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  • IntroduccinLa Matematica de la Teora Cuntica de la Informacin

    Postulados de la Mecnica Cuntica

    Elementos de Espacios de Hilbert y MecnicaCuntica

    M. Loreto Ladrn de GuevaraDepartamento de Fsica, Universidad Catlica del Norte

    Arica, Octubre de 2015

    ESANFI

    M. Loreto Ladrn de Guevara Elementos de Espacios de Hilbert y Mecnica Cuntica

  • IntroduccinLa Matematica de la Teora Cuntica de la Informacin

    Postulados de la Mecnica Cuntica

    Contenidos

    1 Introduccin2 La Matemtica de la Teora Cuntica de la Informacin:

    Espacios de Hilbert3 Postulados de la Mecnica Cuntica.

    M. Loreto Ladrn de Guevara Elementos de Espacios de Hilbert y Mecnica Cuntica

  • IntroduccinLa Matematica de la Teora Cuntica de la Informacin

    Postulados de la Mecnica Cuntica

    Introduccin

    Los espacios de Hilbert son el fundamento matemtico de laMecnica Cuntica (MC) y de la Teora Cuntica de laInformacin (TCI).La MC es la estructura en que se enmarcan las leyes de lanaturaleza. sta da el marco conceptual y matemtico para eldesarrollo de las leyes que la rigen.A fines del S. XIX existian dos entidades separadas: las ondasy las partculas, descritas por las teoras clsicas (Maxwell yNewton).

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  • IntroduccinLa Matematica de la Teora Cuntica de la Informacin

    Postulados de la Mecnica Cuntica

    La MC surgi como resultado de una serie de descubrimientosocurridos en los siglos XIX y comienzos del XX , que ponan enduda la validez de las teora clsica (Newton) a escala atmicay en ciertos experimentos con luz interactuando con tomos.No se entienden, a la luz de las teoras clsicas, experimentoscomo Radiacin de Cuerpo Negro (Kirchhoff 1859), el efectofotoelctrico Hertz (1887), la estabilidad de tomos y laexistencia de lneas espectrales (Modelo de Rutherford) yotros.Surgen modelos para estos efectos: radiacin de cuerpo negrofue explicada por Planck (1900), el efecto fotoelctrico porEinstein (1905), y estabilidad atmica y lneas espectrales porBohr (1913).

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    Postulados de la Mecnica Cuntica

    Antes de 1925 la MC era un conjunto de hechos basados enevidencias experimentales que dominaban el comportamientoa escalas atmica y moleculares, y un conjunto fragmentadode explicaciones.Entre esos hechos estaban: la naturaleza dual de la luz y laspartculas (dualidad onda-partcula para ambas) y la existenciade movimientos cuantizados (peridicos) y no cuantizados (noperidicos).Pero la MC careca de un marco terico formal y conceptualque sirviera para explicar todos esos hechos a la vez (unanica teora).

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    Postulados de la Mecnica Cuntica

    Esa Teora se inici en 1925 y fue desarrollada por WernerHeisenberg, Max Born y Pascual Jordan en lo que llamaron"mecnica de matrices". Tiempo despus Schrdingerdesarroll la teora de la "mecnica ondulatoria", desde unpunto de partida distinto.Paul Dirac y Pascual Jordan mostraron la equivalenciamatemtica de ambas teoras, en la llamada "teora de latransformacin".John von Neumann se dio cuenta, en 1927, de que un marconatural para la teora cuntica eran los espacios de Hilbert,desarrollados por David Hilbert (1909).

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    Postulados de la Mecnica Cuntica

    David Hilbert John von Neumann

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    Postulados de la Mecnica Cuntica

    En TCI, el qubit es la unidad bsica para almacenarinformacin. Corresponde a un sistema fsico que se rige porlas leyes de la Mecnica Cuntica.El estado mas general de un qubit es descrito por el "vectorde estado"

    | = a|0+ b|1, a, b C.

    El vector | vive en un espacio abstracto que llamamosespacio de estados E del sistema, que es un espacio de Hilbert.

