Elektronikus tananyag

MATEMATIKA

10. osztály II. félév

A hasonlósági transzformáció és alkalmazásai

1. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok

A párhuzamos szelők tétele

TÉTEL: Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik száron

keletkező szakaszok hosszának aránya egyenlő a másik száron keletkező megfelelő

szakaszok hosszának arányával.

AB : CD = A'B' : C'D'

1. ábra

Megjegyzés: A tétel érvényes akkor is, ha nem egy szög szárait, hanem a sík két tetszőleges

egyenesét metsszük párhuzamosokkal (1. ábra).

A párhuzamos szelők tételének megfordítása

TÉTEL: Ha két egyenes egy szög száraiból olyan szakaszokat vág le, amelyek hosszának

aránya mind a két száron ugyanaz, akkor a két egyenes párhuzamos.

2. ábra

A tétel a 2. ábra jelöléseivel:

Ha '

'

OB

OA

OB

OA, akkor az a és b egyenesek párhuzamosak.

Hasonló eredményre vezet az ''

'

BA

OA

AB

OA feltétel is.

Párhuzamos szelőszakaszok tétele

TÉTEL: Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyenesekből

a szárak által kimetszett szakaszok hosszának aránya megegyezik az egyenesek által a

szögszárakból kimetszett szakaszok hosszának arányával.

3. ábra

A tétel a 3. ábra jelöléseivel:

OB

OA

OB

OA

BB

AA

'

'

'

'

2. A szögfelezőtétel

TÉTEL: A háromszög belső szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak

hosszának arányában osztja két részre.

4.ábra

A tétel a 4. ábra jelöléseivel:

CD:DB=AC:AB

3. A középpontos hasonlósági transzformáció

Az előző tanévben részletesen foglalkoztunk a síkbeli egybevágósági transzformációkkal

(tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, pont körüli elforgatás, eltolás). Megadtuk a

transzformációk hozzárendelési utasítását, megvizsgáltuk tulajdonságaikat, és példákat

mutattunk arra, hogy hogyan alkalmazhatók számítási és szerkesztési feladatok, problémák

megoldása során. A most tárgyalandó középpontos hasonlósági transzformációval (

rövidebben középpontos hasonlósággal) is foglalkoztunk már korábbi tanulmányaink során,

és találkoztunk vele a mindennapi életben is, gondoljunk csak a térképek készítésére, a

fényképek kicsinyítésére-nagyítására,egy épület, egy lakás tervrajzának elkészítésére.

A tér pontjainak halmazán értelmezett középpontos hasonlósági transzformáció definíciója:

DEFINÍCIÓ: Adott egy O pont és egy λ (≠0) valós szám. A tér minden egyes P pontjához

rendeljünk hozzá egy P’ pontot a következőképpen:

ha P = O, akkor P = P’,

ha P ≠ O, akkor P’ az OP egyenes azon pontja, amelyre az OP’ = OP , és ha λ

> 0, akkor P’ az OP félegyenes pontja, ha λ < 0, akkor P-t és P’-t O elválasztja

egymástól (5. ábra).

5. ábra

Az O pont a transzformáció középpontja vagy centruma, λ a középpontos hasonlóság aránya.

Ha |λ| < 1, akkor középpontos kicsinyítésről, ha |λ| > 1, akkor középpontos nagyításról

beszélünk.

A középpontos hasonlósági transzformáció tulajdonságai

1) Ha λ ≠ 1, akkor a transzformáció egyetlen fixpontja az O ,középpont. Ha λ = 1, akkor a tér minden pontja fixpont, azaz a transzformáció az identikus

transzformáció.

2) Az O középpontra illeszkedő egyenesek a transzformáció invariáns egyenesei. Ha λ ≠ 1, akkor más invariáns egyenes nincs.

3) Bármely, az O középpontra nem illeszkedő egyenes képe az eredetivel párhuzamos, O-ra nem illeszkedő egyenes.

4) A fenti tulajdonságok alapján a középpontos hasonlóság szögtartó transzformáció, azaz bármely szög és a képe egyenlő nagyságúak.

