elementy geometrii analitycznejimif.utp.edu.pl/nowickam/wyniki/geometria_analitycznapts.pdf ·...

Płaszczyzna Prosta Powierzchnie drugiego stopnia

Elementy geometrii analitycznej

Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczyim. Jana i Jędrzeja Śniadeckich w Bydgoszczy

2014


Równanie płaszczyzny

Niech π będzie płaszczyzną, ~a = [A,B,C ] 6= ~0 wektoremprostopadłym do π oraz X0 = (x0, y0, z0) punktem płaszczyzny π.Punkt X = (x , y , z) leży na płaszczyźnie π wtedy i tylko wtedy, gdywektory ~a i

−−→X0X = [x − x0, y − y0, z − z0] są prostopadłe, czyli gdy

~a ◦−−→X0X = 0,

zatemA(x − x0) + B(y − y0) + C (z − z0) = 0.

Oznaczając D = −Ax0 − By0 − Cz0 otrzymujemy równanie ogólnepłaszczyzny

π : Ax + By + Cz + D = 0.


Przykład

Problem

Podaj równanie płaszczyzny prostopadłej do wektora [4,−1, 0] iprzechodzącej przez punkt Q = (2, 1,−5).

Rozwiązanie

Równanie szukanej płaszczyzny będzie miało postać

4x − y + D = 0.

Stałą D wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu Q dorównania:

4 · 2− 1 · 1 + D = 0 skąd D = −7.

Ostatecznie równanie płaszczyzny jest postaci

4x − y − 7 = 0.


Przykład

Problem

Podaj równanie płaszczyzny prostopadłej do płaszczyzn2x − y + z + 1 = 0 i y − z = 0 i przechodzącej przez punktQ = (0, 1, 0).

RozwiązanieRównanie szukanej płaszczyzny wyznaczymy, jeżeli znajdziemy wektorprostopadły do szukanej płaszczyzny. Ponieważ wektory [2,−1, 1] i [0, 1,−1] sąprostopadłe do danych płaszczyzn, ich iloczyn wektorowy będzie leżał w obudanych płaszczyznach, a więc na prostej, która jest ich przecięciem. Płaszczyznaprostopadła do tej prostej będzie zatem prostopadła do obu danych płaszczyzn.Wyznaczmy ten iloczyn:

[2,−1, 1]× [0, 1,−1] =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 −1 10 1 −1

∣∣∣∣∣∣ = [0, 2, 2]

Równanie szukanej płaszczyzny to y + z + D = 0. Stałą D = −1 wyznaczamytak jak w poprzednim zadaniu. Ostatecznie y + z − 1 = 0


Równanie odcinkowe płaszczyzny

Jeżeli wiemy, że płaszczyzna przecina osie układu współrzędnych wpunktach (a, 0, 0), (0, b, 0) i (0, 0, c) (a, b, c 6= 0), to jej równaniemożna zapisać w postaci odcinkowej

x

a+

y

b+

z

c= 1.


Przykład

Problem

Podaj równanie płaszczyzny przechodzącej przez punktQ = (−3, 1, 6) odcinającej na dodatnich półosiach układuwspółrzędnych odcinki równej długości.

RozwiązanieRówna długość odcinków oznacza, że w równaniu odcinkowym szukanejpłaszczyzny a = b = c > 0. Wstawiając współrzędne punktu Q do równaniaxa+ y

a+ z

a= 1 otrzymujemy

−3a+1a+6a= 1, skąd a = 4

Równaniem szukanej płaszczyzny jest zatem x4 +

y4 +

z4 = 1, lub w postaci

ogólnej x + y + z − 4 = 0.


Kąt między płaszczyznami

Kąt między płaszczyznami to kąt między wektorami do nichprostopadłymi. Jeżeli zatem płaszczyzny dane są równaniami

π1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0,

π2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0,

to

cos �(π1, π2) =A1A2 + B1B2 + C1C2√

A21 + B21 + C 21

√A22 + B22 + C 22

.

Płaszczyzny π1 i π2 są prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy

A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.

