Elektrotechnika i elektronika (konspekt)Franciszek Gołek (golek@ifd.uni.wroc.pl)

www.pe.ifd.uni.wroc.pl

Wykład 7 i 8.Maszyny elektryczne prądu zmiennego

Układy trójfazoweGdy umieścimy trzy uzwojenia 1-1’, 2-2’i 3-3’ tak jak na rys. (a), kąt międzykolejnymi ramkami wynosi tu 120° towirujący magnes w ich środku wygenerujesiły elektromotoryczne SEM, które będąsię różnić między sobą fazą o 120° i można je zapisać jako I) eU = EUmsin(ωt), II) eV = EVmsin(ωt - 2π/3), III) eW = EWmsin(ωt - 4π/3) = EWmsin(ωt + 2π/3). Dopóki obwody te nie są ze sobą połączone nazywamy je nieskojarzonymi (rys. b). Łącząc taki układ w gwiazdę lub w trójkąt uzyskujemy trójfazowy układ skojarzony (powszechnie zwany układem trójfazowym, rys. c). Układy trójfazowe są powszechnie stosowane w elektroenergetyce.

Układy trójfazowe skojarzone możemy łączyć na dwa sposoby: połączenie w trójkąt (deltę ∆) i w gwiazdę (Y). Przy połączeniu w gwiazdę mamy dwie możliwości: trójprzewodowa (a b i c) lub czteroprzewodowa – z przewodem neutralnym.Warto zauważyć, żeprzy symetrycznymobciążeniu wszystkichfaz suma wektorowanapięć podobnie jaksuma wektorowaprądów wyniesie zerow każdej chwili.Uan = Uan∠0°,Ubn = Ubn∠-120°,Ucn = Ucn∠-240° = Ucn∠120°,

Często operujemy wartościami: Uan = Ubn = Ucn = Uskuteczne

Relacje między napięciami fazowymi i międzyfazowymi. Gdy obciążenie w układzie trójfazowym jest symetryczne to moduły prądów są identyczne a same prądy są względem siebie przesunięte o 120° ich suma w przewodzie neutralnym zeruje się. Gdy obciążenie jest niesymetryczne to w przewodzie neutralnym (przy połączeniu w gwiazdę) płynie prąd niezerowy będący niezerową sumą prądów fazowych.

Gdy obciążenie w układzie trójfazowym połączonym w Y (gwiazdę) jest symetryczne to moduły napięć międzyfazowych są √3 razy większe od modłów napięć fazowych. To samo dotyczy operowania wartościami skutecznymi.Przykładowo U1n = U∠Φ, U2n = U∠(Φ - 2π/3),U3n = U∠(Φ + 2π/3), U12 = U1n – U2n

= U∠Φ – U∠(Φ - 2π/3)= U∠Φ + U∠(Φ + π - 2π/3)= U∠Φ + U∠(Φ + π/3),= √3U∠(Φ + π/6),

Uab = Uan – Ubn = U∠0°- U∠-120° = U∠0°+ U∠60° = √3U∠30° Ubc = U∠-120°- U∠120° = √3U∠-90°Uca = U∠120°- U∠0° = √3U∠150°Uan + Ubn + Ucn = 0 podobnie:In = Ia + Ib + Ic = (Uan + Ubn + Ucn)/Z = 0

Moc: dla uproszczenia niech Z = Rpa(t) = (Uacosωt)2/R = (Ua

2/R)(cos ωt)2

= (Ua2/R)(1/2)(1 + cos2ωt) = (Uskutecz

2/R)(1 + cos2ωt) = (U2/R)(1 + cos2ωt),pb(t) = (Ubcos(ωt – 120°)2/R = (U2/R)[1 + cos(2ωt - 240°)] = (U2/R)[1 + cos(2ωt +120°)],pc(t) = (Uccos(ωt – 240°)2/R = (U2/R)[1 + cos(2ωt - 120°)].

p(t) = pa(t) + pb(t)+ pc(t) = 3U2/R + (U2/R)[cos(2ωt) + cos(2ωt - 120°) + cos(2ωt + 120°)] == 3U2/R = stała wartość! Cała moc chwilowa nie pulsuje! Gdy jest symetria!

Jeżeli Za = Zb = Zc = ZY∠ϕ to mamy moc zespoloną:dla każdej fazy S = UI* = P + jQ = UI*cosϕ + jUI*sinϕ gdzie U i I* - wartości skuteczne. Razem: STotal = ST == 3P + j3Q =√[(3P)2 + (3Q)2]∠ϕ. Moc pozorna:ST= 3 √[(UIcosϕ)2 + (UIsinϕ)2] = 3UI, PT = STcosϕ.

Przykład. Obliczyć moc Po dostarczanąz generatora trójfazowego do obciążeniaw układzie jak na rysunku mając dane:Uan = 480∠0° V, Ubn = 480∠-2π/3 V,Ucn = 480∠2π/3 V, Z = 2 + j4 = 4,47∠(1,107)Ω,Rline = 2 Ω, Rneutral = 10 Ω. (stosować wartości skuteczne napięć).Rozw. Ponieważ układ jest zrównoważony(tj. symetrycznie obciążony) możemy stosowaćobliczenia dla jednej fazy. Prąd w linii „neutral” jest równy 0oraz Unn’ = 0.Pa = I2 Ro

I = Uan/(Z + Rline) = (480∠0)/(2 + j4 + 2) = (480∠0)/(5,657∠π/4) = 84,85 A !Pa = I2 Ro = (84,85)2 × 2 = 14,4 kW.Komentarz: warto odnotować, że przy symetrycznym obciążeniu w przewodzie neutralnym jednak prąd wynosi 0 A, nie ma tam spadku napięcia, dzieje się tak dzięki zerowej sumie prądów z wszystkich trzech faz. Dlatego pomijamy Rneutral.

Zdarza się, że generator trójfazowyw układzie gwiazdy jest obciążonyodbiornikiem mocy w układzie delta(trójkąta) jak na rysunku.W tej sytuacji prądy w obciążeniach Z∆ będą wynosić (zobacz na stronie 6dlaczego Umiędzyfazowe = √3Ufazowe):

Zatem prąd w ZΔ jest √3 razy większy niż płynełoby przez ZY. Okazuje się, że prądy w liniach czyli Ia, Ib i Ic będą aż 3-krotnie większe niż w sytuacji, gdy obciążenia były połączone w gwiazdę: (Ia)∆ = Uab/Z – Uca/Z = (1/Z)(Uan – Ubn – Ucn + Uan) = (1/Z)[2Uan – (Ubn + Ucn)] = = 3Uan/Z Zatem i pobierana moc będzie tu 3-krotnie większa:

Linie przesyłowe niskiego napięcia do około 1 kV oraz napięć średnich (1 – 30 kV) budowane są jako kablowe w sieci miejskiej i napowietrzne jako rejonowe (poza miastem i na terenach wiejskich).Linie wysokiego napięcia, 110 kV i wyższe (220, 400 i 750 kV), są przeważnie budowane jako napowietrzne sporadycznie budowane są jako kablowe (na terenach o znacznej gęstości zabudowy) wynika to z faktu, iż linie kablowe są kilkukrotnie droższe od napowietrznych.Podstawowymi elementami linii napowietrznych są: przewody fazowe, przewody odgromowe, słupy (konstrukcje wsporcze), izolatory, osprzęt (przewodowy i izolatorowy) oraz uziomy słupów.W liniach średniego napięcia słupy są wykonane z żelbetonu lub rur stalowych.W liniach wysokiego napięcia stosowane są słupy stalowe kratowe lub rurowe.