5) A λ arányú középpontos hasonlóságnál bármely szakasz képének hossza az eredeti

szakasz hosszának |λ|-szerese, azaz bármely A és B pontok esetén ABBA '' .

6) A középpontos hasonlóság akkor és csak akkor egybevágóság, ha |λ| = 1. Ha λ = 1, akkor identitás, ha λ = -1, akkor középpontos tükrözés.

7) A síkbeli középpontos hasonlóság irányítástartó.

4. A hasonlósági transzformáció

DEFINÍCIÓ: A középpontos hasonlósági transzformáció és egybevágósági

transzformáció egymás utáni végrehajtásával kapott transzformációkat hasonlósági

transzformációknak nevezzük.

A középpontos hasonlóság és az egybevágóságok tulajdonságaiból adódnak a hasonlósági

transzformáció következő tulajdonságai:

1) A hasonlósági transzformáció egyenest egyenesbe transzformál. 2) A hasonlósági transzformáció szögtartó, azaz bármely szög és a képe egyenlő

nagyságúak.

3) A λ arányú hasonlósági transzformáció esetén bármely A, B pontokra és A’, B’

képeikre teljesül,hogy AB

BA ''.

Megjegyzés: Az egybevágósági transzformációk olyan hasonlósági transzformációk,

amelyekre |λ| = 1.

5. Alakzatok hasonlósága; a háromszögek hasonlóságának alapesetei

DEFINÍCIÓ: Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az

egyik alakzatot a másikba viszi.

Azt, hogy egy A alakzat hasonló egy B alakzathoz, a következőképpen jelöljük: A ~ B.

A definícióból közvetlenül adódnak a hasonlósági reláció következő tulajdonságai:

1) Minden alakzat hasonló önmagához, azaz A ~ A. 2) Ha A ~ B, akkor B ~ A. 3) Ha A ~ B és B ~ C, akkor A ~ C.

A háromszögek hasonlóságának alapesetei

TÉTEL: Két háromszög akkor és csak akkor hasonló, ha a következő feltételek egyike

teljesül:

1) megfelelő oldalaik hosszának aránya páronként egyenlő; 2) két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és az ezek által közrefogott szögek nagysága

egyenlő;

3) két-két szögük páronként egyenlő nagyságú; 4) két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és e két-két oldal közül a nagyobbikkal

szemközt levő szögek nagysága egyenlő.

Négyszögek, sokszögek hasonlósága

TÉTEL: Két sokszög akkor és csak akkor hasonló, ha megfelelő oldalhosszaik aránya

páronként egyenlő, és megfelelő szögeik páronként egyenlő nagyságúak.

6. A hasonlóság néhány alkalmazása

A háromszög súlypontja

TÉTEL: A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. Ez a pont mindhárom súlyvonalnak a háromszög megfelelő csúcsától távolabbi harmadolópontja. (6. ábra)

(A háromszög súlyvonala egy csúcspont és a szemközti oldal felezőpontját összekötő

szakasz.)

6. ábra

A súlyvonalak metszéspontja a háromszög súlypontja. Jele: S.

Arányossági tételek a derékszögű háromszögben

7. ábra

Vegyünk fel egy ABC derékszögű háromszöget, és húzzuk be az átfogóhoz tartozó CT

magasságot (7.ábra).

MAGASSÁGTÉTEL: Derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának hossza

mértani közepe azon két szakasz hosszának, amelyekre a magasság az átfogót osztja.

A tétel a 7. ábra jelöléseivel:

pqm2 vagy pqm .

BEFOGÓTÉTEL: Derékszögű háromszög befogójának hossza mértani közepe az átfogó

és a befogónak az átfogóra eső merőleges vetülete hosszának.

A tétel a 7. ábra jelöléseivel:

cpa2 vagy cpa ,

cqb2 vagy cqb .

7. Hasonló síkidomok területének aránya

DEFINÍCIÓ: Két hasonló alakzat hasonlóságának aránya az egymásnak megfelelő

szakaszok hosszának aránya.

TÉTEL: Hasonló síkidomok területének aránya a hasonlóság arányának négyzetével

egyenlő (2'

T

T).

8. Hasonló testek térfogatának aránya

TÉTEL: Hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának köbével egyenlő

(3'

V

V).