Dwie płaszczyzny A1x + B1y + C1z + D1 = 0 iA2x + B2y + C2z + D2 = 0 sa zatem równoległe wtedy i tylkowtedy gdy równoległe są wektory [A1,B1,C1] i [A2,B2,C2], czyligdy trójki liczb (A1,B1,C1) i (A2,B2,C2) sa proporcjonalne.


Odległość punktu od płaszczyzny

Odległość punktu X0 = (x0, y0, z0) od płaszczyznyπ : Ax + By + Cz + D = 0 obliczamy korzystając ze wzoru

d(X0, π) =|Ax0 + By0 + Cz0 + D|√

A2 + B2 + C 2.


Odległość między dwiema równoległymi płaszczyznami

Odległość między płaszczyznami π1 : Ax + By + Cz + D1 = 0 iπ2 : Ax + By + Cz + D2 = 0 wynosi

d(π1, π2) =|D1 − D2|√A2 + B2 + C 2

.


Równanie wektorowe płaszczyzny

Jeżeli −→v0 ,−→v1 i −→v2 są ustalonymi wektorami, a λ1, λ2 są liczbamirzeczywistymi, przy czym wektory −→v1 i −→v2 nie są równoległe, tokońce wektora

−→v = −→v0 + λ1−→v1 + λ2

−→v2opisują płaszczyznę. To równanie nazywamy równaniemwektorowym płaszczyzny.Wektory −→v1 i −→v2 ’rozpinają’ płaszczyznę przechodzącą przezpoczątek układu współrzędnych. Jej elementami są punkty postaciλ1−→v1 + λ2

−→v2 . Dodanie wektora −→v0 powoduje równoległeprzesunięcie tej płaszczyzny tak, że początek układu pokryje się zkońcem tego wektora.


Równanie parametryczne płaszczyzny

Płaszczyzna, która przechodzi przez punkt X0 = (x0, y0, z0) i jestrównoległa do nierównoległych wektorów [a1, b1, c1] i [a2, b2, c2]jest opisana następującymi równaniami:

x = x0 + λ1a1 + λ2a2

y = y0 + λ1b1 + λ2b2

z = z0 + λ1c1 + λ2c2


Równanie prostej

Niech dana będzie prosta przechodzącaprzez punkt X0(x0, y0, z0) i równoległado niezerowego wektora ~n = [a, b, c].Punkt X (x , y , z) leży na prostej wtedy itylko wtedy, gdy wektory ~n oraz−−→X0X = [x − x0, y − y0, z − z0] sąrównoległe, czyli gdy zachodzi warunek

x − x0a

=y − y0

b=

z − z0c

.

To równanie nazywa sie ogólnymrównaniem prostej.

~n = [a, b, c]

X (x , y , z)

X0(x0, y0, z0)


Równanie krawędziowe prostej

Rozważmy dwie płaszczyzny

A1x + B1y + C1z + D1 = 0, A2x + B2y + C2z + D2 = 0,

gdzie R

([A1 B1 C1A2 B2 C2

])= 2.

Częścią wspólną tych płaszczyzn jest prosta{A1x + B1y + C1z + D1 = 0

A2x + B2y + C2z + D2 = 0.

Powyższe równanie jest równaniem krawędziowym prostej.


Przykład I

Problem

Napisz równanie prostej, ktora jest częścią wspólną płaszczyznπ1 : 2x − 2y + z − 1 = 0 i π2 : x − y − 4z + 4 = 0

Musimy znaleźć wektor, który jest równoległy do obu płaszczyznoraz punkt na ich przecięciu.Pierwsza część zadania jest prosta:

−→v1 = [2,−2, 1]⊥π1, −→v2 = [1,−1,−4]⊥π2 ⇒ −→v1 ×−→v2 ‖ π1 ∩ π2

Łatwo obliczamy, że −→v1 ×−→v2 = [9,−9, 0].Aby wyznaczyć punkt leżący na przecięciu płaszczyznrozwiazujemy układ równań{

2x − 2y + z = 1x − y − 4z = −4


Przykład II

Niezerowym minorem stopnia 2 jest minor odpowiadającyzmiennym x i z , więc kładąc y = α otrzymujemy{

2x + z = 1 + 2αx − 4z = −4 + α

skąd (x , y , z) = (α, α, 1)

Biorąc np. α = 1 otrzymujemy punkt (1, 1, 1) leżący na przecięciuprostych. Zatem równaniem szukanej prostej jest np.

x − 19

=y − 1−9

=z − 1

0.