Słupy transmisyjne (wynik projektowaniasłupów o małej masie – czyli oszczędnychi dużej wytrzymałości nie zawsze jest pozytywny: w wynikuoblodzenia przewodów zniszczenia mogą przeważyć nad oszczędnościami!)

Zadaniem izolatorów jest nie tylko podtrzymywać przewody ale też eliminować prądy upływności!

Linie wysokiego napięcia od linii niskiego napięcia oddzielają transformatory (zanurzone w oleju!).

Wytwarzanie wirującego pola magnetycznego

Fundamentalną zasadą działania maszyn prądu przemiennego jest wytwarzanie wirującego pola magnetycznego, które wymusza obroty wirnika z prędkością zależną od prędkości wirowania pola magnetycznego.Prądnice (generatory) prądu przemiennego (zmiennego) są produkowane jako jednofazowe lub jako wielofazowe. W śród wielofazowych mamy do czynienia niemal wyłącznie z trójfazowymi.

Maszyny synchroniczneMaszyny synchroniczne budowane są zarówno jako prądnice i jako silniki. Obecnie większość energii elektrycznej jest produkowana przez generatory synchroniczne trójfazowe, które stosowane są przede wszystkim w elektrowniach, w Polsce instalowane są jednostki o mocy nawet 500 MW.Silniki synchroniczne stosowane są do napędu maszyn a zwłaszcza tam gdzie wymagana jest stała prędkość obrotowa. Silniki synchroniczne trójfazowe są budowane na duży zakres mocy; aż do 50 000 KM.Jednofazowe silniki synchroniczne stosowane są w zakresie małych mocy (poniżej 0,1 KM). Brak komutatorów w maszynach prądu zmiennego oznacza bark problemów związanych z komutatorami (ścieranie szczotek itp.).

Maszyny synchroniczne podobnie jak maszyny prądu stałegoskładają się z twornika i wzbudzenia (czasem nazywanegomagneśnicą). W przypadku maszyn synchronicznych jednakmagneśnicą zwykle jest wirnik a twornikiem stojan (przeciwnie domaszyn prądu stałego). Gdy w układzie przedstawionym obokdwubiegunowy wirnik wiruje z prędkością 3000 obr/min (czyli 50obr/s) to w 3 uzwojeniach stojana generowane będą trzy siły elektromotoryczne o częstotliwości 50 Hz i przesuniętewzględem siebie o +/-120°. Będzie to napięcie trójfazowe!Prędkość wirowania przy większej ilości par biegunów pi częstotliwości napięcia f = 50 Hz jest mniejsza i wynosi: n = f/p obr/sPrzykładowo przy czterech biegunach mamy ichdwie pary: n = 50/2 = 25 obr/s = 1500 obr/minbo przy jednym obrocie mamy 2 cykle zmian pola.W praktyce liczbę par biegunów w generatorachdyktuje napęd: gdy mamy szybkie turbiny parowewystarczy 1 lub 2 pary, dla powolnych hydroturbin trzeba więcej! Dolny rysunek pokazuje ideę ułożenia uzwojeń.

Odnośnie skoku uzwojeń stojana należydodać, że połączone szeregowoskładniki (części uzwojeń) prowadządo sumowania nie zawsze idealniezgodnych w fazie części SEM.Mówimy wtedy, że tzw. „pitch factor”kp = cos(α/2) < 1 jest mniejszy od jedności.Dla wyższych harmonicznychkpn = cos(nα/2) i przy nα/2 = 90º mamycenne wyeliminowanie n-tej harmonicznej.

Rotor może mieć geometrię wystających nabiegunników (bieguny jawne) albo geometrię walca (bieguny utajone) z zanurzonymi w slotach uzwojeniami.Geometria cylindryczna jest łatwiejsza w analizie, gdyż taki rotor praktycznie nie zmienia pola stojana w czasie wirowania. Takie maszyny mogą pracować z dużymi prędkościami do 3000 obr/min.Maszyny z rdzeniami jawnymi budowane są do małych prędkości, do 750 obr/min.

Dodać należy, że chociaż nie ma w tych maszynach komutatorów to jednak, dla wymuszenia prądu stałego wzbudzenia (namagnesowania) w wirniku, konieczne są kontakty ślizgowe czyli szczotki ślizgające się po wirujących pierścieniach.

Moment obrotowy T maszyny z cylindrycznym wirnikiem możemy wyrazić przy pomocy natężenia stałego prądu wirnika If oraz natężenia zmiennego prądu stojana Is:

T = k Is(t) If sin(γ), γ - kąt między polami stojana a wirnika, k – stała maszyny. Albo:

T = k√2Iss sin(ωet) If sin(γ ), Iss – wartość skuteczna Is, ωe – pulsacja prądu (częstość elektryczna). Uwzględniając zależność czasową γ = γ0 + ωmt, gdzie γ0 – kąt początkowy, ωm – prędkość kątowa (mechaniczna) wirnika, można napisać, że: T = k√2IssIf sin(ωet) sin(ωmt + γ0)

= k(√2/2)IssIf cos[(ωm − ωe)t − γ0] − cos[(ωm + ωe)t + γ0]

Widać, że średnia wartość będzie niezerowa tylko wtedy gdy (ωm − ωe) = 0 tzn. gdy silnik obraca się synchronicznie z wirującym polem (ma prędkość synchroniczną) i wtedy T jest sumą wartości stałej i pulsującej z częstością 2ωe. Ta pulsacja wzięła się z powodu rozważań tylko jednej fazy, zastosowanie wielu faz redukuje ten efekt do zera i zapewnia stały moment obrotowy. Mamy zatem: ⟨T⟩ = k√2IssIf cos(γ0)

Model jednej fazy silnika synchronicznegopokazuje rys obok. Uzwojenie wirnikareprezentuje rezystancja Rf i indukcyjnośćLf. Jedno uzwojenie stojana reprezentujerezystancja Rs, indukcyjność Ls orazIndukowana (wsteczna) SEM Eb. Bilans napięć stojana możemy zapisać jako:

Us = Eb + Is(Rs + jXs)gdzie Xs reprezentuje efektywną reaktancję stojana (z uwzględnieniem magnetyzacji).Moc silnika pochodzącą od jednej fazy możemy wyrazić jako:

Pwy = ωsT = UsIscos(Θ)gdzie Θ - różnica faz między Us i Is. Zakładając, że Rs ≈ 0 możemy wnosić, że moc tracona jest do zaniedbania i moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej:P1Φ = Pwe = Pwy = ωsT = UsIscos(Θ), z wykresu:

Ebsin(δ) =IsXs cos(Θ), mnożąc przez Us:EbUssin(δ) = UsIsXs cos(Θ) = P1Φ Xs,Zatem cała moc maszynytrójfazowej wyniesie:

Ponieważ, jak widać, kąt δ ma wpływ namoc maszyny nazywamy go kątem mocy.Prądnice (generatory) synchroniczne zwyklepracują przy kącie mocy w przedziale 15° do 25°.Silniki natomiast pracują niemal w całym zakresie0° - 90°. Po osiągnięciu δ = 90° silnik jednakzwalnia i wypada z biegu synchronicznego, wtedyodpowiednie zabezpieczenie wyłącza silnik. Maksymalny moment obrotowy (nazywanymomentem zrównania Pull-out) jest ważnymparametrem silnika synchronicznego.Całkowity moment obrotowy możemy wyrazić jako:

gdzie m – jest liczbą faz. Dla 3 faz otrzymamy:

Przykład. Obliczyć wartość nominalną S [kVA]; indukowane napięcie Eb i kąt mocy wirnika δ dla pełnego obciążenia silnika synchronicznego. Dane: nominalne napięcie międzyfazowe: 460 V; 3 Φ (3 fazy); pf (power factor) = 0,707 opóźnienie; prąd stojana przy pełnym obciążeniu 12,5 A, Zs = 1 + j12 Ω.Rozwiązanie.Na jedną fazę w połączeniugwiazdowym przypada prąd i napięcie:IS= 12,5 A, US= 460/√3 = 265,6 V,S = 3 UsIs = 3×12,5 × 265,6 = 9959 VA.Ze schematu zastępczego mamy:Eb = Us – Is(Rs + iXs)= 265,6 V – (12,5∠-45° A)×(1 + j12 Ω) = 265,6 V – (12,5∠-45° A)×(12,04 ∠85,23° Ω) = 265,6 V – 150,52∠40,23°=265,6 V – (115,3 + j96,8) V = 150,3 – j96,8 V = 179∠-32,8° V δ = -32,8°

Przykład. Obliczyć prąd stojana Is, prąd linii ILin (połączenie ∆) oraz indukowane napięcie silnika synchronicznego 3-fazowego. Dane: 208 V; 45 kVA, 50 Hz, 3 Φ; pf 0,8 wyprzedzający; Zs = 0 + j2,5 Ω. Straty (tarcie) Pstr =1,5 kW, straty w rdzeniu Pcore = 1 kW; obciążenie Po = 15 KM (1 KM = 0,746 kW).Rozw. Moc wyjściowa wynosi: Pout = 15 KM×0,746 kW/KM = 11,19 kWMoc wejściowa (elektryczna) Pin = Pout + Pmech + Pcore + Pel i inne = 11,19 + 1,5 + 1 + 0 = 13,69 kW.

Prąd ILin = Pin/(√3 Us cosΘ) = 13690 W/(√3×208 V×0,8) = 47,5 A. Przy połączeniu w trójkąt ∆, prąd twornika Is = ILin/√3 =47,5 A/√3 ∠arccos0,8 = 27,4 ∠36,87° A. SEM Eb obliczymy z bilansu napięć (II prawo Kirchhoffa):Eb = Us – jXsIs = 208∠0° V – j2,5 Ω(27,4 ∠36,87° A) = 208 ∠0° + 68,5 ∠-53,13 = 208 + 41,1 – j54,8 V= 249,1 – j54,8 V =255∠-12,4° δ = -12,4°

Silniki synchroniczne nie należą do najbardziej rozpowszechnionych z wielu powodów. Jednym z nich jest wymóg stałej szybkości, który można obejść tylko gdy zbuduje się zasilanie o zmiennej częstotliwości. Ponadto konieczne jest oddzielne zasilanie prądem stałym i prądem zmiennym.Silniki indukcyjne obchodzą te przeszkody i są najszerzej stosowanymi dzięki ich konstrukcyjnej prostocie.Jako prądnice nie mają zbyt wielu zalet i zastosowań.

Maszyny indukcyjne (asynchroniczne)Maszyny indukcyjne są maszynami na prąd przemienny i mogą być używane jako prądnice, silniki a nawet jako hamulce. Maszyny indukcyjne są koncepcyjnie podobne do maszyn synchronicznych z tą tylko różnicą, że ich wirniki mają prostsze obwody elektryczne, są to przewodzące pręty zagłębione w materiale wirnika i zwarte na końcach. Są silniki trójfazowe – stosowane w przemyśle (silniki wiatraków, pomp, obrabiarek itp., komercyjnie dostępne od 1 do 10 000 KM), są jednofazowe – stosowane w gospodarstwach domowych i usługach i są też dwufazowe – stosowane w napędach specjalnych i automatyce. Dzięki sensorom i mikroprocesorowym sterownikom silniki indukcyjne mogą być stosowane nawet w precyzyjnych układach sterowania, serwomechanizmach. Regulację prędkości silników indukcyjnych można dokonywać poprzez regulację napięcia lub regulację napięcia i częstotliwości, przez zmianę ilości biegunów, przez zastosowanie rheostau w wirniku. Ze względu na konstrukcję wirnika silniki indukcyjne dzielą się na pierścieniowe i klatkowe. W obu przypadkach zasada działania polega na indukowaniu prądów w wirniku polem magnetycznym stojana.

Oddziaływanie wirującego pola stojana z polem wyindukowanych prądów wirnika wytwarza moment obrotowy. Ponieważ indukcja może tu zachodzić tylko przy różnych prędkościach wirnika i pola stojana (konieczny jest niezerowy ruch względny prętów i pola magnetycznego) dlatego funkcjonuje też nazwa: „maszyny asynchroniczne”.Wirujące pole magnetyczne uzyskuje się wówczas, gdy co najmniej dwa uzwojenia stojana są geometrycznie przesunięte względem siebie a prądy w nich występujące są przesunięte w fazie. Przez odpowiednią geometrię wykonania uzwojeń stojana i wirnika realizowane jest pole stojana Φ(ns) wirujące z prędkością synchroniczną ns oraz pole wirnika (rotora) Φ(n) wirujące z prędkością asynchroniczną n. Prędkość synchroniczna ns zależy od częstotliwości f prądu stojana i geometrii uzwojeń – czyli ilości par biegunów p, które tworzą uzwojenia.

Oddziaływanie tych pół wymusza obroty wirnika w kierunku obrotów wirującego pola stojana. Wirnik obraca się z prędkością mniejszą niż prędkość synchroniczna tj. niż wirujące pole stojana bo pole musi przecinać przewody by w nich indukował się prąd. Brak kontaktów elektrycznych rotora (brak szczotek itp.) w silnikach indukcyjnych zapewnia ich prostotę wykonania. Gdy do wirnika przyłożymy zewnętrzny napęd wymuszający obroty to otrzymamy generator, który (dzięki prostocie – brak oddzielnego obwodu wzbudzenia i dzięki elastyczności w odniesieniu do szybkości obrotów) ma zastosowanie w wiatrakowych elektrowniach. Ich wadą jest duża indukcyjność i przez to trzeba stosować kompensację pojemnościową aby zmniejszyć przesunięcie fazowe między prądem a napięciem.