Hegyesszögek szögfüggvényei

1. Hegyesszögek szögfüggvényei

8. ábra

A definíciók megadásánál a 8. ábra jelöléseit használjuk.

DEFINÍCIÓ: Az α hegyesszög szinusza az α-t tartalmazó tetszőleges derékszögű

háromszögben a szöggel szemközti befogó hosszának és az átfogó hosszának hányadosa.

Jelölés: sinα.

c

a

hossza átfogó

hossza befogó szemközti szöggelsin .

DEFINÍCIÓ: Az α hegyesszög koszinusza az α-t tartalmazó tetszőleges derékszögű

háromszögben a szög melletti befogó hosszának és az átfogó hosszának hányadosa.

Jelölés: cosα.

c

b

hossza átfogó

hossza befogó melletti szögcos .

DEFINÍCIÓ: Az α hegyesszög tangense az α-t tartalmazó tetszőleges derékszögű

háromszögben a szöggel szemközti befogó hosszának és a szög melletti befogó hosszának

hányadosa.

Jelölés: tgα.

b

atg

hossza befogó melletti szög

hossza befogó szemközti szöggel.

DEFINÍCIÓ: Az α hegyesszög kotangense az α-t tartalmazó tetszőleges derékszögű

háromszögben a szög melletti befogó hosszának és a szöggel szemközti befogó hosszának

hányadosa.

Jelölés: ctgα.

a

bctg

hossza befogó szemközti szöggel

hossza befogó melletti szög.

A tangens és a kotangens definíciójából látszik, hogy egymás reciprokai, azaz ctg

tg1

.

2. Összefüggések a hegyesszögek szögfüggvényei között

Pótszögek szögfüggvényei

9. ábra

A 9. ábra jelöléseivel cossinc

a, és mivel 90 , ezért 90cossin .

Hasonlóan adódik, hogy 90sincos .

Ugyanilyen módon, mivel ctgtgb

a, ezért 90ctgtg és 90tgctg .

A kapott azonosságok szavakkal megfogalmazva:

TÉTEL: Hegyesszög szinusza megegyezik pótszögének koszinuszával.

TÉTEL: Hegyesszög tangense megegyezik pótszögének kotangensével.

90cossin 90sincos 90ctgtg 90tgctg

TÉTEL: Adott hegyesszög szinuszának és koszinuszának négyzetösszege 1-gyel egyenlő.

A tangens és a kotangens kifejezése szinusszal és koszinusszal

Most is a 9. ábra jelöléseit használjuk.

cos

sin

c

bc

a

b

atg , azaz

Hasonlóan adódik, hogy

1cossin 22

cos

sintg

sin

cosctg

3. Nevezetes szögek szögfüggvényei

sin cos tg ctg

30° 2

1

2

3

3

3 3

45° 2

2

2

2 1 1

60° 2

3

2

1 3

3

3

Vektorok

1. Vektor fogalma; vektorok összege, különbsége, vektor szorzása számmal

A vektor fogalma

DEFINÍCIÓ: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

hogy az egyik pont a kezdőpont, a másik pont a végpont, akkor irányított szakaszt

kapunk. (10. ábra)

10. ábra

DEFINÍCIÓ: Egy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort.

Az A-ból B-be mutató irányított szakasz által meghatározott vektor jelölése: AB .

A vektorokat szokás még egyetlen kisbetűvel (pl. ba, ), illetve nyomtatott szövegben

„félkövéren” szedett kisbetűvel (pl. a,b) jelölni.

DEFINÍCIÓ: A vektort meghatározó irányított szakasz hossza a vektor abszolútértéke.

Jelölés: ,, aAB |a|.

DEFINÍCIÓ: Két vektor párhuzamos, ha az őket meghatározó irányított szakaszok

egyenesei párhuzamosak.

DEFINÍCIÓ: Az a és b vektorok egyirányúak, ha párhuzamosak, és ugyanabba az

irányba mutatnak, azaz közös kezdőpontból felvéve egy a -t és egy b -t reprezentáló

irányított szakaszt, azok egy egyenesbe esnek, és végpontjaik a közös kezdőpont által

meghatározott ugyanazon félegyenesre illeszkednek. (11. ábra)

11. ábra

DEFINÍCIÓ: Két vektor ellentétes irányú, ha párhuzamosak, de nem egyirányúak.

