor
Fk =N−1∑n=0
fne−i2π
N nk =N−1∑n=0
fnWnkN .
Az eljaras soran W nkN tobbszor ugyanazt az erteket veszi fel. Eloszor is
WN N kulonbozo erteket vehet fel, hiszen periodikus, masreszt, az nkszorzat n es k fuggvenyeben ketfelekeppen fordulhat elo. A tovabbiakbanfeltesszuk, hogy N paros. A szummat ket reszre bontjuk, az elsobenszerepelnek a paros, a masodikban a paratlan indexu tagok, m = n
2 esm = n−1
2 .
Fk =
N2 −1∑m=0
f2mW2mkN +
N2 −1∑m=0
f2m+1W(2m+1)kN =
N2 −1∑m=0
f2mWmkN2
+W kN
N2 −1∑m=0
f2m+1WmkN2,
mivel W 2mkN = e−i
2πN 2mk = e
−i 2πN2
mk= Wmk
N2
. Igy az N hosszusagu vektor
transzformaltja eloallıthato N2 hosszusagu transzformaltak segıtsegevel.
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 37: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/37.jpg)
Gyors Fourier transzformacio
TehatFk = Gk + W k
NHk
alakba ırhato, ahol G a paros indexu, H a paratlan indexu adatoknakfelel meg, mindketto N
2 dimenzios vektorok transzformacioibol allıthatoelo, es k-ban periodikusak.
Az elozoeket figyelembe veve erdemes N = 2j
szamossagu mintat venni, ıgy tobbszor vegre lehet hajtani a redukciot.Bebizonyıthato, hogy a gyors Fourier transzformacio szamıtasigenyeN2 log2 N.
N N2 (DFT) N2 log2 N (GyFT) Megtakarıtas
32 1024 80 92%256 65536 1024 98%
1024 1048576 5120 99.5%
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 38: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/38.jpg)
Gyors Fourier transzformacio
TehatFk = Gk + W k
NHk
alakba ırhato, ahol G a paros indexu, H a paratlan indexu adatoknakfelel meg, mindketto N
2 dimenzios vektorok transzformacioibol allıthatoelo, es k-ban periodikusak. Az elozoeket figyelembe veve erdemes N = 2j
szamossagu mintat venni, ıgy tobbszor vegre lehet hajtani a redukciot.
Bebizonyıthato, hogy a gyors Fourier transzformacio szamıtasigenyeN2 log2 N.
N N2 (DFT) N2 log2 N (GyFT) Megtakarıtas
32 1024 80 92%256 65536 1024 98%
1024 1048576 5120 99.5%
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 39: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/39.jpg)
Gyors Fourier transzformacio
TehatFk = Gk + W k
NHk
alakba ırhato, ahol G a paros indexu, H a paratlan indexu adatoknakfelel meg, mindketto N
2 dimenzios vektorok transzformacioibol allıthatoelo, es k-ban periodikusak. Az elozoeket figyelembe veve erdemes N = 2j
szamossagu mintat venni, ıgy tobbszor vegre lehet hajtani a redukciot.Bebizonyıthato, hogy a gyors Fourier transzformacio szamıtasigenyeN2 log2 N.
N N2 (DFT) N2 log2 N (GyFT) Megtakarıtas
32 1024 80 92%256 65536 1024 98%
1024 1048576 5120 99.5%
Burai Pal Eloadas koveto foliak
![Page 40: El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II ... mernokoknek/Matematika... · El}oad as k ovet}o f oli ak a Matematika m ern ok oknek II. c mu} t argyhoz Burai P al](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041905/5e633ef7ba7684336639e880/html5/thumbnails/40.jpg)
Gyors Fourier transzformacio, Pelda
N = 8 eseten
W 08 = 1, W 1
8 =1− i√
2=: a, W 2
8 = a2 = −i , W 38 = a3 = −ia,
W 48 = a4 = −1, W 5
8 = a5 = −a, W 68 = a6 = i , W 7
8 = a7 = ia.
Igy
F0 = G0 + W 08 H0
F1 = G1 + W 18 H1
F2 = G2 + W 28 H2
F3 = G3 + W 38 H3
F40 = G0 + W 48 H0 = G0 −W 0
8 H0
F5 = G1 + W 58 H1 = G1 −W 1
8 H1
F6 = G2 + W 68 H2 = G2 −W 2
8 H2
F7 = G3 + W 78 H3 = G3 −W 3
8 H3
Burai Pal Eloadas koveto foliak