Załóżmy, że wirnik w postaci klatki metalowej(rys. obok) zostanie umieszczony w stojaniegdzie wytwarzane jest wirujące pole magnetyczne.To wirujące pole będzie indukowało w metalowychprętach wirnika prądy elektryczne zależne odindukowanej SEM i impedancji wirnika.W pierwszej chwili gdy po włączeniu prądów w stojanie wirnik jeszcze spoczywa to pole magnetyczne pochodzące od jegoindukowanych prądów jest synchroniczne z polem stojana (pola stojana i wirnika są wtedy przez chwilę w stałej względem siebie konfiguracji). Wtedy właśnie generowany jest startowy moment obrotowy. Gdy ten moment obrotowy jest wystarczającywirnik zaczyna się obracać i przyspieszać aż do osiągnięcia prędkości pracy. Prędkość pracy jest oczywiście niższa od prędkości synchronicznej ns (bo przy synchronicznej prędkości nie było by indukowanych SEM i prądów w wirniku – zero mocy!).

Załóżmy, że ta prędkość wirnika wynosi n wtedy prędkość wirującego pola stojana względem obracającego się wirnika wyniesie: (ns – n). Względna różnica tych prędkości nazywa się poślizgiem s:Wartość znamionowa sN zawiera się zwyklew przedziale 2 – 4% (0,02 – 0,04).Prędkość wirnika n to prędkość mechaniczna:Poślizg oczywiście zależy od obciążenia i konstrukcji silnika(klatkowy, pierścieniowy, dużej lub małej mocy). Częstotliwość prądu w uzwojeniach wirnika fr jest znacznie niższa od częstotliwości synchronicznej fs i wynosi:Stąd prędkość pola magnetycznego wirnika względemsamego wirnika nr jest też mała, przy p = liczba par biegunów wynosi: Podkreślmy raz jeszcze, że dzięki istnieniu pewnej prędkości względnej między strumieniem stojana i wirnikiem będą indukowane napięcia i w konsekwencji prądy w wirniku. Ale prądy wirnika jak i strumienie przez nie generowane podążają za wirującym strumieniem stojana - mają tę samą prędkość n s= n r + n – prędkość synchroniczną! Strumień wirnika (sprzężony z, i podążający za strumieniem stojana) możemy traktować jako synchroniczny strumień wsteczny (reakcyjny) „pokonywany” przez moc dostarczaną do stojana. Przy stałym obciążeniu oba pola Φs i Φr są względem siebie nieruchome, tworzą stały kąt.

Przykład. Obliczyć poślizg s wirnika przy pełnym obciążeniu oraz częstotliwość indukowanego napięcia fR przy prędkości nominalnej w czterobiegunowym (p = 2) silniku indukcyjnym. Wiadomo, że nominalne napięcie wynosi 230 V, 60 Hz i prędkość przy pełnym obciążeniu: n = 1725 obr/min.Rozwiązanie. Prędkość synchroniczna silnika wynosi ns = f/(p) obr/s = f×60/(p) obr/min =60×60/2 = 1800 obr/min.Poślizg wynosi s = (ns – n)/ns = (1800 – 1725)/1800 = 0,0417.Częstotliwość indukowanego napięcia w wirniku wynosi:fR = sf = 0,0417×60 = 2,5 Hz.

Silnik indukcyjny podobnie jak transformator ma dwa zestawy uzwojeń, uzwojenia stojana i uzwojenia wirnika, sprzężonych magnetycznie. Zatem silnik indukcyjny można opisać z pomocą układu zastępczego - wirującego transformatora. Z racji symetrii układu faz wystarcza analiza jednej fazy, której schemat zastępczy ilustruje rysunek na następnej stronie.

Rs – rezystancja stojanaprzypadająca na jednąfazę. RR – rezystancjawirnika (rotora) przypadającana jedną fazę. Xs – reaktancjastojana XR – reaktancja wirnikana 1f. Xm – reaktancja wzajemna (mutual) magnetyzacji. Rc – rezystancja „równoważna” stratom w rdzeniu (core-loss equivalent resistance).Es = ksnsΦw szczelinie – indukowana SEM na 1f w stojanie. ER – indukowana SEM na 1f w wirniku (rotorze), ER jest proporcjonalna do poślizgu s (ER = sER0) gdzie ER0 jest wielkością SEM gdy wirnik stoi. Es w uzwojeniu pierwotnym (stojana) jest sprzężone z ER w uzwojeniu wtórnym (wirnika) z efektywnym stosunkiem ilości zwoi Ns/NR. Uwzględniając poślizg s, możemy zapisać, że indukowana w wirniku SEM:ER = sER0, również XR = ωRLR = 2πfRLR = 2πsfLR = sXR0, gdzie XR0 = 2πfLR jest reaktancją wirnika przed rozpoczęciem ruchu (maksymalna wartość fR max = f). Prąd wirnika wyniesie zatem:IR = ER/(RR+jXR) = sER0/(RR+jsXR0) = ER0/(RR/s + jXR0)

Prąd, napięcie i impedancjaz obwodu wtórnego(z obwodu wirnika) mogą być „transformowane”do obwodu pierwotnego(obwodu stojana) przezodpowiednie przekładnie uzwojeń.Przetransformowana SEM wyniesie:E2 = (Ns/NR)ER, Prąd: I2 = IR/(Ns/NR),rezystancja:R2 = (Ns/NR)2RR - ale odczuwana w stojaniewartość zależy od s i wynosi: R2/s = R2 (straty w Cu) + R2(1-s)/s (mechaniczne obciążenie), reaktancja przetransformowana: X2 = (Ns/NR)2XR0.

Analiza przykładowego silnika indukcyjnegoo parametrach: 460 V, 60 Hz, 4-bieguny, s = 0,022, P = 14 KM,Rs = 0,641 Ω, R2 = 0,332 Ω, Xs = 1,106 Ω, X2 =0,464 Ω, Xm = 26,3 Ω,Zakładamy symetryczne obciążenia czyli analizujemy co przypada na jedną fazę oraz pomijamy straty w rdzeniu Rc = 0. Wyliczmy n; ωm; Is; pf; T.

Wyliczamy n: Prędkość synchroniczna wynosiNs = (f/p)×(60s/min) =((60 Hz)/(2 pary biegunów))×(60s/min) =1800 obr/min.Mechaniczna prędkość wirnika n = (1 – s)ns =(1 – 0,022)1800 obr/min = 1760 obr/min. ωm = (1 – 0,022) ωs = 0,978×2×3,14×60/(2 pary biegunów) = 184,4 rad/sObliczamy Is; Us/Ztotal

Z2 = R2/s + jX2 = 0,332/0,022 + j0,464 Ω = 15,09 + j0,464 Ω = 15,1∠1,76° , Impedancje rotora i magnetyzacji możemy zastąpić przez : Z = 1/(1/jXm + 1/Z2) = 1/(1/j26,3 + 1/(15,1∠1,76°)) = 1/(-j0,038 + 0,0662 ∠-1,76°) = 1/(-j0,038 + 0,06617 – j0.002) = 1/(0,06617 – j0,04) = 1/(0,0773∠31,2°) = 12,93 ∠31,2°,Ztotal = Zs + Z = 0,641 + j1,106 + 12,93 ∠31,2° = 0,641 + j1,106 + 11,06 + j6,69 = 11,71 + j7,79 = 14,06∠33,6°, zatem Is = Us/Ztotal = (460/√3∠0°)/14,06∠33,6° = 18,89∠-33,6° Apf = cosϕ = cos33,6° = 0,883, Przeliczamy Pout = 14KM = 14×746 kW = 10,444kW, z tego mamy:T = Pout/ωm = (10444 W)/(184,4 rad/s) = 56,64 Nm