Równanie wektorowe prostej

Jeżeli −→v0 jest dowolnym wektorem, a −→v1 wektorem niezerowym, torównanie

−→v = −→v0 + λ−→v1 , λ ∈ R

opisuje prostą w przestrzeni. Wektor −→v1 jest wektorem do niejrównoległym, zaś wektor −→v0 opisuje przesunięcie względempoczątku układu współrzędnych.


Równanie wektorowe prostej cd.

x

y

z

λ−→v1−→v1

−→v0

−→v0 +λ−→v1


Równanie parametryczne prostej

Dla dowolnych x0, y0, z0 oraz a, b, c niebędących jednocześniezerem układ

x = x0 + λa

y = y0 + λb , λ ∈ Rz = z0 + λc

przedstawia równanie parametryczne prostej.Punkt (x0, y0, z0) odgrywa role wektora −→v0 a [a, b, c] = −→v1 wpoprzedniej definicji.


Przykład

Problem

Napisać równania prostej przechodzącej przez punkty K (0,−2, 1) iL(4, 2, 0).

Wektorem równoległym do szukanej prostej jest wektor−→KL = [4, 4,−1], a prosta przechodzi np. przez punkt K , więc jejrównanie ogólne to

x

4=

y + 24

=z − 1−1

.

Równanie wektorowe to

−→v = [0,−2, 1] + λ[4, 4,−1]

a równanie parametryczne to

x = 4λ, y = −2 + 4λ, z = 1− λ


Krzywe drugiego stopnia

Krzywa drugiego stopnia na płaszczyźnie, to krzywa wyrażająca sięnastępującym równaniem

ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0,

gdzie a, b, c , d , e, f ∈ R oraz przynajmniej jeden zewspółczynników a, b, c musi być różny od zera.


Krzywe drugiego stopnia

Każdą krzywą stopnia drugiego można za pomocą przesunięcia iobrotu przekształcić tak, aby miała ona jedno z równań:

1 x2

a2+ y2

b2= 1 (elipsa);

2 x2

a2− y2

b2= 1 (hiperbola);

3 x2 = 2py (parabola);

4 x2

a2+ y2

b2= −1 (zbiór pusty);

5 x2

a2+ y2

b2= 0 (punkt);

6 x2

a2− y2

b2= 0 (dwie proste przecinające się);

7 x2

a2= 1 (dwie proste równoległe);

8 x2

a2= 0 (jedna prosta);

9 x2

a2= −1 (zbiór pusty).


Powierzchnie drugiego stopnia

Powierzchnią drugiego stopnia nazywamy zbiór punktówprzestrzeni trójwymiarowej, które spełniają równanie

ax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0, (1)

gdzie a, b, c , d , e, f , g , h, i , j ∈ R oraz przynajmniej jeden zewspółczynników a, b, c , d , e, f musi być różny od zera.


Powierzchnie drugiego stopnia

Ogólne równanie drugiego stopnia (1) daje się sprowadzićprzekształceniami liniowymi do jednej z kilkunastu postaciprzedstawionych na kolejnych slajdach:

Rysunki z http://www.pg.gda.pl/pracownicy/anita.tlalka/powierzchnie.pdf


Elipsoida trójosiowa


Walec eliptyczny


Stożek eliptyczny


Paraboloida eliptyczna


Walec paraboliczny


Paraboloida hiperboliczna


Walec hiperboliczny


Hiperboloida jednopowłokowa


Hiperbolioida dwupowłokowa


Pozostałe zdegenerowane powierzchnie drugiego stopnia

Przecinające się płaszczyzny

x2

a2− y2

b2= 0

Dwie płaszczyzny równoległe

x2

a2= 1

Płaszczyzna

x2

a2= 0

Prosta

x2

a2+

y2

b2= 0

Punkt

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 0

Zbiór pusty

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= −1

elementy geometrii analitycznejimif.utp.edu.pl/nowickam/wyniki/geometria_analitycznapts.pdf ·...

Documents