(12. ábra)

12. ábra

DEFINÍCIÓ: Ha két vektor egyenlő abszolútértékű és ellentétes irányú, akkor a két

vektor egymás ellentettje. (13. ábra)

13. ábra

Jelölés: az a ellentettje - a .

DEFINÍCIÓ: Két vektor egyenlő, ha egyirányúak és abszolútértékük egyenlő.

Vektorok összege

DEFINÍCIÓ: Az a és b vektorok összege (jelölés: ba ) azon párhuzamos eltolás

vektora, amellyel az a -ral és a b -ral meghatározott párhuzamos eltolások

egymásutánja helyettesíthető.

Rajzban két vektort a háromszög-szabály, vagy a paralelogramma-szabály alapján

összegezhetünk. (14. ábra)

14. ábra

A vektorok összeadása:

1) kommutatív művelet, azaz abba .

2) asszociatív művelet, azaz cbacbacba .

Vektorok különbsége

DEFINÍCIÓ: Az a és b vektorok különbsége (jelölés: ba ) az ba vektor.

Rajzban két vektor különbségét a 15. ábrán látható módon szerkesztjük.

15. ábra

DEFINÍCIÓ: Azt a vektort, amelynek abszolútértéke 0, nullvektornak nevezzük.

(Jelölés: 0 vagy 0.)

Megállapodás szerint 0 iránya tetszőleges, azaz bármely vektorral egyirányú.

Vektor szorzása számmal

DEFINÍCIÓ: 1. Ha 0a és tetszőleges valós szám, akkor a olyan vektor,

amelynek abszolútértéke a , és 0 esetén a -ral egyirányú, 0 esetén a -ral

ellentétes irányú.

2. Ha 0a , akkor 0a bármely valós szám esetén.

Bizonyítható, hogy vektorok valós számmal (skalárral) való szorzására teljesülnek az alábbi

azonosságok:

1) aaa ;

2) aa ;

3) baba .

2. Vektorok a koordináta-rendszerben, vektor koordinátái, műveletek

koordinátákkal adott vektorokkal

DEFINÍCIÓ: A derékszögű koordináta-rendszerben a P(x;y) pont helyvektora az

origóból a pontba mutató vektor. (16 .ábra)

16. ábra

DEFINÍCIÓ: A derékszögű koordináta-rendszerben egy vektor koordinátái

megegyeznek origó kezdőpontú reprezentánsa végpontjának koordinátáival.

Jelölés: a 1a ; 2a .

A fenti két definícióból következik, hogy a koordinátasík bármely pontjának és a pont

helyvektorának koordinátái megegyeznek.

Bázisvektorok a koordináta-rendszerben

Tekintsük az (1;0) és a (0;1) pontok helyvektorait, jelölje ezeket rendre i és j (17. ábra). Az

i(1;0) és j(0;1) egységvektorokat választjuk a koordináta-rendszerben bázisvektoroknak.

17. ábra

DEFINÍCIÓ: Ha a derékszögű koordináta-rendszerben jaiaa 21 , akkor az a első

koordinátája 1a , második koordinátája 2a .

Vektorok összegének koordinátái

Ha adottak az a 1a ; 2a és b 1b ; 2b vektorok, akkor jbaibaba 2211 , azaz

az összegvektor első koordinátája az összeadandó vektorok első koordinátájának,

második koordinátája az összeadandó vektorok második koordinátájának összege. (18. ábra)

18. ábra

Vektorok különbségének koordinátái

Ha adottak az a 1a ; 2a és b 1b ; 2b vektorok, akkor jbaibaba 2211 , azaz

a különbségvektor első koordinátája a megfelelő első koordináták különbsége, második

koordinátája a megfelelő második koordináták különbsége.(19. ábra)

19. ábra

Vektor számszorosának koordinátái

Adott az a 1a ; 2a vektor és a valós szám.

jaiaa 21 ,

azaz vektor -szorosának koordinátái a koordináták -szorosai.