Przykład: Parametry silnika: 500 V, 3 Φ, 50 Hz,p = 4 pary, s = 0,05, P = 14 kM, i jego uzwojeń:Rs = 0,13 Ω, R’R =0,32 Ω, Xs = 0,6 Ω,X’R = 1,48 Ω, admitancja opisująca stratyw rdzeniu i induktancję wzajemnąYm = GC + jBm = 0,004 – j0,05 Ω-1,Stosunek uzwojeń (przekładnia) stojana do wirnika: 1/α = 1/1,57.Obliczyć: IS, pf i T. Obliczenia: na jedną faze. Zaniedbać straty mechaniczne.R2 = R’R×(1/α)2 = 0,32×(1/1,57)2 = 0,13 Ω,X2 = X’R×(1/α)2 = 1,48×(1/1,57)2 = 0,6 Ω, Z = Rs + R2/s + j(Xs + X2) == 0,13 + 0,13/0,05 + j(0,6 + 0,6) = 2,73 + j1,2 Ω. Zgodnie z uproszczonym schematem:

I2 = Us/Z = (500/√3∠0)/(2,73 + j1,2) = (288,7∠0)/(2,98∠23,73°) = 88,7 – j39 A =96,9∠-23,73°.IR = UsGs = 288,7 V × 0,004 Ω-1 = 1,15 A, Im = jUsBm = -j288,7 V × 0,005 Ω-1 == -j14,4 A, I1 = I2 + IR + Im = 88,7 – j39 +1,15 – j14,4 A = 89,85 – j 53,4 A.Wejściowy pf = Re(I1)/I1 = 89,85/104,5 = 0,86. Moment obrotowy T = 3P/ωs = (3I2

2R2/s)/(2πf/p) = (3×96,92×0,13/0,05)/(314/4) = 933 Nm

Zależność momentu obrotowegood szybkości wirnika przedstawiarys obok. Punkt „a” określastartowy moment obrotowy.Punkt „b” ilustruje minimalny momentrozruchowy. Ze wzrostem prędkościkątowej wirnika jego reaktancja malejeponieważ maleje częstotliwość indukowanego napięcia - zdeterminowana różnicą między prędkością kątową wirnika i wirującego pola stojana. Moment obrotowy jest maksymalny gdy indukcyjna reaktancja wirnika zrówna się z jego rezystancja. Ta maksymalna wartość momentu jest też nazywana momentem krytycznym - punkt „c”. Powyżej tej prędkości moment spada do wartości zerowej przy zrównaniu prędkości rotora z prędkością synchroniczną ns (ωe). Punkt „d” ilustruje nominalną wartość momentu obrotowego. Ogólna formuła dla wyznaczania stacjonarnej charakterystyki moment - prędkość (poślizg s) jest podana poniżej.

Złożoność tej formuły oraz występująceefekty nieliniowe powodują, że układyz silnikami indukcyjnymi muszą być analizowanez pomocą programów symulacyjnych.Gdy jednak precyzyjna analiza nie jest konieczna można korzystać z bardzouproszczonych schematów zastępczychprzykładowo biorąc pod uwagę tylko Rs –rezystancję stojana, X’r – reaktancję przejściową,i napięcie wsteczne E’s za reaktancją przejściową. W praktyce zasadniczym problemem bywadobór odpowiedniego silnika do danego zadania.W przypadku silników indukcyjnych zależnieod konstrukcji ich charakterystyki mogą różnićsię kształtem pozwalając na dobór odpowiedniegowariantu.Charakterystyki czterech podstawowych klassilników A, B, C i D ilustruje rysunek obok.

Silniki indukcyjne po procesie rozruchu pracują z prawie stałą prędkością (choć zależną od obciążenia). Gdyż zachodzi konieczność zmiany prędkości to pewną możliwość daje zmiana ilości biegunów uzwojenia stojana:

Przy przełączaniu i manipulowaniu uzwojeń istnieje jednak ryzyko pomyłki i zniszczenia silnika. Inna możliwość to regulacja poślizgu można ją uzyskaćzmieniając napięcie zasilania. Daje to jednak mały zakres zmian,zmiany są dopuszczalne w zakresie powyżej punktu c.Innym rozwiązaniem w silnikach z wirnikiem z uzwojeniemjest dodanie do obwodu wirnika regulowanej rezystancji.Tu choć zmienia się nieco charakterystyka silnika tozmiany są również w małym zakresie – powyżej punktu c.Obie powyższe metody mają wspólną wadę: wnosządodatkowe straty. Pod tym względem znacznie lepszym rozwiązaniem jest jednoczesna regulacja częstotliwości i napięcia zasilania.

Silniki indukcyjne jednofazowe.Ich zaletą jest zasilanie z sieci jednofazowej (gospodarstwa domowe); ich moc jest niewielka, do 5 kW. Budowane są głównie z wirnikami klatkowymi. Ponieważ jedno uzwojenie wytwarza pole pulsujące (nie wirujące, które nie może rozruszać wirnika) stojany tych silników zawierają dwa uzwojenia: robocze i pomocnicze - rozruchowe. Uzwojenie robocze zajmuje około 2/3 obwodu stojana a pomocnicze około 1/3 tego obwodu. Osie uzwojeń są przesunięte o kąt 90°. Przez uzwojenie pomocnicze prąd płynie tylko w czasie rozruchu do momentu uzyskania prędkości n ≈ 0,8 ns, poczym zostaje ono odłączone od źródła napięcia (np. wyłącznikiem odśrodkowym) aby zmniejszyć straty na zbędne grzanie. Przesunięcie fazowe strumieni równe przesunięciu fazowemu prądów w tych uzwojeniach uzyskuje się przez szeregowe włączenie kondensatora lub rezystora do uzwojenia pomocniczego (lub użycie uzwojenia z większą rezystancją).

Są też silniki indukcyjne jednofazowe z nieodłączanym kondensatorem po rozruchu – mają one prostszą konstrukcję i oferują pewien kompromis pomiędzy charakterystykami rozruchu i pracy.Lepszy kompromis można jednak osiągnąć stosując dwa kondensatory: jeden o małej pojemności dla uzyskania stałego przesunięcia faz i poprawienia charakterystyki pracy, oraz drugi o znacznie większej pojemności dla poprawienia charakterystyki rozruchowej.

Silnik zwartobiegunowy.Ten typ silnika, o mocy do 0,05 kM, pracuje na nieco innej zasadzie. Stojan w tym silniku ma wystające bieguny, które zawierają zwarciowe cewki w postaciuzwojenia otaczającego część każdego bieguna. Strumień w części biegunaotoczonej takim zwojem opóźnia się w stosunku do strumienia w pozostałej części tego samego bieguna. Daje to efekt wirowania pola w kierunku części otoczonej zwojem i w konsekwencji zapewnia rozruchowy moment obrotowy.