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    Postulados de la Mecnica Cuntica

    ObjetivosRevisar las propiedades ms importantes de los espacios deHilbert que son tiles a la MC y particularmente a la TCI.Conocer los postulados de la MC que dan una base fsica a laTCI.Conocer y aplicar las herramientas matemticas de la MC ensistemas sencillos en el contexto de la TCI.

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    Postulados de la Mecnica Cuntica

    Espacios vectoriales lineales y sus propiedades

    Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial lineal complejo.

    Espacio vectorial linealUn espacio vectorial lineal sobre un campo C es un conjunto V deobjetos matematicos llamados vectores. Ese espacio es cerradobajo la adicin y la multiplicacin por un escalar.Si u, v V y a C,

    u + v V

    au V.

    La rama de la matemtica que estudia estos espacios y lasoperaciones lineales sobre ellos es el lgebra lineal.

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    Postulados de la Mecnica Cuntica

    Para vectores u, v y w vectores en V y a, b escalares en C secumple:

    (u + v) + w = u + (v + w) (asociatividad de la adicin)u + v = v + u (conmutatividad de la adicin) 0 V : u + 0 = u (neutro aditivo)u V, (u) V : u + (u) = 0 (inverso aditivo).

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    Postulados de la Mecnica Cuntica

    Para u, v vectores en V y a, b escalares en C se cumple:

    a(u + v) = a u + a v (distributividad de escalar respecto aadicin vectorial)(a + b)u = au + bu (distributividad de vector respecto aadicion escalar)a(bu) = (ab)u1u = u (elemento identidad en multiplicacion escalar)

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    Postulados de la Mecnica Cuntica

    Los espacios vectoriales lineales pueden ser diversos en naturaleza;existen compuestos de vectores ordinarios en R3, as como defunciones, polinomios, matrices, y otros.

    Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial lineal en el campo delos nmeros complejos C, con una dimensionalidad que puede serfinita o infinita y que tiene definido un producto interno.

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    Postulados de la Mecnica Cuntica

    El lgebra lineal tambien estudia las transformaciones entreespacios vectoriales que preservan la estructura del espaciovectorial. Esas transformaciones se denominan transformacioneslineales u operadores lineales.

    Operadores LinealesDados dos espacios vectoriales V y W sobre el mismo campo, unoperador lineal es un mapeo T : V W tal que:

    T (u + v) = T (u) + T (v) y T (au) = aT (u), con a escalar.Tambin: T (au + bv) = aT (u) + bT (v), con a, b escalares.

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    Postulados de la Mecnica Cuntica

    Funcional linealUn funcional lineal F es una operacin lineal que asocia a cadavector u en V un escalar en C:

    Fu CF (au + bv) = aFu + bFv, a, b escalares.

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    Postulados de la Mecnica Cuntica

    Producto interno o escalarSi V es un espacio vectorial sobre el campo de los complejos C, elproducto interno es un escalar, denotado por v|u, que tiene lassiguientes propiedades

    v|u Cv|u = u|v

    v|au1 + bu2 = av|u1+ bv|u2, a, b C.v|u = 0 u v.

    El producto escalar es un funcional lineal.

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    Postulados de la Mecnica Cuntica

    NormaDado el vector u, se define su norma como ||u|| =

    u|u.

    Se cumple que: u|u 0. u|u = 0 u = 0.Un vector u se dice normalizado cuando ||u|| = 1.Un vector se normaliza dividindolo por su norma:

    u = uu|u

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    Postulados de la Mecnica Cuntica

    Indepedencia linealUn conjunto de vectores {ui , i = 1, 2, . . . } se dice linealmenteindependiente (L. I.) si no es posible escribirlos de la forma

    a1u1 + a2u2 + . . . aNuN = 0,

    a menos que a1 = a2 = . . . aN = 0. En otras palabras, ninguno delos vectores ui puede ser expresado como una combinacin linealde los otros.

    DimensinUn espacio vectorial lineal tiene dimensin N si admite a lo ms Nvectores L. I.

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    Postulados de la Mecnica Cuntica

    Base del espacio vectorialUn conjunto de vectores {ui , i = 1, 2, . . .N} forman una base delespaci

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