elasticidade aplicada à infraestrutura de transportes

SEÇÃO DE ENSINO DE ENGENHARIA DE FORTIFICAÇÃO E CONSTRUÇÃO

Pós-graduação em Engenharia de Transportes

Elasticidade aplicada à Infraestrutura de TransportesMAJ MONIZ DE ARAGÃO

PROBLEMAS PLANOS EM COORDENADAS CARTESIANAS:

Estado Plano de Deformação (EPD); Estado Plano de Tensão (EPT);Condições de ContornoCondições de Contorno.

Referência bibliográfica:• Introdução à Teoria da Elasticidade, Villaça, S. F., Taborda Garcia,

L. F., COPPE/UFRJ, 4ª Ed., 2000.

Problemas Planos em Coordenadas Cartesianas

• Hipótese que os estados de tensão e de deformação independem de• Hipótese que os estados de tensão e de deformação independem de uma coordenada (z)

• O fenômeno elástico ocorre igualmente em todos os planos paralelos a xy.

ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES (EPD):

0z

00xz

0yz

Carregamentos auto-equilibrados de direção paralela ao plano xy e independentes de z

ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES (EPD)ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES (EPD)

xz

yxz

0

00

xz

z

bordos “lisos”

Correspondentes componentes de

ã

yz

xz

0 0yz

bordos lisostensão:

xyyx ,,funções de (x,y)

Cada lâmina entre seções adjacentes, que tenderia a se deformar na direção z pelo efeito de Poisson, tem essa deformação impedida pelas lâminas vizinhas.

Verifica-se assim a existência de tensões normais na direção longitudinal do sólido prismático;


EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIOEQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO

0

xxzxyx Bzyx

0

yz

yyzyxyt Bzyx

0Bτ

0

zzyzxz B

zyx

0xxyx B

0

xz

yxz

0y

yxy

x

B

yx

00

Bz

yzEPD

yyx 0z

z


EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕESEQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES

0

2

2

2

2

2xyyx reduzem-se à somente uma:

02

2

2

2

2

22

zxxz

yxxyxzzx xyyx

2

2

2

2

2

02

2

2

2

2

zyyz

zxxzyzzy

yxxy 22

2

22222

xzxyxzyyzxyxzx

2222

2

2222

2yxyzyzx

yy

xzyzyxy 00

2

22222

zxzyzyxxyzyzxz


LEI DE HOOKE GENERALIZADALEI DE HOOKE GENERALIZADA

zy

xx EE

yxx EE

11 2

zxy

y

y

EE

EE EE

xyy EE

11 2

yx

zz EE 0 yxz

0

xyxy G

Substituindo essas expressões na equação de compatibilidade de deformações do EPD, tem-se:

00

xy

xy

0212

2

2

2

2

2

2

2

2

yxyxxyxyyxyx

Obs: campos de tensões lineares sempre satisfarão a compatibilidade de deformações


EQUAÇÕES DO EPD:EQUAÇÕES DO EPD:GARANTIA DO EQUILÍBRIO E COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES

0

xxyx Byx

0

yyxy B

yx

02122222

xyyxyx

yyx

021 2222

yxyxxy

Assim, tem-se o problema de EPD regido por três equações diferenciais em termos das três componentes de tensão.

Problemas Planos em Coordenadas CartesianasESTADO PLANO DE TENSÕES (EPT)ESTADO PLANO DE TENSÕES (EPT)

ESTADO PLANO DE TENSÕES (EPT):ESTADO PLANO DE TENSÕES (EPT):

Carregamentos auto-equilibrados de direção paralela ao plano xye distribuídos uniformemente na direção zç

Faces livres deFaces livres de forças externas

00

xz

z

00

yz

xz

Ex: chapa delgada de espessura uniforme

ESTADO PLANO DE TENSÕES (EPT)ESTADO PLANO DE TENSÕES (EPT)

chapas e vigas

eixoseixos

vasos de parede finareservatórios


Correspondentes componentes de d f ã

00z

01

xz

yxz

deformação:

xyyx ,,

00

yz

xz

0yz

xz

funções de (x,y)

No EPT não há impedimento à deformação do sólido na direção z (faces livres), que ocorre pelo efeito de Poisson.

Verifica-se assim a existência de deformações na direção transversal (da espessura) do sólido;


EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIOEQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO

0

xxzxyx Bzyx

0

yz

yyzyxyt Bzyx

0Bτ

0

zzyzxz B

zyx0 z

0xxyx Byx0

0xz

EPT

0y

yxy Byx

y00

z

yz

B

yx

(idênticas ao EPD)


EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕESEQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES

0

2

2

2

2

2xyyx xyyx

2

2

2

2

2

02

2

2

2

2

22

zxxz

yxxyxzzx

yxxy

22

0

2z

02

2

2

2

2

zyyz

zxxzyzzy

0

0

2

2

2

y

xz

z

2

22222

xzxyxzyyzxyxzx

00

ysó se verificam quando z for constante ou função

2222

2

2222

2yxyzyzx

yy

xzyzyxy

00

2

constante ou função linear de x e/ou y

podem ser

2

22222

zxzyzyxxyzyzxz 0

2

yxz

pdesconsideradas para chapas delgadas


LEI DE HOOKE GENERALIZADALEI DE HOOKE GENERALIZADA

y

xx EE

xy

xy

y

y

EE

EE

0xy

yxy G

yxz E

0xy

Substituindo essas expressões na equação de compatibilidade de deformações do EPT, tem-se:

222 012

2

2

2

2

2

2

2

2

2

yxyxxyxyyxyx

Obs: campos de tensões lineares sempre satisfarão a compatibilidade de deformações


EQUAÇÕES DO EPT:EQUAÇÕES DO EPT:GARANTIA DO EQUILÍBRIO E COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES

0

xxyx Byx

0

yyxy B

yx

yyx

01222222

xyyxyx

0122222

yxyxxy

Assim, tem-se o problema de EPT regido por três equações diferenciais em termos das três componentes de tensão (sendo as duas primeiras iguais ao EPD).

TENSÕES EM VIGASTENSÕES EM VIGAS

My

Ix

bIVQ

xy bI


x

(b) Tensões planas em x e y(c) Tensões Principais(d) Tensões de cisalhamento máximas(d) Tensões de cisalhamento máximas

Na figura acima, as linhas cheias representam as trajetórias das tensões principais de tração, e as linhas p p ç ,pontilhadas para as tensões principais de compressão


Trajetórias das tensões principaisTrajetórias das tensões principais de tração e compressão na viga engastada e livre.

Tensões em x e y Tensões principais

CONDIÇÕES DE CONTORNOCONDIÇÕES DE CONTORNO

No problema plano, as condições de contorno de forças (forças prescritas)No problema plano, as condições de contorno de forças (forças prescritas) são expressas sempre nas faces de normal paralela ao plano xy:

coscos

m

mmxyxx

0n myxyy

N

N – normal à superfície do sólido no ponto de análise

– força prescrita no ponto de análiseρNτρ força prescrita no ponto de análiseρ

CONDIÇÕES DE CONTORNOCONDIÇÕES DE CONTORNO

Bordos retos e perpendiculares aos eixos:

0 1

2/0

bordo x=a:

00

nm

xyy

xx

2/

bordo y=-b:

1

0m

bordo y b:

01

nm

yy

yxx

elasticidade aplicada à infraestrutura de transportes

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