Silniki z jednoczesną regulacją częstotliwości i napięcia zasilania. Utrzymując stały stosunek Us/fs można zmieniać prędkość wirnika utrzymując stały moment obrotowy. Schemat blokowy takiego rozwiązania przedstawia poniższy rysunek.

Takie rozwiązanie jest coraz szerzej stosowane dzięki szybkiemu rozwojowi możliwości elektroniki.Ponadto to rozwiązanie można zaliczać do tzw. specjalnych maszyn elektrycznych stosowanych w nowoczesnych dziedzinach inżynierii jak robotyka, sprzęt kosmiczny, automatyka itp. Innymi tego typu rozwiązaniami są np.: silniki bezszczotkowe, silniki o zmiennej reluktancji lub silniki krokowe, gdzie ma miejsce naturalne sprzężenie pomiędzy elektromechanicznymi urządzeniami i układami logiki cyfrowej.

Silniki bezszczotkowe. Chociaż często nazywane są silnikami prądu stałego to w rzeczywistości nie są to silniki prądu stałego lecz zwykle maszynami synchronicznymi ze stałym magnesem. Nazwę uzasadnia nie konstrukcja lecz fakt, że ich charakterystyka pracy przypomina charakterystykę silnika bocznikowego (ze stałym prądem wytwarzającym pole). Taką charakterystykę uzyskuje się dzięki zasilaniu, którego częstotliwość jest zawsze identyczna z częstotliwością obrotów wirnika.Uzyskuję się to w falowniku (ang. inverter) DC-AC zawierającym tranzystory przełączane z częstotliwością odpowiadającą prędkości wirnika. Falownik zatem czerpie energię ze źródła prądu stałego i generuje prąd zmienny o zmiennejczęstotliwości. Tak więc użytkownik podłącza silnik do źródłaprądu stałego ale prąd w uzwojeniach jest prądem zmiennym.W efekcie silnik bezszczotkowy prądu stałego jest silnikiemsynchronicznym, w którym kąt momentu obrotowego δ jestutrzymywany stałym dzięki odpowiedniemu prądowi wzbudzenia.Silnik taki zawiera czujnik obrotów optyczny lub halotronowyzapewniający formowanie zasilania o odpowiedniej, zgodnejczęstotliwości. Warto podkreślić, iż zamiana komutacjiszczotkowej na elektroniczną stwarza szerokie możliwościkonstrukcyjne dla silników bezszczotkowych.

Idea działania silników bezszczotkowych.

W silnikach bezszczotkowych prądu stałego ciepło wydziela się w stojanie (tam jest uzwojenie) a nie w wirniku (jak w innych silnikach prądu stałego) dlatego są one łatwiejsze do chłodzenia. Silniki te mogą z łatwością być budowane jako wodoszczelne. Magnes wirnika jest wykonywany z takich materiałów jak Sm-Co lub ceramiczne magnesy - ferryty. Silniki tego typu mogą być budowane na moce do 250 kW i prędkości 50 000 obr/min. Sensor będąc zainstalowanym wewnątrz silnika musi być odporny na wibracje i odpowiedni zakres temperatur. Silnik bezszczotkowy jest podobny do standardowegosilnika na prąd stały z magnesem trwałym i można go opisywać prostymi wyrażeniami:

U – przyłożone napięcie, ka – stała armatury = kT – stała momentu obrotowego, ωm – prędkość mechaniczna (wirnika), Rs = rezystancja uzwojenia, T – moment obrotowy, I – prąd silnika (armatury). Silniki bezszczotkowe mają większy moment obrotowy i mniejszą bezwładność od zwykłych silników prądu stałego. Zastosowanie między innymi w układach sterujących, napędach dysków komputerowych i pojazdach elektrycznych.

Uwagi o falownikachGdy w falowniku zastosuje się modulację szerokości impulsu (MSI = ang. PWM - Pulse Width Modulation), to równocześnie ze zmianą częstotliwości można regulować wartość skuteczną napięcia wyjściowego a zatem też wartość mocy. Falowniki pozwalają nie tylko regulować obroty silników ale również umożliwiają ich łagodny start. Są więc stosowane w rozmaitych urządzeniach np. do zmiany prędkości obrotowej bębna pralki, w nowoczesnych tramwajach, stanowią element składowy niektórych zasilaczy impulsowych.Dawniej stosowane były falowniki tyrystorowe, obecnie pracują one na tranzystorach polowych lub IGBT (tranzystory bipolarne z izolowaną bramką).Wyróżnia się:Falowniki napięcia – zasilane źródłem napięciowym (z kondensatorem o dużej pojemności).Falowniki prądu – zasilane ze źródła prądowego (z dławikiem o znacznej indukcyjności). Falowniki przemysłowe tzw. przemienniki częstotliwości (stosowane przy regulacji prędkości obrotowej silników elektrycznych). falowniki zasilane 1-fazowo z wyjściem 3-fazowym falowniki zasilane 3-fazowo z wyjściem 3-fazowym Falowniki z charakterystyką liniową.Falowniki z charakterystyką nieliniową.

Silnik uniwersalny.Okazuje się, że w odpowiednim silniku prądu stałego można połączyć szeregowo uzwojenie stojana oraz (poprzez komutator) uzwojenie wirnika.Przy takim połączeniu silnik prądu stałego może być zasilany ze źródła prądu przemiennego i też będzie działał!

Silniki krokowe – zamieniają informację cyfrową na ruch i poruszają się „krocząc” (wykonując określone ułamki obrotu). Chociaż zasada działania była znana od lat 1920-tych ich znaczące zastosowania pojawiły się dopiero w erze komputeryzacji – wszędzie tam, gdzie konieczne jest pozycjonowanie. Silniki krokowe dzielą się na trzy kategorie:1) Silniki krokowe z magnesem trwałym w wirniku, PM (permanent magnet). Siła występuje między magnesem trwałym wirnika a impulsowo sterowanymi elektromagnesami stojana. Dzięki obecności magnesu trwałego bez zasilania występuje tu pewien opór przy zewnętrznej próbie ruszenia osi wirnika. Dostępne wykonują 4 do 200 kroków na jeden obrót.2) Silniki krokowe ze zmienną reluktancją VR (variable reluctance). Są to silniki bez magnesu trwałego, czyli z wirnikiem magnetycznie miękkim (wąska histereza, o znikomej pozostałości magnetycznej) zawierającym liczne zęby (występy). Podczas sterowania siła wynika z dążenia wirnika do minimalizacji reluktancji (oporu magnetycznego przez redukcję szczelin tam gdzie aktualnie wymuszany jest strumień magnetyczny prądem uzwojeń stojana). Ten silnik nie wykazuje oporu osi wirnika po wyłączeniu sterowania elektrycznego. Typowo dostępne wykonują 24 do 200 kroków na jeden obrót.3) Silniki hybrydowe HB są kombinacją silników PM i VR. Silnik HB zawierają dwa sektory miękkiej magnetycznie stali na obwodzie wirnika oraz osiowo usytuowany (osiowo namagnesowany) magnes wewnątrz wirnika. Dostępne wykonują 72 do 800 kroków na jeden obrót.

U podstaw zasady działania wszystkich silników krokowych jest siła z jaką wirnik układa się do aktualnego pola magnetycznego stojana tak aby uzyskać minimum energetyczne. Pole stojan jest sterowane (zmieniane) sekwencją impulsów elektrycznych. Ta sekwencja decyduje o kolejnych pozycjach wirnika czyli o kierunku kroczenia i szybkości. Najważniejszą cechą tych silników jest to, że kąt obrotu wirnika jest proporcjonalny do ilości impulsów wejściowych oraz błąd tego kąta jest mały i nie kumuluje się z ilością impulsów (i wielkością obrotu). Ponadto trwale utrzymuje swoją aktualną pozycję bez potrzeby stosowania hamulca!Wariant z magnesem trwałym, realizuje kroki o długości zależnie od ilości biegunów. Typowymi są: 7,5, 11,25, 15, 18, 45 lub 90°. Wariant VR zawiera ząbkowany żelazny wirnik a moment obrotowy pojawia się jako skutek oddziaływania zębów wirnika z elektromagnetycznie wzbudzanymi zębami stojana, tu krok zwykle wynosi 15°. Wariant hybrydowy zawiera wielo-zębowy wirnik z trwałym polem osiowym i stojan i jest mieszaniną dwóch poprzednich wariantów.

Silniki z przełączaną reluktancją VRPanuje przekonanie, że ten typ silnika ze względu na niską cenę stanowi bazę dla napędów elektrycznych i hybrydowo-elektrycznych pojazdów, wyciągów itp.. Dzięki możliwości pracy z różnymi prędkościami znajduje coraz szersze zastosowanie w przemyśle (i napędach motoryzacyjnych). Obwód magnetyczny w tych silnikach stanowi tylko żelazo i powietrze - magnes trwały jest zbędny. Wirnik ma wystające żelazne bieguny i gdy popłynie prąd przez uzwojenie pojawia się moment obrotowy wymuszający zgodność osi biegunów wirnika z osią namagnesowanych w danym momencie biegunów stojana. Gdy θ = 0 moment obrotowy znika bo osiągnięte jest minimum reluktancji a przez to minimum magazynowanej energii. Uzwojenia takiego silnika są wzbudzane impulsami prądu w synchronizacji z bieżącą pozycją wirnika. Szybkość wirnika jest zatem zdeterminowana częstotliwością prądów w uzwojeniach stojana.Zakładając, że induktancja uzwojenia jestsinusoidalną funkcją pozycji wirnika możemyzapisać: L(θ) = L’’ + L’cos2θ(2 bo para biegunów). Niech prądw uzwojeniu wyraża się przez:i(t) = Imsin(ωt), Zmagazynowana energia

magnetyczna wynosi: Wm = (1/2)L(θ)i2(t),Strumień skojarzony: ψ(θ) = L(θ)i(t)

Przykłady silnikówo różnej ilości faz

Silniki HBŁączą zalety silników PM i VR,są jednak droższe i bardziej złożone.

Krok wynosi: Δθ = 360º/Nt,N – liczba faz (par uzwojeń),t – liczba zębów wirnika.

Silniki krokowe mogą wykazywać wpadanie w rezonans przy pewnych szybkościach sterowania (wymuszania kroków).Zjawisko to można wyeliminować przez stosowanie mikro-krokówlub przez zmianę tempa wykonywania kroków.

Silnik krokowy tarczowy PM

Mnogość konfiguracji wyprowadzeń

Mody pracy uzwojeń.1) Unipolarny – proste sterowanie ale mniejszy moment obrotowy bo tylko połowy uzwojeń są jednocześnie aktywne. 2) Bipolarny – bardziej złożone sterowanie ale większy moment obrotowy bo całe uzwojenia są lepiej wykorzystywane.

Przykład. Przedstaw sekwencje prądów I1 i I2

dla silnika krokowego jak na rysunku obok, aby uzyskaćscenariusze obrotu: a) pełen krok i jedna faza,b) pełen krok i obie fazy, c) kroki połówkowe.RozwiązanieWidać, że obecność tylko jednego prądu ustawia wirnikwzdłuż biegunów stojana, a obecność obu prądów I1 i I2 ustawia wirnik w pozycji między biegunami stojana łatwoOdgadnąć następujące odpowiedzi:

Widać, że Δθ = 360º/(liczba faz)⋅ (liczba biegunów)

Elektrotechnika i elektronika Lista 07.1. Oblicz moc dostarczaną do obciążenia w układzie trójfazowym przy połączeniu

gwiazda – gwiazda wiedząc, żę Uan = 480∠0 V i symetrycznie Ubn i Ucn, ZY = 2 + j4 Ω, Rline = 2 Ω, Rneutral = 10 Ω.

2. Oblicz moc dostarczaną do obciążenia w układzie trójfazowym przy połączeniu gwiazda – trójkąt wiedząc, żę Uan = 480∠0 V i symetrycznie Ubn i Ucn, Z∆ = 5 –j2 Ω, Rline = 2 Ω, Rneutral = 10 Ω.

3. Oblicz moc dostarczaną do obciążenia uzyskanego z połączenia równoległego obciążeń z zadania 1 i 2 i przy identycznym źródle energii.

4. Oblicz wartość nominalną S [kVA]; indukowane napięcie Eb i kąt mocy wirnika δ dla pełnego obciążenia silnika synchronicznego. Dane: nominalne napięcie międzyfazowe: 460 V; 3 Φ (3 fazy); pf (power factor) = 0,707 opóźnienie; prąd stojana przy pełnym obciążeniu Is = 12,5 A, Zs = 1 + j12 Ω. (Obliczać wg. schematu: ile na jedną fazę.)5. Oblicz wartość nominalną S [kVA]; indukowane napięcie Eb i kąt mocy wirnika δ dla

pełnego obciążenia silnika synchronicznego. Dane: nominalne napięcie międzyfazowe: 380 V; 3 Φ (3 fazy); pf (power factor) = 0,707 a) wyprzedzanie, b) opóźnienie; prąd stojana przy pełnym obciążeniu 10 A, Zs = 0 + j2 Ω.

6. Obliczyć poślizg s wirnika przy pełnym obciążeniu oraz częstotliwość indukowanego napięcia fR przy prędkości nominalnej w czterobiegunowym silniku indukcyjnym. Wiadomo, że nominalne napięcie wynosi 200 V, 50 Hz i prędkość przy pełnym obciążeniu: n = 1450 obr/min.

Elektrotechnika i elektronika Lista 08.1. Wykazać, że w bezszczotkowym 2-fazowym silniku zasilanym przebiegiem sinusoidalnym prądu, jak na rys. obokI1= Imsinωt I2 = Imcos ωt może występować stały(gładki – bez pulsacji) moment obrotowy.

2. Znajdź sekwencje włączeń wyłączników SA, SB, SC i SDaby uzyskać kolejne kroki obroty po 45º.

3) Mając dane: Liczba zębów (występów) wirnika i stojana t = 4,Liczba faz m = 3. Oblicz wielkość kroku Δθ.

4) Wyznacz najmniejszą wartość kroku wkrokowym silniku hybrydowym HB jak na rys. a i b.

Przykładowa tabliczka na silniku IndukcyjnymMOD – model (numer modelu lub numer identyfikacyjny).FR – (od „Frame”) specyfikuje rozmiar i cechy konstrukcyjne.AMB (lub MAX AMB) – określamaksymalną dopuszczalna temperaturę otoczenia.INS. CL. – określa klasę izolacji np. A (105 °C), B (130 °C) itd..SERV FACT (service factor) współczynnik określający dopuszczalne przekroczenie mocy nominalnej.CODE – litera (od A do V z pominięciem I, O i Q) oznacza jeden z 19 granicznych stosunków startowej mocy kVA na kM.DUTY – określa mod pracy (np. CONT oznacza pracę ciągłą)

Elektrotechnika i elektronika kol-1.1. Oblicz natężenie prądu w rezystorze 90 Ω, rys. 1.2. Dla układu z rys. 1 oblicz układy Thevenina i Nortona. Jaki prąd pojawi się w odbiorniu o rezystancji 45 Ω po podłączeniu do zacisków AB. 3. Obliczyć zawadę odbiornika mocy z rys. 3 oraz przesunięcie fazowe φ między przyłożonym napięciem U =100cos((100rad/s)t)V a natężeniem prądu. Na ile Faradów zmienić pojemność w tym układzie aby cosφ = 1. Oblicz moc wydzielaną przed i po korekcie.4. Narysuj wykres wskazowy napięć i prądów w zadaniu 3.5. Obliczyć moc P dostarczaną z generatora trójfazowego do

obciążenia w układzie jak na rys. 5 mając dane:Uan(skuteczne) = 141∠0° V, Z = 1 + j, Rline = 0 Ω, Rneutra = √2 Ω. 6. Generator 36 kW, 240 V, pracuje z obciążeniem równym połowie nominalnego i sprawnością 90%. Oblicz moc pobieraną przez generator oraz moc strat.7. Silnik indukcyjny o parametrach 380 V, 50 Hz, P = 31,4 kW, 4 bieguny, pod pełnym obciążeniem jego wirnik obraca się z prędkością n = 1200 obr/min. Oblicz: prędkość synchroniczną, poślizg i moment obrotowy.

Elektrotechnika i elektronika kol-1, odpowiedzi i rozwiązania z przesadą.

2. UT = Urozwarcia = U90 Ohm = (90Ω)·(1 A) = 90 VIzwarcia = 2 A jest to suma (superpozycja) prądówz obu źródeł, jak na rysunku obok.

RT = RN = (Urozwarcia)/Izwarcia = 90/2 = 45 Ω, UT = Urozwarcia = 90V, IN=2A,.

Elektrotechnika i elektronika kol-1, odpowiedzi.3. Vs = 311cos(314t) V -> Uskuteczne = 220 V -> U = 220 ∠0 V, ω = 100rad/s, Z = (ZRL)(Zc)/(ZRL + ZC) = (1 + jωL)(1/jωC)/(1 + jωL + 1/jωL) =(1 + j100⋅0,01)(1/j100⋅0,01)/(1+j100⋅0,01 + 1/j100⋅0,01) Ω = (1+j)⋅(-j)/(1 + j - j) Ω =(1-j)/1 Ω = (√2∠-45°). W odbiorniku przeważa pojemność, kąt φ jest ujemny! Należyzmniejszyć pojemność. Obliczymy jaka powinna być wypadkowa pojemność, zatem policzymy copowinno być dołączone równolegle do gałęzi RL zamiast kondensatora 100 mF.S = P + QL = UI* = (220∠0)[(220∠0)/(1 + j)]* = (220∠0)2/(1 – j) = (220∠0°)2/(√2∠-45°) =(48400/√2)∠45° VA = (48400/√2)( √2/2)W + j(48400/√2)(√2/2) VAR.= 24200 W + j 24200 VAR -> P = 14200 W, QL = j(24200) VAR. QC = -j24200 VAR = U(U/ZC)* = U2/ZC* -> Zc* = U2/QC = 2202/(-j24200) = j2 Ω,Zc = -j2 = -j/ωC -> -j2 = -j/100C -> C = 1/200 F = 5 mF. Wniosek: zmienić 10 mF na 5 mF!Przed korektą P = 24200 W. Po korekcie S = UI* = (220∠0)[(220∠0)/Zpo korekcie

Zpo korekcie = (1 + j100⋅0,01)(1/j100⋅0,005)/(1+j100⋅0,01 + 1/j100⋅0,005) Ω =(1+j)⋅(-j2)/(1 + j – j2) Ω = (2– j2)/(1-j) = 2 Ω (to normalne bo obw. równoległy ma największaimpedancje w rezonansie)Zatem S = UI* = (220∠0)[(220∠0)/2 = 24200 W -> Ppo korekcie = 24200 W. Komentarz: to po co ta korekta? Przed korekta prąd był większy i większe straty na niezerowejoporności linii przesyłowej (pominiętej w tym zadaniu)!

Iprzed=220V/(√2∠-45°) =155,6 ∠45°A -> Iskutecz. Przed = 155,6 A

Ipo = 220V/(2∠0) = 110 ∠0) A -> Iskuteczne po = 110 A

Elektrotechnika i elektronika kol-1, odpowiedzi.4. Warto zacząć wykres od napięcia U = 220 ∠0 V, bo jest ono wspólnedla kondensatora C i cewki z rezystancją LR. Przed korektą:Prądy: IC = (220 V)/((1/jωC) Ω) = 220/(-j1) A =j220 A = 220 ∠90 °A.IRL = (220 V)/((1 + jωL) Ω) =220/(1 + j) A = 220/ (√2∠45°) = 155,6 ∠-45°ANapięcia: UR = IRLR = 155,6 ∠-45°A ⋅1 Ω = 155,6 ∠-45° V

UL= IRL⋅ j ωL = 155,6 ∠-45°A ⋅j1 Ω = 155,6 ∠-45°A ⋅1∠90º Ω = 155,6 ∠45°VPo korekcie: IRL= (220 V)/((1 + jωL) Ω) =220/(1 + j) A = 220/ (√2∠45°) = 155,6 ∠-45°A bez zmian,Podobnie UR i UL są bez zmian. Zmienił się kondensator zatem zmieniony jest IC:IC = (220 V)/(ZC) = 220/(-j2) A = j220 A = 110 ∠90 °A. (zmniejszył się 2-krotnie)

5. Ponieważ układ jest zrównoważony (tj. symetrycznie obciążony) możemy stosować obliczeniadla jednej fazy. Prąd w linii „neutral” jest równy 0 oraz Unn’ = 0. Pa = I2 RoI = Uan/(Z + Rline) = (480∠0)/(1 + j + 0) = (141∠0)/(√2∠π/4) = 100 A !Pa = I2 Ro = (100)2 × 1 = 10 kW. Po = P3 fazy =3⋅Pa = 30 kW.

6. 36×0,5 = 18 kW to stanowi 90% -> Pin = (18/0,9) = 20 kW, Pstrat = (20 – 18) kW = 2 kW.

7. Rozw:Prędkość synchoniczna ns = f/(2 pary biegunów) ×(60s/min) = 1500 obr/min,Poślizg s = (ns – n)/ns = (1500 – 1200)1500 = 0,2 => 20%, T = P/ωm = P/(2π×n/60) = 31,4⋅103/(2×3,14×1200/60) = 250 Nm.